Niveau d'entrée

Relation inverse.

Niveau d'entrée.

Nous allons maintenant parler de dépendance inverse, ou en d'autres termes, de proportionnalité inverse, en fonction. Vous souvenez-vous qu'une fonction est un certain type de dépendance ? Si vous n'avez pas encore lu le sujet, je vous recommande fortement de tout laisser tomber et de le lire, car vous ne pouvez pas étudier une fonction spécifique sans comprendre ce que c'est : une fonction.

Il est également très utile de maîtriser deux fonctions plus simples avant de commencer ce sujet : et . Vous y renforcerez le concept de fonction et apprendrez à travailler avec des coefficients et des graphiques.
Alors, vous souvenez-vous de ce qu'est une fonction ? Répétons : une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un certain ( le seul ! ) élément d'un autre ensemble (ensemble de valeurs de fonction). Autrement dit, si vous avez une fonction, cela signifie que pour chaque valeur valide d'une variable (appelée « argument »), il existe une valeur correspondante d'une variable (appelée « fonction »). Que signifie « acceptable » ? Si vous ne pouvez pas répondre à cette question, revenez au sujet « » ! Tout est dans le concept"domaine de définition"

: Pour certaines fonctions, tous les arguments ne sont pas également utiles et peuvent être remplacés dans des dépendances. Par exemple, pour une fonction, les valeurs d'argument négatives ne sont pas autorisées.

Fonction décrivant la relation inverse

Ceci est fonction de la forme où.
D'une autre manière, on parle de proportionnalité inverse : une augmentation de l'argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.

Définissons le domaine de définition. A quoi peut-il être égal ? Ou, en d’autres termes, à quoi ne peut-il être égal ?

Le seul nombre par lequel on ne peut pas diviser est donc :

ou, ce qui est pareil,

(une telle notation signifie qu'il peut s'agir de n'importe quel nombre, sauf : le signe « » désigne l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe « » désigne l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue au « moins " signe), et un nombre entre accolades signifie juste un nombre ; il s'avère que de tous les nombres possibles, nous excluons).

Certaines variantes de la formule sont également possibles. Par exemple, c'est aussi une fonction qui décrit une relation inverse.
Déterminez vous-même le domaine de définition et la plage de valeurs de cette fonction. Cela devrait ressembler à ceci :

Regardons cette fonction : . Est-ce inversement lié ?

À première vue, il est difficile de dire : après tout, avec une augmentation, le dénominateur de la fraction et le numérateur augmentent, il n'est donc pas clair si la fonction diminuera, et si oui, diminuera-t-elle proportionnellement ? Pour comprendre cela, il faut transformer l'expression pour qu'il n'y ait pas de variable au numérateur :

En effet, nous avons reçu une relation inverse, mais avec une réserve : .

Voici un autre exemple : .

C'est plus compliqué ici : après tout, le numérateur et le dénominateur ne s'annulent certainement pas. Mais on peut quand même essayer :

Comprenez-vous ce que j'ai fait ? Au numérateur, j'ai ajouté et soustrait le même nombre (), donc je n'ai rien changé, mais maintenant il y a une partie dans le numérateur qui est égale au dénominateur. Je vais maintenant diviser terme par terme, c'est-à-dire que je diviserai cette fraction en la somme de deux fractions :

(en effet, si nous ramenons ce que j'ai obtenu à un dénominateur commun, nous obtiendrons notre fraction initiale) :

Ouah! Ça marche à nouveau relation inverse, ce n'est que maintenant qu'un numéro y est ajouté.
Cette méthode nous sera très utile plus tard lors de la construction de graphiques.

