Aire d'un exemple de losange. Quatre formules pouvant être utilisées pour calculer l'aire d'un losange

Malgré le fait que les mathématiques soient la reine des sciences et que l'arithmétique soit la reine des mathématiques, la géométrie est la chose la plus difficile à apprendre pour les écoliers. La planimétrie est une branche de la géométrie qui étudie les figures planes. L'une de ces formes est un losange. La plupart des problèmes liés à la résolution de quadrilatères se résument à trouver leurs aires. Systématisons les formules bien connues et diverses méthodes de calcul de l'aire d'un losange.

Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont égaux. Rappelons qu'un parallélogramme a quatre angles et quatre paires de côtés parallèles égaux. Comme tout quadrilatère, un losange possède un certain nombre de propriétés, qui se résument aux suivantes : lorsque les diagonales se coupent, elles forment un angle égal à 90 degrés (AC ⊥ BD), le point d'intersection se divise chacune en deux segments égaux. Les diagonales d'un losange sont aussi les bissectrices de ses angles (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD, etc.). Il s'ensuit qu'ils divisent le losange en quatre triangles rectangles égaux. La somme des longueurs des diagonales élevées à la puissance seconde est égale à la longueur du côté à la puissance seconde multipliée par 4, soit BD2 + AC2 = 4AB2.

Il existe de nombreuses méthodes utilisées en planimétrie pour calculer l'aire d'un losange, dont l'application dépend des données sources. Si la longueur du côté et n'importe quel angle sont connus, vous pouvez utiliser la formule suivante : l'aire d'un losange est égale au carré du côté multiplié par le sinus de l'angle. Grâce au cours de trigonométrie, nous savons que sin (π – α) = sin α, ce qui signifie que dans les calculs, vous pouvez utiliser le sinus de n'importe quel angle - à la fois aigu et obtus. Un cas particulier est un losange dans lequel tous les angles sont droits. C'est un carré. On sait que le sinus d'un angle droit est égal à un, donc l'aire d'un carré est égale à la longueur de son côté élevé à la puissance deux.

Compte tenu de la longueur connue des diagonales et de la taille de n'importe quel angle, l'aire d'un losange est déterminée de deux manières. Premièrement : l'aire est la moitié du carré de la plus grande diagonale, multipliée par la tangente de la moitié du degré de l'angle aigu, c'est-à-dire S = 1/2*D 2 *tg(α/2), où D est la grande diagonale, α est l'angle aigu. Si vous connaissez la taille de la petite diagonale, nous utiliserons la formule 1/2*d 2 *tg(β/2), où d est la petite diagonale, β est un angle obtus. Rappelons que la mesure d'un angle aigu est inférieure à 90 degrés (la mesure d'un angle droit), et un angle obtus est donc supérieur à 90 0.

L'aire d'un losange peut être trouvée en utilisant la longueur du côté (rappelez-vous que tous les côtés d'un losange sont égaux) et la hauteur. La hauteur est une perpendiculaire abaissée du côté opposé à l'angle ou à son prolongement. Pour que la base de la hauteur soit située à l'intérieur du losange, elle doit être abaissée sous un angle obtus.

Parfois, un problème nécessite de trouver l'aire d'un losange en fonction des données liées au cercle inscrit. Dans ce cas, vous devez connaître son rayon. Deux formules peuvent être utilisées pour le calcul. Ainsi, pour répondre à la question, vous pouvez doubler le produit du côté du losange et du rayon du cercle inscrit. En d’autres termes, vous devez multiplier le diamètre du cercle inscrit par le côté du losange. Si la grandeur de l'angle est présentée dans l'énoncé du problème, alors l'aire est trouvée par le quotient entre le carré du rayon multiplié par quatre et le sinus de l'angle.

Comme vous pouvez le constater, il existe de nombreuses façons de trouver l'aire d'un losange. Bien sûr, se souvenir de chacun d’eux demandera de la patience, de l’attention et, bien sûr, du temps. Mais à l’avenir, vous pourrez facilement choisir la méthode adaptée à votre tâche et vous constaterez que la géométrie n’est pas difficile.

est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.

Un losange à angles droits est appelé carré et est considéré comme un cas particulier de losange. Vous pouvez trouver l'aire d'un losange de différentes manières, en utilisant tous ses éléments - côtés, diagonales, hauteur. La formule classique pour l'aire d'un losange consiste à calculer la valeur par la hauteur.

Un exemple de calcul de l'aire d'un losange à l'aide de cette formule est très simple. Il vous suffit de remplacer les données et de calculer la superficie.

