La symétrie dans l'espace est une relation proportionnelle belle, harmonieuse et équilibrée entre des parties ou des éléments de diverses formes d'objets, d'organismes ou d'objets. Dans l’espace qui nous entoure, nous pouvons observer de nombreux objets inanimés de forme symétrique. Les organismes vivants, qu’ils soient simples ou très complexes, possèdent également des éléments de symétrie dans leur structure.
La poursuite de l'excellence
Une forme symétrique peut être identifiée avec perfection et harmonie. Ce n’est pas sans raison que des mots tels que « symétrie » et « perfection » sont synonymes dans les langues de nombreux peuples.
La symétrie dans l'espace se retrouve partout. La variété des formes de plantes et d'organismes vivants étonne par leur proportionnalité, leur cohérence et leur forme ergonomique. Ici, tout est pensé dans les moindres détails : beauté étonnante, élégance des proportions et rien de superflu. Tout est prévu pour la meilleure fonctionnalité de la vie.
Symétrie centrale
Dans l'espace du monde qui nous entoure, la nature inanimée est clairement visible dans la structure des cristaux. Ce type de symétrie est clairement visible dans la structure des flocons de neige, qui sont des cristaux de glace. Leurs formes sont étonnamment diverses. Mais ils sont tous symétriques au centre.
Un exemple de symétrie centrale ou radiale sont les fleurs des plantes : tournesol, camomille, iris, aster. Ce type de symétrie est également appelé rotation. Si les pétales d'une fleur ou les rayons d'un flocon de neige tournent par rapport au centre, ils se chevaucheront.
Symétrie miroir
La symétrie miroir dans l’espace du monde naturel qui nous entoure est observée chez les plantes et les animaux. chêne ou fougère, coléoptère ou papillon, araignée ou chenille, souris ou lièvre - ce ne sont là que quelques exemples où vous pouvez observer une symétrie bilatérale ou miroir dans les organismes vivants. La personne, ainsi que certaines parties du corps : bras, jambes, sont symétriques. Dans ces formes, nous observons une sorte de reflet miroir d’une moitié de l’objet par l’autre. Si vous placez un objet dans un plan, son image peut être mentalement pliée au milieu et une moitié chevauchera l'autre.
Hypothèse de l'émergence de la symétrie
Dans le monde scientifique, il existe plusieurs hypothèses qui tentent d’expliquer comment la symétrie est née dans l’espace de notre monde. Selon l'un d'eux, tout ce qui grandit ou descend est soumis à la loi, et tout ce qui se forme parallèlement à la surface de la terre ou s'incline par rapport à celle-ci prend une forme symétrique en miroir. Ils tentent d'expliquer ces propriétés par la gravité provenant du centre de la planète et par les différents degrés d'éclairage des objets par la lumière solaire, en fonction de leur emplacement.
Symétrie dans la science et l'art
La symétrie dans l’espace était appréciée par les artistes, sculpteurs et architectes de l’Antiquité. On retrouve des éléments de symétrie dans les peintures rupestres anciennes, dans les décorations ornementales d'objets et d'armes antiques. Pyramides égyptiennes et mayas, dômes de cathédrales slaves, temples et palais grecs, arches et amphithéâtres antiques, façade de la Maison Blanche et du Kremlin de Moscou ne sont que quelques exemples du désir de beauté sublime et de vraie perfection.
Les concepts de symétrie ont été sérieusement développés par les mathématiciens. Les études mathématiques réalisées ont permis d'identifier les principaux motifs de symétrie dans le plan et dans l'espace. La physique et la chimie n’ont pas non plus ignoré ce modèle naturel intéressant. L'académicien V.I. Vernadsky pensait que « la symétrie... couvre les propriétés de tous les domaines dont s'occupent un physicien et un chimiste ». En raison de la structure symétrique des atomes, les molécules entrent dans diverses réactions et déterminent les propriétés physiques de la formation des cristaux. Même si les lois de la physique qui établissent les grandeurs physiques restent inchangées sous diverses transformations, on peut dire que ces lois ont une invariance ou une symétrie par rapport à ces transformations.
