L'article parle de la transformation des expressions rationnelles. Considérons les types d'expressions rationnelles, leurs transformations, leurs regroupements et la mise entre parenthèses du facteur commun. Apprenons à représenter des expressions rationnelles fractionnaires sous forme de fractions rationnelles.
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Définition et exemples d'expressions rationnelles
Définition 1Les expressions composées de nombres, de variables, de parenthèses, de puissances avec les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication, de division avec présence d'une ligne de fraction sont appelées expressions rationnelles.
Par exemple, nous avons que 5, 2 3 x - 5, - 3 a b 3 - 1 c 2 + 4 a 2 + b 2 1 + a : (1 - b) , (x + 1) (y - 2) x 5 - 5 · x · y · 2 - 1 11 · x 3 .
Autrement dit, ce sont des expressions qui ne sont pas divisées en expressions avec des variables. L'étude des expressions rationnelles commence en 8e année, où elles sont appelées expressions rationnelles fractionnaires. Une attention particulière est accordée aux fractions du numérateur, qui sont transformées à l'aide de règles de transformation.
Cela permet de procéder à la transformation de fractions rationnelles de forme arbitraire. Une telle expression peut être considérée comme une expression avec la présence de fractions rationnelles et d'expressions entières avec des signes d'action.
Principaux types de transformations d'expressions rationnelles
Les expressions rationnelles sont utilisées pour effectuer des transformations identiques, des regroupements, des rapprochements similaires et d'autres opérations avec des nombres. Le but de ces expressions est la simplification.
Exemple 1
Convertissez l'expression rationnelle 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 .
Solution
On peut voir qu'une telle expression rationnelle est la différence entre 3 x x y - 1 et 2 x x y - 1. On remarque que leur dénominateur est identique. Cela signifie que la réduction des termes similaires prendra la forme
3 x x y - 1 - 2 x x y - 1 = x x y - 1 3 - 2 = x x y - 1
Répondre: 3 · x x · y - 1 - 2 · x x · y - 1 = x x · y - 1 .
Exemple 2
Convertir 2 x y 4 (- 4) x 2 : (3 x - x) .
Solution
Dans un premier temps, nous effectuons les actions entre parenthèses 3 · x − x = 2 · x. Nous représentons cette expression sous la forme 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2 : (3 · x - x) = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2 : 2 · x. Nous arrivons à une expression qui contient des opérations en une seule étape, c'est-à-dire qu'elle comporte une addition et une soustraction.
Nous nous débarrassons des parenthèses en utilisant la propriété division. Ensuite, nous obtenons que 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2 : 2 · x = 2 · x · y 4 · (- 4) · x 2 : 2 : x.
Nous regroupons les facteurs numériques avec la variable x, après quoi nous pouvons effectuer des opérations avec des puissances. Nous obtenons cela
2 x y 4 (- 4) x 2 : 2 : x = (2 (- 4) : 2) (x x 2 : x) y 4 = - 4 x 2 y 4
Répondre: 2 x y 4 (- 4) x 2 : (3 x - x) = - 4 x 2 y 4.
Exemple 3
Transformez une expression de la forme x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 .
Solution
Tout d’abord, nous transformons le numérateur et le dénominateur. Nous obtenons ensuite une expression de la forme (x · (x + 3) - (3 · x + 1)) : 1 2 · x · 4 + 2, et les actions entre parenthèses sont effectuées en premier. Au numérateur, les opérations sont effectuées et les facteurs sont regroupés. Nous obtenons alors une expression de la forme x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x 2 + 3 · x - 3 · x - 1 1 2 · 4 · x + 2 = x 2 - 1 2 x + 2 .
On transforme la formule de la différence des carrés au numérateur, on obtient alors ça
x 2 - 1 2 x + 2 = (x - 1) (x + 1) 2 (x + 1) = x - 1 2
Répondre: x · (x + 3) - (3 · x + 1) 1 2 · x · 4 + 2 = x - 1 2 .
Représentation des fractions rationnelles
Les fractions algébriques sont le plus souvent simplifiées une fois résolues. Chaque rationnel y est amené de différentes manières. Il est nécessaire d'effectuer toutes les opérations nécessaires avec les polynômes pour que l'expression rationnelle puisse finalement donner une fraction rationnelle.
