Informations de référence sur les fonctions trigonométriques sinus (sin x) et cosinus (cos x). Définition géométrique, propriétés, graphiques, formules. Tableau des sinus et cosinus, dérivées, intégrales, développements en séries, sécantes, cosécantes. Expressions via des variables complexes. Connexion avec les fonctions hyperboliques.

Définition géométrique du sinus et du cosinus

|BD|- longueur de l'arc de cercle dont le centre est en un point UN.
α - angle exprimé en radians.

Définition
Sinus (sin α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche opposée |BC| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Cosinus (cos α) est une fonction trigonométrique dépendant de l'angle α entre l'hypoténuse et la branche d'un triangle rectangle, égal au rapport de la longueur de la branche adjacente |AB| à la longueur de l'hypoténuse |AC|.

Notations acceptées

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;
.

Graphique de la fonction sinus, y = sin x

Graphique de la fonction cosinus, y = cos x

Propriétés du sinus et du cosinus

Périodicité

Fonctions y = péché x et y = parce que x périodique avec période 2π.

Parité

La fonction sinusoïdale est étrange. La fonction cosinus est paire.

Domaine de définition et valeurs, extrema, augmentation, diminution

Les fonctions sinus et cosinus sont continues dans leur domaine de définition, c'est-à-dire pour tout x (voir preuve de continuité). Leurs principales propriétés sont présentées dans le tableau (n - entier).

Formules de base

Somme des carrés du sinus et du cosinus

Formules pour le sinus et le cosinus à partir de la somme et de la différence

;
;

Formules pour le produit des sinus et des cosinus

Formules de somme et de différence

Exprimer le sinus par le cosinus

;
;
;
.

Exprimer le cosinus par le sinus

;
;
;
.

Expression par tangente

; .

Quand nous avons:
; .

À :
; .

Tableau des sinus et cosinus, tangentes et cotangentes

Ce tableau montre les valeurs des sinus et des cosinus pour certaines valeurs de l'argument.

Expressions via des variables complexes

;

La formule d'Euler

{ -∞ < x < +∞ }

Sécant, cosécant

Fonctions inverses

Les fonctions inverses du sinus et du cosinus sont respectivement l'arc sinus et l'arc cosinus.

Arc sinus, arc sinus

Arccosinus, arccos

Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.

Examen d'État unifié pour 4 ? Ne vas-tu pas éclater de bonheur ?

La question, comme on dit, est intéressante... C'est possible, c'est possible de réussir avec un 4 ! Et en même temps ne pas éclater... La condition principale est de faire de l'exercice régulièrement. Voici la préparation de base à l'examen d'État unifié en mathématiques. Avec tous les secrets et mystères de l'examen d'État unifié, que vous ne lirez pas dans les manuels... Étudiez cette section, résolvez plus de tâches provenant de diverses sources - et tout s'arrangera ! On suppose que la section de base « A C vous suffit ! » cela ne vous pose aucun problème. Mais si tout à coup... Suivez les liens, ne soyez pas paresseux !

Et nous commencerons par un sujet formidable et terrible.

Trigonométrie

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Ce sujet pose beaucoup de problèmes aux étudiants. Elle est considérée comme l’une des plus graves. Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ? Qu'est-ce qu'un cercle numérique ? Dès que l'on pose ces questions anodines, la personne pâlit et tente de détourner la conversation... Mais en vain. Ce sont des concepts simples. Et ce sujet n’est pas plus difficile que d’autres. Il vous suffit de comprendre clairement les réponses à ces mêmes questions dès le début. Il est très important. Si vous comprenez, vous aimerez la trigonométrie. Donc,

Que sont le sinus et le cosinus ? Que sont la tangente et la cotangente ?

Commençons par les temps anciens. Ne vous inquiétez pas, nous allons parcourir les 20 siècles de trigonométrie en 15 minutes environ et, sans nous en rendre compte, nous répéterons un morceau de géométrie de la 8e année.

Dessinons un triangle rectangle avec des côtés une, b, c et angle X. C'est ici.

Permettez-moi de vous rappeler que les côtés qui forment un angle droit sont appelés jambes. un et c- jambes. Il y a deux d'entre eux. Le côté restant s’appelle l’hypoténuse. Avec– l'hypoténuse.

Triangle et triangle, réfléchissez-y ! Que faire de lui ? Mais les anciens savaient quoi faire ! Répétons leurs actions. Mesurons le côté V. Sur la figure, les cellules sont spécialement dessinées, comme c'est le cas dans les tâches de l'examen d'État unifié. V Côté égal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurons le côté UN.

Trois cellules. Maintenant divisons la longueur du côté UN V par longueur de côté Maintenant divisons la longueur du côté. Ou, comme on dit aussi, prenons l’attitude V. À= 3/4.

un V V Au contraire, vous pouvez diviser égal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurons le côté sur V Nous obtenons 4/3. Peut diviser par Avec. Avec Hypoténuse Il est impossible de compter par cellules, mais il est égal à 5. On obtient haute qualité

= 4/5. En bref, vous pouvez diviser les longueurs des côtés les unes par les autres et obtenir des nombres.

Et alors? Quel est l’intérêt de cette activité intéressante ? Aucun pour l'instant. Un exercice inutile, pour parler franchement.) Maintenant, faisons ceci. Agrandissons le triangle. Allongons les côtés, mais pour que le triangle reste rectangulaire. Coin X, bien sûr, cela ne change pas. Pour voir cela, passez votre souris sur l'image ou touchez-la (si vous avez une tablette). Des soirées a, b et c se transformera en m, n, k, et bien sûr, les longueurs des côtés changeront.

Mais leur relation ne l’est pas !

Attitude Àétait: À= 3/4, est devenu m/n= 6/8 = 3/4. Les relations des autres parties concernées sont également ne changera pas . Vous pouvez modifier la longueur des côtés d'un triangle rectangle à votre guise, augmenter, diminuer, sans changer l'angle x – la relation entre les parties concernées ne changera pas . Vous pouvez le vérifier, ou vous pouvez croire les anciens sur parole.

Mais c’est déjà très important ! Les rapports des côtés d'un triangle rectangle ne dépendent en aucun cas de la longueur des côtés (au même angle). C’est si important que la relation entre les parties mérite son propre nom. Vos noms, pour ainsi dire.) Rencontrez-moi.

Quel est le sinus de l'angle x ? C'est le rapport du côté opposé à l'hypoténuse :

sinx = climatisation

Quel est le cosinus de l'angle x ? C'est le rapport de la jambe adjacente à l'hypoténuse :

Avecosx= haute qualité

Qu'est-ce que la tangente x ? C'est le rapport du côté opposé au côté adjacent :

tgx =À

Quelle est la cotangente de l'angle x ? C'est le rapport du côté adjacent au côté opposé :

ctgx = v/a

Tout est très simple. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont quelques nombres. Adimensionnelle. Juste des chiffres. Chaque angle a le sien.

Pourquoi est-ce que je répète tout de manière si ennuyeuse ? Alors qu'est-ce que c'est il faut se souvenir. Il est important de s'en souvenir. La mémorisation peut être facilitée. L’expression « Commençons de loin… » vous est-elle familière ? Alors commencez de loin.

Sinus l'angle est un rapport loin de l'angle de la jambe à l'hypoténuse. Cosinus– le rapport du voisin à l'hypoténuse.

Tangente l'angle est un rapport loin de l'angle de la jambe à celui de près. Cotangente- vice versa.

C'est plus facile, non ?

Eh bien, si vous vous souvenez que dans la tangente et la cotangente, il n'y a que des jambes, et que dans le sinus et le cosinus l'hypoténuse apparaît, alors tout deviendra assez simple.

Toute cette glorieuse famille - sinus, cosinus, tangente et cotangente est aussi appelée fonctions trigonométriques.

Maintenant, une question à considérer.

Pourquoi dit-on sinus, cosinus, tangente et cotangente coin? Nous parlons de la relation entre les parties, comme... Qu'est-ce que cela a à voir avec ça ? coin?

Regardons la deuxième photo. Exactement le même que le premier.

Passez votre souris sur l'image. J'ai changé l'angle X. Je l'ai augmenté de x à x. Toutes les relations ont changé ! Attitude Àétait de 3/4, et le rapport correspondant la télé est devenu 6/4.

Et toutes les autres relations sont devenues différentes !

Ainsi, les rapports des côtés ne dépendent en aucune façon de leurs longueurs (sous un angle x), mais dépendent fortement de cet angle même ! Et seulement de lui. Par conséquent, les termes sinus, cosinus, tangente et cotangente font référence à coin. L'angle ici est le principal.

Il faut bien comprendre que l'angle est inextricablement lié à ses fonctions trigonométriques. Chaque angle a son propre sinus et cosinus. Et presque tout le monde a sa propre tangente et cotangente. C'est important. On pense que si on nous donne un angle, alors son sinus, son cosinus, sa tangente et sa cotangente nous savons ! Et vice versa. Étant donné un sinus ou toute autre fonction trigonométrique, cela signifie que nous connaissons l’angle.

Il existe des tableaux spéciaux où pour chaque angle ses fonctions trigonométriques sont décrites. On les appelle tables Bradis. Ils ont été compilés il y a très longtemps. Quand il n’y avait pas encore de calculatrices ni d’ordinateurs…

Bien entendu, il est impossible de mémoriser les fonctions trigonométriques de tous les angles. Vous n’êtes tenu de les connaître que sous quelques angles, nous y reviendrons plus tard. Mais le sort Je connais un angle, ce qui veut dire que je connais ses fonctions trigonométriques » -ça marche toujours !

Nous avons donc répété un morceau de géométrie de la 8e année. En avons-nous besoin pour l'examen d'État unifié ? Nécessaire. Voici un problème typique de l'examen d'État unifié. Pour résoudre ce problème, la 8e année suffit. Photo donnée :

Tous. Il n'y a plus de données. Nous devons trouver la longueur du côté de l’avion.

Les cellules n'aident pas beaucoup, le triangle est en quelque sorte mal positionné... C'est exprès, je suppose... D'après les informations, il y a la longueur de l'hypoténuse. 8 cellules. Pour une raison quelconque, l’angle était donné.

C'est ici que vous devez immédiatement vous souvenir de la trigonométrie. Il existe un angle, ce qui signifie que nous connaissons toutes ses fonctions trigonométriques. Laquelle des quatre fonctions devrions-nous utiliser ? Voyons, que savons-nous ? Nous connaissons l'hypoténuse et l'angle, mais nous devons trouver adjacent cathéter dans ce coin ! C’est clair, le cosinus doit être mis en œuvre ! On y va. On écrit simplement, par la définition du cosinus (le rapport adjacent jambe à l'hypoténuse) :

cosC = BC/8

L'angle C est de 60 degrés, son cosinus est de 1/2. Il faut le savoir, sans aucun tableau ! C'est-à-dire:

1/2 = BC/8

Équation linéaire élémentaire. Inconnu - Soleil. Ceux qui ont oublié comment résoudre des équations, jetez un œil au lien, les autres résolvent :

BC = 4

Lorsque les peuples anciens ont réalisé que chaque angle avait son propre ensemble de fonctions trigonométriques, ils se sont posé une question raisonnable. Le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont-ils liés d'une manière ou d'une autre ? Pour qu'en connaissant une fonction d'angle, vous puissiez trouver les autres ? Sans calculer l'angle lui-même ?

Ils étaient tellement agités...)

Relation entre les fonctions trigonométriques d'un angle.

Bien entendu, le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d’un même angle sont liés les uns aux autres. Toute connexion entre expressions est donnée en mathématiques par des formules. En trigonométrie, il existe un nombre colossal de formules. Mais nous examinerons ici les plus élémentaires. Ces formules s'appellent : identités trigonométriques de base. Les voici:

Vous devez bien connaître ces formules. Sans eux, il n’y a généralement rien à faire en trigonométrie. Trois autres identités auxiliaires découlent de ces identités de base :

Je vous préviens tout de suite que les trois dernières formules s'effacent vite de votre mémoire. Pour une raison quelconque.) Vous pouvez, bien sûr, dériver ces formules des trois premières. Mais, dans les moments difficiles... Vous comprenez.)

Dans les problèmes standards, comme ceux ci-dessous, il existe un moyen d’éviter ces formules oubliables. ET réduire considérablement les erreursà cause de l'oubli, et dans les calculs aussi. Cette pratique se trouve dans la section 555, leçon « Relations entre fonctions trigonométriques de même angle ».

Dans quelles tâches et comment les identités trigonométriques de base sont-elles utilisées ? La tâche la plus courante consiste à trouver une fonction d'angle si une autre est donnée. Dans l'examen d'État unifié, une telle tâche est présente d'année en année.) Par exemple :

Trouvez la valeur de sinx si x est un angle aigu et cosx=0,8.

La tâche est presque élémentaire. Nous recherchons une formule qui contient du sinus et du cosinus. Voici la formule :

péché 2 x + cos 2 x = 1

On substitue ici une valeur connue, à savoir 0,8 au lieu du cosinus :

péché 2 x + 0,8 2 = 1

Bon, on compte comme d'habitude :

péché 2 x + 0,64 = 1

péché 2 x = 1 - 0,64

C'est pratiquement tout. Nous avons calculé le carré du sinus, il ne reste plus qu'à extraire la racine carrée et la réponse est prête ! La racine de 0,36 est 0,6.

La tâche est presque élémentaire. Mais le mot « presque » est là pour une raison... Le fait est que la réponse sinx= - 0,6 convient également... (-0,6) 2 sera également 0,36.

Il y a deux réponses différentes. Et il vous en faut un. La seconde est incorrecte. Comment être!? Oui, comme d'habitude.) Lisez attentivement le devoir. Pour une raison ou une autre, il est écrit :... si x est un angle aigu... Et dans les tâches, chaque mot a un sens, oui... Cette phrase est une information supplémentaire pour la solution.

