Exemples sur le thème des fractions ordinaires. Procédure pour effectuer des opérations avec des fractions

Actions avec des fractions. Dans cet article, nous examinerons des exemples, le tout en détail avec des explications. Nous considérerons les fractions ordinaires. Nous examinerons les décimales plus tard. Je recommande de regarder le tout et de l’étudier séquentiellement.

1. Somme des fractions, différence des fractions.

Règle : lors de l'addition de fractions de dénominateurs égaux, le résultat est une fraction dont le dénominateur reste le même et son numérateur sera égal à la somme des numérateurs des fractions.
Règle : lors du calcul de la différence entre des fractions avec les mêmes dénominateurs, nous obtenons une fraction - le dénominateur reste le même et le numérateur de la seconde est soustrait du numérateur de la première fraction.

Notation formelle pour la somme et la différence de fractions de dénominateurs égaux :

Exemples (1) :

Il est clair que lorsque des fractions ordinaires sont données, alors tout est simple, mais que se passe-t-il si elles sont mélangées ? Rien de compliqué...

Option 1– vous pouvez les convertir en ordinaires puis les calculer.

Option 2– vous pouvez « travailler » séparément avec les parties entières et fractionnaires.

Exemples (2) :

Plus:

Que se passe-t-il si la différence de deux fractions mixtes est donnée et que le numérateur de la première fraction est inférieur au numérateur de la seconde ? Vous pouvez également agir de deux manières.

Exemples (3) :

*Converti en fractions ordinaires, calculé la différence, converti la fraction impropre résultante en fraction mixte.

*Nous l'avons décomposé en parties entières et fractionnaires, avons obtenu un trois, puis avons présenté 3 comme la somme de 2 et 1, dont un représenté par 11/11, puis avons trouvé la différence entre 11/11 et 7/11 et calculé le résultat. . Le sens des transformations ci-dessus est de prendre (sélectionner) une unité et de la présenter sous la forme d'une fraction avec le dénominateur dont nous avons besoin, puis nous pouvons en soustraire une autre à cette fraction.

Autre exemple :

Conclusion : il existe une approche universelle - afin de calculer la somme (différence) de fractions mixtes avec des dénominateurs égaux, elles peuvent toujours être converties en fractions impropres, puis effectuer l'action nécessaire. Après cela, si le résultat est une fraction impropre, nous la convertissons en fraction mixte.

Ci-dessus, nous avons examiné des exemples de fractions ayant des dénominateurs égaux. Et si les dénominateurs sont différents ? Dans ce cas, les fractions sont réduites au même dénominateur et l'action spécifiée est effectuée. Pour changer (transformer) une fraction, la propriété de base de la fraction est utilisée.

Regardons des exemples simples :

Dans ces exemples, on voit immédiatement comment l'une des fractions peut être transformée pour obtenir des dénominateurs égaux.

Si nous désignons des moyens de réduire des fractions au même dénominateur, alors nous appellerons celle-ci PREMIÈRE MÉTHODE.

Autrement dit, immédiatement lors de « l'estimation » d'une fraction, vous devez déterminer si cette approche fonctionnera - nous vérifions si le plus grand dénominateur est divisible par le plus petit. Et s'il est divisible, nous effectuons la transformation - nous multiplions le numérateur et le dénominateur pour que les dénominateurs des deux fractions deviennent égaux.

Regardez maintenant ces exemples :

Cette approche ne leur est pas applicable. Il existe également des moyens de réduire les fractions à un dénominateur commun ;

Méthode DEUX.

On multiplie le numérateur et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première :

*En fait, on réduit les fractions à la forme où les dénominateurs deviennent égaux. Ensuite, nous utilisons la règle pour additionner des fractions avec des dénominateurs égaux.

Exemple:

*Cette méthode peut être qualifiée d’universelle et elle fonctionne toujours. Le seul inconvénient est qu'après les calculs, vous risquez de vous retrouver avec une fraction qu'il faudra encore réduire.

Regardons un exemple :

On voit que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 5 :

Méthode TROIS.

