Avec un point et un plan. Il s’agit d’une figure infinie qui peut relier deux points quelconques dans l’espace. Une ligne droite appartient toujours à un plan. En fonction de l’emplacement de deux lignes droites, différentes méthodes doivent être utilisées pour déterminer la distance qui les sépare.

Il existe trois options pour localiser deux lignes dans l'espace l'une par rapport à l'autre : elles sont parallèles, se croisent ou. La deuxième option n'est possible que s'ils sont dans le même plan ; elle n'exclut pas l'appartenance à deux plans parallèles. La troisième situation suggère que les lignes se situent dans des plans parallèles différents.

Pour trouver la distance entre deux lignes parallèles, vous devez déterminer la longueur du segment perpendiculaire qui les relie en deux points quelconques. Puisque les droites ont deux coordonnées identiques, ce qui découle de la définition de leur parallélisme, les équations des droites dans l'espace de coordonnées bidimensionnel peuvent s'écrire comme suit :
L1 : a x + b y + c = 0 ;
L2 : a x + b y + d = 0.
Ensuite, vous pouvez trouver la longueur du segment à l'aide de la formule :
s = |c - d|/√(a² + b²), et il est facile de remarquer que lorsque C = D, c'est-à-dire Si les lignes coïncident, la distance sera nulle.

Il est clair que la distance entre les lignes qui se croisent en coordonnées bidimensionnelles n'a pas de sens. Mais lorsqu'ils sont situés dans des plans différents, on peut la trouver comme la longueur d'un segment situé dans un plan perpendiculaire à eux deux. Les extrémités de ce segment seront des points qui sont des projections de deux points quelconques de lignes sur ce plan. Autrement dit, sa longueur est égale à la distance entre les plans parallèles contenant ces lignes. Ainsi, si les plans sont donnés par des équations générales :
α : A1 x + B1 y + C1 z + E = 0,
β : A2 x + B2 y + C2 z + F = 0,
la distance entre les lignes droites peut être utilisée par la formule :
s = |E – F|/√(|A1 A2| + B1 B2 + C1 C2).

note

Les lignes droites en général et les lignes croisées en particulier n'intéressent pas seulement les mathématiciens. Leurs propriétés sont utiles dans de nombreux autres domaines : dans la construction et l’architecture, en médecine et dans la nature elle-même.

Astuce 2 : Comment trouver la distance entre deux lignes parallèles

La détermination de la distance entre deux objets situés dans un ou plusieurs plans est l'un des problèmes les plus courants en géométrie. En utilisant des méthodes généralement acceptées, vous pouvez trouver la distance entre deux lignes parallèles.

Instructions

Les lignes parallèles sont des lignes situées dans le même plan qui ne se coupent pas ou ne coïncident pas. Pour trouver la distance entre des lignes parallèles, sélectionnez un point arbitraire sur l’une d’elles, puis déposez une perpendiculaire à la deuxième ligne. Il ne reste plus qu'à mesurer la longueur du segment résultant. La longueur de la perpendiculaire reliant deux lignes parallèles sera la distance qui les sépare.

Faites attention à l'ordre dans lequel la perpendiculaire est tracée d'une ligne parallèle à une autre, car la précision de la distance calculée en dépend. Pour ce faire, utilisez un outil de dessin de triangle rectangle. Sélectionnez un point sur l'une des lignes, attachez-y l'un des côtés du triangle adjacent à l'angle droit (jambe) et alignez l'autre côté avec l'autre ligne. À l’aide d’un crayon bien aiguisé, tracez une ligne le long de la première jambe afin qu’elle atteigne la ligne droite opposée.

Dans cet article, nous examinerons la question de la recherche de la distance entre deux droites parallèles, notamment à l'aide de la méthode des coordonnées. L'analyse d'exemples typiques permettra de consolider les connaissances théoriques acquises.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Définition 1

Distance entre deux lignes parallèles est la distance entre un point arbitraire de l’une des lignes parallèles et l’autre ligne.

Voici une illustration pour plus de clarté :

Le dessin montre deux lignes parallèles un Et b. Le point M 1 appartient à la ligne a, à partir de là une perpendiculaire est déposée sur la ligne b. Le segment résultant M 1 H 1 est la distance entre deux lignes parallèles un Et b.

La définition spécifiée de la distance entre deux lignes parallèles est valable aussi bien sur le plan que pour les lignes dans l'espace tridimensionnel. De plus, cette définition est liée au théorème suivant.

Théorème

Lorsque deux droites sont parallèles, tous les points de l’une d’elles sont équidistants de l’autre droite.

