J'espère que vous avez déjà entendu parler du cercle numérique et que vous savez pourquoi on l'appelle cercle numérique, où se trouve l'origine des coordonnées et de quel côté se trouve la direction positive. Sinon, courez ! À moins, bien sûr, que vous ne trouviez des points sur le cercle numérique.
On note les nombres \(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) (2 )\)
Comme vous le savez grâce à l’article précédent, le rayon du cercle numérique est \(1\). Cela signifie que la circonférence est égale à \(2π\) (calculée à l'aide de la formule \(l=2πR\)). En tenant compte de cela, nous marquons \(2π\) sur le cercle numérique. Pour marquer ce nombre, il faut partir de \(0\) le long du cercle numérique, la distance est égale à \(2π\) dans le sens positif, et comme la longueur du cercle est \(2π\), il il s’avère que nous allons faire une révolution complète. Autrement dit, les nombres \(2π\) et \(0\) correspondent au même point. Ne vous inquiétez pas, plusieurs valeurs pour un point sont normales pour un cercle numérique.
Notons maintenant le nombre \(π\) sur le cercle numérique. \(π\) est la moitié de \(2π\). Ainsi, pour marquer ce nombre et le point correspondant, il faut parcourir un demi-cercle à partir de \(0\) dans le sens positif.
Marquons le point \(\frac(π)(2)\) . \(\frac(π)(2)\) est la moitié de \(π\), donc pour marquer ce nombre, il faut parcourir de \(0\) dans le sens positif une distance égale à la moitié de \( π\), soit le quart de cercle.
Notons les points du cercle \(-\)\(\frac(π)(2)\) . Nous parcourons la même distance que la dernière fois, mais dans le sens négatif.
Mettons \(-π\). Pour ce faire, nous allons parcourir une distance égale à un demi-cercle dans le sens négatif.
Regardons maintenant un exemple plus compliqué. Marquons le nombre \(\frac(3π)(2)\) sur le cercle. Pour ce faire, on traduit la fraction \(\frac(3)(2)\) en \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\ ), c'est-à-dire e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Cela signifie que vous devez parcourir à partir de \(0\) dans le sens positif une distance d'un demi-cercle et d'un autre quart.
Tâche 1. Marquez les points \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) sur le cercle numérique.
On note les nombres \(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\)
Ci-dessus, nous avons trouvé les valeurs aux points d'intersection du cercle numérique avec les axes \(x\) et \(y\). Déterminons maintenant la position des points intermédiaires. Tout d’abord, traçons les points \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) et \(\frac(π)(6)\) .
\(\frac(π)(4)\) est la moitié de \(\frac(π)(2)\) (c'est-à-dire \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , donc la distance \(\frac(π)(4)\) est un demi-quart de cercle.
\(\frac(π)(4)\) est un tiers de \(π\) (en d'autres termes,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), donc le la distance \ (\frac(π)(3)\) est un tiers du demi-cercle.
\(\frac(π)(6)\) est la moitié de \(\frac(π)(3)\) (après tout, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) donc la distance \(\frac(π)(6)\) est la moitié de la distance \(\frac(π)(3)\) .
Voici comment ils sont situés les uns par rapport aux autres :
Commentaire: Localisation des points de valeur \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) il vaut mieux se souvenir. Sans eux, le cercle numérique, comme un ordinateur sans moniteur, semble être une chose utile, mais est extrêmement peu pratique à utiliser.
Les différentes distances sur le cercle sont clairement indiquées :
On note les nombres \(\frac(7π)(6)\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
Notons le point du cercle \(\frac(7π)(6)\) , pour cela on effectue les transformations suivantes : \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π)( 6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\frac( π)(6)\) . De cela, nous pouvons voir qu'à partir de zéro dans la direction positive, nous devons parcourir une distance \(π\), puis une autre \(\frac(π)(6)\) .
Marquons le point \(-\)\(\frac(4π)(3)\) sur le cercle. Transformation : \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Cela signifie qu'à partir de \(0\) vous devez parcourir dans le sens négatif la distance \(π\) et également \(\frac(π)(3)\) .
