Le principe d'Ostrograd Hamilton - astuces cinématiques. Principe variationnel de Hamilton-Ostrogradsky dans les espaces de configuration et de phase

Hamilton Hound La race a un autre nom – « Hamilton Stevare ». Sorti au 19ème siècle. en Suède par Earl Hamilton, fondateur du Swedish Kennel Club, suite au croisement du Foxhound anglais et du chien courant allemand. Le HoundHound de Hamilton fait référence à

Ils y obéissent et ce principe est donc l'une des dispositions clés de la physique moderne. Les équations de mouvement obtenues grâce à son aide sont appelées équations d'Euler-Lagrange.

La première formulation du principe a été donnée par P. Maupertuis dans l'année, soulignant immédiatement son caractère universel, le considérant applicable à l'optique et à la mécanique. De ce principe il tira les lois de la réflexion et de la réfraction de la lumière.

Histoire

Maupertuis est arrivé à ce principe du sentiment que la perfection de l'Univers exige une certaine économie dans la nature et contredit toute dépense inutile d'énergie. Le mouvement naturel doit être tel qu'il fasse une certaine quantité minimum. Il ne lui restait plus qu’à trouver cette valeur, ce qu’il a continué à faire. C'était le produit de la durée (temps) du mouvement à l'intérieur du système par deux fois la valeur, que nous appelons maintenant l'énergie cinétique du système.

Euler (dans "Réflexions sur quelques lois générales de la nature", 1748) adopte le principe de la moindre quantité d'action, appelant l'action « effort ». Son expression en statique correspond à ce que nous appellerions maintenant l'énergie potentielle, de sorte que son énoncé de moindre action en statique équivaut à la condition d'énergie potentielle minimale pour une configuration d'équilibre.

En mécanique classique

Le principe de moindre action constitue la base fondamentale et standard des formulations lagrangiennes et hamiltoniennes de la mécanique.

Tout d’abord, regardons la construction comme ceci : Mécanique lagrangienne. En prenant l'exemple d'un système physique à un degré de liberté, rappelons qu'une action est une fonctionnelle par rapport à des coordonnées (généralisées) (dans le cas d'un degré de liberté - une coordonnée), c'est-à-dire qu'elle s'exprime par de telle sorte que chaque version imaginable de la fonction soit associée à un certain nombre - une action (en ce sens, on peut dire qu'une action en tant que fonctionnelle est une règle qui permet à toute fonction donnée de calculer un nombre bien défini - également appelé une action). L'action ressemble à :

où est le lagrangien du système, dépendant de la coordonnée généralisée, de sa dérivée première par rapport au temps, et aussi, éventuellement, explicitement du temps. Si le système a un plus grand nombre de degrés de liberté, alors le lagrangien dépend d'un plus grand nombre de coordonnées généralisées et de leurs dérivées premières par rapport au temps. Ainsi, l’action est une fonctionnelle scalaire dépendant de la trajectoire du corps.

Le fait que l'action soit scalaire facilite son écriture dans n'importe quelle coordonnée généralisée, l'essentiel est que la position (configuration) du système soit caractérisée sans ambiguïté par celles-ci (par exemple, au lieu de coordonnées cartésiennes, celles-ci peuvent être polaires coordonnées, distances entre points du système, angles ou leurs fonctions, etc. .d.).

L’action peut être calculée pour une trajectoire complètement arbitraire, aussi « sauvage » et « contre nature » soit-elle. Cependant, en mécanique classique, parmi l'ensemble des trajectoires possibles, il n'y en a qu'une seule que le corps suivra réellement. Le principe d'action stationnaire donne précisément la réponse à la question de savoir comment le corps va réellement bouger :

Cela signifie que si le lagrangien du système est donné, alors en utilisant le calcul des variations, nous pouvons établir exactement comment le corps se déplacera en obtenant d'abord les équations du mouvement - les équations d'Euler-Lagrange, puis en les résolvant. Cela permet non seulement de généraliser sérieusement la formulation de la mécanique, mais aussi de choisir les coordonnées les plus pratiques pour chaque problème spécifique, sans se limiter aux problèmes cartésiens, ce qui peut être très utile pour obtenir les équations les plus simples et les plus faciles à résoudre.