Un angle aigu est un angle inférieur à 90°. Et dans de tels coins Tous fonctions trigonométriques - sinus, cosinus et tangente avec cotangente - positif. Ceux. Nous écartons simplement ici la réponse négative. Nous avons le droit.

En fait, les élèves de huitième année n’ont pas besoin de telles subtilités. Ils ne fonctionnent qu'avec des triangles rectangles, dont les coins ne peuvent être qu'aigus. Et ils ne savent pas, les heureux, qu'il existe à la fois des angles négatifs et des angles de 1000°... Et tous ces angles terribles ont leurs propres fonctions trigonométriques, plus et moins...

Mais pour les lycéens, sans tenir compte du signe, pas question. Beaucoup de connaissances multiplient les chagrins, oui...) Et pour la bonne solution, des informations complémentaires sont forcément présentes dans la tâche (si c'est nécessaire). Par exemple, il peut être donné par l'entrée suivante :

Ou d'une autre manière. Vous le verrez dans les exemples ci-dessous.) Pour résoudre de tels exemples, vous devez savoir Dans quel quartier se situe l'angle x donné et quel signe a la fonction trigonométrique souhaitée dans ce quartier ?

Ces bases de la trigonométrie sont abordées dans les leçons sur ce qu'est un cercle trigonométrique, la mesure des angles sur ce cercle, la mesure en radians d'un angle. Parfois, vous avez besoin de connaître la table des sinus, des cosinus des tangentes et des cotangentes.

Notons donc le plus important :

Conseils pratiques :

1. Rappelez-vous les définitions du sinus, du cosinus, de la tangente et de la cotangente. Ce sera très utile.

2. Nous comprenons bien : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente sont étroitement liés aux angles. Nous savons une chose, ce qui signifie que nous en savons une autre.

3. Nous comprenons clairement : le sinus, le cosinus, la tangente et la cotangente d'un angle sont liés les uns aux autres par des identités trigonométriques de base. Nous connaissons une fonction, ce qui signifie que nous pouvons (si nous disposons des informations supplémentaires nécessaires) calculer toutes les autres.

Décidons maintenant, comme d'habitude. Premièrement, les tâches relevant de la 8e année. Mais les lycéens peuvent le faire aussi...)

1. Calculez la valeur de tgA si ctgA = 0,4.

2. β est un angle dans un triangle rectangle. Trouvez la valeur de tanβ si sinβ = 12/13.

3. Déterminer le sinus de l'angle aigu x si tgх = 4/3.

4. Trouvez le sens de l’expression :

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. Trouvez le sens de l’expression :

(1-cosx)(1+cosx), si sinx = 0,3

Réponses (séparées par des points-virgules, en désordre) :

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Arrivé? Super! Les élèves de huitième année peuvent déjà aller chercher leurs A.)

Tout ne s'est pas bien passé ? Les tâches 2 et 3 ne sont pas très bonnes... ? Aucun problème! Il existe une belle technique pour de telles tâches. Tout peut être résolu pratiquement sans aucune formule ! Et donc sans erreurs. Cette technique est décrite dans la leçon : « Relations entre fonctions trigonométriques d'un angle » à la section 555. Toutes les autres tâches y sont également traitées.

Il s'agissait de problèmes similaires à ceux de l'examen d'État unifié, mais dans une version allégée. Examen d'État unifié - léger). Et maintenant presque les mêmes tâches, mais dans un format à part entière. Pour les lycéens chargés de connaissances.)

6. Trouver la valeur de tanβ si sinβ = 12/13, et

7. Déterminez sinх si tgх = 4/3, et x appartient à l'intervalle (- 540° ; - 450°).

8. Trouver la valeur de l'expression sinβ cosβ si ctgβ = 1.

Réponses (en désarroi) :

0,8; 0,5; -2,4.

Ici dans le problème 6 l'angle n'est pas précisé très clairement... Mais dans le problème 8 il n'est pas précisé du tout ! C'est exprès). Des informations supplémentaires proviennent non seulement de la tâche, mais également de la tête.) Mais si vous décidez, une tâche correcte est garantie !

Et si vous n'avez pas décidé ? Hmm... Eh bien, l'article 555 sera utile ici. Là, les solutions à toutes ces tâches sont décrites en détail, il est difficile de ne pas comprendre.

Cette leçon fournit une compréhension très limitée des fonctions trigonométriques. En 8e année. Et les anciens ont encore des questions...

Par exemple, si l'angle X(regardez la deuxième photo sur cette page) - rendez-le stupide !? Le triangle va complètement s'effondrer ! Alors, que devrions-nous faire? Il n'y aura plus de jambe, pas d'hypoténuse... Le sinus a disparu...

Si les peuples anciens n’avaient pas trouvé un moyen de sortir de cette situation, nous n’aurions plus de téléphone portable, de télévision ou d’électricité aujourd’hui. Oui oui! La base théorique de toutes ces choses sans fonctions trigonométriques est zéro sans bâton. Mais les peuples anciens n’ont pas déçu. Comment ils s’en sont sortis est dans la leçon suivante.

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Matériel de Wikipédia - l'encyclopédie gratuite

Fonctions trigonométriques- des fonctions élémentaires apparues historiquement lors de l'examen des triangles rectangles et qui exprimaient la dépendance des côtés de ces triangles aux angles aigus de l'hypoténuse (ou, de manière équivalente, la dépendance des cordes et des hauteurs à l'angle central (arc) dans un cercle). Ces fonctions ont trouvé de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques. Par la suite, la définition des fonctions trigonométriques a été élargie, leur argument peut désormais être un nombre réel arbitraire ou même un nombre complexe. La science qui étudie les propriétés des fonctions trigonométriques s'appelle la trigonométrie.

Les fonctions trigonométriques comprennent :

Fonctions trigonométriques directes

• sinus ( $\backslash péché\; x$)
• cosinus ( $\backslash cosx$)

• tangente ( $\backslash mathrm(tg)\backslash ,\; x$)
• cotangente ( $\backslash mathrm(ctg)\backslash ,\; x$)

• sécante ( $\backslash sec\; x$)
• cosécant ( $\backslash mathrm(cosec)\backslash ,\; x$)

Dans la littérature occidentale, tangente, cotangente et cosécante sont notées $\backslash tan\; x,\; \backslash cot\; x,\; \backslash csc\; x$.

Outre ces six fonctions, il existe également des fonctions trigonométriques rarement utilisées (versine, etc.), ainsi que des fonctions trigonométriques inverses (arcsinus, arccosinus, etc.), traitées dans des articles séparés.

Le sinus et le cosinus de l'argument réel sont des fonctions périodiques et à valeurs infiniment réelles. Les quatre fonctions restantes sur l'axe réel sont également à valeur réelle, périodiques et infiniment différentiables dans le domaine de définition, mais non continues. Tangente et sécante présentent en certains points des discontinuités du deuxième type $\backslash pm\; \backslash pi\; n\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(2)$, et la cotangente et la cosécante sont aux points $\backslash pm\backslash pi\; n$.
Des graphiques de fonctions trigonométriques sont présentés sur la Fig. 1.

Méthodes de détermination

Définition géométrique

Les fonctions généralement trigonométriques sont définies géométriquement. Donnons-nous un système de coordonnées cartésiennes sur un plan et construisons un cercle de rayon $R.$ centré à l'origine $Ô$. N'importe quel angle peut être considéré comme une rotation depuis la direction positive de l'axe des x vers un rayon. $O.B.$, tandis que le sens de rotation dans le sens antihoraire est considéré comme positif et le sens dans le sens horaire est considéré comme négatif. Points en abscisse $B$ désignons $x\_B$, on note l'ordonnée $y\_B$(voir l'image).

• Le sinus est le rapport $\backslash sin\; \backslash alpha=\backslash frac(y\_B)(R).$
• Le cosinus est le rapport $\backslash cos\; \backslash alpha=\backslash frac(x\_B)(R).$
• La tangente est définie comme $\backslash operatorname(tg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(y\_B)(x\_B).$
• La cotangente est définie comme $\backslash operatorname(ctg)\; \backslash alpha=\backslash frac(\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(x\_B)(y\_B).$
• La sécante est définie comme $\backslash sec\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(R)(x\_B).$
• La cosécante est définie comme $\backslash operatorname(cosec)\; \backslash alpha=\backslash frac(1)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(R)(y\_B).$

Il est clair que les valeurs des fonctions trigonométriques ne dépendent pas de la taille du rayon du cercle $R.$ en raison des propriétés de figures similaires. Souvent, ce rayon est pris égal à la taille d'un segment unitaire, alors le sinus est simplement égal à l'ordonnée $y\_B$, et le cosinus est l'abscisse $x\_B$. La figure 3 montre les amplitudes des fonctions trigonométriques pour le cercle unité.

Les fonctions trigonométriques sont des fonctions avec des points $2\backslash pi\; ~\; (360^\backslash circ)$ pour sinus, cosinus, sécante et cosécante, et $\backslash pi~(180^\backslash circ)$ pour la tangente et la cotangente.
Les fonctions trigonométriques de n'importe quel angle peuvent être réduites aux fonctions trigonométriques d'un angle aigu, en utilisant leur périodicité et ce qu'on appelle. Cela est nécessaire, par exemple, pour trouver les valeurs des fonctions trigonométriques à partir de tableaux, car les tableaux donnent généralement des valeurs uniquement pour les angles aigus.

Etude des fonctions en analyse mathématique

Définition des fonctions trigonométriques comme solutions d'équations différentielles

Les fonctions cosinus Et sinus peut être défini comme des solutions paires (cosinus) et impaires (sinus) de l'équation différentielle

$\backslash frac(d^2)(d\backslash varphi^2)R(\backslash varphi)\; =\; -\; R(\backslash varphi),$

avec des conditions supplémentaires $R(0)\; =\; 1$ pour le cosinus et $R"(0)\; =\; 1$ pour le sinus, c'est-à-dire en fonctions d'une variable dont la dérivée seconde est égale à la fonction elle-même, prise avec un signe moins :

$\backslash \; \backslash gauche(\backslash cos\; x\backslash droite)$= - \cosx, $\backslash \; \backslash gauche(\backslash sin\; x\backslash droite)$= - \péché x.

Définition des fonctions trigonométriques comme solutions d'équations fonctionnelles

Les fonctions cosinus Et sinus peuvent être définis comme des solutions ( $F$ Et $g$ respectivement) systèmes d'équations fonctionnelles :

dans des conditions supplémentaires

$f(x)^2\; +\; g(x)^2\; =\; 1,$ $g(\backslash pi/2)\; =\; 1,$ Et

Définir des fonctions trigonométriques par séries

En utilisant la géométrie et les propriétés des limites, on peut prouver que la dérivée du sinus est égale au cosinus et que la dérivée du cosinus est égale au moins le sinus. Ensuite, vous pouvez utiliser la théorie des séries de Taylor et représenter le sinus et le cosinus comme des séries entières :

$\backslash sin\; x=x-\backslash frac(x^3)(3+\backslash frac\{x^5\}\{5!\}-\backslash frac\{x^7\}\{7!\}+\backslash frac\{x^9\}\{9!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\},!\}$ $\backslash cos\; x=1-\backslash frac(x^2)(2+\backslash frac\{x^4\}\{4!\}-\backslash frac\{x^6\}\{6!\}+\backslash frac\{x^8\}\{8!\}-\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\backslash frac\{(-1)^nx^\{2n\}\}\{(2n)!\}.!\}$

Utiliser ces formules, ainsi que les égalités $\backslash operatorname(tg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,x=\backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x),$ $\backslash sec\; x=\backslash frac(1)(\backslash cos\; x)$ Et $\backslash nom\; de\; l\text{'}opérateur(cosec)\backslash ,x=\backslash frac(1)(\backslash sin\; x),$ Vous pouvez trouver des développements en série d'autres fonctions trigonométriques :

$\backslash int\backslash sin\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash cos\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash cos\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash sin\; x\; +\; C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(tg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; -\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash cos\; x\backslash right|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash mathop(\backslash operatorname(ctg))\backslash ,\; x\backslash ,\; dx\; =\; \backslash ln\; \backslash left|\; \backslash péché\; x\; \backslash droit|\; +C\backslash ,$

$\backslash int\backslash sec\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash left(\backslash frac\; (\backslash pi)(4)+\backslash frac(x)(2)\backslash right)\; \backslash right|+\; C\; \backslash ,$

$\backslash int\; \backslash operatorname(cosec)~\; x\backslash ,\; dx=\backslash ln\; \backslash left|\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash ,\; \backslash frac(x)(2)\; \backslash right|+\; C.$

Valeurs des fonctions trigonométriques pour certains angles

Les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente, de la cotangente, de la sécante et de la cosécante pour certains angles sont données dans le tableau. (« ∞ » signifie que la fonction au point spécifié n'est pas définie, mais tend vers l'infini dans son voisinage).

