Applications pratiques de la similarité des triangles. Matériel pédagogique et méthodologique sur la géométrie (8e année) sur le thème : Applications à la leçon

Répétition du matériel théorique Que peuvent signifier les deux triangles supérieurs sur le schéma ? Que signifient les flèches tirées de ces triangles ? Formulez une définition de la similarité et trois signes de similarité. Que vous disent les trois triangles inférieurs ? Quelles sont les inscriptions dessus ?

Test. Si l'affirmation est vraie, nous répondons « Oui », si fausse - Non 1. Deux triangles sont similaires si leurs angles sont respectivement égaux et si leurs côtés similaires sont proportionnels. 2.Deux triangles équilatéraux sont toujours semblables. 3. Si trois côtés d'un triangle sont respectivement proportionnels aux trois côtés d'un autre triangle, alors ces triangles sont similaires. 4. Les côtés d'un triangle ont des longueurs de 3, 4, 6 cm, les côtés de l'autre triangle mesurent 9, 14, 18 cm. Ces triangles sont-ils similaires ? 5. Les périmètres de triangles similaires sont liés comme les carrés de côtés similaires. 6. Si deux angles d'un triangle sont égaux à 60 et 50 et que deux angles d'un autre triangle sont égaux à 50 et 80, alors ces triangles sont similaires. 7.Deux triangles rectangles sont semblables s’ils ont des angles aigus égaux. 8.Deux triangles isocèles sont semblables si leurs côtés sont proportionnels. 9. Si les segments de l'hypoténuse en lesquels elle est divisée par la hauteur tirée du sommet de l'angle droit sont égaux à 2 et 8 cm, alors cette hauteur est de 4 cm 10. Si la médiane du triangle est de 9 cm. , alors la distance entre le sommet du triangle et le point d'intersection des médianes est de 6 cm.

Résumé de la leçon

Sujet de cours : « Applications pratiques de la similarité triangulaire »

Enseignant : Kiseleva N.E.

MBOU "École secondaire Nikolskaya n°9"

sujet : géométrie

note : 8

Buts et objectifs de la leçon :

Éducatif

Du développement

• former les qualités de pensée caractéristiques de l'activité mathématique, nécessaires à une vie productive en société.

Éducatif

Équipement :

• complexe interactif;
• un tableau à feuilles mobiles pour accompagner la leçon ;
• matériel didactique pour la résolution de problèmes ;
• description des travaux pratiques;
• tablette pour enregistrer les mesures obtenues;
• microcalculatrice;
• roulette;
• miroir;

Type de cours :

Structure de la leçon :

1. Organisation du temps
2. Énoncé des objectifs de la leçon
3. Actualisation des connaissances
4. Faire des travaux pratiques
5. Évaluation des résultats des travaux pratiques
6. Élaboration d'un mémo
7. Résolution de problème
8. Devoirs.
9. Réflexion

Pendant les cours

1. Point d'organisation :

Accueillir les étudiants, mobiliser l'attention.

Diapositive 2.

L'épigraphe de notre leçon sera les mots du célèbre constructeur naval russe Alexei Nikolaevich Krylov : « La théorie sans pratique est morte ou stérile, la pratique sans théorie est impossible ou désastreuse. La théorie nécessite des connaissances et la pratique nécessite des compétences.

2. Énoncé du problème et but de la leçon :

Professeur: Les gars, quel sujet avez-vous étudié lors de vos derniers cours de géométrie ?

Étudiants: triangles similaires

Signes de triangles similaires

Professeur: Aujourd'hui, dans la leçon, nous appliquerons les propriétés de triangles similaires lors de la résolution de problèmes. Rappelons la matière abordée.

3. Mise à jour des connaissances de base.

Résoudre des problèmes à l'aide de dessins prêts à l'emploi à l'aide d'un tableau blanc interactif.

Questions pour les étudiants.

1. Quels triangles voyez-vous sur les dessins ?
2. De quels types d'angles s'agit-il ?
3. En quoi ces triangles sont-ils semblables ?
4. Qu'est-ce que le coefficient de similarité ?
5. Quel est le coefficient de similarité dans ces problèmes ?
6. Que montre le coefficient de similarité ?
7. Trouver quelle est la longueur du segment AB ?