Aire d'un losange passant par les diagonales

Les diagonales d'un losange se coupent à angle droit et sont divisées en deux au point d'intersection.

La formule de l'aire d'un losange en termes de ses diagonales est le produit de ses diagonales divisé par 2.

Regardons un exemple de calcul de l'aire d'un losange à l'aide de diagonales. Soit un losange avec des diagonales
d1 =5 cm et d2 =4. Trouvons la zone.

La formule de l'aire d'un losange à travers les côtés implique également l'utilisation d'autres éléments. Si un cercle est inscrit dans un losange, alors l'aire de la figure peut être calculée à partir des côtés et de son rayon :

Un exemple de calcul de l'aire d'un losange à travers les côtés est également très simple. Il vous suffit de calculer le rayon du cercle inscrit. Il peut être dérivé du théorème de Pythagore et en utilisant la formule.

Aire d'un losange passant par le côté et l'angle

La formule de l'aire d'un losange en termes de côté et d'angle est très souvent utilisée.

Regardons un exemple de calcul de l'aire d'un losange en utilisant un côté et un angle.

Tâche:Étant donné un losange dont les diagonales sont d1 = 4 cm, d2 = 6 cm l'angle aigu est α = 30°. Trouvez l'aire de la figure en utilisant le côté et l'angle.
Commençons par trouver le côté du losange. Nous utilisons pour cela le théorème de Pythagore. Nous savons qu’au point d’intersection les diagonales se coupent en deux et forment un angle droit. Ainsi:
Remplaçons les valeurs :
Nous connaissons maintenant le côté et l'angle. Trouvons la zone :

Un losange est une figure particulière en géométrie. Grâce à ses propriétés particulières, il n'existe pas une, mais plusieurs formules qui peuvent être utilisées pour calculer l'aire d'un losange. Quelles sont ces propriétés et quelles sont les formules les plus courantes pour trouver l'aire de cette figure ? Voyons cela.

Quelle figure géométrique s'appelle un losange ?

Avant de découvrir quelle est l'aire d'un losange, il vaut la peine de découvrir de quel type de figure il s'agit.

Depuis l'époque de la géométrie euclidienne, un losange est un quadrilatère symétrique dont les quatre côtés sont égaux en longueur et parallèles deux à deux.

Origine du terme

Le nom de cette figure est venu dans la plupart des langues modernes du grec, par la médiation du latin. L'« ancêtre » du mot « losange » était le nom grec ῥόμβος (tambourin). Bien qu'il soit difficile pour les habitants du XXe siècle, habitués aux tambourins ronds, de les imaginer sous une autre forme, chez les Hellènes, ces instruments de musique n'étaient traditionnellement pas ronds, mais en forme de losange.

Dans la plupart des langues modernes, ce terme mathématique est utilisé comme en latin : rombus. Cependant, en anglais, les losanges sont parfois appelés diamant (diamant ou diamant). Cette figurine a reçu ce surnom en raison de sa forme particulière, qui rappelle une pierre précieuse. En règle générale, un terme similaire n'est pas utilisé pour tous les losanges, mais uniquement pour ceux dans lesquels l'angle d'intersection de ses deux côtés est égal à soixante ou quarante-cinq degrés.

Ce chiffre a été mentionné pour la première fois dans les travaux du mathématicien grec qui a vécu au premier siècle de la nouvelle ère - Héron d'Alexandrie.

Quelles propriétés possède cette figure géométrique ?

Pour trouver l'aire d'un losange, vous devez tout d'abord connaître les caractéristiques de cette figure géométrique.

Dans quelles conditions un parallélogramme est-il un losange ?

Comme vous le savez, chaque losange est un parallélogramme, mais tous les parallélogrammes ne sont pas un losange. Pour affirmer avec précision que la figure présentée est bien un losange, et non un simple parallélogramme, elle doit correspondre à l'une des trois caractéristiques principales qui distinguent un losange. Ou les trois à la fois.

Les diagonales d'un parallélogramme se coupent selon un angle de quatre-vingt-dix degrés.
Les diagonales divisent les angles en deux, agissant comme leurs bissectrices.
Non seulement les côtés parallèles, mais aussi les côtés adjacents ont la même longueur. C'est d'ailleurs l'une des principales différences entre un losange et un parallélogramme, puisque la deuxième figure n'a que des côtés parallèles de même longueur, mais pas adjacents.

Dans quelles conditions un losange est-il un carré ?

