Construire un triangle à 2 côtés. Tutoriel vidéo « Construction d'un triangle à l'aide de trois éléments

Nous présentons à votre attention un didacticiel vidéo sur le thème «Construction d'un triangle à l'aide de trois éléments». Vous serez en mesure de résoudre plusieurs exemples de la classe des problèmes de construction. L'enseignant analysera en détail le problème de la construction d'un triangle à partir de trois éléments, et rappellera également le théorème sur l'égalité des triangles.

Ce sujet a de nombreuses applications pratiques, nous examinerons donc certains types de résolution de problèmes. Rappelons que toute construction est réalisée exclusivement à l'aide d'un compas et d'une règle.

Exemple 1 :

Construisez un triangle en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare.

Étant donné : supposons que le triangle analysé ressemble à ceci

Riz. 1.1. Exemple de triangle analysé 1

Soit les segments donnés c et a, et l'angle donné soit

Riz. 1.2. Éléments donnés par exemple 1

Construction:

Vous devez d'abord réserver le coin 1

Riz. 1.3. Angle différé 1 par exemple 1

Ensuite, sur les côtés d'un angle donné, on dessine deux côtés donnés au compas : mesurer la longueur du côté avec un compas UN et plaçons la pointe du compas au sommet de l'angle 1, et avec l'autre partie on fait une encoche du côté de l'angle 1. On fait une procédure similaire avec le côté Avec

Riz. 1.4. Réserver les côtés UN Et Avec par exemple 1

Ensuite, nous connectons les encoches résultantes et obtenons le triangle ABC souhaité

Riz. 1.5. Triangle construit ABC par exemple 1

Ce triangle sera-t-il égal à celui attendu ? Ce sera le cas, car les éléments du triangle résultant (deux côtés et l'angle entre eux) sont respectivement égaux aux deux côtés et à l'angle entre eux donné dans la condition. Par conséquent, par la première propriété d'égalité des triangles - - celle souhaitée.

Le chantier est terminé.

Note:

Rappelons comment tracer un angle égal à un angle donné.

Exemple 2

Soustrayez un angle d'un rayon donné égal à un angle donné. L'angle A et le rayon OM sont donnés. Construire.

Construction:

Riz. 2.1. Condition par exemple 2

1. Construisez un cercle Okr(A, r = AB). Les points B et C sont les points d'intersection avec les côtés de l'angle A

Riz. 2.2. Solution par exemple 2

1. Construisez un cercle Okr(D, r = CB). Les points E et M sont les points d'intersection avec les côtés de l'angle A

Riz. 2.3. Solution par exemple 2

1. L’angle MOE est celui souhaité, car .

Le chantier est terminé.

Exemple 3

Construisez le triangle ABC en utilisant un côté connu et deux angles adjacents.

Laissez le triangle analysé ressembler à ceci :

Riz. 3.1. Condition par exemple 3

Ensuite, les segments donnés ressemblent à ceci

Riz. 3.2. Condition par exemple 3

Construction:

Traçons l'angle sur le plan

Riz. 3.3. Solution par exemple 3

Du côté d'un angle donné on trace la longueur du côté UN

Riz. 3.4. Solution par exemple 3

Ensuite, nous mettons de côté l’angle C du sommet. Les côtés non communs des angles γ et α se coupent au point A

Riz. 3.5. Solution par exemple 3

Le triangle construit est-il celui souhaité ? Est, puisque le côté et deux angles adjacents du triangle construit sont respectivement égaux au côté et à l'angle entre eux donnés dans la condition

Recherché par le deuxième critère d'égalité des triangles

Chantier terminé

Exemple 4

Construire un triangle sur 2 pattes

Laissez le triangle analysé ressembler à ceci

Riz. 4.1. Condition par exemple 4

Éléments connus - jambes

Riz. 4.2. Condition par exemple 4

Cette tâche diffère des précédentes en ce que l'angle entre les côtés peut être déterminé par défaut - 90 0

Construction:

Mettons de côté un angle égal à 90 0. Nous procéderons exactement de la même manière que dans l'exemple 2.

