Théorèmes d'addition et de multiplication de probabilité.
Événements dépendants et indépendants

Le titre fait peur, mais en réalité tout est très simple. Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec les théorèmes d'addition et de multiplication des probabilités d'événements et analyserons également les problèmes typiques qui, avec problème sur la détermination classique de la probabilité vous vous rencontrerez certainement ou, plus probablement, vous vous serez déjà rencontrés sur votre chemin. Pour étudier efficacement les éléments de cet article, vous devez connaître et comprendre les termes de base théorie des probabilités et être capable d'effectuer des opérations arithmétiques simples. Comme vous pouvez le constater, il en faut très peu et, par conséquent, un plus gros dans l'actif est presque garanti. Mais d'un autre côté, je mets encore une fois en garde contre une attitude superficielle à l'égard d'exemples pratiques - il y a aussi beaucoup de subtilités. Bonne chance:

Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles: probabilité d'occurrence de l'un des deux incompatible des événements ou (peu importe ce que), est égal à la somme des probabilités de ces événements :

Un fait similaire est vrai pour un plus grand nombre d’événements incompatibles, par exemple pour trois événements incompatibles et :

Le théorème est un rêve =) Cependant, un tel rêve est soumis à une preuve, que l'on peut trouver par exemple dans le manuel de V.E. Gmurman.

Faisons connaissance avec de nouveaux concepts jusqu'alors inconnus :

Événements dépendants et indépendants

Commençons par les événements indépendants. Les événements sont indépendant , si la probabilité d'occurrence n'importe lequel d'entre eux ne dépend pas sur l'apparition/non-apparition d'autres événements de l'ensemble considéré (dans toutes les combinaisons possibles). ...Mais pourquoi s'embêter avec des phrases générales :

Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants: la probabilité d'occurrence conjointe d'événements indépendants et est égale au produit des probabilités de ces événements :

Revenons à l'exemple le plus simple de la 1ère leçon, dans laquelle deux pièces sont lancées et les événements suivants :

– des faces apparaîtront sur la 1ère pièce ;
– des têtes apparaîtront sur la 2ème pièce.

Trouvons la probabilité de l'événement (face apparaîtra sur la 1ère pièce Et un aigle apparaîtra sur la 2ème pièce - rappelez-vous comment lire produit d'événements!) . La probabilité d'obtenir face sur une pièce ne dépend en aucun cas du résultat du lancer d'une autre pièce, les événements sont donc indépendants.

De même:
– la probabilité que la 1ère pièce tombe face Et sur la 2ème queue ;
– la probabilité que face apparaisse sur la 1ère pièce Et sur la 2ème queue ;
– la probabilité que la 1ère pièce montre face Et au 2ème aigle.

Notez que le formulaire d'événements groupe complet et la somme de leurs probabilités est égale à un : .

Le théorème de multiplication s'étend évidemment à un plus grand nombre d'événements indépendants, par exemple, si les événements sont indépendants, alors la probabilité de leur occurrence conjointe est égale à : . Pratiquons avec des exemples précis :

Problème 3

Chacune des trois boîtes contient 10 pièces. La première boîte contient 8 pièces standard, la deuxième – 7, la troisième – 9. Une pièce est retirée au hasard de chaque boîte. Trouvez la probabilité que toutes les pièces soient standard.

Solution: La probabilité d'extraire une pièce standard ou non standard d'une boîte ne dépend pas des pièces extraites des autres boîtes, le problème concerne donc des événements indépendants. Considérez les événements indépendants suivants :

– une pièce étalon est retirée de la 1ère case ;
– une pièce étalon a été retirée du 2ème carton ;
– une pièce étalon est retirée de la 3ème case.

Selon la définition classique :
sont les probabilités correspondantes.

Événement qui nous intéresse (une pièce standard sera retirée de la 1ère case Età partir du 2ème standard Età partir de la 3ème norme) est exprimé par le produit.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'une pièce standard soit retirée de trois cases.

Répondre: 0,504

Après des exercices revigorants avec des coffrets, des urnes non moins intéressantes nous attendent :

Problème 4

Trois urnes contiennent 6 boules blanches et 4 boules noires. Une boule est tirée au hasard dans chaque urne. Trouvez la probabilité que : a) les trois boules soient blanches ; b) les trois boules seront de la même couleur.

Sur la base des informations reçues, devinez comment gérer le point « être » ;-) Un exemple approximatif de solution est conçu dans un style académique avec une description détaillée de tous les événements.

Événements dépendants. L'événement s'appelle dépendant , si sa probabilité dépend d'un ou plusieurs événements déjà survenus. Vous n’avez pas besoin d’aller bien loin pour trouver des exemples – rendez-vous simplement au magasin le plus proche :

– demain à 19h00 du pain frais sera en vente.

La probabilité de cet événement dépend de nombreux autres événements : si du pain frais sera livré demain, s'il sera épuisé avant 19 heures ou non, etc. Selon diverses circonstances, cet événement peut être soit fiable, soit impossible. L'événement est donc dépendant.

Du pain... et, comme le réclamaient les Romains, des cirques :

– lors de l’examen, l’étudiant recevra un simple ticket.

Si vous n'êtes pas le tout premier, alors l'événement sera dépendant, puisque sa probabilité dépendra des billets déjà tirés par les camarades de classe.

Comment déterminer la dépendance/indépendance des événements ?

