Semblable à l’inverse dans de nombreuses propriétés.

Propriétés d'une matrice inverse

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Où det (\displaystyle \\det ) désigne le déterminant.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) pour deux matrices carrées inversibles UNE (style d'affichage A) Et B (style d'affichage B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Où (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) désigne une matrice transposée.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) pour tout coefficient k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \E^(-1)=E).
• S'il est nécessaire de résoudre un système d'équations linéaires, (b est un vecteur non nul) où x (style d'affichage x) est le vecteur recherché, et si UNE − 1 (\displaystyle A^(-1)) existe, alors x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). Sinon, soit la dimension de l’espace des solutions est supérieure à zéro, soit il n’y a aucune solution.

Vidéo sur le sujet

Méthodes pour trouver la matrice inverse

Si la matrice est inversible, alors pour trouver la matrice inverse, vous pouvez utiliser l'une des méthodes suivantes :

Méthodes exactes (directes)

Méthode Jordan-Gauss

Prenons deux matrices : la UN et célibataire E. Présentons la matrice UNà la matrice d'identité en utilisant la méthode Gauss-Jordan, en appliquant des transformations le long des lignes (vous pouvez également appliquer des transformations le long des colonnes). Après avoir appliqué chaque opération à la première matrice, appliquez la même opération à la seconde. Lorsque la réduction de la première matrice sous forme unitaire est terminée, la deuxième matrice sera égale à A−1.

Lors de l'utilisation de la méthode gaussienne, la première matrice sera multipliée à gauche par une des matrices élémentaires Λ je (\displaystyle \Lambda _(i))(matrice de transvection ou diagonale avec les uns sur la diagonale principale, sauf une position) :

La deuxième matrice après avoir appliqué toutes les opérations sera égale à Λ ( displaystyle Lambda), c'est-à-dire que ce sera celui souhaité. Complexité de l'algorithme - O (n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Utiliser la matrice du complément algébrique

Matrice inverse de la matrice UNE (style d'affichage A), peut être représenté sous la forme

Où adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- matrice adjointe (une matrice composée d'additions algébriques pour les éléments correspondants de la matrice transposée).

La complexité de l'algorithme dépend de la complexité de l'algorithme de calcul du déterminant O det et est égale à O(n²)·O det.

Utilisation de la décomposition LU/LUP

Équation matricielle A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) pour la matrice inverse X (style d'affichage X) peut être considéré comme une collection n (style d'affichage n) systèmes de la forme UNE X = b (\ displaystyle Ax = b). Notons je (\style d'affichage i)ème colonne de la matrice X (style d'affichage X)à travers X je (\ displaystyle X_ (i)); Alors UNE X je = e je (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), je = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots,n),parce que le je (\style d'affichage i)ème colonne de la matrice Je n (\ displaystyle I_ (n)) est le vecteur unitaire e je (\ displaystyle e_ (i)). en d’autres termes, trouver la matrice inverse revient à résoudre n équations avec la même matrice et des membres droits différents. Après avoir effectué la décomposition LUP (temps O(n³)), la résolution de chacune des n équations prend un temps O(n²), donc cette partie du travail nécessite également un temps O(n³).

Si la matrice A est non singulière, alors la décomposition LUP peut être calculée pour elle P A = L U (\ displaystyle PA = LU). Laisser P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Alors à partir des propriétés de la matrice inverse on peut écrire : D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Si on multiplie cette égalité par U et L, on obtient deux égalités de la forme UD = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) Et DL = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). La première de ces égalités est un système de n² équations linéaires pour n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2)))à partir duquel les côtés droits sont connus (à partir des propriétés des matrices triangulaires). La seconde représente également un système de n² équations linéaires pour n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2)))à partir duquel les côtés droits sont connus (également à partir des propriétés des matrices triangulaires). Ensemble, ils représentent un système d’égalités n². En utilisant ces égalités, on peut déterminer récursivement tous les n² éléments de la matrice D. Puis à partir de l'égalité (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. on obtient l'égalité A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

Dans le cas de l'utilisation de la décomposition LU, aucune permutation des colonnes de la matrice D n'est requise, mais la solution peut diverger même si la matrice A est non singulière.

La complexité de l'algorithme est O(n³).