§ 1 Qu'est-ce que la symétrie
La citation de cette leçon sera une déclaration du célèbre scientifique, créateur de la cybernétique Norbert Wiener, qui exprime très précisément tout ce qui sera discuté aujourd'hui.
« Le but suprême des mathématiques est de trouver la beauté, l’harmonie et l’ordre dans le chaos qui nous entoure. »
La symétrie est l'une des lois qui assurent l'harmonie de l'univers, nous en parlerons aujourd'hui et développerons les notions qui ont été introduites dans les cours de planimétrie.
Dans le langage courant, le mot symétrie est utilisé dans deux sens. Dans un sens, symétrique signifie quelque chose de bien proportionné, équilibré, et la symétrie désigne ce type de cohérence des parties individuelles qui les unit en un seul tout. La beauté est étroitement liée à la symétrie. C'est ce qui est évoqué, par exemple, dans son livre sur les proportions de Polyclète, un sculpteur dont les sculptures étaient admirées par les anciens pour leur perfection harmonieuse. L'image des écailles est un lien naturel qui mène au deuxième sens du mot symétrie, utilisé à notre époque : la symétrie miroir - la symétrie de la gauche et de la droite, si visible dans la structure des corps chez les animaux supérieurs et les humains.
La symétrie miroir constitue un cas particulier du concept géométrique de symétrie, relatif à des opérations telles que la réflexion ou la rotation.
Les Pythagoriciens considéraient que les figures géométriques les plus parfaites dans le plan étaient le cercle et dans l'espace la sphère en raison de leur symétrie de rotation complète.
La symétrie, au sens large ou étroit, est l'idée à travers laquelle l'homme tente depuis des siècles de comprendre et de créer l'ordre, la beauté et la perfection. Ainsi, les propriétés de l'espace et du temps conduisent à la symétrie, à la régularité de la nature comme manifestation de son harmonie.
§ 2 Symétrie autour d'un point
En planimétrie, on considère des figures symétriques par rapport à un point et par rapport à une droite. En stéréométrie, la symétrie par rapport à un point, une ligne et un plan est prise en compte.
Les points A et A1 sont dits symétriques par rapport au point O (centre de symétrie) si O est le milieu du segment AA1. Le point O est considéré comme symétrique par rapport à lui-même. Un exemple de symétrie centrale serait une fleur ou un motif
§ 3 Symétrie par rapport à une droite
Les points A et A1 sont dits symétriques par rapport à la droite a (axe de symétrie) si la droite a passe par le milieu du segment AA1 et est perpendiculaire à ce segment. Chaque point d'une droite a est considéré comme symétrique par rapport à lui-même.
Un exemple d'une telle symétrie peut être vu non seulement dans les beaux papillons, mais même dans des bâtiments entiers, comme
bâtiment de l'Université d'État de Moscou qui porte le nom. Lomonossov,
Cathédrale du Christ Sauveur,
mausolée-mosquée Taj Mahal.
§ 4 Symétrie par rapport au plan
En géométrie spatiale, ajoutons une symétrie par rapport au plan.
Les points A et A1 sont dits symétriques par rapport au plan α (plan de symétrie) si le plan α passe par le milieu du segment AA1 et est perpendiculaire à ce segment. Chaque point du plan α est considéré symétrique par rapport à lui-même.
Lorsqu'on étudie la stéréométrie, on peut aussi parler du centre, de l'axe et du plan de symétrie d'une figure.
Un point (droite, plan) est appelé centre (axe, plan) de symétrie d'une figure si chaque point de la figure est symétrique par rapport à lui par rapport à un point de la même figure. Si une figure a un centre (axe, plan de symétrie), alors on dit qu'elle a une symétrie centrale (axiale, miroir).
Sur les photos vous pouvez désormais voir un parallélépipède rectangle, ainsi que son centre de symétrie, son axe de symétrie, son plan de symétrie.
Un parallélépipède, qui n'est pas rectangulaire mais est un prisme droit, possède un plan (ou des plans si sa base est un losange), un axe et un centre de symétrie.