Transformez maintenant vous-même les expressions en une relation inverse :

Réponses :

2. Ici, vous devez vous rappeler comment un trinôme carré est factorisé (cela est décrit en détail dans la rubrique « »). Permettez-moi de vous rappeler que pour cela vous devez trouver les racines de l'équation quadratique correspondante : . Je les trouverai verbalement en utilisant le théorème de Vieta : , . Comment cela se fait-il ? Vous pouvez l'apprendre en lisant le sujet.
On obtient donc : , donc :

3. Avez-vous déjà essayé de résoudre le problème vous-même ? Quel est le piège ? Le fait est sûrement que nous avons au numérateur et au dénominateur - c'est simple. Ce n'est pas un problème. Nous devrons réduire de, donc au numérateur nous devrions le mettre entre parenthèses (pour que entre parenthèses nous l'obtenions sans le coefficient) :

Graphique de relation inverse

Comme toujours, commençons par le cas le plus simple : .
Faisons un tableau :

Traçons des points sur le plan de coordonnées :

Maintenant, ils doivent être connectés en douceur, mais comment ? On peut voir que les points sur les côtés droit et gauche forment des lignes courbes apparemment sans lien. C'est comme ça. Le graphique ressemblera à ceci :

Ce graphique s'appelle "hyperbole"(il y a quelque chose comme une « parabole » dans ce nom, non ?). Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, mais elles ne sont pas reliées entre elles. Chacun d'eux s'efforce avec ses extrémités de se rapprocher des axes et ne les atteint jamais. Si vous regardez la même hyperbole de loin, vous obtenez l’image suivante :

Cela est compréhensible : puisque le graphique ne peut pas traverser l’axe. Mais aussi, pour que le graphique ne touche jamais l’axe.

Eh bien, voyons maintenant ce que les coefficients influencent. Considérez ces fonctions :
:

Wow, quelle beauté !
Tous les graphiques sont tracés dans des couleurs différentes pour faciliter leur distinction les uns des autres.

Alors, à quoi devons-nous faire attention en premier ? Par exemple, si une fonction a un moins avant la fraction, le graphique est inversé, c'est-à-dire affiché symétriquement par rapport à l'axe.

Deuxièmement : plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique « s’éloigne » de l’origine.

Que se passe-t-il si la fonction semble plus complexe, par exemple ?

Dans ce cas, l'hyperbole sera exactement la même que l'habituelle, sauf qu'elle se déplacera un peu. Pensons, où ?

À quoi cela ne peut-il pas être égal maintenant ? Droite, . Cela signifie que le graphique n’atteindra jamais une ligne droite. À quoi cela ne peut-il pas être égal ? Maintenant. Cela signifie que le graphique tendra désormais vers la ligne droite, mais ne la traversera jamais. Ainsi, les lignes droites jouent désormais le même rôle que les axes de coordonnées de la fonction. De telles lignes sont appelées asymptote(lignes vers lesquelles le graphique tend mais n'atteint pas) :

Nous en apprendrons davantage sur la manière dont ces graphiques sont construits dans le sujet.

Essayez maintenant de résoudre quelques exemples pour consolider :

1. La figure montre un graphique d'une fonction. Définir.

2. La figure montre le graphique de la fonction. Définir

3. La figure montre le graphique de la fonction. Définir.

4. La figure montre le graphique de la fonction. Définir.

5. La figure montre des graphiques de fonctions et.

Choisissez le bon rapport :

Réponses :

Dépendance inverse dans la vie

Où trouve-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est grande, moins il nous faudra de temps pour parcourir la même distance. En effet, rappelons la formule de la vitesse : , où est la vitesse, est le temps de trajet, est la distance (chemin).

De là, nous pouvons exprimer le temps :

Exemple:

Une personne se rend au travail à une vitesse moyenne de km/h et y arrive en une heure. Combien de minutes passera-t-il sur la même route s’il roule à une vitesse de km/h ?

Solution:

En général, vous avez déjà résolu de tels problèmes en 5e et 6e années. Vous avez constitué la proportion :

Autrement dit, le concept de proportionnalité inverse vous est déjà familier. Alors nous nous sommes souvenus. Et maintenant la même chose, mais de manière adulte : à travers une fonction.