Vous devez trouver le plus petit commun multiple (LCM) des dénominateurs. Ce sera le dénominateur commun. De quel genre de numéro s'agit-il ? Il s'agit du plus petit nombre naturel divisible par chacun des nombres.

Regardez, voici deux nombres : 3 et 4, il y a beaucoup de nombres qui sont divisibles par eux - ce sont 12, 24, 36, ... Le plus petit d'entre eux est 12. Ou 6 et 15, 30, 60, 90 sont divisible par eux.... Le plus petit est 30. La question est : comment déterminer ce plus petit commun multiple ?

Il existe un algorithme clair, mais cela peut souvent être fait immédiatement, sans calculs. Par exemple, selon les exemples ci-dessus (3 et 4, 6 et 15), aucun algorithme n'est nécessaire, nous avons pris de grands nombres (4 et 15), les avons doublés et vu qu'ils sont divisibles par le deuxième nombre, mais des paires de nombres peuvent être d'autres, par exemple 51 et 119.

Algorithme. Afin de déterminer le plus petit commun multiple de plusieurs nombres, il faut :

- décomposer chaque nombre en facteurs SIMPLES

— notez la décomposition du PLUS GRAND d'entre eux

- multipliez-le par les facteurs MANQUANTS d'autres nombres

Regardons des exemples :

50 et 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

dans l'expansion d'un plus grand nombre, un cinq manque

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 et 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

dans l'expansion d'un nombre plus grand, il manque deux et trois

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Le plus petit commun multiple de deux nombres premiers est leur produit

Question! Pourquoi est-il utile de trouver le plus petit commun multiple, puisque vous pouvez utiliser la deuxième méthode et simplement réduire la fraction résultante ? Oui, c'est possible, mais ce n'est pas toujours pratique. Regardez le dénominateur des nombres 48 et 72 si vous les multipliez simplement par 48∙72 = 3456. Vous conviendrez qu'il est plus agréable de travailler avec des nombres plus petits.

Regardons des exemples :

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

il manque un triple à l'expansion d'un plus grand nombre

=> CNP(51 119) = 3∙7∙17

Utilisons maintenant la première méthode :

*Regardez la différence dans les calculs, dans le premier cas il y en a un minimum, mais dans le second vous devez travailler séparément sur un morceau de papier, et même la fraction que vous avez reçue doit être réduite. Trouver le LOC simplifie considérablement le travail.

Plus d'exemples :

*Dans le deuxième exemple, il est clair que le plus petit nombre divisible par 40 et 60 est 120.

RÉSULTAT! ALGORITHME INFORMATIQUE GÉNÉRAL !
— on réduit les fractions aux fractions ordinaires s'il y a une partie entière.
- on ramène les fractions à un dénominateur commun (on regarde d'abord si un dénominateur est divisible par un autre ; s'il est divisible, alors on multiplie le numérateur et le dénominateur de cette autre fraction ; s'il n'est pas divisible, on agit par les autres méthodes indiqué ci-dessus).
- Après avoir reçu des fractions de dénominateurs égaux, nous effectuons des opérations (addition, soustraction).
- si nécessaire, on réduit le résultat.
- si nécessaire, sélectionnez alors la pièce entière.

2. Produit de fractions.

La règle est simple. Lors de la multiplication de fractions, leurs numérateurs et dénominateurs sont multipliés :

Exemples :

Maintenant que nous avons appris à additionner et multiplier des fractions individuelles, nous pouvons examiner des structures plus complexes. Par exemple, que se passe-t-il si le même problème implique d’ajouter, de soustraire et de multiplier des fractions ?

Tout d’abord, vous devez convertir toutes les fractions en fractions impropres. Ensuite, nous effectuons séquentiellement les actions requises - dans le même ordre que pour les nombres ordinaires. À savoir:

L'exponentiation est effectuée en premier - débarrassez-vous de toutes les expressions contenant des exposants ;
Puis - division et multiplication ;
La dernière étape est l'addition et la soustraction.

Bien sûr, s'il y a des parenthèses dans l'expression, l'ordre des opérations change - tout ce qui se trouve entre parenthèses doit être compté en premier. Et n'oubliez pas les fractions impropres : vous ne devez mettre en évidence la partie entière que lorsque toutes les autres actions sont déjà terminées.

