Le thème « Nombres multiples » est étudié en 5e année du secondaire. Son objectif est d’améliorer les compétences en calcul mathématique écrit et oral. Dans cette leçon, de nouveaux concepts sont introduits - les « nombres multiples » et les « diviseurs », la technique de recherche des diviseurs et des multiples d'un nombre naturel et la capacité de trouver le LCM de différentes manières sont pratiquées.
Ce sujet est très important. Sa connaissance peut être appliquée lors de la résolution d'exemples avec des fractions. Pour ce faire, vous devez trouver le dénominateur commun en calculant le plus petit commun multiple (LCM).
Un multiple de A est un entier divisible par A sans reste.
Chaque nombre naturel en possède un nombre infini de multiples. Il est lui-même considéré comme le plus petit. Le multiple ne peut pas être inférieur au nombre lui-même.
Vous devez prouver que le nombre 125 est un multiple de 5. Pour ce faire, vous devez diviser le premier nombre par le second. Si 125 est divisible par 5 sans reste, alors la réponse est oui.
Cette méthode est applicable pour les petits nombres.
Il existe des cas particuliers lors du calcul du LOC.
1. Si vous avez besoin de trouver un multiple commun de 2 nombres (par exemple, 80 et 20), où l'un d'eux (80) est divisible par l'autre (20), alors ce nombre (80) est le plus petit multiple de ceux-ci. deux nombres.
LCM(80, 20) = 80.
2. Si deux n’ont pas de diviseur commun, alors on peut dire que leur LCM est le produit de ces deux nombres.
LCM(6, 7) = 42.
Regardons le dernier exemple. 6 et 7 par rapport à 42 sont des diviseurs. Ils divisent un multiple d'un nombre sans reste.
Dans cet exemple, 6 et 7 sont des facteurs appariés. Leur produit est égal au nombre le plus multiple (42).
Un nombre est dit premier s'il n'est divisible que par lui-même ou par 1 (3:1=3 ; 3:3=1). Les autres sont appelés composites.
Un autre exemple consiste à déterminer si 9 est un diviseur de 42.
42:9=4 (reste 6)
Réponse : 9 n'est pas un diviseur de 42 car la réponse a un reste.
Un diviseur diffère d'un multiple en ce sens que le diviseur est le nombre par lequel les nombres naturels sont divisés, et le multiple lui-même est divisible par ce nombre.
Le plus grand diviseur commun des nombres un Et b, multiplié par leur plus petit multiple, donnera le produit des nombres eux-mêmes un Et b.
A savoir : pgcd (a, b) x pgcd (a, b) = a x b.
Les multiples communs de nombres plus complexes se trouvent de la manière suivante.
Par exemple, recherchez le LCM pour 168, 180, 3024.
Nous prenons en compte ces nombres en facteurs premiers et les écrivons comme un produit de puissances :
168=2³x3¹x7¹
2⁴х3³х5¹х7¹=15120
LCM(168, 180, 3024) = 15120.
Mais de nombreux nombres naturels sont également divisibles par d’autres nombres naturels.
Par exemple:
Le nombre 12 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12 ;
Le nombre 36 est divisible par 1, par 2, par 3, par 4, par 6, par 12, par 18, par 36.
Les nombres par lesquels le nombre est divisible par un tout (pour 12 ce sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) sont appelés diviseurs de nombres. Diviseur d'un nombre naturel un- est un nombre naturel qui divise un nombre donné un sans laisser de trace. Un nombre naturel qui a plus de deux diviseurs s'appelle composite .
Veuillez noter que les nombres 12 et 36 ont des facteurs communs. Ces nombres sont : 1, 2, 3, 4, 6, 12. Le plus grand diviseur de ces nombres est 12. Le diviseur commun de ces deux nombres un Et b- c'est le nombre par lequel les deux nombres donnés sont divisés sans reste un Et b.