§ 5 Asymétrie
Une figure peut avoir un ou plusieurs centres de symétrie (axes, plans de symétrie). Par exemple, un cube n’a qu’un seul centre de symétrie et plusieurs axes et plans de symétrie. Il existe des figures qui ont une infinité de centres, d'axes ou de plans de symétrie. Les plus simples de ces figures sont la droite et le plan. A l’inverse, il existe des figures qui n’ont pas de centres, d’axes ou de plans de symétrie. Dans ce cas, nous parlons d’un autre concept mathématique comme l’asymétrie, c’est-à-dire l’absence de symétrie. Aujourd’hui, biologistes et psychologues, chimistes et médecins tentent de travailler ensemble pour résoudre les mystères de la symétrie et percer les mystères de la gauche et de la droite. Chaque jour, nous nous regardons dans le miroir, mais nous pensons rarement au fait que dans le reflet, la main droite se transforme en gauche. Pourquoi la nature a-t-elle créé et dupliqué certaines fonctions des hémisphères, des bras, des jambes, des yeux, alors que les humains n'ont qu'une seule bouche ? Étonnamment, malgré toute notre symétrie, nous sommes asymétriques. Les technologies informatiques modernes permettent de voir à quoi ressemblerait une personne uniquement à partir de la moitié gauche du visage ou de la droite. Le résultat étonne ceux qui voient les portraits résultants. Les individus des hémisphères droit et gauche se révèlent différents les uns des autres. Regardez autour de vous, peut-être verrez-vous de la symétrie et de l'asymétrie et admirez-les.
- Géométrie. 10e – 11e années : manuel pour l’enseignement général. institutions : base et profil. niveaux / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et autres]. – 22e éd. – M. : Éducation, 2013. – 255 p. : je vais. – (MSU - à l'école)
- Manuel pédagogique et méthodologique pour aider les enseignants des écoles Compilé par Yarovenko V.A. Développements de cours de géométrie pour l'ensemble éducatif de L. S. Atanasyan et al. (M. : Prosveshcheniye) 10e année
- Rabinovich E. M. Tâches et exercices sur des dessins prêts à l'emploi. 10 à 11 années. Géométrie. – M. : Ilexa, 2006. – 80 s.
- M. Ya Vygodsky Manuel de mathématiques élémentaires M. : AST Astrel, 2006. - 509 p.
- Avanta+. Encyclopédie pour enfants. Volume 11. Mathématiques 2e éd., révisé. - M. : Encyclopédies du Monde d'Avanta+ : Astrel 2007. - 621 p. Éd. Conseil : M. Aksenova, V. Volodine, M. Samsonov
Dans cette leçon, nous décrirons les types de symétrie dans l'espace et nous familiariserons avec le concept de polyèdre régulier.
Comme en planimétrie, dans l'espace on considérera la symétrie par rapport à un point et par rapport à une ligne, mais en plus une symétrie par rapport à un plan apparaîtra.
Définition.
Les points A sont dits symétriques par rapport au point O (centre de symétrie), si O est le milieu du segment. Le point O est symétrique à lui-même.
Afin d'obtenir un point symétrique par rapport au point O pour un point A donné, vous devez tracer une ligne droite passant par les points A et O, tracer un segment égal à OA à partir du point O et obtenir le point souhaité (Figure 1 ).
Riz. 1. Symétrie autour d'un point
De même, les points B sont symétriques par rapport au point O, puisque O est le milieu du segment.
Ainsi, une loi est donnée selon laquelle chaque point du plan va à un autre point du plan, et nous avons dit que dans ce cas toutes les distances sont conservées, c'est-à-dire.
Considérons la symétrie autour d'une ligne droite dans l'espace.
Pour obtenir un point symétrique pour un point donné A par rapport à une droite a, vous devez abaisser une perpendiculaire du point A à la droite et y tracer un segment égal (Figure 2).
Riz. 2. Symétrie par rapport à une ligne droite dans l'espace
Définition.
