Volume d'un prisme incliné
Tous les prismes sont divisés en droit Et incliné .
Prisme droit, base
qui sert le bon
un polygone s'appelle
correct prisme.
Propriétés d'un prisme régulier :
1. Les bases d'un prisme régulier sont des polygones réguliers. 2. Les faces latérales d'un prisme régulier sont des rectangles égaux. 3. Les bords latéraux d'un prisme régulier sont égaux .
Coupe transversale du PRISME.
La section orthogonale d'un prisme est une section formée par un plan perpendiculaire au bord latéral.
La surface latérale du prisme est égale au produit du périmètre de la section orthogonale par la longueur du bord latéral.
S b = P orth.section C
1. Distances entre nervures inclinées
les prismes triangulaires sont égaux à : 2 cm, 3 cm et 4 cm
La surface latérale du prisme est de 45 cm 2 .Trouvez son bord latéral.
Solution:
Dans la section perpendiculaire du prisme se trouve un triangle dont le périmètre est 2+3+4=9
Cela signifie que le bord latéral est égal à 45:9 = 5 (cm)
Trouver des éléments inconnus
triangulaire régulier
Prismes
par les éléments spécifiés dans le tableau.
RÉPONSES.
Merci pour la leçon.
Devoirs.
Le volume est une caractéristique de toute figure ayant des dimensions non nulles dans les trois dimensions de l'espace. Dans cet article, du point de vue de la stéréométrie (géométrie des figures spatiales), nous examinerons un prisme et montrerons comment trouver les volumes de différents types de prismes.
La stéréométrie a une réponse précise à cette question. Dans celui-ci, un prisme est compris comme une figure formée de deux faces polygonales identiques et de plusieurs parallélogrammes. L'image ci-dessous montre quatre prismes différents.
Chacun d'eux peut être obtenu comme suit : il faut prendre un polygone (triangle, quadrilatère, etc.) et un segment d'une certaine longueur. Ensuite, chaque sommet du polygone doit être transféré à l'aide de segments parallèles vers un autre plan. Dans le nouveau plan, qui sera parallèle à celui d'origine, on obtiendra un nouveau polygone, similaire à celui initialement sélectionné.
Les prismes peuvent être de différents types. Ainsi, ils peuvent être droits, inclinés et réguliers. Si le bord latéral du prisme (le segment reliant les sommets des bases) est perpendiculaire aux bases de la figure, alors cette dernière est droite. En conséquence, si cette condition n'est pas remplie, nous parlons alors d'un prisme incliné. Une figure régulière est un prisme droit à base équiangulaire et équilatérale.
Volume des prismes réguliers
Commençons par le cas le plus simple. Donnons la formule du volume d'un prisme régulier de base n-gonale. La formule volumique V pour toute figure de la classe considérée a la forme suivante :
Autrement dit, pour déterminer le volume, il suffit de calculer l'aire de l'une des bases S o et de la multiplier par la hauteur h de la figure.
Dans le cas d'un prisme régulier, on désigne la longueur du côté de sa base par la lettre a, et la hauteur, qui est égale à la longueur du bord latéral, par la lettre h. Si la base est un n-gon régulier, alors pour calculer son aire, il est plus simple d'utiliser la formule universelle suivante :
S n = n/4*a2*ctg(pi/n).
En remplaçant le nombre de côtés n et la longueur d'un côté a dans l'équation, vous pouvez calculer l'aire de la base n-gonale. Notez que la fonction cotangente est ici calculée pour l'angle pi/n, qui est exprimé en radians.
Compte tenu de l'égalité écrite pour S n, on obtient la formule finale du volume d'un prisme régulier :
Vn = n/4*a2*h*ctg(pi/n).
Pour chaque cas spécifique, vous pouvez écrire les formules correspondantes pour V, mais elles découlent toutes sans ambiguïté de l'expression générale écrite. Par exemple, pour un prisme quadrangulaire régulier, qui dans le cas général est un parallélépipède rectangle, on obtient :
V 4 = 4/4*a2*h*ctg(pi/4) = a2*h.
Si nous prenons h=a dans cette expression, alors nous obtenons la formule du volume du cube.
Volume des prismes droits
Notons d'emblée que pour les figures droites il n'existe pas de formule générale de calcul du volume, qui a été donnée ci-dessus pour les prismes réguliers. Lors de la recherche de la valeur considérée, l'expression originale doit être utilisée :
Ici h est la longueur du bord latéral, comme dans le cas précédent. Quant à l'aire de base S o , elle peut prendre des valeurs très diverses. Le problème du calcul du volume d'un prisme droit se résume à trouver l'aire de sa base.