Exemple 4
Présenté sous forme de fraction rationnelle a + 5 a · (a - 3) - a 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a.
Solution
Cette expression peut être représentée par 2 - 25 a + 3 · 1 a 2 + 5 · a. La multiplication s'effectue principalement selon les règles.
Nous devrions commencer par la multiplication, puis nous obtenons cela
une 2 - 25 une + 3 1 une 2 + 5 une = une - 5 (une + 5) une + 3 1 une (une + 5) = une - 5 (une + 5) 1 ( une + 3) une (une + 5) = une - 5 (une + 3) une
Nous présentons le résultat obtenu avec celui d'origine. Nous obtenons cela
une + 5 une · (une - 3) - une 2 - 25 une + 3 · 1 une 2 + 5 · une = une + 5 une · une - 3 - une - 5 une + 3 · une
Faisons maintenant la soustraction :
a + 5 a · a - 3 - a - 5 a + 3 · a = a + 5 · a + 3 a · (a - 3) · (a + 3) - (a - 5) · (a - 3) (a + 3) a (a - 3) = = a + 5 a + 3 - (a - 5) (a - 3) a (a - 3) (a + 3) = a 2 + 3 a + 5 a + 15 - (a 2 - 3 a - 5 a + 15) a (a - 3) (a + 3) = = 16 a a (a - 3) (a + 3) = 16 a - 3 (a + 3) = 16 et 2 - 9
Après quoi il est évident que l'expression originale prendra la forme 16 a 2 - 9.
Répondre: une + 5 une · (une - 3) - une 2 - 25 une + 3 · 1 une 2 + 5 · une = 16 une 2 - 9 .
Exemple 5
Exprimer x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x sous forme de fraction rationnelle.
Solution
L'expression donnée s'écrit sous la forme d'une fraction dont le numérateur a x x + 1 + 1 et le dénominateur 2 x - 1 1 + x. Il faut faire des transformations x x + 1 + 1 . Pour ce faire, vous devez ajouter une fraction et un nombre. On obtient que x x + 1 + 1 = x x + 1 + 1 1 = x x + 1 + 1 · (x + 1) 1 · (x + 1) = x x + 1 + x + 1 x + 1 = x + x + 1 x + 1 = 2 x + 1 x + 1
Il s'ensuit que x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 2 x - 1 1 + x
La fraction résultante peut s'écrire 2 x + 1 x + 1 : 2 x - 1 1 + x.
Après division on arrive à une fraction rationnelle de la forme
2 x + 1 x + 1 : 2 x - 1 1 + x = 2 x + 1 x + 1 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 (1 + x) (x + 1) (2 x - 1 ) = 2 x + 1 2 x - 1
Vous pouvez résoudre ce problème différemment.
Au lieu de diviser par 2 x - 1 1 + x, on multiplie par son inverse 1 + x 2 x - 1. Appliquons la propriété de distribution et trouvons que
x x + 1 + 1 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 : 2 x - 1 1 + x = x x + 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = = x x + 1 1 + x 2 x - 1 + 1 1 + x 2 x - 1 = x 1 + x (x + 1) 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = = x 2 x - 1 + 1 + x 2 x - 1 = x + 1 + x 2 x - 1 = 2 x + 1 2 x - 1
Répondre: x x + 1 + 1 2 · x - 1 1 + x = 2 · x + 1 2 · x - 1 .
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Cet article est dédié à transformation d'expressions rationnelles, pour la plupart fractionnairement rationnel, est l'une des questions clés du cours d'algèbre de 8e année. Tout d’abord, rappelons quels types d’expressions sont dites rationnelles. Nous nous concentrerons ensuite sur la réalisation de transformations standards avec des expressions rationnelles, telles que regrouper des termes, mettre des facteurs communs entre parenthèses, rapprocher des termes similaires, etc. Enfin, nous apprendrons à représenter les expressions rationnelles fractionnaires comme des fractions rationnelles.
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Définition et exemples d'expressions rationnelles
Les expressions rationnelles sont l'un des types d'expressions étudiées dans les cours d'algèbre à l'école. Donnons une définition.
Définition.