Méthodes itératives

Méthodes Schultz

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\somme _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\end(cases)))

Estimation de l'erreur

Sélection d'une approximation initiale

Le problème du choix d'une première approximation dans les processus itératifs d'inversion matricielle considérés ici ne permet pas de les traiter comme des méthodes universelles indépendantes qui concurrencent les méthodes d'inversion directe basées, par exemple, sur la décomposition LU des matrices. Il y a quelques recommandations pour choisir U 0 (\style d'affichage U_(0)), garantissant le respect de la condition ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (le rayon spectral de la matrice est inférieur à l'unité), ce qui est nécessaire et suffisant pour la convergence du processus. Cependant, dans ce cas, il faut tout d'abord connaître d'en haut l'estimation du spectre de la matrice inversible A ou de la matrice UNE UNE T (\ displaystyle AA ^ (T))(à savoir, si A est une matrice définie positive symétrique et ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), alors tu peux prendre U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Où ; si A est une matrice arbitraire non singulière et ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), alors ils croient U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), où aussi α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \left(0,(\frac (2)(\beta ))\right)); Vous pouvez bien sûr simplifier la situation et profiter du fait que ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), mettre U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Deuxièmement, en spécifiant ainsi la matrice initiale, il n'y a aucune garantie que ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) sera petit (peut-être même qu'il s'avérera être ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), et un ordre élevé de taux de convergence ne sera pas révélé immédiatement.

Une matrice est un objet mathématique écrit sous la forme d'un tableau rectangulaire de nombres et permettant des opérations algébriques (addition, soustraction, multiplication, etc.) entre celui-ci et d'autres objets similaires. Les règles pour effectuer des opérations sur les matrices sont les suivantes :

pour faciliter l'écriture de systèmes d'équations linéaires. Habituellement, la matrice est désignée par une lettre majuscule de l'alphabet latin et séparée par des parenthèses « (...) » (on trouve également

mis en évidence par des crochets "[…]", des doubles lignes droites "||…||") Et les nombres qui composent la matrice (éléments de la matrice) sont désignés par la même lettre que la matrice elle-même, mais petite. chaque élément de la matrice a 2 indices (a ij) - le premier "i" désigne

le numéro de la ligne dans laquelle se trouve l'élément, et le deuxième "j" est le numéro de la colonne.

Opérations sur les matrices

Multiplier la matrice A par un nombre

B dont les éléments sont obtenus en multipliant chaque élément de la matrice A par ce nombre, c'est-à-dire que chaque élément de la matrice B est égal à

b je = λ une je

Ajout matriciel A

élément de la matrice C est égal à

c ij= une ij+ b ij

Soustraction des matrices A

c ij= une ij- b ij

A + Θ =A

Multiplication matricielle(désignation : AB, moins souvent avec un signe de multiplication) - est l'opération de calcul de la matrice C dont les éléments sont égaux à la somme des produits des éléments de la ligne correspondante du premier facteur et de la colonne du deuxième.

c ij= ∑ une ikb kj

Le premier facteur doit avoir le même nombre de colonnes que le nombre de lignes du second. Si la matrice A a la dimension B -, alors la dimension de leur produit est AB = C

Il y a . La multiplication matricielle n'est pas commutative. Cela peut être vu par le fait que si les matrices ne sont pas carrées, vous ne pouvez alors que multiplier les unes par les autres, mais pas l'inverse. Pour

des matrices carrées, le résultat de la multiplication dépend de l’ordre des facteurs.

Seules les matrices carrées peuvent être élevées en puissances.

Matrice d'identité

Pour les matrices carrées, il y a matrice d'identité E tel que toute multiplication

la matrice dessus n'affecte pas le résultat, à savoir

EA = AE = A

Pour une matrice identité, les unités ne sont égales qu'à

diagonales, les autres éléments sont nuls

Pour certaines matrices carrées, on peut trouver ce qu'on appellematrice inverse.

La matrice inverse A - 1 est telle que si vous multipliez la matrice par elle, vous obtenez la matrice identité

AA − 1 = E

La matrice inverse n'existe pas toujours. Les matrices pour lesquelles l'inverse existe sont appelées

non dégénérés, et pour ceux qui ne le sont pas, dégénérés. Une matrice est non singulière si toutes ses lignes (colonnes) sont linéairement indépendantes en tant que vecteurs. Nombre maximum de lignes linéairement indépendantes

(colonnes) est appelé le rang de la matrice. Le déterminant d'une matrice est une fonctionnelle linéaire antisymétrique normalisée sur les lignes de la matrice. Matrice

est dégénéré si et seulement si son déterminant est nul.

