Règles pour les propriétés d'addition et de soustraction. Propriétés de soustraire une somme d'un nombre

Ajouter un numéro à un autre est assez simple. Regardons un exemple, 4+3=7. Cette expression signifie que trois unités ont été ajoutées à quatre unités et que le résultat était sept unités.
Les nombres 3 et 4 que nous avons ajoutés s'appellent termes. Et le résultat de l'addition du nombre 7 s'appelle montant.

Somme est l'addition de nombres. Signe plus « + ».
Sous forme littérale, cet exemple ressemblerait à ceci :

un+b =c

Composants supplémentaires :
un- terme, b- termes, c- somme.
Si nous ajoutons 4 unités à 3 unités, alors à la suite de l'addition, nous obtiendrons le même résultat, il sera égal à 7 ;

De cet exemple, nous concluons que quelle que soit la manière dont nous échangeons les termes, la réponse reste la même :

Cette propriété des termes est appelée loi commutative de l'addition.

Loi commutative de l'addition.

Changer la place des termes ne change pas la somme.

En notation littérale, la loi commutative ressemble à ceci :

un+b =b+un

Si nous considérons trois termes, par exemple, prenons les nombres 1, 2 et 4. Et nous effectuons l'addition dans cet ordre, ajoutons d'abord 1 + 2, puis ajoutons à la somme résultante 4, nous obtenons l'expression :

(1+2)+4=7

Nous pouvons faire l’inverse, ajouter d’abord 2+4, puis ajouter 1 à la somme résultante. Notre exemple ressemblera à ceci :

1+(2+4)=7

La réponse reste la même. Les deux types d’addition pour le même exemple ont la même réponse. Nous concluons:

(1+2)+4=1+(2+4)

Cette propriété d’addition s’appelle loi d'addition associative.

La loi d'addition commutative et associative fonctionne pour tous les nombres non négatifs.

Loi de combinaison d'addition.

Pour ajouter un troisième nombre à la somme de deux nombres, vous pouvez ajouter la somme des deuxième et troisième nombres au premier nombre.

(un+b)+c=une+(b+c)

La loi de combinaison fonctionne pour un nombre illimité de termes. Nous utilisons cette loi lorsque nous devons additionner des nombres dans un ordre pratique. Par exemple, ajoutons trois nombres 12, 6, 8 et 4. Il sera plus pratique d'ajouter d'abord 12 et 8, puis d'ajouter la somme de deux nombres 6 et 4 à la somme résultante.
(12+8)+(6+4)=30

Propriété d'addition avec zéro.

Lorsque vous ajoutez un nombre avec zéro, la somme résultante sera le même nombre.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

Dans une expression littérale, l'addition avec zéro ressemblera à ceci :

une+0=un
0+ une =un

Questions sur le thème de l'addition de nombres naturels :
Faire une table d'addition et voir comment fonctionne la propriété de la loi commutative ?
Un tableau d'addition de 1 à 10 pourrait ressembler à ceci :

Deuxième version de la table d'addition.

Si nous regardons les tables d’addition, nous pouvons voir comment fonctionne la loi commutative.

Dans l’expression a+b=c, quelle sera la somme ?
Réponse : la somme est le résultat de l’addition des termes. a+b et c.

Dans l’expression a+b=c, que sera-t-il ?
Réponse : a et b. Les additions sont des nombres que nous additionnons.

Qu'arrive-t-il à un nombre si on y ajoute 0 ?
Réponse : rien, le numéro ne changera pas. Lors de l'addition avec zéro, le nombre reste le même, car zéro est l'absence de un.

Combien de termes doit-il y avoir dans l’exemple pour que la loi combinatoire de l’addition puisse être appliquée ?
Réponse : à partir de trois termes ou plus.

Écrire la loi commutative en termes littéraux ?
Réponse : a+b=b+a

Exemples de tâches.
Exemple 1:
Écrivez la réponse aux expressions données : a) 15+7 b) 7+15
Réponse : a) 22 b) 22

Exemple n°2 :
Appliquer la loi de combinaison aux termes : 1+3+5+2+9
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
Réponse : 20.

Exemple n°3 :
Résolvez l'expression :
a) 5921+0 b) 0+5921
Solution:
a) 5921+0 =5921
b) 0+5921=5921

Donc, en général, la soustraction de nombres naturels n'a PAS la propriété commutative. Écrivons cette déclaration en utilisant des lettres. Si a et b sont des nombres naturels inégaux, alors une−b≠b−une. Par exemple, 45−21≠21−45.

