Définition.

Il s'agit d'un hexagone dont les bases sont deux carrés égaux et les faces latérales sont des rectangles égaux

Côte latérale- est le côté commun de deux faces latérales adjacentes

Hauteur du prisme- c'est un segment perpendiculaire aux bases du prisme

Diagonale du prisme- un segment reliant deux sommets des bases n'appartenant pas à la même face

Plan diagonal- un plan qui passe par la diagonale du prisme et ses bords latéraux

Section diagonale- les limites de l'intersection du prisme et du plan diagonal. La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle

Section perpendiculaire (section orthogonale)- c'est l'intersection d'un prisme et d'un plan tracé perpendiculairement à ses bords latéraux

Éléments d'un prisme quadrangulaire régulier

La figure montre deux prismes quadrangulaires réguliers, qui sont indiqués par les lettres correspondantes :

• Les bases ABCD et A 1 B 1 C 1 D 1 sont égales et parallèles entre elles
• Faces latérales AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C et CC 1 D 1 D, dont chacune est un rectangle
• Surface latérale - la somme des aires de toutes les faces latérales du prisme
• Surface totale - la somme des aires de toutes les bases et faces latérales (somme de l'aire de la surface latérale et des bases)
• Côtes latérales AA 1, BB 1, CC 1 et DD 1.
• Diagonale B 1 D
• Diagonale de base BD
• Section diagonale BB 1 D 1 D
• Section perpendiculaire A 2 B 2 C 2 D 2.

Propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier

• Les bases sont deux carrés égaux
• Les bases sont parallèles les unes aux autres
• Les faces latérales sont des rectangles
• Les bords latéraux sont égaux les uns aux autres
• Les faces latérales sont perpendiculaires aux bases
• Les côtes latérales sont parallèles entre elles et égales
• Section perpendiculaire perpendiculaire à toutes les nervures latérales et parallèle aux bases
• Angles de section perpendiculaire - droits
• La section diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier est un rectangle
• Perpendiculaire (section orthogonale) parallèle aux bases

Formules pour un prisme quadrangulaire régulier

Instructions pour résoudre les problèmes

Prisme correct- un prisme à la base duquel se trouve un polygone régulier, et dont les bords latéraux sont perpendiculaires aux plans de la base. Autrement dit, un prisme quadrangulaire régulier contient à sa base carré. (voir propriétés d'un prisme quadrangulaire régulier ci-dessus) Note. Cela fait partie d'une leçon avec des problèmes de géométrie (stéréométrie de section - prisme). Voici des problèmes difficiles à résoudre. Si vous avez besoin de résoudre un problème de géométrie qui n'est pas ici, écrivez-le sur le forum. Pour désigner l'action d'extraire la racine carrée dans la résolution de problèmes, le symbole est utilisé√ .

Tâche.

La diagonale d'un prisme régulier forme un triangle rectangle avec la diagonale de la base et la hauteur du prisme. Ainsi, selon le théorème de Pythagore, la diagonale d'un prisme quadrangulaire régulier donné sera égale à :
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Répondre: 22 cm

Tâche

Solution.
Puisque la base d'un prisme quadrangulaire régulier est un carré, on trouve le côté de la base (noté a) à l'aide du théorème de Pythagore :

Un 2 + un 2 = 5 2
2a 2 = 25
une = √12,5

La hauteur de la face latérale (notée h) sera alors égale à :

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

La surface totale sera égale à la somme de la surface latérale et du double de la surface de base.

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm2.

Réponse : 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Ce sont les figures tridimensionnelles les plus courantes parmi d’autres similaires que l’on trouve dans la vie quotidienne et dans la nature. La stéréométrie, ou géométrie spatiale, étudie leurs propriétés. Dans cet article, nous aborderons la question de savoir comment trouver la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier, ainsi que d'un prisme quadrangulaire et hexagonal.

Qu'est-ce qu'un prisme ?

Avant de calculer la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier et d'autres types de cette figure, vous devez comprendre de quoi il s'agit. Ensuite nous apprendrons à déterminer les quantités d’intérêt.