Convertissons toutes les fractions de la première expression en fractions impropres, puis effectuons les étapes suivantes :

Trouvons maintenant la valeur de la deuxième expression. Il n'y a pas de fractions avec une partie entière, mais il y a des parenthèses, nous effectuons donc d'abord l'addition, puis seulement la division. Notez que 14 = 7 · 2. Alors:

Enfin, considérons le troisième exemple. Il y a des parenthèses et un diplôme ici - il vaut mieux les compter séparément. En considérant que 9 = 3 3, on a :

Faites attention au dernier exemple. Pour élever une fraction à une puissance, vous devez élever séparément le numérateur à cette puissance, et séparément le dénominateur.

Vous pouvez décider différemment. Si l'on rappelle la définition d'un degré, le problème se réduira à la multiplication habituelle des fractions :

Fractions à plusieurs étages

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que des fractions « pures », lorsque le numérateur et le dénominateur sont des nombres ordinaires. Ceci est tout à fait cohérent avec la définition d’une fraction numérique donnée dans la toute première leçon.

Mais que se passe-t-il si vous mettez un objet plus complexe au numérateur ou au dénominateur ? Par exemple, une autre fraction numérique ? De telles constructions surviennent assez souvent, surtout lorsque l'on travaille avec des expressions longues. Voici quelques exemples :

Il n'y a qu'une seule règle pour travailler avec des fractions à plusieurs niveaux : vous devez vous en débarrasser immédiatement. Supprimer des étages « supplémentaires » est assez simple, si vous rappelez que la barre oblique signifie l'opération de division standard. Par conséquent, toute fraction peut être réécrite comme suit :

En utilisant ce fait et en suivant la procédure, nous pouvons facilement réduire n’importe quelle fraction à plusieurs étages à une fraction ordinaire. Jetez un œil aux exemples :

Tâche. Convertissez des fractions à plusieurs étages en fractions ordinaires :

Dans chaque cas, nous réécrivons la fraction principale en remplaçant la ligne de démarcation par un signe de division. N'oubliez pas non plus que tout entier peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur de 1. C'est-à-dire 12 = 12/1 ; 3 = 3/1. On obtient :

Dans le dernier exemple, les fractions ont été annulées avant la multiplication finale.

Spécificités du travail avec des fractions à plusieurs niveaux

Il y a une subtilité dans les fractions à plusieurs niveaux dont il faut toujours se souvenir, sinon vous pouvez obtenir une mauvaise réponse, même si tous les calculs étaient corrects. Jetez un oeil :

Le numérateur contient le nombre unique 7 et le dénominateur contient la fraction 12/5 ;
Le numérateur contient la fraction 7/12 et le dénominateur contient le nombre distinct 5.

Ainsi, pour un enregistrement, nous avons eu deux interprétations complètement différentes. Si vous comptez, les réponses seront également différentes :

Pour garantir que l'enregistrement est toujours lu sans ambiguïté, utilisez une règle simple : la ligne de séparation de la fraction principale doit être plus longue que la ligne de la fraction imbriquée. De préférence plusieurs fois.

Si vous suivez cette règle, alors les fractions ci-dessus doivent s'écrire comme suit :

Oui, c'est probablement inesthétique et prend trop de place. Mais vous compterez correctement. Enfin, quelques exemples où des fractions à plusieurs étages apparaissent réellement :

Tâche. Trouvez le sens des expressions :

Travaillons donc avec le premier exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions impropres, puis effectuons les opérations d'addition et de division :

Faisons de même avec le deuxième exemple. Convertissons toutes les fractions en fractions impropres et effectuons les opérations requises. Afin de ne pas ennuyer le lecteur, j'omettra quelques calculs évidents. Nous avons:

Du fait que le numérateur et le dénominateur des fractions de base contiennent des sommes, la règle d'écriture des fractions à plusieurs étages est automatiquement observée. De plus, dans le dernier exemple, nous avons intentionnellement laissé 46/1 sous forme de fraction pour effectuer la division.