Parfois, cela est directement indiqué dans l'énoncé du problème, mais le plus souvent, vous devez effectuer une analyse indépendante. Il n'y a pas de ligne directrice sans ambiguïté ici, et le fait de dépendance ou d'indépendance des événements découle d'un raisonnement logique naturel.

Afin de ne pas tout regrouper en un seul tas, tâches pour les événements dépendants Je vais souligner la leçon suivante, mais pour l'instant, nous considérerons l'ensemble de théorèmes le plus courant dans la pratique :

Problèmes sur les théorèmes d'addition pour les probabilités incompatibles
et multiplier les probabilités d'événements indépendants

Ce tandem, selon mon évaluation subjective, fonctionne dans environ 80 % des tâches sur le sujet considéré. Coup de hits et véritable classique de la théorie des probabilités :

Problème 5

Deux tireurs ont tiré chacun un coup sur la cible. La probabilité de toucher le premier tireur est de 0,8, pour le second de 0,6. Trouvez la probabilité que :

a) un seul tireur atteindra la cible ;
b) au moins un des tireurs atteindra la cible.

Solution: Le taux de réussite/échec d'un tireur est évidemment indépendant des performances de l'autre tireur.

Considérons les événements :
– Le 1er tireur touchera la cible ;
– Le 2ème tireur touchera la cible.

Par condition : .

Trouvons les probabilités d'événements opposés - que les flèches correspondantes manqueront :

a) Considérons l'événement : – un seul tireur atteindra la cible. Cet événement se compose de deux résultats incompatibles :

Le 1er tireur frappera Et le 2ème manquera
ou
le 1er va manquer Et Le 2ème frappera.

Sur la langue algèbres d'événements ce fait s'écrira par la formule suivante :

On utilise d'abord le théorème d'addition des probabilités d'événements incompatibles, puis le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'il n'y ait qu'un seul coup sûr.

b) Considérons l'événement : – au moins un des tireurs atteint la cible.

Tout d’abord, RÉFLÉCHISSONS : que signifie la condition « AU MOINS UN » ? Dans ce cas, cela signifie que soit le 1er tireur touchera (le 2ème ratera) ou 2ème (le 1er manquera) ou les deux tireurs à la fois - un total de 3 résultats incompatibles.

Première méthode: compte tenu de la probabilité immédiate du point précédent, il convient de représenter l'événement comme la somme des événements incompatibles suivants :

quelqu'un y arrivera (un événement composé à son tour de 2 résultats incompatibles) ou
Si les deux flèches touchent, nous désignons cet événement par la lettre .

Ainsi:

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– probabilité que le 1er tireur touche Et Le 2ème tireur frappera.

D'après le théorème d'addition de probabilités d'événements incompatibles :
– la probabilité d'au moins un coup sûr sur la cible.

Deuxième méthode: Considérons l'événement inverse : – les deux tireurs rateront.

D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Par conséquent:

Portez une attention particulière à la deuxième méthode - en général, elle est plus rationnelle.

De plus, il existe une troisième façon alternative de le résoudre, basée sur le théorème d'addition d'événements conjoints, qui n'a pas été mentionné ci-dessus.

! Si vous découvrez le matériel pour la première fois, afin d'éviter toute confusion, il est préférable de sauter le paragraphe suivant.

Troisième méthode : les événements sont compatibles, ce qui signifie que leur somme exprime l'événement « au moins un tireur touchera la cible » (voir. algèbre des événements). Par le théorème d'addition des probabilités d'événements conjoints et le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Vérifions : les événements et (0, 1 et 2 coups respectivement) forment un groupe complet, donc la somme de leurs probabilités doit être égale à un :
, c'est ce qui devait être vérifié.

Répondre:

Avec une étude approfondie de la théorie des probabilités, vous rencontrerez des dizaines de problèmes à contenu militariste et, de manière caractéristique, après cela, vous ne voudrez plus tirer sur personne - les problèmes sont presque un cadeau. Pourquoi ne pas simplifier également le modèle ? Raccourcissons l'entrée :

Solution: par condition : , est la probabilité de toucher les tireurs correspondants. Puis les probabilités de leur échec :

a) D'après les théorèmes d'addition de probabilités d'incompatibilité et de multiplication de probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité qu’un seul tireur atteigne la cible.

b) D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité que les deux tireurs ratent leur coup.

Ensuite : – la probabilité qu'au moins un des tireurs atteigne la cible.

Répondre:

En pratique, vous pouvez utiliser n'importe quelle option de conception. Bien sûr, ils empruntent beaucoup plus souvent le chemin court, mais il ne faut pas oublier la 1ère méthode - même si elle est plus longue, elle est plus significative - elle est plus claire, quoi, pourquoi et pourquoi ajoute et multiplie. Dans certains cas, un style hybride est approprié lorsqu'il est pratique d'utiliser des lettres majuscules pour indiquer uniquement certains événements.

Tâches similaires pour une solution indépendante :

Problème 6

Pour signaler un incendie, deux capteurs fonctionnant indépendamment sont installés. Les probabilités que le capteur fonctionne en cas d'incendie sont respectivement de 0,5 et 0,7 pour le premier et le deuxième capteur. Déterminez la probabilité que lors d'un incendie :

a) les deux capteurs tomberont en panne ;
b) les deux capteurs fonctionneront.
c) Utilisation le théorème d'addition des probabilités d'événements formant un groupe complet, trouvez la probabilité qu'en cas d'incendie, un seul capteur fonctionne. Vérifiez le résultat en calculant directement cette probabilité (en utilisant les théorèmes d'addition et de multiplication).