Riz. 4.3. Solution par exemple 4

Puis sur les côtés de cet angle on trace les longueurs des côtés UN Et b, donné dans l'état

Riz. 4.4. Solution par exemple 4

En conséquence, le triangle résultant est celui souhaité, car ses deux côtés et l'angle entre eux sont respectivement égaux aux deux côtés et à l'angle entre eux donné dans la condition

Notez que vous pouvez mettre de côté un angle de 90 0 en construisant deux lignes perpendiculaires. Voyons comment accomplir cette tâche dans un exemple supplémentaire.

Exemple supplémentaire

Restituer la perpendiculaire à la droite p passant par le point A,

Ligne p, et point A situé sur cette ligne

Riz. 5.1. Condition pour un exemple supplémentaire

Construction:

Tout d’abord, construisons un cercle de rayon arbitraire avec un centre au point A

Riz. 5.2. Solution à un exemple supplémentaire

Ce cercle coupe une ligne r aux points K et E. Ensuite on construit deux cercles Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Ces cercles se coupent aux points C et B. Le segment NE est celui recherché,

Riz. 5.3. Réponse à un exemple supplémentaire

Collection unifiée de ressources éducatives numériques ().
Professeur de mathématiques ().

N° 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. édité par Tikhonov A. N. Géométrie niveaux 7-9. M. : Lumières. 2010
Construisez un triangle isocèle en utilisant un côté et un angle opposés à la base.
Construire un triangle rectangle en utilisant l'hypoténuse et un angle aigu
Construisez un triangle en utilisant l'angle, l'altitude et la bissectrice tirés du sommet de l'angle donné.

Les trois théorèmes sur l'égalité des triangles démontrés au paragraphe 188 montrent qu'un triangle est complètement défini si trois de ses côtés, deux côtés et l'angle compris entre eux, un côté et deux angles qui lui sont adjacents (ou même deux angles de toute nature ) sont donnés.

L'existence d'un triangle, déterminée en précisant certaines valeurs spécifiques des côtés ou des angles, se révèle lors de la résolution du problème de construction d'un triangle à l'aide de ces éléments : l'unicité de la solution au problème de construction prouve une fois de plus les signes d'égalité du paragraphe 188. Conformément aux trois signes d'égalité, trois problèmes principaux se posent lors de la construction de triangles.

Problème 1. Étant donné trois segments a, b, c. Construisez un triangle avec ces segments comme côtés.

Solution. Soit c le plus grand des trois segments : pour que le problème ait une solution, il faut que la condition soit satisfaite. Nous supposerons que cette condition est satisfaite. Sur une ligne droite arbitraire (Fig. 226), nous traçons le segment à un endroit arbitraire. Prenons ses extrémités comme les deux sommets du triangle souhaité. Le troisième sommet doit se trouver à une distance b du point A (ou du point B) et à une distance a de B (ou A). Pour construire le sommet manquant, tracez un cercle de rayon b de centre A et un cercle de rayon a de centre B.

Ces deux cercles se couperont puisque, selon la condition, la distance entre leurs centres est inférieure à la somme des rayons et supérieure à leur différence, puisque c est le plus grand segment parmi les données. On obtient deux points d'intersection C et C, soit deux positions possibles du sommet C ; cependant les deux triangles correspondants sont égaux, car situés symétriquement par rapport à AB. Sur la fig. La figure 226 montre également comment obtenir deux positions supplémentaires du troisième sommet en échangeant les rayons des cercles.

Tâche 2. Construisez un triangle en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare.

Tâche 3. Construire un triangle en utilisant un côté et des angles adjacents dont la somme est inférieure à .

Lors de l'analyse des signes d'égalité des triangles, deux circonstances attirent l'attention :

1) Il n'existe aucun signe dans lequel l'égalité des triangles ne serait assurée que par l'égalité de trois angles. Cela s'explique par le fait que deux triangles ayant des angles égaux ne sont pas nécessairement égaux (triangles similaires, voir chapitre XVI pour plus de détails).

2) Le signe d'égalité des triangles sur deux côtés nécessite l'égalité non pas d'angles arbitraires, mais certainement ceux conclus entre côtés égaux. Pour en connaître la raison, nous posons le problème suivant.

Tâche 4. Construisez un triangle en utilisant deux côtés et un angle opposé à l'un d'eux.