où est la fonction de Hamilton de ce système ; - des coordonnées (généralisées), - des impulsions conjuguées (généralisées), qui caractérisent ensemble à chaque instant donné l'état dynamique du système et, chacune étant fonction du temps, caractérisant ainsi l'évolution (mouvement) du système. Dans ce cas, pour obtenir les équations du mouvement du système sous la forme des équations canoniques de Hamilton, il faut faire varier l’action ainsi écrite indépendamment pour tout et .

Il convient de noter que si à partir des conditions du problème il est en principe possible de trouver la loi du mouvement, alors celle-ci est automatiquement Pas signifie qu'il est possible de construire une fonctionnelle qui prend une valeur stationnaire lors d'un mouvement vrai. Un exemple est le mouvement conjoint de charges électriques et de monopôles - charges magnétiques - dans un champ électromagnétique. Leurs équations de mouvement ne peuvent pas être dérivées du principe d'action stationnaire. De même, certains systèmes hamiltoniens ont des équations de mouvement qui ne peuvent être dérivées de ce principe.

Exemples

Des exemples triviaux aident à évaluer l'utilisation du principe de fonctionnement à travers les équations d'Euler-Lagrange. Particule libre (masse m et la vitesse v) dans l’espace euclidien se déplace en ligne droite. En utilisant les équations d'Euler-Lagrange, cela peut être représenté en coordonnées polaires comme suit. En l'absence de potentiel, la fonction de Lagrange est simplement égale à l'énergie cinétique

dans un système de coordonnées orthogonales.

En coordonnées polaires, l'énergie cinétique, et donc la fonction de Lagrange, devient

Les composantes radiales et angulaires des équations deviennent respectivement :

Résoudre ces deux équations

Voici une notation conditionnelle pour une intégration fonctionnelle infiniment multiple sur toutes les trajectoires x(t), et c'est la constante de Planck. Nous soulignons qu'en principe, l'action dans l'exponentielle apparaît (ou peut apparaître) elle-même lors de l'étude de l'opérateur d'évolution en mécanique quantique, mais pour les systèmes qui ont un analogue classique (non quantique) exact, elle est exactement égale à l'habituel action classique.

L'analyse mathématique de cette expression dans la limite classique - pour des oscillations suffisamment grandes, c'est-à-dire très rapides de l'exponentielle imaginaire - montre que l'écrasante majorité de toutes les trajectoires possibles dans cette intégrale s'annulent dans la limite (formellement pour ). Pour presque tous les chemins, il existe un chemin sur lequel le déphasage sera exactement le contraire, et leur contribution totale sera nulle. Seules les trajectoires pour lesquelles l'action est proche de la valeur extrême (pour la plupart des systèmes - au minimum) ne sont pas réduites. Il s’agit d’un fait purement mathématique issu de la théorie des fonctions d’une variable complexe ; Par exemple, la méthode des phases stationnaires est basée sur celle-ci.

En conséquence, la particule, en plein accord avec les lois de la mécanique quantique, se déplace simultanément le long de toutes les trajectoires, mais dans des conditions normales, seules les trajectoires proches de la stationnaire (c'est-à-dire classiques) contribuent aux valeurs observées. Puisque la mécanique quantique se transforme en mécanique classique dans la limite des hautes énergies, on peut supposer que cela est dérivation mécanique quantique du principe classique de stationnarité de l'action.

En théorie quantique des champs

Dans la théorie quantique des champs, le principe de l’action stationnaire est également appliqué avec succès. La densité lagrangienne inclut ici les opérateurs des champs quantiques correspondants. Bien qu'il soit ici essentiellement plus correct (à l'exception de la limite classique et en partie quasi-classique) de parler non pas du principe de stationnarité de l'action, mais de l'intégration de Feynman le long de trajectoires dans la configuration ou l'espace des phases de ces champs - en utilisant la densité lagrangienne que nous venons de mentionner.

