Définition d'une fonction lisse. Fonction fluide

Sur l'ensemble des définitions. Très souvent sous lisse les fonctions désignent les fonctions qui ont des dérivées continues de tous ordres.

Informations de base[ | ]

Des fonctions lisses d'ordres supérieurs sont également considérées, à savoir une fonction avec ordre de douceur r ⩾ 0 (\displaystyle r\geqslant 0) a des dérivées continues de tous les ordres jusqu'à r (style d'affichage r) inclusif (la dérivée d'ordre zéro est la fonction elle-même). De telles fonctions sont appelées r (style d'affichage r)-lisse. Un tas de r (style d'affichage r)-les fonctions fluides définies dans le domaine sont notées C r (Ω) (\displaystyle C^(r)(\Omega)). Enregistrer f ∈ C ∞ (Ω) (\displaystyle f\in C^(\infty )(\Omega)) signifie que f ∈ C r (Ω) (\displaystyle f\in C^(r)(\Omega)) pour tout le monde r (style d'affichage r), ces fonctions sont appelées sans cesse-lisse(parfois sous fonctions fluides ils veulent dire infiniment lisse). Parfois, la notation est également utilisée f ∈ C ω (Ω) (\displaystyle f\in C^(\omega )(\Omega)) ou f ∈ C a (Ω) (\displaystyle f\in C^(a)(\Omega)), ce qui signifie que f (style d'affichage f)- analytique.

Par exemple, C 0 (Ω) (\displaystyle C^(0)(\Omega))- un ensemble de continu Ω (\displaystyle \Omega) fonctions, et C 1 (Ω) (\displaystyle C^(1)(\Omega))- un ensemble de différenciables en continu sur Ω (\displaystyle \Omega) les fonctions, c'est-à-dire les fonctions qui ont une dérivée continue en chaque point de cette région.

Si l’ordre de régularité n’est pas spécifié, alors il est généralement supposé suffisant pour que toutes les actions effectuées sur la fonction au cours du raisonnement actuel aient un sens.

Approximation par fonctions analytiques[ | ]

Laissez la zone Ω (\displaystyle \Omega) ouvert à R n (\displaystyle \mathbb (R) ^(n)) Et f ∈ C k (Ω) (\displaystyle f\in C^(k)(\Omega)), 0 ⩽ k ⩽ ∞ (\displaystyle 0\leqslant k\leqslant \infty ). Laisser ( K p ) (\displaystyle $K_(p)$)- séquence de sous-ensembles compacts Ω (\displaystyle \Omega) tel que K 0 = ∅ (\displaystyle K_(0)=\varnothing ), K p ⊂ K p + 1 (\displaystyle K_(p)\subset K_(p+1)) Et ⋃ K p = Ω (\displaystyle \bigcup K_(p)=\Omega ). Laisser ( n p ) (\displaystyle $n_(p)$)- une séquence arbitraire d'entiers positifs et m p = min (k , n p) (\displaystyle m_(p)=\min(k,\;n_(p))). Enfin, laissez ( ε p ) (\displaystyle $\varepsilon _(p)$)- séquence arbitraire nombres positifs. Alors il existe une fonction analytique réelle g (style d'affichage g), défini dans Ω (\displaystyle \Omega) de telle sorte que pour tout le monde p ⩾ 0 (\displaystyle p\geqslant 0) l'inégalité est satisfaite

‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p)< ε p , {\displaystyle \|f-g\|_{C^{m_{p}}({K_{p+1}\backslash K_{p}})}<\varepsilon _{p},}

Où ‖ f − g ‖ C m p (K p + 1 ∖ K p) (\displaystyle \|f-g\|_(C^(m_(p))((K_(p+1)\backslash K_(p))) )) désigne le maximum des normes (au sens de convergence uniforme, c'est-à-dire le maximum du module sur l'ensemble K p + 1 ∖ K p (\displaystyle (K_(p+1)\backslash K_(p)))) dérivées de la fonction f − g (\ displaystyle fg) toutes les commandes de zéro à m p (\displaystyle (m_(p))) compris.