Traçons le point \(\frac(7π)(4)\) , pour ce faire nous transformons \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4 )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Cela signifie que pour placer un point de valeur \(\frac(7π)(4)\), il faut passer du point de valeur \(2π\) dans le sens négatif à une distance \(\ frac(π)(4)\) .
Tâche 2. Marquez les points \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) sur le cercle numérique (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
On note les nombres \(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
Écrivons \(10π\) sous la forme \(5 \cdot 2π\). On rappelle que \(2π\) est une distance égale à la longueur d'un cercle, donc pour marquer le point \(10π\), il faut passer de zéro à une distance égale à \(5\) cercles. Il n'est pas difficile de deviner que nous nous retrouverons à nouveau au point \(0\), il suffit de faire cinq tours.
De cet exemple nous pouvons conclure :
Les nombres avec une différence de \(2πn\), où \(n∈Z\) (c'est-à-dire que \(n\) est n'importe quel nombre entier) correspondent au même point.
Autrement dit, pour mettre un nombre avec une valeur supérieure à \(2π\) (ou inférieure à \(-2π\)), vous devez en extraire un nombre pair \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) et jetez-le. Ainsi, nous supprimerons les « révolutions à vide » des nombres qui n'affectent pas la position du point.
Autre conclusion :
Le point auquel correspond \(0\) correspond également à toutes les quantités paires \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).
Appliquons maintenant \(-3π\) au cercle. \(-3π=-π-2π\), ce qui signifie que \(-3π\) et \(–π\) sont au même endroit sur le cercle (puisqu'ils diffèrent par un « tour à vide » en \(-2π \)).
À propos, tous les \(π\) impairs seront également là.
Le point auquel correspond \(π\) correspond également à toutes les quantités impaires \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).
Notons maintenant le nombre \(\frac(7π)(2)\) . Comme d'habitude, on transforme : \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . On écarte deux pi, et il s'avère que pour désigner le nombre \(\frac(7π)(2)\) il faut passer de zéro dans le sens positif à une distance égale à \(π+\)\(\ frac(π)(2)\ ) (c'est-à-dire un demi-cercle et un autre quart).
Leçon et présentation sur le thème : "Cercle numérique sur le plan de coordonnées"
Matériel supplémentaire
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits ! Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.
Manuels et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 10e année à partir de 1C
Problèmes algébriques avec paramètres, niveaux 9 à 11
Résoudre des problèmes de géométrie. Tâches de construction interactives pour les classes 7 à 10
Ce que nous étudierons :
1. Définition.
2. Coordonnées importantes du cercle numérique.
3. Comment trouver les coordonnées du cercle numérique ?
4. Tableau des coordonnées principales du cercle numérique.
5. Exemples de résolution de problèmes.
Définition du cercle numérique sur le plan de coordonnées
Plaçons le cercle numérique dans le plan de coordonnées de sorte que le centre du cercle coïncide avec l'origine des coordonnées et que son rayon soit pris comme segment unitaire. Le point de départ du cercle numérique A est combiné avec le point (1;0).Chaque point du cercle numérique a ses propres coordonnées x et y dans le plan de coordonnées, et :
1) pour $x > 0$, $y > 0$ - au premier trimestre ;
2) pour $x 0$ - au deuxième trimestre ;
3) pour $x 4) pour $x > 0$, $y
Pour tout point $M(x; y)$ sur le cercle numérique, les inégalités suivantes sont satisfaites : $-1
Rappelez-vous l'équation du cercle numérique : $x^2 + y^2 = 1$.
Il est important pour nous d’apprendre à trouver les coordonnées des points sur le cercle numérique présenté sur la figure. 
Trouvons la coordonnée du point $\frac(π)(4)$
Le point $M(\frac(π)(4))$ est le milieu du premier trimestre. Déposons la perpendiculaire MR du point M à la droite OA et considérons le triangle OMP Puisque l'arc AM est la moitié de l'arc AB, alors $∠MOP=45°$. Cela signifie que le triangle OMP est un triangle rectangle isocèle et $OP=MP$, c'est-à-dire au point M l'abscisse et l'ordonnée sont égales : $x = y$.
Puisque les coordonnées du point $M(x;y)$ satisfont l'équation du cercle numérique, alors pour les trouver, vous devez résoudre le système d'équations :
$\begin (cas) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \fin (cas)$
Après avoir résolu ce système, on obtient : $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
Cela signifie que les coordonnées du point M correspondant au nombre $\frac(π)(4)$ seront $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Les coordonnées des points présentés dans la figure précédente sont calculées de manière similaire.
