Salutations, chers étudiants de l'Université d'Argemona !

Aujourd'hui, nous allons continuer à apprendre à matérialiser des objets. La dernière fois, nous avons fait pivoter des figures plates et obtenu des corps volumétriques. Certains d’entre eux sont très tentants et utiles. Je pense qu’une grande partie de ce qu’invente un magicien pourra être utilisée à l’avenir.

Aujourd'hui, nous allons faire pivoter les courbes. Il est clair que de cette façon nous pouvons obtenir un objet avec des bords très fins (un cône ou une bouteille pour les potions, un vase à fleurs, un verre pour les boissons, etc.), car une courbe tournante peut créer exactement ce genre d'objets. En d’autres termes, en faisant tourner la courbe, nous pouvons obtenir une sorte de surface – fermée de tous les côtés ou non. Pourquoi en ce moment je me souvenais de la tasse qui fuyait dans laquelle Sir Shurf Lonley-Lokley buvait toujours.

Nous allons donc créer un bol avec des trous et un bol sans trous, et calculer l'aire de​​la surface créée. Je pense que (la surface en général) sera nécessaire pour quelque chose - enfin, au moins pour appliquer une peinture magique spéciale. D'un autre côté, les zones d'artefacts magiques peuvent être nécessaires pour calculer les forces magiques qui leur sont appliquées ou autre chose. Nous apprendrons à le trouver et nous trouverons où l’appliquer.

Ainsi, un morceau de parabole peut nous donner la forme d’un bol. Prenons le y=x 2 le plus simple sur l'intervalle. On peut voir que lorsque vous le faites pivoter autour de l’axe OY, vous obtenez juste un bol. Pas de fond.

Le sort pour calculer la surface de rotation est le suivant :

Ici |y| est la distance entre l'axe de rotation et n'importe quel point de la courbe qui tourne. Comme vous le savez, la distance est une perpendiculaire.
Un peu plus difficile avec le deuxième élément du sort : ds est l'arc différentiel. Ces mots ne nous donnent rien, alors ne nous embêtons pas, mais passons au langage des formules, où cette différentielle se présente clairement pour tous les cas que nous connaissons :
- Système de coordonnées cartésiennes ;
- enregistrer la courbe sous forme paramétrique ;
- système de coordonnées polaires.

Pour notre cas, la distance entre l’axe de rotation et n’importe quel point de la courbe est x. Nous calculons la surface du bol troué obtenu :

Pour réaliser un bol avec un fond, il faut prendre un autre morceau, mais avec une courbe différente : sur l'intervalle c'est la droite y=1.

Il est clair que lorsqu'il tourne autour de l'axe OY, le fond du bol aura la forme d'un cercle de rayon unité. Et nous savons comment l'aire d'un cercle est calculée (en utilisant la formule pi*r^2. Pour notre cas, l'aire du cercle sera égale à pi), mais calculons-la en utilisant une nouvelle formule - à vérifier.
La distance de l'axe de rotation à n'importe quel point de cette partie de la courbe est également égale à x.

Eh bien, nos calculs sont corrects, ce qui est une bonne nouvelle.

Et maintenant devoirs.

1. Trouvez la surface obtenue en faisant tourner la ligne brisée ABC, où A=(1 ; 5), B=(1 ; 2), C=(6; 2), autour de l’axe OX.
Conseil. Notez tous les segments sous forme paramétrique.
AB : x=1, y=t, 2≤t≤5
BC : x=t, y=2, 1≤t≤6
Au fait, à quoi ressemble l’élément obtenu ?

2. Eh bien, trouvez maintenant quelque chose vous-même. Je pense que trois éléments suffiront.

Si la courbe est donnée par des équations paramétriques, alors la surface obtenue en faisant tourner cette courbe autour de l'axe est calculée par la formule . Dans ce cas, la «direction du tracé» de la ligne, dont tant de copies ont été brisées dans l'article, est indifférente. Mais, comme dans le paragraphe précédent, il est important que la courbe se situe plus haut axe des abscisses - sinon la fonction "responsable des jeux" prendra des valeurs négatives et vous devrez mettre un signe "moins" devant l'intégrale.

Exemple 3

Calculez l'aire d'une sphère obtenue en faisant tourner un cercle autour de l'axe.

Solution: extrait de l'article sur la surface et le volume pour une ligne définie paramétriquement vous savez que les équations définissent un cercle dont le centre est à l'origine de rayon 3.