Fonction (c'est-à-dire dépendance) du temps en minutes par rapport à la vitesse :

On sait alors que :

Il faut trouver :

Trouvez maintenant quelques exemples tirés de la vie dans lesquels la proportionnalité inverse est présente.
L'avez-vous inventé ? Bravo si vous le faites. Bonne chance!

DÉPENDANCE INVERSÉE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

1. Définition

Fonction décrivant la relation inverse est fonction de la forme où.

D'une autre manière, cette fonction est appelée proportionnalité inverse, puisqu'une augmentation de l'argument entraîne une diminution proportionnelle de la fonction.

Le seul nombre par lequel on ne peut pas diviser est donc :

Le graphique inverse est une hyperbole.

2. Coefficients, et.

Responsable de « planéité » et direction du graphique: plus ce coefficient est grand, plus l'hyperbole est située loin de l'origine, et donc elle « tourne » moins fortement (voir figure). Le signe du coefficient affecte les trimestres dans lesquels se trouve le graphique :

• si, alors les branches de l'hyperbole sont situées en quartiers ;
• si, alors dans et.

x=a est asymptote verticale, c'est-à-dire la verticale vers laquelle tend le graphique.

Le nombre est responsable du déplacement du graphique de fonction vers le haut d'un montant si et vers le bas si .

C’est donc asymptote horizontale.

Répétons la théorie sur les fonctions. Une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un certain ( Répétons : une fonction est une règle selon laquelle chaque élément d'un ensemble (argument) est associé à un certain () élément d'un autre ensemble (ensemble de valeurs de fonction). Autrement dit, s'il existe une fonction \(y = f(x)\), cela signifie que pour chaque valeur valide de la variable \(x\)(que l’on appelle un « argument ») correspond à une valeur de la variable \(y\)(appelé une « fonction »).

Fonction décrivant la relation inverse

C'est une fonction de la forme \(y = \frac(k)(x)\), où \(k\ne 0.\)

Ceci est fonction de la forme où.
Définissons le domaine de définition. À quoi peut être égal à \(x\) ? Ou, en d’autres termes, à quoi ne peut-il être égal ?

Le seul nombre qui ne peut pas être divisé est 0, donc \(x\ne 0.\):

\(D(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

ou, ce qui revient au même :

\(D(y) = R\backslash \( 0\).\)

Cette notation signifie que \(x\) peut être n'importe quel nombre sauf 0 : le signe « R » désigne l'ensemble des nombres réels, c'est-à-dire tous les nombres possibles ; le signe « \ » indique l'exclusion de quelque chose de cet ensemble (analogue au signe « moins »), et le chiffre 0 entre accolades signifie simplement le chiffre 0 ; Il s'avère que de tous les nombres possibles, nous excluons 0.

Il s'avère que l'ensemble des valeurs de la fonction est exactement le même : après tout, si \(k \ne 0.\) , alors peu importe par quoi nous le divisons, 0 ne fonctionnera pas :

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty)\)

ou \(E(y) = R\backslash \( 0\).\)

Certaines variantes de la formule sont également possibles \(y = \frac(k)(x)\)​​. Par exemple, \(y = \frac(k)((x + a))\)​​est aussi une fonction qui décrit une relation inverse. La portée et la plage de valeurs de cette fonction sont les suivantes :

\(D(y) = (- \infty ; - a) \cup (- a; + \infty)\)

\(E(y) = (- \infty ;0) \cup (0; + \infty).\)

Considérons exemple, réduisons l'expression à la forme d'une relation inverse :

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)).\)

\(y = \frac((x + 2))((x - 3)) = \frac((x - 3 + 3 + 2))((x - 3)) = \frac(((x - 3 ) + 5))((x - 3)).\)

On a artificiellement introduit la valeur 3 dans le numérateur, et maintenant on divise le numérateur par le dénominateur terme par terme, on obtient :

\(y = \frac(((x - 3) + 5))((x - 3)) = \frac((x - 3))((x - 3)) + \frac(5)((x - 3)) = 1 + \frac(5)((x - 3)).\)

Nous avons la relation inverse plus le chiffre 1.