Un prisme, du point de vue de la géométrie, est un corps volumétrique délimité par deux polygones arbitrairement identiques et n parallélogrammes, où n est le nombre de côtés d'un polygone. Il est facile de dessiner une telle figure ; pour ce faire, vous devez dessiner une sorte de polygone. Dessinez ensuite un segment à partir de chacun de ses sommets qui sera de même longueur et parallèle à tous les autres. Ensuite, vous devez relier les extrémités de ces lignes ensemble afin d'obtenir un autre polygone égal à celui d'origine.

Ci-dessus, vous pouvez voir que la figure est limitée par deux pentagones (appelés bases inférieure et supérieure de la figure) et cinq parallélogrammes, qui correspondent aux rectangles de la figure.

Tous les prismes diffèrent les uns des autres par deux paramètres principaux :

• le type de polygone sous-jacent à la figure ;
• angles entre parallélogrammes et bases.

Le nombre de côtés d'un rectangle donne le nom à un prisme. De là, nous obtenons les figures triangulaires, hexagonales et quadrangulaires mentionnées ci-dessus.

Ils diffèrent également par l’ampleur de la pente. Quant aux angles marqués, s'ils sont égaux à 90 o, alors un tel prisme est dit droit ou rectangulaire (l'angle d'inclinaison est nul). Si certains angles ne sont pas droits, la figure est dite oblique. La différence entre eux est évidente au premier coup d’œil. L'image ci-dessous montre ces variétés.

Comme vous pouvez le constater, la hauteur h coïncide avec la longueur de son bord latéral. Dans le cas d'un angle oblique, ce paramètre est toujours plus petit.

Quel prisme est dit correct ?

Puisqu'il faut répondre à la question de savoir comment trouver l'aire latérale d'un prisme régulier (triangulaire, quadrangulaire, etc.), il faut définir ce type de figure volumétrique. Analysons le matériel plus en détail.

Un prisme régulier est une figure rectangulaire dans laquelle un polygone régulier forme des bases identiques. Cette figure peut être un triangle équilatéral, un carré ou autre. Tout n-gon dont les longueurs de côté et les angles sont identiques sera régulier.

Un certain nombre de ces prismes sont représentés schématiquement dans la figure ci-dessous.

Surface latérale du prisme

Comme cela a été dit, cette figure est constituée de n + 2 plans qui, en se coupant, forment n + 2 faces. Deux d'entre eux appartiennent aux bases, les autres sont formés de parallélogrammes. L'aire de la surface entière est constituée de la somme des aires des faces indiquées. Si nous n'incluons pas les valeurs des deux bases, nous obtenons alors la réponse à la question de savoir comment trouver la surface latérale d'un prisme. Ainsi, vous pouvez déterminer sa signification et ses bases séparément les unes des autres.

Ci-dessous est donné dont la surface latérale est formée de trois quadrangles.

Examinons plus en détail le processus de calcul. Évidemment, l'aire de la surface latérale du prisme est égale à la somme des n aires des parallélogrammes correspondants. Ici n est le nombre de côtés du polygone formant la base de la figure. L'aire de chaque parallélogramme peut être trouvée en multipliant la longueur de son côté par sa hauteur. Cela s'applique au cas général.

Si le prisme étudié est droit, alors la procédure de détermination de l'aire de sa surface latérale S b est grandement simplifiée, puisqu'une telle surface est constituée de rectangles. Dans ce cas, vous pouvez utiliser la formule suivante :

Où h est la hauteur de la figure, P o est le périmètre de sa base

Prisme régulier et sa surface latérale

Dans le cas d’un tel chiffre, la formule donnée dans le paragraphe ci-dessus prend une forme bien particulière. Puisque le périmètre d'un n-gone est égal au produit du nombre de ses côtés par la longueur d'un, on obtient la formule suivante :

Où a est la longueur du côté du n-gon correspondant.