Bien sphère , pour ceux qui ont oublié, c'est la surface balle(ou surface sphérique).

Nous adhérons au schéma de solution établi. Trouvons les dérivées :

Composons et simplifions la racine « formule » :

Inutile de dire que c'était des bonbons. Découvrez à titre de comparaison comment Fichtenholtz s'est heurté à la région. ellipsoïde de révolution.

D'après la remarque théorique, nous considérons le demi-cercle supérieur. Il est « dessiné » lorsque la valeur du paramètre change dans les limites (il est facile de voir que sur cet intervalle), donc :

Répondre:

Si vous résolvez le problème sous forme générale, vous obtiendrez exactement la formule scolaire pour l'aire d'une sphère, où est son rayon.

C'était une tâche tellement simple que j'en avais même honte... Je vous suggère de corriger ce bug =)

Exemple 4

Calculez la surface obtenue en faisant tourner le premier arc de la cycloïde autour de l'axe.

La tâche est créative. Essayez de dériver ou de deviner intuitivement la formule de calcul de la surface obtenue en faisant tourner une courbe autour de l'axe des ordonnées. Et, bien sûr, il convient de noter à nouveau l'avantage des équations paramétriques : elles n'ont pas besoin d'être modifiées d'aucune façon ; il n'est pas nécessaire de s'embêter à trouver d'autres limites d'intégration.

Le graphique cycloïde peut être consulté sur la page Superficie et volume, si la ligne est spécifiée paramétriquement. La surface de rotation ressemblera à... Je ne sais même pas à quoi la comparer... à quelque chose de surnaturel - de forme ronde avec une dépression pointue au milieu. Pour le cas de rotation d'une cycloïde autour d'un axe, une association m'est immédiatement venue à l'esprit : un ballon de rugby oblong.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Nous concluons notre passionnante revue avec le cas coordonnées polaires. Oui, juste une revue, si vous regardez des manuels d'analyse mathématique (Fichtenholtz, Bokhan, Piskunov et d'autres auteurs), vous pouvez obtenir une bonne douzaine (voire bien plus) d'exemples standards, parmi lesquels vous pourriez bien trouver le problème que vous besoin.

Comment calculer la surface de révolution,
si la ligne est donnée dans un système de coordonnées polaires ?

Si la courbe est donnée en coordonnées polaireséquation, et la fonction a une dérivée continue sur un intervalle donné, alors la surface obtenue en faisant tourner cette courbe autour de l'axe polaire est calculée par la formule , où sont les valeurs angulaires correspondant aux extrémités de la courbe.

Conformément à la signification géométrique du problème, la fonction intégrande , et ceci n'est réalisé que sous la condition (et est évidemment non négatif). Par conséquent, il est nécessaire de considérer les valeurs d'angle de la plage, en d'autres termes, la courbe doit être située plus haut axe polaire et sa continuation. Comme vous pouvez le constater, c'est la même histoire que dans les deux paragraphes précédents.

Exemple 5

Calculez la surface formée en faisant tourner le cardioïde autour de l’axe polaire.

Solution: le graphique de cette courbe est visible dans l'exemple 6 de la leçon sur système de coordonnées polaires. La cardioïde est symétrique par rapport à l'axe polaire, on considère donc sa moitié supérieure dans l'intervalle (ce qui, en fait, est dû à la remarque ci-dessus).

La surface de rotation ressemblera à une cible.

La technique de résolution est standard. Trouvons la dérivée par rapport à "phi" :

Composons et simplifions la racine :

J'espère avec des réguliers formules trigonométriques personne n'a eu de difficultés.

Nous utilisons la formule :

Entre , donc : (J'ai parlé en détail de la façon de se débarrasser correctement de la racine dans l'article Longueur de l'arc de courbe).

Répondre:

Une tâche intéressante et courte à résoudre par vous-même :

Exemple 6

Calculer l'aire de la ceinture sphérique,

Qu'est-ce qu'une ceinture à billes ? Placez une orange ronde non pelée sur la table et prenez un couteau. Faites-en deux parallèle couper, divisant ainsi le fruit en 3 parties de tailles arbitraires. Prenez maintenant le centre, dont la chair juteuse est exposée des deux côtés. Ce corps s'appelle couche sphérique, et la surface qui le délimite (peau d’orange) – ceinture de balle.

