Comment insérer des formules mathématiques sur un site internet ?
Si jamais vous avez besoin d'ajouter une ou deux formules mathématiques à une page Web, le moyen le plus simple de le faire est de suivre la description de l'article : les formules mathématiques sont facilement insérées sur le site sous la forme d'images générées automatiquement par Wolfram Alpha. . En plus de la simplicité, cette méthode universelle contribuera à améliorer la visibilité du site dans les moteurs de recherche. Cela fonctionne depuis longtemps (et je pense qu'il fonctionnera pour toujours), mais il est déjà moralement dépassé.
Si vous utilisez régulièrement des formules mathématiques sur votre site, je vous recommande d'utiliser MathJax - une bibliothèque JavaScript spéciale qui affiche la notation mathématique dans les navigateurs Web à l'aide du balisage MathML, LaTeX ou ASCIIMathML.
Il existe deux manières de commencer à utiliser MathJax : (1) à l'aide d'un simple code, vous pouvez connecter rapidement un script MathJax à votre site Web, qui sera automatiquement chargé depuis un serveur distant au bon moment (liste des serveurs) ; (2) téléchargez le script MathJax depuis un serveur distant vers votre serveur et connectez-le à toutes les pages de votre site. La deuxième méthode - plus complexe et plus longue - accélérera le chargement des pages de votre site, et si le serveur MathJax parent devient temporairement indisponible pour une raison quelconque, cela n'affectera en rien votre propre site. Malgré ces avantages, j’ai choisi la première méthode car elle est plus simple, plus rapide et ne nécessite pas de compétences techniques. Suivez mon exemple, et en seulement 5 minutes vous pourrez utiliser toutes les fonctionnalités de MathJax sur votre site.
Vous pouvez connecter le script de la bibliothèque MathJax à partir d'un serveur distant en utilisant deux options de code extraites du site Web principal de MathJax ou de la page de documentation :
L'une de ces options de code doit être copiée et collée dans le code de votre page Web, de préférence entre les balises et/ou immédiatement après la balise. Selon la première option, MathJax se charge plus rapidement et ralentit moins la page. Mais la deuxième option surveille et charge automatiquement les dernières versions de MathJax. Si vous insérez le premier code, il devra être mis à jour périodiquement. Si vous insérez le deuxième code, les pages se chargeront plus lentement, mais vous n'aurez pas besoin de surveiller en permanence les mises à jour de MathJax.
Le moyen le plus simple de connecter MathJax est dans Blogger ou WordPress : dans le panneau de configuration du site, ajoutez un widget conçu pour insérer du code JavaScript tiers, copiez-y la première ou la deuxième version du code de téléchargement présenté ci-dessus et placez le widget plus près. au début du modèle (d'ailleurs, ce n'est pas du tout nécessaire, puisque le script MathJax est chargé de manière asynchrone). C'est ça. Apprenez maintenant la syntaxe de balisage de MathML, LaTeX et ASCIIMathML et vous êtes prêt à insérer des formules mathématiques dans les pages Web de votre site.
Toute fractale est construite selon une certaine règle, qui est appliquée systématiquement un nombre illimité de fois. Chacun de ces moments est appelé une itération.
L'algorithme itératif de construction d'une éponge de Menger est assez simple : le cube original de côté 1 est divisé par des plans parallèles à ses faces en 27 cubes égaux. Un cube central et 6 cubes adjacents le long des faces en sont retirés. Le résultat est un ensemble composé des 20 cubes plus petits restants. En faisant de même avec chacun de ces cubes, nous obtenons un ensemble composé de 400 cubes plus petits. En poursuivant ce processus sans fin, nous obtenons une éponge Menger.
"Trouver l'expansion en série de Maclaurin de la fonction f(x)" - c'est exactement à quoi ressemble la tâche en mathématiques supérieures, que certains étudiants peuvent faire, tandis que d'autres ne peuvent pas faire face aux exemples. Il existe plusieurs façons d'étendre une série en puissances ; nous allons donner ici une technique pour étendre des fonctions dans une série de Maclaurin. Lorsque vous développez une fonction dans une série, vous devez être doué pour calculer les dérivées.
Exemple 4.7 Développer une fonction en puissances de x
Calculs : Nous effectuons le développement de la fonction selon la formule de Maclaurin. Tout d'abord, développons le dénominateur de la fonction en une série 
Enfin, multipliez le développement par le numérateur.
Le premier terme est la valeur de la fonction à zéro f (0) = 1/3.
Trouvons les dérivées de la fonction du premier ordre et des ordres supérieurs f (x) et la valeur de ces dérivées au point x=0 
Ensuite, sur la base du modèle de changement de la valeur des dérivées à 0, nous écrivons la formule de la nième dérivée 
Nous représentons donc le dénominateur sous la forme d'un développement dans la série de Maclaurin 
On multiplie par le numérateur et on obtient le développement souhaité de la fonction dans une série en puissances de x 
Comme vous pouvez le constater, il n'y a rien de compliqué ici.