Graphique de relation inverse

Commençons par un cas simple \(y = \frac(1)(x).\)

Créons une table de valeurs :

Traçons des points sur le plan de coordonnées :

Reliez les points, le graphique ressemblera à ceci :

Ce graphique s'appelle "hyperbole". Comme une parabole, une hyperbole a deux branches, mais elles ne sont pas reliées entre elles. Chacun d'eux a tendance à rapprocher ses extrémités des axes Bœuf Et Oy, mais ne les atteint jamais.

Notons quelques caractéristiques de la fonction :

1. Si une fonction a un moins avant la fraction, alors le graphique est inversé, c'est-à-dire qu'il est affiché symétriquement par rapport à l'axe Bœuf.
2. Plus le nombre au dénominateur est grand, plus le graphique « s’éloigne » de l’origine.

Dépendance inverse dans la vie

Où trouve-t-on une telle fonction en pratique ? Il existe de nombreux exemples. Le plus courant est le mouvement : plus la vitesse à laquelle nous nous déplaçons est grande, moins il nous faudra de temps pour parcourir la même distance. Rappelons la formule de vitesse :

\(v = \frac(S)(t),\)

où v est la vitesse, t est le temps de trajet, S est la distance (chemin).

De là, nous pouvons exprimer le temps : \(t = \frac(S)(v).\)

Aujourd'hui, nous examinerons quelles quantités sont appelées inversement proportionnelles, à quoi ressemble un graphique de proportionnalité inverse et comment tout cela peut vous être utile non seulement dans les cours de mathématiques, mais aussi en dehors de l'école.

Des proportions si différentes

Proportionnalité Nommez deux quantités qui dépendent mutuellement l’une de l’autre.

La dépendance peut être directe et inverse. Par conséquent, les relations entre les quantités sont décrites par une proportionnalité directe et inverse.

Proportionnalité directe- il s'agit d'une telle relation entre deux quantités dans laquelle une augmentation ou une diminution de l'une d'elles entraîne une augmentation ou une diminution de l'autre. Ceux. leur attitude ne change pas.

Par exemple, plus vous consacrez d’efforts à étudier en vue des examens, plus vos notes sont élevées. Ou plus vous emportez de choses avec vous en randonnée, plus votre sac à dos sera lourd à transporter. Ceux. L'effort consacré à la préparation des examens est directement proportionnel aux notes obtenues. Et le nombre de choses emballées dans un sac à dos est directement proportionnel à son poids.

Proportionnalité inverse– il s’agit d’une dépendance fonctionnelle dans laquelle une diminution ou une augmentation plusieurs fois d’une valeur indépendante (c’est ce qu’on appelle un argument) provoque une augmentation ou une diminution proportionnelle (c’est-à-dire le même nombre de fois) d’une valeur dépendante (c’est ce qu’on appelle un fonction).

Illustrons avec un exemple simple. Vous voulez acheter des pommes au marché. Les pommes sur le comptoir et la somme d’argent dans votre portefeuille sont en proportion inverse. Ceux. Plus vous achetez de pommes, moins il vous restera d’argent.

Fonction et son graphique

La fonction de proportionnalité inverse peut être décrite comme y = k/x. Dans lequel x≠ 0 et k≠ 0.

Cette fonction a les propriétés suivantes :

1. Son domaine de définition est l'ensemble de tous les nombres réels sauf x = 0. D(oui): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. La plage est constituée de nombres réels sauf oui= 0. E(y) : (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. N'a pas de valeurs maximales ou minimales.
4. C'est étrange et son graphique est symétrique par rapport à l'origine.
5. Non périodique.
6. Son graphique ne coupe pas les axes de coordonnées.
7. N'a pas de zéros.
8. Si k> 0 (c'est-à-dire que l'argument augmente), la fonction diminue proportionnellement sur chacun de ses intervalles. Si k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À mesure que l'argument augmente ( k> 0) les valeurs négatives de la fonction sont dans l'intervalle (-∞ ; 0), et les valeurs positives sont dans l'intervalle (0 ; +∞). Lorsque l'argument diminue ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Le graphique d’une fonction de proportionnalité inverse s’appelle une hyperbole. Montré comme suit :

Problèmes de proportionnalité inverse

Pour que ce soit plus clair, examinons plusieurs tâches. Ils ne sont pas trop compliqués et les résoudre vous aidera à visualiser ce qu'est la proportionnalité inverse et comment cette connaissance peut être utile dans votre vie quotidienne.

