La connaissance des constructions géométriques de base permet de dessiner correctement et rapidement, en choisissant les techniques les plus rationnelles pour chaque cas.

2.1. Diviser un segment en parties égales

Vous pouvez diviser le segment en deux à l'aide d'un compas en construisant une perpendiculaire médiane (Fig. 18, a). Pour ce faire, prenez un rayon mesurant plus de la moitié de la longueur du segment et tracez des arcs de cercle à partir de ses extrémités des deux côtés jusqu'à ce qu'ils se coupent. On trace une perpendiculaire médiane passant par les points d'intersection des arcs.

Pour diviser en un nombre quelconque de parties égales, nous utilisons le théorème de la Loi

échafaudage : si des segments égaux sont disposés d'un côté de l'angle et que des lignes droites parallèles sont tracées à travers leurs extrémités, alors des segments égaux seront également disposés de l'autre côté de l'angle (Fig. 18, b). Sous pro-

dessinons un rayon auxiliaire AC faisant un angle arbitraire par rapport au segment AB, sur lequel nous déposons un segment de longueur arbitraire autant de fois que le nombre de parties en lesquelles ce segment doit être divisé. Nous connectons l'extrémité du dernier segment au point B et traçons des lignes droites parallèles à BC passant par les extrémités des segments restants.

2.2. Diviser un cercle en un nombre arbitraire de parties égales

La capacité de diviser un cercle en parties égales est nécessaire pour construire des polygones réguliers. Considérons d'abord des techniques particulières pour diviser un cercle.

Division en trois parties (Fig. 19)

Nous plaçons le pied du compas à l'une des extrémités des diamètres mutuellement perpendiculaires du cercle. A l'aide d'une solution de boussole égale au rayon du cercle, on y fait des encoches de part et d'autre de cette extrémité du diamètre. On obtient deux sommets d'un triangle régulier. Le troisième sommet est l'extrémité opposée du diamètre.

Division en quatre parties (Fig. 20)

Deux diamètres mutuellement perpendiculaires divisent le cercle en quatre parties égales. Si des lignes droites sont tracées passant par le centre du cercle selon un angle de 45ᵒ par rapport aux axes, elles diviseront également le cercle en quatre parties égales. Les côtés du carré inscrit seront parallèles aux axes du cercle. Ensemble, ces deux carrés divisaient le cercle en huit parties égales.

Divisé en cinq parties (Fig. 21)

● 1 ). A l'aide d'un compas d'ouverture égale au rayon, on fait une entaille sur le cercle. Nous obtenons le point2.

● A partir du point 2 on abaisse la perpendiculaire au diamètre à partir de l'extrémité duquel l'entaille a été réalisée. Nous obtenons le point 3.

● On place le pied du compas au point 3. Prenez un rayon égal à la distance du point 3 à l'extrémité du diamètre vertical (point 4) et tracez un arc jusqu'à ce qu'il croise le diamètre horizontal. Nous obtenons le point 5.

● Connectez les points 4 et 5. L'accord 4 à 5 représentera 1/5 du cercle.

● Nous mesurons la longueur de la corde avec une boussole 4–5 et commencez à le déposer à partir de l'une des extrémités du diamètre (en fonction de la manière dont le pentagone doit être orienté par rapport aux axes). Le diamètre à partir duquel on commence à poser un segment sera l'axe de symétrie de la figure.

Il est recommandé de disposer les pièces des deux côtés à la fois. Le segment restant doit être perpendiculaire à l'axe de symétrie. Si sa longueur n'est pas égale à la longueur des segments restants, cela signifie que la construction a été réalisée de manière inexacte ou que la corde 4-5 a été mesurée de manière inexacte. Vous devez ajuster la longueur du segment et répéter la division du cercle.

Division en six parties (Fig. 22)

À l'aide d'une ouverture de compas égale au rayon du cercle, nous faisons des encoches aux deux extrémités du même diamètre dans les deux sens. Nous obtenons quatre sommets d'un hexagone régulier. Les deux autres sommets sont les extrémités du diamètre à partir duquel les empattements sont réalisés.

Division en sept parties (Fig. 23)

● On place le pied du compas à l'une des extrémités du diamètre (point 1 ). À l'aide d'une solution de boussole égale au rayon du cercle, nous y faisons une encoche. Nous obtenons le point2.

● A partir du point 2 on abaisse la perpendiculaire au diamètre à partir de l'extrémité duquel l'entaille a été réalisée. Nous obtenons le point 3. Le segment 2-3 représente 1/7 du cercle.

● Nous mesurons la longueur du segment avec un pied à coulisse 2–3 et mettez-le de côté séquentiellement de chaque extrémité du diamètre des deux côtés à la fois. Le dernier segment doit être perpendiculaire au diamètre à partir duquel les segments ont commencé à être posés. Ce diamètre sera la symétrie de l'heptagone inscrit.

Division en dix parties (Fig. 24)

● Divisez le cercle en 5 parties, comme indiqué sur la figure. 21. Nous obtenons un pentagone régulier.

● De chaque sommet du pentagone, nous abaissons les perpendiculaires aux côtés opposés. Tous passeront par le centre du cercle et diviseront le côté et l’arc qui le sous-tend en deux. Nous obtenons 5 sommets supplémentaires.