Propriété de soustraire la somme de deux nombres à un nombre naturel.

La propriété suivante est liée à la soustraction de la somme de deux nombres d’un nombre naturel. Regardons un exemple qui nous permettra de comprendre cette propriété.

Imaginons que nous ayons 7 pièces entre nos mains. On décide d'abord de garder 2 pièces, mais pensant que cela ne suffira pas, on décide d'en garder une autre. Sur la base de la signification de l'addition de nombres naturels, on peut affirmer que dans ce cas, nous avons décidé de conserver le nombre de pièces, qui est déterminé par la somme 2+1. Donc, nous prenons deux pièces, y ajoutons une autre pièce et les mettons dans la tirelire. Dans ce cas, le nombre de pièces restant entre nos mains est déterminé par la différence 7−(2+1) .

Imaginez maintenant que nous ayons 7 pièces et que nous mettions 2 pièces dans la tirelire, puis une autre pièce. Mathématiquement, ce processus est décrit par l'expression numérique suivante : (7−2)−1.

Si nous comptons les pièces qui restent entre nos mains, alors dans le premier et le deuxième cas, nous avons 4 pièces. Autrement dit, 7−(2+1)=4 et (7−2)−1=4, donc 7−(2+1)=(7−2)−1.

L'exemple considéré permet de formuler la propriété de soustraire la somme de deux nombres d'un nombre naturel donné. Soustraire une somme donnée de deux nombres naturels d'un nombre naturel donné revient à soustraire le premier terme d'une somme donnée d'un nombre naturel donné, puis de soustraire le deuxième terme de la différence résultante.

Rappelons que nous n'avons donné de sens à la soustraction d'entiers naturels que pour le cas où la fin de la soustraction est supérieure à la fin de la soustraction ou égale à celle-ci. Par conséquent, on ne peut soustraire une somme donnée d’un nombre naturel donné que si cette somme n’est pas supérieure à l’entier naturel réduit. A noter que si cette condition est remplie, chacun des termes ne dépasse pas l'entier naturel auquel la somme est soustraite.

À l'aide de lettres, la propriété de soustraire la somme de deux nombres d'un nombre naturel donné s'écrit comme égalité une−(b+c)=(une−b)−c, où a, b et c sont des nombres naturels et les conditions a>b+c ou a=b+c sont remplies.

La propriété considérée, ainsi que la propriété combinatoire d'addition d'entiers naturels, permettent de soustraire la somme de trois nombres ou plus d'un entier naturel donné.

Propriété de soustraire un nombre naturel de la somme de deux nombres.

Passons à la propriété suivante, qui est associée à la soustraction d'un nombre naturel donné d'une somme donnée de deux nombres naturels. Regardons des exemples qui nous aideront à « voir » cette propriété de soustraire un nombre naturel de la somme de deux nombres.

Ayons 3 bonbons dans la première poche, et 5 bonbons dans la seconde, et devons offrir 2 bonbons. Nous pouvons le faire de différentes manières. Regardons-les un par un.

Tout d'abord, nous pouvons mettre tous les bonbons dans une poche, puis en sortir 2 bonbons et les donner. Décrivons mathématiquement ces actions. Après avoir mis les bonbons dans une poche, leur nombre sera déterminé par la somme 3+5. Maintenant, sur le nombre total de bonbons, nous offrirons 2 bonbons, tandis que le nombre de bonbons restant sera déterminé par la différence suivante (3+5)−2.

Deuxièmement, nous pouvons offrir 2 bonbons en les sortant de la première poche. Dans ce cas, la différence 3−2 détermine le nombre de bonbons restants dans la première poche, et le nombre total de bonbons restant dans notre poche sera déterminé par la somme (3−2)+5.

Troisièmement, nous pouvons offrir 2 bonbons de la deuxième poche. Alors la différence 5−2 correspondra au nombre de bonbons restants dans la deuxième poche, et le nombre total de bonbons restants sera déterminé par la somme 3+(5−2) .

Il est clair que dans tous les cas nous aurons le même nombre de bonbons. Par conséquent, les égalités (3+5)−2=(3−2)+5=3+(5−2) sont valides.

Si nous devions offrir non pas 2, mais 4 bonbons, nous pourrions le faire de deux manières. Tout d’abord, offrez 4 bonbons, après les avoir tous mis au préalable dans une seule pochette. Dans ce cas, le nombre de bonbons restant est déterminé par une expression de la forme (3+5)−4. Deuxièmement, nous pourrions offrir 4 bonbons de la deuxième poche. Dans ce cas, le nombre total de bonbons donne la somme suivante 3+(5−4) . Il est clair que dans le premier et le deuxième cas, nous aurons le même nombre de bonbons, donc l'égalité (3+5)−4=3+(5−4) est vraie.