Ici, l'indépendance du fonctionnement des appareils est directement indiquée dans la condition, ce qui constitue d'ailleurs une clarification importante. L’exemple de solution est conçu dans un style académique.

Et si dans un problème similaire les mêmes probabilités étaient données, par exemple 0,9 et 0,9 ? Vous devez décider exactement de la même manière ! (ce qui a d'ailleurs déjà été démontré dans l'exemple avec deux pièces)

Problème 7

La probabilité que le premier tireur touche la cible d'un seul coup est de 0,8. La probabilité que la cible ne soit pas touchée après que le premier et le deuxième tireurs ont tiré chacun un coup est de 0,08. Quelle est la probabilité que le deuxième tireur atteigne la cible d’un seul coup ?

Et ceci est un petit puzzle conçu de manière courte. La condition peut être reformulée de manière plus succincte, mais je ne refaireai pas l'original - en pratique, je dois me plonger dans des fabrications plus ornées.

Rencontrez-le, c'est lui qui a prévu énormément de détails pour vous =) :

Problème 8

Un ouvrier fait fonctionner trois machines. La probabilité qu'au cours d'un quart de travail la première machine nécessite un réglage est de 0,3, la deuxième de 0,75 et la troisième de 0,4. Trouvez la probabilité que pendant le quart de travail :

a) toutes les machines nécessiteront un réglage ;
b) une seule machine nécessitera un réglage ;
c) au moins une machine nécessitera un réglage.

Solution: puisque la condition ne dit rien sur un seul processus technologique, alors le fonctionnement de chaque machine doit être considéré comme indépendant du fonctionnement des autres machines.

Par analogie avec le problème n°5, vous pouvez ici prendre en compte les événements pour lesquels les machines correspondantes nécessiteront des ajustements pendant le quart de travail, noter les probabilités, trouver les probabilités d'événements opposés, etc. Mais avec trois objets, je n’ai pas vraiment envie de formuler la tâche de cette façon – cela s’avérera long et fastidieux. Par conséquent, il est sensiblement plus rentable d'utiliser ici le style « rapide » :

Selon la condition : – la probabilité que pendant le quart de travail les machines correspondantes nécessitent un réglage. Alors les probabilités qu’ils ne nécessitent pas d’attention sont :

Un des lecteurs a trouvé une faute de frappe sympa ici, je ne la corrigerai même pas =)

a) D'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
– la probabilité que pendant le quart de travail, les trois machines nécessitent des ajustements.

b) L'événement « Pendant le quart de travail, une seule machine nécessitera un réglage » comprend trois résultats incompatibles :

1) 1er appareil il faudra attention Et 2ème appareil ne nécessitera pas Et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
2) 1er appareil ne nécessitera pas attention Et 2ème appareil il faudra Et 3ème appareil ne nécessitera pas
ou:
3) 1er appareil ne nécessitera pas attention Et 2ème appareil ne nécessitera pas Et 3ème appareil il faudra.

D'après les théorèmes d'addition de probabilités d'incompatibilité et de multiplication de probabilités d'événements indépendants :

– la probabilité qu'au cours d'une équipe, une seule machine nécessite un réglage.

Je pense que maintenant tu devrais comprendre d'où vient l'expression

c) Calculons la probabilité que les machines ne nécessitent pas de réglage, puis la probabilité de l'événement inverse :
– qu'au moins une machine nécessitera un réglage.

Répondre:

Le point « ve » peut également être résolu par la somme , où est la probabilité qu'au cours d'un quart de travail, seules deux machines nécessitent un ajustement. Cet événement, à son tour, comprend 3 résultats incompatibles, qui sont décrits par analogie avec le point « être ». Essayez de trouver vous-même la probabilité pour vérifier l'ensemble du problème en utilisant l'égalité.

Problème 9

Une salve a été tirée par trois canons sur la cible. La probabilité de toucher avec un seul coup du premier pistolet est de 0,7, du deuxième – 0,6, du troisième – 0,8. Trouvez la probabilité que : 1) au moins un projectile touche la cible ; 2) seuls deux obus atteindront la cible ; 3) la cible sera touchée au moins deux fois.

La solution et la réponse se trouvent à la fin de la leçon.

Et encore une fois sur les coïncidences : si, selon la condition, deux ou même toutes les valeurs des probabilités initiales coïncident (par exemple, 0,7, 0,7 et 0,7), alors exactement le même algorithme de solution doit être suivi.

Pour conclure l’article, examinons une autre énigme courante :

Problème 10

Le tireur atteint la cible avec la même probabilité à chaque tir. Quelle est cette probabilité si la probabilité d'au moins un coup sûr avec trois tirs est de 0,973.

Solution: désignons par – la probabilité de toucher la cible à chaque tir.
et à travers - la probabilité d'un échec à chaque tir.

Et écrivons les événements :
– avec 3 tirs, le tireur touchera la cible au moins une fois ;
– le tireur ratera 3 fois.

Par condition, alors la probabilité de l'événement inverse :

En revanche, d'après le théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants :

Ainsi:

- la probabilité de rater à chaque tir.

Par conséquent:
– la probabilité de toucher à chaque tir.

Répondre: 0,7

Simple et élégant.

Dans le problème considéré, des questions supplémentaires peuvent être posées sur la probabilité d'un seul coup sûr, de deux coups sûrs et de la probabilité de trois coups sûrs sur la cible. Le schéma de solution sera exactement le même que dans les deux exemples précédents :

Toutefois, la différence fondamentale et substantielle est qu'il existe ici tests indépendants répétés, qui sont exécutés séquentiellement, indépendamment les uns des autres et avec la même probabilité de résultats.