Les lecteurs familiers avec coordonnées polaires, a facilement présenté un dessin du problème : l'équation spécifie un cercle avec un centre au pôle de rayon , à partir duquel des rayons couper moins arc. Cet arc tourne autour de l'axe polaire et produit ainsi une ceinture sphérique.

Maintenant, vous pouvez manger une orange la conscience tranquille et le cœur léger, et sur cette note savoureuse nous terminerons la leçon, ne vous coupez pas l'appétit avec d'autres exemples =)

Solutions et réponses :

Exemple 2 :Solution : calculer la surface formée par la rotation de la branche supérieure autour de l'axe des abscisses. Nous utilisons la formule .
Dans ce cas: ;

Ainsi:


Répondre:

Exemple 4 :Solution : utilisez la formule . Le premier arc de la cycloïde est défini sur le segment .
Trouvons les dérivées :

Composons et simplifions la racine :

Ainsi, la surface de rotation est :

Entre , c'est pourquoi

Première intégraleintégrer par parties :

Dans la deuxième intégrale, nous utilisonsformule trigonométrique .


Répondre:

Exemple 6 :Solution : utilisez la formule :


Répondre:

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Comment calculer une intégrale définie
en utilisant la formule trapézoïdale et la méthode de Simpson ?

Les méthodes numériques représentent une section assez importante des mathématiques supérieures et les manuels sérieux sur ce sujet contiennent des centaines de pages. Dans la pratique, les épreuves proposent traditionnellement de résoudre certains problèmes à l'aide de méthodes numériques, et l'un des problèmes courants est le calcul approximatif. intégrales définies. Dans cet article, j'examinerai deux méthodes de calcul approximatif de l'intégrale définie - méthode trapézoïdale Et Méthode Simpson.

Que faut-il savoir pour maîtriser ces méthodes ? Cela peut paraître drôle, mais vous ne pourrez peut-être pas du tout prendre les intégrales. Et vous ne comprenez même pas ce que sont les intégrales. Du point de vue technique, vous aurez besoin d'une microcalculatrice. Oui, oui, des calculs scolaires de routine nous attendent. Mieux encore, télécharge le mien calculatrice semi-automatique pour la méthode trapézoïdale et la méthode Simpson. La calculatrice est écrite en Excel et réduira de dizaines de fois le temps nécessaire pour résoudre et terminer les problèmes. Pour les nuls Excel, un manuel vidéo est inclus ! Au fait, le premier enregistrement vidéo avec ma voix.

Tout d’abord, demandons-nous : pourquoi avons-nous besoin de calculs approximatifs ? Il semble que vous puissiez trouver la primitive de la fonction et utiliser la formule de Newton-Leibniz, calculant la valeur exacte de l'intégrale définie. Pour répondre à la question, regardons immédiatement un exemple de démonstration avec une image.

Calculer l'intégrale définie

Tout irait bien, mais dans cet exemple, l'intégrale n'est pas prise - devant vous se trouve une soi-disant non prise logarithme intégral. Cette intégrale existe-t-elle vraiment ? Représentons dans le dessin le graphique de la fonction intégrande :

Tout va bien. Intégrande continu sur le segment et l'intégrale définie est numériquement égale à la zone ombrée. Il y a juste un problème : l’intégrale ne peut pas être prise. Et dans de tels cas, les méthodes numériques viennent à la rescousse. Dans ce cas, le problème se présente sous deux formulations :

1) Calculer approximativement l'intégrale définie , en arrondissant le résultat à une certaine décimale. Par exemple, jusqu'à deux décimales, jusqu'à trois décimales, etc. Supposons que la réponse approximative soit 5,347. En fait, cela n’est peut-être pas tout à fait exact (en réalité, disons, la réponse la plus précise est 5,343). Notre tâche est seulement ça pour arrondir le résultat à trois décimales.

2) Calculer approximativement l'intégrale définie, avec une certaine précision. Par exemple, calculez approximativement une intégrale définie avec une précision de 0,001. Qu'est-ce que ça veut dire? Cela signifie que si la réponse approximative est 5,347, alors Tous les chiffres doivent être en béton armé correct. Plus précisément, la réponse 5,347 ne devrait pas différer de la vérité en valeur absolue (dans un sens ou dans l'autre) de 0,001 au maximum.

Il existe plusieurs méthodes de base pour le calcul approximatif de l'intégrale définie qui se produit dans les problèmes :

Méthode rectangulaire. Le segment d'intégration est divisé en plusieurs parties et une figure d'étape est construite ( histogramme), dont la zone est proche de la zone souhaitée :

Ne jugez pas strictement par les dessins, la précision n'est pas idéale - ils aident seulement à comprendre l'essence des méthodes.

