Définition du triangle, triangles congruents, types de triangles. Problèmes avec différents types de triangles

Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec différents types de triangles.

Considérez les formes géométriques et trouvez celle « supplémentaire » parmi elles (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration par exemple

On voit que les figures n°1, 2, 3, 5 sont des quadrilatères. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).

Riz. 2. Quadrilatères

Cela signifie que le chiffre « supplémentaire » est un triangle (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration par exemple

Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et de trois segments reliant ces points par paires.

Les points sont appelés sommets du triangle, segments - son des soirées. Les côtés du triangle forment Il y a trois angles aux sommets d'un triangle.

Les principales caractéristiques d'un triangle sont trois côtés et trois coins. Selon la taille de l'angle, les triangles sont aigu, rectangulaire et obtus.

Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° (Fig. 4).

Riz. 4. Triangle aigu

Un triangle est dit rectangulaire si l'un de ses angles est de 90° (Fig. 5).

Riz. 5. Triangle rectangle

Un triangle est dit obtus si l’un de ses angles est obtus, c’est-à-dire supérieur à 90° (Fig. 6).

Riz. 6. Triangle obtus

En fonction du nombre de côtés égaux, les triangles sont équilatéraux, isocèles, scalènes.

Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 7).

Riz. 7. Triangle isocèle

Ces côtés sont appelés latéral, Troisième côté - base. Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux.

Il existe des triangles isocèles aigu et obtus(Fig.8) .

Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux (Fig. 9).

Riz. 9. Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux Toujours à angle aigu.

Un scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).

Riz. 10. Triangle scalène

Finissez la tâche. Répartissez ces triangles en trois groupes (Fig. 11).

Riz. 11. Illustration pour la tâche

Tout d'abord, répartissons en fonction de la taille des angles.

Triangles aigus : n°1, n°3.

Triangles rectangles : n°2, n°6.

Triangles obtus : n°4, n°5.

Nous répartirons les mêmes triangles en groupes selon le nombre de côtés égaux.

Triangles scalènes : n°4, n°6.

Triangles isocèles : n°2, n°3, n°5.

Triangle équilatéral : n°1.

Regarde les photos.

Pensez au morceau de fil à partir duquel chaque triangle a été fabriqué (Fig. 12).

Riz. 12. Illustration pour la tâche

Vous pouvez penser comme ça.

Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, vous pouvez donc en faire un triangle équilatéral. Il est représenté en troisième position sur la photo.

Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, il peut donc être utilisé pour réaliser un triangle scalène. Il est montré en premier sur l'image.

Le troisième morceau de fil est divisé en trois parties, où deux parties ont la même longueur, ce qui signifie qu'un triangle isocèle peut en être fait. Sur la photo, il est montré en deuxième position.

Aujourd'hui, en classe, nous avons découvert différents types de triangles.

Bibliographie

MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 1. - M. : « Lumières », 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 2. - M. : « Lumières », 2012.
MI. Moro. Cours de mathématiques : Recommandations méthodologiques pour les enseignants. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
Document réglementaire. Suivi et évaluation des acquis d’apprentissage. - M. : « Lumières », 2011.
« École de Russie » : programmes pour l'école primaire. - M. : « Lumières », 2011.
SI. Volkova. Mathématiques : épreuves de test. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
V.N. Rudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Devoirs

1. Complétez les phrases.

a) Un triangle est une figure composée de... qui ne se trouvent pas sur la même droite, et... qui relient ces points deux à deux.

b) Les points sont appelés … , segments - son … . Les côtés du triangle se forment aux sommets du triangle ….

c) Selon la taille de l'angle, les triangles sont ... , ... , ... .

d) En fonction du nombre de côtés égaux, les triangles sont ... , ... , ... .

2. Dessiner

a) triangle rectangle ;

b) triangle aigu ;

c) triangle obtus ;

d) triangle équilatéral ;

e) triangle scalène ;

e) triangle isocèle.

3. Créez un devoir sur le sujet de la leçon pour vos amis.

Le polygone le plus simple étudié à l'école est un triangle. Il est plus compréhensible pour les étudiants et rencontre moins de difficultés. Malgré le fait qu’il existe différents types de triangles qui ont des propriétés particulières.

Quelle forme s'appelle un triangle ?

Formé de trois points et segments. Les premiers sont appelés sommets, les seconds sont appelés côtés. De plus, les trois segments doivent être connectés de manière à former des angles entre eux. D’où le nom de la figure « triangle ».