Solution. Donnons par exemple les côtés a et b et un angle a opposé à a (fig. 227). Pour construire un triangle, traçons le segment b sur une droite arbitraire AC et à partir de l’un de ses sommets, par exemple A, traçons un rayon AM faisant un angle a avec le segment AC. Le troisième côté inconnu du triangle doit se trouver sur ce rayon ; sa fin est le sommet manquant du triangle. On sait cependant que ce troisième sommet se trouve à une distance a de C et est donc situé sur un cercle de centre C de rayon a. Traçons un tel cercle. Les points de son intersection avec le rayon AM donneront les positions possibles du troisième sommet. Puisqu’un cercle et un rayon peuvent ne pas avoir de points communs, ou avoir un ou deux points communs, alors le problème peut ne pas avoir de solutions, ou avoir une ou deux solutions.

Sur la fig. 227 présente le cas où l'angle a est aigu, et il existe quatre options pour le côté pour lequel le problème, par conséquent, n'a pas de solutions, a une solution, deux solutions et encore une solution. Les deux solutions sont présentées pour Une analyse complète de ce problème est donnée dans la section 223 en relation avec les problèmes de résolution de triangles.

Vous pouvez poser diverses autres tâches pour construire des triangles à l'aide de certaines données. Dans tous les cas, pour pouvoir construire un triangle, il faut préciser soit trois de ses éléments linéaires (c'est-à-dire trois segments : côtés, médianes, altitudes, etc.), soit deux segments et un angle, soit un segment et deux coins. .

Problème 5. Étant donné deux côtés a, c d'un triangle et la médiane . Construisez un triangle.

Solution. Commençons par résoudre le problème avec l'analyse. C'est le nom de l'étape de solution, lorsque nous supposons conditionnellement que le problème a déjà été résolu et découvrons ses caractéristiques qui nous aideront réellement à le résoudre. Supposons donc que le triangle ABC (Fig. 228, a) soit celui souhaité. Puis dedans

Notez que le segment VM, par définition de la médiane, est la moitié de c, c'est-à-dire qu'il peut être considéré comme connu. Mais maintenant, les trois côtés du triangle du DIU sont connus ! Voici la clé pour résoudre le problème, le reste est simple. Nous construisons (Fig. 228, b) un triangle BMC sur trois côtés puis étendons le côté VM sur une distance égale à , obtenant ainsi le troisième sommet A du triangle. L'exactitude de la construction réalisée est évidente.

La condition pour que le problème soit résolu est qu’il soit possible de construire un triangle « partiel » en utilisant le côté a, la médiane et la moitié de l’autre côté.

Sujet de la leçon :Construire un triangle à l'aide de trois éléments

Objectif de la leçon : apprendre à construire des triangles à l'aidetrois éléments

Objectifs de la leçon : construire un triangle à l'aide d'une règle et d'un compas

Progression de la leçon :

Étape 1 : moment d'organisation, salutation, vérification des devoirs

Étape 2 : nouveau sujet

Construire un triangle en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare .

Étant donné deux segmentsunEtb, ils sont égaux aux côtés du triangle souhaité, et l'angle∡ 1 , égal à l'angle du triangle entre les côtés. Il est nécessaire de construire un triangle avec des éléments égaux aux segments et à l'angle donnés.

1. Tracez une ligne droite.

UNun.

∡ 1 (sommet de l'angleUN

4. De l'autre côté de l'angle, réservez un segment égal à ce segmentb.

5. Connectez les extrémités des segments.

Selon le critère d'égalité des triangles le long de deux côtés et de l'angle entre eux, le triangle construit est égal à tous les triangles qui possèdent ces éléments.

Construire un triangle en utilisant un côté et deux angles adjacents .

Étant donné un segmentunet deux coins∡ 1 Et∡ 2 , égal aux angles du triangle adjacent à un côté donné. Il est nécessaire de construire un triangle avec des éléments égaux au segment et aux angles donnés.

1. Tracez une ligne droite.

2. Sur une ligne droite partant du point sélectionnéUNmettre de côté un segment égal à un segment donnéunB.

3. Construire un angle égal à celui donné∡ 1 (sommet de l'angleUN, un côté de l'angle se trouve sur la droite).

4. Construire un angle égal à celui donné∡ 2 (sommet de l'angleB, un côté de l'angle se trouve sur la droite).

5. Le point d'intersection des autres côtés des angles est le troisième sommet du triangle souhaité.

Selon le critère d'égalité des triangles le long d'un côté et de deux angles adjacents, le triangle construit est égal à tous les triangles comportant ces éléments.