Preuve

Donnons-nous deux droites parallèles un Et b. Plaçons-le sur une ligne droite UN points M 1 et M 2, déposez des perpendiculaires à partir d'eux jusqu'à la ligne droite b, désignant leurs bases comme H 1 et H 2, respectivement. M 1 H 1 est la distance entre deux droites parallèles par définition, et nous devons prouver que | M1N1 | = | M2N2 | .

Soit également une sécante qui coupe deux lignes parallèles données. La condition de parallélisme des droites, évoquée dans l'article correspondant, nous donne le droit d'affirmer que dans ce cas, les angles transversaux internes formés lorsque les sécantes de droites données se croisent sont égaux : ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H2M1. La droite M 2 H 2 est perpendiculaire à la droite b par construction et, bien entendu, perpendiculaire à la droite a. Les triangles résultants M 1 H 1 H 2 et M 2 M 1 H 2 sont rectangulaires et égaux en hypoténuse et en angle aigu : M 1 H 2 – hypoténuse commune, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M1. A partir de l'égalité des triangles, on peut parler de l'égalité de leurs côtés, c'est-à-dire : | M1N1 | = | M2N2 | . Le théorème est prouvé.

Notez que la distance entre deux lignes parallèles est la plus petite des distances entre les points d’une ligne et les points de l’autre.

Trouver la distance entre des lignes parallèles

Nous avons déjà découvert qu'en fait, pour trouver la distance entre deux lignes parallèles, il est nécessaire de déterminer la longueur de la perpendiculaire tombée d'un certain point d'une ligne à un autre. Il y a plusieurs moyens de le faire. Dans certains problèmes, il est pratique d'utiliser le théorème de Pythagore ; d'autres impliquent l'utilisation de signes d'égalité ou de similitude de triangles, etc. Dans les cas où les lignes sont spécifiées dans un système de coordonnées rectangulaires, il est possible de calculer la distance entre deux lignes parallèles à l'aide de la méthode des coordonnées. Regardons-le de plus près.

Posons les conditions. Supposons que nous ayons un système de coordonnées rectangulaires fixes dans lequel deux lignes parallèles a et b sont données. Il est nécessaire de déterminer la distance entre des lignes droites données.

La solution au problème sera basée sur la détermination de la distance entre des lignes parallèles : pour trouver la distance entre deux lignes parallèles données il faut :

Trouver les coordonnées d'un certain point M 1 appartenant à l'une des lignes données ;

Calculez la distance du point M 1 à une ligne donnée à laquelle ce point n'appartient pas.

Sur la base des compétences nécessaires pour travailler avec les équations d'une droite dans un plan ou dans l'espace, il est facile de déterminer les coordonnées du point M 1. Lors de la recherche de la distance du point M 1 à une ligne droite, les informations contenues dans l'article sur la recherche de la distance d'un point à une ligne droite seront utiles.

Revenons à l'exemple. Soit la droite a décrite par l'équation générale A x + B y + C 1 = 0, et la droite b par l'équation A x + B y + C 2 = 0. Ensuite, la distance entre deux lignes parallèles données peut être calculée à l'aide de la formule :

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Dérivons cette formule.

Nous utilisons un point M 1 (x 1, y 1) appartenant à la droite a. Dans ce cas, les coordonnées du point M 1 satisferont l'équation A x 1 + B y 1 + C 1 = 0. Ainsi, l'égalité est valable : A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; on en obtient : A x 1 + B y 1 = - C 1 .

Quand C 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

Pour C 2 ≥ 0, l'équation normale de la droite b ressemblera à ceci :

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

Et puis pour les cas où C 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

Et pour C 2 ≥ 0, la distance requise est déterminée par la formule M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 et 1 + C 2 A 2 + B 2

Ainsi, pour toute valeur du nombre C 2, la longueur du segment | M1N1 | (du point M 1 à la ligne b) est calculé par la formule : M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Ci-dessus nous avons reçu : A x 1 + B y 1 = - C 1, alors on peut transformer la formule : M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 UNE 2 + B 2 . C'est ainsi que nous avons en fait obtenu la formule spécifiée dans l'algorithme de la méthode des coordonnées.

Examinons la théorie à l'aide d'exemples.

Exemple 1

Étant donné deux droites parallèles y = 2 3 x - 1 et x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ . Il est nécessaire de déterminer la distance qui les sépare.

Solution

Les équations paramétriques originales permettent de préciser les coordonnées du point par lequel passe la droite décrite par les équations paramétriques. Ainsi, on obtient le point M 1 (4, - 5). La distance requise est la distance entre le point M 1 (4, - 5) et la droite y = 2 3 x - 1, calculons-la.

Transformons l'équation donnée d'une droite de pente y = 2 3 x - 1 en une équation normale d'une droite. Pour cela, on passe d'abord à l'équation générale de la droite :

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Calculons le facteur de normalisation : 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13. Multiplions les deux côtés de la dernière équation par cela et, enfin, nous pourrons écrire l'équation normale de la droite : 1 13 · 2 x - 3 y - 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0.