Tâche n°1. Une voiture roule à une vitesse de 60 km/h. Il lui a fallu 6 heures pour arriver à destination. Combien de temps lui faudra-t-il pour parcourir la même distance s’il se déplace à une vitesse deux fois supérieure ?

Nous pouvons commencer par écrire une formule qui décrit la relation entre le temps, la distance et la vitesse : t = S/V. D’accord, cela nous rappelle beaucoup la fonction de proportionnalité inverse. Et cela indique que le temps qu’une voiture passe sur la route et la vitesse à laquelle elle se déplace sont en proportion inverse.

Pour vérifier cela, trouvons V 2, qui selon la condition est 2 fois plus élevé : V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Ensuite, nous calculons la distance en utilisant la formule S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Or, il n'est pas difficile de connaître le temps t 2 qui nous est demandé en fonction des conditions du problème : t 2 = 360/120 = 3 heures.

Comme vous pouvez le constater, le temps de trajet et la vitesse sont en effet inversement proportionnels : à une vitesse 2 fois supérieure à la vitesse d'origine, la voiture passera 2 fois moins de temps sur la route.

La solution à ce problème peut également s’écrire sous forme de proportion. Créons donc d'abord ce diagramme :

↓ 60 km/h – 6 heures

↓120 km/h – xh

Les flèches indiquent une relation inversement proportionnelle. Ils suggèrent également que lors de l'établissement d'une proportion, il faut retourner le côté droit de la fiche : 60/120 = x/6. Où obtenons-nous x = 60 * 6/120 = 3 heures.

Tâche n°2. L'atelier emploie 6 ouvriers capables d'effectuer une quantité de travail donnée en 4 heures. Si le nombre de travailleurs est réduit de moitié, combien de temps faudra-t-il aux travailleurs restants pour accomplir la même quantité de travail ?

Écrivons les conditions du problème sous la forme d'un schéma visuel :

↓ 6 ouvriers – 4 heures

↓ 3 ouvriers – x h

Écrivons cela sous forme de proportion : 6/3 = x/4. Et on obtient x = 6 * 4/3 = 8 heures S'il y a 2 fois moins de travailleurs, les autres passeront 2 fois plus de temps à faire tout le travail.

Tâche n°3. Il y a deux tuyaux menant à la piscine. Grâce à un tuyau, l'eau s'écoule à une vitesse de 2 l/s et remplit la piscine en 45 minutes. Grâce à un autre tuyau, la piscine se remplira en 75 minutes. A quelle vitesse l'eau pénètre-t-elle dans la piscine par ce tuyau ?

Pour commencer, réduisons toutes les grandeurs qui nous sont données selon les conditions du problème aux mêmes unités de mesure. Pour ce faire, on exprime la vitesse de remplissage de la piscine en litres par minute : 2 l/s = 2 * 60 = 120 l/min.

Puisqu'il résulte de la condition que la piscine se remplit plus lentement par le deuxième tuyau, cela signifie que le débit de l'eau est plus faible. La proportionnalité est inverse. Exprimons la vitesse inconnue par x et traçons le schéma suivant :

↓ 120 l/min – 45 min

↓ x l/min – 75 min

Et puis on compose la proportion : 120/x = 75/45, d'où x = 120 * 45/75 = 72 l/min.

Dans le problème, la vitesse de remplissage de la piscine est exprimée en litres par seconde, réduisons la réponse que nous avons reçue à la même forme : 72/60 = 1,2 l/s.