Multiples communs plusieurs nombres est un nombre divisible par chacun de ces nombres. Par exemple, les nombres 9, 18 et 45 ont un multiple commun de 180. Mais 90 et 360 sont aussi leurs multiples communs. Parmi tous les multiples communs, il y en a toujours un plus petit, dans ce cas il s'agit de 90. Ce nombre s'appelle le plus petitcommun multiple (CMM).
Le LCM est toujours un nombre naturel qui doit être supérieur au plus grand des nombres pour lesquels il est défini.
Le plus petit commun multiple (LCM). Propriétés.
Commutativité:
Associativité :
En particulier, si et sont des nombres premiers entre eux, alors :
Plus petit commun multiple de deux entiers m Et n est un diviseur de tous les autres multiples communs m Et n. De plus, l’ensemble des multiples communs m, n coïncide avec l'ensemble des multiples du LCM( m, n).
Les asymptotiques de peuvent être exprimées en termes de certaines fonctions de la théorie des nombres.
Donc, Fonction Chebyshev. Et:
Cela découle de la définition et des propriétés de la fonction de Landau g(n).
Ce qui découle de la loi de distribution des nombres premiers.
Recherche du plus petit commun multiple (LCM).
CNP ( un B) peut être calculé de plusieurs manières :
1. Si le plus grand diviseur commun est connu, vous pouvez utiliser sa connexion avec le LCM :
2. Connaître la décomposition canonique des deux nombres en facteurs premiers :
Où p 1 ,...,pk- divers nombres premiers, et d 1 ,...,dk Et e 1 ,...,ek— des entiers non négatifs (ils peuvent être des zéros si le nombre premier correspondant n'est pas dans le développement).
Puis CNP ( un,b) est calculé par la formule :
En d'autres termes, la décomposition LCM contient tous les facteurs premiers inclus dans au moins une des décompositions de nombres un B, et le plus grand des deux exposants de ce multiplicateur est pris.
Exemple:
Le calcul du plus petit commun multiple de plusieurs nombres peut se réduire à plusieurs calculs séquentiels du LCM de deux nombres :
Règle. Pour trouver le LCM d'une série de nombres, il vous faut :
- décomposer les nombres en facteurs premiers ;
- transférer la plus grande décomposition (le produit des facteurs du plus grand nombre de ceux donnés) aux facteurs du produit souhaité, puis ajouter des facteurs issus de la décomposition d'autres nombres qui n'apparaissent pas dans le premier nombre ou qui y apparaissent moins de fois ;
— le produit résultant de facteurs premiers sera le LCM des nombres donnés.
Deux nombres naturels ou plus ont leur propre LCM. Si les nombres ne sont pas des multiples les uns des autres ou n'ont pas les mêmes facteurs d'expansion, alors leur LCM est égal au produit de ces nombres.
Les facteurs premiers du nombre 28 (2, 2, 7) sont complétés par un facteur 3 (le nombre 21), le produit résultant (84) sera le plus petit nombre divisible par 21 et 28.
Les facteurs premiers du plus grand nombre 30 sont complétés par le facteur 5 du nombre 25, le produit résultant 150 est supérieur au plus grand nombre 30 et est divisible par tous les nombres donnés sans reste. Il s'agit du plus petit produit possible (150, 250, 300...) qui est un multiple de tous les nombres donnés.
Les nombres 2,3,11,37 sont des nombres premiers, donc leur LCM est égal au produit des nombres donnés.
Règle. Pour calculer le LCM des nombres premiers, vous devez multiplier tous ces nombres entre eux.
Une autre option:
Pour trouver le plus petit commun multiple (LCM) de plusieurs nombres dont vous avez besoin :
1) représenter chaque nombre comme un produit de ses facteurs premiers, par exemple :
504 = 2 2 2 3 3 7,
2) écrire les puissances de tous les facteurs premiers :
504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,
3) noter tous les diviseurs premiers (multiplicateurs) de chacun de ces nombres ;
4) choisir le plus grand degré de chacun d'eux, trouvé dans tous les développements de ces nombres ;
5) multiplier ces pouvoirs.