Étudiants conclure : la longueur du segment AB est k fois supérieure à la longueur du côté similaire de l'autre triangle

Professeur: Passons maintenant à la résolution de problèmes dans la vraie vie.

Comment connaître la hauteur d'un objet inaccessible ? arbre, pilier, bâtiment, rocher... en utilisant les propriétés de triangles similaires.

Écoutez la parabole sur la façon dont Thalès a déterminé la hauteur de la pyramide et indiquez comment il l'a fait ?

« L'étranger du Nord est arrivé fatigué au pays du Grand Hapi. Le soleil se couchait déjà lorsqu'il s'approcha du magnifique palais du pharaon et dit quelque chose aux serviteurs. Ils lui ouvrirent instantanément les portes et le conduisirent dans la salle de réception. Et le voici, vêtu d'un manteau de voyage poussiéreux, et devant lui est assis le pharaon sur un trône doré. À proximité se trouvent des prêtres arrogants, gardiens des secrets éternels de la nature.

Qui es-tu? - demanda le grand prêtre.

Je m'appelle Thalès. Je suis originaire de Milet.

Le curé reprit avec arrogance :

C'est donc vous qui vous êtes vanté de pouvoir mesurer la hauteur de la pyramide sans la gravir ? - les prêtres se sont penchés en riant. "Ce serait bien," continua le prêtre d'un ton moqueur, "si vous ne vous trompez pas de plus de cent coudées."

Je peux mesurer la hauteur de la pyramide et ne m'écarter que d'une demi-coudée. Je le ferai demain. - Thalès a répondu.

Les visages des prêtres s'assombrirent. Quel culot! Cet étranger prétend qu'il peut comprendre ce qu'eux, les prêtres de la Grande Égypte, ne peuvent pas comprendre.

D'accord, dit Pharaon. - Il y a une pyramide près du palais, on connaît sa hauteur. Demain, nous vérifierons votre art.

Le lendemain, Thalès détermina la hauteur de la pyramide. »

Les élèves donnent des explications.

Professeur: La géométrie a toujours résolu les problèmes que lui posait la vie. Les scientifiques grecs ont résolu de nombreux problèmes pratiques que les gens n'avaient pas pu résoudre avant eux.

C'est vrai, Thalès a appris aux Égyptiens à déterminer la hauteur d'une pyramide par la longueur de son ombre :

La manière dont cela a été fait ressort clairement de la diapositive du tableau à feuilles mobiles.

Professeur: En pratique, on peut mesurer la hauteur d’un objet inaccessible à l’aide d’une perche. Cette méthode peut être utilisée lorsqu’il n’y a pas de soleil et que les ombres des objets ne sont pas visibles. Expliquez en utilisant les propriétés de triangles similaires.

Les élèves donnent des explications.

Professeur : Nous allons maintenant utiliser une autre façon de déterminer la hauteur d'un objet inaccessible et un objet nous aidera - un miroir. Faisons des travaux pratiques.

Le miroir est placé horizontalement et reculé jusqu'à un point où, debout, l'observateur voit le haut de l'objet dans le miroir. Un rayon de lumière, réfléchi par un miroir en un point, pénètre dans l’œil d’une personne. Rappel : l'angle d'incidence est égal à l'angle de réflexion (loi de réflexion).

Quels segments doivent être mesurés pour déterminer la hauteur du meuble ?

4. Travaux pratiques « Mesurer la hauteur d'un objet »

Objectif du travail :

Trouvez la hauteur du bureau de l'école.

Outils: miroir, ruban à mesurer, microcalculatrice, papier à lettres.

Description du travail:

Vous effectuerez le travail en groupe.

Répartissez les responsabilités !

Choisissez un observateur, un technicien, un ingénieur, un spécialiste du calcul.

1. Placez le miroir sur une surface horizontale et plane, éloignée du point observé.
2. Observateur s'éloigne du miroir jusqu'à voir le point observé au centre du miroir.
3. Ingénieur dessine soigneusement un dessin sur papier et explique technique quelles mesures prendre.Suivez les règles de sécurité lorsque vous travaillez avec un ruban à mesurer et un miroir.Les données obtenues sont notées sur le dessin.
4. Le groupe résout le problème et calculatrice effectue des calculs sur une microcalculatrice.
5. Saisissez les données dans un tableau sur le tableau blanc interactif.
6. Évaluez le résultat obtenu et tirez une conclusion.