Selon ses propriétés, dans certains cas, un losange peut simultanément devenir un carré. Pour confirmer clairement cette affirmation, faites simplement pivoter le carré de quarante-cinq degrés dans n'importe quelle direction. La figure résultante sera un losange dont chacun des angles est égal à quatre-vingt-dix degrés.

Aussi, pour confirmer que le carré est un losange, vous pouvez comparer les caractéristiques de ces figures : dans les deux cas, tous les côtés sont égaux, et les diagonales sont bissectrices et se coupent selon un angle de quatre-vingt-dix degrés.

Comment connaître l'aire d'un losange à l'aide de ses diagonales

Dans le monde moderne, vous pouvez trouver presque tous les matériaux nécessaires pour effectuer les calculs nécessaires sur Internet. Ainsi, il existe de nombreuses ressources équipées de programmes permettant de calculer automatiquement l'aire d'une figure particulière. De plus, si (comme dans le cas d'un losange) il existe plusieurs formules pour cela, il est alors possible de choisir celle qui est la plus pratique à utiliser. Cependant, tout d'abord, vous devez être capable de calculer vous-même l'aire d'un losange sans l'aide d'un ordinateur et de naviguer dans les formules. Il y en a beaucoup pour le losange, mais les plus célèbres d'entre eux sont au nombre de quatre.

L'un des moyens les plus simples et les plus courants de connaître l'aire de cette figure est de disposer d'informations sur la longueur de ses diagonales. Si le problème comporte ces données, vous pouvez alors appliquer la formule suivante pour trouver l'aire : S = KM x LN/2 (KM et LN sont les diagonales du losange KLMN).

Vous pouvez vérifier la fiabilité de cette formule en pratique. Disons qu'un losange KLMN a la longueur d'une de ses diagonales KM - 10 cm et la seconde LN - 8 cm. Ensuite, nous substituons ces données dans la formule ci-dessus et obtenons le résultat suivant : S = 10 x 8/ 2 =. 40cm2.

Formule pour calculer l'aire d'un parallélogramme

Il existe une autre formule. Comme indiqué ci-dessus dans la définition d'un losange, ce n'est pas seulement un quadrilatère, mais aussi un parallélogramme, et possède toutes les caractéristiques de cette figure. Dans ce cas, pour trouver son aire, il est tout à fait conseillé d'utiliser la formule utilisée pour un parallélogramme : S = KL x Z. Dans ce cas, KL est la longueur du côté du parallélogramme (losange), et Z est la longueur de la hauteur tracée de ce côté.

Dans certains problèmes, la longueur du côté n'est pas fournie, mais le périmètre du losange est connu. Puisque la formule pour le trouver a été indiquée ci-dessus, vous pouvez l'utiliser pour connaître la longueur du côté. Ainsi, le périmètre de la figure est de 10 cm. La longueur du côté peut être trouvée en inversant la formule du périmètre et en divisant 10 par 4. Le résultat sera de 2,5 cm - c'est la longueur souhaitée du côté du losange.

Maintenant, cela vaut la peine d'essayer de substituer ce nombre dans la formule, sachant que la longueur de la hauteur dessinée sur le côté est également égale à 2,5 cm. Essayons maintenant de mettre ces valeurs dans la formule ci-dessus pour l'aire d'un. parallélogramme. Il s'avère que l'aire du losange est S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Autres façons de calculer l'aire d'un losange

Ceux qui maîtrisent déjà les sinus et les cosinus peuvent utiliser des formules les contenant pour trouver l'aire d'un losange. Un exemple classique est la formule suivante : S = KM 2 x Sin KLM. Dans ce cas, l'aire de la figure est égale au produit des deux côtés du losange multiplié par le sinus de l'angle qui les sépare. Et comme tous les côtés d’un losange sont identiques, il est plus facile de mettre immédiatement un côté au carré, comme le montre la formule.

Nous vérifions ce schéma dans la pratique, et pas seulement pour un losange, mais pour un carré qui, comme vous le savez, a tous des angles droits, ce qui signifie qu'ils sont égaux à quatre-vingt-dix degrés. Disons que l'un des côtés mesure 15 cm. On sait aussi que le sinus d'un angle de 90° est égal à un. Alors, d'après la formule, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.

En plus de ce qui précède, dans certains cas, une autre formule est utilisée, utilisant le sinus pour déterminer l'aire d'un losange : S = 4 x R 2 /Sin KLM. Dans ce mode de réalisation, le rayon d'un cercle inscrit dans un losange est utilisé. Il est élevé à la puissance du carré et multiplié par quatre. Et le résultat entier est divisé par le sinus de l'angle le plus proche de la figure inscrite.