Concepts de base
Les événements sont dits incompatibles si la survenance de l’un d’eux exclut la survenance d’autres événements dans le même procès. Sinon, ils sont appelés conjoints.
Un groupe complet est un ensemble d’événements dont la combinaison constitue un événement fiable.
Les deux seuls événements possibles qui forment un groupe complet sont dits opposés.
Les événements sont dits dépendants si la probabilité d'occurrence de l'un d'eux dépend de l'occurrence ou de la non-occurrence d'autres événements.
Les événements sont dits indépendants si la probabilité de l'un d'eux ne dépend pas de l'occurrence ou de la non-occurrence des autres.
Théorème pour ajouter des probabilités d'événements incompatibles
P(UNE+B)=P(UNE)+P(B),
où A, B sont des événements incompatibles.

Théorème d'addition de probabilités d'événements conjoints
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB), où A et B sont des événements conjoints.

Théorème de multiplication des probabilités d'événements indépendants
,
où A et B sont des événements indépendants.
Théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants
P (AB) = P (A) P A (B),
où P A (B) est la probabilité d'occurrence de l'événement B, à condition que l'événement A se soit produit ; A et B sont des événements dépendants.

Tache 1.
Le tireur tire deux coups sur la cible. La probabilité de réussir chaque coup est de 0,8. Composez un groupe complet d'événements et trouvez leurs probabilités. Solution.
Test - Deux coups sont tirés sur une cible.
Événement UN- raté les deux fois.
Événement DANS- frappé une fois.
Événement AVEC- frappé les deux fois.
.

Contrôle: P(A) +P(B) +P(C) = 1.
Tâche 2.
Selon les prévisions des météorologues, P(pluie)=0,4 ; P(vent)=0,7 ; R(pluie et vent)=0,2. Quelle est la probabilité qu’il pleuve ou qu’il y ait du vent ?
Solution. Par le théorème d'addition des probabilités et du fait de la compatibilité des événements proposés, on a :
P(pluie ou vent ou les deux)=P(pluie) +P(vent) –P(pluie et vent)=0,4+0,7-0,2=0,9.
Tâche 3. Solution. A la gare de départ, il y a 8 commandes de marchandises à expédier : cinq pour les expéditions intérieures et trois pour l'exportation. Quelle est la probabilité que deux commandes sélectionnées au hasard soient destinées à la consommation intérieure ? UNÉvénement DANS– la première commande prise au hasard se fait à l’intérieur du pays. Événement

– le second est également destiné à la consommation intérieure. Nous devons trouver la probabilité. Ensuite, par le théorème de la multiplication des probabilités d’événements dépendants, nous avons
Tâche 4.
À partir d’un lot de produits, le marchandiseur sélectionne au hasard les produits de la plus haute qualité. La probabilité que l'élément sélectionné soit de la plus haute qualité est de 0,8 ; première année – 0,7 ; deuxième année – 0,5. Trouvez la probabilité que sur trois produits sélectionnés au hasard, il y ait :
a) seulement deux qualités premium ; Solution. b) tout le monde est différent.
Selon les conditions du problème ; ; Les événements sont indépendants.
a) Événement UN– seuls deux produits de première qualité ressembleront alors à ceci

b) Événement DANS– les trois produits sont différents – disons-le ainsi : , Alors .
Tâche 5.
Les probabilités d'atteindre la cible lors du tir avec trois canons sont les suivantes : p1= 0,8; p2=0,7; p3=0,9. Trouver la probabilité d'au moins un coup sûr (événement UN) avec une salve de toutes les armes. Solution. La probabilité que chaque arme touche la cible ne dépend pas des résultats du tir d'autres armes, donc les événements considérés (touché par le premier canon), (touché par le deuxième canon) et (touché par le troisième canon) sont indépendants dans l'ensemble.
Les probabilités d'événements opposés aux événements (c'est-à-dire la probabilité de ratés) sont respectivement égales à :

Probabilité requise
Tâche 6.
L'imprimerie dispose de 4 machines à imprimer. Pour chaque machine, la probabilité qu'elle soit en cours d'exécution est de 0,9. Trouver la probabilité qu'au moins une machine fonctionne actuellement (événement UN). Solution. Les événements « la machine fonctionne » et « la machine ne fonctionne pas » (pour le moment) sont opposés, donc la somme de leurs probabilités est égale à un :
La probabilité que la machine ne fonctionne pas actuellement est donc égale à
La probabilité requise.

Solution. Problème 7. Dans la salle de lecture, il y a 6 manuels de théorie des probabilités, dont trois sont reliés. Le bibliothécaire a pris deux manuels au hasard. Trouvez la probabilité que les deux manuels soient reliés.
Considérez les événements suivants :
A1 - le premier manuel relié pris ;
A2 est le deuxième manuel relié pris.
Un événement consistant dans le fait que les deux manuels pris sont reliés. Les événements A1 et A2 sont dépendants, puisque la probabilité d'occurrence de l'événement A2 dépend de l'occurrence de l'événement A1. Pour résoudre ce problème, nous utilisons le théorème de multiplication des probabilités d'événements dépendants : .
La probabilité d'occurrence de l'événement A1 p(A1) conformément à la définition classique de la probabilité :
P(A1)=m/n=3/6=0,5.
La probabilité d'occurrence de l'événement A2 est déterminée par la probabilité conditionnelle d'occurrence de l'événement A2 sous réserve de l'occurrence de l'événement A1, c'est-à-dire (A2)==0,4.
Ensuite, la probabilité souhaitée pour que l'événement se produise :

P(A)=0,5*0,4=0,2. UN Laissez les événements DANS Et

- incohérent, et les probabilités de ces événements sont connues. Question : comment trouver la probabilité qu'un de ces événements incompatibles se produise ? La réponse à cette question est donnée par le théorème d’addition.Théorème.

