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Pyramide. Pyramide tronquée

Pyramide est un polyèdre dont l'une des faces est un polygone ( base ), et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun ( faces latérales ) (Fig.15). La pyramide s'appelle correct , si sa base est un polygone régulier et que le sommet de la pyramide est projeté au centre de la base (Fig. 16). Une pyramide triangulaire dont toutes les arêtes sont égales s’appelle tétraèdre .

Côte latérale d'une pyramide est le côté de la face latérale qui n'appartient pas à la base Hauteur la pyramide est la distance entre son sommet et le plan de la base. Toutes les arêtes latérales d'une pyramide régulière sont égales les unes aux autres, toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. La hauteur de la face latérale d'une pyramide régulière tirée du sommet est appelée apothème . Section diagonale s'appelle une section d'une pyramide par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Surface latérale la pyramide est la somme des aires de toutes les faces latérales. Superficie totale est appelée la somme des aires de toutes les faces latérales et de la base.

Théorèmes

1. Si dans une pyramide tous les bords latéraux sont également inclinés par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre du cercle circonscrit près de la base.

2. Si tous les bords latéraux d’une pyramide ont des longueurs égales, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d’un cercle circonscrit près de la base.

3. Si toutes les faces d'une pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet de la pyramide est projeté au centre d'un cercle inscrit dans la base.

Pour calculer le volume d’une pyramide arbitraire, la formule correcte est :

Où V- volume;

Socle S– la superficie de base ;

H– hauteur de la pyramide.

Pour une pyramide régulière, les formules suivantes sont correctes :

Où p– périmètre de base ;

ha un– l'apothème ;

H- hauteur;

S plein

Côté S

Socle S– la superficie de base ;

V– volume d'une pyramide régulière.

Pyramide tronquée appelée partie de la pyramide comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide (Fig. 17). Pyramide tronquée régulière appelée partie d'une pyramide régulière comprise entre la base et un plan coupant parallèle à la base de la pyramide.

Raisons pyramide tronquée - polygones similaires. Faces latérales – les trapèzes. Hauteur d’une pyramide tronquée est la distance entre ses bases. Diagonale une pyramide tronquée est un segment reliant ses sommets qui ne se trouvent pas sur la même face. Section diagonale est une section d'une pyramide tronquée par un plan passant par deux arêtes latérales n'appartenant pas à la même face.

Pour une pyramide tronquée, les formules suivantes sont valables :

(4)

Où S 1 , S 2 – zones des bases supérieures et inférieures ;

S plein– superficie totale ;

Côté S– surface latérale ;

H- hauteur;

V– volume d’une pyramide tronquée.

Pour une pyramide tronquée régulière, la formule est correcte :

Où p 1 , p 2 – périmètres des bases ;

ha un- apothème d'une pyramide tronquée régulière.

Exemple 1. Dans une pyramide triangulaire régulière, l'angle dièdre à la base est de 60º. Trouvez la tangente de l'angle d'inclinaison du bord latéral au plan de la base.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 18).

La pyramide est régulière, ce qui signifie qu'à la base il y a un triangle équilatéral et que toutes les faces latérales sont des triangles isocèles égaux. L'angle dièdre à la base est l'angle d'inclinaison de la face latérale de la pyramide par rapport au plan de la base. L'angle linéaire est l'angle un entre deux perpendiculaires : etc. Le sommet de la pyramide est projeté au centre du triangle (le centre du cercle circonscrit et le cercle inscrit du triangle abc). L'angle d'inclinaison du bord latéral (par exemple S.B.) est l'angle entre le bord lui-même et sa projection sur le plan de la base. Pour la côte S.B. cet angle sera l'angle SBD. Pour trouver la tangente, il faut connaître les jambes DONC Et O.B.. Laissez la longueur du segment BD est égal à 3 UN. Point À PROPOS segment BD est divisé en parties : et De on trouve DONC: De là on retrouve :

Répondre:

Exemple 2. Trouvez le volume d'une pyramide quadrangulaire tronquée régulière si les diagonales de ses bases sont égales à cm et cm et que sa hauteur est de 4 cm.