Propriétés des matrices

1. A + (B + C) = (A + B) + C

2. A + B = B + A

3. A (BC) = (AB)C

4. A (B+C) = AB+AC

5. (B+C) A= BA+CA

9. Matrice symétrique A est défini positif (A > 0) si tous ses principaux mineurs angulaires ont des valeurs A k > 0

10. Matrice symétrique A est défini négatif (A< 0), если матрица (−A )

est défini positif, c'est-à-dire si pour tout k le mineur principal du kième ordre A k a le signe (− 1)k

Systèmes d'équations linéaires

Un système de m équations à n inconnues

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

suis x1 + suis x2 +…+ suis xn =bm

peut être représenté sous forme matricielle

et alors tout le système peut s'écrire comme ceci : AX = B

Opérations sur les matrices

Soit a ij des éléments de la matrice A, et b ij des éléments de la matrice B.

Multiplier la matrice A par un nombreλ (symbole : λA) consiste à construire une matrice

B dont les éléments sont obtenus en multipliant chaque élément de la matrice A par ce nombre, c'est-à-dire que chaque élément de la matrice B est égal à b ij = λa ij

Écrivons la matrice A

Multipliez le premier élément de la matrice A par 2

Ajout matriciel A+ B est l'opération consistant à trouver une matrice C dont tous les éléments sont égaux à la somme par paires de tous les éléments correspondants de la matrice A et B, c'est-à-dire chacun

élément de la matrice C est égal à

c ij= une ij+ b ij

A+B Écrivons les matrices A et B

Effectuons l'addition des premiers éléments des matrices

Étirons les valeurs, d'abord horizontalement puis verticalement (ou vice versa)

Soustraction des matrices A− B est défini de la même manière que l'addition, c'est l'opération de recherche d'une matrice C dont les éléments

c ij= une ij- b ij

L'addition et la soustraction ne sont autorisées que pour des matrices de même taille.

Il existe une matrice nulle Θ telle que son ajout à une autre matrice A ne change pas A, c'est-à-dire

A + Θ =A

Tous les éléments de la matrice zéro sont égaux à zéro.

Ainsi, les services de résolution de matrices en ligne :

Le service de travail avec des matrices permet d'effectuer des transformations élémentaires de matrices.
Si vous avez pour tâche d'effectuer une transformation plus complexe, ce service doit être utilisé en tant que constructeur.

Exemple. Matrices données UN Et B, Besoin de trouver C = UN -1 * B + B T,

1. Vous devriez d'abord trouver matrice inverseA1 = UN-1, en utilisant le service de recherche de matrice inverse ;
2. Ensuite, après avoir trouvé la matrice A1 faisons-le multiplication matricielleA2 = A1 * B en utilisant le service de multiplication matricielle ;
3. Faisons-le transposition matricielleA3 = B T (service de recherche d'une matrice transposée) ;
4. Et enfin, trouvons la somme des matrices AVEC = A2 + A3(service de calcul de la somme des matrices) - et nous obtenons une réponse avec la solution la plus détaillée !;

Produit de matrices

Il s'agit d'un service en ligne dans deux étapes:

• Entrez la première matrice de facteurs UN
• Entrez la deuxième matrice de facteurs ou le vecteur de colonne B

Multiplier une matrice par un vecteur

La multiplication d'une matrice par un vecteur peut être trouvée en utilisant le service Multiplication matricielle
(Le premier facteur sera cette matrice, le deuxième facteur sera la colonne constituée des éléments de ce vecteur)

Il s'agit d'un service en ligne dans deux étapes:

• Entrez la matrice UN, pour lequel nous devons trouver la matrice inverse
• Obtenez une réponse avec une solution détaillée pour trouver la matrice inverse

Déterminant matriciel

Il s'agit d'un service en ligne dans un pas:

• Entrez la matrice UN, pour lequel il faut trouver le déterminant de la matrice

Transposition matricielle

Ici, vous pouvez suivre l'algorithme de transposition matricielle et apprendre à résoudre vous-même des problèmes similaires.
Il s'agit d'un service en ligne dans un pas:

• Entrez la matrice UN, qu'il faut transposer

Rang matriciel

Il s'agit d'un service en ligne dans un pas:

• Entrez la matrice UN, dont vous devez trouver le rang

Valeurs propres matricielles et vecteurs propres matriciels

Il s'agit d'un service en ligne dans un pas:

• Entrez la matrice UN, pour lequel vous devez trouver des vecteurs propres et des valeurs propres (valeurs propres)

Exponentiation matricielle

Il s'agit d'un service en ligne dans deux étapes:

• Entrez la matrice UN, que tu élèveras au pouvoir
• Entrez un entier q- degré

Instructions. Pour résoudre en ligne, vous devez sélectionner le type d'équation et définir la dimension des matrices correspondantes.

Exemple n°1. Exercice. Trouver la solution de l'équation matricielle
Solution. Notons :
Alors l’équation matricielle s’écrira sous la forme : A·X·B = C.
Le déterminant de la matrice A est égal à detA=-1
Puisque A est une matrice non singulière, il existe une matrice inverse A -1 . Multipliez les deux côtés de l'équation à gauche par A -1 : Multipliez les deux côtés de cette équation à gauche par A -1 et à droite par B -1 : A -1 ·A·X·B·B -1 = A -1 ·C·B -1 . Puisque A A -1 = B B -1 = E et E X = X E = X, alors X = A -1 C B -1

Matrice inverse A -1 :
Trouvons la matrice inverse B -1.
Matrice transposée B T :
Matrice inverse B -1 :
On recherche la matrice X à l'aide de la formule : X = A -1 ·C·B -1

Répondre:

Exemple n°2. Exercice. Résoudre l'équation matricielle
Solution. Notons :
Alors l’équation matricielle s’écrira sous la forme : A·X = B.
Le déterminant de la matrice A est detA=0
Puisque A est une matrice singulière (le déterminant est 0), l’équation n’a donc pas de solution.

Exemple n°3. Exercice. Trouver la solution de l'équation matricielle
Solution. Notons :
Alors l’équation matricielle s’écrira sous la forme : X A = B.
Le déterminant de la matrice A est detA=-60
Puisque A est une matrice non singulière, il existe une matrice inverse A -1 . Multiplions les deux côtés de l'équation de droite par A -1 : X A A -1 = B A -1, d'où on trouve que X = B A -1
Trouvons la matrice inverse A -1 .
Matrice transposée A T :
Matrice inverse A -1 :
On recherche la matrice X à l'aide de la formule : X = B A -1


Réponse : >

Matrice inverse- tel matrice UN −1 , une fois multiplié par quoi, la matrice d'origine UN résulte en matrice d'identité E:

Matrice Carrée est réversible si et seulement s'il est non dégénéré, c'est-à-dire que son déterminant pas égal à zéro. Pour les matrices non carrées et matrices singulières il n'y a pas de matrices inverses. Il est cependant possible de généraliser ce concept et d'introduire matrices pseudoinverses, similaire à l'inverse dans de nombreuses propriétés.

Résolution d'équations matricielles

Les équations matricielles peuvent ressembler à :

AX = B, HA = B, AXB = C,

où A, B, C sont les matrices spécifiées, X est la matrice souhaitée.

Les équations matricielles sont résolues en multipliant l'équation par des matrices inverses.

Par exemple, pour trouver la matrice de l’équation, vous devez multiplier cette équation par la gauche.

Par conséquent, pour trouver une solution à l’équation, vous devez trouver la matrice inverse et la multiplier par la matrice du côté droit de l’équation.

D'autres équations sont résolues de la même manière.

Exemple 2

Résolvez l'équation AX = B si

Solution: Puisque la matrice inverse est égale à (voir exemple 1)

Espaces linéaires

Définition de l'espace linéaire

Laisser V- un ensemble non vide (nous appellerons ses éléments vecteurs et noterons...), dans lequel sont établies les règles :

1) deux éléments quelconques correspondent à un troisième élément appelé somme des éléments (opération interne) ;

2) chacun correspond à un élément précis (fonctionnement extérieur).

Un tas de V est appelé un espace linéaire (vecteur) réel si les axiomes sont satisfaits :

JE.