Surface latérale quadrangulaire et hexagonale

Utilisons la formule ci-dessus pour déterminer les valeurs requises pour les trois types de formes notés. Les calculs ressembleront à ceci :

Pour une formule triangulaire prendra la forme :

Par exemple, le côté d'un triangle mesure 10 cm, et la hauteur de la figure est de 7 cm, alors :

S 3b = 3*10*7 = 210 cm2

Dans le cas d'un prisme quadrangulaire, l'expression recherchée prend la forme :

Si l'on prend les mêmes valeurs de longueur que dans l'exemple précédent, alors on obtient :

S 4b = 4*10*7 = 280 cm2

La surface latérale d'un prisme hexagonal est calculée par la formule :

En substituant les mêmes nombres que dans les cas précédents, on a :

S 6b = 6*10*7 = 420 cm2

A noter que dans le cas d'un prisme régulier de tout type, sa surface latérale est formée de rectangles identiques. Dans les exemples ci-dessus, la superficie de chacun d'eux était a*h = 70 cm 2.

Calcul pour un prisme oblique

Déterminer la valeur de la surface latérale pour une figure donnée est un peu plus difficile que pour une figure rectangulaire. Néanmoins, la formule ci-dessus reste la même, sauf qu'au lieu du périmètre de base, il faut prendre le périmètre de coupe perpendiculaire, et au lieu de la hauteur, la longueur du bord latéral doit être prise.

La figure ci-dessus montre un prisme oblique quadrangulaire. Le parallélogramme ombré est la tranche perpendiculaire dont le périmètre P sr doit être calculé. La longueur du bord latéral sur la figure est indiquée par la lettre C. On obtient alors la formule :

Le périmètre de la coupe peut être retrouvé si les angles des parallélogrammes formant la surface latérale sont connus.

En géométrie spatiale, lors de la résolution de problèmes avec des prismes, le problème se pose souvent du calcul de l'aire des côtés ou des faces qui forment ces figures volumétriques. Cet article est consacré à la question de la détermination de l'aire de la base du prisme et de sa surface latérale.

Figurine prisme

Avant de passer à l'examen des formules pour l'aire de base et la surface d'un prisme d'un type ou d'un autre, vous devez comprendre de quel type de figure nous parlons.

Un prisme en géométrie est une figure spatiale composée de deux polygones parallèles égaux entre eux et de plusieurs quadrangles ou parallélogrammes. Le nombre de ces derniers est toujours égal au nombre de sommets d'un polygone. Par exemple, si une figure est formée de deux n-gones parallèles, alors le nombre de parallélogrammes sera n.

Les parallélogrammes reliant les n-gones sont appelés côtés latéraux du prisme, et leur aire totale est l'aire de la surface latérale de la figure. Les n-gons eux-mêmes sont appelés bases.

L'image ci-dessus montre un exemple de prisme en papier. Le rectangle jaune constitue sa base supérieure. La figurine repose sur un deuxième socle similaire. Les rectangles rouges et verts sont les faces latérales.

Quels types de prismes existe-t-il ?

Il existe plusieurs types de prismes. Ils diffèrent tous les uns des autres par seulement deux paramètres :

• le type de n-gon formant la base ;
• l'angle entre le n-gon et les faces latérales.

Par exemple, si les bases sont des triangles, alors le prisme est dit triangulaire, s'il est quadrilatère, comme dans la figure précédente, alors la figure est appelée prisme quadrangulaire, et ainsi de suite. De plus, un n-gon peut être convexe ou concave, alors cette propriété s'ajoute également au nom du prisme.

L'angle entre les faces latérales et la base peut être droit, aigu ou obtus. Dans le premier cas, ils parlent d'un prisme rectangulaire, dans le second, d'un prisme incliné ou oblique.

Les prismes réguliers sont classés comme un type spécial de figures. Ils ont la symétrie la plus élevée parmi les autres prismes. Il ne sera régulier que s'il est rectangulaire et que sa base est un n-gon régulier. La figure ci-dessous montre un ensemble de prismes réguliers dans lesquels le nombre de côtés d'un n-gon varie de trois à huit.