Exemple. Trouvez le LCM des nombres : 168, 180 et 3024.
Solution. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,
180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,
3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.
Nous notons les plus grandes puissances de tous les diviseurs premiers et les multiplions :
CNP = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15 120.
Plus grand diviseur commun
Définition 2
Si un nombre naturel a est divisible par un nombre naturel $b$, alors $b$ est appelé un diviseur de $a$ et $a$ est appelé un multiple de $b$.
Soit $a$ et $b$ des nombres naturels. Le nombre $c$ est appelé le diviseur commun de $a$ et de $b$.
L'ensemble des diviseurs communs des nombres $a$ et $b$ est fini, puisqu'aucun de ces diviseurs ne peut être supérieur à $a$. Cela signifie que parmi ces diviseurs, il y en a un plus grand, qui est appelé le plus grand diviseur commun des nombres $a$ et $b$ et est noté par la notation suivante :
$PGCD\(a;b)\ ou \D\(a;b)$
Pour trouver le plus grand diviseur commun de deux nombres, il vous faut :
- Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.
Exemple 1
Trouvez le pgcd des nombres $121$ et $132.$
242$=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Choisissez les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres
242$=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Trouvez le produit des nombres trouvés à l’étape 2. Le nombre obtenu sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$PGCD=2\cdot 11=22$
Exemple 2
Trouvez le pgcd des monômes $63$ et $81$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça:
Factorisons les nombres en facteurs premiers
63$=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Nous sélectionnons les nombres qui sont inclus dans l'expansion de ces nombres
63$=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Trouvons le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus grand diviseur commun souhaité.
$PGCD=3\cdot 3=9$
Vous pouvez trouver le pgcd de deux nombres d’une autre manière, en utilisant un ensemble de diviseurs de nombres.
Exemple 3
Trouvez le pgcd des nombres 48$ et 60$.
Solution:
Trouvons l'ensemble des diviseurs du nombre $48$ : $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$
Trouvons maintenant l'ensemble des diviseurs du nombre $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $
Trouvons l'intersection de ces ensembles : $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - cet ensemble déterminera l'ensemble des diviseurs communs des nombres $48$ et $60 $. L'élément le plus important de cet ensemble sera le nombre $12$. Cela signifie que le plus grand diviseur commun des nombres 48$ et 60$ est 12$.
Définition du NPL
Définition 3
Multiples communs de nombres naturels$a$ et $b$ sont un nombre naturel qui est un multiple de $a$ et $b$.
Les multiples communs de nombres sont des nombres divisibles par les nombres d'origine sans reste. Par exemple, pour les nombres 25$ et 50$, les multiples communs seront les nombres 50,100,150,200$, etc.
Le plus petit commun multiple sera appelé plus petit commun multiple et sera noté LCM$(a;b)$ ou K$(a;b).$
Pour trouver le LCM de deux nombres, vous devez :
- Factoriser les nombres en facteurs premiers
- Notez les facteurs qui font partie du premier nombre et ajoutez-y les facteurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier.
Exemple 4
Trouvez le LCM des nombres 99$ et 77$.
Nous trouverons selon l'algorithme présenté. Pour ça
Factoriser les nombres en facteurs premiers
99$=3\cdot 3\cdot 11$
Notez les facteurs inclus dans le premier
ajoutez-y des multiplicateurs qui font partie du second et ne font pas partie du premier
Trouvez le produit des nombres trouvés à l'étape 2. Le nombre résultant sera le plus petit commun multiple souhaité
$NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Compiler des listes de diviseurs de nombres est souvent une tâche très laborieuse. Il existe un moyen de trouver GCD appelé algorithme euclidien.
