La technologie moderne crée des programmes informatiques étonnants. Ils vous permettent de voir les corps en volume et de les faire pivoter dans différentes directions pour avoir une meilleure vue. L’imagination humaine n’en est pas toujours capable. Peu de gens peuvent imaginer clairement un objet et le voir comme à travers lui. Mais vous pouvez essayer de développer une telle compétence en résolvant des problèmes de géométrie. Par exemple, ceux qui expliquent comment trouver le volume d’un cube. C'est une excellente pratique pour développer l'imagination spatiale.
Cube ou parallélépipède ?
Ce n’est pas une question vide de sens. Parce que la classification est importante. Après tout, un cube est une forme particulière de parallélépipède rectangle.
Cette dernière est une figure à 6 faces, toutes rectangulaires. Les angles auxquels toutes les arêtes se croisent sont de 90º. En conséquence, si ces faces deviennent des carrés, alors la figure entière sera transformée en cube.
Pour un parallélépipède rectangle, toutes les dimensions linéaires, c'est-à-dire la hauteur, la longueur et la largeur, peuvent différer considérablement. Dans un cube, ils sont toujours égaux. C'est sa particularité. Par conséquent, dans les problèmes qui nécessitent de trouver le volume d'un cube, le moment considéré est certainement pris en compte. À propos, cela simplifie considérablement toutes les notations et calculs mathématiques.
Conventions dans les formules et les problèmes
Sans ce point, il sera difficile de comprendre comment les formules sont écrites. Le tableau suivant vous indiquera ce que signifie chaque lettre et symbole.
Comment retrouver les éléments d’un cube à ses côtés ?
Le visage de la figure étant un carré, son aire est déterminée par la formule n°1, dans laquelle une valeur connue doit être au carré :
UN diagonale de n'importe quelle face est calculé à l'aide de la formule n°2, dans laquelle le côté est multiplié par la racine de 2 :
La formule précédente est obtenue à partir du théorème de Pythagore. Ceci est facile à comprendre si l’on voit que la diagonale d’un visage est l’hypoténuse d’un triangle rectangle. Et ses pattes deviennent les côtés du carré.
Pour déterminer vous aurez besoin de la formule n°3 suivante, contenant le côté connu et la racine carrée de 3 :
Cela vient aussi du théorème de Pythagore. Seule la diagonale souhaitée fait office d’hypoténuse. Les côtés du carré et sa diagonale deviennent les côtés.
Parfois, il faut connaître la formule pour calculer surface latérale ce chiffre. Dans celui-ci, le carré du côté est multiplié par 4. Le voici (n°4) :
Il n’est pas difficile de comprendre comment on obtient cette formule. Il y a 4 faces latérales, ce qui signifie que leur superficie totale est quatre fois supérieure à celle d'un carré.
Si vous devez déterminer superficie totale, utilisez alors cette notation, dans laquelle le carré de l'arête est hexagonal (formule n°5) :
Elle s'obtient de la même manière que la formule précédente, seul le nombre de carrés est passé à 6.
Qu'est-ce que le volume ?
En termes simples, c'est la place qu'occupe tout corps dans l'espace. Tout objet est limité dans l'espace par des surfaces. Il peut y en avoir plusieurs, mais il peut y avoir des cas où il n'y en a qu'un. Par exemple, si le corps est une balle. Mais ces surfaces sont nécessairement fermées. L'espace qu'occupe un corps géométrique sera sa capacité, ou son volume.
Unités de volume
Lorsqu’il s’agit de solides, les unités de volume seront toujours des quantités cubiques. Par exemple, mètre, centimètre ou kilomètre cube. Pour les liquides, on utilise des litres, exprimés en décimètres cubes. Mais s'ils occupent de très gros volumes, alors ils sont également mesurés en mètres cubes. Par exemple, lors de la comptabilisation de la consommation d'eau dans un appartement, elle est calculée en m3. Cela le rend plus pratique et plus simple en termes numériques.