Valeurs des fonctions trigonométriques des angles non standard

Valeurs des fonctions trigonométriques pour certains autres angles

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5$

}{16},

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 87^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(\backslash sqrt(5)+2)-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3)+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt\; (5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(29\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 3^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 87^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)\; +2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5\; -\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 84^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5\; -\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 6^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 84^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+3))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)-2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 81^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2)(\; \backslash sqrt(5)+1)+2\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1-\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(9\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 9^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 81^\; \backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)+1+\backslash sqrt(5+2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(2(5\; +\backslash sqrt(5)))-\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 78^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(6(5\; +\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)-1)(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))-\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 12^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 78^\; \backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(23\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 21^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 69^\backslash circ\; =\; \backslash frac(2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)\; +1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 5)+1+\backslash sqrt(6(5-\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(2\backslash ,\backslash pi)(15)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 24^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 66^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5-\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash sin\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash cos\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 63^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(5)-1)+2\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1-\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(3\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(20)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 27^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 63^\backslash circ\; =\; (\backslash sqrt(5)-1+\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5))),$

$\backslash sin\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-\backslash sqrt\; (2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)-1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5+\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5))+(2-\backslash sqrt(3))(\backslash sqrt(3\; )(\backslash sqrt(5)+1)-2)\backslash sqrt(5-2\backslash sqrt(5)))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(11\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(19\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 33^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 57^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)+2)+\backslash sqrt(3)(3+\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )-1)+2)\backslash sqrt(2(25+11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)+1)(\backslash sqrt(5)+1)-2(\backslash sqrt(3)-1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash cos\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash cos\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 2)(\backslash sqrt(3)-1)(\backslash sqrt(5)+1)+2(\backslash sqrt(3)+1)\backslash sqrt(5-\backslash sqrt(5)))(16),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)+\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )+1)+2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(13\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(17\backslash ,\backslash pi)(60)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 39^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 51^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-2(2(\backslash sqrt(5)-2)-\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5)))+(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5\; )+1)-2)\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(4),$

$\backslash sin\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash cos\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(-(\backslash \; sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash cos\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash cos\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(\; 3)(\backslash sqrt(5)-1)+\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(8),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(\backslash sqrt(5)+1)-\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(7\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(8\backslash ,\backslash pi)(30)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 42^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(tg\; )\; 48^\backslash circ\; =\; \backslash frac(\backslash sqrt(3)(3-\backslash sqrt(5))+\backslash sqrt(2(25-11\backslash sqrt(5))))(2),$

$\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; \backslash frac(59\backslash ,\backslash pi)(120)\; =\; \backslash operatorname(tg)\; 1,5^\backslash circ\; =\; \backslash operatorname(ctg)\; 88,5^\; \backslash circ\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac(8-\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))\; -\; \backslash sqrt(\; 2(2+\backslash sqrt(3))(5\; +\backslash sqrt(5))))(8+\backslash sqrt(2(2-\backslash sqrt(3))(3-\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(2(2+\backslash sqrt(3))(\; 5+\backslash sqrt(5)))\; )),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(240)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(119\backslash ,\backslash pi)(240)\; =\; \backslash cos\; 0,75^\backslash circ\; =\; \backslash sin\; 89,25^\backslash circ\; =\; \backslash frac(1)(16)\; \backslash \; gauche(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left(\backslash sqrt(2(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(3)(1-\backslash sqrt(5)\; )\; \backslash droite)\; +\; \backslash droite.$ $\backslash gauche.\; +\; \backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2)))\; \backslash left\; (\backslash sqrt(6(5+\backslash sqrt(5)))+\backslash sqrt(5)\; -\; 1\; \backslash right)\; \backslash right),$

$\backslash cos\; \backslash frac(\backslash pi)(17)\; =\; \backslash sin\; \backslash frac(15\backslash ,\backslash pi)(34)\; =\; \backslash frac(1)(8)\backslash sqrt(2\; \backslash left(2\backslash sqrt(3\backslash sqrt(\; 17)-\backslash sqrt(2(85+19\backslash sqrt(17)))\; +17)+\backslash sqrt(2(17-\backslash sqrt(17)))+\backslash sqrt(17)+15\; \backslash right)).$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; SUBST$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over2^(n+1))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(2))))\_(n),\; n\backslash \; in\backslash mathbb\; SUBST$

$\backslash sin(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2-\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; géq\; 2$

$\backslash cos(\backslash pi\backslash over3\backslash cdot2^(n))=(1\backslash over2)\backslash underbrace(\backslash sqrt(2+\backslash sqrt(2+\backslash dots+\backslash sqrt(3))))\_(n),\; n\backslash \; géq\; 2$ }}

Propriétés des fonctions trigonométriques

Les identités les plus simples

Puisque le sinus et le cosinus sont respectivement l'ordonnée et l'abscisse du point correspondant à l'angle α sur le cercle unité, alors, d'après l'équation du cercle unité ou le théorème de Pythagore, on a :

$\backslash sin^2\; \backslash alpha\; +\; \backslash cos^2\; \backslash alpha\; =\; 1.$

Ce rapport est appelé identité trigonométrique de base.

En divisant cette équation par le carré du cosinus et du sinus, respectivement, nous obtenons ce qui suit :

$1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash cos^2\; \backslash alpha),$ $1\; +\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,^2\; \backslash alpha\; =\; \backslash frac(1)(\; \backslash sin^2\; \backslash alpha),$ $\backslash mathop(\backslash mathrm(tg))\backslash ,\backslash alpha\; \backslash cdot\; \backslash mathop(\backslash mathrm(ctg))\backslash ,\backslash alpha=1.$

Continuité

Formules de demi-angle :

$\backslash sin\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; 0\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; 2\backslash pi,$ $\backslash cos\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash sqrt(\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(2)),\backslash quad\; -\backslash pi\; \backslash leqslant\; \backslash alpha\; \backslash leqslant\; \backslash pi,$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(1-\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1+\backslash cos\backslash alpha)\; ,$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash frac(\backslash alpha)(2)=\backslash frac(\backslash sin\backslash alpha)(1-\backslash cos\backslash alpha)=\backslash frac(1+\backslash cos\backslash alpha)(\backslash sin\backslash alpha)\; ,$

Travaux

Formules pour les produits de fonctions de deux angles :

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(2),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash bêta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash bêta)),$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash \; bêta)\; -\backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta)),$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash alpha\backslash ,\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\backslash beta\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta))(\backslash cos(\backslash alpha-\; \backslash bêta)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash bêta)).$

Formules similaires pour les produits des sinus et des cosinus de trois angles :

$\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash sin\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash sin\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(-\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash \; gamma)\; -\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash sin\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; -\; \backslash sin(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash sin(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; -\; \backslash sin(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4),$ $\backslash cos\backslash alpha\; \backslash cos\backslash beta\; \backslash cos\backslash gamma\; =\; \backslash frac(\backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta-\backslash gamma)\; +\; \backslash cos(\backslash beta+\backslash gamma-\backslash alpha)\; +\; \backslash cos(\backslash alpha-\backslash beta+\backslash gamma\; )\; +\; \backslash cos(\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma))(4).$

Les formules pour les produits des tangentes et des cotangentes de trois angles peuvent être obtenues en divisant les côtés droit et gauche des égalités correspondantes présentées ci-dessus.

Degrés

Les montants

Il existe une représentation :

$A\; \backslash sin\; \backslash alpha\; +\; B\; \backslash cos\; \backslash alpha\; =\; \backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)\backslash ;\backslash sin(\backslash alpha\; +\; \backslash phi),$

où est l'angle $\backslash phi$ se trouve à partir des relations :

$\backslash sin\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(B)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)),\; \backslash quad\; \backslash cos\; \backslash phi\; =\; \backslash frac(A)(\backslash sqrt(A^2\; +\; B^2)).$

Substitution trigonométrique universelle

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes de tangente à un demi-angle.

$\backslash sin\; x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(1)\; =\; \backslash frac(2\backslash sin\; \backslash frac(x)(2)\backslash cos\; \backslash frac(x)(2))(\backslash sin^2\; \backslash frac(x)\; (2)\; +\; \backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x\; )(2))$

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(1)\; =\; \backslash frac(\backslash cos^2\; \backslash frac(x)(2)\; -\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))(\backslash cos^2\; \backslash \; frac(x)(2)\; +\; \backslash sin^2\; \backslash frac(x)(2))\; =\backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; +\; \backslash operatorname(tg\; )^2\; \backslash frac(x)(2))$

$\backslash operatorname(tg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; x)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash operatorname(ctg)~x\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; x)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(2\backslash operatorname(tg)\; \backslash \; frac(x)(2))$

$\backslash sec\; x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))(1\; -\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x\; )(2))$

$\backslash operatorname(cosec)~x\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; x)\; =\; \backslash frac(1\; +\; \backslash operatorname(tg)^2\; \backslash frac(x)(2))\; (2\backslash operatorname(tg)\; \backslash frac(\; x)(2))$

Fonctions trigonométriques d'argument complexe

Définition

permet de définir des fonctions trigonométriques d'arguments complexes à travers une exponentielle ou (en utilisant des séries) comme continuation analytique de leurs analogues réels :

$\backslash sin\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n+1)z^\{2n+1\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; -\; e^\{-i\; z\}\}\{2i\}\backslash ,\; =\; \backslash frac\{\backslash operatorname\{sh\}\; i\; z\; \}\{i\};\; !\}$ $\backslash cos\; z\; =\; \backslash sum\_(n=0)^\backslash infty\; \backslash frac((-1)^(n))((2n)z^\{2n\}\; =\; \backslash frac\{e^\{i\; z\}\; +\; e^\{-i\; z\}\}\{2\}\backslash ,\; =\; \backslash operatorname\{ch\}\; i\; z;\; !\}$ $\backslash operatorname(tg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash sin\; z)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z))(i(e^(i\; z)\; +\; e^(\; -je\; z)));$ $\backslash operatorname(ctg)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(\backslash cos\; z)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(i(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z)))(e^(i\; z)\; -\; e^\; (-je\; z));$ $\backslash sec\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash cos\; z)\; =\; \backslash frac(2)(e^(i\; z)\; +\; e^(-i\; z));$ $\backslash operatorname(cosec)\backslash ,\; z\; =\; \backslash frac(1)(\backslash sin\; z)\; =\; \backslash frac(2i)(e^(i\; z)\; -\; e^(-i\; z)),$ Où $je\; ^\; 2\; =\; -1.$

En conséquence, pour de vrai X,

$\backslash cos\; x\; =\; \backslash operatorname(Re)(e^(i\; x)),$ $\backslash sin\; x\; =\; \backslash operatorname(Im)(e^(i\; x)).$

Le sinus et le cosinus complexes sont étroitement liés aux fonctions hyperboliques :

$\backslash sin\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; +\; i\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y,$ $\backslash cos\; (x\; +\; iy)\; =\; \backslash cos\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(ch)\backslash ,\; y\; -\; i\; \backslash sin\; x\backslash ,\; \backslash operatorname(sh)\backslash ,\; y.$

La plupart des propriétés des fonctions trigonométriques énumérées ci-dessus sont conservées dans le cas complexe. Quelques propriétés supplémentaires :

• Le sinus et le cosinus complexes, contrairement aux réels, peuvent prendre des valeurs arbitrairement grandes en valeur absolue ;
• tous les zéros du sinus et du cosinus complexes se trouvent sur l'axe réel.

Graphiques complexes

Les graphiques suivants montrent le plan complexe et mettent en évidence les valeurs de fonction en couleur. La luminosité reflète la valeur absolue (noir - zéro). La couleur change avec l'argument et l'angle selon la carte.

$$ \péché\, z	$$ \cos\,z	$$ \nom de l'opérateur(tg)\, z	$$ \nom de l'opérateur(ctg)\, z	$$ \sec\, z	$$ \nom de l'opérateur(cosec)\, z

Histoire des noms

Ligne sinusoïdale(ligne AB allumée) Les mathématiciens indiens appelaient initialement « arha-jiva » (« demi-corde », c'est-à-dire un demi-accord), puis le mot « archa » a été abandonné et la ligne sinusoïdale a commencé à être appelée simplement « jiva ». Les traducteurs arabes n'ont pas traduit le mot « jiva » par le mot arabe « watar », signifiant corde et accord, mais l'ont transcrit en lettres arabes et ont commencé à appeler la ligne sinusoïdale « jiba ». Puisqu'en arabe les voyelles courtes ne sont pas désignées et que le long « i » dans le mot « jiba » est désigné de la même manière que la semi-voyelle « y », les Arabes ont commencé à prononcer le nom de la ligne sinusoïdale comme : Arabe . جيب ‎ - « jaib », qui signifie littéralement « creux », « sinus ». Lors de la traduction d'écrits arabes en latin, les traducteurs européens ont traduit le mot « jaib » en mot latin lat. sinus - "sinus", ayant la même signification. Terme "cosinus"(lat. cosinus) est une abréviation de Lat. complément sinusal- sinus supplémentaire.

Notations sténographiques modernes $\backslash péché,\; ~\; \backslash cos$ introduit par B. Cavalieri et William Oughtred et inscrit dans les œuvres d'Euler.

Plus tard, des termes pour les fonctions trigonométriques inverses ont été introduits - arc sinus, arc cosinus, arc tangente, arc cotangente, arc sécante, arc cosécante- en ajoutant un préfixe "cambre"(de lat. arcus- arc), - J. Lagrange et al.

voir également

• Tableaux mathématiques à quatre chiffres (tables de Bradis)

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Littérature

• Bermant A.F. Lyusternik L.A. Trigonométrie. - M. : Nauka, 1967.
• Fonctions trigonométriques- article de la Grande Encyclopédie soviétique. - M. : « Encyclopédie soviétique », 1977. - T. 26. - p. 204-206.
• Bronshtein I. N., Semendyaev K. A. Trigonométrie rectiligne // Manuel de mathématiques. - Éd. 7ème, stéréotypé. - M. : Maison d'édition d'État de littérature technique et théorique, 1967. - P. 179-184.
• Vygodsky M. Ya.. - M. : Sciences, 1978.
  • Réimpression : M. : AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6, www.alleng.ru/d/math/math42.htm, 509 pp.
• Dwight G.B. Fonctions trigonométriques // Tableaux d'intégrales et autres formules mathématiques. - 4e éd. - M. : Nauka, 1973. - P. 70-102.
• Kojeurov P.A.. Trigonométrie. - M. : Fizmatgiz, 1963.
• Markushevich A. I. Des sinus merveilleux. - M. : Nauka, 1974.
• Encyclopédie mathématique / Ch. éd. I.M. Vinogradov. - M. : « Encyclopédie soviétique », 1984. - .
• Fonctions trigonométriques // Dictionnaire encyclopédique des jeunes mathématiciens / Ed. collège, Gnedenko B.V.. (éd. en chef), Savin A.P.. et autres - M. : Pédagogie, 1985 (1989). - P. 299-301-305. - 352 p., ill. ISBN 5-7155-0218-7 (page , - tableaux des fonctions trigonométriques 0°-90°, y compris en radians)
• Fonctions trigonométriques // Manuel de mathématiques (pour les établissements d'enseignement secondaire) / Tsypkin A. G., éd. Stepanova S.A. - 3e éd. - M. : Sciences, Ch. rédaction de physique et mathématiques. littérature, 1983. - pp. 240-258. - 480 s.