Différences de noms dans les coins

Puisqu’ils peuvent être aigus, obtus et droits, les types de triangles sont déterminés par ces noms. En conséquence, il existe trois groupes de ces chiffres.

D'abord. Si tous les angles d’un triangle sont aigus, alors on l’appellera aigu. Tout est logique.

Deuxième. L’un des angles est obtus, ce qui signifie que le triangle est obtus. Cela ne pourrait pas être plus simple.

Troisième. Il existe un angle égal à 90 degrés, appelé angle droit. Le triangle devient rectangulaire.

Différences de noms sur les côtés

Selon les caractéristiques des côtés, on distingue les types de triangles suivants :

le cas général est le scalène, dans lequel tous les côtés sont de longueur arbitraire ;

isocèle dont les deux côtés ont les mêmes valeurs numériques ;

équilatéral, les longueurs de tous ses côtés sont les mêmes.

Si le problème ne spécifie pas un type spécifique de triangle, vous devez alors en dessiner un arbitraire. Dans lequel tous les coins sont vifs et les côtés ont des longueurs différentes.

Propriétés communes à tous les triangles

Si vous additionnez tous les angles d’un triangle, vous obtenez un nombre égal à 180º. Et peu importe de quel type il s’agit. Cette règle s'applique toujours.
La valeur numérique de n’importe quel côté d’un triangle est inférieure à celle des deux autres additionnés. De plus, c'est plus grand que leur différence.
Chaque angle externe a une valeur obtenue en additionnant deux angles internes qui ne lui sont pas adjacents. De plus, il est toujours plus grand que celui interne qui lui est adjacent.
Le plus petit angle est toujours opposé au plus petit côté du triangle. Et vice versa, si le côté est grand, alors l'angle sera le plus grand.

Ces propriétés sont toujours valables, quels que soient les types de triangles considérés dans les problèmes. Tout le reste découle de caractéristiques spécifiques.

Propriétés d'un triangle isocèle

Les angles adjacents à la base sont égaux.
La hauteur, qui est tirée vers la base, est également la médiane et la bissectrice.
Les altitudes, médianes et bissectrices, qui sont construites sur les côtés latéraux du triangle, sont respectivement égales entre elles.

Propriétés d'un triangle équilatéral

Si un tel chiffre existe, alors toutes les propriétés décrites un peu plus haut seront vraies. Car un équilatéral sera toujours isocèle. Mais l’inverse n’est pas vrai ; un triangle isocèle ne sera pas nécessairement équilatéral.

Tous ses angles sont égaux et valent 60º.
Toute médiane d'un triangle équilatéral est sa hauteur et sa bissectrice. De plus, ils sont tous égaux les uns aux autres. Pour déterminer leurs valeurs, il existe une formule qui consiste en le produit du côté et de la racine carrée de 3 divisé par 2.

Propriétés d'un triangle rectangle

Deux angles aigus totalisent 90º.
La longueur de l'hypoténuse est toujours supérieure à celle de n'importe laquelle des jambes.
La valeur numérique de la médiane tracée vers l'hypoténuse est égale à sa moitié.
La jambe a la même valeur si elle se trouve face à un angle de 30º.
La hauteur, qui est tirée du sommet avec une valeur de 90º, a une certaine dépendance mathématique sur les jambes : 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Ici : a, b - jambes, n - hauteur.

Problèmes avec différents types de triangles

N°1. Étant donné un triangle isocèle. Son périmètre est connu et égal à 90 cm. Il faut connaître ses côtés. Comme condition supplémentaire : le côté latéral est 1,2 fois plus petit que la base.

La valeur du périmètre dépend directement des quantités à trouver. La somme des trois côtés donnera 90 cm. Vous devez maintenant vous rappeler le signe d'un triangle selon lequel il est isocèle. Autrement dit, les deux côtés sont égaux. Vous pouvez créer une équation à deux inconnues : 2a + b = 90. Ici a est le côté, b est la base.

Il est maintenant temps d'ajouter une condition supplémentaire. Suite à cela, la deuxième équation est obtenue : b = 1,2a. Vous pouvez remplacer cette expression par la première. Il s'avère : 2a + 1,2a = 90. Après transformations : 3,2a = 90. D'où a = 28,125 (cm). Il est désormais facile d’en découvrir la base. Il est préférable de le faire à partir de la deuxième condition : b = 1,2 * 28,125 = 33,75 (cm).