Méthode 1 : connaître le volume d'un cube si le côté est connu
C'est la méthode la plus simple qui vous dira comment trouver le volume d'un cube. Elle consiste simplement à élever la valeur du camp à la troisième puissance. En d’autres termes, vous devez multiplier le côté par lui-même trois fois. Par analogie avec un parallélépipède rectangle arbitraire, lorsqu'il fallait multiplier toutes ses dimensions linéaires. La formule s'écrira ainsi (n°6) :
Méthode 2 : l'aire de toute la surface est connue
Dans ce cas, vous devrez diviser la valeur connue par 6. Prenez la racine carrée de la réponse intermédiaire et cubez le nombre. Si nous écrivons cela sous forme de formule, nous obtenons ce qui suit (n° 7) :
Méthode 3 : la diagonale de la face du cube est donnée
Afin de savoir comment calculer le volume d'un cube, dans ce cas, vous devez suivre ces étapes. Commencez par diviser la valeur connue au cube, puis multipliez-la par la racine carrée de 2 et divisez par 4. La formule de ce problème (n° 8) :
Cette équation s'obtient de cette manière : la diagonale connue doit être divisée par la racine de deux. Ensuite, augmentez le nombre à la puissance trois. Après avoir effectué les transformations, le cube de la diagonale est obtenu au numérateur, et 2√2 au dénominateur. Les mathématiques exigent qu’il n’y ait aucun nombre irrationnel en dessous de la ligne. On l’élimine donc en multipliant par √2. Ensuite, √2 apparaît au numérateur et 4 apparaît au dénominateur.
Méthode 4 : diagonale du cube
La formule qui vous dira comment trouver le volume d'un cube contiendra les étapes suivantes : mettre la diagonale au carré, la multiplier par la racine de 3 et diviser le total par 9. Elle s'écrira ainsi (n°9) :
Semblable à la formule précédente, dans cette entrée, la diagonale est d’abord divisée par la racine de trois et coupée au cube. Après les transformations, l'irrationalité apparaît également au dénominateur, ce qu'il faut éviter. Ainsi, la valeur √3 apparaît au numérateur et 9 apparaît en dessous de la ligne.
Exemples de tâches
Première tâche.Étant donné un cube d'une arête de 12 cm, calculez son volume et exprimez la réponse en mètres carrés.
Dans cette tâche, il sera plus difficile de convertir la réponse dans d’autres unités que de décider comment trouver le volume d’un cube. Pour terminer la première partie de la tâche, vous aurez besoin de la formule écrite sous le numéro 6. Après avoir divisé le nombre 12 au cube, la réponse est 1728 cm 3. Nous devons maintenant nous rappeler comment les convertir en mètres cubes. Pour cela, la réponse doit être divisée par 100 trois fois. Une centaine vient du fait qu’il y a exactement cent centimètres dans un mètre. Et la division est effectuée trois fois, car les unités de la tâche sont cubiques. Donc 1728 divisé par 100 donne 17,28. Après la deuxième division, vous obtenez 0,1728. La troisième action donnera la réponse 0,001728 m 3. C'est la réponse au problème : le volume du cube est de 0,001728 m 3 .
Tâche deux. Il existe un cube dont la surface totale est égale à 600 dm 2. Trouvez le volume de la figure et exprimez-le en mètres cubes.
Pour répondre à la question de cette tâche, vous aurez besoin de la formule numéro 7. La première étape consiste à diviser le nombre connu par 6. La réponse est 100. Il est facile d'en extraire la racine carrée, elle sera égale à 10. Maintenant, les dix doivent être coupés au cube. Il s'avère que la valeur souhaitée est de 1000 dm 3. Reste à le convertir en m3. Comme dans le problème précédent, la division sera effectuée trois fois, seul le diviseur sera 10. Parce qu'il y a dix décimètres dans un mètre. Après division, le résultat est égal à 1 m 3. Réponse : le volume est de 1 m 3.
Troisième tâche.Étant donné un cube dont la longueur diagonale de sa face est égale à √2 mm. Nous devons calculer le volume.
La huitième formule vous aidera à trouver la réponse à ce problème. La première étape consiste à cuber une quantité connue. La racine carrée de 2 à la puissance trois donne la valeur 2√2. Après avoir multiplié par √2, le nombre 4 est obtenu. La dernière étape consiste à le diviser par 4. Réponse : le volume du cube est de 1 mm 3.