Les points A et sont dits symétriques par rapport à la droite a (axe de symétrie) si la droite a passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire. Chaque point d'une droite est symétrique par rapport à lui-même.
Définition.
Les points A sont dits symétriques par rapport au plan (plan de symétrie) si le plan passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire. Chaque point du plan est symétrique par rapport à lui-même (Figure 3).
Riz. 3. Symétrie par rapport au plan
Certaines figures géométriques peuvent avoir un centre de symétrie, un axe de symétrie ou un plan de symétrie.
Définition.
Le point O est appelé centre de symétrie d'une figure si chaque point de la figure est symétrique par rapport à un point de la même figure.
Par exemple, dans un parallélogramme et un parallélépipède, le point d'intersection de toutes les diagonales est le centre de symétrie. Illustrons pour un parallélépipède.
Riz. 4. Centre de symétrie du parallélépipède
Donc, avec symétrie par rapport au point O dans un parallélépipède 
le point A entre en point, le point B en point, etc., ainsi le parallélépipède entre en lui-même.
Définition.
Une ligne droite est appelée axe de symétrie d'une figure si chaque point de la figure est symétrique par rapport à un point de la même figure.
Par exemple, chaque diagonale d'un losange est pour lui un axe de symétrie ; le losange se transforme en lui-même lorsqu'il est symétrique par rapport à l'une des diagonales.
Considérons un exemple dans l'espace - un parallélépipède rectangle (les bords latéraux sont perpendiculaires aux bases et il y a des rectangles égaux aux bases). Un tel parallélépipède possède des axes de symétrie. L'un d'eux passe par le centre de symétrie du parallélépipède (le point d'intersection des diagonales) et les centres des bases supérieure et inférieure.
Définition.
Un plan est appelé plan de symétrie d'une figure si chaque point de la figure est symétrique par rapport à un point de la même figure.
Par exemple, un parallélépipède rectangle possède des plans de symétrie. L'une d'elles passe par le milieu des nervures opposées des bases supérieure et inférieure (Figure 5).
Riz. 5. Plan de symétrie d'un parallélépipède rectangle
Les éléments de symétrie sont inhérents aux polyèdres réguliers.
Définition.
Un polyèdre convexe est dit régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers égaux et que le même nombre d'arêtes convergent à chaque sommet.
Théorème.
Il n'existe pas de polyèdre régulier dont les faces sont des n-gones réguliers pour .
Preuve:
Considérons le cas où est un hexagone régulier. Tous ses angles intérieurs sont égaux :
Ensuite, les angles internes seront plus grands.
À chaque sommet du polyèdre, au moins trois arêtes convergent, ce qui signifie que chaque sommet contient au moins trois angles plans. Leur somme totale (à condition que chacune soit supérieure ou égale à ) est supérieure ou égale à . Cela contredit l'affirmation : dans un polyèdre convexe, la somme de tous les angles plans à chaque sommet est inférieure.
Le théorème a été prouvé.
Cube (Figure 6) :
Riz. 6. Cubes
Le cube est composé de six carrés ; un carré est un polygone régulier ;
Chaque sommet est le sommet de trois carrés, par exemple, le sommet A est commun aux faces carrées ABCD, 
;
La somme de tous les angles plans à chaque sommet est égale à , puisqu'il est constitué de trois angles droits. C'est moins que ce qui satisfait au concept de polyèdre régulier ;
Le cube a un centre de symétrie - le point d'intersection des diagonales ;
Le cube a des axes de symétrie, par exemple les lignes a et b (figure 6), où la ligne a passe par les milieux des faces opposées, et b par les milieux des arêtes opposées ;
Le cube possède des plans de symétrie, par exemple un plan qui passe par les droites a et b.
