Un cercle circonscrit à un triangle. Un triangle inscrit dans un cercle. Théorème des sinus

Cet article contient l'ensemble minimum d'informations sur le cercle requis pour réussir l'examen d'État unifié en mathématiques.

Circonférence est un ensemble de points situés à la même distance d'un point donné, appelé centre du cercle.

Pour tout point situé sur le cercle, l'égalité est satisfaite (La longueur du segment est égale au rayon du cercle.

Un segment de droite reliant deux points sur un cercle s'appelle accord.

Une corde passant par le centre d'un cercle s'appelle diamètre cercle() .

Circonférence:

Aire d'un cercle :

Arc de cercle :

La partie d'un cercle comprise entre deux points s'appelle arc cercles. Deux points sur un cercle définissent deux arcs. L'accord sous-tend deux arcs : et . Des accords égaux sous-tendent des arcs égaux.

L'angle entre deux rayons s'appelle angle central :

Pour trouver la longueur de l'arc, on fait une proportion :

a) l'angle est donné en degrés :

b) l'angle est donné en radians :

Diamètre perpendiculaire à la corde , divise cette corde et les arcs qu'elle sous-tend en deux :

Si accords Et les cercles se coupent en un point , alors les produits des segments d'accord en lesquels ils sont divisés par un point sont égaux les uns aux autres :

Tangente à un cercle.

Une droite qui a un point commun avec un cercle s'appelle tangente au cercle. Une droite qui a deux points communs avec un cercle s'appelle sécante

Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon tracé jusqu'au point de tangence.

Si deux tangentes sont tracées d’un point donné à un cercle, alors les segments tangents sont égaux les uns aux autres et le centre du cercle se trouve sur la bissectrice de l'angle avec le sommet en ce point :

Si une tangente et une sécante sont tracées d'un point donné à un cercle, alors le carré de la longueur d'un segment tangent est égal au produit de l'ensemble du segment sécant et de sa partie extérieure :

Conséquence: le produit du segment entier d'une sécante et de sa partie externe est égal au produit du segment entier d'une autre sécante et de sa partie externe:

Angles en cercle.

La mesure en degré de l'angle au centre est égale à la mesure en degré de l'arc sur lequel il repose :

Un angle dont le sommet se trouve sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes s'appelle angle inscrit . Un angle inscrit se mesure par la moitié de l'arc sur lequel il sous-tend :

∠∠

L’angle inscrit sous-tendu par le diamètre est correct :

∠∠∠

Les angles inscrits sous-tendus par un arc sont égaux :

Les angles inscrits sous-tendant une corde sont égaux ou leur somme est égale

∠∠

Les sommets des triangles avec une base donnée et des angles égaux au sommet se trouvent sur le même cercle :

Angle entre deux accords (un angle avec un sommet à l'intérieur d'un cercle) est égal à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur d'un angle donné et à l'intérieur d'un angle vertical.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Angle entre deux sécantes (un angle avec un sommet extérieur au cercle) est égal à la demi-différence des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur de l'angle.

∠ ∠∠(⌣ ⌣ )

Cercle inscrit.

Le cercle s'appelle inscrit dans un polygone , s'il touche ses côtés. Centre du cercle inscrit se situe au point d'intersection des bissectrices des angles du polygone.

Tous les polygones ne peuvent pas correspondre à un cercle.

Aire d'un polygone dans laquelle est inscrit un cercle peut être trouvé en utilisant la formule

voici le demi-périmètre du polygone, et c'est le rayon du cercle inscrit.

D'ici rayon du cercle inscrit équivaut à

Si un cercle est inscrit dans un quadrilatère convexe, alors les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales . Inversement : si dans un quadrilatère convexe les sommes des longueurs des côtés opposés sont égales, alors un cercle peut être inscrit dans le quadrilatère :

Vous pouvez inscrire un cercle dans n’importe quel triangle, et dans un seul. Le centre du cercle inscrit se situe au point d’intersection des bissectrices des angles intérieurs du triangle.

Rayon du cercle inscrit égal à . Ici

Cercle circonscrit.

Le cercle s'appelle décrit à propos d'un polygone , s'il passe par tous les sommets du polygone. Le centre du cercle circonscrit se situe au point d’intersection des médiatrices des côtés du polygone. Le rayon est calculé comme le rayon du cercle circonscrit par le triangle défini par trois sommets quelconques du polygone donné :

Un cercle peut être décrit autour d'un quadrilatère si et seulement si la somme de ses angles opposés est égale à .

Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul. Son centre se situe au point d'intersection des médiatrices des côtés du triangle :

Circonstance calculé à l'aide des formules :

Où sont les longueurs des côtés du triangle et est son aire.

Théorème de Ptolémée

Dans un quadrilatère cyclique, le produit des diagonales est égal à la somme des produits de ses côtés opposés :

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Définition

Un cercle \(S\) est circonscrit à un polygone \(P\) si tous les sommets du polygone \(P\) se trouvent sur le cercle \(S\) .

Dans ce cas, le polygone \(P\) est dit inscrit dans un cercle.

Définition

La médiatrice d'un segment est une droite passant par le milieu d'un segment donné qui lui est perpendiculaire.

Théorème

Chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment.

Preuve

Considérons le segment \(AB\) et sa bissectrice perpendiculaire \(a\). Montrons que pour tout point \(X\in a\) ce qui suit est vrai : \(AX=BX\) .

Considérons \(\triangle AXB\) : le segment \(XO\) est la médiane et l'altitude, donc \(\triangle AXB\) est isocèle, donc \(AX=BX\) .

Théorème

Les bissectrices perpendiculaires aux côtés d’un triangle se coupent en un point.

Preuve

Considérez \(\triangle ABC\) . Traçons des bissectrices perpendiculaires aux côtés \(AB\) et \(AC\). Ils se croiseront au point \(O\) .

D'après le théorème précédent, pour la médiatrice \(C_1O\) ce qui suit est vrai : \(AO=BO\) , et pour \(B_1O\) - \(AO=CO\) . Par conséquent, \(BO=CO\) . Cela signifie que \(\triangle BOC\) est isocèle, donc la hauteur \(OA_1\) tirée vers la base \(BC\) sera également la médiane. Cela signifie que \(OA_1\) est la médiatrice perpendiculaire au segment \(BC\) .

Ainsi, les trois bissectrices perpendiculaires se coupent en un point \(O\) .

Conséquence

Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur sa médiatrice.

Théorème

Un seul cercle peut être circonscrit autour de n'importe quel triangle, et le centre du cercle circonscrit est le point d'intersection des médiatrices perpendiculaires aux côtés du triangle.

Preuve

Du théorème prouvé ci-dessus, il s'ensuit que \(AO=BO=CO\) . Cela signifie que tous les sommets du triangle sont équidistants du point \(O\), ils se trouvent donc sur le même cercle.

Il n’existe qu’un seul cercle de ce type. Supposons qu'un autre cercle puisse être décrit autour de \(\triangle ABC\). Ensuite, son centre doit coïncider avec le point \(O\) (puisque c'est le seul point équidistant des sommets du triangle), et le rayon doit être égal à la distance du centre à certains des sommets, c'est-à-dire \(OA\) . Parce que Si ces cercles ont le même centre et le même rayon, alors ces cercles coïncident également.

Théorème de l'aire du triangle inscrit

Si \(a, b, c\) sont les côtés du triangle et \(R\) est le rayon du cercle circonscrit autour de lui, alors l'aire du triangle \

Preuve*
Il est recommandé de vous familiariser avec la preuve de ce théorème après avoir étudié le sujet « Théorème des sinus ».

Notons l'angle entre les côtés \(a\) et \(c\) comme \(\alpha\) . Alors \(S_(\triangle)=\frac12 ac\cdot \sin \alpha\).

Par le théorème des sinus \(\dfrac b(\sin\alpha)=2R\) , d'où \(\sin \alpha=\dfrac b(2R)\) . Ainsi, \(S_(\triangle)=\dfrac(abc)(4R)\).

Théorème

Un cercle peut être décrit autour d'un quadrilatère si et seulement si la somme de ses angles opposés est égale à \(180^\circ\) .

Preuve

Nécessité.

Si un cercle peut être décrit autour d’un quadrilatère \(ABCD\), alors \(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC) = 360^\circ\), où \(\angle ABC + \angle ADC = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ABC) + \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(ADC) = \frac(1 )(2)(\buildrel\smile\over(ABC) + \buildrel\smile\over(ADC)) = 180^\circ\). Pour les angles \(BCD\) et \(BAD\), c'est similaire.

Adéquation.

Décrivons un cercle autour du triangle \(ABC\) . Soit le centre de ce cercle le point \(O\) . Sur la droite passant par les points \(O\) et \(D\), on marque le point \(D"\) d'intersection de cette droite et du cercle. Supposons que les points \(D\) et \(D"\) ne coïncident pas, alors considérons le quadrilatère \(CD"AD\) .