La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN + DANS) = La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(DANS) (1.6)

p Preuve. En effet, laissez– le nombre total de tous les résultats également possibles et incompatibles (c'est-à-dire élémentaires). Laissez l'événement UN faveurs m 1 résultats et l'événement DANS – m 2 résultats. Alors, selon la définition classique, les probabilités de ces événements sont égales : La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN) = m 1 / Preuve. En effet, laissez, La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(B) = m 2 / Preuve. En effet, laissez .

Depuis les événements UN Laissez les événements DANS incompatible, alors aucune des issues favorables à l'événement UN, peu propice à l'événement DANS(voir schéma ci-dessous).

Donc l'événement UN+DANS sera favorable m 1 + m 2 résultats. Donc pour la probabilité La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(A+B) on a:

Corollaire 1. La somme des probabilités des événements formant un groupe complet est égale à un :

La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(DANS) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(AVEC) + … + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(D) = 1.

En effet, laissons les événements UN,DANS,AVEC, … , D former un groupe complet. De ce fait, ils sont incompatibles et les seuls possibles. Donc l'événement A + B + C + …+D, consistant en l'apparition (à la suite de tests) d'au moins un de ces événements, est fiable, c'est-à-dire A+B+C+…+D = Laissez les événements La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(A+B+C+…+D) = 1.

En raison de l'incompatibilité des événements UN,DANS,AVEC, … , D la formule est correcte :

La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(A+B+C+…+D) = La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(DANS) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(AVEC) + … + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(D) = 1.

Exemple. Il y a 30 boules dans une urne, dont 10 rouges, 5 bleues et 15 blanches. Trouvez la probabilité de tirer une boule rouge ou bleue, à condition qu’une seule boule soit tirée de l’urne.

Solution. Laissez l'événement UN 1 – tirage de la boule rouge, et l'événement UN 2 – extraction de la boule bleue. Ces événements sont incompatibles et La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN 1) = 10 / 30 = 1 / 3; La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN 2) = 5/30 = 1/6. Par le théorème d'addition on obtient :

La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN 1 + UN 2) = La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN 1) + La probabilité que l'un des deux événements incompatibles se produise est égale à la somme des probabilités de ces événements :(UN 2) = 1 / 3 + 1 / 6 = 1 / 2.

Note 1. Nous soulignons que, selon le sens du problème, il faut avant tout établir la nature des événements considérés - s'ils sont incompatibles. Si le théorème ci-dessus est appliqué à des événements conjoints, le résultat sera incorrect.

Probabilité de l'événement A est le rapport du nombre m de résultats de tests qui favorisent l'apparition de l'événement A au nombre total n de tous les résultats incompatibles également possibles : P(A)=m/n.

Probabilité conditionnelle d'un événement A (ou la probabilité de l'événement A, à condition que l'événement B se produise), est le nombre P B (A) = P (AB) / P (B), où A et B sont deux événements aléatoires du même test.

La somme d'un nombre fini d'événements Un événement consistant en l'occurrence d'au moins l'un d'entre eux est appelé. La somme de deux événements est notée A+B.

Règles d'ajout de probabilités :

• événements communs A et B :
  P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB), où P(A) est la probabilité de l'événement A, P(B) est la probabilité de l'événement B, P(A+B ) est la probabilité d'occurrence d'au moins un des deux événements, P(AB) est la probabilité d'occurrence conjointe de deux événements.
• règle pour ajouter des probabilités événements incompatibles A et B :
  P(A+B) = P(A)+P(B), où P(A) est la probabilité de l'événement A, P(B) est la probabilité de l'événement B.

Le produit d'un nombre fini d'événements s'appelle l'événement selon lequel chacun d'eux se produira. Le produit de deux événements est noté AB.

Règles de multiplication de probabilité :

• événements dépendants A et B :
  P(AB)= P(A)*P A (B)= P(B)*P B (A), où P A (B) est la probabilité conditionnelle d'occurrence de l'événement B, si l'événement A s'est déjà produit, P B ( A ) est la probabilité conditionnelle d'occurrence de l'événement A si l'événement B s'est déjà produit ;
• règle de multiplication de probabilité événements indépendants A et B :
  P(AB) = P(A)*P(B), où P(A) est la probabilité de l'événement A, P(B) est la probabilité de l'événement B.

Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Opérations sur événements. Règles d'addition et de multiplication des probabilités"

Problème 1 . La boîte contient 250 ampoules, dont 100 de 90 W, 50 de 60 W, 50 de 25 W et 50 de 15 W. Déterminez la probabilité que la puissance d’une ampoule sélectionnée au hasard ne dépasse pas 60 W.

Solution.

A = (la puissance de l'ampoule est de 90 W), probabilité P(A) = 100/250 = 0,4 ;
B = (la puissance de l'ampoule est de 60 W) ;
C = (la puissance de l'ampoule est de 25 W) ;
D = (la puissance de l'ampoule est de 15 W).