2. Tétraèdre régulier (pyramide triangulaire régulière dont toutes les arêtes sont égales les unes aux autres) :
Riz. 7. Tétraèdre régulier
Un tétraèdre régulier est composé de quatre triangles équilatéraux ;
La somme de tous les angles plans à chaque sommet est , puisqu'un tétraèdre régulier se compose de trois angles plans le long de . C'est moins que ce qui satisfait au concept de polyèdre régulier ;
Un tétraèdre régulier a des axes de symétrie ; ils passent par les milieux d'arêtes opposées, par exemple la droite MN. De plus, MN est la distance entre les droites croisées AB et CD, MN est perpendiculaire aux arêtes AB et CD ;
Un tétraèdre régulier possède des plans de symétrie, chacun passant par une arête et le milieu de l'arête opposée (Figure 7) ;
Un tétraèdre régulier n'a pas de centre de symétrie.
3. Octaèdre régulier :
Se compose de huit triangles équilatéraux ;
Quatre arêtes convergent à chaque sommet ;
La somme de tous les angles plans à chaque sommet est , puisqu'un octaèdre régulier se compose de quatre angles plans le long de . C'est inférieur à , ce qui satisfait au concept de polyèdre régulier.
4. Icosaèdre régulier :
Se compose de vingt triangles équilatéraux ;
Cinq arêtes convergent à chaque sommet ;
La somme de tous les angles plans à chaque sommet est , puisqu'un icosaèdre régulier se compose de cinq angles plans le long de . C'est inférieur à , ce qui satisfait au concept de polyèdre régulier.
5. Dodécaèdre régulier :
Se compose de douze pentagones réguliers ;
Trois arêtes convergent à chaque sommet ;
La somme de tous les angles plans à chaque sommet est 
. C'est inférieur à , ce qui satisfait au concept de polyèdre régulier.
Nous avons donc examiné les types de symétrie dans l’espace et donné des définitions strictes. Nous avons également défini le concept de polyèdre régulier, examiné des exemples de tels polyèdres et leurs propriétés.
Bibliographie
- I.M. Smirnova, V.A. Smirnov. Géométrie. 10e-11e années : manuel pour les étudiants des établissements d'enseignement général (niveaux de base et spécialisé) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5e éd., rév. et supplémentaire - M. : Mnémosyne, 2008. - 288 p. : ill.
- Sharygin I.F. Géométrie. 10e-11e années : Manuel pour les établissements d'enseignement général / Sharygin I. F. - M. : Outarde, 1999. - 208 pp. : ill.
- E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Géométrie. 10e année : Manuel pour les établissements d'enseignement général avec étude approfondie et spécialisée des mathématiques /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6e éd., stéréotype. - M. : Outarde, 2008. - 233 p. : ill.
- Matemonline.com ().
- FMclass.ru ().
- 5klass.net ().
Devoirs
- Indiquer le nombre d'axes de symétrie du parallélépipède rectangle ;
- indiquer le nombre d'axes de symétrie d'un prisme pentagonal régulier ;
- indiquer le nombre de plans de symétrie de l'octaèdre ;
- Construisez une pyramide qui possède tous les éléments de symétrie.
Objectifs de la leçon:
Présenter aux élèves le concept de symétrie dans l’espace.
Considérez le concept de symétrie en utilisant des liens significatifs issus des mathématiques, de la physique, de la chimie et de la biologie.
Considérez les types de symétrie suivants : centrale, axiale, miroir, rotative, hélicoïdale.
Augmenter la motivation des élèves à apprendre les mathématiques.
Éducatif:
1. Favoriser le développement de l'activité cognitive.
2. Favoriser le développement de l'imagination.
3. Favoriser le développement des compétences en communication et de la capacité à travailler en équipe.
Éducatif:
Favoriser le développement de la perception esthétique des étudiants.
Aidez à élargir les horizons des étudiants.
Type de cours: apprendre du nouveau matériel.
2 semaines avant ce cours, l'enseignant devra diviser la classe en équipes. Chaque équipe prépare un message sur l'un des thèmes suivants : « Symétrie », « Symétrie chez les plantes », « Symétrie chez les animaux », « Symétrie chez l'homme », « Symétrie en chimie ». La répartition en équipes prend en compte l'intérêt des étudiants pour certaines matières. L'intérêt est déterminé par l'enseignant sur la base d'observations personnelles et de conversations avec les élèves.