Pour vérifier, vous pouvez additionner trois valeurs : 28,125 * 2 + 33,75 = 90 (cm). C'est exact.

Réponse : Les côtés du triangle mesurent 28,125 cm, 28,125 cm, 33,75 cm.

N°2. Le côté d'un triangle équilatéral mesure 12 cm. Vous devez calculer sa hauteur.

Solution. Pour trouver la réponse, il suffit de revenir au moment où les propriétés du triangle ont été décrites. C'est la formule pour trouver la hauteur, la médiane et la bissectrice d'un triangle équilatéral.

n = a * √3 / 2, où n est la hauteur et a est le côté.

La substitution et le calcul donnent le résultat suivant : n = 6 √3 (cm).

Il n'est pas nécessaire de mémoriser cette formule. Il suffit de rappeler que la hauteur divise le triangle en deux rectangles. De plus, il s'avère qu'il s'agit d'une jambe, et l'hypoténuse qu'elle contient est le côté de celle d'origine, la deuxième jambe est la moitié du côté connu. Vous devez maintenant écrire le théorème de Pythagore et en dériver une formule pour la hauteur.

Réponse : la hauteur est de 6 √3 cm.

N ° 3. Étant donné que MKR est un triangle dans lequel l'angle K fait 90 degrés. Les côtés MR et KR sont respectivement égaux à 30 et 15 cm. Nous devons connaître la valeur de l'angle P.

Solution. Si vous faites un dessin, il devient clair que MR est l'hypoténuse. De plus, il est deux fois plus grand que le côté du KR. Encore une fois, vous devez vous tourner vers les propriétés. L’un d’eux concerne les angles. Il ressort clairement que l'angle KMR est de 30º. Cela signifie que l'angle P souhaité sera égal à 60º. Cela découle d'une autre propriété, selon laquelle la somme de deux angles aigus doit être égale à 90º.

Réponse : l'angle P est de 60º.

Numéro 4. Nous devons trouver tous les angles d’un triangle isocèle. On sait que l'angle extérieur à partir de l'angle à la base est de 110º.

Solution. Puisque seul l’angle externe est donné, c’est ce que vous devez utiliser. Il forme un angle déplié avec l'angle interne. Cela signifie qu'au total, ils donneront 180º. C'est-à-dire que l'angle à la base du triangle sera égal à 70º. Puisqu’il est isocèle, le deuxième angle a la même valeur. Reste à calculer le troisième angle. Selon une propriété commune à tous les triangles, la somme des angles est de 180º. Cela signifie que le troisième sera défini comme 180º - 70º - 70º = 40º.

Réponse : les angles sont 70º, 70º, 40º.

N ° 5. On sait que dans un triangle isocèle, l’angle opposé à la base est de 90º. Il y a un point marqué sur la base. Le segment le reliant à un angle droit le divise dans un rapport de 1 à 4. Vous devez connaître tous les angles du plus petit triangle.

Solution. L'un des angles peut être déterminé immédiatement. Puisque le triangle est rectangle et isocèle, ceux qui se trouvent à sa base auront chacun 45º, soit 90º/2.

Le second vous aidera à trouver la relation connue dans la condition. Puisqu'il est égal à 1 à 4, les parties dans lesquelles il est divisé ne sont que 5. Cela signifie que pour connaître le plus petit angle d'un triangle, il faut 90º/5 = 18º. Reste à découvrir le troisième. Pour ce faire, vous devez soustraire 45º et 18º de 180º (la somme de tous les angles du triangle). Les calculs sont simples et vous obtenez : 117º.

Aujourd'hui, nous allons au pays de la géométrie, où nous nous familiariserons avec différents types de triangles.

Considérez les formes géométriques et trouvez celle « supplémentaire » parmi elles (Fig. 1).

Riz. 1. Illustration par exemple

On voit que les figures n°1, 2, 3, 5 sont des quadrilatères. Chacun d'eux a son propre nom (Fig. 2).

Riz. 2. Quadrilatères

Cela signifie que le chiffre « supplémentaire » est un triangle (Fig. 3).

Riz. 3. Illustration par exemple

Un triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et de trois segments reliant ces points par paires.

Les points sont appelés sommets du triangle, segments - son des soirées. Les côtés du triangle forment Il y a trois angles aux sommets d'un triangle.