Les résultats obtenus sont consignés dans le tableau

1. Obtention et évaluation des résultats des travaux pratiques

Nous parlons d'erreur. Pour un résultat plus précis, il est nécessaire de répéter l'expérience plusieurs fois et de trouver la valeur moyenne.

Alors les gars, en été, vous pouvez répéter l'expérience sans avoir de ruban à mesurer ni de miroir à portée de main. Pensez à ce qui peut remplacer un ruban à mesurer et qu'est-ce qu'un miroir ?

Étudiants: Le mètre ruban sera remplacé par le pas d’une personne (65-75 cm), et le miroir sera remplacé par une flaque d’eau.

Où pouvons-nous appliquer les connaissances et les compétences acquises ?

1. Note

A la fin du cours, l'enseignant distribue des rappels aux élèves.

7. Résolution de problèmes

Il est proposé de résoudre trois problèmes en binôme de la banque ouverte de problèmes GIA en mathématiques du module « Mathématiques réelles »

Tâche n°1

Tâche n°2

Déterminez la hauteur de l'arbre à l'aide d'un miroir si la personne mesure 153 cm. La distance entre le centre du miroir et la personne est de 1,2 m et la distance entre le centre du miroir et l'arbre est de 4,8 m.

Tâche n°3

Un homme mesurant 1,6 m se tient à 10 pas d’un poteau sur lequel est suspendue une lanterne. L'ombre d'une personne est composée de 5 marches. A quelle hauteur se trouve la lanterne ?

Les réponses sont inscrites dans un tableau à l'aide d'un tableau blanc interactif

8. Devoirs : n° 579, n° 583

9. Réflexion « Pyramide »

Ce que symbolise le corps géométrique dans la culture

toute entreprise dans laquelle toutes les étapes de croissance et d’achèvement sont clairement visibles.

Les élèves collent un côté de la couleur correspondante sur la pyramide.

1. Conclusion

La géométrie est une science qui possède toutes les propriétés du verre cristallin, également transparente dans le raisonnement, impeccable dans les preuves, claire dans les réponses, combinant harmonieusement la transparence de la pensée et la beauté de l'esprit humain. La géométrie n'est pas une science entièrement comprise et de nombreuses découvertes vous attendent peut-être. Je vous souhaite bonne chance dans vos études ultérieures en sciences.

Merci pour la leçon.

Aperçu:

Auto-analyse de la leçon de géométrie

"Applications pratiques de la similarité des triangles"

année : 8

Cette leçon est basée sur le chapitre « Triangles similaires », la première leçon du bloc « Application de la similarité ». Ce qui suit est une suite du bloc en considérant d’autres façons pratiques d’utiliser la similarité.

Type de cours : leçon sur l'application complexe des connaissances

Lors de la planification de la leçon, je me suis fixé les buts et objectifs suivants :

Éducatif

• montrer l'utilisation de la similitude des triangles lors de la réalisation de travaux de mesure au sol ;
• montrer la relation entre la théorie et la pratique ;
• développer les compétences des élèves dans l’utilisation de la théorie des triangles similaires pour résoudre divers problèmes.

Du développement

• accroître l'intérêt des étudiants pour la géométrie;
• intensifier l'activité cognitive des étudiants;
• former les qualités de pensée caractéristiques de l'activité mathématique et nécessaires à une vie productive en société.

Éducatif

• développer la capacité à travailler en équipe;
• développer la confiance dans la communication.

Je pense que lors de la construction du plan de cours, j'ai essayé de combiner ces objectifs et de les rendre complets. Mais mes tâches prioritaires restaient de faire comprendre aux étudiants l’importance pratique des connaissances acquises.

La structure de la leçon a été clairement construite en fonction de ce type de cours. L'algorithme a été suivi. Autrement dit, toutes les étapes ont été franchies :

• mettre à jour les connaissances nécessaires à leur application créative des connaissances ;
• généralisation et systématisation des connaissances et des méthodes d'activité ;
• formation d'actions éducatives universelles ;
• contrôle des activités éducatives universelles.

J'ai essayé d'établir un lien logique entre les différentes étapes : la question posée à la fin de chaque étape est la tâche de la suivante.