Je noterai également que dans les deux exemples, la barre de fraction remplace en fait les parenthèses : on a d'abord trouvé la somme, et ensuite seulement le quotient.

Certains diront que le passage aux fractions impropres dans le deuxième exemple était clairement redondant. C'est peut-être vrai. Mais en faisant cela, nous nous assurons contre les erreurs, car la prochaine fois, l'exemple pourrait s'avérer beaucoup plus compliqué. Choisissez vous-même ce qui est le plus important : la vitesse ou la fiabilité.

Les exemples avec des fractions sont l'un des éléments de base des mathématiques. Il existe de nombreux types d’équations avec des fractions. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées pour résoudre des exemples de ce type.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - règles générales

Pour résoudre des exemples avec des fractions de tout type, qu'il s'agisse d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division, vous devez connaître les règles de base :

Afin d'ajouter des expressions fractionnaires avec le même dénominateur (le dénominateur est le nombre situé en bas de la fraction, le numérateur est en haut), vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur le même.
Afin de soustraire une deuxième expression fractionnaire (avec le même dénominateur) d’une fraction, vous devez soustraire leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez trouver le plus petit dénominateur commun.
Afin de trouver un produit fractionnaire, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs et, si possible, réduire.
Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la première fraction par la deuxième fraction inversée.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - pratique

Règle 1, exemple 1 :

Calculez 3/4 +1/4.

Selon la règle 1, si deux (ou plus) fractions ont le même dénominateur, vous additionnez simplement leurs numérateurs. On obtient : 3/4 + 1/4 = 4/4. Si une fraction a le même numérateur et le même dénominateur, la fraction sera égale à 1.

Réponse : 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Règle 2, exemple 1 :

Calculer : 3/4 – 1/4

En utilisant la règle numéro 2, pour résoudre cette équation, vous devez soustraire 1 de 3 et laisser le dénominateur identique. Nous obtenons 2/4. Puisque deux 2 et 4 peuvent être réduits, nous réduisons et obtenons 1/2.

Réponse : 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Règle 3, exemple 1

Calculer : 3/4 + 1/6

Solution : En utilisant la 3ème règle, on trouve le plus petit dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est le nombre divisible par les dénominateurs de toutes les expressions fractionnaires de l'exemple. Ainsi, nous devons trouver le nombre minimum qui sera divisible à la fois par 4 et par 6. Ce nombre est 12. Nous écrivons 12 comme dénominateur. Divisons 12 par le dénominateur de la première fraction, nous obtenons 3, multiplions par 3, écrivons. 3 au numérateur *3 et signe +. Divisez 12 par le dénominateur de la deuxième fraction, nous obtenons 2, multipliez 2 par 1, écrivez 2*1 au numérateur. On obtient donc une nouvelle fraction avec un dénominateur égal à 12 et un numérateur égal à 3*3+2*1=11. 11/12.

Réponse : 11/12

Règle 3, exemple 2 :

Calculez 3/4 – 1/6. Cet exemple est très similaire au précédent. Nous faisons toutes les mêmes étapes, mais au numérateur au lieu du signe +, nous écrivons un signe moins. On obtient : 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Réponse : 7/12

Règle 4, exemple 1 :

Calculer : 3/4 * 1/4

En utilisant la quatrième règle, on multiplie le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde. 3*1/4*4 = 3/16.

Réponse : 3/16

Règle 4, exemple 2 :

Calculez 2/5 * 10/4.

Cette fraction peut être réduite. Dans le cas d'un produit, le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la seconde et le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première sont annulés.

2 annules sur 4. 10 annulent sur 5. Nous obtenons 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Réponse : 2/5 * 10/4 = 1

Règle 5, exemple 1 :

Calculer : 3/4 : 5/6

En utilisant la 5ème règle, on obtient : 3/4 : 5/6 = 3/4 * 6/5. On réduit la fraction selon le principe de l'exemple précédent et on obtient 9/10.

Réponse : 9/10.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - équations fractionnaires

Les équations fractionnaires sont des exemples où le dénominateur contient une inconnue. Afin de résoudre une telle équation, vous devez utiliser certaines règles.