Énoncés sur lesquels est basé l'algorithme euclidien :
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels et $a\vdots b$, alors $D(a;b)=b$
Si $a$ et $b$ sont des nombres naturels tels que $b
En utilisant $D(a;b)= D(a-b;b)$, on peut réduire successivement les nombres considérés jusqu'à atteindre une paire de nombres telle que l'un d'eux soit divisible par l'autre. Ensuite, le plus petit de ces nombres sera le plus grand diviseur commun souhaité pour les nombres $a$ et $b$.
Propriétés de GCD et LCM
- Tout multiple commun de $a$ et $b$ est divisible par K$(a;b)$
- Si $a\vdots b$ , alors К$(a;b)=a$
Si K$(a;b)=k$ et $m$ est un nombre naturel, alors K$(am;bm)=km$
Si $d$ est un diviseur commun pour $a$ et $b$, alors K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d )$
Si $a\vdots c$ et $b\vdots c$ , alors $\frac(ab)(c)$ est le multiple commun de $a$ et $b$
Pour tout nombre naturel $a$ et $b$, l'égalité est vraie
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Tout diviseur commun des nombres $a$ et $b$ est un diviseur du nombre $D(a;b)$
Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Le plus petit commun multiple (LCM) d'un groupe de nombres est le plus petit nombre divisible par chaque nombre du groupe sans laisser de reste. Pour trouver le plus petit commun multiple, vous devez trouver les facteurs premiers de nombres donnés. Le LCM peut également être calculé à l'aide d'un certain nombre d'autres méthodes qui s'appliquent à des groupes de deux nombres ou plus.
Pas
Série de multiples
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple de 5 et 8. Ce sont de petits nombres, vous pouvez donc utiliser cette méthode.
-
Un multiple est un nombre divisible par un nombre donné sans reste. Les multiples peuvent être trouvés dans la table de multiplication.
- Par exemple, les nombres multiples de 5 sont : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.
-
Écrivez une série de nombres multiples du premier nombre. Faites cela sous des multiples du premier nombre pour comparer deux ensembles de nombres.
- Par exemple, les nombres multiples de 8 sont : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 et 64.
-
Trouvez le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples. Vous devrez peut-être écrire de longues séries de multiples pour trouver le nombre total. Le plus petit nombre présent dans les deux ensembles de multiples est le plus petit commun multiple.
- Par exemple, le plus petit nombre qui apparaît dans la série des multiples de 5 et 8 est le nombre 40. Par conséquent, 40 est le plus petit commun multiple de 5 et 8.
Factorisation première
-
Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant supérieur à 10. Si des nombres plus petits sont donnés, utilisez une méthode différente.
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 20 et 84. Chacun des nombres est supérieur à 10, vous pouvez donc utiliser cette méthode.
-
Factorisez le premier nombre en facteurs premiers. Autrement dit, vous devez trouver des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront un nombre donné. Une fois que vous avez trouvé les facteurs premiers, écrivez-les sous forme d’égalités.
- Par exemple, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 10=20) Et 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 20 sont les nombres 2, 2 et 5. Écrivez-les sous forme d'expression : .
-
Factorisez le deuxième nombre en facteurs premiers. Faites cela de la même manière que vous avez factorisé le premier nombre, c'est-à-dire trouvez des nombres premiers qui, une fois multipliés, donneront le nombre donné.
- Par exemple, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2))\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7))\times 6=42) Et 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Ainsi, les facteurs premiers du nombre 84 sont les nombres 2, 7, 3 et 2. Écrivez-les sous forme d'expression : .
-
Notez les facteurs communs aux deux nombres.Écrivez des facteurs tels qu’une opération de multiplication. Au fur et à mesure que vous écrivez chaque facteur, rayez-le dans les deux expressions (expressions qui décrivent les factorisations de nombres en facteurs premiers).
- Par exemple, les deux nombres ont un facteur commun de 2, alors écrivez 2 × (\displaystyle 2\times) et rayez le 2 dans les deux expressions.
- Ce que les deux nombres ont en commun est un autre facteur de 2, alors écrivez 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) et rayez le deuxième 2 dans les deux expressions.