Après avoir analysé les résultats obtenus en résolvant les exemples précédents, nous pouvons formuler la propriété de soustraire un nombre naturel donné d'une somme donnée de deux nombres. Soustraire un nombre naturel donné d'une somme donnée de deux nombres revient à soustraire un nombre donné de l'un des termes, puis d'ajouter la différence résultante et l'autre terme. Il convient de noter que le nombre soustrait NE doit PAS être supérieur au terme auquel le nombre est soustrait.

Écrivons la propriété de soustraire un nombre naturel d'une somme à l'aide de lettres. Soit a, b et c des nombres naturels. Alors, à condition que a soit supérieur ou égal à c, l'égalité est vraie (une+b)−c=(une−c)+b, et si la condition est remplie que b est supérieur ou égal à c, l'égalité est vraie (une+b)−c=une+(b−c). Si a et b sont tous deux supérieurs ou égaux à c, alors les deux dernières égalités sont vraies et peuvent s’écrire comme suit : (une+b)−c=(une−c)+b= une+(b−c) .

Par analogie, nous pouvons formuler la propriété de soustraire un nombre naturel de la somme de trois nombres ou plus. Dans ce cas, ce nombre naturel peut être soustrait de n'importe quel terme (bien sûr, s'il est supérieur ou égal au nombre soustrait), et les termes restants peuvent être ajoutés à la différence résultante.

Pour visualiser la propriété sonore, vous pouvez imaginer que nous avons de nombreuses poches et qu'il y a des bonbons dedans. Supposons que nous devions offrir 1 bonbon. Il est clair que nous pouvons offrir 1 bonbon dans n'importe quelle poche. En même temps, peu importe de quelle poche nous les donnons, car cela n'affecte pas la quantité de bonbons qu'il nous restera.

Donnons un exemple. Soit a, b, c et d des nombres naturels. Si a>d ou a=d, alors la différence (a+b+c)−d est égale à la somme (a−d)+b+c. Si b>d ou b=d, alors (a+b+c)−d=a+(b−d)+c. Si c>d ou c=d, alors l'égalité (a+b+c)−d=a+b+(c−d) est vraie.

Il convient de noter que la propriété de soustraire un nombre naturel de la somme de trois nombres ou plus n'est pas une propriété nouvelle, puisqu'elle découle des propriétés d'addition de nombres naturels et de la propriété de soustraire un nombre de la somme de deux nombres.

Bibliographie.

• Mathématiques. Tous les manuels pour les 1re, 2e, 3e et 4e années des établissements d'enseignement général.
• Mathématiques. Tous les manuels pour la 5e année des établissements d'enseignement général.

Le concept de soustraction est mieux compris avec un exemple. Vous décidez de boire du thé avec des friandises. Il y avait 10 bonbons dans le vase. Vous avez mangé 3 bonbons. Combien de bonbons reste-t-il dans le vase ? Si l’on soustrait 3 de 10, il restera 7 bonbons dans le vase. Écrivons le problème mathématiquement :

Regardons l'entrée en détail :
10 est le nombre dont on soustrait ou diminue, c'est pourquoi on l'appelle réductible.
3 est le nombre que nous soustrayons. C'est pourquoi ils l'appellent déductible.
7 est le résultat d’une soustraction ou est aussi appelé différence. La différence montre à quel point le premier nombre (10) est supérieur au deuxième nombre (3) ou à quel point le deuxième nombre (3) est inférieur au premier nombre (10).

Si vous doutez d'avoir trouvé la différence correctement, vous devez le faire vérifier. Ajoutez le deuxième nombre à la différence : 7+3=10

Lors de la soustraction de l, la fin du minuend ne peut pas être inférieure au soustrahend.

Nous tirons une conclusion de ce qui a été dit. Soustraction- c'est une action par laquelle le deuxième terme est trouvé à partir de la somme et de l'un des termes.

Sous forme littérale, cette expression ressemblera à ceci :

un-b =c

une – fin de minute,
b – soustraire,
c – différence.

Propriétés de soustraire une somme d’un nombre.

13 — (3 + 4)=13 — 7=6
13 — 3 — 4 = 10 — 4=6

L'exemple peut être résolu de deux manières. La première consiste à trouver la somme des nombres (3+4), puis à soustraire du nombre total (13). La deuxième façon consiste à soustraire le premier terme (3) du nombre total (13), puis à soustraire le deuxième terme (4) de la différence résultante.