Dans cet exemple, le segment d'intégration est divisé en trois segments :
. Évidemment, plus le partitionnement est fréquent (plus de segments intermédiaires sont petits), plus la précision est élevée. La méthode du rectangle donne une approximation grossière de l'aire, c'est apparemment pourquoi on la trouve très rarement en pratique (je ne me souviens que d'un exemple pratique). À cet égard, je ne considérerai pas la méthode du rectangle, et je ne donnerai même pas une formule simple. Non pas parce que je suis paresseux, mais à cause du principe de mon cahier d’exercices : ce qui est extrêmement rare dans les problèmes pratiques n’est pas pris en compte.

Méthode trapézoïdale. L'idée est similaire. Le segment d'intégration est divisé en plusieurs segments intermédiaires, et le graphique de la fonction intégrande se rapproche ligne brisée doubler:

Ainsi, notre aire (ombrage bleu) est approximée par la somme des aires des trapèzes (rouge). D'où le nom de la méthode. Il est facile de voir que la méthode du trapèze donne une bien meilleure approximation que la méthode du rectangle (avec le même nombre de segments de partition). Et bien entendu, plus nous considérons de segments intermédiaires petits, plus la précision sera élevée. La méthode du trapèze se retrouve de temps en temps dans des tâches pratiques, et plusieurs exemples seront abordés dans cet article.

Méthode de Simpson (méthode parabole). Il s'agit d'une méthode plus avancée - le graphique de l'intégrande n'est pas approximé par une ligne brisée, mais par de petites paraboles. Il y a autant de petites paraboles que de segments intermédiaires. Si nous prenons les trois mêmes segments, alors la méthode de Simpson donnera une approximation encore plus précise que la méthode du rectangle ou la méthode du trapèze.

Je ne vois pas l'intérêt de construire un dessin, puisque l'approximation visuelle se superposera au graphique de la fonction (la ligne brisée du paragraphe précédent - et même alors, elle coïncidait presque).

Le problème du calcul d'une intégrale définie à l'aide de la formule de Simpson est la tâche la plus courante en pratique. Et la méthode parabolique fera l’objet d’une attention considérable.

Surface de révolution- une surface formée par rotation autour d'une droite (axe de la surface) d'une ligne arbitraire (droite, plate ou courbe spatiale). Par exemple, si une ligne droite coupe l'axe de rotation, alors lorsqu'elle tourne, on obtiendra une surface conique si elle est parallèle à l'axe, elle sera cylindrique si elle coupe l'axe, un hyperboloïde à feuille unique ; la révolution sera obtenue. La même surface peut être obtenue en faisant tourner une grande variété de courbes. L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe plane de longueur finie autour d'un axe situé dans le plan de la courbe mais ne coupant pas la courbe est égale au produit de la longueur de la courbe et de la longueur de un cercle de rayon égal à la distance de l'axe au centre de masse de la courbe. Cette affirmation est appelée deuxième théorème de Gylden, ou théorème du centroïde de Pappus.

L'aire de la surface de révolution formée par la rotation d'une courbe autour d'un axe peut être calculée à l'aide de la formule

Pour le cas où la courbe est spécifiée dans le système de coordonnées polaires, la formule est valable

Applications mécaniques de l'intégrale définie (travail des forces, moments statiques, centre de gravité).

Calcul du travail des forces

Un point matériel se déplace le long d’une courbe continuellement différentiable, tandis qu’il est soumis à une force dirigée tangentiellement à la trajectoire dans la direction du mouvement. Travail total effectué par la force F(s) :

Si la position d'un point sur la trajectoire du mouvement est décrite par un autre paramètre, alors la formule prend la forme :

Calcul des moments statiques et du centre de gravité
Supposons que sur le plan de coordonnées Oxy une masse M soit distribuée avec une densité p = p(y) sur un certain ensemble de points S (cela peut être un arc de courbe ou une figure plate délimitée). Notons s(y) - la mesure de l'ensemble spécifié (longueur ou surface de l'arc).

Définition 2. Nombre est appelé le kième moment de masse M par rapport à l'axe Ox.
À k = 0 M 0 = M - masse,
k = 1 M 1 - moment statique,
k = 2 M 2 - moment d'inertie.