-
Ajoutez les facteurs restants à l’opération de multiplication. Il s’agit de facteurs qui ne sont pas barrés dans les deux expressions, c’est-à-dire qui ne sont pas communs aux deux nombres.
- Par exemple, dans l'expression 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) Les deux deux (2) sont barrés car ce sont des facteurs communs. Le facteur 5 n'est pas barré, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
- En expression 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) les deux deux (2) sont également barrés. Les facteurs 7 et 3 ne sont pas barrés, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).
-
Calculez le plus petit commun multiple. Pour ce faire, multipliez les nombres dans l'opération de multiplication écrite.
- Par exemple, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Le plus petit commun multiple de 20 et 84 est donc 420.
Trouver des facteurs communs
-
Dessinez une grille comme pour un jeu de tic-tac-toe. Une telle grille se compose de deux lignes parallèles qui se croisent (à angle droit) avec deux autres lignes parallèles. Cela vous donnera trois lignes et trois colonnes (la grille ressemble beaucoup à l'icône #). Écrivez le premier nombre dans la première ligne et la deuxième colonne. Écrivez le deuxième nombre dans la première ligne et la troisième colonne.
- Par exemple, trouvez le plus petit commun multiple des nombres 18 et 30. Écrivez le nombre 18 dans la première ligne et la deuxième colonne, et écrivez le nombre 30 dans la première ligne et la troisième colonne.
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Trouvez le diviseur commun aux deux nombres. Notez-le dans la première ligne et la première colonne. Il est préférable de rechercher des facteurs premiers, mais ce n'est pas une obligation.
- Par exemple, 18 et 30 sont des nombres pairs, donc leur facteur commun est 2. Écrivez donc 2 dans la première ligne et la première colonne.
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Divisez chaque nombre par le premier diviseur. Notez chaque quotient sous le numéro approprié. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres.
- Par exemple, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), alors écrivez 9 sous 18 ans.
- 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), alors notez 15 sous 30.
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Trouvez le diviseur commun aux deux quotients. S'il n'existe pas de diviseur de ce type, ignorez les deux étapes suivantes. Sinon, écrivez le diviseur dans la deuxième ligne et la première colonne.
- Par exemple, 9 et 15 sont divisibles par 3, alors écrivez 3 dans la deuxième ligne et la première colonne.
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Divisez chaque quotient par son deuxième diviseur.Écrivez chaque résultat de division sous le quotient correspondant.
- Par exemple, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), alors écrivez 3 sous 9.
- 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), alors écrivez 5 sous 15.
-
Si nécessaire, ajoutez des cellules supplémentaires à la grille. Répétez les étapes décrites jusqu'à ce que les quotients aient un diviseur commun.
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Encerclez les nombres dans la première colonne et la dernière ligne de la grille.Écrivez ensuite les nombres sélectionnés sous forme d’opération de multiplication.
- Par exemple, les nombres 2 et 3 sont dans la première colonne, et les nombres 3 et 5 sont dans la dernière ligne, alors écrivez l'opération de multiplication comme ceci : 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).
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Trouvez le résultat de la multiplication de nombres. Cela calculera le plus petit commun multiple de deux nombres donnés.
- Par exemple, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Le plus petit commun multiple de 18 et 30 est donc 90.
L'algorithme d'Euclide
-
N'oubliez pas la terminologie associée à l'opération de division. Le dividende est le nombre qui est divisé. Le diviseur est le nombre par lequel on divise. Un quotient est le résultat de la division de deux nombres. Un reste est le nombre restant lorsque deux nombres sont divisés.
- Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3 :
15 est le dividende
6 est un diviseur
2 est le quotient
3 est le reste.
- Par exemple, dans l'expression 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) ost. 3 :
Regardez ces chiffres. La méthode décrite ici est mieux utilisée lorsqu’on lui donne deux nombres, chacun étant inférieur à 10. Si des nombres plus grands sont donnés, utilisez une méthode différente.
Critères de divisibilité des nombres naturels.