Chaque équipe reçoit un plan indicatif, selon lequel il faut préparer un message sur le sujet proposé. Les points indiqués dans le plan doivent être couverts.
Par exemple, une équipe préparant une histoire sur la symétrie des plantes reçoit le plan suivant :
1) symétrie verticale ;
une symétrie de rotation;
symétrie hélicoïdale.
Au cours de la première semaine de préparation, les étudiants recherchent eux-mêmes la littérature nécessaire et sélectionnent le matériel. En conséquence, chaque membre de l’équipe devrait avoir une note. Si l’équipe a de la difficulté à trouver du matériel, l’enseignant propose aux élèves une liste de références. De plus, l'enseignant assure des consultations pour les équipes qui ne peuvent pas préparer seules le cours.
Vous pouvez demander aux étudiants de partager les responsabilités au sein d’une équipe. Ensuite, certains étudiants seront responsables de la recherche et de la sélection du matériel, certains seront responsables de la fabrication (recherche) d'aides visuelles, certains seront responsables de la présentation du matériel en classe, certains seront responsables de l'élaboration et de la création d'une présentation. Cependant, tous les étudiants doivent connaître le matériel avec lequel leur équipe travaille et avoir des notes. Après la représentation de chaque équipe, l'enseignant peut poser à chaque participant une courte question sur le matériel présenté.
Les équipes jouent à tour de rôle. Lors de la présentation de l'équipe, tous les autres élèves écoutent et remplissent le tableau suivant :
Pendant les cours:
1. Création d'une dominante pédagogique :
Les élèves se voient proposer la tâche suivante : remplir les parties vides des images avec des nombres et des chiffres, en tenant compte du type de symétrie.
2. Mot introductif du professeur :
Parmi l'infinie variété de formes de la nature vivante et inanimée, on trouve en abondance des spécimens aussi parfaits, dont l'apparence attire invariablement notre attention. Ces échantillons comprennent des cristaux et des microbes, ainsi que de nombreux animaux et plantes. Nous admirons constamment la beauté de chaque fleur, papillon ou coquille et essayons toujours de pénétrer le mystère de la beauté. On est surpris par l'architecture du nid d'abeilles, la disposition des graines sur le chapeau du tournesol, et la disposition hélicoïdale des feuilles sur la tige de la plante.
Une observation attentive révèle que la base de la beauté de nombreuses formes créées par la nature est la symétrie, ou plutôt tous ses types - des plus simples aux plus complexes.
Symétrie (du grec symetria - « proportionnalité ») - proportionnalité, correspondance complète dans la disposition des parties de l'ensemble par rapport à la ligne médiane, centre ; stricte exactitude dans la disposition ou le placement de quelque chose.
3. Chaque équipe réalise son propre rapport.
4. Derniers mots du professeur :
Selon la juste remarque de G. Weyl, les mathématiques seraient à l'origine de la symétrie. En même temps, la symétrie est perçue par nous comme un élément de la beauté en général et de la beauté de la nature en particulier. Aujourd’hui, nous avons examiné la symétrie du point de vue des mathématiques, de la biologie, de la physique et de la chimie. De plus, la symétrie est largement utilisée dans l’art, notamment en architecture.
5. Devoir : trouver et faire des copies (photocopies, photographies, etc.) d'images qui révèlent le thème « La symétrie dans l'architecture de notre ville ». (Il sera possible d'organiser une exposition à partir des œuvres reçues).
6. Maintenant, chacun de vous va écrire un court syncwine (vers blanc) dédié au sujet de notre leçon. Règles d'écriture d'un syncwine : dans la première ligne le sujet (nom) est écrit, dans la deuxième ligne : une description du sujet avec deux adjectifs, dans la troisième ligne : une description des actions (trois verbes), dans la quatrième ligne : une phrase de 4 mots exprimant une attitude face au sujet, la cinquième ligne : un mot qui révèle l'essence du sujet noté dans la première ligne.
Avantages: tableaux et aides visuelles sur la biologie, la chimie, la physique ; Présentations Power Point.