Tâche quatre. On sait que la diagonale d’un cube est de 3 m. Il faut calculer son volume.
Il sera facile de trouver la réponse à ce problème en utilisant la formule numéro 9. La valeur donnée dans la condition doit être divisée en cubes. Le résultat est 27. Après l'avoir divisé par 9, la réponse devient 3. Et la dernière étape consiste à le multiplier par la racine carrée de 3. La réponse au problème sera 3√3 m 3.
Le cube est une figure étonnante. C'est pareil de tous côtés. N'importe laquelle de ses faces peut instantanément devenir une base ou un côté. Et rien ne changera. Et les formules sont toujours faciles à retenir. Et peu importe ce que vous devez trouver - le volume ou la surface du cube. Dans ce dernier cas, vous n’avez même pas besoin d’apprendre quelque chose de nouveau. Il suffit de retenir uniquement la formule de l'aire d'un carré.
Qu’est-ce que la superficie ?
Cette valeur est généralement désignée par la lettre latine S. De plus, cela est vrai pour les matières scolaires telles que la physique et les mathématiques. Elle est mesurée en unités carrées de longueur. Tout dépend des quantités données dans le problème. Ceux-ci peuvent être en mm, cm, m ou km carré. De plus, il peut y avoir des cas où les unités ne sont même pas indiquées. Nous parlons simplement de l’expression numérique d’une zone sans nom.
Alors, qu’est-ce que la superficie ? Il s'agit d'une grandeur qui est une caractéristique numérique de la figure ou du corps volumétrique en question. Il montre la taille de sa surface, limitée par les côtés de la figure.
Quelle forme s'appelle un cube ?
Cette figure est un polyèdre. Et pas facile. C'est correct, c'est-à-dire que tous ses éléments sont égaux les uns aux autres. Que ce soit les côtés ou les bords. Chaque surface du cube est un carré.
Un autre nom pour un cube est un hexaèdre régulier, ou en russe, un hexagone. Il peut être formé d'un prisme quadrangulaire ou d'un parallélépipède. À condition que tous les bords soient égaux et que les angles forment 90 degrés.
Cette figure est si harmonieuse qu'elle est souvent utilisée dans la vie de tous les jours. Par exemple, les premiers jouets d’un bébé sont des blocs. Et le Rubik's Cube est amusant pour les plus grands.
Comment le cube est-il lié aux autres formes et corps ?
Si vous dessinez une section d’un cube qui passe par ses trois faces, elle ressemblera à un triangle. À mesure que vous vous éloignez du haut, la section transversale deviendra plus grande. Le moment viendra où 4 faces se croiseront, et la figure en coupe deviendra un quadrilatère. Si vous tracez une section passant par le centre du cube de manière à ce qu'elle soit perpendiculaire à ses diagonales principales, vous obtiendrez un hexagone régulier.
À l’intérieur du cube, vous pouvez dessiner un tétraèdre (pyramide triangulaire). L'un de ses coins est pris comme sommet du tétraèdre. Les trois autres coïncideront avec les sommets situés aux extrémités opposées des arêtes du coin sélectionné du cube.
Vous pouvez y insérer un octaèdre (un polyèdre régulier convexe qui ressemble à deux pyramides reliées). Pour ce faire, vous devez trouver les centres de toutes les faces du cube. Ce seront les sommets de l'octaèdre.
L’opération inverse est également possible, c’est-à-dire qu’il est effectivement possible d’insérer un cube à l’intérieur de l’octaèdre. Ce n'est que maintenant que les centres des faces du premier deviendront les sommets du second.
Méthode 1 : Calculer l'aire d'un cube en fonction de son arête
Afin de calculer la surface totale d'un cube, vous aurez besoin de connaître l'un de ses éléments. La façon la plus simple de le résoudre est de connaître son bord ou, en d’autres termes, le côté du carré qui le compose. Habituellement, cette valeur est désignée par la lettre latine « a ».