Pour x = 4 et y = - 5, on calcule la distance requise comme module de la valeur de l'égalité extrême :

2 13 · 4 - 3 13 · - 5 - 3 13 = 20 13

Répondre: 20 13 .

Exemple 2

Dans un système de coordonnées rectangulaires fixes O x y, deux lignes parallèles sont données, définies par les équations x - 3 = 0 et x + 5 0 = y - 1 1. Il est nécessaire de trouver la distance entre des lignes parallèles données.

Solution

Les conditions du problème définissent une équation générale, spécifiée par l'une des droites originales : x-3=0. Transformons l'équation canonique originale en une équation générale : x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0. Pour la variable x, les coefficients dans les deux équations sont égaux (également égaux pour y – zéro), et nous pouvons donc appliquer la formule pour trouver la distance entre des lignes parallèles :

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (- 3) 1 2 + 0 2 = 8

Répondre: 8 .

Enfin, considérons le problème de trouver la distance entre deux lignes parallèles dans un espace tridimensionnel.

Exemple 3

Dans le système de coordonnées rectangulaires O x y z, deux droites parallèles sont données, décrites par les équations canoniques d'une droite dans l'espace : x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 et x + 5 1 = y - 1 - 1 = z-2 4. Il faut trouver la distance entre ces lignes.

Solution

A partir de l'équation x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4, les coordonnées du point par lequel passe la droite décrite par cette équation sont facilement déterminées : M 1 (3, 0, - 2). Calculons la distance | M1N1 | du point M 1 à la droite x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4.

La droite x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 passe par le point M 2 (- 5, 1, 2). Écrivons le vecteur directeur de la droite x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 comme b → de coordonnées (1 , - 1 , 4) . Déterminons les coordonnées du vecteur M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Calculons le produit vectoriel des vecteurs :

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36, 7)

Appliquons la formule pour calculer la distance d'un point à une ligne dans l'espace :

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (- 1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Répondre: 1409 3 2 .

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Cet article se concentre sur la recherche de la distance entre les lignes qui se croisent à l’aide de la méthode des coordonnées. Tout d’abord, la définition de la distance entre les lignes qui se croisent est donnée. Ensuite, un algorithme est obtenu qui permet de trouver la distance entre les lignes qui se croisent. En conclusion, la solution de l’exemple est analysée en détail.

Navigation dans les pages.

Distance entre les lignes qui se croisent - définition.

Avant de donner la définition de la distance entre les lignes obliques, rappelons la définition des lignes asymétriques et démontrons un théorème lié aux lignes asymétriques.

Définition.

- c'est la distance entre l'une des lignes sécantes et un plan parallèle à celle-ci passant par l'autre ligne.

À son tour, la distance entre une ligne droite et un plan qui lui est parallèle est la distance entre un point de la ligne droite et le plan. Alors la formulation suivante de la définition de la distance entre les lignes qui se croisent est valable.

Définition.

Distance entre les lignes qui se croisent est la distance entre un certain point de l'une des lignes sécantes et un plan passant par une autre ligne parallèle à la première ligne.

Considérons les lignes qui se croisent a et b. Marquons un certain point M 1 sur la ligne a, traçons un plan parallèle à la ligne a passant par la ligne b, et à partir du point M 1 abaissons une perpendiculaire M 1 H 1 au plan. La longueur de la perpendiculaire M 1 H 1 est la distance entre les lignes de croisement a et b.

Trouver la distance entre les lignes qui se croisent - théorie, exemples, solutions.

Lors de la détermination de la distance entre des lignes qui se croisent, la principale difficulté est souvent de voir ou de construire un segment dont la longueur est égale à la distance souhaitée. Si un tel segment est construit, alors, selon les conditions du problème, sa longueur peut être trouvée à l'aide du théorème de Pythagore, des signes d'égalité ou de similitude des triangles, etc. C'est ce que nous faisons lorsque nous trouvons la distance entre les lignes qui se croisent dans les cours de géométrie de la 10e à la 11e année.

Si Oxyz est introduit dans un espace tridimensionnel et que les lignes d'intersection a et b y sont données, alors la méthode des coordonnées nous permet de faire face à la tâche de calculer la distance entre les lignes d'intersection données. Regardons cela en détail.

Soit un plan passant par la ligne b, parallèle à la ligne a. Alors la distance requise entre les lignes de croisement a et b est, par définition, égale à la distance d'un point M 1 situé sur la ligne a au plan. Ainsi, si nous déterminons les coordonnées d'un certain point M 1 situé sur une ligne a et obtenons l'équation normale du plan sous la forme, alors nous pouvons calculer la distance du point au plan en utilisant la formule (cette formule a été obtenue dans l'article trouvant la distance d'un point à un plan). Et cette distance est égale à la distance requise entre les lignes qui se croisent.