Regardons un exemple :

Résolvez l'équation 15/3x+5 = 3

Rappelons qu'on ne peut pas diviser par zéro, c'est-à-dire la valeur du dénominateur ne doit pas être nulle. Lors de la résolution de tels exemples, cela doit être indiqué. Il existe à cet effet une OA (plage de valeurs admissibles).

Donc 3x+5 ≠ 0.
Donc : 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

À x = 5/3, l’équation n’a tout simplement pas de solution.

Après avoir spécifié l’ODZ, la meilleure façon de résoudre cette équation est de se débarrasser des fractions. Pour ce faire, nous présentons d'abord toutes les valeurs non fractionnaires sous forme de fraction, en l'occurrence le nombre 3. Nous obtenons : 15/(3x+5) = 3/1. Pour vous débarrasser des fractions, vous devez multiplier chacune d’elles par le plus petit dénominateur commun. Dans ce cas, ce sera (3x+5)*1. Séquence d'actions :

Multipliez 15/(3x+5) par (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
Ouvrez les parenthèses : 15*(3x+5) = 45x + 75.
On fait la même chose avec le membre droit de l'équation : 3*(3x+5) = 9x + 15.
Égalisez les côtés gauche et droit : 45x + 75 = 9x +15
Déplacez les X vers la gauche, les nombres vers la droite : 36x = – 50
Trouvez x : x = -50/36.
On réduit : -50/36 = -25/18

Réponse : ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - inégalités fractionnaires

Les inégalités fractionnaires du type (3x-5)/(2-x)≥0 sont résolues en utilisant l'axe des nombres. Regardons cet exemple.

Séquence d'actions :

Nous assimilons le numérateur et le dénominateur à zéro : 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
2. 2-x=0 => x=2
Nous dessinons un axe numérique en y écrivant les valeurs résultantes.
Tracez un cercle sous la valeur. Il existe deux types de cercles : remplis et vides. Un cercle plein signifie que la valeur donnée se situe dans la plage de solution. Un cercle vide indique que cette valeur n'est pas incluse dans la plage de solutions.
Puisque le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, il y aura un cercle vide sous le 2ème.

Pour déterminer les signes, nous substituons n'importe quel nombre supérieur à deux dans l'équation, par exemple 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. la valeur est négative, ce qui signifie que nous écrivons un moins au-dessus de la zone après les deux. Remplacez ensuite X par n'importe quelle valeur de l'intervalle de 5/3 à 2, par exemple 1. La valeur est à nouveau négative. Nous écrivons un moins. On répète la même chose avec la zone située jusqu'au 5/3. Nous remplaçons n'importe quel nombre inférieur à 5/3, par exemple 1. Encore une fois, moins.

Puisque nous nous intéressons aux valeurs de x pour lesquelles l'expression sera supérieure ou égale à 0, et qu'il n'y a pas de telles valeurs (il y a des moins partout), cette inégalité n'a pas de solution, c'est-à-dire x = Ø (un ensemble vide).

Réponse : x = Ø

Fraction- une forme de représentation des nombres en mathématiques. La barre de fraction indique l’opération de division. Numérateur la fraction est appelée le dividende, et dénominateur- diviseur. Par exemple, dans une fraction, le numérateur est 5 et le dénominateur est 7.

Correct Une fraction dont le numérateur est supérieur à son dénominateur est appelée une fraction. Si une fraction est propre, alors le module de sa valeur est toujours inférieur à 1. Toutes les autres fractions sont faux.

La fraction s'appelle mixte, s'il est écrit sous forme d'entier et de fraction. C'est la même chose que la somme de ce nombre et de la fraction :

La propriété principale d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre, alors la valeur de la fraction ne changera pas, c'est-à-dire par exemple :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Pour amener deux fractions à un dénominateur commun, il vous faut :

Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde
Multipliez le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première
Remplacez les dénominateurs des deux fractions par leur produit

Opérations avec des fractions

Ajout. Pour ajouter deux fractions dont vous avez besoin

Ajoutez les nouveaux numérateurs des deux fractions et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Soustraction. Pour soustraire une fraction d’une autre, il faut

Réduire les fractions à un dénominateur commun
Soustrayez le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Multiplication. Pour multiplier une fraction par une autre, multipliez leurs numérateurs et dénominateurs :

Division. Pour diviser une fraction par une autre, multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et multipliez le dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde :

Cet article est un aperçu général du fonctionnement avec des fractions. Ici, nous formulerons et justifierons les règles d'addition, de soustraction, de multiplication, de division et d'exponentiation des fractions de la forme générale A/B, où A et B sont des nombres, des expressions numériques ou des expressions avec des variables. Comme d'habitude, nous fournirons au matériel des exemples explicatifs avec des descriptions détaillées des solutions.