Le calcul de la valeur de S o doit être effectué sur la base des caractéristiques de la base elle-même. Par exemple, s’il s’agit d’un triangle, alors l’aire peut être calculée comme ceci :
Ici h a est l'apothème du triangle, c'est-à-dire sa hauteur abaissée jusqu'à la base a.
Si la base est un quadrilatère, alors elle peut être un trapèze, un parallélogramme, un rectangle ou un type complètement arbitraire. Pour tous ces cas, vous devez utiliser la formule planimétrique appropriée pour déterminer la superficie. Par exemple, pour un trapèze, cette formule ressemble à :
S o4 = 1/2*(a 1 + a 2)*h a .
Où h a est la hauteur du trapèze, a 1 et a 2 sont les longueurs de ses côtés parallèles.
Pour déterminer l'aire des polygones d'ordre supérieur, vous devez les diviser en figures simples (triangles, quadrangles) et calculer la somme des aires de ces dernières.
Volume des prismes inclinés
C’est le cas le plus difficile du calcul du volume d’un prisme. La formule générale de ces chiffres s'applique également :
Cependant, à la difficulté de trouver l'aire de la base représentant un polygone de tout type s'ajoute le problème de la détermination de la hauteur de la figure. Dans un prisme incliné, elle est toujours inférieure à la longueur du bord latéral.
Le moyen le plus simple de trouver cette hauteur est de connaître un angle de la figure (plat ou dièdre). Si un tel angle est donné, vous devez alors l'utiliser pour construire un triangle rectangle à l'intérieur du prisme, qui contiendrait la hauteur h comme l'un des côtés et, en utilisant les fonctions trigonométriques et le théorème de Pythagore, trouver la valeur de h.
Problème géométrique pour déterminer le volume
Étant donné un prisme régulier à base triangulaire, ayant une hauteur de 14 cm et une longueur de côté de 5 cm, quel est le volume d'un prisme triangulaire ?
Puisqu'il s'agit du chiffre correct, nous avons le droit d'utiliser la formule bien connue. Nous avons:
V 3 = 3/4*a2*h*ctg(pi/3) = 3/4*52*14*1/√3 = √3/4*25*14 = 151,55 cm3.
Un prisme triangulaire est une figure assez symétrique dont la forme est souvent utilisée dans diverses structures architecturales. Ce prisme de verre est utilisé en optique.
Le concept de prisme. Formules pour le volume de prismes de différents types : réguliers, droits et obliques. Résoudre le problème - tout sur le déplacement sur le site
Dont les deux faces sont des polygones congrus situés dans plans parallèles, et les faces restantes sont des parallélogrammes qui ont des côtés communs avec ces polygones. Ces parallélogrammes sont appelés les faces latérales du prisme et les deux polygones restants sont appelés ses bases.
Un prisme est un cas particulier de cylindre. Un parallélépipède est un cas particulier de prisme.
Un prisme a les propriétés suivantes :
Toute section d'un prisme par un plan parallèle à sa base divise ce prisme en deux prismes de telle sorte que le rapport des surfaces latérales et le rapport des volumes de ces prismes soit égal au rapport des longueurs de leurs bords latéraux. Toute section d'un prisme par un plan parallèle à son bord latéral divise ce prisme en deux prismes de telle sorte que le rapport des volumes de ces prismes est égal au rapport des longueurs de leurs bords latéraux. Toute section d'un prisme par un plan parallèle à son bord latéral divise ce prisme en deux prismes de telle sorte que le rapport des volumes de ces prismes soit égal au rapport des aires de leur base.
Types de prismes
Prisme droit. Nervures latérales d'un prisme droit perpendiculaire au plan terrains.
Prisme oblique. Les bords latéraux du prisme incliné sont situés par rapport au plan de base selon un angle différent de $90^\circ$.
Prisme correct. La base d'un prisme droit est un polygone régulier. Ses faces latérales sont des rectangles égaux.
Un polyèdre semi-régulier est un prisme régulier dont les faces latérales sont des carrés.
Volume d'un prisme droit
Pour dériver une formule permettant de calculer le volume d’un prisme régulier, prenons un prisme avec un triangle à sa base. Construisons-le en un parallélépipède rectangle (Figure 1).
Figure 1. Tétraèdre étendu à un parallélépipède
Du chapitre précédent nous savons que le volume d’un parallélépipède rectangle est égal à :
Parce que le parallélépipède résultant est constitué du prisme d'origine et d'un prisme de volume égal, alors le volume du prisme d'origine sera égal à
où $a$, $b$, $c$ sont respectivement les longueurs des côtés $AB$, $BC$, $AC$, et leur produit est égal à l'aire de la base du prisme d'origine, puis on écrit sous forme générale la formule pour trouver le volume d'un prisme droit :
où $S_(main)$ est l'aire de la base du prisme, $H$ est la hauteur tirée jusqu'à la base du prisme.