Solution. Pour trouver le volume d’une pyramide tronquée, on utilise la formule (4). Pour trouver l'aire des bases, vous devez trouver les côtés des carrés de base, connaissant leurs diagonales. Les côtés des bases sont respectivement égaux à 2 cm et 8 cm. Cela signifie les aires des bases et en remplaçant toutes les données dans la formule, nous calculons le volume de la pyramide tronquée :

Répondre: 112cm3.

Exemple 3. Trouvez l'aire de la face latérale d'une pyramide tronquée triangulaire régulière dont les côtés des bases mesurent 10 cm et 4 cm et la hauteur de la pyramide est de 2 cm.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 19).

La face latérale de cette pyramide est un trapèze isocèle. Pour calculer l'aire d'un trapèze, vous devez connaître la base et la hauteur. Les bases sont données selon la condition, seule la hauteur reste inconnue. Nous la trouverons d'où UN 1 E perpendiculaire à un point UN 1 sur le plan de la base inférieure, UN 1 D– perpendiculaire à UN 1 par CA. UN 1 E= 2 cm, puisque c'est la hauteur de la pyramide. Pour trouver DE Faisons un dessin supplémentaire montrant la vue de dessus (Fig. 20). Point À PROPOS– projection des centres des bases supérieure et inférieure. depuis (voir fig. 20) et d'autre part D'ACCORD– rayon inscrit dans le cercle et OM– rayon inscrit dans un cercle :

MK = DE.

D'après le théorème de Pythagore de

Zone du visage latéral :

Répondre:

Exemple 4. A la base de la pyramide se trouve un trapèze isocèle dont les bases UN Et b (un> b). Chaque face latérale forme un angle égal au plan de la base de la pyramide j. Trouvez la surface totale de la pyramide.

Solution. Faisons un dessin (Fig. 21). Superficie totale de la pyramide SABCDégal à la somme des aires et de l'aire du trapèze ABCD.

Utilisons l'affirmation selon laquelle si toutes les faces de la pyramide sont également inclinées par rapport au plan de la base, alors le sommet est projeté au centre du cercle inscrit dans la base. Point À PROPOS– projection du sommet Sà la base de la pyramide. Triangle GAZON est la projection orthogonale du triangle CDD au plan de la base. En utilisant le théorème sur l'aire de la projection orthogonale d'une figure plane, on obtient :

De même, cela signifie Ainsi, le problème se réduisait à trouver l'aire du trapèze ABCD. Dessinons un trapèze ABCD séparément (Fig. 22). Point À PROPOS– le centre d'un cercle inscrit dans un trapèze.

Puisqu’un cercle peut s’inscrire dans un trapèze, alors ou Du théorème de Pythagore nous avons

est un polyèdre formé par la base de la pyramide et une section parallèle à celle-ci. On peut dire qu’une pyramide tronquée est une pyramide dont le sommet est coupé. Cette figurine possède de nombreuses propriétés uniques :

• Les faces latérales de la pyramide sont des trapèzes ;
• Les bords latéraux d'une pyramide tronquée régulière sont de même longueur et inclinés par rapport à la base du même angle ;
• Les bases sont des polygones similaires ;
• Dans une pyramide tronquée régulière, les faces sont des trapèzes isocèles identiques, dont l'aire est égale. Ils sont également inclinés par rapport à la base selon un angle.

La formule de la surface latérale d'une pyramide tronquée est la somme des aires de ses côtés :

Puisque les côtés d'une pyramide tronquée sont des trapèzes, pour calculer les paramètres vous devrez utiliser la formule zone trapézoïdale. Pour une pyramide tronquée régulière, vous pouvez appliquer une formule différente pour calculer l'aire. Puisque tous ses côtés, faces et angles à la base sont égaux, il est possible d'appliquer les périmètres de la base et de l'apothème, et également de déduire l'aire à travers l'angle à la base.

Si, selon les conditions d'une pyramide tronquée régulière, l'apothème (hauteur du côté) et les longueurs des côtés de la base sont donnés, alors l'aire peut être calculée par le demi-produit de la somme des périmètres de les bases et l'apothème :

Regardons un exemple de calcul de la surface latérale d'une pyramide tronquée.
Étant donné une pyramide pentagonale régulière. Apothème je= 5 cm, la longueur du bord dans la grande base est un= 6 cm, et le bord est à la plus petite base b= 4 cm. Calculez l'aire de la pyramide tronquée.