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Règles pour effectuer des opérations avec des fractions numériques générales

Admettons que par fractions numériques générales nous entendons des fractions dans lesquelles le numérateur et/ou le dénominateur peuvent être représentés non seulement par des nombres naturels, mais aussi par d'autres nombres ou expressions numériques. Pour plus de clarté, voici quelques exemples de telles fractions : , .

Nous connaissons les règles selon lesquelles ils sont exécutés. En utilisant les mêmes règles, vous pouvez effectuer des opérations avec des fractions générales :

Justification des règles

Pour justifier la validité des règles d'exécution d'opérations avec des fractions numériques générales, vous pouvez partir des points suivants :

La barre oblique est essentiellement un signe de division,
la division par un nombre non nul peut être considérée comme une multiplication par l'inverse du diviseur (cela explique immédiatement la règle de division des fractions),
propriétés des opérations avec des nombres réels,
et sa compréhension générale,

Ils permettent d'effectuer les transformations suivantes qui justifient les règles d'addition, de soustraction de fractions de dénominateurs semblables et différents, ainsi que la règle de multiplication des fractions :

Exemples

Donnons des exemples d'opérations avec des fractions générales selon les règles apprises dans le paragraphe précédent. Disons tout de suite que généralement après avoir effectué des actions avec des fractions, la fraction résultante nécessite une simplification et que le processus de simplification d'une fraction est souvent plus compliqué que d'effectuer des actions précédentes. Nous ne nous attarderons pas en détail sur la simplification des fractions (les transformations correspondantes sont abordées dans l'article transformer les fractions), afin de ne pas nous laisser distraire du sujet qui nous intéresse.

Commençons par des exemples d’addition et de soustraction de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Commençons par additionner les fractions et . Les dénominateurs sont évidemment égaux. Selon la règle correspondante, nous écrivons une fraction dont le numérateur est égal à la somme des numérateurs des fractions d'origine, et laissons le même dénominateur, nous avons. L'addition est faite, il ne reste plus qu'à simplifier la fraction résultante : . Donc, .

La solution aurait pu être traitée différemment : faire d'abord le passage aux fractions ordinaires, puis effectuer l'addition. Avec cette approche, nous avons .

Maintenant, soustrayons de la fraction fraction . Les dénominateurs des fractions sont égaux, nous suivons donc la règle de soustraction des fractions avec les mêmes dénominateurs :

Passons aux exemples d'addition et de soustraction de fractions avec différents dénominateurs. La principale difficulté ici est de ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour les fractions générales, il s'agit d'un sujet assez vaste, nous l'examinerons en détail dans un article séparé. amener les fractions à un dénominateur commun. Pour l'instant, nous nous limiterons à quelques recommandations générales, car pour le moment nous nous intéressons davantage à la technique permettant d'effectuer des opérations avec des fractions.

En général, le processus est similaire à la réduction de fractions ordinaires à un dénominateur commun. C'est-à-dire que les dénominateurs sont présentés sous forme de produits, puis tous les facteurs du dénominateur de la première fraction sont pris et les facteurs manquants du dénominateur de la deuxième fraction leur sont ajoutés.

Lorsque les dénominateurs des fractions ajoutées ou soustraites n'ont pas de facteurs communs, il est alors logique de prendre leur produit comme dénominateur commun. Donnons un exemple.