Coordonnées des points sur le cercle numérique
Regardons des exemples
Exemple 1.Trouvez la coordonnée d'un point sur le cercle numérique : $P(45\frac(π)(4))$.
Solution:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
Cela signifie que le nombre $45\frac(π)(4)$ correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre $\frac(5π)(4)$. En regardant la valeur du point $\frac(5π)(4)$ dans le tableau, on obtient : $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Exemple 2.
Trouvez la coordonnée d'un point sur le cercle numérique : $P(-\frac(37π)(3))$.
Solution:
Parce que les nombres $t$ et $t+2π*k$, où k est un entier, correspondent au même point du cercle numérique alors :
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
Cela signifie que le nombre $-\frac(37π)(3)$ correspond au même point sur le cercle numérique que le nombre $–\frac(π)(3)$, et le nombre –$\frac(π) (3)$ correspond au même point que $\frac(5π)(3)$. En regardant la valeur du point $\frac(5π)(3)$ dans le tableau, on obtient :
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Exemple 3.
Trouvez des points sur le cercle numérique d'ordonnée $y =\frac(1)(2)$ et notez à quels nombres $t$ ils correspondent ?
Solution: 
La ligne droite $y =\frac(1)(2)$ coupe le cercle numérique aux points M et P. Le point M correspond au nombre $\frac(π)(6)$ (d'après les données du tableau). Cela signifie n'importe quel nombre de la forme : $\frac(π)(6)+2π*k$. Le point P correspond au nombre $\frac(5π)(6)$, et donc à tout nombre de la forme $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Nous avons reçu, comme on le dit souvent en pareil cas, deux séries de valeurs :
$\frac(π)(6) +2 π*k$ et $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Réponse : $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ et $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Exemple 4.
Trouvez les points sur le cercle numérique en abscisse $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ et notez à quels nombres $t$ ils correspondent.
Solution:
La droite $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ coupe le cercle numérique aux points M et P. L'inégalité $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ correspond aux points de l'arc PM. Le point M correspond au nombre $3\frac(π)(4)$ (issu des données du tableau). Cela signifie n'importe quel nombre de la forme $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Le point P correspond au nombre $-\frac(3π)(4)$, et donc à tout nombre de la forme $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
On obtient alors $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Réponse : $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Problèmes à résoudre de manière autonome
1) Trouvez la coordonnée d'un point sur le cercle numérique : $P(\frac(61π)(6))$.2) Trouvez la coordonnée d'un point sur le cercle numérique : $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Trouvez des points sur le cercle numérique d'ordonnée $y = -\frac(1)(2)$ et notez à quels nombres $t$ ils correspondent.
4) Trouvez des points sur le cercle numérique d'ordonnée $y ≥ -\frac(1)(2)$ et notez à quels nombres $t$ ils correspondent.
5) Trouvez les points sur le cercle numérique en abscisse $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ et notez à quels nombres $t$ ils correspondent.
Lorsqu'il étudie la trigonométrie à l'école, chaque élève est confronté au concept très intéressant de « cercle numérique ». La façon dont l’élève apprendra la trigonométrie plus tard dépend de la capacité de l’enseignant à expliquer de quoi il s’agit et pourquoi elle est nécessaire. Malheureusement, tous les enseignants ne peuvent pas expliquer clairement ce matériel. En conséquence, de nombreux étudiants ne savent même pas comment noter points sur le cercle numérique. Si vous lisez cet article jusqu'au bout, vous apprendrez comment procéder sans aucun problème.
Alors commençons. Traçons un cercle dont le rayon est 1. Notons le point « le plus à droite » de ce cercle par la lettre Ô:
Félicitations, vous venez de tracer un cercle unitaire. Puisque le rayon de ce cercle est 1, sa longueur est .