L'accent est mis principalement sur la capacité de l'étudiant à construire un modèle mathématique d'une situation réelle et, en utilisant les connaissances acquises précédemment, à résoudre le problème.

Au début du cours, j'ai utilisé un travail frontal, qui a permis d'actualiser les connaissances des élèves. Ensuite, un problème a été posé qui a permis de motiver les étudiants pour la poursuite des travaux. Une situation réelle a été créée, que les étudiants ont résolue en groupe en effectuant des travaux pratiques. Au stade du contrôle des connaissances, les étudiants ont résolu des problèmes mathématiques à contenu pratique, rencontrés lors de la certification finale d'État, en travaillant en binôme.

La salle de classe de cette leçon est devenue une plate-forme pour accomplir une tâche pratique. La leçon utilisait un complexe interactif, ce qui permettait d'augmenter la densité de la leçon et d'apporter de la clarté.

Lors de la réalisation des travaux pratiques, j'ai utilisé une approche système-activité. Changer les types d'activités a permis d'éviter de surcharger les étudiants.

L'intérêt des étudiants a été soutenu par l'orientation pratique des tâches et la manière non standard d'effectuer les mesures. Et aussi des faits historiques intéressants.

J'ai essayé de convaincre les enfants, de créer des conditions confortables, en utilisant l'intonation, une attitude bienveillante et le sourire. Dans une situation critique, j’ai décidé de rester calme. Soyez prêt à toute tournure des événements.

Les pyramides égyptiennes, évoquées au début de la leçon, et la pyramide, qui permettait de réfléchir sur la connaissance, étaient une sorte de signal de référence. J'espère que cela a permis aux enfants de se souvenir de moyens pratiques pour mesurer la hauteur d'un objet hors de portée et de les appliquer si nécessaire.

Je crois que les objectifs fixés ont été atteints.

JE VOUS ASSURE. Directeur de l'école E.N. Polikarpova

Aperçu:

Tâche n°1

Un arbre de 1 m de haut se trouve à 8 pas d'un lampadaire et projette une ombre sur 4 pas de long. Déterminez la hauteur du lampadaire.

Tâche n°2

§ 1 La méthode de similarité et son application dans la résolution de problèmes de construction

Faisons connaissance avec la méthode de similarité, qui est utilisée pour résoudre des problèmes de construction de triangles, et examinons également comment les propriétés de triangles similaires sont utilisées pour effectuer des travaux de mesure sur le terrain.

Considérons l'utilisation de la méthode de similarité pour résoudre des problèmes de construction. Cette méthode consiste à construire un triangle similaire à celui souhaité à partir de certaines données, puis, à partir des données restantes, à construire lui-même le triangle souhaité.

Tâche : Construisez un triangle en utilisant les deux angles donnés et la bissectrice au sommet du troisième angle.

Étant donné deux angles et un segment - la bissectrice au sommet du troisième angle.

Il est nécessaire de construire un triangle à l'aide de ces éléments.

Construction:

Construisons un triangle similaire à celui requis. Pour ce faire, dessinez d'abord un segment arbitraire A1B1, puis construisez un triangle A1B1C avec les angles A1 et B1 égaux à ces angles. À l'aide d'un compas et d'une règle, on divise l'angle C en deux, on obtient une bissectrice et on y trace un segment CD égal à ce segment. Par le point D on trace une ligne parallèle à A1B1, cette ligne coupera les côtés de l'angle C aux points A et B. Le triangle ABC est celui souhaité.

En fait, par construction, la bissectrice CD du triangle ABC est égale au segment donné, et puisque A1B1 est parallèle à AB, alors ∠A=∠A1, ∠B=∠B1 comme angles correspondants pour les droites parallèles A1B1 et AB et sécantes AC et BC. Cela signifie que les deux angles du triangle ABC sont respectivement égaux aux angles donnés. Ainsi, le triangle ABC satisfait à toutes les exigences du problème.

Ce problème a une solution unique, et elle est possible si la somme des deux angles donnés est inférieure à 180°.

La similitude est utilisée par les architectes, les designers, les géomètres, les artistes et bien d’autres spécialistes. Avant de construire une maison, une usine ou une autre structure, ils créent d'abord un plan - une petite image de la future structure. En agrandissant les photographies, des images similaires sont également obtenues.