Les expressions composées de nombres, de variables, de parenthèses, de puissances avec des exposants entiers, reliés par des signes arithmétiques +, −, · et :, où la division peut être indiquée par une ligne de fraction, sont appelées expressions rationnelles.
Voici quelques exemples d'expressions rationnelles : .
Les expressions rationnelles commencent à être étudiées de manière ciblée dès la 7e année. De plus, en 7e année, on apprend les bases du travail avec ce qu'on appelle expressions rationnelles entières, c'est-à-dire avec des expressions rationnelles qui ne contiennent pas de division en expressions avec des variables. Pour ce faire, les monômes et les polynômes sont étudiés séquentiellement, ainsi que les principes d'exécution d'actions avec eux. Toutes ces connaissances permettent finalement d'effectuer des transformations d'expressions entières.
En 8e année, ils passent à l'étude d'expressions rationnelles contenant une division par une expression à variables appelées expressions rationnelles fractionnaires. Dans ce cas, une attention particulière est accordée à ce qu'on appelle fractions rationnelles(on les appelle aussi fractions algébriques), c'est-à-dire les fractions dont le numérateur et le dénominateur contiennent des polynômes. Cela permet finalement de convertir des fractions rationnelles.
Les compétences acquises permettent de passer à la transformation d'expressions rationnelles sous toute forme. Cela s'explique par le fait que toute expression rationnelle peut être considérée comme une expression composée de fractions rationnelles et d'expressions entières reliées par des signes d'opérations arithmétiques. Et nous savons déjà travailler avec des expressions entières et des fractions algébriques.
Principaux types de transformations d'expressions rationnelles
Avec les expressions rationnelles, vous pouvez effectuer n'importe quelle transformation d'identité de base, qu'il s'agisse de regrouper des termes ou des facteurs, de rapprocher des termes similaires, d'effectuer des opérations avec des nombres, etc. Généralement, le but d'effectuer ces transformations est simplification de l'expression rationnelle.
Exemple.
.
Solution.
Il est clair que cette expression rationnelle est la différence entre deux expressions et , et ces expressions sont similaires, puisqu’elles ont la même partie lettre. Ainsi, nous pouvons effectuer une réduction de termes similaires :
Répondre:
.
Il est clair que lorsque vous effectuez des transformations avec des expressions rationnelles, ainsi qu'avec toute autre expression, vous devez rester dans l'ordre accepté d'exécution des actions.
Exemple.
Effectuez une transformation d’expression rationnelle.
Solution.
Nous savons que les actions entre parenthèses sont exécutées en premier. Donc, tout d'abord, on transforme l'expression entre parenthèses : 3·x−x=2·x.
Vous pouvez maintenant remplacer le résultat obtenu par l'expression rationnelle originale : . Nous sommes donc arrivés à une expression contenant les actions d'une étape : l'addition et la multiplication.
Supprimons les parenthèses à la fin de l'expression en appliquant la propriété de division par un produit : .
Enfin, on peut regrouper les facteurs numériques et les facteurs avec la variable x, puis effectuer les opérations correspondantes sur les nombres et appliquer :.
Ceci termine la transformation de l'expression rationnelle et nous obtenons ainsi un monôme.
Répondre:
Exemple.
Convertir une expression rationnelle 
.
Solution.
Nous transformons d’abord le numérateur et le dénominateur. Cet ordre de transformation des fractions s'explique par le fait que la ligne d'une fraction est essentiellement une autre désignation de division, et l'expression rationnelle originale est essentiellement un quotient de la forme 
, et les actions entre parenthèses sont effectuées en premier.
Ainsi, au numérateur nous effectuons des opérations avec des polynômes, d'abord la multiplication, puis la soustraction, et au dénominateur nous regroupons les facteurs numériques et calculons leur produit : 
.
Imaginons aussi le numérateur et le dénominateur de la fraction résultante sous la forme d'un produit : du coup il est possible de réduire une fraction algébrique. Pour ce faire, nous utiliserons au numérateur formule de différence des carrés, et au dénominateur on retire les deux entre parenthèses, on a 
.
Répondre:
.
Ainsi, la première connaissance de la transformation des expressions rationnelles peut être considérée comme terminée. Passons, pour ainsi dire, à la partie la plus douce.