Disons que nous devons effectuer l'addition de fractions et 1/2. Ici, comme dénominateur commun, il est logique de prendre le produit des dénominateurs des fractions originales, c'est-à-dire . Dans ce cas, le facteur supplémentaire pour la première fraction sera 2. Après avoir multiplié le numérateur et le dénominateur par ceux-ci, la fraction prendra la forme . Et pour la deuxième fraction, le facteur supplémentaire est l’expression. Avec son aide, la fraction 1/2 est réduite à la forme . Il ne reste plus qu'à additionner les fractions obtenues avec les mêmes dénominateurs. Voici un résumé de l’ensemble de la solution :

Dans le cas des fractions générales, nous ne parlons plus du plus petit dénominateur commun, auquel sont habituellement réduites les fractions ordinaires. Bien que dans ce domaine, il soit toujours conseillé de rechercher un certain minimalisme. Nous voulons dire par là qu'il ne faut pas immédiatement prendre le produit des dénominateurs des fractions originales comme dénominateur commun. Par exemple, il n'est pas du tout nécessaire de prendre le dénominateur commun des fractions et du produit . Ici, nous pouvons prendre .

Passons aux exemples de multiplication de fractions générales. Multiplions les fractions et . La règle pour effectuer cette action nous demande d'écrire une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions originales et le dénominateur est le produit des dénominateurs. Nous avons . Ici, comme dans de nombreux autres cas, lors de la multiplication de fractions, vous pouvez réduire la fraction : .

La règle de division des fractions permet de passer de la division à la multiplication par la fraction réciproque. Ici, vous devez vous rappeler que pour obtenir l'inverse d'une fraction donnée, vous devez échanger le numérateur et le dénominateur de la fraction donnée. Voici un exemple du passage de la division de fractions numériques générales à la multiplication : . Il ne reste plus qu'à effectuer la multiplication et simplifier la fraction obtenue (si nécessaire, voir la transformation des expressions irrationnelles) :

En conclusion des informations contenues dans ce paragraphe, rappelons que tout nombre ou expression numérique peut être représenté comme une fraction avec un dénominateur 1, par conséquent, l'addition, la soustraction, la multiplication et la division de nombres et de fractions peuvent être considérées comme effectuant l'opération correspondante avec des fractions, une dont un au dénominateur. Par exemple, remplacer dans l'expression racine de trois par une fraction, on passe de la multiplication d'une fraction par un nombre à la multiplication de deux fractions : .

Faire des choses avec des fractions contenant des variables

Les règles de la première partie de cet article s’appliquent également à l’exécution d’opérations avec des fractions contenant des variables. Justifions le premier d'entre eux - la règle d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs identiques, les autres sont prouvées absolument de la même manière.

Montrons que pour toutes expressions A, C et D (D n'est pas identiquement égal à zéro) l'égalité est vraie sur sa plage de valeurs admissibles de variables.

Prenons un certain ensemble de variables de l'ODZ. Soit les expressions A, C et D prennent les valeurs a 0, c 0 et d 0 pour ces valeurs des variables. Ensuite, le remplacement des valeurs des variables de l'ensemble sélectionné dans l'expression le transforme en une somme (différence) de fractions numériques avec des dénominateurs similaires de la forme , qui, selon la règle d'addition (soustraction) de fractions numériques avec des dénominateurs similaires , est égal à . Mais substituer les valeurs des variables de l'ensemble sélectionné dans l'expression la transforme en la même fraction. Cela signifie que pour l'ensemble sélectionné de valeurs de variables de l'ODZ, les valeurs des expressions et sont égales. Il est clair que les valeurs des expressions indiquées seront égales pour tout autre ensemble de valeurs de variables de l'ODZ, ce qui signifie que les expressions et sont identiquement égales, c'est-à-dire que l'égalité prouvée est vraie .

Exemples d'ajout et de soustraction de fractions avec des variables

Lorsque les dénominateurs des fractions ajoutées ou soustraites sont les mêmes, alors tout est assez simple : les numérateurs sont ajoutés ou soustraits, mais le dénominateur reste le même. Il est clair que la fraction obtenue ensuite est simplifiée si nécessaire et possible.

Notez que parfois les dénominateurs des fractions ne diffèrent qu'à première vue, mais en fait ce sont des expressions identiques, comme par exemple : et , ou et . Et parfois, il suffit de simplifier les fractions originales pour que leurs dénominateurs identiques « apparaissent ».