Division en douze parties (Fig. 25)

À l'aide d'une ouverture de compas égale au rayon du cercle, nous faisons des encoches aux extrémités des deux diamètres des deux côtés de ceux-ci.

Il existe également une technique générale pour diviser un cercle en un nombre quelconque de parties. Considérons cela en utilisant l'exemple de la construction d'un hexagone régulier (Fig. 27).

● Nous dessinons deux diamètres mutuellement perpendiculaires (horizontal et vertical).

● Nous divisons le diamètre dont nous voulons faire l’axe de symétrie de la figure en autant de parties que nécessaire pour diviser le cercle. En figue. 27 diamètre AB est divisé en 9 parties. Nous numérotons les points de division résultants.

● On place le pied du compas au point Et avec un rayon égal au diamètre du cercle, tracez un arc jusqu'à ce qu'il croise le prolongement du diamètre vertical. On obtient le point C.

● Nous connectons le point C par un avec les points de division du diamètre et continuons jusqu'à ce qu'il croise l'arc de cercle opposé aux points I, II, III, IV. Si l'un des sommets du nonagone doit être le point A, tracez les rayons à travers toutes les divisions paires du diamètre (Fig. 27, a). Si le point B doit devenir l'un des sommets, alors les rayons doivent être tracés à travers toutes les divisions impaires du diamètre (Fig. 27, b).

● On affiche les points construits symétriquement par rapport au diamètre horizontal. Nous obtenons les sommets restants de la figure.

2.2.1. Tâche n°4. Diviser un cercle

Objectif : étudier les techniques de division d'un cercle en parties égales.

Sur le format A3, dans la première rangée, dessinez des polygones réguliers (trois, quatre, cinq, six, sept et neuf) inscrits dans des cercles d'un diamètre de 60 mm. Les cercles servant de lignes auxiliaires doivent être fins. Décrivez les polygones avec des lignes épaisses.

TRIANGLES.

§ 28. CONSTRUCTIONS AVEC BOUSSOLE ET RÈGLE.

Jusqu'à présent, pour résoudre des problèmes de construction, nous utilisions un compas, une règle, un triangle à dessin et un rapporteur.

Résolvons maintenant un certain nombre de problèmes de construction en utilisant seulement deux outils : un compas et une règle.

Tache 1. Divisez ce segment en deux.

Étant donné un segment AB, vous devez le diviser en deux.

Solution. D'un rayon supérieur à la moitié du segment AB, nous décrivons les arcs sécants à partir des points A et B, comme à partir des centres (Fig. 161). A travers les points d'intersection de ces arcs, nous traçons une droite CD, qui coupera le segment AB en un point K et le divisera en deux par ce point : AK = KV.

Prouvons-le. Relions les points A et B aux points C et D. /\ CAD = /\ SVD, puisque par construction AC = CB, AD = BD, CD est le côté commun.

De l'égalité de ces triangles il résulte que / ACCK = / VSK, c'est-à-dire SK est la bissectrice de l'angle au sommet du triangle isocèle ASV. Et la bissectrice de l'angle au sommet d'un triangle isocèle est aussi sa médiane, c'est-à-dire la droite CD divise le segment AB en deux.

Tâche 2. Tracez une perpendiculaire à une droite donnée AB passant par le point O situé sur cette droite.

Étant donné une droite AB et un point O situé sur cette droite. Il faut tracer une perpendiculaire à la droite AB passant par le point O.

Solution. Traçons deux segments égaux OM et ON sur la droite AB à partir du point O
(dessin 162). A partir des points M et N, comme à partir des centres, nous décrirons deux arcs de même rayon, supérieur à OM. On relie le point de leur intersection K avec le point O. KO est la médiane dans le triangle isocèle MKN, donc KO_|_A B (§ 18).

Tâche 3. Tracez une perpendiculaire à une droite donnée AB passant par un point C situé à l'extérieur de cette droite.

Étant donné une droite AB et un point C extérieur à cette droite, il faut une perpendiculaire à la droite AB passant par le point C.

Solution. A partir du point C, comme à partir du centre, on décrit un arc avec un dius tel qu'il coupe la droite AB, par exemple aux points M et N (Fig. 163). A partir des points M et N, comme à partir des centres, nous décrirons des arcs de même rayon, supérieur à la moitié MN. On relie leur point d'intersection E avec le point C et avec les points M et N. Les triangles CME et CNE sont égaux sur trois côtés. Moyens, / 1 = / 2 et CE est la bissectrice de l'angle C dans le triangle isocèle MCN, et donc perpendiculaire à la droite AB (§ 18).

Les contours de toutes les images sont formés par différentes lignes. Les lignes principales sont une ligne droite, un cercle et une série de courbes. Lors du dessin des contours des images, des constructions géométriques et des conjugaisons sont utilisées.

Lors de l'étude de la discipline « Géométrie descriptive et graphisme technique », les étudiants doivent apprendre les règles et la séquence d'exécution des constructions et des connexions géométriques.

À cet égard, la meilleure façon d’acquérir des compétences en construction consiste à réaliser des tâches permettant de dessiner les contours de pièces complexes.

Avant de commencer la tâche de test, vous devez étudier la technique de réalisation de constructions et de connexions géométriques conformément au manuel méthodologique.