Vous devez maintenant vous rappeler la formule qui calcule l'aire d'un carré. Pour éviter toute confusion, sa désignation est introduite par la lettre S 1.
Pour plus de commodité, il est préférable d'attribuer des numéros à toutes les formules. Celui-ci sera le premier.
Mais c'est l'aire d'un seul carré. Il y en a six au total : 4 sur les côtés et 2 en bas et en haut. Ensuite, la surface du cube est calculée à l'aide de la formule suivante : S = 6 * a 2. Son numéro est le 2.
Méthode 2 : comment calculer l'aire si le volume du corps est connu
A partir de l'expression mathématique du volume d'un hexaèdre, on peut l'utiliser pour calculer la longueur de l'arête. C'est ici:
La numérotation continue, et ici il y a déjà le chiffre 3.
Il peut maintenant être calculé et remplacé dans la deuxième formule. Si vous suivez les règles mathématiques, vous devez dériver l'expression suivante :
Il s'agit d'une formule pour l'aire de toute la surface d'un cube, qui peut être utilisée si le volume est connu. Ce numéro d'entrée est le 4.
Méthode 3 : Calculer l'aire diagonale d'un cube
Il s'agit de la formule n°5.
Il est facile d'en déduire une expression pour l'arête d'un cube :
C'est la sixième formule. Après l'avoir calculé, vous pouvez à nouveau utiliser la formule sous le deuxième nombre. Mais il vaut mieux l'écrire ainsi :
Il s'avère qu'il s'agit du numéro 7. Si vous regardez attentivement, vous remarquerez que la dernière formule est plus pratique qu'un calcul étape par étape.
Méthode 4 : Comment utiliser le rayon d'un cercle inscrit ou circonscrit pour calculer l'aire d'un cube
Si l'on note le rayon du cercle circonscrit à l'hexaèdre par la lettre R, alors la surface du cube sera facile à calculer à l'aide de la formule suivante :
Son numéro de série est 8. Il s'obtient facilement du fait que le diamètre du cercle coïncide complètement avec la diagonale principale.
En désignant le rayon du cercle inscrit par la lettre latine r, on peut obtenir la formule suivante pour l'aire de toute la surface de l'hexaèdre :
Il s'agit de la formule n°9.
Quelques mots sur la surface latérale de l'hexaèdre
Si le problème nécessite de trouver l'aire de la surface latérale d'un cube, vous devez alors utiliser la technique déjà décrite ci-dessus. Lorsque le bord du corps a déjà été donné, il suffit alors de multiplier l'aire du carré par 4. Ce chiffre est dû au fait que le cube n'a que 4 faces latérales. La notation mathématique de cette expression est. comme suit:
Son numéro est 10. Si d'autres quantités sont indiquées, procédez de la même manière que les méthodes décrites ci-dessus.
Exemples de problèmes
Etat du premier. La surface du cube est connue. Elle est égale à 200 cm². Il faut calculer la diagonale principale du cube.
1 façon. Vous devez utiliser la formule indiquée par le chiffre 2. Il ne sera pas difficile d'en déduire « a ». Cette notation mathématique ressemblera à la racine carrée du quotient égal à S sur 6. Après avoir substitué les nombres, on obtient :
une = √ (200/6) = √ (100/3) = 10 √3 (cm).
La cinquième formule permet de calculer immédiatement la diagonale principale du cube. Pour ce faire, vous devez multiplier la valeur du bord par √3. C'est simple. La réponse s'avère que la diagonale est de 10 cm.
Méthode 2. Au cas où vous auriez oublié la formule de la diagonale, rappelez-vous le théorème de Pythagore.
De la même manière que dans la première méthode, trouvez le bord. Ensuite, vous devez écrire deux fois le théorème de l'hypoténuse : la première pour le triangle sur le visage, la seconde pour celui qui contient la diagonale souhaitée.
x² = a² + a², où x est la diagonale du carré.
d² = x² + a² = a² + a² + a² = 3 a². À partir de cette entrée, il est facile de voir comment la formule de la diagonale est obtenue. Et puis tous les calculs seront les mêmes que dans la première méthode. C'est un peu plus long, mais permet non pas de mémoriser la formule, mais de l'obtenir soi-même.