Maintenant en détail.

Le problème revient à obtenir les coordonnées du point M 1 situé sur la droite a, et à trouver l'équation normale du plan.

Il n'y a aucune difficulté à déterminer les coordonnées du point M 1 si vous connaissez bien les principaux types d'équations d'une droite dans l'espace. Mais il vaut la peine de s'attarder plus en détail sur l'obtention de l'équation du plan.

Si nous déterminons les coordonnées d'un certain point M 2 par lequel passe le plan, et obtenons également le vecteur normal du plan sous la forme , alors nous pouvons écrire l’équation générale du plan sous la forme .

Comme point M 2, vous pouvez prendre n'importe quel point situé sur la droite b, puisque le plan passe par la droite b. Ainsi, les coordonnées du point M 2 peuvent être considérées comme trouvées.

Reste à obtenir les coordonnées du vecteur normal du plan. Faisons-le.

Le plan passe par la ligne b et est parallèle à la ligne a. Par conséquent, le vecteur normal du plan est perpendiculaire à la fois au vecteur directeur de la droite a (notons-le) et au vecteur directeur de la droite b (notons-le). Nous pouvons alors prendre et comme vecteur, c'est-à-dire . Après avoir déterminé les coordonnées et les vecteurs directeurs des droites a et b et calculé , on trouvera les coordonnées du vecteur normal du plan.

On a donc l'équation générale du plan : .

Il ne reste plus qu'à ramener l'équation générale du plan sous forme normale et à calculer la distance requise entre les lignes de croisement a et b à l'aide de la formule.

Ainsi, pour trouver la distance entre les lignes de croisement a et b il vous faut :

Regardons la solution de l'exemple.

Exemple.

Dans l'espace tridimensionnel du système de coordonnées rectangulaires Oxyz, deux lignes droites sécantes a et b sont données. La droite a est déterminée

Cette leçon vidéo sera utile à ceux qui souhaitent étudier de manière indépendante le sujet « Distance d'un point à une ligne ». Distance entre lignes parallèles." Pendant la leçon, vous apprendrez à calculer la distance d'un point à une ligne. Ensuite, l'enseignant donnera la définition de la distance entre lignes parallèles.

Dans cette leçon, nous nous familiariserons avec le concept "distance" en général. Nous précisons également cette notion dans le cas du calcul distances entre deux points, un point et une ligne, lignes parallèles

Regardons la figure 1. Elle montre 2 points A et B. La distance entre deux points A et B est un segment ayant des extrémités en des points donnés, c'est-à-dire le segment AB.

Riz. 1. AB - distance entre les points

Il est à noter que la distance ne peut pas être considérée comme une courbe ou une ligne brisée reliant deux points. Distance- c'est le chemin le plus court d'un point à un autre. C'est le segment AB qui est la plus petite de toutes les droites possibles reliant les points A et B.

Considérons la figure 2, qui montre la ligne droite UN, et le point A, qui n'appartient pas à cette ligne. Distance du point UN à une ligne droite sera la longueur de la perpendiculaire AN.

Riz. 2. AN - distance entre un point et une ligne

Il est important de noter que AN est la distance la plus courte, puisque dans le triangle AMN ce segment est une branche, et un autre segment arbitraire reliant le point A et la ligne UN(dans ce cas c'est AM) sera l'hypoténuse. Comme vous le savez, la jambe est toujours plus petite que l'hypoténuse

Désignation des distances :

Considérons lignes parallèles a et b illustrés à la figure 3

Riz. 3. Lignes parallèles a et b

Fixons deux points sur une ligne droite un et déposez-en les perpendiculaires sur une ligne parallèle à celle-ci b. Montrons que si ,

Traçons le segment AM pour faciliter la preuve. Considérons les triangles résultants ABM et ANM. Depuis , et , alors . De même, . Ces triangles rectangles () ont un côté commun AM. C'est l'hypoténuse dans les deux triangles. Les angles AMN et AMB sont des angles croisés internes de droites parallèles AB et NM et sécantes AM. D'après la propriété bien connue, .

De tout ce qui précède, il résulte que . De l'égalité des triangles il résulte que AN = BM

Nous avons donc prouvé que sur la figure 3 les segments AN et BM sont égaux. Cela signifie que distance entre lignes parallèles est la longueur de leur perpendiculaire commune, et le choix de la perpendiculaire peut être arbitraire. Ainsi,

L'inverse est également vrai : un ensemble de points situés à la même distance d'une certaine ligne forment une ligne parallèle à celle donnée.