Les moments autour de l’axe Oy sont introduits de la même manière. Dans l'espace, les notions de moments de masse par rapport aux plans de coordonnées sont introduites de la même manière.
Si p = 1, alors les moments correspondants sont dits géométriques. Les coordonnées du centre de gravité d'une figure plate homogène (p - const) sont déterminées par les formules :

où M 1 y, M 1 x sont les moments géométriques statiques de la figure par rapport aux axes Oy et Ox ; S est l'aire de la figure.

Cette formule est appelée formule du volume d'un corps par l'aire des sections parallèles.

Exemple. Trouver le volume de l'ellipsoïde x 2 + y 2 + z 2 = 1. une 2b 2c 2

En coupant l'ellipsoïde avec un plan parallèle au plan Oyz et à des distances de celui-ci (-а ≤х ≤а), on obtient une ellipse (voir Fig. 15) :

L'aire de cette ellipse est

Par conséquent, d’après la formule (16), nous avons

Calculer la surface de révolution

Soit la courbe AB un graphique de la fonction y = f (x) ≥ 0, où x [a,b], une fonction y = f (x) et sa dérivée y" = f" (x) sont continues sur cette segment.

Alors l'aire S de la surface formée par la rotation de la courbe AB autour de l'axe Ox est calculée par la formule

Si la courbe AB est donnée par les équations paramétriques х = x (t), у = у (t), t 1 ≤t ≤t 2, alors la formule de la surface de rotation prend la forme

S x = 2 π ∫ y (t )(x ′ (t ))2 + (y ′ (t ))2 dt .

Exemple Trouver la surface d'une boule de rayon R. Solution :

On peut supposer que la surface de la balle est formée par la rotation du demi-cercle y = R 2 − x 2, - R ≤x ≤R, autour de l'axe Ox. En utilisant la formule (19) on trouve

2 π ∫ R2 − x2 + x2 dx= 2 π Rx− R R = 4 π R2 .

−R

Exemple. Étant donné une cycloïde x = a (t − sin t), 0 ≤ t ≤ 2 π. y = a (1− coût) ,

Trouvez la surface formée en la faisant pivoter autour de l’axe Ox. Solution:

Lorsque la moitié de l'arc cycloïde tourne autour de l'axe Ox, la surface de rotation est égale à

Calcul de la longueur de l'arc d'une courbe plane

Coordonnées rectangulaires

Soit un arc, lorsque le nombre de maillons de la ligne brisée augmente indéfiniment et que la longueur des plus grandes coordonnées rectangulaires reçoit une courbe plate AB, dont l'équation est y = f(x), où a ≤ x≤ b .

La longueur de l'arc AB s'entend comme la limite vers laquelle tend vers zéro la longueur de la ligne brisée inscrite dans ce lien. Montrons que si la fonction y = f(x) et sa dérivée y′ = f′ (x) sont continues sur le segment [a ,b ], alors la courbe AB a une longueur égale à

Si l'équation de la courbe AB est donnée sous forme paramétrique

x = x(t) , α ≤ t ≤ β , y= y(t) ,

où x (t) et y (t) sont des fonctions continues à dérivées continues et x (α) = a, x (β) = b, alors la longueur l de la courbe AB est trouvée par la formule

Cela signifie l = 2π R. Si l'équation d'un cercle s'écrit sous la forme paramétrique = R coût, y = R sint (0 ≤t ≤ 2π ), alors

Coordonnées polaires

Soit la courbe AB donnée par l'équation en coordonnées polaires r =r (ϕ),α ≤ ϕ ≤ β. Supposons que r (ϕ ) et r" (ϕ ) soient continus sur l'intervalle [α , β ].

Si dans les égalités x = r cosϕ, y = r sinϕ, reliant les coordonnées polaires et cartésiennes,

l'angle ϕ est considéré comme un paramètre, alors la courbe AB peut être paramétrée x = r (ϕ) cos ϕ,

y = r(ϕ) sinϕ.

En appliquant la formule (15), nous obtenons l = ∫ r 2 + r ′ 2 d ϕ .

Exemple Trouvez la longueur de la cardioïde r =a (1 + cosϕ ). Solution:

La cardioïde r = a (1 + cosϕ) a la forme représentée sur la figure 14. Elle est symétrique par rapport à l'axe polaire. Trouvons la moitié de la longueur du cardioïde :

Ainsi, 1 2 l = 4 a. Cela signifie l = 8a.