§ 2 Détermination de la hauteur d'un objet

Grâce à la similitude des triangles, vous pouvez mesurer la hauteur des arbres, des tours, des cheminées d'usine, etc.

Supposons que nous devions déterminer la hauteur d'un arbre.

Notons la hauteur de l'arbre par CD. À une certaine distance de l'arbre, placez un poteau AB avec une barre rotative et dirigez la barre vers le point supérieur de l'arbre au point C. Ensuite, marquez sur le sol le point M, où la droite AC coupe avec BD. D'après la figure on voit que l'on obtient deux triangles similaires MBA et MDC (l'angle M est commun, le pôle et l'arbre sont perpendiculaires à la surface de la terre), les triangles sont similaires selon le premier signe de similarité des triangles, c'est-à-dire à deux coins. Puisque les triangles sont semblables, les côtés sont proportionnels, c'est-à-dire

On peut toujours mesurer la longueur du pôle AB, ainsi que les distances MB et MD.

Par exemple : MV = 3 m, MD = 6,3 m ; AB = 1,5 m, alors

Vous pouvez également utiliser un miroir pour déterminer la hauteur de l'arbre.

Un rayon de lumière FD est réfléchi par le miroir au point D et pénètre dans l’œil humain au point B, entraînant l’apparition de triangles.

Ainsi, Thalès remonte au 6ème siècle avant JC. mesuré la hauteur de la pyramide égyptienne, surprenant les sages de l'époque.

§ 3 Détermination de la distance jusqu'à un point inaccessible

Les propriétés de triangles similaires sont également utilisées dans des problèmes où vous devez déterminer la distance jusqu'à un point inaccessible.

Supposons que nous soyons assis sur une rive de la rivière, c'est-à-dire au point A, et de l'autre côté il y a une autre personne - c'est le point B, et nous devons déterminer la distance jusqu'à lui - AB.

Pour cela, sélectionnez le point C au sol et mesurez la distance AC. Ensuite, à l'aide d'un astrolabe - un appareil avec lequel les angles sont mesurés au sol, nous mesurons les angles A et C. Ensuite, sur une feuille de papier, nous construisons un triangle arbitraire A1B1C1, pour lequel ∠A = ∠A1, ∠C = ∠ C1. Les triangles ABC et A1B1C1 sont similaires selon le premier critère de similarité des triangles, ce qui signifie

Ainsi, à partir des distances que nous connaissons, nous pouvons désormais trouver une quantité inconnue : la distance jusqu'à un point inaccessible.

Liste de la littérature utilisée :

1. Géométrie. 7e à 9e années : manuel. pour l'enseignement général organisations / L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov, S.B. Kadomtsev et al. - M. : Éducation, 2013. - 383 p. : je vais.
2. N.F. Gavrilova. Développements de cours en géométrie. 8e année. – Moscou, « Wako », 2005.
3. L.S. Atanasyan et autres. Recommandations méthodologiques pour le manuel. – Moscou, « Lumières », 2001.
4. D.A. Maltseva. Mathématiques. 9e année GIA 2014. – Moscou, Instruction publique, 2013.
5. O.V.Belitskaya. Géométrie. 8e année. Essais. – Saratov, « Lycée », 2009.
6. S.P.Babenko, I.S.Markova. Géométrie 8. Cahier complet pour tester les connaissances. – Moscou, « Arkti », 2014.

"École secondaire Chernovskaya", branche de "L'école secondaire Sychevskaya du nom de K.F. Lebedinskaya"

Cours de mathématiques en 8e sur le thème « Applications pratiques de la similarité des triangles »

Préparé par : Nikitina Galina Vasilievna - professeur de mathématiques

Devise de la leçon :

« La théorie sans la pratique est morte ou vaine ; la pratique sans la théorie est impossible ou nuisible. La théorie nécessite des connaissances et la pratique nécessite des compétences.

« Tôt ou tard, toute idée mathématique correcte trouve une application dans une chose ou une autre. »

Alexeï Nikolaïevitch Krylov

De l’histoire…

Déterminer la hauteur d'une pyramide

De l’histoire…

Déterminer la hauteur d'une pyramide

Mesurer la hauteur d'un objet

• Par l'ombre

Utiliser un poteau.