Les principales caractéristiques d'un triangle sont trois côtés et trois coins. Selon la taille de l'angle, les triangles sont aigu, rectangulaire et obtus.

Un triangle est dit à angle aigu si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90° (Fig. 4).

Riz. 4. Triangle aigu

Un triangle est dit rectangulaire si l'un de ses angles est de 90° (Fig. 5).

Riz. 5. Triangle rectangle

Un triangle est dit obtus si l’un de ses angles est obtus, c’est-à-dire supérieur à 90° (Fig. 6).

Riz. 6. Triangle obtus

En fonction du nombre de côtés égaux, les triangles sont équilatéraux, isocèles, scalènes.

Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés sont égaux (Fig. 7).

Riz. 7. Triangle isocèle

Ces côtés sont appelés latéral, Troisième côté - base. Dans un triangle isocèle, les angles de base sont égaux.

Il existe des triangles isocèles aigu et obtus(Fig.8) .

Riz. 8. Triangles isocèles aigus et obtus

Un triangle équilatéral est un triangle dont les trois côtés sont égaux (Fig. 9).

Riz. 9. Triangle équilatéral

Dans un triangle équilatéral tous les angles sont égaux. Triangles équilatéraux Toujours à angle aigu.

Un scalène est un triangle dont les trois côtés ont des longueurs différentes (Fig. 10).

Riz. 10. Triangle scalène

Finissez la tâche. Répartissez ces triangles en trois groupes (Fig. 11).

Riz. 11. Illustration pour la tâche

Tout d'abord, répartissons en fonction de la taille des angles.

Triangles aigus : n°1, n°3.

Triangles rectangles : n°2, n°6.

Triangles obtus : n°4, n°5.

Nous répartirons les mêmes triangles en groupes selon le nombre de côtés égaux.

Triangles scalènes : n°4, n°6.

Triangles isocèles : n°2, n°3, n°5.

Triangle équilatéral : n°1.

Regarde les photos.

Pensez au morceau de fil à partir duquel chaque triangle a été fabriqué (Fig. 12).

Riz. 12. Illustration pour la tâche

Vous pouvez penser comme ça.

Le premier morceau de fil est divisé en trois parties égales, vous pouvez donc en faire un triangle équilatéral. Il est représenté en troisième position sur la photo.

Le deuxième morceau de fil est divisé en trois parties différentes, il peut donc être utilisé pour réaliser un triangle scalène. Il est montré en premier sur l'image.

Aujourd'hui, en classe, nous avons découvert différents types de triangles.

Bibliographie

MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 1. - M. : « Lumières », 2012.
MI. Moreau, M.A. Bantova et autres : Mathématiques. 3e année : en 2 parties, partie 2. - M. : « Lumières », 2012.
MI. Moro. Cours de mathématiques : Recommandations méthodologiques pour les enseignants. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
Document réglementaire. Suivi et évaluation des acquis d’apprentissage. - M. : « Lumières », 2011.
« École de Russie » : programmes pour l'école primaire. - M. : « Lumières », 2011.
SI. Volkova. Mathématiques : épreuves de test. 3ème année. - M. : Éducation, 2012.
V.N. Rudnitskaïa. Essais. - M. : « Examen », 2012.

Nsportal.ru ().
Prosv.ru ().
Do.gendocs.ru ().

Devoirs

1. Complétez les phrases.

a) Un triangle est une figure composée de... qui ne se trouvent pas sur la même droite, et... qui relient ces points deux à deux.

b) Les points sont appelés … , segments - son … . Les côtés du triangle se forment aux sommets du triangle ….

c) Selon la taille de l'angle, les triangles sont ... , ... , ... .

d) En fonction du nombre de côtés égaux, les triangles sont ... , ... , ... .

2. Dessiner

a) triangle rectangle ;

b) triangle aigu ;

c) triangle obtus ;

d) triangle équilatéral ;

e) triangle scalène ;

e) triangle isocèle.

3. Créez un devoir sur le sujet de la leçon pour vos amis.

Triangles

Triangle est une figure composée de trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne et de trois segments reliant ces points par paires. Les points sont appelés pics triangle, et les segments sont son des soirées.

Types de triangles

Le triangle s'appelle isocèle, si ses deux côtés sont égaux. Ces côtés égaux sont appelés côtés, et le tiers s'appelle base Triangle.