Autres généralisations

Plus largement, une action est comprise comme une fonctionnelle qui définit une application d'un espace de configuration à un ensemble de nombres réels et, en général, elle n'a pas besoin d'être une intégrale, car des actions non locales sont possibles en principe, au moins théoriquement. De plus, un espace de configuration n’est pas nécessairement un espace de fonctions car il peut avoir une géométrie non commutative.

L'idée qui sous-tend tous les principes intégraux et certains principes différentiels est la position selon laquelle le mouvement réel d'un système mécanique confère une extrémité à une certaine quantité physique. Pour la formulation mathématique de cette position, il faut, comme précédemment, introduire en considération, à côté du mouvement réel, un ensemble de mouvements concevables, en les subordonnant à des exigences bien définies.

La formulation des principes intégraux s'effectue dans l'espace de configuration. Rappelons que pour un système à degrés de liberté, les coordonnées généralisées
, définissant la configuration du système à un moment donné , sont traités comme des coordonnées cartésiennes dans le -espace dimensionnel, qui est un espace de configuration. Au fil du temps, l'état d'un système mécanique change et le point représentant ce système décrit une certaine courbe. Il convient de considérer le mouvement du système comme le mouvement du point représentatif le long de cette courbe. Temps avec cette considération est un paramètre, et chaque point de la trajectoire correspondra à une ou plusieurs valeurs .

Si on s'intéresse à la position du système sur la trajectoire de configuration à chaque instant , alors vous devez ajouter un autre axe
. Nous obtiendrons ensuite un « graphique multidimensionnel » du mouvement du système que nous considérons. On peut aussi étudier les projections d'un graphe multidimensionnel sur certains plans, disons (Fig. 2.7). Sur l'image UN B sont des projections du point représentatif à des moments Et Ainsi, la ligne continue représente le réel, la ligne pointillée représente l'un des mouvements imaginables.

Le principe intégral est une déclaration sur la manière dont le mouvement réel d'un système se produit sur une période de temps finie (et non infinitésimale !).
. Qu'en était-il du système jusqu'à présent ? , nous ne sommes pas intéressés. Mais tant que les instants initiaux et finaux du temps sont fixés, on pense que le système mécanique, avec tous les mouvements imaginables à ce moment précis, passe par un point UN, sur le moment - DANS; ces points correspondent aux positions initiales et finales du système dans son mouvement réel.

La formulation la plus générale de la position sur le mouvement des systèmes mécaniques est contenue dans ce qu'on appelle le principe de moindre action (on l'appelle également le principe de Hamilton-Ostrogradsky) :

Mouvement réel d'un système mécanique dans l'intervalle de temps allant deavanttelle que l'intégrale, appelée fonction d'action et égal

, (60.7)

Où
-- le Lagrangien d'un système mécanique donné a un extremum (minimum). Variable cela ne varie pas.

En d’autres termes, lors d’un mouvement réel, la variation de l’action doit être nulle.

(61.7)

à condition que toutes les trajectoires de configuration à la fois Et passer par les points de départ et d'arrivée du mouvement réel, c'est-à-dire

Ce principe, contrairement au principe différentiel de D’Alembert, est intégral dans le sens où il contient une déclaration sur le mouvement du système dans son ensemble sur une période de temps finie.
. En fait, les équations de Lagrange en découlent, ce qui permet d'obtenir, à partir du principe de moindre action, toute la dynamique d'un système mécanique.

Laissez les fonctions
, décrire un mouvement réel, c'est-à-dire
-les fonctions pour lesquelles a un minimum. Considérons un ensemble de fonctions
Où
- variations de fonctions
, qui sont supposés petits par rapport à
tout au long de l'intervalle de temps à partir de avant . D'ailleurs, tout
satisfaire les relations (62.7). Calculons la soi-disant première variation , en gardant à l'esprit que la fonction de Lagrange peut dépendre de coordonnées généralisées , vitesses généralisées
, et le temps :

Parce que le
, deuxième mandat en
peut être intégré par pièces et obtenir

.