Utiliser un miroir

Un rayon de lumière FD, réfléchi par un miroir au point D, pénètre dans l'œil humain (point B)

Miroir

 ABD  DFE (deux coins) :

 VAD =  FED=90° ;

 1 =  2

Miroir

UN 1

Δ A 1 B 1 C ~ Δ ABC

UN

AVEC 1

DANS

AVEC

Le monde qui nous entoure est un monde de géométrie, pur, vrai, impeccable à nos yeux. Tout autour est géométrie. le Corbusier

La géométrie est une science qui possède toutes les propriétés du verre cristallin, également transparente dans le raisonnement, impeccable dans les preuves, claire dans les réponses, combinant harmonieusement la transparence de la pensée et la beauté de l'esprit humain. La géométrie n'est pas une science entièrement comprise et de nombreuses découvertes vous attendent peut-être. Je vous souhaite bonne chance dans vos études ultérieures en sciences.

"Échelle de réussite"

Aujourd'hui, en classe, j'ai appris...

C'était intéressant pour moi..

C'était difficile pour moi...

J'ai réalisé que...

J'ai senti que...

J’ai surtout aimé…

Je suis satisfait de mon travail en classe (pas vraiment, pas satisfait) parce que...

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Légendes des diapositives :

Applications pratiques de la similarité triangulaire

Test mission de test N° Option N° 1 Option N° 2 N° 1 1 2 N° 2 3 4 N° 3 3 2 N° 4 1 4 N° 5 2 1

« 5 » – 5 tâches « 4 » – 4 tâches « 3 » – 3 tâches « 2 » – moins de 3 tâches

Les habitants de l'Egypte ancienne se posaient la question : « Comment trouver la hauteur d'une des immenses pyramides ? Thales a trouvé une solution à ce problème. Il enfonça verticalement un long bâton dans le sol et dit : « Lorsque l’ombre de ce bâton aura la même longueur que le bâton lui-même, l’ombre de la pyramide aura la même longueur que la hauteur de la pyramide. »

Les propriétés de similitude ont longtemps été largement utilisées dans la pratique lors de l'élaboration de plans, de cartes, lors de la réalisation de dessins architecturaux et de dessins de diverses parties de machines et de mécanismes.

Trouvez la hauteur du bâtiment (en mètres), la longueur de l'ombre solaire est de 27 m et l'ombre solaire d'une personne mesurant 1 m 60 cm est de 2 m 40 cm.

Trouver la largeur de la rivière (CB) si, en prenant quelques mesures sur une rive de la rivière (AB = 5 m, AD = 12 m, AM = 3 m), deux triangles similaires ACD et ABM peuvent être construits.

L'arbre de 8,8 m de haut projette une ombre. Il ombrage complètement un arbre de 4 m de haut du soleil, situé à une distance de 6 m de celui-ci, comme le montre la figure. Déterminez jusqu’où le plus grand arbre projette son ombre. Donnez votre réponse en mètres.

N – 20 E – 18 R – 15 V – 11 11 18 15 20

11 18 15 20 V E R N

D'après la méthode de Jules Verne (1828-1905)

Le monde qui nous entoure est un monde de géométrie, pur, vrai, impeccable à nos yeux. Tout autour est la géométrie de Le Corbusier

ÉVALUEZ VOTRE TRAVAIL DANS LA LEÇON "+" - a fait face à la tâche "+-" - il y a eu des difficultés "-" - n'a pas fait face à la tâche

Un rayon lumineux émanant d'une source lumineuse située sur un mât vertical de 12 m de haut, réfléchi par une surface horizontale de miroir, a heurté un récepteur situé sur un autre mât vertical de 6 m de haut. L'angle d'incidence d'un rayon lumineux est égal à l'angle de sa réflexion, comme le montre la figure. La distance entre les bases des mâts est de 15 m. Trouvez la distance entre la base du mât de la source lumineuse et le point de réflexion.

L'escalier relie les points A et B. La hauteur de chaque marche est de 24 cm et la longueur est de 70 cm. La distance entre les points A et B est de 29,6 m. Trouvez la hauteur à laquelle monte l'escalier (en mètres).

Sur le thème : évolutions méthodologiques, présentations et notes

Ce matériel présente un résumé détaillé d'une leçon de géométrie en 8e année sur le thème « Similitude des triangles. Résoudre des problèmes pratiques ». La leçon a été élaborée en tenant compte de la norme éducative de l'État fédéral....