1. Division des segments et des angles

1.1. Diviser un segment en deux

Divisez le segment AB donné en deux.

A partir des extrémités du segment AB, comme à partir des centres, on trace des arcs de cercle de rayon R dont la taille doit être légèrement supérieure à la moitié du segment AB (Fig. 1). Ces arcs se couperont aux points M et N, trouvons le point C où se coupent les droites AB et MN. Le point C divisera le segment AB en deux parties égales.

Note. Toutes les constructions nécessaires doivent et peuvent être réalisées uniquement à l'aide d'un compas et d'une règle (sans divisions).

1.2. Diviser un segment en n parties égales

Divisez un segment donné en n parties égales.

À partir de l'extrémité du segment - point A, nous tracerons un rayon auxiliaire à un angle arbitraire α (Fig. 2 a). Sur ce rayon, nous poserons 4 segments égaux de longueur arbitraire (Fig. 2b). La fin du dernier et quatrième segment (point 4) est reliée au point B. Ensuite, à partir de tous les points précédents 1...3, nous dessinons des segments parallèles au segment B4 jusqu'à ce qu'ils croisent le segment AB aux points 1", 2. ", 3". Les points ainsi obtenus divisent le segment en quatre segments égaux.

1.3. Diviser un angle en deux

Divisez l'angle BAC donné en deux.

À partir du sommet de l'angle A, nous traçons un arc de rayon arbitraire jusqu'à ce qu'il coupe les côtés de l'angle aux points B et C (Fig. 3 a). Ensuite, à partir des points B et C, nous traçons deux arcs de rayon supérieur à la moitié de la distance BC jusqu'à ce qu'ils se coupent au point D (Fig. 3 b). En reliant les points A et D par une ligne droite, on obtient la bissectrice de l'angle, qui divise l'angle donné en deux (Fig. 3 c)

a)b)c)

2. Diviser un cercle en parties égales et construire des polygones réguliers

2.1. Diviser un cercle en trois parties égales

A partir de l'extrémité du diamètre, par exemple le point A (Fig. 4), tracez un arc de rayon R égal au rayon du cercle donné. Les première et deuxième divisions sont obtenues - points 1 et 2. La troisième division, le point 3, est située à l'extrémité opposée du même diamètre. En reliant les points 1,2,3 avec des accords, vous obtenez un triangle inscrit régulier.

2.2. Diviser un cercle en six parties égales

A partir des extrémités de n'importe quel diamètre, par exemple AB (Fig. 5), des arcs de rayon R sont décrits. Les points A, 1,3,B,4,2 divisent le cercle en six parties égales. En les reliant avec des accords, on obtient un hexagone inscrit régulier.

Note. Les arcs auxiliaires ne doivent pas être dessinés complètement ; il suffit de faire des encoches sur le cercle.

2.3. Diviser un cercle en cinq parties égales

Deux diamètres AB et CD mutuellement perpendiculaires sont dessinés (Fig. 6). Le rayon OS au point O 1 est divisé en deux.
A partir du point O1, comme à partir du centre, tracez un arc de rayon O1A jusqu'à ce qu'il coupe le diamètre CD au point E.
Le segment AE est égal au côté d'un pentagone régulier inscrit, et le segment OE est égal au côté d'un décagone régulier inscrit.
En prenant le point A comme centre, un arc de rayon R1 = AE marque les points 1 et 4 sur le cercle. A partir des points 1 et 4, comme à partir des centres, des arcs de même rayon R1 marquent les points 3 et 2. Les points A, 1, 2, 3, 4 divisent le cercle en cinq parties égales.

2.4. Diviser un cercle en sept parties égales

A partir de l'extrémité du diamètre, par exemple, tracez au point A un arc de rayon R égal au rayon du cercle (Fig. 7). L'accord CD est égal au côté d'un triangle régulier inscrit. La moitié de l'accord CD est, avec une approximation suffisante, égale au côté d'un heptagone inscrit régulier, c'est-à-dire divise le cercle en sept parties égales.

Riz. 7

Littérature

Bogolyubov S.K. Graphique d'ingénierie : Manuel pour les établissements d'enseignement secondaire spécialisé. – 3e éd., rév. Et supplémentaire - M. : Génie Mécanique, 2006. – p. 392 : ill.
Kuprikov M. Yu. Ingénierie graphique : manuel pour les établissements d'enseignement secondaire - M. : Outarde, 2010 - 495 pp. : ill.
Fedorenko V.A., Shoshin A.I. Manuel de dessin mécanique L. : Génie mécanique. 1976. 336 p.

Connaissance; que les triangles sont égaux des deux côtés et l'angle entre eux, nous pouvons utiliser un compas et une règle pour diviser ce segment en deux parties égales.

Si, par exemple, vous devez diviser un segment en deux UN B(Fig. 69), puis placez la pointe du compas aux points A I B et Ils décrivent autour d'eux, comme à proximité des centres, deux arcs sécants d'égal rayon (fig. 70). Leurs points d'intersection AVEC Et D relié par une ligne droite qui UN Bà moitié: JSC= OB.