Chaque nombre réel peut être associé à la longueur de la trajectoire le long du cercle numérique à partir du point Ô. La direction positive est considérée comme la direction du mouvement dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Pour le négatif – dans le sens des aiguilles d’une montre :
Emplacement des points sur le cercle numérique
Comme nous l'avons déjà noté, la longueur du cercle numérique (cercle unité) est égale à . Où alors se situera le numéro sur ce cercle ? Évidemment, du point de vue Ô dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, nous devons parcourir la moitié de la longueur du cercle et nous nous retrouverons au point souhaité. Notons-le par la lettre B:
Notez que le même point pourrait être atteint en parcourant un demi-cercle dans la direction négative. Ensuite, nous tracerions le nombre sur le cercle unité. Autrement dit, les chiffres correspondent au même point.
De plus, ce même point correspond également aux nombres , , , et, en général, à un ensemble infini de nombres qui peuvent s'écrire sous la forme , où , c'est-à-dire appartient à l'ensemble des nombres entiers. Tout cela parce que du point de vue B vous pouvez faire un « tour du monde » dans n’importe quelle direction (ajouter ou soustraire la circonférence) et arriver au même point. Nous obtenons une conclusion importante qui doit être comprise et mémorisée.
Chaque nombre correspond à un seul point sur le cercle numérique. Mais chaque point du cercle numérique correspond à un nombre infini de nombres.
Divisons maintenant le demi-cercle supérieur du cercle numérique en arcs d'égale longueur par un point C. Il est facile de voir que la longueur de l'arc O.C.égal à . Remettons maintenant à plus tard le point C un arc de même longueur dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. En conséquence, nous arriverons au point B. Le résultat est tout à fait attendu, puisque . Posons à nouveau cet arc dans la même direction, mais maintenant à partir du point B. En conséquence, nous arriverons au point D, qui correspondra déjà au numéro :
Notons encore que ce point correspond non seulement au nombre, mais aussi, par exemple, au nombre, car ce point peut être atteint en s'éloignant du point Ô quart de cercle dans le sens des aiguilles d’une montre (sens négatif).
Et, d'une manière générale, on constate encore que ce point correspond à une infinité de nombres pouvant s'écrire sous la forme 
. Mais ils peuvent aussi être écrits sous la forme . Ou, si vous préférez, sous forme de . Tous ces enregistrements sont absolument équivalents et peuvent être obtenus les uns des autres.
Divisons maintenant l'arc en O.C. demi-point M. Maintenant, déterminez quelle est la longueur de l'arc OM? C'est vrai, la moitié de l'arc O.C.. C'est . À quels nombres correspond le point ? M sur le cercle numérique ? Je suis sûr que vous réaliserez maintenant que ces nombres peuvent s’écrire .
Mais cela peut être fait différemment. Prenons. Ensuite, nous obtenons cela 
. Autrement dit, ces nombres peuvent être écrits sous la forme 
. Le même résultat pourrait être obtenu en utilisant le cercle numérique. Comme je l'ai déjà dit, les deux enregistrements sont équivalents et peuvent être obtenus l'un de l'autre.
Vous pouvez maintenant facilement donner un exemple des nombres auxquels correspondent les points N, P. Et K sur le cercle numérique. Par exemple, les chiffres , et :
Ce sont souvent les nombres positifs minimaux qui sont utilisés pour désigner les points correspondants sur le cercle numérique. Bien que ce ne soit pas du tout nécessaire, point final N, comme vous le savez déjà, correspond à une infinité d’autres nombres. Y compris, par exemple, le numéro.
Si tu brises l'arc O.C. en trois arcs égaux avec des points S Et L, c'est donc là le point S se situera entre les points Ô Et L, alors la longueur de l'arc Système d'exploitation sera égal à , et la longueur de l'arc OL sera égal à . En utilisant les connaissances que vous avez acquises dans la partie précédente de la leçon, vous pouvez facilement comprendre comment se sont déroulés les points restants sur le cercle numérique :
Nombres non multiples de π sur le cercle numérique
Posons-nous maintenant la question : où sur la droite numérique doit-on marquer le point correspondant au chiffre 1 ? Pour ce faire, vous devez partir du point le plus « droit » du cercle unité. Ô tracer un arc dont la longueur serait égale à 1. On ne peut indiquer qu'approximativement l'emplacement du point souhaité. Procédons comme suit.
Coordonnées x les points situés sur le cercle sont égaux à cos(θ), et les coordonnées oui correspondent à sin(θ), où θ est la grandeur de l’angle.
