Résoudre des formules en ligne. Exemples de transformations identiques d'équations

I. hache 2 =0 – incomplet équation quadratique (b=0, c=0 ). Solution : x=0. Réponse : 0.

Résolvez des équations.

2x·(x+3)=6x-x 2 .

Solution. Ouvrons les parenthèses en multipliant 2x pour chaque terme entre parenthèses :

2x 2 +6x=6x-x 2 ; On déplace les termes de la droite vers la gauche :

2x2 +6x-6x+x2 =0 ; Voici des termes similaires :

3x 2 =0, donc x=0.

Répondre: 0.

II. hache 2 +bx=0 –incomplet équation quadratique (c=0 ). Solution : x (ax+b)=0 → x 1 =0 ou ax+b=0 → x 2 =-b/a. Réponse : 0 ; -b/a.

5x2-26x=0.

Solution. Supprimons le facteur commun X en dehors des parenthèses :

x(5x-26)=0; chaque facteur peut être égal à zéro :

x=0 ou 5x-26=0→ 5x=26, divisez les deux côtés de l'égalité par 5 et on obtient : x=5,2.

Répondre: 0; 5,2.

Exemple 3. 64x+4x2 =0.

Solution. Supprimons le facteur commun 4x en dehors des parenthèses :

4x(16+x)=0. Nous avons trois facteurs, 4≠0 donc, ou x=0 ou 16+x=0. De la dernière égalité nous obtenons x=-16.

Répondre: -16; 0.

Exemple 4.(x-3)2 +5x=9.

Solution. En appliquant la formule du carré de la différence de deux expressions, nous ouvrirons les parenthèses :

x2 -6x+9+5x=9; transformer sous la forme : x 2 -6x+9+5x-9=0 ; Présentons des termes similaires :

x2-x=0 ; nous allons le retirer X en dehors des parenthèses, on obtient : x (x-1)=0. D'ici ou x=0 ou x-1=0→ x=1.

Répondre: 0; 1.

III. hache 2 +c=0 –incomplet équation quadratique (b=0 ); Solution : hache 2 =-c → x 2 =-c/a.

Si (-Californie)<0 , alors il n’y a pas de vraies racines. Si (-c/à)>0

Exemple 5. x2-49=0.

Solution.

x 2 =49, à partir d'ici x=±7. Répondre:-7; 7.

Exemple 6. 9x2-4=0.

Solution.

Souvent, vous devez trouver la somme des carrés (x 1 2 +x 2 2) ou la somme des cubes (x 1 3 +x 2 3) des racines d'une équation quadratique, moins souvent - la somme des valeurs réciproques ​​des carrés des racines ou somme des racines carrées arithmétiques des racines d'une équation quadratique :

Le théorème de Vieta peut vous aider :

x 2 +px+q=0

x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.

Exprimons à travers p Et q:

1) somme des carrés des racines de l'équation x 2 +px+q=0;

2) somme des cubes des racines de l'équation x2 +px+q=0.

Solution.

1) Expression x1 2 +x2 2 obtenu en mettant au carré les deux côtés de l'équation x 1 + x 2 = -p ;

(x 1 +x 2) 2 =(-p) 2 ; ouvrez les parenthèses : x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2 ; nous exprimons la quantité requise : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2x 1 x 2 =p 2 -2q. Nous obtenons une égalité utile : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

2) Expression x1 3 +x2 3 Représentons la somme des cubes par la formule :

(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p·(p 2 -2q-q)=-p·(p 2 -3q).

Une autre équation utile : x 1 3 +x 2 3 = -p·(p 2 -3q).

Exemples.

3)x2-3x-4=0. Sans résoudre l'équation, calculez la valeur de l'expression x1 2 +x2 2.

Solution.

x 1 + x 2 =-p=3, et le travail x1 ∙x2 =q=dans l'exemple 1) égalité :

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q. Nous avons -p=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9 ; q= x1x2 = -4. Alors x 1 2 +x 2 2 =9-2·(-4)=9+8=17.