Consolidons nos connaissances et résolvons plusieurs problèmes

Exemple 1: Problème 272 du manuel « Géométrie 7-9 ». Auteur - Atanasyan L.S.

Dans un triangle équilatéral ABC, la bissectrice AD ​​est tracée. La distance du point D à la droite AC est de 6 cm. Trouvez la distance du point A à la droite BC.

Riz. 4. Dessiner par exemple 1

Solution:

Un triangle équilatéral est un triangle ayant trois côtés égaux (et donc trois angles égaux, soit 60 0 chacun). Un triangle équilatéral est un cas particulier de triangle isocèle, donc toutes les propriétés inhérentes à un triangle isocèle s'appliquent également à un triangle équilatéral. Donc AD n’est pas seulement une bissectrice, mais aussi une hauteur, donc AD ⊥BC

Puisque la distance du point D à la ligne AC est la longueur de la perpendiculaire tracée du point D à la ligne AC, alors DH est cette distance. Considérons le triangle ET. Dans celui-ci, l'angle H = 90 0, puisque DH est perpendiculaire à AC (par définition de la distance d'un point à une droite). De plus, dans ce triangle la branche DH se trouve à l'opposé de l'angle, donc AD = (cm) (Par propriété)

La distance du point A à la droite BC est la longueur de la perpendiculaire tombant sur la droite BC. D’après l’AD ⊥BC prouvé, cela signifie .

Réponse : 12 cm.

Exemple 2: Problème 277 du manuel « Géométrie 7-9 ». Auteur - Atanasyan L.S.

La distance entre les lignes parallèles a et b est de 3 cm et la distance entre les lignes parallèles a et c est de 5 cm. Trouvez la distance entre les lignes parallèles b et c.

Solution:

Riz. 5. Dessin par exemple 2 (premier cas)

Puisque , alors = 5 - 3 = 2 (cm).

Cependant, cette réponse est incomplète. Il existe une autre option pour localiser des lignes droites sur un plan :

Riz. 6. Dessin par exemple 2 (deuxième cas)

Dans ce cas .

1. Collection unifiée de ressources éducatives numériques ().
2. Professeur de mathématiques ().

1. N° 280, 283. Atanasyan L. S., Butuzov V. F., Kadomtsev S. B., Poznyak E. G., Yudina I. I. édité par Tikhonov A. N. Géométrie niveaux 7-9. M. : Lumières. 2010
2. La somme de l'hypoténuse CE et de la branche CK du triangle rectangle SKE est de 31 cm et leur différence est de 3 cm. Trouvez la distance entre le sommet C et la droite KE.
3. A partir de AB du triangle isocèle ABC, on prend le point M, à égale distance des côtés latéraux. Montrer que CM est la hauteur du triangle ABC
4. Montrer que tous les points du plan situés d'un côté d'une droite donnée et à égale distance de celle-ci se trouvent sur une droite parallèle à celle donnée

Aperçu de la leçon

Théorème de la somme des angles du triangle

1. Nom et prénom: Sayfetdinova Gulnara Vasilevna

2. Lieu de travail: Établissement d'enseignement budgétaire municipal "École secondaire Knyazevskaya" du district de Tukaevsky de la République du Tatarstan

3. Titre d'emploi: professeur de mathématiques

4. Article: géométrie

5. Classe: 7e année

6. Sujet de la leçon: Distance d'un point à une ligne. Distance entre lignes parallèles.

7. Tutoriel de base: Géométrie.7-9 années : manuel pour les établissements d'enseignement / auteur. L.S. Atanasyan, V.F. Butouzov,

S.B. Kadomtsev et al., 2010

8.Objectifs :

Objectif de l'activité : créer les conditions d'une formulation indépendante et d'une preuve des propriétés des chutes obliques et perpédiculaires d'un point à une ligne, le théorème sur l'équidistance des points sur des lignes parallèles ; organiser les activités des étudiants pour percevoir, comprendre et dans un premier temps consolider de nouvelles connaissances et méthodes d'activité.

Objectif pédagogique :

Sujet:

appliquer les concepts de distance d'un point à une ligne, de distance entre les lignes lors de la résolution de problèmes

Métasujet :

UUD réglementaire :

UUD cognitive :

UUD de communication :

UUD personnelle:

10. Méthodes d'enseignement: problématique, recherche.
11.Formes d'organisation d'activités éducatives: frontal, groupe, binôme, individuel, structures d'entraînement.

12.Équipement, conditions techniques :

Ordinateur, projecteur, écran, Internet, logiciels : Microsoft Power Point, places en classe - 4 personnes par table.

13.Durée du cours : 45 minutes

14.Plan de cours

je . Organisation du temps.

II . Actualisation des connaissances.