Représentation des fractions rationnelles
Le plus souvent, le but ultime de la transformation des expressions est de simplifier leur apparence. Dans cette optique, la forme la plus simple sous laquelle une expression rationnelle fractionnaire peut être convertie est une fraction rationnelle (algébrique) et, dans le cas particulier, un polynôme, un monôme ou un nombre.
Est-il possible de représenter n’importe quelle expression rationnelle comme une fraction rationnelle ? La réponse est oui. Expliquons pourquoi il en est ainsi.
Comme nous l'avons déjà dit, toute expression rationnelle peut être considérée comme des polynômes et des fractions rationnelles reliées par des signes plus, moins, multiplier et diviser. Toutes les opérations correspondantes avec des polynômes donnent une fraction polynomiale ou rationnelle. À son tour, n'importe quel polynôme peut être converti en fraction algébrique en l'écrivant avec le dénominateur 1. Et l’addition, la soustraction, la multiplication et la division de fractions rationnelles aboutissent à une nouvelle fraction rationnelle. Par conséquent, après avoir effectué toutes les opérations avec les polynômes et les fractions rationnelles dans une expression rationnelle, nous obtenons une fraction rationnelle.
Exemple.
Exprimer sous forme de fraction rationnelle l'expression 
.
Solution.
L'expression rationnelle originale est la différence entre une fraction et le produit de fractions de la forme 
. Selon l'ordre des opérations, il faut d'abord effectuer une multiplication, puis seulement une addition.
On commence par multiplier des fractions algébriques :
Nous substituons le résultat obtenu dans l'expression rationnelle originale : .
Nous sommes arrivés à la soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs : 
Ainsi, après avoir effectué des opérations avec des fractions rationnelles qui constituent l'expression rationnelle originale, nous l'avons présentée sous la forme d'une fraction rationnelle.
Répondre:
.
Pour consolider le matériel, nous analyserons la solution d'un autre exemple.
Exemple.
Exprimez une expression rationnelle sous forme de fraction rationnelle.
Comme nous le verrons ci-dessous, toutes les fonctions élémentaires n’ont pas d’intégrale exprimée en fonctions élémentaires. Il est donc très important d’identifier des classes de fonctions dont les intégrales sont exprimées en termes de fonctions élémentaires. La plus simple de ces classes est la classe des fonctions rationnelles.
Toute fonction rationnelle peut être représentée comme une fraction rationnelle, c'est-à-dire comme un rapport de deux polynômes :
Sans limiter la généralité du raisonnement, nous supposerons que les polynômes n’ont pas de racines communes.
Si le degré du numérateur est inférieur au degré du dénominateur, alors la fraction est dite propre, sinon la fraction est dite impropre.
Si la fraction est impropre, alors en divisant le numérateur par le dénominateur (selon la règle de division des polynômes), vous pouvez représenter cette fraction comme la somme d'un polynôme et d'une fraction propre :
voici un polynôme et a est une fraction propre.
Exemple t. Soit une fraction rationnelle impropre
En divisant le numérateur par le dénominateur (en utilisant la règle de division des polynômes), on obtient
Puisque l’intégration de polynômes n’est pas difficile, la principale difficulté de l’intégration de fractions rationnelles est d’intégrer des fractions rationnelles appropriées.
Définition. Fractions rationnelles propres de la forme
sont appelées fractions simples de types I, II, III et IV.
L'intégration des fractions les plus simples des types I, II et III n'est pas très difficile, nous réaliserons donc leur intégration sans aucune explication supplémentaire :
Des calculs plus complexes nécessitent l'intégration de fractions simples de type IV. Donnons-nous une intégrale de ce type :
Faisons la transformation :
La première intégrale est prise par substitution
La deuxième intégrale - nous la désignons par et l'écrivons sous la forme
Par hypothèse, les racines du dénominateur sont complexes, et donc, nous procédons ensuite comme suit :
Transformons l'intégrale :
En intégrant par parties, on a
En substituant cette expression par l'égalité (1), on obtient
Le membre de droite contient une intégrale du même type que mais l'exposant du dénominateur de l'intégrande est inférieur d'un ; ainsi, nous l'avons exprimé à travers . En continuant sur le même chemin, nous atteignons l'intégrale bien connue.