Liens

• - cercle unité clarifié, fonctions trigonométriques et hyperboliques (Java Web Start)
• Weisstein, Éric W.(anglais) sur le site Web de Wolfram MathWorld.
• - traduction de l'article (anglais)

Remarques

Un extrait caractérisant les fonctions trigonométriques

Pendant l'entracte, il y avait une odeur de froid dans la loge d'Hélène, la porte s'ouvrit et, se penchant et essayant de n'attraper personne, Anatole entra.
"Laissez-moi vous présenter mon frère", dit Helen, passant nerveusement ses yeux de Natasha à Anatole. Natasha tourna sa jolie tête par-dessus son épaule nue vers le bel homme et sourit. Anatole, qui était aussi beau de près que de loin, s'assit à côté d'elle et lui dit qu'il désirait depuis longtemps avoir ce plaisir, depuis le bal Narychkine, où il avait eu le plaisir, mais qu'il n'avait pas eu. oublié, de la voir. Kuragin était beaucoup plus intelligent et plus simple avec les femmes que dans la société masculine. Il parlait avec audace et simplicité, et Natasha fut étrangement et agréablement frappée par le fait que non seulement il n'y avait rien de si terrible chez cet homme dont on parlait tant, mais qu'au contraire, il avait le plus naïf, le plus joyeux et le plus bon. sourire naturel.
Kuragin a demandé quelle était l'impression de la performance et lui a raconté comment Semenova était tombée en jouant lors de la dernière représentation.
« Vous savez, comtesse, dit-il soudain en s'adressant à elle comme s'il s'agissait d'une vieille connaissance, nous organisons un carrousel en costumes ; vous devriez y participer : ce sera très amusant. Tout le monde se rassemble chez les Karagin. S'il te plaît, viens, n'est-ce pas ? - il a dit.
En disant cela, il ne quittait pas de ses yeux souriants le visage, le cou et les bras nus de Natasha. Natasha savait sans aucun doute qu'il l'admirait. Elle en était contente, mais pour une raison quelconque, sa présence la faisait se sentir à l'étroit et lourde. Lorsqu'elle ne le regardait pas, elle sentait qu'il regardait ses épaules, et elle interceptait involontairement son regard pour qu'il puisse mieux regarder ses yeux. Mais, en le regardant dans les yeux, elle sentit avec peur qu'entre lui et elle il n'y avait absolument aucune barrière de pudeur qu'elle avait toujours ressentie entre elle et les autres hommes. Elle, sans savoir comment, au bout de cinq minutes, se sentit terriblement proche de cet homme. Lorsqu'elle se détourna, elle eut peur qu'il lui prenne la main nue par derrière et lui embrasse le cou. Ils parlaient des choses les plus simples et elle se sentait proche, comme si elle n'avait jamais été avec un homme. Natasha regarda Helen et son père, comme pour leur demander ce que cela signifiait ; mais Hélène était occupée à parler avec un général et ne répondait pas à son regard, et le regard de son père ne lui disait rien d'autre que ce qu'il disait toujours : « C'est amusant, eh bien, je suis content.
Dans l'un des moments de silence gênant, pendant lequel Anatole la regardait calmement et obstinément avec ses yeux exorbités, Natasha, afin de rompre ce silence, lui demanda comment il aimait Moscou. » demanda Natasha et rougit. Il lui semblait constamment qu'elle faisait quelque chose d'indécent en lui parlant. Anatole sourit, comme pour l'encourager.
– Au début, ça ne me plaisait pas beaucoup, parce que ce qui rend une ville agréable, ce sont les jolies femmes, n'est-ce pas ? Eh bien, maintenant, j'aime vraiment ça," dit-il en la regardant d'un air significatif. – Voulez-vous aller au carrousel, Comtesse ? "Allez", dit-il, et, tendant la main vers son bouquet et baissant la voix, il dit : "Vous serez la plus jolie." Venez, chère comtesse, et comme gage, donnez-moi cette fleur. [Tu seras la plus jolie. Allez, chère comtesse, et donnez-moi cette fleur en gage.]
Natasha n'a pas compris ce qu'il a dit, tout comme lui-même, mais elle a senti qu'il y avait une intention indécente dans ses paroles incompréhensibles. Elle ne savait pas quoi dire et se détourna comme si elle n'avait pas entendu ce qu'il disait. Mais dès qu'elle se détourna, elle crut qu'il était là derrière elle, si près d'elle.
« Qu'est-ce qu'il est maintenant ? Est-il confus ? En colère? Dois-je résoudre ce problème ? se demanda-t-elle. Elle ne pouvait s'empêcher de regarder en arrière. Elle le regarda droit dans les yeux, et sa proximité, sa confiance, ainsi que la tendresse bon enfant de son sourire la vainquirent. Elle sourit tout comme lui, le regardant droit dans les yeux. Et de nouveau, elle sentit avec horreur qu'il n'y avait aucune barrière entre lui et elle.
Le rideau se leva de nouveau. Anatole sortit du box, calme et joyeux. Natasha est revenue dans la loge de son père, complètement subjuguée par le monde dans lequel elle se trouvait. Tout ce qui se passait devant elle lui paraissait déjà tout à fait naturel ; mais pour cela, toutes ses pensées antérieures sur le marié, sur la princesse Marya, sur la vie du village ne lui sont jamais venues à l'esprit, comme si tout cela était il y a très, très longtemps.
Dans le quatrième acte, il y avait une sorte de diable qui chantait en agitant la main jusqu'à ce que les planches soient retirées sous lui et il s'assit là. Natasha n'a vu que cela dès le quatrième acte : quelque chose l'inquiétait et la tourmentait, et la cause de cette excitation était Kuragin, qu'elle suivait involontairement des yeux. Lorsqu'ils sortirent du théâtre, Anatole s'approcha d'eux, appela leur voiture et vint les chercher. Alors qu'il asseyait Natasha, il lui serra la main au-dessus du coude. Natasha, excitée et rouge, le regarda. Il la regarda, les yeux pétillants et souriant tendrement.

Ce n'est qu'après son arrivée à la maison que Natasha a pu réfléchir clairement à tout ce qui lui était arrivé et, se souvenant soudain du prince Andrei, elle a été horrifiée, et devant tout le monde au thé, où tout le monde s'est assis après le théâtre, elle a haleté bruyamment et s'est enfuie. de la pièce, rougi. - "Mon Dieu! Je suis mort! se dit-elle. Comment pourrais-je laisser cela arriver ? elle pensait. Elle resta assise un long moment, couvrant son visage rouge avec ses mains, essayant de se rendre compte clairement de ce qui lui était arrivé, et ne parvenait ni à comprendre ce qui lui était arrivé, ni ce qu'elle ressentait. Tout lui semblait sombre, flou et effrayant. Là, dans cette immense salle illuminée, où Duport sautait sur les planches mouillées au son de la musique, jambes nues dans une veste à paillettes, et des filles, et des vieillards, et Hélène, nue avec un sourire calme et fier, criait « bravo » dans la joie - là, sous l'ombre de cette Hélène, là tout était clair et simple ; mais maintenant seule, avec elle-même, c'était incompréhensible. - "Ce que c'est? Quelle était cette peur que j'éprouvais pour lui ? Quel est ce remords que je ressens maintenant ? elle pensait.
Natasha serait capable de dire à la vieille comtesse, seule au lit, la nuit, tout ce qu'elle pensait. Sonya, elle le savait, avec son regard sévère et intégral, soit n'aurait rien compris, soit aurait été horrifiée par ses aveux. Natasha, seule avec elle-même, essayait de résoudre ce qui la tourmentait.
« Suis-je mort pour l'amour du prince Andrei ou pas ? se demanda-t-elle et, avec un sourire rassurant, répondit : quel genre d'imbécile suis-je pour demander cela ? Qu'est-ce qu'il m'est arrivé? Rien. Je n'ai rien fait, je n'ai rien fait pour provoquer ça. Personne ne le saura et je ne le reverrai plus jamais, se dit-elle. Il est devenu clair que rien ne s'était passé, qu'il n'y avait rien à se repentir, que le prince Andrei pouvait m'aimer comme ça. Mais quel genre ? Oh mon Dieu, mon Dieu ! Pourquoi n'est-il pas là ? Natasha s'est calmée un instant, mais là encore, un instinct lui a dit que même si tout cela était vrai et que rien ne s'était passé, l'instinct lui disait que toute l'ancienne pureté de son amour pour le prince Andrey avait péri. Et encore une fois, dans son imagination, elle répéta toute sa conversation avec Kouraguine et imagina le visage, les gestes et le doux sourire de cet homme beau et courageux, tandis qu'il lui serrait la main.

Anatol Kuragin vivait à Moscou parce que son père l'avait renvoyé de Saint-Pétersbourg, où il vivait plus de vingt mille dollars par an en argent et le même montant de dettes que les créanciers exigeaient de son père.
Le père annonça à son fils qu'il payait pour la dernière fois la moitié de ses dettes ; mais seulement pour qu'il se rende à Moscou au poste d'adjudant du commandant en chef, qu'il lui a procuré, et qu'il essaie enfin de s'y faire un bon parti. Il lui montra la princesse Marya et Julie Karagina.
Anatole accepta et se rendit à Moscou, où il resta avec Pierre. Pierre accepta Anatole à contrecœur au début, mais ensuite s'habitua à lui, l'accompagna parfois dans ses beuveries et, sous prétexte d'un prêt, lui donna de l'argent.
Anatole, comme Shinshin le disait à juste titre à son sujet, depuis son arrivée à Moscou, a rendu folles toutes les dames de Moscou, notamment parce qu'il les négligeait et leur préférait évidemment les gitans et les actrices françaises, à la tête desquelles, Mademoiselle Georges, comme on disait, il avait des relations intimes. Il ne manquait pas une seule fête avec Danilov et d'autres joyeux camarades de Moscou, buvait toute la nuit, plus que tout le monde, et assistait à toutes les soirées et bals de la haute société. On parla de plusieurs de ses intrigues avec des dames de Moscou, et aux bals il en courtisait quelques-unes. Mais il ne se rapprochait pas des filles, surtout des épouses riches, qui pour la plupart étaient toutes mauvaises, d'autant plus qu'Anatole, que personne ne connaissait sauf ses amis les plus proches, s'était marié il y a deux ans. Il y a deux ans, alors que son régiment était stationné en Pologne, un pauvre propriétaire foncier polonais a forcé Anatole à épouser sa fille.
Anatole abandonna très vite sa femme et, contre l'argent qu'il accepta d'envoyer à son beau-père, il négocia pour lui-même le droit d'être considéré comme un homme célibataire.
Anatole était toujours satisfait de sa position, de lui-même et des autres. Il était instinctivement convaincu de tout son être qu'il ne pouvait pas vivre différemment de la façon dont il vivait et qu'il n'avait jamais rien fait de mal dans sa vie. Il était incapable de penser à la façon dont ses actions pourraient affecter les autres, ni à ce qui pourrait résulter de telle ou telle action. Il était convaincu que, tout comme un canard a été créé de telle manière qu'il doit toujours vivre dans l'eau, de même Dieu a été créé de telle manière qu'il doit vivre avec un revenu de trente mille et occuper toujours la position la plus élevée dans la société. . Il y croyait si fermement que, en le regardant, d'autres en étaient convaincus et ne lui refusaient ni une position plus élevée dans le monde ni de l'argent, qu'il empruntait évidemment sans retour à ceux qu'il rencontrait et à ceux qui le rencontraient.
Ce n’était pas un joueur, du moins il n’a jamais voulu gagner. Il n'était pas vaniteux. Il ne se souciait pas du tout de ce que les autres pensaient de lui. Il pouvait encore moins être coupable d'ambition. Il a taquiné son père à plusieurs reprises, ruinant sa carrière et se moquant de tous les honneurs. Il n'était pas avare et ne refusait personne qui le lui demandait. La seule chose qu'il aimait était le plaisir et les femmes, et comme, selon ses concepts, il n'y avait rien d'ignoble dans ces goûts, et qu'il ne pouvait pas penser à ce qui résultait de la satisfaction de ses goûts pour les autres, il croyait dans son âme se considérer comme lui-même. une personne impeccable, méprisait sincèrement les canailles et les mauvaises personnes et portait la tête haute avec une conscience calme.
Les fêtards, ces Madeleines mâles, ont un sentiment secret de conscience d'innocence, le même que les Madeleines femelles, fondé sur le même espoir de pardon. "Tout lui sera pardonné, car elle aimait beaucoup, et tout lui sera pardonné, car il s'est beaucoup amusé."
Dolokhov, qui cette année réapparut à Moscou après son exil et ses aventures perses et menait une vie luxueuse de jeu et de fête, se rapprocha de son ancien camarade pétersbourgeois Kouraguine et l'utilisa à ses propres fins.
Anatole aimait sincèrement Dolokhov pour son intelligence et son audace. Dolokhov, qui avait besoin du nom, de la noblesse et des relations d'Anatoly Kuragin pour attirer des jeunes riches dans sa société de jeu, sans le laisser ressentir cela, s'utilisait et s'amusait avec Kuragin. En plus du calcul pour lequel il avait besoin d'Anatol, le processus même de contrôle de la volonté de quelqu'un d'autre était un plaisir, une habitude et un besoin pour Dolokhov.
Natasha a fait une forte impression sur Kuragin. Au dîner après le théâtre, avec la technique d'un connaisseur, il examina la dignité de ses bras, de ses épaules, de ses jambes et de ses cheveux devant Dolokhov et annonça sa décision de se traîner après elle. Ce qui pourrait résulter de cette cour - Anatole ne pouvait pas y penser et le savoir, tout comme il ne savait jamais ce qui résulterait de chacune de ses actions.
"C'est bien, frère, mais pas pour nous", lui dit Dolokhov.
«Je vais dire à ma sœur de l'appeler pour le dîner», dit Anatole. - UN?
- Tu ferais mieux d'attendre qu'elle se marie...
« Tu sais, dit Anatole, j'adore les petites filles : maintenant il va se perdre.
"Vous êtes déjà tombé amoureux d'une petite fille", a déclaré Dolokhov, qui était au courant du mariage d'Anatole. - Regarder!
- Eh bien, tu ne peux pas le faire deux fois ! UN? – dit Anatole en riant gentiment.