Un triangle dont tous les côtés sont égaux s’appelle équilatéral ou correct.

Le triangle s'appelle rectangulaire, s'il a un angle droit, alors il y a un angle de 90°. Le côté d'un triangle rectangle opposé à l'angle droit s'appelle hypoténuse, les deux autres côtés sont appelés jambes.

Le triangle s'appelle aigu, si ses trois angles sont aigus, c'est-à-dire inférieurs à 90°.

Le triangle s'appelle obtus, si l'un de ses angles est obtus, c'est-à-dire supérieur à 90°.

Lignes de base du triangle

Médian

Médian d'un triangle est un segment reliant le sommet d'un triangle au milieu du côté opposé de ce triangle.

Propriétés des médianes du triangle

La médiane divise un triangle en deux triangles de même aire.

Les médianes d’un triangle se coupent en un point, ce qui divise chacune d’elles dans un rapport de 2 : 1, à partir du sommet. Ce point est appelé centre de gravité Triangle.

Le triangle entier est divisé par ses médianes en six triangles égaux.

Bissecteur

Bissectrice d'angle est un rayon qui émane de son sommet, passe entre ses côtés et coupe un angle donné en deux. Bissectrice d'un triangle appelé segment bissecteur d'un angle d'un triangle reliant un sommet à un point du côté opposé de ce triangle.

Propriétés des médiatrices du triangle

Hauteur

Hauteur d'un triangle est la perpendiculaire tirée du sommet du triangle à la ligne contenant le côté opposé de ce triangle.

Propriétés des altitudes du triangle

DANS triangle rectangle la hauteur tirée du sommet d'un angle droit le divise en deux triangles, similaire original.

DANS Triangle aigu ses deux hauteurs en sont coupées similaire Triangles.

Perpendiculaire médiane

Une droite passant par le milieu d'un segment qui lui est perpendiculaire s'appelle médiatrice au segment .

Propriétés des médiatrices d'un triangle

Chaque point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment. L’inverse est également vrai : tout point équidistant des extrémités d’un segment se trouve sur la médiatrice perpendiculaire à celui-ci.

Le point d'intersection des médiatrices tracées sur les côtés du triangle est le centre cercle circonscrit à ce triangle.

ligne médiane

La ligne médiane du triangle appelé segment reliant les milieux de ses deux côtés.

Propriété de la ligne médiane d'un triangle

La ligne médiane d’un triangle est parallèle à l’un de ses côtés et égale à la moitié de ce côté.

Formules et ratios

Signes d'égalité des triangles

Deux triangles sont égaux s'ils sont respectivement égaux :

deux côtés et l'angle entre eux ;

deux coins et le côté qui leur est adjacent ;

trois côtés.

Signes d'égalité des triangles rectangles

Deux triangle rectangle sont égaux s'ils sont respectivement égaux :

hypoténuse et un angle aigu ;

jambe et l'angle opposé ;

jambe et angle adjacent ;

deux jambe;

hypoténuse Et jambe.

Similitude des triangles

Deux triangles similaire si l'une des conditions suivantes, appelée signes de similitude :

deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle ;

deux côtés d'un triangle sont proportionnels aux deux côtés d'un autre triangle, et les angles formés par ces côtés sont égaux ;

les trois côtés d'un triangle sont respectivement proportionnels aux trois côtés de l'autre triangle.

Dans des triangles similaires, les lignes correspondantes ( hauteurs, médianes, bissectrices etc.) sont proportionnels.

Théorème des sinus

Les côtés d'un triangle sont proportionnels aux sinus des angles opposés et le coefficient de proportionnalité est égal à diamètre cercle circonscrit à un triangle:

Théorème du cosinus

Le carré d'un côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins le double du produit de ces côtés par le cosinus de l'angle qui les sépare :

un 2 = b 2 + c 2 - 2avant JC parce que

Formules d'aire triangulaire

Triangle gratuit

une, b, c - côtés; - angle entre les côtés un Et b;- demi-périmètre ; R- rayon du cercle circonscrit; r- rayon du cercle inscrit ; S- carré; h un - hauteur tirée sur le côté un.

Désignations standards

Triangle avec sommets UN, B Et C est désigné comme (voir figure). Un triangle a trois côtés :

Les longueurs des côtés d'un triangle sont indiquées par des lettres latines minuscules (a, b, c) :

Un triangle a les angles suivants :

Les valeurs d'angle aux sommets correspondants sont traditionnellement désignées par des lettres grecques (α, β, γ).