Pour vous assurer que les segments JSC Et OB doit être égal, reliez les points C Et D avec des extrémités UN Et DANS segment (Fig. 71). Vous obtiendrez deux triangles ACD Et BCD, dont les trois côtés sont respectivement égaux : CA= Soleil; ANNONCE= BD ; CD – commun, c'est-à-dire appartient aux deux triangles. Cela implique l'égalité complète de ces triangles, et donc l'égalité de tous les angles. Donc au fait, les angles sont égaux ACD Et BCD. Maintenant, en comparant les triangles ASS Et VSO, on voit qu'ils ont un côté Système d'exploitation – général, A.C.= CB, et l'angle entre eux ASO = euh. VSO. Les triangles sont égaux le long de deux côtés et de l'angle qui les sépare ; donc les côtés sont égaux JSC Et OB, c'est-à-dire le point À PROPOS il y a un point médian UN B.

§ 22. Comment construire un triangle en utilisant un côté et deux angles

Enfin, considérons un problème dont la solution conduit à la construction d'un triangle utilisant un côté et deux angles :

De l'autre côté de la rivière (Fig. 72) une borne milliaire est visible UN. Il faut, sans traverser la rivière, connaître la distance qui la sépare du jalon DANS sur cette rive.

Faisons cela. Mesurons à partir du point DANS n'importe quelle distance en ligne droite Soleil et aux extrémités DANS Et AVEC Mesurons les angles 1 et 2 (Fig. 73). Si nous mesurons maintenant la distance sur une zone pratique DE,égal Soleil, et construisons des angles à ses extrémités UN Et b(Fig. 74), égal aux angles 1 et 2, puis au point d'intersection de leurs côtés on obtient le troisième sommet F Triangle DÉF. Il est facile de vérifier que le triangle DEFégal à un triangle abc; en effet, si l'on imagine que le triangle DEF superposé à abc donc ce côté DE coïncidait avec son côté égal Soleil, puis euh. UN coïncidera avec l'angle 1, angle b- avec angle 2, et côté DF ira sur le côté Virginie, et le côté E.F. sur le côté SA. Puisque deux droites ne peuvent se couper qu’en un seul point, alors le sommet F devrait coïncider avec le sommet UN. Donc la distance DFégale à la distance requise VIRGINIE.

Le problème, comme nous le voyons, n’a qu’une seule solution. En général, en utilisant un côté et deux angles adjacents à ce côté, on ne peut construire qu'un seul triangle ; Il ne peut pas y avoir d’autres triangles ayant le même côté et les mêmes deux angles adjacents aux mêmes endroits. Tous les triangles qui ont un côté identique et deux angles identiques adjacents aux mêmes endroits peuvent être amenés en coïncidence complète par superposition. Cela signifie que c'est un signe par lequel on peut établir l'égalité complète des triangles.

Avec les signes d'égalité des triangles précédemment établis, nous connaissons désormais les trois suivants :

Triangles:

sur trois côtés ;

aux deux côtés et à l'angle entre eux ;

sur le côté et deux côtés.

Par souci de concision, nous désignerons en outre ces trois cas d’égalité des triangles comme suit :

sur trois côtés : SSS;

de deux côtés et l'angle entre eux : SUS;

sur le côté et deux coins : USU.

Applications

14. Pour connaître la distance jusqu'à un point UN de l'autre côté de la rivière à partir de la pointe DANS sur cette berge (Fig. 5), mesurez une ligne en ligne droite soleil, puis au point DANS construire un angle égal à abc, d'un autre côté Soleil, et au point AVEC- de la même manière, un angle égal à DIA Distance des points D intersection des côtés des deux côtés des angles par rapport au point DANSégale à la distance requise UN B. Pourquoi?

Solution : Triangles abc Et BDCégal d'un côté ( Soleil) et deux angles (ang. DCB= pouah. DIA; euh. DBC= pouah. abc.) Ainsi, UN B= ВD, comme des côtés formant des triangles égaux contre des angles égaux.

§ 23. Parallélogrammes

Des triangles on passe aux quadrilatères, c'est-à-dire aux figures limitées par 4 côtés. Un exemple de quadrilatère est un carré - un quadrilatère dont tous les côtés sont égaux et tous les angles sont droits (Fig. 76). Un autre type de quadrilatère, également fréquent, est le rectangulaire :

C'est le nom de tout quadrilatère à 4 angles droits (Fig. 77 et 78). Un carré est aussi un rectangle, mais avec des côtés égaux.

La particularité d'un rectangle (et d'un carré) est que les deux paires de ses côtés opposés sont parallèles. Dans un rectangle A B C D, par exemple (Fig. 78), UN B parallèle CC, un ANNONCE parallèle Soleil. Cela résulte de ce que les deux côtés opposés sont perpendiculaires à la même droite, et l'on sait que deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles (§ 16).

Une autre propriété de tout rectangle est que ses côtés opposés sont égaux. Vous pouvez le vérifier si vous reliez les sommets opposés du rectangle avec une ligne droite, c'est-à-dire en y traçant une diagonale. De liaison UN Avec AVEC(Dessiné 79) on obtient deux triangles abc Et ADC. Il est facile de montrer que ces triangles sont égaux entre eux : côté CA – total, ug. 1 = angle 2, car ce sont des angles croisés avec des parallèles UN B Et CD pour la même raison, les angles 3 et 4 sont égaux Du même côté et deux angles, triangles. abc Et ACDégal; d'où le côté UN B= côté cc, et côté ANNONCE= côté Soleil.