Le lendemain du théâtre, les Rostov ne sont allés nulle part et personne n'est venu vers eux. Marya Dmitrievna, cachant quelque chose à Natasha, parlait avec son père. Natasha devina qu'ils parlaient du vieux prince et inventaient quelque chose, et cela la dérangeait et l'offensait. Elle attendait le prince Andrei toutes les minutes et, deux fois ce jour-là, elle envoya le concierge à Vzdvizhenka pour savoir s'il était arrivé. Il n'est pas venu. C'était désormais plus dur pour elle que les premiers jours de son arrivée. À son impatience et à sa tristesse à son sujet s'ajoutaient un souvenir désagréable de sa rencontre avec la princesse Marya et le vieux prince, ainsi qu'une peur et une anxiété dont elle ne connaissait pas la raison. Il lui semblait que soit il ne viendrait jamais, soit que quelque chose lui arriverait avant son arrivée. Elle ne pouvait plus, comme auparavant, calmement et continuellement, seule avec elle-même, penser à lui. Dès qu'elle commença à penser à lui, son souvenir fut rejoint par le souvenir du vieux prince, de la princesse Marya et de la dernière représentation, et de Kuragin. Elle se demanda à nouveau si elle était coupable, si sa loyauté envers le prince Andrei avait déjà été violée, et encore une fois elle se surprit à se souvenir dans les moindres détails de chaque mot, de chaque geste, de chaque nuance de jeu d'expression sur le visage de cet homme, qui savait comment susciter en elle quelque chose d'incompréhensible pour elle et un sentiment terrible. Aux yeux de sa famille, Natasha semblait plus vive que d'habitude, mais elle était loin d'être aussi calme et heureuse qu'avant.
Dimanche matin, Marie Dmitrievna a invité ses invités à la messe dans sa paroisse de l'Assomption à Mogiltsy.
« Je n’aime pas ces églises à la mode », dit-elle, apparemment fière de sa libre pensée. - Il n'y a qu'un seul Dieu partout. Notre prêtre est merveilleux, il sert décemment, c’est si noble, et le diacre aussi. Est-ce que cela rend si sacré le fait que les gens chantent des concerts dans la chorale ? Je n’aime pas ça, c’est juste de l’auto-indulgence !
Marya Dmitrievna aimait les dimanches et savait les célébrer. Sa maison a été entièrement lavée et nettoyée samedi ; les gens et elle ne travaillaient pas, tout le monde était habillé pour les vacances et tout le monde allait à la messe. De la nourriture était ajoutée au dîner du maître et les gens recevaient de la vodka et de l'oie ou du cochon rôti. Mais la fête n’était nulle part plus visible dans toute la maison que sur le visage large et sévère de Marie Dmitrievna, qui, ce jour-là, prenait une expression immuable de solennité.
Lorsqu'ils eurent bu le café après la messe, dans le salon dont les couvertures étaient enlevées, Marya Dmitrievna fut informée que la voiture était prête, et elle, d'un air sévère, vêtue du châle de cérémonie dans lequel elle rendait visite, se leva et annonça qu'elle allait voir le prince Nikolaï Andreïevitch Bolkonsky pour lui expliquer ce qu'était Natasha.
Après le départ de Marya Dmitrievna, une modiste de Madame Chalmet est venue chez les Rostov et Natasha, après avoir fermé la porte de la pièce à côté du salon, très satisfaite du divertissement, a commencé à essayer de nouvelles robes. Alors qu'elle enfilait un corsage à la crème sure, encore sans manches et baissait la tête, regardant dans le miroir comment était assis le dos, elle entendit dans le salon les sons animés de la voix de son père et d'une autre voix féminine, qui la firent rougir. C'était la voix d'Helen. Avant que Natasha ait eu le temps d'enlever le corsage qu'elle essayait, la porte s'ouvrit et la comtesse Bezukhaya entra dans la pièce, rayonnante d'un sourire bon enfant et affectueux, vêtue d'une robe en velours violet foncé à col haut.
- Ah, ma délicieuse ! [Oh, ma charmante !] - dit-elle à Natasha rougissante. - Charmante ! [Charmant!] Non, cela ne ressemble à rien, mon cher comte», dit-elle à Ilya Andreich, qui entra après elle. – Comment vivre à Moscou et ne voyager nulle part ? Non, je ne te laisserai pas tranquille ! Ce soir, M lle Georges récite et quelques personnes se rassembleront ; et si vous n'amenez pas vos belles, qui valent mieux que M lle Georges, alors je ne veux pas vous connaître. Mon mari est parti, il est parti pour Tver, sinon je l'aurais envoyé te chercher. Assurez-vous de venir, définitivement, à neuf heures. « Elle fit un signe de tête à une modiste qu'elle connaissait, qui s'assit respectueusement auprès d'elle et s'assit sur une chaise à côté du miroir, étalant pittoresquement les plis de sa robe de velours. Elle n’arrêtait pas de discuter avec bonhomie et gaieté, admirant constamment la beauté de Natasha. Elle examinait ses robes et les louait, et se vantait de sa nouvelle robe en gaz métallique, qu'elle avait reçue de Paris et conseillait à Natacha de faire de même.
« Pourtant, tout te va, ma belle », dit-elle.
Le sourire de plaisir n'a jamais quitté le visage de Natasha. Elle se sentait heureuse et épanouie sous les louanges de cette chère comtesse Bezukhova, qui lui avait semblé auparavant une dame si inaccessible et si importante, et qui était maintenant si gentille avec elle. Natasha se sentait joyeuse et presque amoureuse de cette femme si belle et si bon enfant. Helen, pour sa part, admirait sincèrement Natasha et voulait l'amuser. Anatole lui a demandé de le mettre en relation avec Natasha, et pour cela, elle est venue chez les Rostov. L'idée d'installer son frère avec Natasha l'amusait.
Malgré le fait qu'elle avait déjà été ennuyée contre Natasha pour lui avoir enlevé Boris à Saint-Pétersbourg, elle n'y pensait même plus et de toute son âme, à sa manière, souhaitait bonne chance à Natasha. En quittant les Rostov, elle retira sa protégée.
- Hier, mon frère a dîné avec moi - nous mourions de rire - il n'a rien mangé et a soupiré pour toi, ma précieuse. Il est fou, mais fou amoureux de vous, ma chère. [Il devient fou, mais il devient fou d'amour pour toi, ma chère.]
Natasha rougit pourpre en entendant ces mots.
- Comme elle rougit, comme elle rougit, ma délicieuse ! [mon précieux !] - dit Helen. - Je viens certainement. Si vous aimez quelqu'un, ma délicieuse, ce n'est pas une raison pour se cloitrer. Si même vous etes promise, je suis sûr que votre promesse aurait désiré que vous alliez dans le monde en son absence plutôt que de périr d'ennui. Même si tu aimes quelqu'un, ma belle, tu ne devrais pas vivre comme une religieuse. si vous êtes une mariée, je suis sûr que votre époux préférerait que vous sortiez dans le monde en son absence plutôt que de mourir d'ennui.]
"Alors elle sait que je suis une mariée, alors elle et son mari, avec Pierre, avec ce beau Pierre", pensa Natasha, en parlait et en riait. Ce n’est donc rien. Et encore une fois, sous l'influence d'Hélène, ce qui semblait auparavant terrible semblait simple et naturel. "Et c'est une si grande dame, [une dame importante,] si douce et qui m'aime visiblement de tout son cœur", pensa Natasha. Et pourquoi ne pas s'amuser ? pensa Natasha en regardant Helen avec des yeux étonnés et grands ouverts.
Marie Dmitrievna revint au dîner, silencieuse et sérieuse, visiblement vaincue par le vieux prince. Elle était encore trop excitée par la collision pour pouvoir raconter calmement l'histoire. A la question du comte, elle répondit que tout allait bien et qu'elle le lui dirait demain. Ayant appris la visite de la comtesse Bezukhova et son invitation à la soirée, Marya Dmitrievna a déclaré :
« Je n’aime pas sortir avec Bezukhova et je ne le recommanderais pas ; Eh bien, si tu as promis, vas-y, tu seras distrait, ajouta-t-elle en se tournant vers Natasha.

Le comte Ilya Andreich a emmené ses filles chez la comtesse Bezukhova. Il y avait pas mal de monde ce soir-là. Mais Natasha ne connaissait presque pas la société dans son ensemble. Le comte Ilya Andreich a noté avec mécontentement que toute cette société était composée principalement d'hommes et de femmes, connus pour leur liberté de traitement. M lle Georges, entourée de jeunes gens, se tenait dans le coin du salon. Il y avait plusieurs Français, et parmi eux Métivier, qui était son colocataire depuis l'arrivée d'Hélène. Le comte Ilya Andreich a décidé de ne pas jouer aux cartes, de ne pas abandonner ses filles et de partir dès la fin de la représentation de Georges.
Anatole était visiblement à la porte, attendant que les Rostov entrent. Il salua immédiatement le comte, s'approcha de Natasha et la suivit. Dès que Natasha l'a vu, tout comme au théâtre, un sentiment de vain plaisir qu'il l'aimait et la peur de l'absence de barrières morales entre elle et lui l'ont submergée. Helen reçut joyeusement Natasha et admira bruyamment sa beauté et sa tenue vestimentaire. Peu après leur arrivée, M lle Georges quitta la chambre pour s'habiller. Dans le salon, ils commencèrent à disposer les chaises et à s'asseoir. Anatole a tiré une chaise pour Natasha et a voulu s'asseoir à côté d'elle, mais le comte, qui n'avait pas quitté Natasha des yeux, s'est assis à côté d'elle. Anatole était assis à l'arrière.
Mademoiselle Georges, les bras nus, à fossettes et épais, portant un châle rouge porté sur une épaule, sortit dans l'espace vide qui lui était laissé entre les chaises et s'arrêta dans une pose peu naturelle. Un murmure enthousiaste se fit entendre. M lle Georges regarda le public d'un air sévère et sombre et commença à prononcer quelques poèmes en français, qui traitaient de son amour criminel pour son fils. Dans certains endroits, elle élevait la voix, dans d'autres elle murmurait en levant solennellement la tête, dans d'autres elle s'arrêtait et sifflait en roulant des yeux.
- Adorable, divin, délicieux ! [Délicieux, divin, merveilleux !] - a été entendu de toutes parts. Natasha regarda le gros Georges, mais n'entendit rien, ne vit et ne comprit rien de ce qui se passait devant elle ; elle se sentait seulement de nouveau tout à fait irrévocablement dans ce monde étrange et fou, si loin du précédent, dans ce monde où il était impossible de savoir ce qui était bien, ce qui était mal, ce qui était raisonnable et ce qui était fou. Anatole était assis derrière elle et elle, sentant sa proximité, attendait quelque chose avec crainte.
Après le premier monologue, toute la compagnie se leva et entoura mademoiselle Georges, lui témoignant sa joie.
- Comme elle est bonne ! - Natasha a dit à son père, qui, avec d'autres, s'est levé et s'est dirigé vers l'actrice à travers la foule.
"Je ne le trouve pas en te regardant", dit Anatole en suivant Natasha. Il dit cela à un moment où elle seule pouvait l'entendre. "Tu es adorable... à partir du moment où je t'ai vu, je ne me suis pas arrêté..."
"Allez, allons-y, Natacha", dit le comte en revenant chercher sa fille. - A quel point est ce bien!
Natasha, sans rien dire, s'est approchée de son père et l'a regardé avec des yeux interrogateurs et surpris.
Après plusieurs réceptions de récitation, mademoiselle Georges partit et la comtesse Bezukhaya demanda de la compagnie dans la salle.
Le comte voulait partir, mais Hélène le supplia de ne pas gâcher son bal impromptu. Les Rostov sont restés. Anatole a invité Natacha à une valse et pendant la valse, lui secouant la taille et la main, lui dit qu'elle était ravissante et qu'il l'aimait. Lors de l'éco-séance, qu'elle a de nouveau dansée avec Kuragin, alors qu'ils étaient seuls, Anatole ne lui a rien dit et l'a seulement regardée. Natasha doutait d'avoir vu dans un rêve ce qu'il lui avait dit pendant la valse. À la fin de la première figure, il lui serra de nouveau la main. Natasha leva vers lui ses yeux effrayés, mais il y avait une expression tendre et si confiante dans son regard affectueux et son sourire qu'elle ne pouvait pas le regarder et lui dire ce qu'elle avait à lui dire. Elle baissa les yeux.
"Ne me dis pas de telles choses, je suis fiancée et j'aime quelqu'un d'autre," dit-elle rapidement… "Elle le regarda. Anatole n’était ni gênée ni bouleversée par ce qu’elle disait.
- Ne me parle pas de ça. De quoi me soucier? - il a dit. "Je dis que je suis follement, follement amoureux de toi." Est-ce ma faute si tu es incroyable ? Commençons.
Natasha, animée et anxieuse, regardait autour d'elle avec de grands yeux effrayés et semblait plus gaie que d'habitude. Elle ne se souvenait presque de rien de ce qui s'était passé ce soir-là. On dansa l'Ecossaise et le Gros Vater, son père l'invita à partir, elle demanda à rester. Où qu'elle soit, peu importe à qui elle parlait, elle sentait son regard posé sur elle. Puis elle se souvint qu'elle avait demandé à son père la permission d'aller au vestiaire pour redresser sa robe, qu'Hélène la suivait, lui racontait en riant l'amour de son frère, et que dans le petit salon elle rencontrait à nouveau Anatole, qu'Hélène avait disparu quelque part. , ils restèrent seuls et Anatole, lui prenant la main, dit d'une voix douce :
- Je ne peux pas aller vers toi, mais est-ce que je ne te verrai vraiment jamais ? Je t'aime à la folie. Vraiment jamais ?... » et lui, lui barrant le chemin, rapprocha son visage du sien.
Ses grands yeux brillants et masculins étaient si proches des siens qu'elle ne voyait que ces yeux.
- Nathalie ?! – murmura sa voix interrogative, et quelqu'un lui serra douloureusement les mains.
- Nathalie ?!
"Je ne comprends rien, je n'ai rien à dire", dit son regard.
Des lèvres chaudes se pressèrent contre les siennes et à ce moment précis elle se sentit à nouveau libre, et le bruit des pas et de la robe d'Hélène se fit entendre dans la pièce. Natasha regarda Helen, puis, rouge et tremblante, le regarda avec un air interrogateur effrayé et se dirigea vers la porte.
« Un mot, un seul, au nom de Dieu », dit Anatole.
Elle s'est arrêté. Elle avait vraiment besoin qu'il prononce ce mot, qui lui expliquerait ce qui s'était passé et auquel elle lui répondrait.
« Nathalie, un mot, un seul », répétait-il sans savoir quoi dire, et il le répéta jusqu'à ce qu'Hélène s'approche d'eux.
Helen et Natasha sortirent de nouveau dans le salon. Sans rester dîner, les Rostov sont partis.
De retour chez elle, Natasha n'a pas dormi de la nuit : elle était tourmentée par la question insoluble de savoir qui elle aimait, Anatole ou le prince Andrei. Elle aimait le prince Andrei - elle se souvenait clairement à quel point elle l'aimait. Mais elle aimait aussi Anatole, c'était certain. « Sinon, comment tout cela aurait-il pu arriver ? elle pensait. «Si après cela, quand je lui ai dit au revoir, je pouvais répondre à son sourire par un sourire, si je pouvais permettre que cela se produise, alors cela signifie que je suis tombé amoureux de lui dès la première minute. Cela signifie qu'il est gentil, noble et beau, et qu'il était impossible de ne pas l'aimer. Que dois-je faire quand je l’aime et que j’en aime un autre ? se dit-elle, ne trouvant pas de réponses à ces terribles questions.