Sous forme littérale, la propriété de soustraire une somme d'un nombre ressemblera à ceci :
une - (b + c) = une - b - c

Propriété de soustraire un nombre d'une somme.

(7 + 3) — 2 = 10 — 2 = 8
7 + (3 — 2) = 7 + 1 = 8
(7 — 2) + 3 = 5 + 3 = 8

Pour soustraire un nombre d'une somme, vous pouvez soustraire ce nombre d'un terme, puis ajouter le deuxième terme à la différence résultante. La condition est que la somme soit supérieure au nombre soustrait.

Sous forme littérale, la propriété de soustraire un nombre d'une somme ressemblera à ceci :
(7 + 3) — 2 = 7 + (3 — 2)
(un+b) —c=un + (avant JC), à condition que b > c

(7 + 3) — 2=(7 — 2) + 3
(une + b) - c=(une - c) + b, à condition que a > c

Propriété de soustraction avec zéro.

10 — 0 = 10
une - 0 = une

Si vous soustrayez zéro d'un nombre alors ce sera le même numéro.

10 — 10 = 0
un-une = 0

Si vous soustrayez le même nombre d'un nombre alors ce sera zéro.

Questions connexes:
Dans l'exemple 35 - 22 = 13, nommez la fin, la sous-trahend et la différence.
Réponse : 35 – fin de minute, 22 – sous-trahend, 13 – différence.

Si les nombres sont les mêmes, quelle est leur différence ?
Réponse : zéro.

Est-ce que le test de soustraction 24 - 16 = 8 ?
Réponse : 16 + 8 = 24

Table de soustraction pour les nombres naturels de 1 à 10.

Exemples de problèmes sur le thème « Soustraction de nombres naturels ».
Exemple 1:
Insérez le nombre manquant : a) 20 - ... = 20 b) 14 - ... + 5 = 14
Réponse : a) 0 b) 5

Exemple n°2 :
Est-il possible de soustraire : a) 0 - 3 b) 56 - 12 c) 3 - 0 d) 576 - 576 e) 8732 - 8734
Réponse : a) non b) 56 - 12 = 44 c) 3 - 0 = 3 d) 576 - 576 = 0 e) non

Exemple n°3 :
Lisez l'expression : 20 - 8
Réponse : « Soustrayez huit de vingt » ou « soustrayez huit de vingt ». Prononcez les mots correctement

Entiers

Les nombres utilisés pour compter sont appelés nombres naturels Nombre zéro ne s'applique pas aux nombres naturels.

Un seul chiffre nombres : 1,2,3,4,5,6,7,8,9 À deux chiffres: 24h56, etc. À trois chiffres: 348 569, etc. À valeurs multiples: 23 562 456789 etc.

Diviser un nombre en groupes de 3 chiffres, en partant de la droite, s'appelle Des classes: les trois premiers chiffres sont la classe des unités, les trois chiffres suivants sont la classe des milliers, puis des millions, etc.

Par segment appelle une ligne tracée du point A au point B. Appelée AB ou BA A B La longueur du segment AB est appelée distance entre les points A et B.

Unités de longueur :

1) 10 cm = 1 point

2) 100 cm = 1 m

3) 1 cm = 10 mm

4) 1km = 1000m

Avion est une surface sans bords, s'étendant sans limites dans toutes les directions. Droit n'a ni début ni fin. Deux droites ayant un point commun - couper. Rayon– c'est une partie d'une ligne qui a un début et pas de fin (OA et OB). Les rayons en lesquels un point divise une ligne droite sont appelés supplémentaire l'un l'autre.

Faisceau de coordonnées :

0 1 2 3 4 5 6 O E A B X O(0), E(1), A(2), B(3) – coordonnées des points. De deux nombres naturels, le plus petit est celui qui est appelé le plus tôt lors du comptage, et le plus grand est celui qui est appelé plus tard lors du comptage. Un est le plus petit nombre naturel. Le résultat de la comparaison de deux nombres s'écrit sous la forme d'une inégalité : 5< 8, 5670 >368. Le nombre 8 est inférieur à 28 et supérieur à 5, peut s'écrire comme une double inégalité : 5< 8 < 28

Additionner et soustraire des nombres naturels

Ajout

Les nombres qui s'ajoutent sont appelés des additions. Le résultat de l’addition s’appelle la somme.