Tous les points clés reposent sur la capacité à calculer des dérivées et à généraliser rapidement la valeur de la dérivée d’ordre supérieur à zéro. Les exemples suivants vous aideront à apprendre à organiser rapidement une fonction dans une série.
Exemple 4.10 Trouver le développement en série de Maclaurin de la fonction
Calculs : Comme vous l’avez peut-être deviné, nous mettrons le cosinus au numérateur d’une série. Pour ce faire, vous pouvez utiliser des formules pour des quantités infinitésimales ou dériver le développement du cosinus via des dérivées. On obtient ainsi la série suivante en puissances de x 
Comme vous pouvez le constater, nous disposons d’un minimum de calculs et d’une représentation compacte du développement de la série.
Exemple 4.16 Développez une fonction en puissances de x :
7/(12-x-x^2)
Calculs : Dans ce genre d’exemples, il faut développer la fraction par la somme de fractions simples.
Nous ne montrerons pas comment procéder maintenant, mais à l'aide de coefficients indéfinis, nous arriverons à la somme des fractions.
Ensuite, nous écrivons les dénominateurs sous forme exponentielle 
Il reste à élargir les termes en utilisant la formule de Maclaurin. En résumant les termes aux mêmes puissances de « x », nous composons une formule pour le terme général du développement d'une fonction dans une série 
La dernière partie de la transition vers la série au début est difficile à mettre en œuvre, car il est difficile de combiner les formules pour les indices (degrés) appariés et non appariés, mais avec de la pratique, vous vous améliorerez.
Exemple 4.18 Trouver le développement en série de Maclaurin de la fonction
Calculs : Trouvons la dérivée de cette fonction : 
Développons la fonction en une série en utilisant l'une des formules de McLaren : 
Nous résumons les séries terme par terme en nous basant sur le fait que les deux sont absolument identiques. Après avoir intégré la série entière terme par terme, on obtient le développement de la fonction en une série en puissances de x 
Il y a une transition entre les deux dernières lignes de l'extension qui vous prendra beaucoup de temps au début. Généraliser une formule en série n'est pas facile pour tout le monde, alors ne vous inquiétez pas de ne pas pouvoir obtenir une formule agréable et compacte.
Exemple 4.28 Trouvez le développement en série de Maclaurin de la fonction :
Écrivons le logarithme comme suit 
En utilisant la formule de Maclaurin, nous développons la fonction logarithme en une série en puissances de x 
La circonvolution finale est complexe à première vue, mais en alternant les signes, vous obtiendrez toujours quelque chose de similaire. La leçon de saisie sur le thème de la planification des fonctions d'affilée est terminée. D'autres schémas de décomposition tout aussi intéressants seront discutés en détail dans les documents suivants.
Les étudiants en mathématiques supérieures doivent savoir que la somme d'une certaine série de puissances appartenant à l'intervalle de convergence de la série qui nous est donnée s'avère être une fonction continue et illimitée de fois différenciée. La question se pose : est-il possible de dire qu’une fonction arbitraire donnée f(x) est la somme d’une certaine série entière ? Autrement dit, dans quelles conditions la fonction f(x) peut-elle être représentée par une série entière ? L'importance de cette question réside dans le fait qu'il est possible de remplacer approximativement la fonction f(x) par la somme des premiers termes d'une série entière, c'est-à-dire un polynôme. Ce remplacement d'une fonction par une expression assez simple - un polynôme - est également pratique pour résoudre certains problèmes, à savoir : lors de la résolution d'intégrales, lors du calcul, etc.
Il a été prouvé que pour une certaine fonction f(x), dans laquelle il est possible de calculer des dérivées jusqu'au (n+1)ième ordre, y compris le dernier, au voisinage de (α - R; x 0 + R ) un certain point x = α, il est vrai que la formule :
Cette formule porte le nom de la célèbre scientifique Brooke Taylor. La série obtenue à partir de la précédente s'appelle la série de Maclaurin :
La règle qui permet d'effectuer un développement dans une série de Maclaurin :
R n (x) -> 0 à n -> infini. S'il en existe une, la fonction f(x) qu'elle contient doit coïncider avec la somme de la série de Maclaurin.
Considérons maintenant la série de Maclaurin pour des fonctions individuelles.
1. Ainsi, le premier sera f(x) = e x. Bien entendu, de par ses caractéristiques, une telle fonction a des dérivées d'ordres très différents, et f (k) (x) = e x , où k est égal à tout Remplacer x = 0. Nous obtenons f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... Sur la base de ce qui précède, la série e x ressemblera à ceci :
2. Série de Maclaurin pour la fonction f(x) = sin x. Précisons immédiatement que la fonction pour toutes les inconnues aura en plus des dérivées f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2), où k est égal à n'importe quel nombre naturel, c'est-à-dire qu'après avoir effectué des calculs simples, nous pouvons arriver à. la conclusion selon laquelle. la série pour f(x) = sin x ressemblera à ceci :
3. Essayons maintenant de considérer la fonction f(x) = cos x. Pour toutes les inconnues, il a des dérivées d'ordre arbitraire, et |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|