III. (élément nul tel que ).

IV. (élément opposé à l'élément ), tel que

V.

VIII. Un espace linéaire complexe est défini de la même manière (au lieu de R. C).

est à l'étude

Sous-espace de l'espace linéaire V L'ensemble est appelé un sous-espace d'un espace linéaire

1)

, Si: Système vectoriel spatial linéaire L formes base Système vectoriel spatial linéaire V Système vectoriel spatial linéaire si ce système de vecteurs est ordonné, linéairement indépendant et tout vecteur de

exprimé linéairement en termes de vecteurs système. En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant 1 , ..., En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e n Système vectoriel spatial linéaire constitue une base dans s'il y a un vecteur X Système vectoriel spatial linéaire depuis

s'il y a un vecteur peut être présenté sous la forme En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant= C 1 · 1 +C2·e e · En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e .

2 + ...+С

La base peut être définie différemment. En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant 1 , ..., En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e Tout système ordonné linéairement indépendant vecteurs n- Système vectoriel spatial linéaire e espace linéaire dimensionnel

constitue la base de cet espace. e Parce que le Système vectoriel spatial linéaire e , dimension de l'espace s'il y a un vecteur,En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant 1 , ..., En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e est le nombre maximum de vecteurs de l'espace linéairement indépendants, alors le système de vecteurs s'il y a un vecteur linéairement dépendant et, par conséquent, le vecteur En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant 1 , ..., En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e :

s'il y a un vecteur = s'il y a un vecteur exprimé linéairement en termes de vecteurs En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant 1 + s'il y a un vecteur 2 1 +C2 2 + ...+ s'il y a un vecteur e · En d’autres termes, un système ordonné de vecteurs linéairement indépendant e .

1 · Cette décomposition d'un vecteur en termes de base.

seulement Théorème 1. (Sur le nombre de vecteurs dans des systèmes de vecteurs linéairement indépendants et générateurs.) Le nombre de vecteurs dans tout système de vecteurs linéairement indépendants ne dépasse pas le nombre de vecteurs dans tout système générateur de vecteurs du même vecteur

espace.

Preuve. Soit un système de vecteurs arbitrairement indépendant et linéairement un système générateur arbitraire. Supposons que. Parce que système générateur, alors il représente n'importe quel vecteur de l'espace, y compris le vecteur . Connectons-le à ce système. On obtient un système de vecteurs linéairement dépendants et générateurs :

. Ensuite, il existe un vecteur de ce système qui est exprimé linéairement à travers les vecteurs précédents de ce système et, en vertu du lemme, il peut être supprimé du système, et le système de vecteurs restant sera toujours généré. Renumérotons le système de vecteurs restant :

Ensuite, tout se répète. Il existe un vecteur dans ce système qui s'exprime linéairement par rapport aux précédents, et celui-ci ne peut pas être un vecteur, car le système d'origine est linéairement indépendant et le vecteur n'est pas exprimé linéairement en termes de vecteur . Cela signifie qu’il ne peut s’agir que d’un des vecteurs. En le retirant du système, on obtient, après renumérotation, le système, qui sera le système générateur. En poursuivant ce processus, nous obtenons par étapes un système générateur de vecteurs : , où , car selon notre hypothèse. Cela signifie que ce système, en tant que générateur, représente également le vecteur, ce qui contredit la condition d'indépendance linéaire du système.

Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2. (Sur le nombre de vecteurs dans la base.) Dans toute base vectorielle espace contient le même nombre de vecteurs.

Preuve. Soit et deux bases arbitraires d'un espace vectoriel. Toute base est un système de vecteurs linéairement indépendant et générateur.

Parce que le premier système est linéairement indépendant, et le second est générateur, donc, d'après le théorème 1, .

De même, le deuxième système est linéairement indépendant et le premier est générateur, alors . Il s'ensuit que, etc.

Le théorème 2 est prouvé.

Ce théorème permet de saisir la définition suivante.

Définition. La dimension d'un espace vectoriel V sur un champ K est le nombre de vecteurs dans sa base.

Désignation : ou .

Coordonnées vectorielles— coefficients des seuls possibles combinaison linéaire basique vecteurs dans la sélection système de coordonnées, égal à ce vecteur.