- Si vous avez du mal à vous souvenir de cette règle, rappelez-vous simplement que dans la paire (cos; sin) « le sinus vient en dernier ».
- Cette règle peut être dérivée en considérant les triangles rectangles et la définition de ces fonctions trigonométriques (le sinus d'un angle est égal au rapport de la longueur du côté opposé et du cosinus du côté adjacent à l'hypoténuse).
Notez les coordonnées de quatre points sur le cercle. Un « cercle unité » est un cercle dont le rayon est égal à un. Utilisez-le pour déterminer les coordonnées x Et oui en quatre points d'intersection des axes de coordonnées avec le cercle. Ci-dessus, pour plus de clarté, nous avons désigné ces points comme « est », « nord », « ouest » et « sud », bien qu'ils n'aient pas de noms établis.
- "Est" correspond au point de coordonnées (1; 0) .
- "Nord" correspond au point de coordonnées (0; 1) .
- "Ouest" correspond au point de coordonnées (-1; 0) .
- "Sud" correspond au point de coordonnées (0; -1) .
- Ceci est similaire à un graphique ordinaire, il n’est donc pas nécessaire de mémoriser ces valeurs, rappelez-vous simplement le principe de base.
Rappelez-vous les coordonnées des points du premier quadrant. Le premier quadrant est situé dans la partie supérieure droite du cercle, là où les coordonnées x Et oui prendre des valeurs positives. Voici les seules coordonnées dont vous devez vous souvenir :
Tracez des lignes droites et déterminez les coordonnées des points de leur intersection avec le cercle. Si vous tracez des lignes droites horizontales et verticales à partir des points d'un quadrant, les deuxièmes points d'intersection de ces lignes avec le cercle auront les coordonnées x Et oui avec les mêmes valeurs absolues, mais des signes différents. En d'autres termes, vous pouvez tracer des lignes horizontales et verticales à partir des points du premier quadrant et étiqueter les points d'intersection avec le cercle avec les mêmes coordonnées, tout en laissant un espace à gauche pour le signe correct ("+" ou "-").
Pour déterminer le signe des coordonnées, utilisez les règles de symétrie. Il existe plusieurs façons de déterminer où placer le signe « - » :
- N'oubliez pas les règles de base des graphiques réguliers. Axe x négatif à gauche et positif à droite. Axe oui négatif en bas et positif en haut ;
- commencez par le premier quadrant et tracez des lignes vers d’autres points. Si la ligne traverse l'axe oui, coordonner x changera de signe. Si la ligne traverse l'axe x, le signe de la coordonnée va changer oui;
- rappelez-vous que dans le premier quadrant toutes les fonctions sont positives, dans le deuxième quadrant seul le sinus est positif, dans le troisième quadrant seule la tangente est positive et dans le quatrième quadrant seul le cosinus est positif ;
- Quelle que soit la méthode que vous utilisez, vous devriez obtenir (+,+) dans le premier quadrant, (-,+) dans le deuxième, (-,-) dans le troisième et (+,-) dans le quatrième.
Vérifiez si vous avez fait une erreur. Vous trouverez ci-dessous une liste complète des coordonnées des points « spéciaux » (à l'exception des quatre points sur les axes de coordonnées), si vous vous déplacez le long du cercle unité dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Rappelons que pour déterminer toutes ces valeurs, il suffit de retenir les coordonnées des points uniquement dans le premier quadrant :
- premier quadrant : ( 3 2 , 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2)))); (2 2 , 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (1 2 , 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2))));
- deuxième quadrant : ( − 1 2 , 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),(\frac (\sqrt (3))(2)))); (− 2 2 , 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 3 2 , 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),(\frac (1)(2))));
- troisième quadrant : ( − 3 2 , − 1 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))); (− 2 2 , − 2 2 (\displaystyle -(\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (− 1 2 , − 3 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2))));
- quatrième quadrant : ( 1 2 , − 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(2)),-(\frac (\sqrt (3))(2)))); (2 2 , − 2 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (2))(2)),-(\frac (\sqrt (2))(2)))); (3 2 , − 1 2 (\displaystyle (\frac (\sqrt (3))(2)),-(\frac (1)(2)))).