III . Fixer un objectif de cours . Introduction de nouveau matériel.

VI. Résumer. Réflexion.

je . Organisation du temps.

Cible: préparer les étudiants au travail, activer l'attention pour une inclusion rapide dans les activités.

Professeur : Bonjour gars? Comment te sens-tu? Relevons-le et commençons la leçon avec le sourire ! Souriez au visage de notre partenaire ! Sourions à l'épaule de notre partenaire !

II . Actualisation des connaissances.

Professeur : Vous étudiez un nouveau sujet de géométrie depuis six mois maintenant et vous savez probablement ce qu'est un théorème. Quelles méthodes de preuve connaissez-vous ?

Réponses possibles des élèves : Méthode par contradiction, méthode constructive, méthode de preuve basée sur des axiomes et des théorèmes préalablement prouvés (diapositive n°2).

Professeur: Les gars, quelles associations avez-vous avec le mot distance ?

Réponses possibles des élèves : La distance entre les villes, la distance entre les piliers, la distance de quelque chose à quelque chose (diapositive numéro 3).

Professeur: Quelle est la distance entre deux points ?

Réponses possibles des élèves : Longueur de section (diapositive numéro 4).

Professeur: Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 1

Professeur: Veuillez noter qu'en géométrie, la distance fait référence à la distance la plus courte. Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 2

Professeur: Que peut-on dire de la position relative de la droite AN et de la droite a ?

Professeur: Comment s'appellent ces lignes ?

Professeur: UN Quel est le nom du segment AN ?

Professeur: N'oubliez pas : une perpendiculaire est un segment. Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 3.

III. Fixer l'objectif de la leçon.Introduction de nouveau matériel.

Professeur: Tâche pratique :

Nous sommes dans un champ ; une route traverse le champ. Dessinez un modèle mathématique de la situation. Nous devons prendre la route. Dessinez la trajectoire (diapositive n°6).

Professeur: Comment définir cette trajectoire en langage mathématique ? Réponses possibles des élèves : Perpendiculaire

Professeur: Pourquoi pas? –

Essayez de lui donner un nom (diapositive numéro 7).

Réponses possibles des élèves : Incliné.

Professeur: Combien de lignes inclinées peut-on tracer à partir de ce point ?

Réponses possibles des élèves : Un tas de.

(diapositive numéro 7).

Professeur: Donc vous pensez que le chemin le plus court est une perpendiculaire ? Prouve le.

Professeur: Montrez maintenant que toute ligne inclinée est plus grande qu’une ligne perpendiculaire.

Que voit-on sur la photo ?

Réponses possibles des élèves : triangle rectangle (diapositive n°8).

Professeur: Quels sont les noms des perpendiculaires et des obliques dans ce triangle ? Réponses possibles des élèves : jambe et hypoténuse.

Professeur: Pourquoi l'hypoténuse est-elle plus grande que la jambe ?

Réponses possibles des élèves : En face du plus grand angle se trouve le plus grand côté. Le plus grand angle d’un triangle rectangle est un angle droit. En face se trouve l'hypoténuse.

Professeur. Comment pouvez-vous appeler autrement le segment AC ? Et si on revenait au contenu de la tâche ?

Réponses possibles des élèves : Distance d'un point à une ligne .

Professeur: Formulez la définition : « La distance d'un point à une ligne est... (la longueur de la perpendiculaire tracée de ce point à la ligne) » (diapositive n°9). Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 4.

Professeur: Tâche pratique.

Trouver la distance du point B aux droites A D EtCC en utilisant un triangle à dessiner et une règle (diapositive n°10) carte technologique point 6.

Professeur: Tâche pratique. Construisez deux droites parallèles a et b. Sur la ligne a, marquez le point A. Déposez une perpendiculaire du point A à la ligne b. Placez le point B à la base de la perpendiculaire.

Que pouvez-vous dire du segment AB ? (diapositive numéro 11).

Elle est perpendiculaire à la fois à la ligne a et à la ligne b.

Professeur: C'est pourquoi on l'appelle la perpendiculaire commune (diapositive n° 13). Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 5

Professeur: Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 6

Professeur: Tâche. Il est nécessaire de poser du linoléum au sol dans un long couloir. On sait que deux murs opposés sont parallèles. Une perpendiculaire commune a été tracée à une extrémité du couloir, et sa longueur s'est avérée être de 4 m. Vaut-il la peine de revérifier les longueurs des perpendiculaires communes à d'autres endroits du couloir ? (diapositive numéro 14).

Réponses possibles des élèves : Pas besoin, leurs longueurs seront également égales à 4.

Professeur: Prouve le. Mais d’abord, dessinons un modèle mathématique de cette situation. Pour prouver, mettre en évidence ce qui est connu et ce qui doit être prouvé.