De tels quadrilatères, dans lesquels, comme les rectangles, les côtés opposés sont parallèles, sont appelés parallélogrammes. Bon sang. 80 montre un exemple de parallélogramme : UN B parallèle cc, UN ANNONCE parallèle AVANT JC. Merde.80

Un rectangle est l'un des parallélogrammes, c'est-à-dire celui dont tous les angles sont droits. Il est facile de vérifier que chaque parallélogramme possède les propriétés suivantes :

ANGLES OPPOSÉS GRAMMAIRE PARALLÈLE ÉGAL ; CÔTÉS OPPOSÉS

P a r l l e l o g r a m av y s.

Pour le vérifier, dessinons un parallélogramme A B C D(Fig. 81) droit ВD(diagonale) et comparer les triangles ABD Et VDC. Ces triangles sont congrus (cas USU): BD– côté commun ; euh. 1 = angle 2, coin 3 = angle 4 (pourquoi ?). Les propriétés énumérées précédemment en découlent.

Un parallélogramme à quatre côtés égaux s’appelle un losange.

Répéter les questions

Quelle forme s'appelle un carré ? Rectangle? – Qu’appelle-t-on une diagonale ? – Quelle figure s'appelle un parallélogramme ? Diamant? – Indiquer les propriétés des angles et des côtés de tout parallélogramme. – Quel rectangle s'appelle un carré ? – Quel parallélogramme s'appelle un rectangle ? – Quelles sont les similitudes et les différences entre un carré et un losange.

Connaissance; que les triangles sont égaux des deux côtés et l'angle entre eux, nous pouvons utiliser un compas et une règle pour diviser ce segment en deux parties égales.

Pour vous assurer que les segments JSC Et OB doit être égal, reliez les points C Et D avec des extrémités UN Et DANS segment (Fig. 71). Vous obtiendrez deux triangles ACD Et BCD, dont les trois côtés sont respectivement égaux : CA= Soleil; ANNONCE = BD ; CD – commun, c'est-à-dire appartient aux deux triangles. Cela implique l'égalité complète de ces triangles, et donc l'égalité de tous les angles. Donc au fait, les angles sont égaux ACD Et BCD. Maintenant, en comparant les triangles ASS Et VSO, on voit qu'ils ont un côté Système d'exploitation – général, A.C. = CB, et l'angle entre eux ASO = euh. VSO. Les triangles sont égaux le long de deux côtés et de l'angle qui les sépare ; donc les côtés sont égaux JSC Et OB, c'est-à-dire le point À PROPOS il y a un point médian UN B.

Comment construire un triangle en utilisant un côté et deux angles

Enfin, considérons un problème dont la solution conduit à la construction d'un triangle utilisant un côté et deux angles :

De l'autre côté de la rivière (Fig. 72) une borne milliaire est visible UN. Il faut, sans traverser la rivière, connaître la distance qui la sépare du jalon DANS sur cette rive.

Avec les signes d'égalité des triangles précédemment établis, nous connaissons désormais les trois suivants :

Triangles:

sur trois côtés ;

aux deux côtés et à l'angle entre eux ;

sur le côté et deux côtés.

Par souci de concision, nous désignerons en outre ces trois cas d’égalité des triangles comme suit :

sur trois côtés : SSS;

de deux côtés et l'angle entre eux : SUS;

sur le côté et deux coins : USU.

Applications

Parallélogrammes

C'est le nom de tout quadrilatère à 4 angles droits (Fig. 77 et 78). Un carré est aussi un rectangle, mais avec des côtés égaux.

Un rectangle est l'un des parallélogrammes, c'est-à-dire celui dont tous les angles sont droits. Il est facile de vérifier que chaque parallélogramme possède les propriétés suivantes :

ANGLES OPPOSÉS GRAMMAIRE PARALLÈLE ÉGAL ; CÔTÉS OPPOSÉS

P a r l l e l o g r a m av y s.

Un parallélogramme à quatre côtés égaux s’appelle un losange.

Répéter les questions

Applications

15. Un carré se dessine ainsi : après avoir mis de côté un côté, tracez-y des perpendiculaires aux extrémités, mettez-y les mêmes longueurs et reliez les extrémités par une ligne droite (Dessin 82). Comment être sûr que le quatrième côté d’un quadrilatère dessiné est égal aux trois autres et que tous ses angles sont droits ?

Solution Si la formation était réalisée de telle manière que sur le côté. UN B aux points UN Et DANS des perpendiculaires ont été tracées sur lesquelles ont été posés : AC = AB Et DВ= UN B, alors il reste à prouver que les angles AVEC Et D droit et quoi CDéquivaut à UN B. Pour ce faire, traçons (Fig. 83) une diagonale ANNONCE. Pouah. GOUJAT = A.D.B. comme correspondant (pour quels parallèles ?) ; CA= D.B., et donc des triangles GOUJAT Et MAUVAISégal (basé sur SUS). De là, nous déduisons que CD = UN B et euh. C = angle droit DANS. Comment prouver que le quatrième angle BDC est-ce aussi droit ?