Signes d'égalité des triangles

Un triangle sur le plan euclidien peut être déterminé de manière unique (jusqu'à la congruence) par les triplets d'éléments de base suivants :

a, b, γ (égalité des deux côtés et angle qui les sépare) ;
a, β, γ (égalité du côté et deux angles adjacents) ;
a, b, c (égalité sur trois côtés).

Signes d'égalité des triangles rectangles :

le long de la jambe et de l'hypoténuse ;
sur deux jambes;
le long de la jambe et de l'angle aigu ;
le long de l'hypoténuse et de l'angle aigu.

Certains points du triangle sont « appariés ». Par exemple, il existe deux points à partir desquels tous les côtés sont visibles soit sous un angle de 60°, soit sous un angle de 120°. Ils s'appellent Points Torricelli. Il existe également deux points dont les projections sur les côtés se situent aux sommets d'un triangle régulier. Ce - Points d'Apollonius. Les points et autres sont appelés Points Brocard.

Direct

Dans tout triangle, le centre de gravité, l’orthocentre et le centre du cercle circonscrit se trouvent sur la même ligne droite, appelée la ligne d'Euler.

La droite passant par le centre du cercle circonscrit et le point de Lemoine s'appelle Axe Brocard. Les points d'Apollonius se trouvent dessus. La pointe Torricelli et la pointe Lemoine se trouvent également sur la même ligne. Les bases des bissectrices externes des angles d'un triangle se trouvent sur la même droite, appelée axe des bissectrices externes. Les points d'intersection des droites contenant les côtés d'un orthotriangle avec les droites contenant les côtés du triangle se trouvent également sur la même droite. Cette ligne s'appelle axe orthocentrique, elle est perpendiculaire à la droite d’Euler.

Si nous prenons un point sur le cercle circonscrit d'un triangle, alors ses projections sur les côtés du triangle se situeront sur la même ligne droite, appelée Simson est hétéro ce point. Les lignes de Simson des points diamétralement opposés sont perpendiculaires.

Triangles

Un triangle dont les sommets à la base passent par un point donné est appelé triangle cévien ce point.
Un triangle dont les sommets sont dans les projections d'un point donné sur les côtés est appelé gazon ou triangle de pédale ce point.
Un triangle avec des sommets aux deuxièmes points d'intersection des lignes passant par les sommets et un point donné avec le cercle circonscrit est appelé triangle circonférentiel. Le triangle circonférentiel est similaire au triangle de gazon.

Cercles

Cercle inscrit- un cercle touchant les trois côtés du triangle. Elle est la seule. Le centre du cercle inscrit s'appelle au centre.
Circoncercle- un cercle passant par les trois sommets d'un triangle. Le cercle circonscrit est également unique.
Excercle- un cercle touchant un côté du triangle et le prolongement des deux autres côtés. Il y a trois cercles de ce type dans un triangle. Leur centre radical est le centre du cercle inscrit du triangle médial, appelé Le point de Spiker.

Les milieux des trois côtés d'un triangle, les bases de ses trois altitudes et les milieux des trois segments reliant ses sommets à l'orthocentre se trouvent sur un cercle appelé cercle de neuf points ou cercle d'Euler. Le centre du cercle à neuf points se trouve sur la droite d'Euler. Un cercle de neuf pointes touche un cercle inscrit et trois excercles. Le point de tangence entre le cercle inscrit et le cercle de neuf points est appelé pointe Feuerbach. Si à partir de chaque sommet nous posons vers l'extérieur du triangle sur des lignes droites contenant les côtés, des orthèses de longueur égale aux côtés opposés, alors les six points résultants se trouvent sur le même cercle - Cercle de Conway. Trois cercles peuvent être inscrits dans n'importe quel triangle de telle manière que chacun d'eux touche deux côtés du triangle et deux autres cercles. De tels cercles sont appelés Cercles Malfatti. Les centres des cercles circonscrits des six triangles dans lesquels le triangle est divisé par les médianes se trouvent sur un cercle appelé circonférence de Lamun.