Réponse : La diagonale d'un cube est de 10 cm.
Deuxième condition. En utilisant la surface connue, qui est de 54 cm2, calculez le volume du cube.
En utilisant la formule sous le deuxième nombre, vous devez connaître la valeur du bord du cube. La manière dont cela est réalisé est décrite en détail dans la première méthode de résolution du problème précédent. Après avoir effectué tous les calculs, on trouve que a = 3 cm.
Vous devez maintenant utiliser la formule du volume d'un cube, dans laquelle la longueur de l'arête est élevée à la puissance trois. Cela signifie que le volume sera calculé comme suit : V = 3 3 = 27 cm 3.
Réponse : le volume du cube est de 27 cm3.
Troisième condition. Vous devez trouver une arête du cube pour laquelle la condition suivante est satisfaite. Lorsqu'une arête augmente de 9 unités, la superficie de la surface entière augmente de 594.
Puisqu'aucun nombre explicite n'est donné dans le problème, seule la différence entre ce qui était et ce qui est devenu, une notation supplémentaire doit être introduite. Ce n'est pas difficile. Soit la valeur souhaitée égale à « a ». Alors le bord agrandi du cube sera égal à (a + 9).
Sachant cela, vous devez écrire deux fois la formule de la surface d'un cube. La première - pour la valeur initiale de l'arête - coïncidera avec celle numérotée 2. La seconde sera légèrement différente. Dans celui-ci, au lieu de « a », vous devez écrire la somme (a + 9). Puisque le problème concerne la différence de zones, vous devez soustraire la plus petite de la plus grande zone :
6 * (a + 9) 2 - 6 * a 2 = 594.
Des transformations doivent être opérées. Tout d’abord, retirez le 6 du côté gauche de l’équation entre parenthèses, puis simplifiez ce qui reste entre parenthèses. A savoir (a + 9) 2 - a 2. La différence des carrés s'écrit ici, qui peut être transformée comme suit : (a + 9 - a)(a + 9 + a). Après avoir simplifié l'expression, on obtient 9(2a + 9).
Il faut maintenant le multiplier par 6, c'est-à-dire le nombre qui se trouvait avant la parenthèse, et équivaloir à 594 : 54(2a + 9) = 594. Il s'agit d'une équation linéaire à une inconnue. C'est facile à résoudre. Vous devez d'abord ouvrir les parenthèses, puis déplacer le terme avec une valeur inconnue vers la gauche de l'égalité et les nombres vers la droite. L'équation résultante est : 2a = 2. Il en ressort clairement que la valeur souhaitée est égale à 1.
Méthode 1 sur 3 : Cuber le bord d'un cube
- Trouvez la longueur d'une arête du cube. En règle générale, la longueur d’une arête de cube est indiquée dans l’énoncé du problème. Si tu
calculez le volume d'un objet cubique réel, mesurez son bord avec une règle ou un ruban à mesurer.
Considérons exemple. Le bord du cube mesure 5 cm. Trouvez le volume du cube.
Cube la longueur du bord du cube. En d’autres termes, multipliez par trois la longueur de l’arête du cube.
Si s est la longueur du bord du cube, alors
et ainsi tu calculeras volume cubique.
Ce processus est similaire au processus de recherche surface de base du cube(égal à travail longueur par
largeur carréà la base), puis en multipliant l'aire de la base par la hauteur du cube (c'est-à-dire
autrement dit, vous multipliez la longueur par la largeur par la hauteur). Puisque dans un cube la longueur d’une arête est égale à la largeur et
égale à la hauteur, alors ce processus peut être remplacé en élevant le bord du cube à la troisième puissance.
Dans notre exemple volume cubiqueégal à :
- Ajoutez des unités de volume à votre réponse. Puisque le volume est un quantitatif
caractéristique de l'espace occupé par un corps, alors les unités de mesure de volume sont cubiques
unités ( centimètres cubes , mètres cubes etc.).
Dans notre exemple, la taille du bord du cube a été donnée en centimètres, le volume sera donc mesuré en cube.
centimètres (ou cm 3). Le volume du cube est donc de 125 cm3.