Propriétés d'ajout :

1. Propriété commutative : La somme des nombres ne change pas lorsque les termes sont réorganisés : une + b = b + une(a et b sont des nombres naturels et 0) 2. Propriété de combinaison : Pour ajouter la somme de deux nombres à un nombre, vous pouvez d'abord ajouter le premier terme, puis ajouter le deuxième terme à la somme obtenue : a + (b + c) = (a + b) +c = a + b + c(a, b et c sont des nombres naturels et 0).

3. Addition avec zéro : L'ajout de zéro ne change pas le nombre :

une + 0 = 0 + une = une(a est n'importe quel nombre naturel).

La somme des longueurs des côtés d’un polygone s’appelle le périmètre de ce polygone.

Soustraction

Une action qui utilise la somme et l'un des termes pour trouver un autre terme est appelée par soustraction.

Le nombre auquel il est soustrait s'appelle réductible, le nombre qui est soustrait s'appelle déductible, le résultat de la soustraction s'appelle différence. La différence entre deux nombres montre combien d'abord nombre plus seconde ou combien deuxième nombre moins d'abord.

Propriétés de soustraction :

1. Propriété de soustraire une somme d'un nombre: Afin de soustraire une somme à un nombre, vous pouvez d'abord soustraire le premier terme de ce nombre, puis soustraire le deuxième terme de la différence résultante :

une – (b + c) = (une – b) –Avec= une – b –Avec(b + c > a ou b + c = a).

2. Propriété de soustraire un nombre d'une somme: Pour soustraire un nombre d'une somme, vous pouvez le soustraire d'un terme et ajouter un autre terme à la différence résultante

(une + b) – c = une + (b – c), si avec< b или с = b

(une + b) – c = (une – c) + b, si avec< a или с = a.

3. Propriété de soustraction zéro: Si vous soustrayez zéro d'un nombre, cela ne changera pas :

une – 0 = une(a – n’importe quel nombre naturel)

4. La propriété de soustraire le même nombre d'un nombre: Si vous soustrayez ce nombre d'un nombre, vous obtenez zéro :

une – une = 0(a est n'importe quel nombre naturel).

Expressions numériques et alphabétiques

Les enregistrements d'action sont appelés expressions numériques. Le nombre obtenu à la suite de l'exécution de toutes ces actions est appelé la valeur de l'expression.

Multiplication et division de nombres naturels

Multiplication des nombres naturels et ses propriétés

Multiplier le nombre m par l'entier naturel n revient à trouver la somme de n termes dont chacun est égal à m.

L'expression m · n et la valeur de cette expression sont appelées le produit des nombres m et n. Les nombres m et n sont appelés facteurs.

Propriétés de multiplication:

1. Propriété commutative de la multiplication : Le produit de deux nombres ne change pas lorsque les facteurs sont réarrangés :

un b = b un

2. Propriété combinatoire de la multiplication : Pour multiplier un nombre par le produit de deux nombres, vous pouvez d'abord le multiplier par le premier facteur, puis multiplier le produit obtenu par le deuxième facteur :

une · (b · c) = (une · b) · c.

3. Propriété de multiplication par un : La somme de n termes dont chacun est égal à 1 est égale à n :

1 n = n

4. Propriété de multiplication par zéro : La somme de n termes dont chacun est égal à zéro est égale à zéro :

0 n = 0

Le signe de multiplication peut être omis : 8 x = 8x,

ou une b = un ab,

ou une · (b + c) = une(b + c)

Division

L'action par laquelle le produit et l'un des facteurs sont utilisés pour trouver un autre facteur est appelée division.

Le nombre divisé est appelé divisible; le nombre divisé par est appelé diviseur, le résultat de la division s'appelle privé.

Le quotient indique combien de fois le dividende est supérieur au diviseur.

On ne peut pas diviser par zéro !

Propriétés des divisions :

1. En divisant un nombre par 1, on obtient le même nombre :

une : 1 = une.

2. En divisant un nombre par le même nombre, le résultat est un :

une : une = 1.

3. Lorsque zéro est divisé par un nombre, le résultat est zéro :

0 : une = 0.

Pour trouver un facteur inconnu, vous devez diviser le produit par un autre facteur. 5x = 45 x = 45 : 5 x = 9

Pour trouver le dividende inconnu, vous devez multiplier le quotient par le diviseur. x : 15 = 3 x = 3 15 x = 45

Pour trouver un diviseur inconnu, vous devez diviser le dividende par le quotient. 48 : x = 4 x = 48 : 4 x = 12

Division avec reste

Le reste est toujours inférieur au diviseur.