2. Formulaire Événements A, B, C, D système complet , puisqu'ils sont tous incompatibles et que l'un d'eux se produira certainement dans cette expérience (choix d'une ampoule). La probabilité que l'un d'entre eux se produise est un certain événement, alors P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1.

3. Les événements (puissance de l'ampoule ne dépassant pas 60 W) (c'est-à-dire inférieure ou égale à 60 W) et (puissance de l'ampoule supérieure à 60 W) (dans ce cas – 90 W) sont opposés. D'après la propriété des nombres opposés, P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A).

4. En considérant que P(B)+P(C)+P(D)=P(B+C+D), on obtient P(B+C+D)= 1-P(A)=1-0, 4=0,6.

Problème 2 . La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup par le premier tireur est de 0,7 et par le deuxième tireur de 0,9. Trouver la probabilité que
a) la cible ne sera touchée que par un seul tireur ;
b) la cible sera touchée par au moins un tireur.

Solution.
1. Considérez les événements suivants :
A1 = (le premier tireur atteint la cible), P(A1) = 0,7 à partir des conditions problématiques ;
Ā1 = (le premier tireur a raté), tandis que P(A1)+P(Ā1) = 1, puisque A1 et Ā1 sont des événements opposés.
D'où P(Ā1)=1-0,7=0,3 ;
A2 = (le deuxième tireur atteint la cible), P(A2) = 0,9 à partir des conditions problématiques ;

Ā2 = (le deuxième tireur a raté), tandis que P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1.
2. Événement A=(la cible est touchée par un seul tireur) signifie que l'un des deux événements incompatibles s'est produit : soit A1A2, soit A1A2.

Selon la règle d'addition des probabilités P(A)= P(A1A2)+P(A1A2).
Р(А1А̄2)= Р(А1)*Р(А̄2)= 0,7*0,1=0,07 ;
P(A1A2)= P(A1)*P(A2)=0,3*0,9=0,27.

3. Événement B = (cible touchée par au moins un tireur) signifie que soit la cible a été touchée par le premier tireur, soit la cible a été touchée par le deuxième tireur, soit la cible a été touchée par les deux tireurs.

L'événement B̄=(la cible n'est touchée par aucun tireur) est l'opposé de l'événement B, ce qui signifie P(B)=1-P(B̄).
L'événement B̄ signifie l'apparition simultanée d'événements indépendants Ā1 et Ā2, donc P(B̄)=P(Ā1Ā2)= P(Ā1)*P(Ā2)=0,3*0,1=0,3.
Alors P(B)= 1-P(B̄)=1-0,3=0,7.

Problème 3 . Le ticket d'examen se compose de trois questions. La probabilité qu'un élève réponde à la première question est de 0,7 ; au deuxième – 0,9 ; au troisième – 0,6. Trouvez la probabilité qu'un étudiant, ayant choisi un ticket, réponde :
a) à toutes les questions ;
d) au moins deux questions.

Solution. 1. Considérez les événements suivants :
A1 = (l'élève a répondu à la première question), P(A1) = 0,7 à partir des conditions du problème ;
Ā1 = (l'élève n'a pas répondu à la première question), tandis que P(A1)+P(Ā1) = 1, puisque A1 et Ā1 sont des événements opposés. D'où P(Ā1)=1-0,7=0,3 ;
A2 = (l'élève a répondu à la deuxième question), P(A2) = 0,9 à partir des conditions du problème ;
Ā2 = (l'élève n'a pas répondu à la deuxième question), tandis que P(Ā2) = 1-0,9 = 0,1 ;
A3 = (l'élève a répondu à la troisième question), P(A3) = 0,6 à partir des conditions problématiques ;
Ā3 = (l'élève n'a pas répondu à la troisième question), tandis que P(Ā3) = 1-0,6 = 0,4.

2. Événement A = (l'étudiant a répondu à toutes les questions) signifie la survenance simultanée d'événements indépendants A1, A2 et A3, c'est-à-dire P(A)= P(A1A2A3). Selon la règle de multiplication des probabilités d'événements indépendants : P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0.7*0.9*0.6=0.378 .
Alors P(A)= P(A1A2A3)=0,378.

3. Événement D = (l'étudiant a répondu à au moins deux questions) signifie que deux questions quelconques ou les trois ont reçu une réponse, c'est-à-dire l'un des quatre événements incompatibles s'est produit : soit A1A2À3, soit A1Â2A3, soit Ā1A2A3, soit A1A2A3.
D'après la règle d'addition des probabilités d'événements incompatibles : P(D)= P(A1A2Ā3)+ P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3).

D'après la règle de multiplication des probabilités d'événements indépendants :
P(A1A2Ā3)= P(A1)*P(A2)*P(Ā3)= 0,7*0,9*0,4=0,252 ;
P(A1Ā2A3)= P(A1)*P(Ā2)*P(A3)= 0,7*0,1*0,6=0,042 ;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,3*0,9*0,6=0,162 ;
P(A1A2A3)= P(A1)*P(A2)*P(A3)= 0,7*0,9*0,6=0,378.
Alors P(D)= 0,252+0,042+0,162+0,378= 0,834.

L'étude de la théorie des probabilités commence par la résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités. Il convient de mentionner d'emblée qu'un étudiant peut rencontrer un problème lors de la maîtrise de ce domaine de connaissances : si les processus physiques ou chimiques peuvent être représentés visuellement et compris empiriquement, alors le niveau d'abstraction mathématique est très élevé, et la compréhension ici ne vient que avec de l'expérience.