Les angles \(CD"A\) et \(CDA\) complètent l'angle \(ABC\) à \(180^\circ\) (\(\angle CDA\) complètent par condition, et \(\angle CD"A\ \) comme prouvé ci-dessus), donc ils sont égaux, mais alors la somme des angles du quadrilatère \(AD"CD\) est supérieure à \(360^\circ\), ce qui ne peut pas être (la somme des Les angles de ce quadrilatère sont la somme des angles de deux triangles), donc les points \(D\) et \(D"\) coïncident.

Commentaire. Sur la figure, le point \(D\) se trouve à l'extérieur du cercle délimité par le cercle circonscrit par \(\triangle ABC\), cependant, dans le cas où \(D\) se trouve à l'intérieur, la preuve reste également valable.

Théorème

Un cercle peut être décrit autour d'un quadrilatère convexe \(ABCD\) si et seulement si \(\angle ABD=\angle ACD\) .

Preuve

Nécessité. Si un cercle est circonscrit autour de \(ABCD\), alors les angles \(\angle ABD\) et \(\angle ACD\) sont inscrits et reposent sur un arc \(\buildrel\smile\over(AD)\) , ils sont donc égaux.

Adéquation. Laisser \(\angle ABD=\angle ACD=\alpha\). Montrons qu'un cercle peut être décrit autour de \(ABCD\).

Décrivons un cercle autour de \(\triangle ABD\) . Laissez la droite \(CD\) couper ce cercle au point \(C"\). Alors \(\angle ABD=\angle AC"D \Flèche droite \angle AC"D=\angle ACD\).

Ainsi, \(\angle CAD=\angle C"AD=180^\circ-\angle ADC-\angle AC"D\), c'est \(\triangle AC"D=\triangle ACD\) le long d'un côté commun \(AD\) et de deux angles adjacents (\(\angle C"AD=\angle CAD\) , \(\angle ADC"=\angle ADC\) – commun). Cela signifie que \(DC"=DC\), c'est-à-dire que les points \(C"\) et \(C\) coïncident.

Théorèmes

1. Si un cercle est circonscrit à un parallélogramme, alors c'est un rectangle (Fig. 1).

2. Si un cercle est décrit autour d'un losange, alors c'est un carré (Fig. 2).

3. Si un cercle est décrit autour d'un trapèze, alors il est isocèle (Fig. 3).

Les affirmations inverses sont également vraies : autour d’un rectangle, d’un losange et d’un trapèze isocèle, on peut décrire un cercle, et un seul.

Preuve

1) Soit un cercle circonscrit au parallélogramme \(ABCD\). Alors les sommes de ses angles opposés sont égales \(180^\circ : \quad \angle A+\angle C=180^\circ\). Mais dans un parallélogramme, les angles opposés sont égaux, car \(\angle A=\angle C\) . Ainsi, \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Ainsi, par définition, \(ABCD\) est un rectangle.

2) Soit un cercle circonscrit autour du losange \(MNKP\). Semblable au point précédent (puisqu’un losange est un parallélogramme), il est prouvé que \(MNKP\) est un rectangle. Mais tous les côtés de ce rectangle sont égaux (puisque c’est un losange), ce qui signifie que \(MNKP\) est un carré.

L’affirmation inverse est évidente.

3) Soit un cercle circonscrit autour du trapèze \(QWER\). Alors \(\angle Q+\angle E=180^\circ\). Mais de la définition d'un trapèze il résulte que \(\angle Q+\angle W=180^\circ\). Par conséquent, \(\angle W=\angle E\) . Parce que les angles à la base \(WE\) du trapèze sont égaux, alors il est isocèle.

L’affirmation inverse est évidente.

Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit à un triangle

Bissectrice perpendiculaire à un segment de droite

Définition 1. Médiatrice perpendiculaire à un segment appelée ligne droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu (Fig. 1).

Théorème 1. Chaque point de la médiatrice d'un segment est situé à la même distance des extrémités ce segment.

Preuve . Considérons un point arbitraire D situé sur la médiatrice du segment AB (Fig. 2), et prouvons que les triangles ADC et BDC sont égaux.

En effet, ces triangles sont des triangles rectangles dans lesquels les branches AC et BC sont égales, et la branche DC est commune. L'égalité des triangles ADC et BDC implique l'égalité des segments AD et DB. Le théorème 1 est prouvé.

Théorème 2 (Converse du théorème 1). Si un point est à la même distance des extrémités d’un segment, alors il se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment.