Les nombres divisibles par 2 sans reste sont appelésmême .
Les nombres qui ne sont pas divisibles par 2 sont appelésimpair .
Test de divisibilité par 2
Si un nombre naturel se termine par un chiffre pair, alors ce nombre est divisible par 2 sans reste, et si un nombre se termine par un chiffre impair, alors ce nombre n'est pas divisible par 2.
Par exemple, les chiffres 60 , 30 8 , 8 4 sont divisibles par 2 sans reste, et les nombres sont 51 , 8 5 , 16 7 ne sont pas divisibles par 2 sans reste.
Test de divisibilité par 3
Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 3, alors le nombre est divisible par 3 ; Si la somme des chiffres d’un nombre n’est pas divisible par 3, alors ce nombre n’est pas divisible par 3.
Par exemple, découvrons si le nombre 2772825 est divisible par 3. Pour ce faire, calculons la somme des chiffres de ce nombre : 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - divisible par 3. Cela signifie que le nombre 2772825 est divisible par 3.
Test de divisibilité par 5
Si l'enregistrement d'un nombre naturel se termine par le chiffre 0 ou 5, alors ce nombre est divisible par 5 sans reste. Si l'enregistrement d'un nombre se termine par un autre chiffre, alors le nombre n'est pas divisible par 5 sans reste.
Par exemple, les chiffres 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 sont divisibles par 5 sans reste, et les nombres sont 17 , 37 8 , 9 1 ne partage pas.
Test de divisibilité par 9
Si la somme des chiffres d'un nombre est divisible par 9, alors le nombre est divisible par 9 ; Si la somme des chiffres d’un nombre n’est pas divisible par 9, alors ce nombre n’est pas divisible par 9.
Par exemple, découvrons si le nombre 5402070 est divisible par 9. Pour ce faire, calculons la somme des chiffres de ce nombre : 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - non divisible par 9 . Cela signifie que le nombre 5402070 n'est pas divisible par 9.
Test de divisibilité par 10
Si un nombre naturel se termine par le chiffre 0, alors ce nombre est divisible par 10 sans reste. Si un nombre naturel se termine par un autre chiffre, alors il n'est pas divisible par 10.
Par exemple, les chiffres 40 , 17 0 , 1409 0 sont divisibles par 10 sans reste, et les nombres 17 , 9 3 , 1430 7 - ne partagez pas.
La règle pour trouver le plus grand diviseur commun (PGCD).
Pour trouver le plus grand commun diviseur de plusieurs nombres naturels, il faut :
2) parmi les facteurs inclus dans le développement d'un de ces nombres, rayer ceux qui ne sont pas inclus dans le développement d'autres nombres ;
3) trouver le produit des facteurs restants.
Exemple. Trouvons GCD (48;36). Utilisons la règle.
1. Factorisons les nombres 48 et 36 en facteurs premiers.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Des facteurs inclus dans le développement du nombre 48, nous supprimons ceux qui ne sont pas inclus dans le développement du nombre 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Les facteurs restants sont 2, 2 et 3.
3. Multipliez les facteurs restants et obtenez 12. Ce nombre est le plus grand diviseur commun des nombres 48 et 36.
PGCD (48;36) = 2· 2 · 3 = 12.
La règle pour trouver le plus petit commun multiple (LCM).
Pour trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres naturels, il faut :
1) les factoriser en facteurs premiers ;
2) noter les facteurs inclus dans le développement de l'un des nombres ;
3) ajoutez-y les facteurs manquants issus des développements des nombres restants ;
4) trouver le produit des facteurs résultants.
Exemple. Trouvons le LOC (75;60). Utilisons la règle.
1. Factorisons les nombres 75 et 60 en facteurs premiers.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Écrivons les facteurs inclus dans le développement du nombre 75 : 3, 5, 5.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Ajoutez-y les facteurs manquants du développement du nombre 60, c'est-à-dire 2, 2.
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Trouver le produit des facteurs résultants
LCM(75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