Un triangle comporte trois cercles qui touchent deux côtés du triangle et le cercle circonscrit. De tels cercles sont appelés semi-inscrit ou Cercles de Verrier. Les segments reliant les points de tangence des cercles de Verrier au cercle circonscrit se coupent en un point appelé Le point de Verrier. Il sert de centre d'une homothétie, qui transforme un cercle circonscrit en cercle inscrit. Les points de contact des cercles de Verrier avec les côtés se situent sur une droite passant par le centre du cercle inscrit.

Les segments reliant les points de tangence du cercle inscrit avec les sommets se coupent en un point appelé Pointe Gergonne, et les segments reliant les sommets aux points de tangence des excercles sont en Pointe Nagel.

Ellipses, paraboles et hyperboles

Conique inscrite (ellipse) et son perspecteur

Un nombre infini de coniques (ellipses, paraboles ou hyperboles) peuvent s'inscrire dans un triangle. Si nous inscrivons une conique arbitraire dans un triangle et connectons les points tangents aux sommets opposés, alors les lignes droites résultantes se couperont en un point appelé perspective couchettes. Pour tout point du plan qui ne se trouve pas sur un côté ou sur son prolongement, il y a une conique inscrite avec un perspecteur en ce point.

L'ellipse de Steiner décrite et les cevians passant par ses foyers

Vous pouvez inscrire une ellipse dans un triangle qui touche les côtés au milieu. Une telle ellipse s'appelle Ellipse de Steiner inscrite(sa perspective sera le centre de gravité du triangle). L'ellipse circonscrite, qui touche les lignes passant par les sommets parallèles aux côtés, s'appelle décrit par l'ellipse de Steiner. Si nous transformons un triangle en triangle régulier en utilisant une transformation affine (« inclinaison »), alors son ellipse de Steiner inscrite et circonscrite se transformera en un cercle inscrit et circonscrit. Les lignes de Chevian tracées à travers les foyers de l’ellipse de Steiner décrite (points de Scutin) sont égales (théorème de Scutin). De toutes les ellipses décrites, l'ellipse de Steiner décrite a la plus petite superficie, et de toutes les ellipses inscrites, l'ellipse de Steiner inscrite a la plus grande superficie.

Ellipse de Brocard et son perspecteur - Pointe Lemoine

Une ellipse avec des foyers aux points de Brocard s'appelle Ellipse de Brocard. Sa perspective est le point Lemoine.

Propriétés d'une parabole inscrite

Parabole de Kiepert

Les perspectives des paraboles inscrites se situent sur l'ellipse de Steiner décrite. Le foyer d'une parabole inscrite se trouve sur le cercle circonscrit et la directrice passe par l'orthocentre. Une parabole inscrite dans un triangle et ayant pour directrice d'Euler pour directrice s'appelle Parabole de Kiepert. Son perspecteur est le quatrième point d'intersection du cercle circonscrit et de l'ellipse circonscrite de Steiner, appelé Pointe Steiner.

L'hyperbole de Kiepert

Si l'hyperbole décrite passe par le point d'intersection des hauteurs, alors elle est équilatérale (c'est-à-dire que ses asymptotes sont perpendiculaires). Le point d'intersection des asymptotes d'une hyperbole équilatérale se situe sur le cercle de neuf points.

Transformations

Si les lignes passant par les sommets et certains points ne se trouvant pas sur les côtés et leurs extensions sont réfléchies par rapport aux bissectrices correspondantes, alors leurs images se couperont également en un point, appelé conjugué isogonalement celui d'origine (si le point se trouve sur le cercle circonscrit, alors les lignes résultantes seront parallèles). De nombreuses paires de points remarquables sont conjuguées isogonalement : le centre circonscrit et l'orthocentre, le centroïde et le point de Lemoine, les points de Brocard. Les points d'Apollonius sont conjugués de manière isogonale aux points de Torricelli, et le centre du cercle inscrit est conjugué de manière isogonale à lui-même. Sous l'action de la conjugaison isogonale, les droites se transforment en coniques circonscrites, et les coniques circonscrites en droites. Ainsi, l'hyperbole de Kiepert et l'axe de Brocard, l'hyperbole de Jenzabek et la droite d'Euler, l'hyperbole de Feuerbach et la ligne des centres des cercles inscrits et circonscrits sont conjuguées de manière isogonale. Les cercles circonscrits des triangles des points isogonalement conjugués coïncident. Les foyers des ellipses inscrites sont conjugués isogonalement.