La matinée arriva avec ses inquiétudes et son agitation. Tout le monde s'est levé, s'est déplacé, a commencé à parler, les modistes sont revenues, Marya Dmitrievna est ressortie et a demandé du thé. Natasha, avec de grands yeux, comme si elle voulait intercepter chaque regard dirigé vers elle, regardait tout le monde avec inquiétude et essayait de paraître la même qu'elle avait toujours été.
Après le petit-déjeuner, Marya Dmitrievna (c'était son meilleur moment), assise sur sa chaise, appela Natasha et le vieux comte.
"Eh bien, mes amis, maintenant j'ai réfléchi à toute la question et voici mon conseil pour vous", commença-t-elle. – Hier, comme vous le savez, j'étais avec le prince Nicolas ; Eh bien, je lui ai parlé... Il décida de crier. Vous ne pouvez pas me crier dessus ! Je lui ai tout chanté !
- Qu'est-il? - demanda le comte.
- Qu'est-il? un fou... ne veut pas entendre ; Eh bien, que puis-je dire, c'est pourquoi nous avons tourmenté la pauvre fille », a déclaré Marya Dmitrievna. « Et mon conseil est de terminer vos affaires et de rentrer chez vous à Otradnoye... et d'y attendre...
- Oh non! – Natacha a crié.
"Non, allons-y", a déclaré Marya Dmitrievna. - Et attends là. "Si le marié vient ici maintenant, il n'y aura pas de querelle, mais ici, il discutera de tout seul avec le vieil homme et viendra ensuite vers vous."
Ilya Andreich a approuvé cette proposition, comprenant immédiatement son caractère raisonnable. Si le vieil homme cède, ce sera d’autant mieux de venir le rejoindre plus tard à Moscou ou dans les Monts Chauves ; sinon, il ne sera possible de se marier contre son gré qu'à Otradnoye.
« Et la vraie vérité », dit-il. "Je regrette d'être allé vers lui et de l'avoir emmenée", a déclaré le vieux comte.
- Non, pourquoi le regretter ? Ayant été ici, il était impossible de ne pas lui rendre hommage. Eh bien, s’il ne veut pas, c’est son affaire », a déclaré Marya Dmitrievna en cherchant quelque chose dans son réticule. - Oui, et la dot est prête, qu'est-ce que tu dois attendre d'autre ? et ce qui n’est pas prêt, je vous l’enverrai. Même si je suis désolé pour toi, il vaut mieux aller avec Dieu. «Ayant trouvé ce qu'elle cherchait dans le réticule, elle le tendit à Natasha. C'était une lettre de la princesse Marya. - Il vous écrit. Comme elle souffre, la pauvre ! Elle a peur que vous pensiez qu'elle ne vous aime pas.
"Oui, elle ne m'aime pas", a déclaré Natasha.
"C'est absurde, ne parle pas", a crié Marya Dmitrievna.
- Je ne ferai confiance à personne ; "Je sais qu'il ne m'aime pas", dit hardiment Natasha en prenant la lettre, et son visage exprimait une détermination sèche et colérique, ce qui poussa Marya Dmitrievna à la regarder de plus près et à froncer les sourcils.
« Ne réponds pas comme ça, maman, dit-elle. – Ce que je dis est vrai. Écrivez une réponse.
Natasha n'a pas répondu et est allée dans sa chambre pour lire la lettre de la princesse Marya.
La princesse Marya a écrit qu'elle était désespérée face au malentendu qui s'était produit entre eux. Quels que soient les sentiments de son père, écrit la princesse Marya, elle a demandé à Natasha de croire qu'elle ne pouvait s'empêcher de l'aimer comme celle choisie par son frère, pour le bonheur duquel elle était prête à tout sacrifier.
« Cependant, écrit-elle, ne pensez pas que mon père ait été méchant envers vous. C'est un homme malade et âgé qui a besoin d'être excusé ; mais il est gentil, généreux et aimera celui qui rendra son fils heureux. La princesse Marya a en outre demandé à Natasha de fixer une heure à laquelle elle pourrait la revoir.
Après avoir lu la lettre, Natasha s'est assise au bureau pour écrire une réponse : « Chere princesse », [Chère princesse], a-t-elle écrit rapidement, machinalement et s'est arrêtée. « Que pourrait-elle écrire ensuite après tout ce qui s'est passé hier ? Oui, oui, tout cela s'est produit, et maintenant tout est différent », pensa-t-elle en s'asseyant sur la lettre qu'elle avait commencée. « Dois-je le refuser ? Est-ce vraiment nécessaire ? C'est terrible!"... Et pour ne pas avoir ces pensées terribles, elle est allée voir Sonya et a commencé avec elle à démêler les schémas.
Après le dîner, Natasha est allée dans sa chambre et a de nouveau pris la lettre de la princesse Marya. - « Est-ce vraiment fini ? elle pensait. Est-ce que tout cela s’est vraiment produit si rapidement et a détruit tout ce qui existait avant » ! Elle se souvenait de toutes ses anciennes forces de son amour pour le prince Andrei et sentait en même temps qu'elle aimait Kuragin. Elle s'imaginait vivement comme l'épouse du prince Andreï, imaginait l'image du bonheur avec lui répétée tant de fois dans son imagination, et en même temps, rouge d'excitation, imaginait tous les détails de sa rencontre d'hier avec Anatole.
« Pourquoi cela ne pourrait-il pas être ensemble ? parfois, en pleine éclipse, pensait-elle. Alors seulement je serais complètement heureux, mais maintenant je dois choisir et sans l'un ou l'autre, je ne peux pas être heureux. Une chose, pensa-t-elle, est tout aussi impossible de dire ce qui était destiné au prince Andrei ou de le cacher. Et rien n’est gâché avec ça. Mais est-il vraiment possible de se séparer pour toujours de ce bonheur d’amour du prince Andrei, que j’ai vécu si longtemps ?
"Jeune dame", murmura la jeune fille avec un regard mystérieux en entrant dans la pièce. – Une personne m’a dit de le dire. La jeune fille a remis la lettre. "Seulement pour l'amour du Christ", disait encore la jeune fille lorsque Natasha, sans réfléchir, brisa le sceau d'un mouvement mécanique et lut la lettre d'amour d'Anatole, dont elle, sans comprendre un mot, ne comprit qu'une chose - que cette lettre venait de lui, de cet homme qu'elle aime. « Oui, elle aime, sinon comment ce qui s'est passé pourrait-il arriver ? Pourrait-il y avoir une lettre d'amour de sa part dans sa main ?

Si nous construisons un cercle unité avec le centre à l'origine et définissons une valeur arbitraire pour l'argument x0 et compte à partir de l'axe Bœuf coin X 0, alors cet angle sur le cercle unité correspond à un certain point UN(Fig. 1) et sa projection sur l'axe Oh il y aura un point M. Longueur de section OMégale à la valeur absolue de l'abscisse du point UN. Valeur d'argument donnée x0 valeur de fonction mappée oui=cos X 0 comme des points d'abscisse UN. En conséquence, point DANS(X 0 ;à 0) appartient au graphe de la fonction à=cos X(Fig.2). Si le point UN est à droite de l'axe UO, Le sinus actuel sera positif, mais s'il est à gauche, il sera négatif. Mais de toute façon, point final UN ne peut pas quitter le cercle. Par conséquent, le cosinus est compris entre –1 et 1 :

–1 = cos X = 1.

Rotation supplémentaire à n'importe quel angle, multiple de 2 p, renvoie le point UN au même endroit. Donc la fonction y = parce que Xp:

parce que( X+ 2p) = cos X.

Si l'on prend deux valeurs de l'argument, égales en valeur absolue, mais opposées en signe, X Et - X, trouver les points correspondants sur le cercle Un x Et Un -x. Comme on peut le voir sur la Fig. 3 leur projection sur l'axe Oh c'est le même point M. C'est pourquoi

cos(– X) = cos ( X),

ceux. le cosinus est une fonction paire, F(–X) = F(X).

Cela signifie que nous pouvons explorer les propriétés de la fonction oui=cos X sur le segment , puis prendre en compte sa parité et sa périodicité.

À X= 0 point UN se trouve sur l'axe Oh, son abscisse est 1, et donc cos 0 = 1. Avec l'augmentation X point UN se déplace autour du cercle vers le haut et vers la gauche, sa projection, naturellement, n'est que vers la gauche, et en x = p/2 cosinus devient égal à 0. Point UNà ce moment, il s'élève à sa hauteur maximale, puis continue à se déplacer vers la gauche, mais déjà en descendant. Son abscisse diminue jusqu'à atteindre la plus petite valeur égale à –1 à X= p. Ainsi, sur l'intervalle la fonction à=cos X diminue de façon monotone de 1 à –1 (Fig. 4, 5).

De la parité du cosinus il résulte que sur l'intervalle [– p, 0] la fonction augmente de façon monotone de –1 à 1, prenant une valeur nulle à X =–p/2. Si vous prenez plusieurs périodes, vous obtenez une courbe ondulée (Fig. 6).

Donc la fonction oui=cos X prend des valeurs nulles aux points X= p/2 + kp, Où k- n'importe quel entier. Des maximums égaux à 1 sont atteints aux points X= 2kp, c'est à dire. par pas de 2 p, et des minimums égaux à –1 aux points X= p + 2kp.

Fonction y = péché x.

Sur le coin du cercle unité X 0 correspond à un point UN(Fig.7), et sa projection sur l'axe UO il y aura un point N.Z valeur de la fonction oui 0 = péché x0 défini comme l'ordonnée d'un point UN. Point DANS(coin X 0 ,à 0) appartient au graphe de la fonction oui= péché X(Fig. 8). Il est clair que la fonction y= péché X périodique, sa période est de 2 p:

péché ( X+ 2p) = péché ( X).

Pour deux valeurs d'argument, X Et - , projections de leurs points correspondants Un x Et Un -x par axe UO situé symétriquement par rapport au point À PROPOS. C'est pourquoi

péché(- X) = –péché ( X),

ceux. le sinus est une fonction impaire, f(– X) = –f( X) (Fig. 9).

Si le point UN tourner par rapport à un point À PROPOSà un angle p/2 dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (c'est-à-dire si l'angle X augmenté de p/2), alors son ordonnée dans la nouvelle position sera égale à l'abscisse dans l'ancienne. Ce qui signifie

péché ( X+ p/2) = cos X.

Sinon, le sinus est un cosinus « en retard » de p/2, puisque toute valeur de cosinus sera « répétée » dans le sinus lorsque l’argument augmente de p/2. Et pour construire un graphe sinusoïdal, il suffit de décaler le graphe cosinus de p/2 vers la droite (Fig. 10). Une propriété extrêmement importante du sinus s'exprime par l'égalité

La signification géométrique de l’égalité peut être vue sur la Fig. 11. Ici X - c'est un demi-arc UN B, un péché X - la moitié de l’accord correspondant. Il est évident qu'à mesure que les points se rapprochent UN Et DANS la longueur de la corde se rapproche de plus en plus de la longueur de l'arc. A partir du même chiffre, il est facile de déduire l’inégalité

|péché X| x|, vrai pour tout X.