En raison des conditions (62.7), le montant

disparaît, et l'intégrale restante sera égale à zéro pour des valeurs arbitraires
seulement lorsque chaque terme de la somme de l'intégrande disparaît. Ainsi, on obtient les équations de Lagrange du 2ème type

. (63.7)

Il est utile de se rappeler qu'en résolvant le problème de l'extremum d'une fonction, on obtient un système d'équations finies, à partir duquel on trouve le point auquel la fonction atteint une valeur extrémale. Dans ce cas, nous avons affaire à une fonctionnelle, une solution au problème extremum, qui est donnée par un système d'équations différentielles du 2ème ordre. A partir de ces équations, on trouve une droite dans l'espace de configuration, définie par les fonctions
, auquel la fonctionnalité atteint un minimum. Cette ligne est dite extrême.

Puisque la tâche de construction d'un modèle mécanique particulier est de compiler les équations du mouvement, nous voyons qu'en fait la dynamique du système est déterminée par une fonction - le lagrangien, puisque c'est cette fonction qui résout le problème. Ainsi, le lagrangien d'un système est un objet physique intéressant dont l'étude est nécessaire en relation avec des problèmes de dynamique. En particulier, du principe de moindre action, il ressort clairement que la fonction n'est défini que jusqu'à l'addition de la dérivée totale d'une fonction arbitraire de coordonnées et de temps. Cela doit être compris ainsi : un système défini par ses équations du mouvement correspond à plus d'une fonction de Lagrange . En effet, qu'il y ait
relatif à rapport

(64.7)

,

.

Mais depuis
,

et donc les équations de Lagrange obtenues à l'aide des fonctions Et
, même. L'ambiguïté dans la définition de la fonction de Lagrange de la forme (64.7) n'affecte pas les équations du mouvement, mais chacune
de la classe (64.7) résout le problème de la construction de la dynamique du système de manière unique.

Une propriété importante du système d’équations de Lagrange est leur covariance. Cela signifie que les équations de Lagrange conservent leur forme sous transformations ponctuelles de coordonnées généralisées 4

c'est-à-dire lors de l'utilisation de coordonnées généralisées Les équations de Lagrange auront la même forme :

,

comme lors de l'utilisation de coordonnées généralisées :

.

Montrons directement que les équations de Lagrange sont covariantes sous transformation (65.7). Construisons
:

et dérivés

,

HAMILTON - PRINCIPE D'OSTROGRAD

Principe d'action stationnaire - intégrale générale principe variationnel de la mécanique classique, installé par U.

Hamilton pour les systèmes holonomiques contraints par des connexions stationnaires idéales, et généralisé par M. V. Ostrogradsky aux connexions non stationnaires. D'après G.-O.

a une valeur stationnaire par rapport à des mouvements cinématiquement possibles similaires, pour lesquels les positions initiales et finales du système et le temps de mouvement sont les mêmes que ceux du mouvement réel. Ici T- cinétique, U-énergie potentielle, L-T-U Fonction de Lagrange du système. Dans certains cas, le vrai correspond non seulement au point stationnaire du fonctionnel S, mais lui donne aussi la moindre importance. Donc G.-O. n. le principe de moindre action. Dans le cas de forces actives non potentielles Fv condition de stationnarité de l'action d S= 0 est remplacé par la condition

Allumé.: Hamilton W., Rapport de la quatrième réunion de la British Association for the Advancement of Science, L., 1835, p. 513-18 ; Ostrogradskу M., "Mem. de 1" Acad. des Sci. de St-Petershourg", 1850, t. 8, n° 3, p. 33-48.

V. V. Rumiantsev.

Encyclopédie mathématique. - M. : Encyclopédie soviétique. I.M. Vinogradov. 1977-1985.

Voyez ce qu'est le « PRINCIPE HAMILTON - OSTROGRAD » dans d'autres dictionnaires :

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Livres

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