Tâche n°4. Une petite imprimerie privée imprime des cartes de visite. Un employé d'une imprimerie travaille à une vitesse de 42 cartes de visite par heure et travaille une journée complète - 8 heures. S’il travaillait plus vite et imprimait 48 cartes de visite en une heure, combien de temps plus tôt pourrait-il rentrer chez lui ?

Nous suivons le chemin éprouvé et dressons un schéma selon les conditions du problème, désignant la valeur souhaitée par x :

↓ 42 cartes de visite/heure – 8 heures

↓ 48 cartes de visite/h – x h

Nous avons une relation inversement proportionnelle : le nombre de fois plus de cartes de visite qu'un employé d'une imprimerie imprime par heure, le même nombre de fois moins de temps dont il aura besoin pour effectuer le même travail. Sachant cela, créons une proportion :

42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = 7 heures.

Ainsi, après avoir terminé le travail en 7 heures, l'employé de l'imprimerie pouvait rentrer chez lui une heure plus tôt.

Conclusion

Il nous semble que ces problèmes de proportionnalité inverse sont vraiment simples. Nous espérons que maintenant vous les considérez également de cette façon. Et l'essentiel est que la connaissance de la dépendance inversement proportionnelle des quantités puisse vraiment vous être utile plus d'une fois.

Pas seulement dans les cours de mathématiques et les examens. Mais même alors, lorsque vous vous préparez à partir en voyage, à faire du shopping, à décider de gagner un peu d'argent supplémentaire pendant les vacances, etc.

Dites-nous dans les commentaires quels exemples de relations proportionnelles inverses et directes vous remarquez autour de vous. Que ce soit un tel jeu. Vous verrez à quel point c'est excitant. N'oubliez pas de partager cet article sur les réseaux sociaux pour que vos amis et camarades de classe puissent également jouer.

site Web, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source est requis.

1 leçon sur le sujet

Complété:

Telegina L.B.

Objectif de la leçon :

1. répéter tout le matériel étudié sur les fonctions.
2. présenter la définition de la proportionnalité inverse et apprendre à construire son graphique.
3. développer une pensée logique.
4. cultiver l'attention, l'exactitude, la précision.

Plan de cours :

1. Répétition.
2. Explication du nouveau matériel.
3. Minute d'éducation physique.
4. Consolidation.

Matériel : affiches.

Progression de la leçon :

1. La leçon commence par la répétition. Les élèves sont invités à résoudre des mots croisés (préparés à l'avance sur une grande feuille de papier).

Questions de mots croisés :

1. Dépendance entre variables, dans laquelle chaque valeur de la variable indépendante correspond à une valeur unique de la variable dépendante. [Fonction].

2. Variable indépendante. [Argument].

3. L'ensemble des points du plan de coordonnées des abscisses, qui sont égaux aux valeurs de l'argument, et les ordonnées sont égales aux valeurs de la fonction. [Calendrier].

4. Fonction donnée par la formule y=kx+b. [Linéaire].

5. Quel coefficient appelle-t-on un nombre ? k dans la formule y=kx+b ? [Coin].

6. Qu'est-ce que le graphique d'une fonction linéaire ? [Droit].

7. Si k≠0, alors le graphe y=kx+b coupe cet axe, et si k=0, alors il lui est parallèle. Par quelle lettre cet axe est-il désigné ? [X].

8. Le mot au nom de la fonction y=kx ? [Proportionnalité].

9. Fonction donnée par la formule y=x 2. [Quadratique].

10. Nom du graphique d'une fonction quadratique. [Parabole].

11. Une lettre de l'alphabet latin, qui désigne souvent une fonction. [Igrec].

12. Une des façons de spécifier une fonction. [Formule].

Professeur : Quelles sont les principales manières de spécifier une fonction que nous connaissons ?

(Un élève reçoit une tâche au tableau : remplir un tableau de valeurs de la fonction 12/x en utilisant les valeurs données de son argument, puis tracer les points correspondants sur le plan de coordonnées).