16. Comment dessiner un rectangle ? Pourquoi une figure dessinée peut-elle être appelée un rectangle ? (Montrez que tous les angles de la figure dessinée sont droits).

La solution est similaire à la solution du problème précédent.

17. Montrer que les deux diagonales du rectangle sont égales.

La solution (Fig. 84) découle de l'égalité des triangles abc Et ABD(basé sur SUS).

18. Montrer que les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu.

Solution : Comparer (Fig. 85) des triangles AVO Et COD, nous veillons à ce qu'ils soient égaux (en fonction USU). D'ici JSC= Système d'exploitation, 0 V= DO.

19. La longueur de la perpendiculaire commune entre deux droites parallèles est appelée la distance qui les sépare. Montrer que la distance entre les parallèles est la même partout.

Indice : Quelle forme sont formées par des lignes parallèles séparées par deux perpendiculaires ?

IV. MESURE DE SURFACE

Mesures carrées. Palette

Dans les figures, il est souvent nécessaire de mesurer non seulement la longueur des lignes et les angles entre elles, mais également la taille de la zone qu'elles couvrent, c'est-à-dire leur superficie. Dans quelles unités la surface est-elle mesurée ? Une certaine longueur (mètre, centimètre) est prise comme mesure de longueur, et un certain angle (1°) est pris comme mesure d'angles ; une certaine superficie est prise comme mesure de superficie, à savoir l'aire d'un carré d'un côté de 1 mètre, 1 cm, etc. Un tel carré est appelé « mètre carré », « centimètre carré », etc. mesurer une surface signifie savoir combien d’unités de mesure carrées elle contient.

Si la zone mesurée n’est pas grande (tient sur une feuille de papier), elle peut être mesurée comme suit. Le papier transparent est découpé en carrés d'un centimètre et placé sur la figure à mesurer. Il n'est alors pas difficile de compter directement combien de centimètres carrés sont contenus dans les limites de la figure. Dans ce cas, les carrés incomplets près de la bordure sont pris (à l'œil nu) pour un demi-carré, un quart de carré, etc., ou les relient mentalement plusieurs à la fois en carrés entiers. Le papier transparent ainsi représenté est appelé une palette. Cette méthode est souvent utilisée pour mesurer les superficies de zones irrégulières sur un plan.

Mais il n'est pas toujours possible ni pratique d'imposer un réseau de carrés sur la figure mesurée. Il est impossible, par exemple, de mesurer ainsi la superficie d’un étage ou d’un terrain. Dans de tels cas, au lieu de mesurer directement la surface, ils ont recours à la méthode désagréable, qui consiste à mesurer uniquement la longueur de certaines figures linéaires et à effectuer certaines actions sur les nombres résultants. Nous montrerons plus tard comment cela se fait.

Répéter les questions

Quelles mesures sont utilisées pour déterminer l'aire des figures ? – Qu’est-ce qu’une palette et comment est-elle utilisée ?

Aire d'un rectangle

Supposons que vous deviez déterminer l'aire d'un rectangle, par exemple, ABDC(dessin 86). Mesuré avec une unité linéaire, par ex. mètre, la longueur de cette section. Supposons que le mètre soit disposé 5 fois en longueur. Divisons la zone en bandes transversales d'un mètre de large, comme le montre la Fig. 87. Évidemment, il y aura 5 de ces bandes. Ensuite, mesurons la largeur de la zone avec un mètre ; qu'il soit égal à 3 mètres. Nous diviserons la zone en bandes longitudinales de 1 mètre de large, comme le montre la Fig. 88 ; bien sûr, il y en aura 3. Chacune des cinq bandes transversales sera découpée en 3 mètres carrés, et l'ensemble de la parcelle sera divisé en 5 x 3 = 15 carrés de 1 mètre de côté : on a appris que la parcelle contient 15 mètres carrés. mètres. Mais nous pourrions obtenir le même nombre 15 sans représenter graphiquement l’aire, mais uniquement en multipliant sa longueur par sa largeur. Ainsi, pour savoir combien de mètres carrés contient un rectangle, vous devez mesurer sa longueur, sa largeur et multiplier les deux nombres.

Dans le cas considéré, l'unité de longueur - le mètre - a été placée de part et d'autre du rectangle un nombre entier de fois. Des manuels de mathématiques détaillés prouvent que la règle désormais établie est également vraie lorsque les côtés du rectangle ne contiennent pas un nombre entier d'unités de longueur. Dans tous les cas:

Superficie de la zone rectangulaire

le produit de la longueur par la largeur,

ou, comme on dit, en géométrie, – c'est

« base » sur « hauteur ».

Si la longueur de la base d'un rectangle est indiquée par la lettre UN, et la longueur de la hauteur est la lettre b, puis sa superficie Ségal à

S = un ? b,

ou simplement S = un B, car le signe de multiplication n'est pas placé entre les lettres.

Il est facile de comprendre que pour déterminer l'aire d'un carré, il faut multiplier la longueur de son côté par elle-même, c'est-à-dire « l'élever du carré ». Autrement dit:

L'aire d'un carré est égale au côté du carré. Si la longueur du côté d'un carré UN, puis sa superficie Ségal à

S= un? un = un 2.