Surface du prisme

La surface de la figure de type arbitraire considérée s'entend comme l'ensemble de tous les points qui appartiennent aux faces du prisme. Il est pratique d’étudier la surface d’un prisme en examinant son évolution. Vous trouverez ci-dessous un exemple d'un tel développement pour un prisme triangulaire.

On voit que toute la surface est formée de deux triangles et de trois rectangles.

Dans le cas d'un prisme général, sa surface sera constituée de deux bases n-gonales et de n quadrangles.

Examinons plus en détail la question du calcul de la surface de prismes de différents types.

L'aire de base d'un prisme régulier

Le problème le plus simple lorsque l'on travaille avec des prismes est peut-être le problème de trouver l'aire de la base de la figure régulière. Puisqu’il est formé d’un n-gone dont les angles et les longueurs des côtés sont tous identiques, il peut toujours être divisé en triangles identiques dont les angles et les côtés sont connus. L'aire totale des triangles sera l'aire du n-gon.

Une autre façon de déterminer la partie de la surface d'un prisme (base) consiste à utiliser une formule bien connue. Cela ressemble à ceci :

S n = n/4*a 2 *ctg(pi/n)

Autrement dit, l'aire S n d'un n-gone est déterminée de manière unique sur la base de la connaissance de la longueur de son côté a. Une difficulté lors du calcul à l'aide de la formule peut être le calcul de la cotangente, en particulier lorsque n>4 (pour n≤4, les valeurs de la cotangente sont des données tabulaires). Il est recommandé d'utiliser une calculatrice pour déterminer cette fonction trigonométrique.

Lorsque vous posez un problème géométrique, vous devez être prudent, car vous devrez peut-être trouver l'aire de la base du prisme. Ensuite, la valeur obtenue à partir de la formule doit être multipliée par deux.

Aire de base d'un prisme triangulaire

En utilisant l'exemple d'un prisme triangulaire, voyons comment trouver l'aire de la base de cette figure.

Considérons d'abord un cas simple : un prisme régulier. L'aire de la base est calculée à l'aide de la formule donnée dans le paragraphe ci-dessus ; vous devez y substituer n=3. On obtient :

S 3 = 3/4*a 2 *ctg(pi/3) = 3/4*a 2 *1/√3 = √3/4*a 2

Il reste à substituer les valeurs spécifiques de la longueur du côté a du triangle équilatéral dans l'expression pour obtenir l'aire d'une base.

Supposons maintenant qu’il existe un prisme dont la base est un triangle arbitraire. Ses deux côtés a et b et l'angle entre eux α sont connus. Ce chiffre est présenté ci-dessous.

Comment dans ce cas trouver l'aire de la base d'un prisme triangulaire ? Il faut se rappeler que l'aire de tout triangle est égale à la moitié du produit du côté et de la hauteur abaissée de ce côté. Sur la figure, la hauteur h est tracée du côté b. La longueur h correspond au produit du sinus de l'angle alpha par la longueur du côté a. Alors l’aire du triangle entier est :

S = 1/2*b*h = 1/2*b*a*sin(α)

Il s'agit de la surface de base du prisme triangulaire illustré.

Surface latérale

Nous avons examiné comment trouver l'aire de la base d'un prisme. La surface latérale de cette figure est toujours constituée de parallélogrammes. Pour les prismes droits, les parallélogrammes deviennent des rectangles, leur aire totale est donc facile à calculer :

S = ∑ je=1 n (une je *b)

Ici b est la longueur du bord latéral, a i est la longueur du côté du i-ième rectangle, qui coïncide avec la longueur du côté du n-gon. Dans le cas d'un prisme n-gonal régulier, on obtient une expression simple :

Si le prisme est incliné, alors pour déterminer l'aire de sa surface latérale, il faut faire une coupe perpendiculaire, calculer son périmètre P sr et le multiplier par la longueur du bord latéral.

L'image ci-dessus montre comment cette coupe doit être réalisée pour un prisme pentagonal incliné.