Cependant, le jeu en vaut la chandelle, car les formules - aussi bien celles évoquées dans cet article que les plus complexes - sont utilisées partout aujourd'hui et pourraient bien être utiles au travail.

Origine

Curieusement, le moteur du développement de cette branche des mathématiques était... le jeu. En effet, les dés, le tirage au sort, le poker, la roulette sont des exemples typiques qui utilisent l'addition et la multiplication de probabilités. Cela peut être clairement constaté à l’aide des exemples de problèmes contenus dans n’importe quel manuel. Les gens souhaitaient apprendre à augmenter leurs chances de gagner, et il faut dire que certains y sont parvenus.

Par exemple, déjà au 21e siècle, une personne, dont nous ne divulguerons pas le nom, a utilisé ces connaissances accumulées au fil des siècles pour littéralement « nettoyer » le casino, gagnant plusieurs dizaines de millions de dollars à la roulette.

Cependant, malgré l'intérêt croissant pour le sujet, ce n'est qu'au XXe siècle qu'un cadre théorique a été développé qui a rendu le « théorème » complet. Aujourd'hui, dans presque toutes les sciences, on peut trouver des calculs utilisant des méthodes probabilistes.

Applicabilité

Un point important lors de l'utilisation de formules d'addition et de multiplication de probabilités et de probabilités conditionnelles est la satisfiabilité du théorème central limite. Autrement, même si l’élève ne s’en rend pas compte, tous les calculs, aussi plausibles soient-ils, seront erronés.

Oui, un étudiant très motivé est tenté d’utiliser de nouvelles connaissances à chaque occasion. Mais dans ce cas, il faut ralentir un peu et définir strictement le champ d'application.

La théorie des probabilités traite d'événements aléatoires qui, en termes empiriques, représentent les résultats d'expériences : nous pouvons lancer un dé à six faces, tirer une carte d'un jeu, prédire le nombre de pièces défectueuses dans un lot. Cependant, dans certaines questions, il est strictement interdit d'utiliser des formules de cette section des mathématiques. Nous aborderons les caractéristiques de la prise en compte des probabilités d'un événement, les théorèmes d'addition et de multiplication des événements à la fin de l'article, mais passons pour l'instant aux exemples.

Concepts de base

Un événement aléatoire fait référence à un processus ou à un résultat qui peut ou non apparaître à la suite d'une expérience. Par exemple, nous lançons un sandwich – il peut atterrir côté beurre vers le haut ou côté beurre vers le bas. L’une ou l’autre des deux issues sera aléatoire et nous ne savons pas à l’avance laquelle d’entre elles aura lieu.

Lors de l’étude de l’addition et de la multiplication des probabilités, nous aurons besoin de deux autres concepts.

De tels événements sont dits conjoints, dont la survenance de l'un n'exclut pas la survenance de l'autre. Disons que deux personnes tirent sur une cible en même temps. Si l'un d'eux réussit, cela n'affectera en rien la capacité du second à faire mouche ou à rater.

Les événements incompatibles seront les événements dont la survenance simultanée est impossible. Par exemple, si vous sortez une seule balle d’une boîte, vous ne pouvez pas obtenir à la fois du bleu et du rouge.

Désignation

Le concept de probabilité est désigné par la lettre majuscule latine P. Entre parenthèses se trouvent ensuite les arguments désignant certains événements.

Dans les formules du théorème d'addition, de probabilité conditionnelle et de multiplication, vous verrez des expressions entre parenthèses, par exemple : A+B, AB ou A|B. Ils seront calculés de différentes manières et nous allons maintenant nous y tourner.

Ajout

Considérons les cas dans lesquels des formules d'addition et de multiplication de probabilités sont utilisées.

Pour les événements incompatibles, la formule d'addition la plus simple est pertinente : la probabilité d'un résultat aléatoire sera égale à la somme des probabilités de chacun de ces résultats.

Supposons qu’il y ait une boîte avec 2 billes bleues, 3 billes rouges et 5 billes jaunes. Il y a un total de 10 éléments dans la boîte. Quelle est la vérité de l’affirmation selon laquelle nous tirerons une boule bleue ou une boule rouge ? Il sera égal à 2/10 + 3/10, soit cinquante pour cent.

Dans le cas d'événements incompatibles, la formule se complique puisqu'un terme supplémentaire est ajouté. Revenons-y dans un paragraphe, après avoir considéré une autre formule.

Multiplication

L'addition et la multiplication des probabilités d'événements indépendants sont utilisées dans différents cas. Si, selon les conditions de l’expérience, nous sommes satisfaits de l’un des deux résultats possibles, nous calculerons la somme ; si nous voulons obtenir deux résultats l’un après l’autre, nous aurons recours à une formule différente.

En revenant à l’exemple de la section précédente, nous voulons dessiner d’abord la boule bleue, puis la rouge. Nous connaissons le premier chiffre : 2/10. Que se passe-t-il ensuite ? Il reste 9 boules, et il y a toujours le même nombre de boules rouges - trois. Selon les calculs, ce sera 3/9 ou 1/3. Mais que faire maintenant avec deux nombres ? La bonne réponse est de multiplier pour obtenir 2/30.

Événements conjoints

Nous pouvons désormais nous tourner à nouveau vers la formule de somme pour les événements communs. Pourquoi avons-nous été distraits du sujet ? Pour découvrir comment les probabilités sont multipliées. Nous aurons maintenant besoin de ces connaissances.