A titre d’exemple, pour simplifier les calculs, reprenons un carré (le sinus de son angle sera toujours égal à un). Le rayon du cercle qui y est inscrit est de 4,4 cm. L'aire du losange sera alors calculée comme suit : S = 4 x 4,4 2 / Sin 90° = 77,44 cm 2.

Les formules ci-dessus pour trouver le rayon d'un losange sont loin d'être les seules du genre, mais elles sont les plus simples à comprendre et à effectuer des calculs.

Un losange est un cas particulier de parallélogramme. Il s’agit d’une figure quadrangulaire plate dont tous les côtés sont égaux. Cette propriété détermine que les losanges ont des côtés opposés parallèles et des angles opposés égaux. Les diagonales d'un losange se coupent à angle droit, le point de leur intersection est au milieu de chaque diagonale et les angles d'où elles émergent sont divisés en deux. Autrement dit, les diagonales d’un losange sont les bissectrices des angles. Sur la base des définitions ci-dessus et des propriétés énumérées des losanges, leur superficie peut être déterminée de différentes manières.

1. Si les deux diagonales d'un losange AC et BD sont connues, alors l'aire du losange peut être déterminée comme la moitié du produit des diagonales.

S = ½ ∙ A.C. ∙ BD

où AC, BD sont la longueur des diagonales du losange.

Pour comprendre pourquoi il en est ainsi, vous pouvez insérer mentalement un rectangle dans un losange de manière à ce que les côtés de ce dernier soient perpendiculaires aux diagonales du losange. Il devient évident que l'aire du losange sera égale à la moitié de l'aire du rectangle ainsi inscrit dans le losange, dont la longueur et la largeur correspondront à la taille des diagonales du losange.

2. Par analogie avec un parallélépipède, l'aire d'un losange peut être trouvée comme le produit de son côté et de la hauteur de la perpendiculaire du côté opposé abaissée jusqu'à un côté donné.

S = une ∙ h

où a est le côté du losange ;
h est la hauteur de la perpendiculaire tombant d'un côté donné.

3. L'aire d'un losange est également égale au carré de son côté multiplié par le sinus de l'angle α.

S = un 2 ∙ péché α

où a est le côté du losange ;
α est l'angle entre les côtés.

4. De plus, l'aire d'un losange peut être trouvée grâce à son côté et au rayon du cercle qui y est inscrit.

S=2 ∙ un ∙ r

où a est le côté du losange ;
r est le rayon du cercle inscrit dans le losange.

Faits intéressants
Le mot losange vient du grec ancien rombus, qui signifie « tambourin ». À cette époque, les tambourins avaient en fait une forme de losange, et non de forme ronde, comme on a l'habitude de les voir aujourd'hui. À la même époque, le nom de la combinaison de cartes « diamants » est apparu. Les diamants de divers types sont très largement utilisés en héraldique.

Qu’est-ce que le losange ? Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont égaux.

RHOMBUS, figure sur un plan, quadrilatère à côtés égaux. Un losange est un cas particulier de PARALLÉLOGRAMME, dans lequel soit deux côtés adjacents sont égaux, soit les diagonales se coupent à angle droit, soit la diagonale coupe l'angle en deux. Un losange à angles droits s’appelle un carré.

La formule classique pour l'aire d'un losange consiste à calculer la valeur par la hauteur. L'aire d'un losange est égale au produit d'un côté et de la hauteur tracée de ce côté.

1. L'aire d'un losange est égale au produit d'un côté et de la hauteur tracée de ce côté :

\[ S = a \cdot h \]

2. Si le côté d'un losange est connu (tous les côtés d'un losange sont égaux) et l'angle entre les côtés, alors l'aire peut être trouvée à l'aide de la formule suivante :

\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]

3. L'aire d'un losange est également égale au demi-produit des diagonales, soit :

\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]

4. Si le rayon r d'un cercle inscrit dans un losange et le côté du losange a sont connus, alors son aire est calculée par la formule :

\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]

Propriétés d'un losange

Dans la figure ci-dessus, \(ABCD\) est un losange, \(AC = DB = CD = AD\) . Puisqu'un losange est un parallélogramme, il possède toutes les propriétés d'un parallélogramme, mais il existe également des propriétés inhérentes uniquement à un losange.

Vous pouvez insérer un cercle dans n’importe quel losange. Le centre d'un cercle inscrit dans un losange est le point d'intersection de ses diagonales. Rayon du cercleégal à la moitié de la hauteur du losange :

\[ r = \frac( AH )(2) \]