Sachant cela, il est possible d’établir la relation entre les différentes unités carrées. Par exemple, un mètre carré contient des décimètres carrés 10 X 10, soit 100, et des centimètres carrés 100 X 100, soit 10 000 - car un centimètre linéaire s'adapte 10 fois sur le côté d'un décimètre carré et un mètre carré - 100 une fois.

Pour mesurer les parcelles de terrain, une mesure spéciale est utilisée - l'hectare, contenant 10 000 mètres carrés. Un terrain carré d'un côté de 100 mètres a une superficie de 1 hectare ; une parcelle rectangulaire d'une base de 200 mètres et d'une hauteur de 150 mètres a une superficie de 200 x 150, soit 30 000 mètres carrés. m ou 3 hectares. De vastes zones - telles que les comtés et les districts - sont mesurées

KILOMÈTRES CARRÉS.

La désignation abrégée des mesures carrées est :

carré mètre………………………………. carré m ou m2

carré décimètre…………………………. carré dm ou dm2

carré centimètre………………………… carré. cm ou cm2

carré millimètre……………………….. carré. mm ou mm2

hectare……………………………………..ha

Répéter les questions

Comment est calculée l’aire d’un rectangle ? Carré? - Combien de m². cm en carré m? Combien de m² mm en carré. m? – Qu’est-ce qu’un hectare ? – Combien d'hectares dans un carré ? kilomètres ? Quelle est l'abréviation de mesures carrées ?

Applications

20. Il est nécessaire de peindre l'intérieur de la pièce illustrée sur le dessin. 6. Les dimensions sont indiquées en mètres. Combien de matériaux et de main d'œuvre seront nécessaires pour cela, si l'on sait qu'il faut peindre un mètre carré ? mètres de parquet avec mastic de fissures et de branches sur préalablement peint, pour deux, requis (selon le Règlement d'Urgence) :

Malyarov………………………………….. 0,044

Huiles siccatives, kilogrammes…………………….… 0,18

Ocre clair, kg…………………………… 0;099

Mastic, kg…………………………………0,00225

Pierre ponce, kg………………………………….. 0,0009.

Solution : La superficie au sol est-elle de 8 ? 12 = 96 m² m.

La consommation de matériaux et de main d'œuvre est la suivante

Malyarov........ 0,044 ? 96 = 4,2

Huiles siccatives......0,18 ? 96= 17 kg

Ocre......... 0,099 ? 96 – 9,9 kg

Mastic......0,00225 ? 96 = 0,22 kg

Pierre ponce.........0,0009 ? 96 = 0,09kg.

21. Faites une déclaration de la consommation de main-d'œuvre et de matériaux pour tapisser la pièce précédente. Tâches. Pour recouvrir les murs avec du papier peint simple avec bordures, il est nécessaire (selon la réglementation locale) par m². mètre:

Peintres ou tapissiers………………………… 0,044

Pièces de papier peint (44 cm de large)……………………… 0,264

Bordure (selon calcul)

Grammes d'amidon………………………………. 90.

Solution - selon l'échantillon indiqué dans le problème précédent. Notons seulement que lors du calcul de la quantité de papier peint requise, en pratique, les ouvertures des murs ne sont pas soustraites de leur surface (puisque lors de la pose des figures dans les panneaux adjacents, une partie du papier peint est perdue).

Aire d'un triangle

Voyons d'abord comment l'aire d'un triangle rectangle est calculée. Supposons que nous devions déterminer l'aire d'un triangle abc(Fig. 89), dans lequel l'angle DANS- droit. Laissez-vous guider à travers les sommets UN Et AVEC lignes droites parallèles aux côtés opposés. On obtient (Fig. 90) un rectangle A B C D(pourquoi cette figure est-elle un rectangle ?), qui est divisé par une diagonale CA en deux triangles égaux (pourquoi ?). L'aire de ce rectangle est ah ; l'aire de notre triangle est la moitié de l'aire du rectangle, c'est-à-dire égal à 1/2 ah. Ainsi, l'aire de tout triangle rectangle est égale à la moitié du produit de ses côtés entourant un angle droit.

Supposons maintenant que vous deviez déterminer l'aire d'un triangle oblique (c'est-à-dire non rectangulaire) - par exemple. abc(dessin 91). On trace une perpendiculaire passant par l'un de ses sommets jusqu'au côté opposé ; une telle perpendiculaire est appelée la hauteur de ce triangle, et le côté vers lequel elle est tirée est la base du triangle. Notons la hauteur par h, et les segments en lesquels il divise la base sont p Et q. Aire d'un triangle rectangle ABD, comme nous le savons déjà, est égal à 1/2 ph; carré VCC = 1/2 qh. Carré S Triangle abcégal à la somme de ces aires : S= 1/2 ph + 1/2 qh = 1/2 h (R.+ q). Mais R.+ q = une; ainsi S = 1/2 ah.

Ce raisonnement ne peut pas être appliqué directement à un triangle d'angle obtus (Fig. 92), car la perpendiculaire CD ne rencontre pas la base UN B, et sa suite. Dans ce cas, nous devons penser différemment. Notons le segment ANNONCEà travers p, BD- à travers, q, donc la base UN le triangle est égal p – q. Aire de notre triangle abcégal à la différence des aires de deux triangles CDA – BDC = 1/2 ph – 1/2 qh = 1/2 h (p – q) = 1/2 ah.