Comment l’égalité des segments et des angles est-elle généralement prouvée en géométrie ?

Réponses possibles des élèves : Par l'égalité des triangles contenant ces segments et angles. Trouvez une construction qui nous permettrait de prouver l’égalité de ces triangles.

Structure CélibataireRondRobin:

2. Quatre élèves d'une équipe répondent une fois.

Professeur: Prouver l'égalité segments AB et CD par l'égalité des triangles . Sur le panneau, notez les trois conditions du test d’égalité du triangle.

1.Le professeur pose une question et donne le temps de réfléchir

Les élèves effectuent des constructions supplémentaires, prouvent l'égalité des triangles, tirent une conclusion sur l'égalité des segments AB et CD (diapositive n° 15-17).

Professeur: Segments AB et CD sont égaux. Que peut-on dire des points A et C par rapport à la droite BD ?

Réponses possibles des élèves : Ils sont à égale distance. Ils sont équidistants (diapositive numéro 18).

Professeur: Cette propriété est-elle valable pour certains points ?

Réponses possibles des élèves : Oui

Professeur: Essayons de formuler cette propriété. En quoi consiste une déclaration de propriété ?

Réponses possibles des élèves : De la condition et de la conclusion (diapositive n°19,20).

Réponses possibles des élèves : Si les points se trouvent sur l’une des droites parallèles, alors ils sont équidistants de la deuxième droite.

Professeur: Modifiez cette propriété sans conjonctions : si, alors (diapositive numéro 21).

Réponses possibles des élèves : Les points situés sur l'une des lignes parallèles sont équidistants de la deuxième ligne.

Structure Réfléchir-Écrire-Round Robin :

1.Le professeur pose une question et donne le temps de réfléchir

2. Les élèves réfléchissent et notent la réponse sur leur feuille de papier

3. Les élèves lisent à tour de rôle leur réponse sur une feuille de papier.

Professeur: Quelle affirmation s’appelle l’inverse ?

Réponses possibles des élèves : Si la condition et la conclusion sont inversées.

Professeur: Formuler l'énoncé inverse (diapositive numéro 22).

Réponses possibles des élèves : Si les points situés sur l'une des deux lignes sont équidistants de la deuxième ligne, alors les lignes sont parallèles.

Professeur: Faire une entrée dans la carte technologique aux paragraphes 7,8.

Professeur: Est-il possible de définir un concept tel que la distance entre des lignes parallèles ?

Réponses possibles des élèves : Oui

Professeur: Que peut-on appeler la distance entre des lignes parallèles

Réponses possibles des élèves : La longueur de la perpendiculaire commune. Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 5.

IV. Application du théorème, exécutionTravaux pratiques.

Professeur: Travaux pratiques. Trouvez la largeur de la bande.

Quel concept mathématique est la largeur d'une bande ?

Professeur: Où d'autre ces théorèmes sont-ils utilisés dans la vie pratique ?

VI. Résumer. Réflexion.

Professeur: Avec quels nouveaux concepts vous êtes-vous familiarisé ?

Qu'avez-vous appris pendant la leçon ?

Où dans la vie allons-nous appliquer cela ?

(diapositive n° 26-28)

Professeur: Faire une inscription dans la carte technologique au paragraphe 9

Devoir n° 276.279 – preuve du théorème inverse.

Auto-analyse de la leçon

Objectifs:

Objectif de l'activité : créer des conditions pour formuler et prouver indépendamment les propriétés des chutes inclinées et perpédiculaires d'un point à une ligne droite, créer des conditions pour prouver le théorème sur l'équidistance des points sur des lignes parallèles ; organiser les activités des étudiants pour percevoir, comprendre et dans un premier temps consolider de nouvelles connaissances et méthodes d'activité.

Objectif pédagogique : développer la connaissance qu'une perpendiculaire est inférieure à toute inclinaison, tracée d'un point à une ligne droite, tous les points de chacune des deux lignes parallèles sont équidistants de l'autre ligne droite.

Sujet: l'étudiant aura l'occasion d'apprendre :

appliquer le théorème pour résoudre des problèmes pratiques

analyser, comparer, généraliser, tirer des conclusions pour résoudre des problèmes pratiques.

Métasujet :

UUD réglementaire :

la capacité de fixer des objectifs de manière indépendante, de sélectionner et de créer des algorithmes pour résoudre des problèmes mathématiques pédagogiques ;

capacité à planifier et à réaliser des activités visant à résoudre des problèmes de recherche.