Les mathématiciens appellent la formule (*) une limite remarquable. Il en résulte en particulier que le péché X» X au petit X.

Les fonctions à= tg x, y=ctg X. Les deux autres fonctions trigonométriques, tangente et cotangente, sont plus facilement définies comme les rapports du sinus et du cosinus déjà connus de nous :

Comme le sinus et le cosinus, la tangente et la cotangente sont des fonctions périodiques, mais leurs périodes sont égales. p, c'est à dire. ils font la moitié de la taille du sinus et du cosinus. La raison en est claire : si le sinus et le cosinus changent tous deux de signe, alors leur rapport ne changera pas.

Étant donné que le dénominateur de la tangente contient un cosinus, la tangente n'est pas définie aux points où le cosinus est 0 - lorsque X= p/2 +kp. À tous les autres points, il augmente de façon monotone. Direct X= p/2 + kp car la tangente sont des asymptotes verticales. Aux points kp la tangente et la pente sont respectivement 0 et 1 (Fig. 12).

La cotangente n'est pas définie là où le sinus est 0 (quand x = kp). En d'autres points, il diminue de façon monotone et des lignes droites x = kp – ses asymptotes verticales. Aux points x = p/2 +kp la cotangente devient 0 et la pente en ces points est égale à –1 (Fig. 13).

Parité et périodicité.

Une fonction est appelée même si F(–X) = F(X). Les fonctions cosinus et sécante sont paires, et les fonctions sinus, tangente, cotangente et cosécante sont impaires :

Les propriétés de parité découlent de la symétrie des points P. un et R.- un (Fig. 14) par rapport à l'axe X. Avec une telle symétrie, l'ordonnée du point change de signe (( X;à) va à ( X; –у)). Toutes les fonctions - périodique, sinus, cosinus, sécante et cosécante ont une période de 2 p, et tangente et cotangente - p:

La périodicité du sinus et du cosinus découle du fait que tous les points P. a+2 kp, Où k= 0, ±1, ±2,…, coïncident, et la périodicité de la tangente et de la cotangente est due au fait que les points P. un+ kp tombent alternativement en deux points diamétralement opposés du cercle, donnant le même point sur l'axe tangent.

Les principales propriétés des fonctions trigonométriques peuvent être résumées dans un tableau :

Formules de réduction.

D'après ces formules, la valeur de la fonction trigonométrique de l'argument a, où p/2 a p , peut être réduit à la valeur de la fonction argument a , où 0 a p /2, soit identique, soit complémentaire de celle-ci.

Argument b	-un	+ un	p-un	p+ un	+ un	+ un	2p-un
péché b	parce qu'un	parce qu'un	péché un	–péché un	– parce qu'un	– parce qu'un	–péché un
cos b	péché un	–péché un	– parce qu'un	– parce qu'un	–péché un	péché un	parce qu'un

Ainsi, dans les tableaux des fonctions trigonométriques, les valeurs ne sont données que pour les angles aigus, et il suffit de se limiter, par exemple, au sinus et à la tangente. Le tableau ne montre que les formules les plus couramment utilisées pour le sinus et le cosinus. À partir de celles-ci, il est facile d’obtenir des formules pour la tangente et la cotangente. Lors de la conversion d'une fonction à partir d'un argument de la forme kp/2 ± a, où k– un entier, à une fonction de l'argument a :

1) le nom de la fonction est enregistré si k pair, et devient « complémentaire » si k impair;

2) le signe du côté droit coïncide avec le signe de la fonction réductible au point kp/2 ± a si l'angle a est aigu.

Par exemple, lors du lancement de ctg (a – p/2) nous nous assurons qu’un – p/2 à 0 a p /2 se situe dans le quatrième quadrant, où la cotangente est négative, et, selon la règle 1, on change le nom de la fonction : ctg (a – p/2) = –tg une .

Formules d'addition.

Formules pour plusieurs angles.

Ces formules sont dérivées directement des formules d'addition :

sin 2a = 2 sin a cos a ;

cos 2a = cos 2 a – sin 2 a = 2 cos 2 a – 1 = 1 – 2 sin 2 a ;

péché 3a = 3 péché a – 4 péché 3 a ;

cos 3a = 4 cos 3 a – 3 cos a ;

La formule du cos 3a a été utilisée par François Viète lors de la résolution de l'équation cubique. Il fut le premier à trouver des expressions pour cos n un et le péché n a, qui furent ensuite obtenus de manière plus simple à partir de la formule de Moivre.

Si vous remplacez a par a /2 dans les formules à double argument, elles peuvent être converties en formules demi-angle :

Formules de substitution universelles.

En utilisant ces formules, une expression impliquant différentes fonctions trigonométriques du même argument peut être réécrite comme une expression rationnelle d'une seule fonction tg (a /2), cela peut être utile lors de la résolution de certaines équations :

Formules pour convertir des sommes en produits et des produits en sommes.

Avant l’avènement des ordinateurs, ces formules étaient utilisées pour simplifier les calculs. Les calculs ont été effectués à l'aide de tables logarithmiques, et plus tard - d'une règle à calcul, car les logarithmes sont les mieux adaptés pour multiplier des nombres, de sorte que toutes les expressions originales ont été mises sous une forme pratique pour la logarithmisation, c'est-à-dire aux œuvres, par exemple :

2 péché un péché b = cos ( un B) – cos ( a+b);

2cos un parce que b=cos( un B) + cos ( a+b);

2 péché un parce que b= péché( un B) + péché ( a+b).

Les formules pour les fonctions tangente et cotangente peuvent être obtenues à partir de ce qui précède.

Formules de réduction de diplôme.

À partir des formules à arguments multiples, les formules suivantes sont dérivées :

En utilisant ces formules, les équations trigonométriques peuvent être réduites à des équations de degrés inférieurs. De la même manière, nous pouvons dériver des formules de réduction pour les puissances supérieures du sinus et du cosinus.

Chaque fonction trigonométrique en chaque point de son domaine de définition est continue et infiniment différentiable. De plus, les dérivées des fonctions trigonométriques sont des fonctions trigonométriques, et lorsqu'elles sont intégrées, des fonctions trigonométriques ou leurs logarithmes sont également obtenues. Les intégrales de combinaisons rationnelles de fonctions trigonométriques sont toujours des fonctions élémentaires.

Représentation de fonctions trigonométriques sous forme de séries entières et de produits infinis.

Toutes les fonctions trigonométriques peuvent être étendues en séries entières. Dans ce cas, les fonctions sin X bcos X sont présentés en lignes. convergent pour toutes les valeurs X:

Ces séries peuvent être utilisées pour obtenir des expressions approximatives du péché X et parce que Xà petites valeurs X:

à | x| p/2 ;

à 0x| p

(B n – Nombres de Bernoulli).

fonctions de péché X et parce que X peut être représenté sous forme de produits infinis :

Système trigonométrique 1, cos X,péché X, parce que 2 X, péché 2 X,¼,cos nx,péché nx, ¼, se forme sur le segment [– p, p] un système orthogonal de fonctions, qui permet de représenter des fonctions sous forme de séries trigonométriques.

sont définis comme des continuations analytiques des fonctions trigonométriques correspondantes de l'argument réel dans le plan complexe. Oui, le péché z et parce que z peut être défini en utilisant une série pour sin X et parce que X, si à la place X mettre z:

Ces séries convergent sur tout le plan, donc sin z et parce que z- des fonctions entières.

La tangente et la cotangente sont déterminées par les formules :

fonctions tg z et ctg z– les fonctions méromorphes. poteaux tg z et sec z– simple (1er ordre) et localisé aux points z = p/2 + pn, Poteaux CTG z et cosec z– également simple et localisé par points z = pn, n = 0, ±1, ±2,…

Toutes les formules valables pour les fonctions trigonométriques d'un argument réel le sont également pour un argument complexe. En particulier,

péché(- z) = –péché z,

cos(– z) = cos z,

tg(– z) = –tg z,

ctg(– z) = –ctg z,

ceux. les parités paires et impaires sont conservées. Les formules sont également enregistrées

péché ( z + 2p) = péché z, (z + 2p) = cos z, (z + p) = tg z, (z + p) = ctg z,

ceux. la périodicité est également conservée, et les périodes sont les mêmes que pour les fonctions d'un argument réel.

Les fonctions trigonométriques peuvent être exprimées en termes de fonction exponentielle d'un argument purement imaginaire :

Dos, e iz exprimé en termes de cos z et le péché z selon la formule :

e iz=cos z + je péché z

Ces formules sont appelées formules d'Euler. Leonhard Euler les développa en 1743.

Les fonctions trigonométriques peuvent également être exprimées en termes de fonctions hyperboliques :

z = –je merde iz, cos z = ch iz, z = –i th iz.

où sh, ch et th sont le sinus, le cosinus et la tangente hyperbolique.

Fonctions trigonométriques d'argument complexe z = x + iy, Où X Et oui– les nombres réels, peuvent être exprimés à travers des fonctions trigonométriques et hyperboliques d'arguments réels, par exemple :

péché ( x + je) = péché X ch oui + je parce que X merde oui;

parce que( x + je) = cos X ch oui + je péché X merde oui.

Le sinus et le cosinus d'un argument complexe peuvent prendre des valeurs réelles supérieures à 1 en valeur absolue. Par exemple:

Si un angle inconnu entre dans une équation comme argument des fonctions trigonométriques, alors l'équation est dite trigonométrique. De telles équations sont si courantes que leurs méthodes les solutions sont très détaillées et soigneusement développées. AVECÀ l'aide de diverses techniques et formules, les équations trigonométriques sont réduites à des équations de la forme F(X)=un, Où F– l'une des fonctions trigonométriques les plus simples : sinus, cosinus, tangente ou cotangente. Puis exprimez l'argument X cette fonction à travers sa valeur connue égal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurons le côté

Puisque les fonctions trigonométriques sont périodiques, la même chose Maintenant divisons la longueur du côtéà partir de la plage de valeurs, il existe une infinité de valeurs de l'argument, et les solutions de l'équation ne peuvent pas être écrites comme une seule fonction de Maintenant divisons la longueur du côté. Ainsi, dans le domaine de définition de chacune des fonctions trigonométriques principales, on sélectionne une section dans laquelle elle prend toutes ses valeurs, chacune une seule fois, et la fonction inverse de celle-ci se retrouve dans cette section. De telles fonctions sont désignées en ajoutant le préfixe arc (arc) au nom de la fonction d'origine et sont appelées trigonométriques inverses. fonctions ou simplement fonctions d'arc.

Fonctions trigonométriques inverses.

Pour le péché X, parce que X, tg X et ctg X des fonctions inverses peuvent être définies. Ils sont désignés en conséquence par arcsin X(lire "arc sinus" X"), arcos X, arctan X et arcctg X. Par définition, arcsin X il y a un tel nombre oui, Quoi

péché à = X.

De même pour les autres fonctions trigonométriques inverses. Mais cette définition souffre d’une certaine imprécision.

Si tu reflètes le péché X, parce que X, tg X et ctg X par rapport à la bissectrice des premier et troisième quadrants du plan de coordonnées, alors les fonctions, du fait de leur périodicité, deviennent ambiguës : au même sinus (cosinus, tangente, cotangente) correspondent un nombre infini d'angles.

Pour lever toute ambiguïté, une section de la courbe d'une largeur de p, dans ce cas il est nécessaire qu'une correspondance biunivoque soit maintenue entre l'argument et la valeur de la fonction. Les zones proches de l'origine des coordonnées sont sélectionnées. Pour le sinus Comme « intervalle un à un », nous prenons le segment [– p/2, p/2], sur lequel le sinus augmente de manière monotone de –1 à 1, pour le cosinus – le segment, pour la tangente et la cotangente, respectivement, les intervalles (– p/2, p/2) et (0, p). Chaque courbe de l'intervalle est réfléchie par rapport à la bissectrice et les fonctions trigonométriques inverses peuvent désormais être déterminées. Par exemple, donnons la valeur de l'argument x0, tel que 0 Ј X 0 Ј 1. Alors la valeur de la fonction oui 0 = arc sinus X 0 il n'y aura qu'un seul sens à 0 , tel que - p/2 € à 0 Ј p/2 et X 0 = péché oui 0 .

Ainsi, l'arc sinus est fonction de l'arc sinus Maintenant divisons la longueur du côté, défini sur l'intervalle [–1, 1] et égal pour chaque Maintenant divisons la longueur du côtéà une telle valeur, – p/2 a p /2 que sin a = égal à quatre cellules. D'ACCORD. Mesurons le côté Il est très pratique de le représenter à l'aide d'un cercle unité (Fig. 15). Quand | un| 1 sur un cercle il y a deux points d'ordonnée un, symétrique par rapport à l'axe toi. L'un d'eux correspond à l'angle un= arc sinus Maintenant divisons la longueur du côté, et l'autre est le coin p-a. AVEC en tenant compte de la périodicité du sinus, résoudre l'équation sin X= Maintenant divisons la longueur du côté s'écrit ainsi :

X =(–1)n arcsin un + 2pn,

Où n= 0, ±1, ±2,...

D'autres équations trigonométriques simples peuvent être résolues de la même manière :

parce que X = un, –1 =un= 1;

X =± arcos un + 2pn,

Où P.= 0, ±1, ±2,... (Fig. 16) ;

tg X = un;

X= arctan un + p n,

Où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 17) ;

CTG X= Maintenant divisons la longueur du côté;

X= arcctg un + p n,

Où n = 0, ±1, ±2,... (Fig. 18).