Si la taille de l'arête d'un cube est donnée dans d'autres unités, alors le volume du cube est mesuré dans la valeur correspondante.
unités cubes.
Par exemple, si le bord d'un cube mesure 5 m (et non 5 cm), alors son volume est de 125 m 3.
Méthode 2 sur 3 : Calculer le volume à partir de la surface
- Dans certains problèmes, la longueur du bord du cube n'est pas donnée, mais d'autres quantités sont données à l'aide desquelles vous
vous pouvez trouver le bord du cube et son volume. Par exemple, si on vous donne la surface d'un cube, divisez
par 6, prenez la racine carrée de la valeur obtenue et vous trouverez la longueur du bord du cube. Alors
Élevez la longueur du bord du cube à la puissance trois et calculez le volume du cube.
Superficie d'un cubeégal à 6s 2,
Où s - longueur du bord du cube(c'est-à-dire que vous trouvez l'aire d'une face du cube puis la multipliez par 6, donc
comme un cube a 6 côtés égaux).
Considérons exemple. La surface du cube est de 50 cm2. Trouvez le volume du cube.
- Divisez la surface du cube par 6 (puisque le cube a 6 côtés égaux, vous obtenez l'aire
une face du cube). À son tour, l'aire d'une face du cube est égale à s 2, Où s- longueur du bord du cube.
Dans notre exemple : 50/6 = 8,33 cm 2 (rappelez-vous que la surface est mesurée en unités carrées - cm 2,
m2, etc.).
- Puisque l'aire d'une face d'un cube est s 2, puis prenez la racine carrée de la valeur de l'aire
une face et obtenez la longueur du bord du cube.
Dans notre exemple, √8,33 = 2,89 cm.
- Cubez la valeur résultante pour trouver le volume du cube.
Dans notre exemple : 2,89 * 2,89 * 2,89 = 2,893 = 24,14 cm3. N'oubliez pas d'ajouter du cube à votre réponse.
unités.
Méthode 3 sur 3: calculer le volume en diagonale
- Divisez la diagonale de l'une des faces du cube par √2 pour trouver la longueur du bord du cube. Ainsi,
si le problème est donné la diagonale d'une face (n'importe laquelle) d'un cube, alors vous pouvez trouver la longueur du bord du cube en divisant
diagonale par √2.
Considérons exemple. La diagonale de la face du cube est de 7 cm. Trouvez le volume du cube. Dans ce cas, la longueur du bord du cube
égal à 7/√2 = 4,96 cm Le volume du cube est 4,963 = 122,36 cm 3.
Souviens-toi: d2 = 2s2,
Où d- diagonale de la face du cube, s - bord du cube. Cette formule découle de Théorème de Pythagore, selon
qui est le carré de l'hypoténuse (dans notre cas, la diagonale de la face du cube) triangle rectangle est égal
la somme des carrés des pattes (dans notre cas, les arêtes), soit :
d 2 = s 2 + s 2 = 2s 2.
- Divisez la diagonale du cube par √3 pour trouver la longueur du bord du cube. Ainsi, si dans le problème
étant donné la diagonale d'un cube, vous pouvez alors trouver la longueur du bord du cube en divisant la diagonale par √3.
Diagonale d'un cube- un segment reliant deux sommets symétriques par rapport au centre du cube, égal à
D2 = 3s2
(Où D- diagonale du cube, s- bord d'un cube).
Cette formule découle de Théorème de Pythagore, selon lequel le carré de l'hypoténuse (dans notre cas
la diagonale du cube) d'un triangle rectangle est égale à la somme des carrés des pattes (dans notre cas, une branche est
c'est une arête, et la deuxième branche est la diagonale de la face du cube, égale à 2s 2), c'est
D 2 = s 2 + 2s 2 = 3s 2.
Considérons exemple. La diagonale du cube est de 10 m. Trouvez le volume du cube.
D2 = 3s2
10 2 = 3 s 2
100 = 3s 2
33,33 = s 2
5,77 m = s
Le volume du cube est de 5,773 = 192,45 m3.