UUD cognitive :

• • la capacité d'établir des relations de cause à effet, d'élaborer un raisonnement logique, des inférences et des conclusions ;

  • la capacité de formuler des hypothèses lors de la résolution de problèmes éducatifs et de comprendre la nécessité de les tester ; la capacité d'utiliser des méthodes de raisonnement inductives et déductives, de voir différentes stratégies pour résoudre des problèmes ;

  • développer des idées initiales sur les idées et les méthodes des mathématiques en tant que langage universel de la science, moyen de modéliser des phénomènes et des processus ;

  • capacité à comprendre et à utiliser des dessins et des dessins à des fins d'illustration, d'interprétation, d'argumentation.

UUD de communication :

• la capacité d'organiser une coopération éducative et des activités conjointes avec l'enseignant et les étudiants, de déterminer des objectifs, de répartir les fonctions et les rôles des participants, les méthodes générales de travail ;

• capacité à travailler en groupe : trouver une solution commune et résoudre les conflits en s'appuyant sur la coordination des positions et la prise en compte des intérêts, l'écoute de l'autre, la formulation, l'argumentation et la défense de son opinion.

UUD personnelle:

• formation de compétences communicatives en communication et coopération dans des activités conjointes d'éducation et de recherche ;

  développement de la capacité d’exprimer ses pensées de manière claire, précise et compétente à l’oral et à l’écrit, de comprendre le sens de la tâche, de construire un argument, de donner des exemples et des contre-exemples ;

  développement de la pensée critique, capacité à reconnaître des déclarations logiquement incorrectes, à distinguer une hypothèse d'un fait ;

  développer la pensée créative, l'initiative, l'ingéniosité et l'activité dans la résolution de problèmes géométriques.

La structure du fragment de leçon correspondait au type - une leçon sur la découverte de nouvelles connaissances. Conformément aux objectifs et au contenu du matériel, la leçon a été structurée selon les étapes suivantes :

je . Organisation du temps.

II . Actualisation des connaissances.

III . Fixer un objectif de cours . Introduction de nouveau matériel.

IV. Application du théorème, mise en œuvre de travaux pratiques.

VI. Résumer.

Tous les éléments structurels de la leçon ont été suivis. L'organisation du processus éducatif repose sur la méthode de l'activité.

Le but de la première étapeIl a été facile d'intégrer rapidement les étudiants au rythme de l'entreprise.

À la deuxième étape les connaissances nécessaires pour travailler sur du nouveau matériel ont été mises à jour.

À la troisième étapeAfin de définir les notions de distance d'un point à une ligne, la notion de ligne inclinée a attiré les enfants vers des activités pratiques avec des éléments de recherche. Tout d’abord, sur un plan intuitif, les élèves émettent une hypothèse, puis prouvent indépendamment la propriété d’une perpendiculaire et d’une oblique tracées d’un point à une ligne droite.

En général, j'ai utilisé des tâches pratiques tout au long du cours, y compris lors de la consolidation initiale. Ils contribuent à attirer les étudiants vers une activité cognitive indépendante et à résoudre les problèmes d'une approche de l'apprentissage basée sur les compétences.

Pour formuler et prouver le théorème sur l'équidistance des points sur des lignes parallèles, j'ai utilisé une tâche problématique, qui a contribué à la formulation d'une hypothèse sur les propriétés des objets considérés et à la recherche ultérieure de la preuve de la validité de l'hypothèse posée avant.

En organisant un travail de formulation du théorème, puis du théorème inverse, j'ai atteint mon objectifdéveloppement d'idées initiales sur les idées et les méthodes des mathématiques en tant que langage universel de la science, moyen de modélisation des phénomènes et des processus.

Les activités éducatives et cognitives ont été organisées à travers un travail frontal, individuel et en groupe. Cette organisation a permis d'inclure chaque élève dans des activités actives pour atteindre l'objectif. Les étudiants ont coopéré les uns avec les autres, s’entraideant.

Le temps, je crois, était réparti de manière rationnelle. En peu de temps, nous avons réussi à introduire les notions de distance d'un point à une ligne droite, de ligne inclinée, de distance entre droites parallèles, à formuler et à prouver deux théorèmes et à envisager l'application du théorème dans la pratique.

Pour plus de clarté, j'ai utilisé une présentation pendant la leçon. J'ai utilisé un programme spécial pour une démonstration visant à comparer la longueur d'une oblique et d'une perpendiculaire, dans laquelle des formes géométriques prennent vie. Pendant la leçon, j'ai utilisé le travail des élèves sur le tableau de signalisation, qui résout les problèmes de participation égale des élèves à la leçon, de contrôle de l'apprentissage de la matière et, bien sûr, active l'élève dans la leçon.

Les élèves ont été actifs pendant le cours, j'ai réussi à les impliquer dans des activités de recherche, des activités créatives, avec une méthode constructive de preuve du théorème, de formulation du théorème

A la fin du cours, les élèves ont formulé eux-mêmes le sujet.

Réflexion