Cette formule est vraie pour un prisme droit ayant n’importe quel polygone à sa base.
Volume d'un prisme incliné
Pour dériver la formule permettant de trouver le volume d'un prisme incliné, considérons un prisme incliné triangulaire $ABCDFE$. Traçons un plan $\alpha $ passant par l'arête $DC$, perpendiculaire à la base $ABCD$ du prisme d'origine, et construisons un prisme tronqué triangulaire (Figure 2).
Figure 2. Prisme incliné, plan $\alpha $
Maintenant, à travers l'arête $AB$, nous dessinons un plan $\beta $ parallèle au plan $\alpha $ (Figure 3).
Figure 3. Prisme incliné, plans $\alpha $ et $\beta $
Si on applique à nouveau cette transformation aux faces inclinées, on obtiendra un prisme dont toutes les faces latérales sont perpendiculaires à la base. Une fois de plus, le résultat est un prisme droit.
S'il est soumis à une transformation similaire (d'abord complété par le premier prisme tronqué, puis coupé par le deuxième prisme tronqué), alors les prismes terminés et coupés sont combinés par transfert parallèle vers segment$AB$. Il s'ensuit que les chiffres ont le même volume.
Par conséquent, le volume du prisme droit construit est égal au volume du prisme incliné d’origine.
Le volume d'un prisme incliné est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur :
Conclusion
Le volume de tout prisme (oblique et droit) est trouvé par la formule :
où $a\cdot b$ est l'aire de la base, $c$ est la hauteur du prisme.
Définition du prisme :
А1А2…АnВ1В2Вn– prisme
Polygones A1A2…An et B1B2…Bn – base de prisme
Parallélogrammes А1А2В2В1, А1А2В2В1,… АnА1В1Вn – faces latérales
Sections A1B1, A2B2…АnBn – nervures latérales du prisme
Types de prismes
Prisme hexagonal triangulaire quadrangulaire prisme prisme
Prisme oblique et droit
Si les bords latéraux d'un prisme sont perpendiculaires aux bases, alors le prisme est appelé direct , sinon - incliné .
Prisme correct
Le prisme s'appelle correct , s'il est droit et que ses bases sont des polygones réguliers.
Surface totale du prisme
Surface latérale du prisme
Théorème
La surface latérale d'un prisme droit est égale à la moitié du produit du périmètre de la base et de la hauteur du prisme.
Volume d'un prisme incliné
Théorème
Le volume d'un prisme incliné est égal au produit de l'aire de la base et de la hauteur.
Preuve
Preuve
Démontrons d'abord le théorème pour un prisme triangulaire, puis pour un prisme arbitraire.
1. Considérons un prisme triangulaire de volume V, d'aire de base S et de hauteur h. Marquons le point O sur l'une des bases du prisme et dirigeons l'axe Ox perpendiculairement aux bases. Considérons la section transversale d'un prisme par un plan perpendiculaire à l'axe Ox et donc parallèle au plan de la base. Notons par la lettre x l'abscisse du point d'intersection de ce plan avec l'axe Ox, et par S (x) l'aire de la section résultante.
Montrons que l'aire S (x) est égale à l'aire S de la base du prisme. Pour ce faire, notez que les triangles ABC (la base du prisme) et A1B1C1 (la section transversale du prisme par le plan considéré) sont égaux. En fait, le quadrilatère AA1BB1 est un parallélogramme (les segments AA1 et BB1 sont égaux et parallèles), donc A1B1 = AB. De même, il est prouvé que B1C1 = BC et A1C1 = AC. Ainsi, les triangles A1B1C1 et ABC sont égaux sur trois côtés. Par conséquent, S(x)=S. En appliquant maintenant la formule de base pour calculer les volumes des corps à a=0 et b=h, nous obtenons
2. h h h, S Merde. Le théorème a été prouvé.
2. Démontrons maintenant le théorème pour un prisme arbitraire de hauteur h et surface de base S. Un tel prisme peut être divisé en prismes triangulaires d'une hauteur totale h. Exprimons le volume de chaque prisme triangulaire en utilisant la formule que nous avons prouvée et ajoutons ces volumes. Sortir le facteur commun des parenthèses h, on obtient entre parenthèses la somme des aires des bases des prismes triangulaires, soit l'aire S bases du prisme original. Ainsi, le volume du prisme original est égal à Merde. Le théorème a été prouvé.