Si le reste est nul, alors le dividende est dit divisible par le diviseur sans reste ou, en d'autres termes, par un nombre entier. Pour trouver le dividende a lors d'une division avec un reste, vous devez multiplier le quotient partiel c par le diviseur b et ajouter le reste d au produit résultant.

a = cb + d

Simplifier les expressions

Propriétés de multiplication :

1. Propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition : Pour multiplier une somme par un nombre, vous pouvez multiplier chaque addition par ce nombre et additionner les produits résultants :

(a + b)c = ac + avant JC.

2. Propriété distributive de la multiplication par rapport à la soustraction : Pour multiplier la différence par un nombre, vous pouvez multiplier la fin et le soustrait par ce nombre et soustraire le second du premier produit :

(a - b)c = ac - avant JC.

3a + 7a = (3 + 7)a = 10a

Procédure

L'addition et la soustraction de nombres sont appelées opérations de la première étape, et la multiplication et la division de nombres sont appelées actions de la deuxième étape.

Règles pour l'ordre des actions :

1. S'il n'y a pas de parenthèses dans l'expression et qu'elle contient des actions d'une seule étape, elles sont alors exécutées dans l'ordre de gauche à droite.

2. Si l'expression contient des actions des première et deuxième étapes et qu'elle ne contient pas de parenthèses, alors les actions de la deuxième étape sont exécutées en premier, puis les actions de la première étape.

3. S'il y a des parenthèses dans l'expression, effectuez d'abord les actions entre parenthèses (en tenant compte des règles 1 et 2)

Chaque expression spécifie un programme pour son calcul. Il est constitué d'équipes.

Diplôme de. Nombres de carrés et de cubes

Un produit dans lequel tous les facteurs sont égaux les uns aux autres s'écrit plus court : a · a · a · a · a · a = a6 Lire : a à la puissance sixième. Le nombre a est appelé la base de la puissance, le nombre 6 est appelé l'exposant et l'expression a6 est appelée la puissance.

Le produit de n et n est appelé le carré de n et est noté n2 (en au carré) :

n2 = nn

Le produit n · n · n est appelé le cube du nombre n et est noté n3 (n au cube) : n3 = nnn

La première puissance d’un nombre est égale au nombre lui-même. Si une expression numérique inclut des puissances de nombres, leurs valeurs sont calculées avant d'effectuer d'autres actions.

Superficies et volumes

Écrire une règle à l’aide de lettres s’appelle une formule. Formule du chemin :

s = vt, où s est le chemin, v est la vitesse, t est le temps.

v=s:t

t = s:v

Carré. Formule pour l'aire d'un rectangle.

Pour trouver l'aire d'un rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur. S = ab, où S est l'aire, a est la longueur, b est la largeur

Deux chiffres sont dits égaux si l'un d'eux peut se superposer au second pour que ces chiffres coïncident. Les zones de chiffres égaux sont égales. Les périmètres de chiffres égaux sont égaux.

L'aire de la figure entière est égale à la somme des aires de ses parties. L'aire de chaque triangle est égale à la moitié de l'aire du rectangle entier

Carré est un rectangle à côtés égaux.

L'aire d'un carré est égale au carré de son côté :

Unités de surface

Millimètre carré – mm2

Centimètre carré - cm2

Décimètre carré – dm2

Mètre carré – m2

Kilomètre carré – km2

Les superficies des champs sont mesurées en hectares (ha). Un hectare est la superficie d'un carré de 100 m de côté.

La superficie des petites parcelles de terrain se mesure en ares (a).

Ar (cent mètres carrés) est l'aire d'un carré de 10 m de côté.

1 ha = 10 000 m2

1 dm2 = 100 cm2

1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2

Si la longueur et la largeur d'un rectangle sont mesurées dans des unités différentes, elles doivent alors être exprimées dans les mêmes unités pour calculer l'aire.

Parallélépipède rectangulaire

La surface d'un parallélépipède rectangle est constituée de 6 rectangles, chacun étant appelé face.

Les faces opposées d'un parallélépipède rectangle sont égales.

Les côtés des visages sont appelés bords d'un parallélépipède, et les sommets des faces sont sommets d'un parallélépipède.

Un parallélépipède rectangle a 12 arêtes et 8 sommets.

Un parallélépipède rectangle a trois dimensions : longueur, largeur et hauteur

cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les dimensions sont identiques. La surface du cube est constituée de 6 carrés égaux.