La surface latérale du prisme. Bonjour! Dans cette publication, nous analyserons un groupe de problèmes en stéréométrie. Considérons une combinaison de corps - un prisme et un cylindre. Pour le moment, cet article complète toute la série d'articles liés à la prise en compte des types de tâches en stéréométrie.

Si de nouveaux apparaissent dans la banque de tâches, il y aura bien sûr des ajouts au blog à l'avenir. Mais ce qui existe déjà est largement suffisant pour que vous appreniez à résoudre tous les problèmes avec une réponse courte dans le cadre de l'examen. Il y aura suffisamment de matériel pour les années à venir (le programme de mathématiques est statique).

Les tâches présentées consistent à calculer l'aire d'un prisme. Je note que ci-dessous nous considérons un prisme droit (et, par conséquent, un cylindre droit).

Sans connaître aucune formule, on comprend que la surface latérale d'un prisme est constituée de toutes ses faces latérales. Un prisme droit a des faces latérales rectangulaires.

L'aire de la surface latérale d'un tel prisme est égale à la somme des aires de toutes ses faces latérales (c'est-à-dire des rectangles). Si l'on parle d'un prisme régulier dans lequel est inscrit un cylindre, alors il est clair que toutes les faces de ce prisme sont des rectangles ÉGAUX.

Formellement, la surface latérale d'un prisme régulier peut être reflétée comme suit :

27064. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base et la hauteur sont égaux à 1. Trouvez la surface latérale du prisme.

La surface latérale de ce prisme est constituée de quatre rectangles d'égale surface. La hauteur de la face est de 1, le bord de la base du prisme est de 2 (ce sont deux rayons du cylindre), donc l'aire de la face latérale est égale à :

Surface latérale :

73023. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √0,12 et la hauteur est 3.

L'aire de la surface latérale d'un prisme donné est égale à la somme des aires des trois faces latérales (rectangles). Pour connaître l'aire de la face latérale, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est de trois. Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons un triangle régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √0,12. A partir du triangle rectangle AOC on trouve AC. Et puis AD (AD=2AC). Par définition de tangente :

Cela signifie AD = 2AC = 1,2 Ainsi, la surface latérale est égale à :

27066. Trouvez la surface latérale d'un prisme hexagonal régulier circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est √75 et la hauteur est 1.

La surface requise est égale à la somme des surfaces de toutes les faces latérales. Un prisme hexagonal régulier a des faces latérales qui sont des rectangles égaux.

Pour trouver l'aire d'un visage, vous devez connaître sa hauteur et la longueur du bord de base. La hauteur est connue, elle est égale à 1.

Trouvons la longueur du bord de base. Considérez la projection (vue de dessus) :

Nous avons un hexagone régulier dans lequel est inscrit un cercle de rayon √75.

Considérons le triangle rectangle ABO. On connaît la jambe OB (c'est le rayon du cylindre). On peut aussi déterminer l'angle AOB, il est égal à 300 (le triangle AOC est équilatéral, OB est une bissectrice).

Utilisons la définition de la tangente dans un triangle rectangle :

AC = 2AB, puisque OB est la médiane, c'est-à-dire qu'il divise AC en deux, ce qui signifie AC = 10.

Ainsi, l'aire de la face latérale est 1∙10=10 et l'aire de la surface latérale est :

76485. Trouvez la surface latérale d'un prisme triangulaire régulier inscrit dans un cylindre dont le rayon de base est de 8√3 et la hauteur est de 6.

L'aire de la surface latérale du prisme spécifié de trois faces de taille égale (rectangles). Pour trouver l'aire, il faut connaître la longueur du bord de la base du prisme (on connaît la hauteur). Si l'on considère la projection (vue de dessus), nous avons un triangle régulier inscrit dans un cercle. Le côté de ce triangle est exprimé en termes de rayon comme suit :

Détails de cette relation. Ce sera donc égal

Alors l'aire de la face latérale est : 24∙6=144. Et la surface requise :

245354. Un prisme quadrangulaire régulier est circonscrit autour d'un cylindre dont le rayon de base est de 2. La surface latérale du prisme est de 48. Trouvez la hauteur du cylindre.

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