Les autres répondent aux questions du professeur : (qui sont écrites à l’avance au tableau)

1. Quels sont les noms des fonctions suivantes données par les formules : y=kx, y=kx+b, y=x 2 , y=x 3 ?

2. Précisez le domaine de définition des fonctions suivantes : y=x 2 +8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x 3 , y=-10/x.

Ensuite, les élèves travaillent selon le tableau en répondant aux questions posées par l'enseignant :

1. Quelle figure du tableau montre les graphiques :

a) fonction linéaire ;

b) proportionnalité directe ;

c) fonction quadratique ;

d) fonctions de la forme y=kx 3 ?

2. Quel signe a le coefficient k dans les formules de la forme y=kx+b, qui correspondent aux graphiques des figures 1, 2, 4, 5 du tableau ?

3. Trouvez dans le tableau des graphiques de fonctions linéaires dont les pentes sont :

a) sont égaux ;

b) égale en grandeur et opposée en signe.

(Ensuite toute la classe vérifie si l'élève appelé au tableau a correctement rempli le tableau et placé les points sur le plan de coordonnées).

2. L'explication commence par la motivation.

Professeur: Comme vous le savez, chaque fonction décrit certains processus qui se produisent dans le monde qui nous entoure.

Prenons par exemple un rectangle avec des côtés x et y et aire 12 cm 2 . On sait que x*y=12, mais que se passe-t-il si vous commencez à changer l'un des côtés du rectangle, disons un côté de longueur x?

Longueur du côté y peut être trouvé à partir de la formule y=12/x. Si x augmenter de 2 fois, il aura y=12/2x, c'est-à-dire côté oui diminuera de 2 fois. Si la valeur x augmenter de 3, 4, 5... fois, puis la valeur oui diminuera du même montant. Au contraire, si x diminuer plusieurs fois, puis oui augmentera du même montant. (Travailler selon le tableau).

Par conséquent, une fonction de la forme y=12/x est appelée proportionnalité inverse. En général, il s'écrit y=k/x, où k est une constante et k≠0.

C'est le sujet de la leçon d'aujourd'hui, nous l'avons noté dans nos cahiers. Je donne une définition stricte. Pour la fonction y=12/x, qui est un type spécial de proportionnalité inverse, nous avons déjà noté un certain nombre de valeurs de l'argument et de la fonction dans le tableau et représenterons les points correspondants sur le plan de coordonnées. A quoi ressemble le graphique de cette fonction ? Il est difficile de juger l'ensemble du graphique sur la base des points construits, car les points peuvent être connectés de n'importe quelle manière. Essayons ensemble de tirer des conclusions sur le graphique d'une fonction résultant de l'examen du tableau et de la formule.

Questions pour la classe :

1. Quel est le domaine de définition de la fonction y=12/x ?
2. Les valeurs y sont-elles positives ou négatives si

une)x

b) x>0 ?

3. Comment la valeur d'une variable change oui avec valeur changeante x?

Donc,

1. le point (0,0) n'appartient pas au graphique, c'est-à-dire il ne coupe ni l'axe OX ni l'axe OY ;
2. le graphique est en quarts de coordonnées Ι et ΙΙΙ ;
3. se rapproche en douceur des axes de coordonnées à la fois dans le quart de coordonnées Ι et dans le ΙΙΙ, et il se rapproche des axes aussi près que souhaité.

Ayant cette information, nous pouvons déjà relier les points de la figure (l'enseignant le fait lui-même au tableau) et voir le graphique complet de la fonction y=12/x. La courbe résultante s’appelle une hyperbole, ce qui signifie en grec « passer à travers quelque chose ». Cette courbe a été découverte par des mathématiciens de l'école grecque antique vers le 4ème siècle avant JC. Le terme hyperbole a été introduit par Apollonius de la ville de Pergame (Asie Mineure), qui a vécu aux VIe-VIIIe siècles. Colombie-Britannique

Maintenant, à côté du graphique de la fonction y=12/x, nous allons construire un graphique de la fonction y=-12/x. (Les élèves accomplissent cette tâche dans des cahiers et un élève au tableau).