Volume d'un parallélépipède rectangle : Pour trouver le volume d'un parallélépipède rectangle, il faut multiplier sa longueur par sa largeur et sa hauteur.

V=abc, V – volume, a longueur, b – largeur, c – hauteur

Volume des cubes :

Unités de volume :

Millimètre cube – mm3

Centimètre cube - cm3

Décimètre cube – dm3

Mètre cube – mm3

Kilomètre cube – km3

1 m3 = 1000 dm3 = 1000 l

1 l = 1 dm3 = 1000 cm3

1 cm3 = 1 000 mm3 1 km3 = 1 000 000 000 m3

Cercle et cercle

Une ligne fermée située à la même distance d'un point donné s'appelle un cercle.

La partie du plan qui se trouve à l’intérieur du cercle s’appelle un cercle.

Ce point est appelé centre du cercle et du cercle.

Un segment reliant le centre d'un cercle à n'importe quel point situé sur le cercle est appelé rayon du cercle.

Un segment reliant deux points d'un cercle et passant par son centre s'appelle diamètre du cercle.

Le diamètre est égal à deux rayons.

Peut être écrit en utilisant des lettres.
1. La propriété commutative d'addition s'écrit comme suit : a + b = b + a.
Dans cette égalité, les lettres a et b peuvent prendre n'importe quelle valeur naturelle et la valeur 0.

3. La propriété de zéro lors de l'addition peut s'écrire comme suit : Ici, la lettre a peut avoir n'importe quelle signification.

4. La propriété de soustraire une somme d'un nombre s'écrit à l'aide des lettres comme suit :
une - (b + c) = une - b - c. Ici b + c< а или b + с = а.

5. La propriété de soustraire un nombre d'une somme s'écrit en utilisant des lettres comme celle-ci :

(a + b) - c = a + (b - c), si c< Ь или о = b;
(a + b) - c = (a - c) + b, si c< а или с = а.

6. Les propriétés de zéro lors de la soustraction peuvent s'écrire comme suit : a - 0 = a ; une - une = 0.
Ici, a peut prendre n'importe quelle valeur naturelle et la valeur 0.

Lisez les propriétés d’addition et de soustraction écrites à l’aide de lettres.

337. Écrivez la propriété de combinaison de l'addition en utilisant les lettres a, b et c. Remplacez les lettres par leurs valeurs : a = 9873, b = 6914, c = 10 209 - et vérifiez l'égalité numérique résultante.

338. Écrivez la propriété de soustraire une somme de Nombres en utilisant les lettres a, b et c. Remplacez les lettres par leurs valeurs : a = 243, b = 152, c = 88 - et vérifiez l'égalité numérique résultante.

339. Écrivez la propriété de soustraire un nombre d'une somme de deux manières. Vérifiez les équations numériques résultantes en remplaçant les lettres par leurs valeurs :

a) a = 98, b = 47 et c = 58 ;

b) a = 93, b = 97 et c = 95.

340. a) Sur la figure 42, utilise un compas pour trouver les points M(a + b) et N(a - b).

b) À l'aide de la figure 43, expliquez la signification de la propriété associative de l'addition.

c) Expliquez à l'aide d'images les autres propriétés de l'addition et de la soustraction.

341. Des propriétés d'addition il résulte :

56 + x + 14 = x + 56 + 14 = x + (56 + 14) = x + 70.

Simplifiez selon cet exemple expression:

a) 23 + 49 + m ; c) x + 54 + 27 ;
b) 38 + m + 27 ; d) 176 4-y + 24.

342. Retrouver le sens de l'expression après l'avoir simplifiée :

a) 28 + m + 72 avec m = 87 ; c) 228 + k + 272 avec k = 48 ;
b) n + 49 + 151 avec n = 63 ; d) 349 + p + 461 avec p = 115.

343. Des propriétés de la soustraction il résulte :

28 - (15 + s) = 28 - 15 - s = 13 - s,
une - 64 - 26 = une - (64 + 26) = une - 90.

Quelle propriété de soustraction est utilisée dans ces exemples? En utilisant cette propriété de soustraction, simplifiez l'expression :

a) 35 - (18 + ans);

b) m-128-472.

344. Des propriétés d'addition et de soustraction il résulte :

137 - s - 27 « 137 - (s + 27) = 137 - (27 + s) = 137 - 27 - s = 110 - s.

Quelles propriétés d’addition et de soustraction sont utilisées dans cet exemple ?
En utilisant ces propriétés, simplifiez l'expression :

a) 168 - (x + 47);
b) 384 - m - 137.