Répondre: x1 2 +x2 2 =17.

4) x2 -2x-4=0. Calculez : x 1 3 +x 2 3 .

Solution.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines de cette équation quadratique réduite est x 1 + x 2 =-p=2, et le travail x1 ∙x2 =q=-4. Appliquons ce que nous avons reçu ( dans l'exemple 2) égalité : x 1 3 +x 2 3 =-p·(p 2 -3q)= 2·(2 2 -3·(-4))=2·(4+12)=2·16=32.

Répondre: x1 3 +x2 3 =32.

Question : et si on nous donnait une équation quadratique non réduite ? Réponse : il peut toujours être « réduit » en divisant terme à terme par le premier coefficient.

5) 2x2 -5x-7=0. Sans décider, calculez : x1 2 +x2 2.

Solution. On nous donne une équation quadratique complète. Divisez les deux côtés de l'égalité par 2 (le premier coefficient) et obtenez l'équation quadratique suivante : x2 -2,5x-3,5=0.

D'après le théorème de Vieta, la somme des racines est égale à 2,5 ; le produit des racines est égal à -3,5 .

Nous le résolvons de la même manière que dans l'exemple 3) en utilisant l'égalité : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.

Répondre: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.

6)x2-5x-2=0. Trouver:

Transformons cette égalité et, en utilisant le théorème de Vieta, remplaçons la somme des racines par -p, et le produit des racines à travers q, nous obtenons une autre formule utile. Lors de la dérivation de la formule, nous avons utilisé l'égalité 1) : x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q.

Dans notre exemple x 1 + x 2 =-p=5 ; x1 ∙x2 =q=-2. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

7)x2 -13x+36=0. Trouver:

Transformons cette somme et obtenons une formule qui peut être utilisée pour trouver la somme des racines carrées arithmétiques à partir des racines d'une équation quadratique.

Nous avons x 1 + x 2 =-p=13 ; x1 ∙x2 =q=36. Nous substituons ces valeurs dans la formule résultante :

Conseil : vérifiez toujours la possibilité de trouver les racines d'une équation quadratique par une méthode adaptée, car 4 révisé formules utiles permettent de réaliser rapidement une tâche, notamment dans les cas où le discriminant est un numéro « gênant ». Dans tous les cas simples, trouver les racines et agir dessus. Par exemple, dans le dernier exemple, nous sélectionnons les racines en utilisant le théorème de Vieta : la somme des racines doit être égale à 13 , et le produit des racines 36 . Quels sont ces chiffres ? Certainement, 4 et 9. Calculons maintenant la somme des racines carrées de ces nombres : 2+3=5. C'est ça!

I. Théorème de Vieta pour l'équation quadratique réduite.

Somme des racines de l'équation quadratique réduite x 2 +px+q=0 est égal au deuxième coefficient pris de signe opposé, et le produit des racines est égal au terme libre :

x 1 + x 2 = -p ; x1 ∙x2 =q.

Trouvez les racines de l'équation quadratique donnée en utilisant le théorème de Vieta.

Exemple 1) x 2 -x-30=0. C'est l'équation quadratique réduite ( x2 +px+q=0), deuxième coefficient p=-1, et le membre gratuit q=-30. Tout d’abord, assurons-nous que cette équation a des racines et que les racines (le cas échéant) seront exprimées en nombres entiers. Pour ce faire, il suffit que le discriminant soit le carré parfait d’un nombre entier.

Trouver le discriminant D=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Or, selon le théorème de Vieta, la somme des racines doit être égale au deuxième coefficient pris de signe opposé, c'est-à-dire ( -p), et le produit est égal au terme libre, c'est-à-dire ( q). Alors:

x1 +x2 =1 ; x1 ∙x2 =-30. Il faut choisir deux nombres tels que leur produit soit égal à -30 , et le montant est unité. Ce sont des chiffres -5 Et 6 . Réponse : -5 ; 6.