Propriétés de base des fonctions trigonométriques inverses :

arcsin X(Fig. 19) : domaine de définition – segment [–1, 1] ; gamme - [- p/2, p/2], fonction croissante de façon monotone ;

arccos X(Fig. 20) : domaine de définition – segment [–1, 1] ; gamme - ; fonction décroissante de façon monotone ;

arctg X(Fig. 21) : domaine de définition – tous les nombres réels ; plage de valeurs – intervalle (– p/2, p/2); fonction croissante de façon monotone ; droit à= –p/2 et y = p /2 – asymptotes horizontales ;

arcctg X(Fig. 22) : domaine de définition – tous les nombres réels ; plage de valeurs – intervalle (0, p); fonction décroissante de façon monotone ; droit oui= 0 et y = p– les asymptotes horizontales.

Pour tout le monde z = x + je, Où X Et oui sont des nombres réels, les inégalités existent

½| e \ e y–e-y| ≤|péché z|≤½( e y +e-y),

½| e ou–e-y| ≤|cos z|≤½( e y +e -y),

dont à oui® Ґ les formules asymptotiques suivent (uniformément par rapport à X)

|péché z| » 1/2 e |oui| ,

|cos z| » 1/2 e |oui| .

Les fonctions trigonométriques sont apparues pour la première fois dans le cadre de recherches en astronomie et en géométrie. Les rapports des segments dans un triangle et un cercle, qui sont essentiellement des fonctions trigonométriques, se retrouvent déjà au IIIe siècle. avant JC e. dans les travaux des mathématiciens de la Grèce antique – Euclide, Archimède, Apollonius de Perge et d'autres, cependant, ces relations n'étaient pas un objet d'étude indépendant, ils n'ont donc pas étudié les fonctions trigonométriques en tant que telles. Ils étaient initialement considérés comme des segments et sous cette forme ont été utilisés par Aristarque (fin 4e - 2e moitié du 3e siècle avant JC), Hipparque (2e siècle avant JC), Ménélas (1er siècle après JC) et Ptolémée (2e siècle après JC). résoudre des triangles sphériques. Ptolémée a compilé le premier tableau d'accords pour les angles aigus tous les 30" avec une précision de 10 –6. Ce fut le premier tableau des sinus. En tant que rapport, la fonction sin a se retrouve déjà dans Aryabhata (fin du Ve siècle). Les fonctions tg a et ctg a se retrouvent chez al- Battani (2e moitié du IXe - début du Xe siècle) et Abul-Vefa (10e siècle), qui utilise également sec a et cosec a Aryabhata connaissait déjà la formule (sin 2 a + cos 2 a) = 1, ainsi que des formules pour sin et cos d'un demi-angle, à l'aide desquelles j'ai construit des tables de sinus pour des angles passant par 3°45" ; basé sur les valeurs connues des fonctions trigonométriques pour les arguments les plus simples. Bhaskara (XIIe siècle) a donné une méthode pour construire des tableaux en termes de 1 à l'aide de formules d'addition. Les formules permettant de convertir la somme et la différence des fonctions trigonométriques de divers arguments en un produit ont été dérivées par Regiomontanus (XVe siècle) et J. Napier en relation avec l'invention des logarithmes par ce dernier (1614). Regiomontan a donné un tableau des valeurs du sinus en termes de 1". L'expansion des fonctions trigonométriques en séries entières a été obtenue par I. Newton (1669). La théorie des fonctions trigonométriques a été amenée sous sa forme moderne par L. Euler ( XVIIIe siècle). Il possède leur définition d'arguments réels et complexes, désormais acceptés dans le symbolisme, établissant des liens avec la fonction exponentielle et l'orthogonalité du système des sinus et des cosinus.

Les fonctions trigonométriques sont originaires de la Grèce antique en relation avec la recherche en astronomie et en géométrie. Les rapports des côtés d'un triangle rectangle, qui sont essentiellement des fonctions trigonométriques, se retrouvent déjà au IIIe siècle. avant JC e. dans les œuvres d'Euclide, d'Archimède, d'Apollonius de Perge et d'autres. La forme moderne de la théorie des fonctions trigonométriques et de la trigonométrie en général a été donnée par L. Euler. Il possède les définitions des fonctions trigonométriques et le symbolisme accepté aujourd'hui.

Les fonctions trigonométriques (du grec trigonon – « triangle » et meteo – « mesure ») constituent l’une des classes de fonctions les plus importantes.

Pour définir des fonctions trigonométriques, considérons un cercle trigonométrique (cercle) de rayon 1 et de centre à l'origine (Fig. 1). Si φ est l'angle entre les rayons OS et OA, exprimé en radians, 0 ≤ φ ≤ 2π (l'angle est mesuré dans le sens OS vers OA), alors les coordonnées du point A sont appelées cosinus et sinus de l'angle φ, respectivement, et sont désignés par x = cos φ et n = sin φ. Il en ressort clairement que |cos φ| ≤ 1, |péché φ| ≤ 1 et cos 2 φ + sin 2 φ = 1.

Pour les coins pointus (0< φ < π/2) тригонометрические функции cos φ и sin φ можно рассматривать как отношения катета прямоугольного треугольника (прилежащего к углу и противолежащего углу соответственно) к гипотенузе (рис. 2), длина которой уже не обязательно равна единице. Исходя из этого определения, составим таблицу для значений тригонометрических функций некоторых углов; кроме того, ясно, что

cos 0 = sin π/2 = 1 et cos π/2 = sin 0 = 0.

Pour construire des graphiques de fonctions trigonométriques pour 0 ≤ φ ≤ 2π, nous procédons comme suit. Divisons le cercle trigonométrique en 16 parties égales et plaçons le système de coordonnées à proximité, comme le montre la Fig. 3, où un segment de longueur 2π sur l'axe Oφ est également divisé en 16 parties égales. En traçant des droites parallèles à l'axe Oφ passant par les points de séparation du cercle, à l'intersection de ces droites avec des perpendiculaires construites à partir des points correspondants de division du segment sur l'axe Oφ, on obtient des points dont les coordonnées sont égales aux sinus de les angles correspondants (Fig. 3) ; Notez que les égalités approximatives suivantes sont vraies :

péché π/8 ≈ 0,4, péché π/4 ≈ 0,7, péché 3π/8 ≈ 0,9.

Si nous prenons, disons, non pas 16, mais 32, 64, etc. points, alors vous pouvez construire autant de points que vous le souhaitez sur le graphique de la fonction y = sin φ. En traçant une courbe lisse à travers eux, on obtient un graphique assez satisfaisant de la fonction y = sin φ sur le segment. Afin d'obtenir la fonction y = sin φ, définie sur toute la droite numérique, déterminez-la d'abord sur tous les segments de la forme, n ≥ 1 - un entier, c'est-à-dire en supposant que ses valeurs aux points φ, φ + 2π, φ + 4π, ... sont égales à (0 ≤ φ ≤ 2π), puis pour φ négatif utiliser l'égalité sin (-φ) = -sin φ . Après avoir fait tout cela, nous obtenons le graphique présenté sur la figure. 4. En conséquence, nous obtenons une fonction périodique (avec des périodes 2 πn, n-entier et n ≠ 0), impaire y = sin φ, qui est définie pour toutes les valeurs réelles de φ ; sa plage est [-1, 1].

Lors de la définition de la fonction y = cos φ (pour tout φ), on remarque d'abord que cos φ = sin (π/2 - φ) pour 0 ≤ φ ≤ π/2, ce qui découle directement de la définition des fonctions trigonométriques sin φ et cos φ. Puisque la fonction y = sin φ a déjà été définie par nous pour tout φ, nous supposerons par définition que cette égalité définit la fonction y = cos φ pour tout φ. A partir de cette définition, il n'est pas difficile d'obtenir le graphique de la fonction y = cos φ, qui, évidemment, sera pair et périodique, puisque son graphique est obtenu à partir du graphique de la fonction y = sin φ par translation parallèle vers la gauche sur un segment de longueur π/2, comme un seul graphe entier de la fonction y = sin φ (Fig. 5).

L'analyse la plus simple (à l'aide d'un graphique) montre qu'en plus de ce qui précède, les formules dites de réduction suivantes sont également valables :

sin (φ + nπ) = ± sin φ, cos (φ + nπ) = ± cos φ,

sin (φ + nπ/2) = ± cos φ, cos (φ + nπ/2) = ∓ sin φ,

Dans les formules de la première ligne, n peut être n'importe quel nombre entier, et le signe supérieur correspond à n = 2k, le signe inférieur - à la valeur n = 2k + 1, et dans les formules de la deuxième ligne, n ne peut être que un nombre impair, et le signe supérieur est pris pour n = 4k + 1, et le signe inférieur - pour n = 4k - 1, k est un nombre entier.

En utilisant les fonctions trigonométriques de base sin φ et cos φ, vous pouvez définir d'autres fonctions trigonométriques - tangente et cotangente :

tan φ = péché φ / cos φ,

lit bébé φ = cos φ / péché φ ;

dans ce cas, la tangente n'est définie que pour les valeurs de φ pour lesquelles cos φ ≠ 0, c'est-à-dire pour φ ≠ π/2 + nπ, n = 0, ±1, + 2, ..., et la cotangente fonction - pour un tel φ, pour lequel sin φ ≠ 0, c'est-à-dire φ ≠ nπ, n = 0, ±1, ±2, .... Ces fonctions pour les angles aigus peuvent également être représentées par des segments de droite orientés géométriquement (Fig. 6) :

tg φ = |AB|, lit bébé φ = |CD|.

Comme le sinus et le cosinus, les fonctions tangente et cotangente pour les angles aigus peuvent être considérées comme des rapports de jambes : opposé à adjacent pour la tangente et adjacent à l'opposé pour la cotangente. Les graphiques des fonctions y = tan φ et y = ctg φ sont présentés sur la Fig. 7 et 8 ; Comme vous pouvez le constater, ces fonctions sont impaires, périodiques et ont pour période des nombres nπ, n = +1, ±2, ....

Les formules trigonométriques les plus importantes - formules d'addition :

péché (φ 1 ± φ 2) = péché φ 1 cos φ 2 ± cos φ 1 péché φ 2,

cos (φ 1 ± φ 2) = cos φ 1 cos φ 2 ∓ péché φ 1 péché φ 2,

tg(φ 1 ± φ 2) = (tg φ 1 ± tg φ 2)/(1 ∓ tg φ 1 tan φ 2)

les signes à gauche et à droite des formules sont cohérents, c'est-à-dire Le caractère du haut à gauche correspond au caractère du haut à droite. D'eux, en particulier, sont dérivées des formules pour plusieurs arguments :

péché 2φ = 2 péché φ cos φ,

cos 2φ = cos 2 φ - péché 2 φ,

tg 2 φ = 2tg φ (1 - tg 2 φ).

La somme et la différence des fonctions trigonométriques peuvent être représentées comme un produit de fonctions trigonométriques (les signes dans les première et quatrième formules sont cohérents) :

péché φ 1 péché φ 2 = 2 péché ((φ 1 ± φ 2)/2) cos ((φ 1 ∓ φ 2)/2),

cos φ 1 + cos φ 2 = 2cos ((φ 1 + φ 2)/2) cos ((φ 1 - φ 2)/2),

cos φ 1 - cos φ 2 = -2sin ((φ 1 + φ 2)/2) sin ((φ 1 - φ 2)/2),

tan φ 1 ± tan φ 2 = péché (φ 1 ± φ 2)/(cos φ 1 cos φ 2).

Le produit des fonctions trigonométriques s'exprime par une somme comme suit :

péché φ 1 cos φ 2 = 1/2,

péché φ 1 péché φ 2 = 1/2,

cos 1 cos 2 = 1/2.

Les dérivées des fonctions trigonométriques sont exprimées en termes de fonctions trigonométriques (ici et partout dans ce qui suit nous remplacerons la variable φ par x) :

(péché x)" = cos x, (cos x)" = -péché x,

(tgx)" = 1/cos 2 x, (ctgx)" = -1/sin 2 x.

Lors de l'intégration de fonctions trigonométriques, on obtient des fonctions trigonométriques ou leurs logarithmes (0< х < π/2, С - абсолютная постоянная):

∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C,

∫tg xdx = -ln cos x + C, ∫ctg x dx = ln sin x + C.

Les fonctions trigonométriques de base u = cos x et v = sin x, comme nous l'avons vu, sont liées par les relations suivantes :

u" = -v, v" = u.

En différenciant une seconde fois ces égalités, on obtient :

et" = -v"= -u, v" = u"= -V.

Ainsi, les fonctions u et v de la variable x peuvent être considérées comme des solutions à la même équation (différentielle) y" + y = 0.

Cette équation, ou plutôt sa généralisation, contenant la constante positive k 2, y " + k 2 y = 0 (dont les solutions sont notamment les fonctions cos kx et sin kx), se rencontre constamment dans l'étude des oscillations , c'est-à-dire lors de l'étude des conceptions de mécanismes qui effectuent ou produisent des mouvements oscillatoires.

La fonction cos x peut être représentée comme une série infinie 1 - x 2 /2 ! +x4/4 ! - x 6 /6!.... Si l'on prend les premiers termes de cette série, on obtient des approximations de la fonction cos x à l'aide de polynômes. En figue. La figure 9 montre comment les graphiques de ces polynômes se rapprochent de mieux en mieux de la fonction cosx à mesure que leur degré augmente.

Le nom « sinus » vient du latin sinus - « courbure », « sinus » - est une traduction du mot arabe « jiva » (« corde d'arc »), qui était utilisé par les mathématiciens indiens pour désigner le sinus. Le mot latin tangens signifie « tangente » (voir Fig. 6 ; AB-tangente à un cercle). Les noms « cosinus » et « cotangente » sont des abréviations des termes complémenti sinus, complémenti tangens (« sinus du complément », « tangente du complément »), exprimant le fait que cos φ et ctg φ sont égaux respectivement à le sinus et la tangente de l'argument complémentaire de φ à π/2 : cos φ = sin (π/2 - φ), cot φ = tan(π/2 - φ).