345. Des propriétés de la soustraction il résulte :

(154 + b) - 24 = (154 - 24) + b = 130 + b ;
une - 10 + 15 = (une - 10) + 15 = (une + 15) - 10 = une + (15 - 10) = une + 5.

Quelle propriété de soustraction est utilisée dans cet exemple ?
En utilisant cette propriété, simplifiez l'expression :

a) (248 + m) - 24 ; c) b + 127 - 84 ; e) (12-k) + 24 ;
b) 189 + n-36 ; d) un - 30 + 55 ; e) x - 18 + 25.

346. Retrouver le sens de l'expression après l'avoir simplifiée :

a) a - 28 - 37 à a = 265 ; c) 237 + c + 163 avec c = 194 ; 188 ;
b) 149 + b - 99 avec b = 77 ; d) d - 135 + 165 avec d = 239 ; 198.

347. Les points C et D sont marqués sur le segment AB, et le point C se situe entre les points A et D. Écrivez une expression pour longueur segment:

a) AB si AC = 453 mm, CD = x mm et DB = 65 mm. Trouvez la valeur de l'expression résultante à x = 315 ; 283.
b) AC, si AB = 214 mm, CD = 84 mm et DB = y mm. Trouvez la valeur de l'expression résultante lorsque y = 28 ; 95.

348. Un tourneur a exécuté une commande pour la production de pièces identiques en trois jours. Le premier jour, il fit 23 parts, le deuxième jour - b parts de plus que le premier jour, et le troisième jour - quatre parts de moins que le premier jour. Combien de pièces le tourneur a-t-il produit au cours de ces trois jours ? Écrivez une expression pour résoudre le problème et trouvez sa valeur pour b = 7 et b = 9.

349. Calculer oralement :

350. Trouvez la moitié, le quart et le tiers de chacun des nombres : 12 ; 36 ; 60 ; 84 ; 120.

a) 37 2 et 45 - 17 ;

b) 156 : 12 et 31 7.

362. Un piéton et un cycliste se rapprochent le long de la route. Maintenant, la distance qui les sépare est de 52 km. La vitesse d’un piéton est de 4 km/h et celle d’un cycliste de 9 km/h. Quelle sera la distance qui les sépare après 1 heure ; après 2 heures; dans 4 heures ? Combien d’heures plus tard le piéton et le cycliste se retrouveront-ils ?

363. Trouvez le sens de l'expression :

1) 1032: (5472: 19: 12);

2) 15 732: 57: (156: 13).

364. Simplifiez l'expression :

a) 37 + m + 56 ; c) 49-24-k ;
b) n-45-37 ; d) 35 - t - 18.

365. Simplifiez l'expression et trouvez son sens :

a) 315 - p + 185 à p = 148 ; 213 ;
b) 427 - l - 167 à I = 59 ; 260.

366. Le motocycliste a parcouru la première section de la piste en 54 s, la deuxième en 46 s et la troisième en p s plus vite que la seconde. Combien de temps le pilote de moto a-t-il mis pour parcourir ces trois sections ? Trouvez la valeur de l'expression résultante si n = 9 ; 17 ; 22.

367. Dans un triangle, un côté mesure 36 cm, l'autre mesure 4 cm de moins et le troisième mesure x cm de plus que le premier côté. Trouvez le périmètre du triangle. Écrivez une expression pour résoudre le problème et trouvez sa valeur à x = 4 et x = 8.

368. Un touriste a parcouru 40 km en bus, soit 5 fois plus que la distance qu'il a parcourue à pied. Quel est l’itinéraire total parcouru par le touriste ?

369. De ville en village 24 km. Un homme sort de la ville et marche à une vitesse de 6 km/h. Tracer sur l'échelle des distances (une division d'échelle - 1 km) la position du piéton 1 heure après avoir quitté la ville ; après 2 heures; dans 3 heures, etc. Quand viendra-t-il au village ?

370. Inégalité vraie ou fausse :

a) 85 678 > 48 - (369 - 78) ;

b) 7508 + 8534< 26 038?

371. Trouvez le sens de l'expression :

a) 36 366-17 366 : (200 - 162) ;
b) 2 355 264 : 58 + 1 526 112 : 56 ;
c) 85 408 - 408 (155 - 99);
d) 417 908 + 6073 56 + 627 044.

N. Ya. VILENKIN, V. I. ZHOKHOV, A. S. CHESNOKOV, S. I. SHVARTSBURD, Mathématiques 5e année, Manuel pour les établissements d'enseignement général

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