Si, au lieu d'un cevian symétrique, nous prenons un cevian dont la base est aussi éloignée du milieu du côté que la base de celle d'origine, alors ces cevian se couperont également en un point. La transformation résultante est appelée conjugaison isotomique. Il convertit également les lignes droites en coniques décrites. Les points Gergonne et Nagel sont isotomiquement conjugués. Sous transformations affines, les points isotomiquement conjugués sont transformés en points isotomiquement conjugués. Avec la conjugaison isotomique, l'ellipse de Steiner décrite ira dans la ligne droite infiniment éloignée.

Si dans les segments coupés par les côtés du triangle du cercle circonscrit, nous inscrivons des cercles touchant les côtés aux bases des cevians passés par un certain point, puis relions les points tangents de ces cercles au cercle circonscrit aux sommets opposés, alors ces lignes droites se couperont en un point. Une transformation plane qui fait correspondre le point d'origine au point résultant est appelée transformation isocirculaire. La composition des conjugués isogonaux et isotomiques est la composition d'une transformation isocirculaire avec elle-même. Cette composition est une transformation projective, qui laisse les côtés du triangle en place, et transforme l'axe des bissectrices externes en une droite à l'infini.

Si nous continuons les côtés d'un triangle de Chevian d'un certain point et prenons leurs points d'intersection avec les côtés correspondants, alors les points d'intersection résultants se situeront sur une ligne droite, appelée polaire trilinéaire point de départ. L'axe orthocentrique est la polaire trilinéaire de l'orthocentre ; la polaire trilinéaire du centre du cercle inscrit est l'axe des bissectrices externes. Les polaires trilinéaires de points situés sur une conique circonscrite se coupent en un point (pour un cercle circonscrit c'est le point de Lemoine, pour une ellipse de Steiner circonscrite c'est le centroïde). La composition d'un conjugué isogonal (ou isotomique) et d'une polaire trilinéaire est une transformation de dualité (si un point conjugué isogonalement (isotomiquement) à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point, alors la polaire trilinéaire d'un point isogonalement (isotomiquement) conjugué à un point se trouve sur la polaire trilinéaire d'un point).

Cubes

Rapports dans un triangle

Note: dans cette section, , sont les longueurs des trois côtés du triangle, et , sont les angles respectivement opposés à ces trois côtés (angles opposés).

Inégalité triangulaire

Dans un triangle non dégénéré, la somme des longueurs de ses deux côtés est supérieure à la longueur du troisième côté, dans un triangle dégénéré elle est égale. En d’autres termes, les longueurs des côtés d’un triangle sont liées par les inégalités suivantes :

L'inégalité triangulaire est l'un des axiomes de la métrique.

Théorème de la somme des angles du triangle

Théorème des sinus

où R est le rayon du cercle circonscrit au triangle. Il résulte du théorème que si un< b < c, то α < β < γ.

Théorème du cosinus

Théorème de la tangente

Autres ratios

Les rapports métriques dans un triangle sont donnés pour :

Résoudre des triangles

Le calcul des côtés et des angles inconnus d’un triangle sur la base de ceux connus est historiquement appelé « résolution de triangles ». Les théorèmes trigonométriques généraux ci-dessus sont utilisés.

Aire d'un triangle

Cas particuliers Notation

Pour la zone, les inégalités suivantes sont valables :

Calculer l'aire d'un triangle dans l'espace à l'aide de vecteurs

Soit les sommets du triangle aux points , , .

Introduisons le vecteur de zone . La longueur de ce vecteur est égale à l'aire du triangle, et elle est dirigée normalement au plan du triangle :

Posons , où , , sont les projections du triangle sur les plans de coordonnées. Où

et de même

L'aire du triangle est .

Une alternative consiste à calculer les longueurs des côtés (en utilisant le théorème de Pythagore) puis à utiliser la formule de Heron.

Théorèmes des triangles

Théorème de Desargues: si deux triangles sont en perspective (les lignes passant par les sommets correspondants des triangles se coupent en un point), alors leurs côtés correspondants se coupent sur la même ligne.

Théorème de Sonda: si deux triangles sont perspective et orthologues (perpendiculaires tirées des sommets d'un triangle vers les côtés opposés aux sommets correspondants du triangle, et vice versa), alors les deux centres d'orthologie (les points d'intersection de ces perpendiculaires) et le centre de perspective se situent sur une même droite, perpendiculaire à l'axe de perspective (droite du théorème de Desargues).