Construire un triangle avec trois côtés .

Trois segments sont donnés :un, bEtc, égal aux côtés du triangle souhaité. Il faut construire un triangle dont les côtés sont égaux à ces segments.

Dans ce cas, avant de commencer la construction, vous devez vous assurer que l'inégalité du triangle est satisfaite (la longueur de chaque segment est inférieure à la somme des longueurs des deux autres segments), et ces segments peuvent être des côtés du triangle.

1. Tracez une ligne droite.

2. Sur une ligne droite partant du point sélectionnéUNmettre de côté un segment égal à un segment donnéun, et marquez l'autre extrémité du segmentB.

3. Dessinez un cercle avec le centreUNet un rayon égal au segmentb.

4. Dessinez un cercle avec le centreBet un rayon égal au segmentc.

5. Le point d'intersection des cercles est le troisième sommet du triangle souhaité

Selon le critère d'égalité des triangles à trois côtés, le triangle construit est égal à tous les triangles qui ont ces côtés.

Étape 3 : résolution de problèmes

№ 239 page 74

construire un triangle rectangle en utilisant deux côtés

Étape 4 : résumer

Étape 5 : devoir n°240 page 74

Exemple 1 :

Construisez un triangle en utilisant deux côtés et l'angle qui les sépare.

Étant donné : supposons que le triangle analysé ressemble à ceci

Riz. 1.1. Exemple de triangle analysé 1

Soit les segments donnés c et a, et l'angle donné soit

Riz. 1.2. Éléments donnés par exemple 1

Construction:

Vous devez d'abord réserver le coin 1

Riz. 1.3. Angle différé 1 par exemple 1

Riz. 1.4. Réserver les côtés UN Et Avec par exemple 1

Ensuite, nous connectons les encoches résultantes et obtenons le triangle ABC souhaité

Riz. 1.5. Triangle construit ABC par exemple 1

Le chantier est terminé.

Note:

Rappelons comment tracer un angle égal à un angle donné.

Exemple 2

Soustrayez un angle d'un rayon donné égal à un angle donné. L'angle A et le rayon OM sont donnés. Construire.

Construction:

Riz. 2.1. Condition par exemple 2

1. Construisez un cercle Okr(A, r = AB). Les points B et C sont les points d'intersection avec les côtés de l'angle A

Riz. 2.2. Solution par exemple 2

1. Construisez un cercle Okr(D, r = CB). Les points E et M sont les points d'intersection avec les côtés de l'angle A

Riz. 2.3. Solution par exemple 2

1. L’angle MOE est celui souhaité, car .

Le chantier est terminé.

Exemple 3

Construisez le triangle ABC en utilisant un côté connu et deux angles adjacents.

Laissez le triangle analysé ressembler à ceci :

Riz. 3.1. Condition par exemple 3

Ensuite, les segments donnés ressemblent à ceci

Riz. 3.2. Condition par exemple 3

Construction:

Traçons l'angle sur le plan

Riz. 3.3. Solution par exemple 3

Du côté d'un angle donné on trace la longueur du côté UN

Riz. 3.4. Solution par exemple 3

Ensuite, nous mettons de côté l’angle C du sommet. Les côtés non communs des angles γ et α se coupent au point A

Riz. 3.5. Solution par exemple 3

Recherché par le deuxième critère d'égalité des triangles

Chantier terminé

Exemple 4

Construire un triangle sur 2 pattes

Laissez le triangle analysé ressembler à ceci

Riz. 4.1. Condition par exemple 4

Éléments connus - jambes

Riz. 4.2. Condition par exemple 4

Cette tâche diffère des précédentes en ce que l'angle entre les côtés peut être déterminé par défaut - 90 0

Construction:

Mettons de côté un angle égal à 90 0. Nous procéderons exactement de la même manière que dans l'exemple 2.

Riz. 4.3. Solution par exemple 4

Puis sur les côtés de cet angle on trace les longueurs des côtés UN Et b, donné dans l'état

Riz. 4.4. Solution par exemple 4

En conséquence, le triangle résultant est celui souhaité, car ses deux côtés et l'angle entre eux sont respectivement égaux aux deux côtés et à l'angle entre eux donné dans la condition

Notez que vous pouvez mettre de côté un angle de 90 0 en construisant deux lignes perpendiculaires. Voyons comment accomplir cette tâche dans un exemple supplémentaire.