Commençons par trouver les périmètres des bases. Puisqu’on nous donne une pyramide pentagonale, nous comprenons que les bases sont des pentagones. Cela signifie que les bases contiennent une figure avec cinq côtés identiques. Trouvons le périmètre de la plus grande base :

De la même manière on trouve le périmètre de la plus petite base :

Nous pouvons maintenant calculer l'aire d'une pyramide tronquée régulière. Remplacez les données dans la formule :

Ainsi, nous avons calculé l'aire d'une pyramide tronquée régulière à travers les périmètres et l'apothème.

Une autre façon de calculer la surface latérale d'une pyramide régulière est la formule à travers les angles à la base et l'aire de ces mêmes bases.

Regardons un exemple de calcul. On rappelle que cette formule s'applique uniquement à une pyramide tronquée régulière.

Soit une pyramide quadrangulaire régulière. Le bord de la base inférieure est a = 6 cm et le bord de la base supérieure est b = 4 cm. L'angle dièdre à la base est β = 60°. Trouvez l'aire latérale d'une pyramide tronquée régulière.

Tout d'abord, calculons l'aire des bases. Puisque la pyramide est régulière, tous les bords des bases sont égaux les uns aux autres. Considérant que la base est un quadrilatère, on comprend qu'il faudra calculer superficie de la place. C'est le produit de la largeur et de la longueur, mais au carré, ces valeurs sont les mêmes. Trouvons l'aire de la plus grande base :


Nous utilisons maintenant les valeurs trouvées pour calculer la surface latérale.

Connaissant quelques formules simples, nous avons facilement calculé l'aire du trapèze latéral d'une pyramide tronquée en utilisant différentes valeurs.

Un polyèdre dans lequel l'une de ses faces est un polygone et toutes les autres faces sont des triangles avec un sommet commun, est appelé une pyramide.

Ces triangles qui composent la pyramide sont appelés faces latérales, et le polygone restant est base pyramides.

À la base de la pyramide se trouve une figure géométrique – un n-gon. Dans ce cas, la pyramide est aussi appelée n-carbone.

Une pyramide triangulaire dont les arêtes sont toutes égales s’appelle tétraèdre.

Les arêtes de la pyramide qui n'appartiennent pas à la base sont appelées latéral, et leur point commun est sommet pyramides. Les autres bords de la pyramide sont généralement appelés parties à la base.

La pyramide s'appelle correct, s'il a un polygone régulier à sa base et que toutes les arêtes latérales sont égales les unes aux autres.

La distance entre le sommet de la pyramide et le plan de la base est appelée hauteur pyramides. On peut dire que la hauteur de la pyramide est un segment perpendiculaire à la base dont les extrémités se trouvent au sommet de la pyramide et sur le plan de la base.

Pour toute pyramide, les formules suivantes s'appliquent :

1) S complet = S côté + S principal, Où

S total – aire de la surface totale de la pyramide ;

Côté S – zone de la surface latérale, c'est-à-dire la somme des aires de toutes les faces latérales de la pyramide ;

S principal – zone de la base de la pyramide.

2) V = 1/3 S base N, Où

V est le volume de la pyramide ;

H – hauteur de la pyramide.

Pour pyramide régulière a lieu :

Côté S = 1/2 P h principal, Où

P principal – périmètre de la base de la pyramide ;

h est la longueur de l'apothème, c'est-à-dire la longueur de la hauteur de la face latérale abaissée depuis le sommet de la pyramide.

La partie de la pyramide enfermée entre deux plans - le plan de base et un plan de coupe parallèle à la base est appelée pyramide tronquée.

La base de la pyramide et la section de la pyramide par un plan parallèle sont appelées raisons pyramide tronquée. Les visages restants sont appelés latéral. La distance entre les plans des bases s'appelle hauteur pyramide tronquée. Les arêtes qui n'appartiennent pas aux bases sont appelées latéral.

De plus, la base de la pyramide tronquée des n-gons similaires. Si les bases d'une pyramide tronquée sont des polygones réguliers et que tous les bords latéraux sont égaux les uns aux autres, alors une telle pyramide tronquée est appelée correct.