Nous savons déjà quels seront les deux premiers termes (les mêmes que dans la formule d'addition évoquée précédemment), mais nous devons maintenant soustraire le produit des probabilités, que nous venons d'apprendre à calculer. Pour plus de clarté, écrivons la formule : P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB). Il s'avère que l'addition et la multiplication des probabilités sont utilisées dans une seule expression.

Disons que nous devons résoudre l'un des deux problèmes suivants pour obtenir un crédit. Nous pouvons résoudre le premier avec une probabilité de 0,3 et le second avec une probabilité de 0,6. Solution : 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Notez que la simple addition des chiffres ici ne suffira pas.

Probabilite conditionnelle

Enfin, il y a la notion de probabilité conditionnelle dont les arguments sont indiqués entre parenthèses et séparés par une barre verticale. L'entrée P(A|B) se lit comme suit : « la probabilité de l'événement A étant donné l'événement B ».

Prenons un exemple : un ami vous offre un appareil, que ce soit un téléphone. Il peut être cassé (20 %) ou intact (80 %). Vous êtes capable de réparer n'importe quel appareil qui vous tombe entre les mains avec une probabilité de 0,4, ou vous ne parvenez pas à le faire (0,6). Enfin, si l'appareil est en état de marche, vous pourrez joindre la bonne personne avec une probabilité de 0,7.

Il est facile de voir comment la probabilité conditionnelle joue dans ce cas : vous ne pourrez pas joindre la personne si le téléphone est cassé, mais s'il fonctionne, vous n'avez pas besoin de le réparer. Ainsi, afin d'obtenir des résultats au « deuxième niveau », vous devez savoir quel événement a été exécuté au premier.

Calculs

Examinons des exemples de résolution de problèmes impliquant l'addition et la multiplication de probabilités, en utilisant les données du paragraphe précédent.

Tout d'abord, trouvons la probabilité que vous répariez l'appareil qui vous a été remis. Pour ce faire, premièrement, il doit être défectueux, et deuxièmement, vous devez pouvoir le réparer. Il s'agit d'un problème typique utilisant la multiplication : nous obtenons 0,2 * 0,4 = 0,08.

Quelle est la probabilité que vous atteigniez immédiatement la bonne personne ? C'est aussi simple que ça : 0,8*0,7 = 0,56. Dans ce cas, vous avez constaté que le téléphone fonctionne et avez passé l'appel avec succès.

Enfin, considérez ce scénario : vous recevez un téléphone cassé, vous le réparez, puis vous composez un numéro et la personne à l'autre bout du fil décroche. Ici, nous devons déjà multiplier trois composants : 0,2*0,4*0,7 = 0,056.

Que faire si vous avez deux téléphones qui ne fonctionnent pas à la fois ? Quelle est la probabilité que vous répariez au moins l’un d’entre eux ? sur l'addition et la multiplication des probabilités, puisque des événements conjoints sont utilisés. Solution : 0,4 + 0,4 - 0,4*0,4 = 0,8 - 0,16 = 0,64. Ainsi, si vous recevez deux appareils cassés, vous pourrez les réparer dans 64% des cas.

Utilisation prudente

Comme indiqué au début de l’article, l’utilisation de la théorie des probabilités doit être délibérée et consciente.

Plus la série d’expériences est grande, plus la valeur théorique prédite se rapproche de celle obtenue en pratique. Par exemple, nous jetons une pièce de monnaie. Théoriquement, connaissant l'existence de formules d'addition et de multiplication des probabilités, nous pouvons prédire combien de fois « pile » et « face » apparaîtront si nous effectuons l'expérience 10 fois. Nous avons mené une expérience et, par coïncidence, le rapport des côtés dessinés était de 3 à 7. Mais si nous effectuons une série de 100, 1000 tentatives ou plus, il s'avère que le graphique de distribution se rapproche de plus en plus de celui théorique : 44 à 56, 482 à 518, et ainsi de suite.

Imaginez maintenant que cette expérience soit réalisée non pas avec une pièce de monnaie, mais avec la production d'une nouvelle substance chimique dont nous ne connaissons pas la probabilité. Nous ferions 10 expériences et, sans obtenir de résultat positif, nous pourrions généraliser : « il est impossible d’obtenir la substance ». Mais qui sait, si nous avions fait la onzième tentative, aurions-nous atteint notre objectif ou non ?

Donc, si vous partez vers l’inconnu, dans une zone inexplorée, la théorie des probabilités risque de ne pas s’appliquer. Dans ce cas, chaque tentative ultérieure peut être couronnée de succès et des généralisations telles que « X n'existe pas » ou « X est impossible » seront prématurées.

Dernier mot

Nous avons donc examiné deux types d’addition, de multiplication et de probabilités conditionnelles. Avec une étude plus approfondie de ce domaine, il est nécessaire d'apprendre à distinguer les situations dans lesquelles chaque formule spécifique est utilisée. De plus, vous devez imaginer si les méthodes probabilistes sont généralement applicables pour résoudre votre problème.

Si vous pratiquez, après un certain temps, vous commencerez à effectuer toutes les opérations requises exclusivement dans votre esprit. Pour ceux qui s'intéressent aux jeux de cartes, cette compétence peut être considérée comme extrêmement précieuse : vous augmenterez considérablement vos chances de gagner simplement en calculant la probabilité qu'une carte ou une couleur particulière tombe. Cependant, vous pouvez facilement trouver une application des connaissances acquises dans d'autres domaines d'activité.