Preuve . Démontrons le théorème 2 par contradiction. Pour cela, supposons qu'un point E soit à la même distance des extrémités du segment, mais ne se trouve pas sur la médiatrice perpendiculaire à ce segment. Amenons cette hypothèse à une contradiction. Considérons d'abord le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice (Fig. 3). Dans ce cas, le segment EA coupe la médiatrice en un point, que nous désignerons par la lettre D.

Montrons que le segment AE est plus long que le segment EB. Vraiment,

Ainsi, dans le cas où les points E et A se situent sur des côtés opposés de la médiatrice, nous avons une contradiction.

Considérons maintenant le cas où les points E et A se trouvent du même côté de la médiatrice (Fig. 4). Montrons que le segment EB est plus long que le segment AE. Vraiment,

La contradiction qui en résulte complète la preuve du théorème 2

Cercle circonscrit à un triangle

Définition 2. Un cercle circonscrit par un triangle, est appelé un cercle passant par les trois sommets du triangle (Fig. 5). Dans ce cas, le triangle s'appelle triangle inscrit dans un cercle ou triangle inscrit.

Propriétés du cercle circonscrit d'un triangle. Théorème des sinus

Chiffre	Dessin	Propriété
Médiatrices perpendiculaires sur les côtés du triangle		se croisent en un point .

Centre cercle circonscrit à un triangle aigu		Centre décrit à propos de à angle aigu à l'intérieur Triangle.
Centre cercle circonscrit à un triangle rectangle		Le centre a décrit environ rectangulaire milieu de l'hypoténuse .
Centre cercle circonscrit à un triangle obtus		Centre décrit à propos de à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors Triangle.
		,
Carré Triangle		S= 2R. 2 péché UN péché B péché C ,
Circonstance		Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

Médiatrices perpendiculaires aux côtés d'un triangle

Toutes les médiatrices , dessiné sur les côtés d'un triangle arbitraire, se croisent en un point .

Cercle circonscrit à un triangle

N'importe quel triangle peut être entouré d'un cercle . Le centre d'un cercle circonscrit à un triangle est le point où se coupent toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés du triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle aigu

Centre décrit à propos de à angle aigu Le cercle triangulaire se trouve à l'intérieur Triangle.

Centre du cercle circonscrit d'un triangle rectangle

Le centre a décrit environ rectangulaire le cercle triangulaire est milieu de l'hypoténuse .

Centre du cercle circonscrit d'un triangle obtus

Centre décrit à propos de à angle obtus Le cercle triangulaire se trouve dehors Triangle.

Pour tout triangle, les égalités suivantes sont vraies (théorème des sinus) :

où a, b, c sont les côtés du triangle, A, B, C sont les angles du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Aire d'un triangle

Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

S= 2R. 2 péché UN péché B péché C ,

où A, B, C sont les angles du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Circonstance

Pour tout triangle, l'égalité est vraie :

où a, b, c sont les côtés du triangle, S est l'aire du triangle, R est le rayon du cercle circonscrit.

Preuves de théorèmes sur les propriétés du cercle circonscrit à un triangle

Théorème 3. Toutes les bissectrices perpendiculaires tracées sur les côtés d’un triangle arbitraire se coupent en un point.

Preuve . Considérons deux bissectrices perpendiculaires tracées aux côtés AC et AB du triangle ABC, et désignons leur point d'intersection par la lettre O (Fig. 6).

Puisque le point O se trouve sur la médiatrice du segment AC, alors en vertu du théorème 1 l’égalité est vraie.

Tout d'abord, comprenons la différence entre un cercle et un cercle. Pour voir cette différence, il suffit de considérer quels sont les deux chiffres. Il s'agit d'un nombre infini de points sur le plan, situés à égale distance d'un seul point central. Mais si le cercle est également constitué d’espace interne, alors il n’appartient pas au cercle. Il s'avère qu'un cercle est à la fois un cercle qui le limite (cercle(r)) et un nombre incalculable de points qui se trouvent à l'intérieur du cercle.

Pour tout point L situé sur le cercle, l'égalité OL=R s'applique. (La longueur du segment OL est égale au rayon du cercle).

Un segment qui relie deux points sur un cercle est son accord.

Une corde passant directement par le centre d'un cercle est diamètre ce cercle (D). Le diamètre peut être calculé à l'aide de la formule : D=2R

Circonférence calculé par la formule : C=2\pi R

Aire d'un cercle: S=\piR^(2)

Arc de cercle s'appelle la partie qui se situe entre ses deux points. Ces deux points définissent deux arcs de cercle. L'accord CD sous-tend deux arcs : CMD et CLD. Des accords identiques sous-tendent des arcs égaux.