Les points de sa différenciation y sont denses et présentent un continuum. Il existe des fonctions continues qui sont fluides sur la droite numérique et qui ne sont pas différenciables. G.f. a une dérivée en chaque point de l'extremum local et, de ce fait, les théorèmes de base du calcul différentiel restent valables pour les fonctions continues lisses - les théorèmes de Rolle, Lagrange, Cauchy,

Darboux et autres.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est « FONCTION LISSE » dans d'autres dictionnaires :

Ou une fonction continûment différentiable est une fonction qui a une dérivée continue sur l'ensemble de la définition. Informations de base Les fonctions lisses d'ordres supérieurs sont également prises en compte, à savoir, une fonction avec un ordre de douceur a ... ... Wikipedia

Fonction fluide- une fonction dont toutes les dérivées partielles, jusqu'à l'ordre r inclus, sont continues. Cela signifie « douceur de l'ordre r ». ...

fonction fluide- Une fonction dont les dérivées partielles, jusqu'à l'ordre r inclus, sont continues. Cela signifie « douceur de l'ordre r ». Sujets : économie FR fonction fluide… Guide du traducteur technique

Une fonction lisse par morceaux est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, différentiable sur chacun des intervalles qui composent le domaine de définition. Définition formelle Donnons les points de changement des formules. Comme tout par morceaux... ...Wikipédia

- est une fonction lisse sur une variété qui présente des points critiques non dégénérés. Les fonctions Morse proviennent et sont utilisées dans la théorie Morse, l'un des principaux outils de la topologie différentielle. Table des matières 1 Définition 2 Propriétés ... Wikipédia

Une fonction fluide qui possède certaines propriétés spéciales. M.f. surgissent et sont utilisés dans la théorie Morse. Soit une variété Hilbert lisse complète (par rapport à une métrique riemannienne) (par exemple, de dimension finie) dont la frontière est... ... Encyclopédie mathématique

Une fonction donnée par morceaux est une fonction définie sur l'ensemble des nombres réels, définie sur chacun des intervalles qui composent le domaine de définition par une formule distincte. Définition formelle et affectation Soit donnés les points de changement des formules... Wikipédia

1) P.f. dans la théorie des séries trigonométriques, fonction introduite par B. Riemann (B. Riemann, 1851) (voir) pour étudier la question de la représentabilité d'une fonction trigonométrique. près. Soit une série (*) avec limité... ... Encyclopédie mathématique

Une généralisation du concept de fonction lisse, comprenant des fonctions linéaires lisses, convexes et par morceaux. Définition Une fonction est dite semi-lisse si en chaque point il existe un sous-ensemble d'opérateurs linéaires tel que pour toute séquence... Wikipédia

Fonction spline- fonction lisse par morceaux utilisée pour aligner les séries chronologiques. Application de S. f. au lieu des fonctions de tendance habituelles, elle est efficace lorsque la tendance et la direction de la série changent au cours de la période analysée. S.f. aide... ... Dictionnaire économique et mathématique

Sur l'ensemble des définitions.

Informations de base

Des fonctions lisses d'ordres supérieurs sont également considérées, à savoir une fonction avec ordre de douceur $r$ a une dérivée continue d'ordre $r$ . Beaucoup de ces fonctions sont définies dans la zone $\Oméga$ désigné par $C^r(\Oméga)$ . $f\in C^\infty(\Omega)$ signifie que $f\in C^r(\Omega)$ pour tout le monde $r$ , UN $f\in C^\omega(\Omega)=C^a(\Omega)$ signifie que $F$ - analytique.

Par exemple, $C^0(\Oméga)$ - un ensemble de continu $\Oméga$ fonctions, et $C^1(\Oméga)$ - un ensemble de différenciables en continu sur $\Oméga$ fonctions, c'est-à-dire fonctions ayant une dérivée continue en chaque point de cette région.

Pour une analyse subtile des classes de fonctions différentiables, le concept est également introduit douceur fractionnaire en un point ou exposant de Hölder, qui généralise tous les concepts de douceur ci-dessus.

Fonction $F$ appartient à la classe $C^(r,\;\alpha)$ , Où $r$ est un entier non négatif et $0<\alpha\leqslant 1$ , s'il a des dérivés à commander $r$ inclusif et $f^((r))$ est Hölder avec exposant $\alpha$ .

Dans la littérature traduite, à côté du terme « exposant de Hölder », le terme « exposant de Lipschitz » est utilisé.