Exemple supplémentaire

Restituer la perpendiculaire à la droite p passant par le point A,

Ligne p, et point A situé sur cette ligne

Riz. 5.1. Condition pour un exemple supplémentaire

Construction:

Tout d’abord, construisons un cercle de rayon arbitraire avec un centre au point A

Riz. 5.2. Solution à un exemple supplémentaire

Ce cercle coupe une ligne r aux points K et E. Ensuite on construit deux cercles Okr(K, R = KE), Okr(E, R = KE). Ces cercles se coupent aux points C et B. Le segment NE est celui recherché,

Riz. 5.3. Réponse à un exemple supplémentaire

Collection unifiée de ressources éducatives numériques ().
Professeur de mathématiques ().

N° 285, 288. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. édité par Tikhonov A. N. Géométrie niveaux 7-9. M. : Lumières. 2010
Construisez un triangle isocèle en utilisant un côté et un angle opposés à la base.
Construire un triangle rectangle en utilisant l'hypoténuse et un angle aigu
Construisez un triangle en utilisant l'angle, l'altitude et la bissectrice tirés du sommet de l'angle donné.

Enfin, considérons un problème dont la solution conduit à la construction d'un triangle utilisant un côté et deux angles :

De l'autre côté de la rivière (Fig. 72) une borne milliaire est visible UN. Il faut, sans traverser la rivière, connaître la distance qui la sépare du jalon DANS sur cette rive.

Faisons-le de cette façon. Mesurons à partir du point DANS n'importe quelle distance en ligne droite Soleil et aux extrémités DANS Et AVEC Mesurons les angles 1 et 2 (Fig. 73). Si nous mesurons maintenant la distance sur une zone pratique DE,égal Soleil, et construisons des angles à ses extrémités UN Et b(Fig. 74), égal aux angles 1 et 2, puis au point d'intersection de leurs côtés on obtient le troisième sommet F triangle DÉF. Il est facile de vérifier que le triangle DEFégal à un triangle abc; en effet, si l'on imagine que le triangle DEF superposé à abc donc ce côté DE coïncidait avec son côté égal Soleil, puis euh. UN coïncidera avec l'angle 1, angle b- avec angle 2, et côté DF ira sur le côté Virginie, et le côté E.F. sur le côté SA. Puisque deux droites ne peuvent se couper qu’en un seul point, alors le sommet F devrait coïncider avec le sommet UN. Donc la distance DFégale à la distance requise VIRGINIE.

Le problème, comme nous le voyons, n’a qu’une seule solution. En général, en utilisant un côté et deux angles adjacents à ce côté, on ne peut construire qu'un seul triangle ; Il ne peut pas y avoir d’autres triangles ayant le même côté et les mêmes deux angles adjacents aux mêmes endroits. Tous les triangles qui ont un côté identique et deux angles identiques adjacents aux mêmes endroits peuvent être amenés en coïncidence complète par superposition. Cela signifie que c'est un signe par lequel on peut établir l'égalité complète des triangles.

Avec les signes d'égalité des triangles précédemment établis, nous connaissons désormais les trois suivants :

Triangles :

sur trois côtés ;

aux deux côtés et à l'angle entre eux ;

sur le côté et deux côtés.

Par souci de concision, nous désignerons en outre ces trois cas d’égalité des triangles comme suit :

sur trois côtés : SSS;

de deux côtés et l'angle entre eux : SUS;

sur le côté et deux coins : USU.

Applications

14. Pour connaître la distance jusqu'à un point UN de l'autre côté de la rivière à partir de la pointe DANS sur cette berge (Fig. 5), mesurez une ligne en ligne droite soleil, puis au point DANS construire un angle égal à abc, de l'autre côté Soleil, et au point AVEC- de la même manière, un angle égal à DIA Distance des points D intersection des côtés des deux côtés des angles par rapport au point DANSégale à la distance requise AB. Pourquoi?

Solution : Triangles abc Et BDCégal d'un côté ( Soleil) et deux angles (ang. DCB= pouah. DIA; euh. DBC= pouah. abc.) Ainsi, AB= ВD, comme des côtés formant des triangles égaux contre des angles égaux.