Exemple.

, b) , V) .

Solution.

a) Nous devons soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. D'après la règle correspondante, on laisse le dénominateur identique et on soustrait les numérateurs, on a . L'action est terminée. Mais vous pouvez aussi ouvrir les parenthèses au numérateur et présenter des termes similaires : .

b) Évidemment, les dénominateurs des fractions ajoutées sont les mêmes. Par conséquent, nous additionnons les numérateurs et laissons le même dénominateur : . Ajout terminé. Mais il est facile de voir que la fraction résultante peut être réduite. En effet, le numérateur de la fraction résultante peut être réduit en utilisant la formule carré de la somme comme (lgx+2) 2 (voir formules de multiplication abrégée), ainsi les transformations suivantes ont lieu : .

c) Fractions en somme ont des dénominateurs différents. Mais, après avoir transformé l'une des fractions, vous pouvez procéder à l'addition de fractions avec les mêmes dénominateurs. Nous allons montrer deux solutions.

Première façon. Le dénominateur de la première fraction peut être factorisé à l'aide de la formule de la différence des carrés, puis réduire cette fraction : . Ainsi, . Cela ne fait toujours pas de mal de se libérer de l'irrationalité du dénominateur de la fraction : .

Deuxième façon. Multiplier le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction par (cette expression ne disparaît pour aucune valeur de la variable x de l'ODZ pour l'expression originale) permet d'atteindre deux objectifs à la fois : se libérer de l'irrationalité et passer à l'ajout de fractions avec les mêmes dénominateurs. Nous avons

Répondre:

UN) , b) , V) .

Le dernier exemple nous a amené à la question de la réduction des fractions à un dénominateur commun. Là, nous sommes arrivés presque accidentellement aux mêmes dénominateurs en simplifiant l’une des fractions ajoutées. Mais dans la plupart des cas, lors de l'addition et de la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents, vous devez délibérément ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour ce faire, les dénominateurs des fractions sont généralement présentés sous forme de produits, tous les facteurs du dénominateur de la première fraction sont pris et les facteurs manquants du dénominateur de la deuxième fraction leur sont ajoutés.

Exemple.

Effectuer des opérations avec des fractions : a) , b) , c) .

Solution.

a) Il n’est pas nécessaire de faire quoi que ce soit avec les dénominateurs des fractions. Comme dénominateur commun, nous prenons le produit . Dans ce cas, le facteur supplémentaire pour la première fraction est l'expression et pour la deuxième fraction - le nombre 3. Ces facteurs supplémentaires amènent les fractions à un dénominateur commun, ce qui nous permet plus tard d'effectuer l'action dont nous avons besoin, nous avons

b) Dans cet exemple, les dénominateurs sont déjà représentés sous forme de produits et ne nécessitent aucune transformation supplémentaire. Évidemment, les facteurs dans les dénominateurs ne diffèrent que par les exposants. Par conséquent, comme dénominateur commun, nous prenons le produit des facteurs avec les exposants les plus élevés, c'est-à-dire . Ensuite, le facteur supplémentaire pour la première fraction sera x 4 et pour la seconde - ln(x+1) . Nous sommes maintenant prêts à soustraire des fractions :

c) Et dans ce cas, nous travaillerons d’abord avec les dénominateurs des fractions. Les formules de la différence des carrés et du carré de la somme permettent de passer de la somme originale à l'expression . Il est désormais clair que ces fractions peuvent être réduites à un dénominateur commun . Avec cette approche, la solution ressemblera à ceci :

Répondre:

UN)

b)

V)

Exemples de multiplication de fractions avec des variables

La multiplication de fractions produit une fraction dont le numérateur est le produit des numérateurs des fractions d'origine et le dénominateur est le produit des dénominateurs. Ici, comme vous pouvez le constater, tout est familier et simple, et on ne peut qu'ajouter que la fraction obtenue grâce à cette action s'avère souvent réductible. Dans ces cas, elle est réduite, à moins bien entendu que cela ne soit nécessaire et justifié.