Ainsi, dans tous les cas, l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de l'une de ses bases et de la hauteur correspondante.

Il s'ensuit que les triangles ayant des bases et des altitudes égales ont des aires égales ou, comme on dit,

équivaut à.

En général, les figures qui ont des aires égales sont appelées de taille égale, même si les figures elles-mêmes n'étaient pas égales (c'est-à-dire qu'elles ne coïncidaient pas lorsqu'elles étaient superposées).

Répéter les questions

Comment s’appelle la hauteur d’un triangle ? La base du triangle ? – Combien de hauteurs peut-on tracer dans un triangle ? – Dessinez un triangle avec un angle obtus et dessinez-y toutes les hauteurs. – Comment est calculée l’aire d’un triangle ? Comment exprimer cette règle dans une formule ? – Quelles figures sont dites de taille égale ?

Applications

22. Le potager a la forme d'un triangle avec une base de 13,4 m et une hauteur de 37,2 m... Combien de graines (en poids) faut-il pour le planter avec du chou, si par mètre carré ? m représente 0,5 gramme de graines ?

Solution : La superficie du potager est-elle de 13,4 ? 37,2 = 498 m². m.

Vous aurez besoin de 250 g de graines.

23. Le parallélogramme est divisé par des diagonales en 4 parties triangulaires. Lequel a la plus grande superficie ?

Solution. Les 4 triangles sont de taille égale, car ils ont des bases et des hauteurs égales.

Aire d'un parallélogramme

La règle de calcul de l'aire d'un parallélogramme s'établit très simplement si on la divise par une diagonale en deux triangles. Par exemple, l'aire d'un parallélogramme A B C D(Fig. 93) est égal à deux fois l'aire de chacun des deux triangles égaux dans lesquels il est divisé par la diagonale CA. Marquer la base du triangle CDAà travers UN, et la hauteur à travers h, on obtient la zone S parallélogramme

Perpendiculaire h est appelée « hauteur du parallélogramme », et le côté UN, auquel il est dessiné - "la base du parallélogramme". La règle désormais établie peut donc s’énoncer comme suit :

L'aire du parallélogramme est égale au produit de toute nouvelle hauteur.

Répéter les questions

Quelle est la base et la hauteur d'un parallélogramme ? Comment est calculée l'aire d'un parallélogramme ? – Exprimez cette règle dans une formule. – Combien de fois l'aire d'un parallélogramme est-elle plus grande que l'aire d'un triangle qui a la même base et la même hauteur ? – À hauteur et base égales, quelle figure a la plus grande aire : un rectangle ou un parallélogramme ?

Application

24. Un carré de 12,4 cm de côté est de taille égale à un parallélogramme de 8,8 cm de hauteur. Trouvez la base du parallélogramme.

Solution. L'aire de ce carré, et donc du parallélogramme, est de 12,42 = 154 mètres carrés. cm La base requise est de 154 : 8,8 = 18 cm.

Aire du trapèze

En plus des parallélogrammes, considérons un autre type de quadrilatères, à savoir ceux qui n'ont qu'une seule paire de côtés parallèles (Fig. 94). De telles figures sont appelées trapèzes. Les côtés parallèles d’un trapèze sont appelés ses bases et les côtés non parallèles sont appelés ses côtés.

Merde. 94 Merde. 95

Établissons une règle pour calculer l'aire d'un trapèze. Supposons que nous devions calculer l'aire d'un trapèze A B C D(Fig. 95), dont la longueur des bases un Et b. Traçons une diagonale ca, qui coupe un trapèze en deux triangles ACD Et abc. Nous savons que

zone ACD = 1/2 ah

zone abc = 1/2 bah.

zone A B C D= 1/2 ah+ 1/2 bah= 1/2 (un+ b) h.

Depuis la distance h entre les bases d'un trapèze est appelée sa hauteur, alors la règle de calcul de l'aire d'un trapèze peut être énoncée comme suit :

L'aire du trapèze est égale à la moitié de la somme multipliée par et en toi avec environ t à.

Répéter les questions

Quelle forme s'appelle un trapèze ? Quelles sont les bases d'un trapèze, ses côtés et sa hauteur ? – Comment est calculée l’aire d’un trapèze ?

Applications

25. Une section de rue a la forme d'un trapèze avec des bases de 180 m et 170 m et une hauteur de 8,5 m. Combien de blocs de bois seront nécessaires pour la poser, si par m². m il y a 48 pions ?

Solution. La superficie du terrain est de 8,5 H = (180 + 170)/ 2 = 1490 m². m. Nombre de pions = 72 000.

26. La pente du toit a la forme d'un trapèze dont les bases mesurent 23,6 m et 19,8 m et la hauteur est de 8,2 m. Combien de matériaux et de main d'œuvre seront nécessaires pour le couvrir, si par m². m requis :

Feuilles de fer...... 1.23

Clous à toiture kg.... 0,032

Huiles siccatives kg........0,036

Couvreurs...... 0,45.

Solution : L'aire de la pente est-elle égale à 8,2 ? (23,6 + 19,8)/ 2 = 178 m². m. Il reste à multiplier tous les nombres sur la tablette par 178.