Angle central Un angle compris entre deux rayons est appelé.

Longueur de l'arc peut être trouvé en utilisant la formule :

Utilisation de la mesure du degré : CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
En utilisant la mesure du radian : CD = \alpha R

Le diamètre, perpendiculaire à la corde, divise en deux la corde et les arcs qu'elle contracte.

Si les cordes AB et CD du cercle se coupent au point N, alors les produits des segments des cordes séparés par le point N sont égaux entre eux.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangente à un cercle

Tangente à un cercle Il est d'usage d'appeler une ligne droite ayant un point commun avec un cercle.

Si une droite a deux points communs, on l'appelle sécante.

Si vous dessinez le rayon au point tangent, il sera perpendiculaire à la tangente au cercle.

Traçons deux tangentes de ce point à notre cercle. Il s'avère que les segments tangents seront égaux les uns aux autres et que le centre du cercle sera situé sur la bissectrice de l'angle avec le sommet en ce point.

CA = CB

Traçons maintenant une tangente et une sécante au cercle à partir de notre point. On obtient que le carré de la longueur du segment tangent sera égal au produit de l'ensemble du segment sécant et de sa partie extérieure.

AC^(2) = CD \cdot BC

On peut conclure : le produit d'un segment entier de la première sécante et de sa partie externe est égal au produit d'un segment entier de la deuxième sécante et de sa partie externe.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Angles dans un cercle

Les mesures en degrés de l'angle au centre et de l'arc sur lequel il repose sont égales.

\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Angle inscrit est un angle dont le sommet est sur un cercle et dont les côtés contiennent des cordes.

Vous pouvez le calculer en connaissant la taille de l'arc, puisqu'elle est égale à la moitié de cet arc.

\angle AOB = 2 \angle ADB

Basé sur un diamètre, un angle inscrit, un angle droit.

\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)

Les angles inscrits qui sous-tendent le même arc sont identiques.

Les angles inscrits reposant sur une corde sont identiques ou leur somme est égale à 180^ (\circ) .

\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)

\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB

Sur un même cercle se trouvent les sommets de triangles ayant des angles identiques et une base donnée.

Un angle dont le sommet est à l'intérieur du cercle et situé entre deux cordes est identique à la moitié de la somme des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus dans les angles donnés et verticaux.

\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)

Un angle dont le sommet est extérieur au cercle et situé entre deux sécantes est identique à la moitié de la différence des valeurs angulaires des arcs de cercle contenus à l'intérieur de l'angle.

\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)

Cercle inscrit

Cercle inscrit est un cercle tangent aux côtés d'un polygone.

Au point d'intersection des bissectrices des coins d'un polygone, se trouve son centre.

Un cercle ne peut pas être inscrit dans chaque polygone.

L'aire d'un polygone avec un cercle inscrit se trouve par la formule :

S = pr,

p est le demi-périmètre du polygone,

r est le rayon du cercle inscrit.

Il s'ensuit que le rayon du cercle inscrit est égal à :

r = \frac(S)(p)

Les sommes des longueurs des côtés opposés seront identiques si le cercle est inscrit dans un quadrilatère convexe. Et vice versa : un cercle s'inscrit dans un quadrilatère convexe si les sommes des longueurs des côtés opposés sont identiques.

AB + DC = AD + BC

Il est possible d'inscrire un cercle dans n'importe lequel des triangles. Un seul. Au point d'intersection des bissectrices des coins internes de la figure, se trouvera le centre de ce cercle inscrit.

Le rayon du cercle inscrit est calculé par la formule :

r = \frac(S)(p) ,

où p = \frac(a + b + c)(2)

Circoncercle

Si un cercle passe par chaque sommet d'un polygone, alors un tel cercle est généralement appelé décrit à propos d'un polygone.

Au point d'intersection des médiatrices des côtés de cette figure sera le centre du cercle circonscrit.

Le rayon peut être trouvé en le calculant comme le rayon du cercle circonscrit au triangle défini par 3 sommets quelconques du polygone.

On a la condition suivante : un cercle ne peut être décrit autour d'un quadrilatère que si la somme de ses angles opposés est égale à 180^( \circ) .

\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)

Autour de n'importe quel triangle, vous pouvez décrire un cercle, et un seul. Le centre d'un tel cercle sera situé au point d'intersection des médiatrices perpendiculaires des côtés du triangle.