Pour pyramide tronquée arbitraire les formules suivantes s'appliquent :

1) S plein = côté S + S 1 + S 2, Où

S total – superficie totale ;

Côté S – zone de la surface latérale, c'est-à-dire la somme des aires de toutes les faces latérales d'une pyramide tronquée, qui sont des trapèzes ;

S 1, S 2 – zones de base ;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H, Où

V est le volume de la pyramide tronquée ;

H – hauteur de la pyramide tronquée.

Pour pyramide tronquée régulière nous avons aussi :

Côté S = 1/2(P 1 + P 2) h, Où

P 1, P 2 – périmètres des bases ;

h – apothème (hauteur de la face latérale, qui est un trapèze).

Considérons plusieurs problèmes impliquant une pyramide tronquée.

Tâche 1.

Dans une pyramide tronquée triangulaire d'une hauteur égale à 10, les côtés d'une des bases sont 27, 29 et 52. Déterminez le volume de la pyramide tronquée si le périmètre de l'autre base est 72.

Solution.

Considérons la pyramide tronquée ABCA 1 B 1 C 1 représentée dans Graphique 1.

1. Le volume d'une pyramide tronquée peut être trouvé à l'aide de la formule

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), où S 1 est l'aire de l'une des bases, peut être trouvé à l'aide de la formule de Heron

S = √(p(p – une)(p – b)(p – c)),

parce que Le problème donne les longueurs des trois côtés d’un triangle.

On a : p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 27 25 2) = 270.

2. La pyramide est tronquée, ce qui signifie que des polygones similaires se trouvent à la base. Dans notre cas, le triangle ABC est similaire au triangle A 1 B 1 C 1. De plus, le coefficient de similarité peut être trouvé comme le rapport des périmètres des triangles considérés, et le rapport de leurs aires sera égal au carré du coefficient de similarité. Ainsi nous avons :

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. D'où S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Donc, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Réponse : 1900.

Tâche 2.

Dans une pyramide tronquée triangulaire, un plan est tracé passant par le côté de la base supérieure parallèlement au bord latéral opposé. Dans quel rapport le volume d'une pyramide tronquée est-il divisé si les côtés correspondants des bases sont dans le rapport 1:2 ?

Solution.

Considérons ABCA 1 B 1 C 1 - une pyramide tronquée illustrée dans riz. 2.

Puisque les côtés des bases sont dans le rapport 1:2, les aires des bases sont dans le rapport 1:4 (le triangle ABC est similaire au triangle A 1 B 1 C 1).

Alors le volume de la pyramide tronquée est :

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, où S 2 – surface de la base supérieure, h – hauteur.

Mais le volume du prisme ADEA 1 B 1 C 1 est V 1 = S 2 h et, donc,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Donc, V 2 : V 1 = 3 : 4.

Réponse : 3:4.

Tâche 3.

Les côtés des bases d'une pyramide tronquée quadrangulaire régulière sont égaux à 2 et 1, et la hauteur est 3. Un plan est tracé passant par le point d'intersection des diagonales de la pyramide, parallèle aux bases de la pyramide, divisant la pyramide en deux parties. Trouvez le volume de chacun d’eux.

Solution.

Considérons la pyramide tronquée ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 illustrée dans riz. 3.

Notons O 1 O 2 = x, alors OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Considérons le triangle B 1 O 2 D 1 et le triangle BO 2 D :

l'angle B 1 O 2 D 1 est égal à l'angle BO 2 D comme vertical ;

l'angle BDO 2 est égal à l'angle D 1 B 1 O 2 et l'angle O 2 ВD est égal à l'angle B 1 D 1 O 2 situé transversalement à B 1 D 1 || BD et sécantes B₁D et BD₁, respectivement.

Par conséquent, le triangle B 1 O 2 D 1 est similaire au triangle BO 2 D et le rapport des côtés est :

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 ou 1/2 = x/(x – 3), d'où x = 1.

Considérons le triangle B 1 D 1 B et le triangle LO 2 B : l'angle B est commun, et il existe également une paire d'angles unilatéraux en B 1 D 1 || LM, ce qui signifie que le triangle B 1 D 1 B est similaire au triangle LO 2 B, d'où B 1 D : LO 2 = OO 1 : OO 2 = 3 : 2, c'est-à-dire

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Alors S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Donc, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Réponse : 152/27 ; 37/27.

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