Approximation de fonctions continûment différentiables par des fonctions analytiques

Laisser $\Oméga$ ouvrir dans $\R^n$ Et $f\in C^k(\Omega)$ , $0\leqslant k\leqslant\infty$ . Laisser $$K_p$$ - séquence de sous-ensembles compacts $\Oméga$ tel que $K_0=\varrien$ , $K_p\sous-ensemble K_(p+1)$ Et $\bigcup K_p=\Omega$ . Laisser $$n_p$$ - une séquence arbitraire d'entiers positifs et $m_p=\min(k,\;n_p)$ . Enfin, laissez $$\varepsilon_p$$ - une séquence arbitraire de nombres positifs. Ensuite il y a $\R$ -fonction analytique $g$ V $\Oméga$ de telle sorte que pour tout le monde $p\geqslant 0$ :

$||f-g||^(K_(p+1)\backslash K_p)_(m_p)<\varepsilon_p.$

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Un extrait caractérisant la fonction smooth

Lorsque Nikolushka a été emmenée, la princesse Marya s'est approchée de nouveau de son frère, l'a embrassé et, incapable de résister plus longtemps, s'est mise à pleurer.
Il la regarda attentivement.
– Tu parles de Nikolushka ? - il a dit.
La princesse Marya, en pleurant, baissa la tête pour affirmer.
"Marie, tu connais Evan..." mais il se tut soudain.
- Qu'est-ce que tu dis?
- Rien. Il n’y a pas besoin de pleurer ici », dit-il en la regardant avec le même regard froid.

Lorsque la princesse Marya a commencé à pleurer, il s'est rendu compte qu'elle pleurait que Nikolushka se retrouverait sans père. Au prix de grands efforts, il tenta de revenir à la vie et fut transporté à leur point de vue.
« Oui, ils doivent trouver ça pathétique ! - il pensait. "Comme c'est simple !"
« Les oiseaux du ciel ne sèment ni ne récoltent, mais ton père les nourrit », se disait-il et il voulait dire la même chose à la princesse. « Mais non, ils le comprendront à leur manière, ils ne comprendront pas ! Ce qu’ils ne peuvent pas comprendre, c’est que tous ces sentiments qu’ils apprécient sont tous les nôtres, toutes ces pensées qui nous semblent si importantes qu’elles ne sont pas nécessaires. Nous ne pouvons pas nous comprendre. » - Et il se tut.

Le petit-fils du prince Andrei avait sept ans. Il savait à peine lire, il ne savait rien. Il a vécu beaucoup de choses après cette journée, acquérant des connaissances, de l'observation et de l'expérience ; mais s'il possédait alors toutes ces capacités acquises plus tard, il n'aurait pas pu comprendre mieux, plus profondément le sens complet de cette scène qu'il a vue entre son père, la princesse Marya et Natasha, qu'il ne la comprend maintenant. Il comprit tout et, sans pleurer, quitta la pièce, s'approcha silencieusement de Natasha, qui le suivit, et la regarda timidement avec de beaux yeux pensifs ; sa lèvre supérieure relevée et rose tremblait, il y appuya la tête et se mit à pleurer.
À partir de ce jour, il évita Desalles, évita la comtesse qui le caressait, et soit s'assit seul, soit s'approcha timidement de la princesse Marya et Natasha, qu'il semblait aimer encore plus que sa tante, et les caressa doucement et timidement.
La princesse Marya, quittant le prince Andrei, a parfaitement compris tout ce que lui disait le visage de Natasha. Elle ne parlait plus à Natasha de l'espoir de lui sauver la vie. Elle alternait avec elle sur son canapé et ne pleurait plus, mais priait sans cesse, tournant son âme vers cet éternel, incompréhensible, dont la présence était désormais si palpable sur le mourant.

Le prince Andrei savait non seulement qu'il allait mourir, mais il sentait qu'il mourait, qu'il était déjà à moitié mort. Il a éprouvé une conscience d'aliénation de tout ce qui est terrestre et une légèreté d'être joyeuse et étrange. Lui, sans hâte et sans souci, attendait ce qui l'attendait. Cette menace, éternelle, inconnue et lointaine, dont il n'a cessé de ressentir la présence tout au long de sa vie, était désormais proche de lui et - en raison de l'étrange légèreté de l'être qu'il éprouvait - presque compréhensible et ressentie.