En comparant les deux graphiques, les élèves remarquent que le second occupe 2 et 4 quartiers de coordonnées. De plus, si le graphique de la fonction y=12/x est affiché symétriquement par rapport à l'axe de l'ampli-op, alors le graphique de la fonction y=-12/x sera obtenu.

Question : Comment la localisation du graphique de l'hyperbole y=k/x dépend-elle du signe et de la valeur du coefficient k ?

Les élèves sont convaincus que si k>0, alors le graphe se situe dans Ι Et ΙΙΙ coordonner les quartiers, et si k

1. Le cours d'éducation physique est dispensé par l'enseignant.

1. La consolidation de ce qui est étudié s'effectue en complétant les numéros 180, 185 du manuel.

1. La leçon est résumée, notes, devoirs : p.8 n°179, 184.

Leçon 2 sur le sujet

"La fonction de proportionnalité inverse et son graphique."

Complété:

Telegina L.B.

Objectif de la leçon :

1. consolider l'habileté à construire un graphique d'une fonction de proportionnalité inverse ;
2. développer l'intérêt pour le sujet, la pensée logique ;
3. cultiver l’indépendance et l’attention.

Plan de cours :

1. Vérification de l'achèvement des devoirs.
2. Travail oral.
3. Résolution de problèmes.
4. Minute d'éducation physique.
5. Travail indépendant à plusieurs niveaux.
6. Bilan, évaluations, devoirs.

Matériel : cartes.

Progression de la leçon :

1. L'enseignant annonce le sujet de la leçon, les objectifs et le plan de la leçon.

Ensuite, deux élèves complètent les numéros de maison assignés 179, 184 au tableau.

1. Le reste des élèves travaille frontalement, répondant aux questions du professeur.

Questions :

• Définissez la fonction de proportionnalité inverse.
• Quel est le graphique d'une fonction de proportionnalité inverse.
• Comment la localisation du graphique de l'hyperbole y=k/x dépend-elle de la valeur du coefficient k ?

Quêtes :

1. Parmi les fonctions spécifiées par les formules figurent les fonctions de proportionnalité inverse :

une) y=x 2 +5, b) y=1/x, c) y= 4x-1, d) y=2x, e) y=7-5x, f) y=-11/x, g) y=x 3, h) y=15/x-2.

2. Pour les fonctions de proportionnalité inverse, nommez le coefficient et indiquez dans quels quartiers se situe le graphique.

3. Trouvez le domaine de définition des fonctions de proportionnalité inverse.

(Ensuite, les élèves vérifient les devoirs de chacun avec un crayon en fonction des solutions vérifiées par l'enseignant aux nombres au tableau et donnent une note).

Travail frontal selon le manuel n° 190, 191, 192, 193 (oral).

1. Exécution dans des cahiers et au tableau à partir du manuel n° 186(b), 187(b), 182.

4. Un cours d'éducation physique est dispensé par l'enseignant.

5. Le travail indépendant est proposé en trois options de complexité variable (réparties sur des fiches).

je c. (léger).

Tracez un graphique de la fonction de proportionnalité inverse y=-6/x à l'aide du tableau :

A l'aide du graphique, trouvez :

a) la valeur de y si x = - 1,5 ; 2 ;

b) la valeur de x à laquelle y = - 1 ; 4.

ΙΙ siècle (difficulté moyenne)

Tracez un graphique de la fonction de proportionnalité inverse y=16/x, après avoir d'abord rempli le tableau.

À l'aide du graphique, trouvez à quelles valeurs xy >0.

ΙΙΙ siècle (difficulté accrue)

Tracez un graphique de la fonction de proportionnalité inverse y=10/x-2, après avoir d'abord rempli le tableau.

Trouvez le domaine de définition de cette fonction.

(Les élèves remettent des feuilles avec des graphiques tracés pour les tests).

6. Résume le cours, les évaluations, les devoirs : n° 186 (a), 187 (a).