Exemple 2) x 2 +6x+8=0. On a l'équation quadratique réduite avec le deuxième coefficient p=6 et membre gratuit q=8. Assurons-nous qu'il existe des racines entières. Trouvons le discriminant J 1 J 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Le discriminant D 1 est le carré parfait du nombre 1 , ce qui signifie que les racines de cette équation sont des nombres entiers. Sélectionnons les racines à l'aide du théorème de Vieta : la somme des racines est égale à –р=-6, et le produit des racines est égal à q=8. Ce sont des chiffres -4 Et -2 .

En fait : -4-2=-6=-р ; -4∙(-2)=8=q. Réponse : -4 ; -2.

Exemple 3) x 2 +2x-4=0. Dans cette équation quadratique réduite, le deuxième coefficient p=2, et le membre gratuit q=-4. Trouvons le discriminant J 1, puisque le deuxième coefficient est un nombre pair. J 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Le discriminant n'est pas un carré parfait du nombre, donc nous le faisons conclusion: Les racines de cette équation ne sont pas des nombres entiers et ne peuvent être trouvées à l’aide du théorème de Vieta. Cela signifie que nous résolvons cette équation, comme d'habitude, en utilisant les formules (dans ce cas, en utilisant les formules). On a:

Exemple 4).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si x1 =-7, x2 =4.

Solution. L'équation recherchée s'écrira sous la forme : x 2 +px+q=0, et, basé sur le théorème de Vieta –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 →p=3 ; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . L’équation prendra alors la forme : x2 +3x-28=0.

Exemple 5).Écrivez une équation quadratique en utilisant ses racines si :

II. Théorème de Vieta pour une équation quadratique complète hache 2 +bx+c=0.

La somme des racines est moins b, divisé par UN, le produit des racines est égal à Avec, divisé par UN:

x 1 + x 2 = -b/une ; x 1 ∙x 2 =c/une.

Exemple 6). Trouver la somme des racines d'une équation quadratique 2x2 -7x-11=0.

Solution.

Nous nous assurons que cette équation aura des racines. Pour ce faire, il suffit de créer une expression du discriminant, et, sans la calculer, de s'assurer simplement que le discriminant est supérieur à zéro. D=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Utilisons maintenant théorème Vieta pour les équations quadratiques complètes.

x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.

Exemple 7). Trouver le produit des racines d'une équation quadratique 3x2 +8x-21=0.

Solution.

Trouvons le discriminant J 1, puisque le deuxième coefficient ( 8 ) est un nombre pair. J 1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . L'équation quadratique a 2 racine, selon le théorème de Vieta, le produit des racines x 1 ∙x 2 =c:une=-21:3=-7.

I. hache 2 +bx+c=0– équation quadratique générale

Discriminant D=b 2 - 4ac.

Si D>0, alors nous avons deux vraies racines :

Si D=0, alors nous avons une seule racine (ou deux racines égales) x=-b/(2a).

Si D<0, то действительных корней нет.

Exemple 1) 2x2 +5x-3=0.

Solution. un=2; b=5; c=-3.

D = b 2 - 4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 vraies racines.

4x2 +21x+5=0.

Solution. un=4; b=21; c=5.

D = b 2 - 4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 vraies racines.

II. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique de forme particulière avec même une seconde

coefficient b

Exemple 3) 3x2 -10x+3=0.

Solution. un=3; b=-10 (nombre pair) ; c=3.

Exemple 4) 5x2 -14x-3=0.

Solution. un=5; b= -14 (nombre pair) ; c=-3.

Exemple 5) 71x2 +144x+4=0.

Solution. un=71; b=144 (nombre pair) ; c=4.

Exemple 6) 9x2 -30x+25=0.

Solution. un=9; b=-30 (nombre pair) ; c=25.

III. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique type privé fourni: a-b+c=0.

La première racine est toujours égale à moins un et la deuxième racine est toujours égale à moins Avec, divisé par UN:

x 1 =-1, x 2 =-c/a.

Exemple 7) 2x2 +9x+7=0.

Solution. un=2; b=9; c=7. Vérifions l'égalité : a-b+c=0. On a: 2-9+7=0 .

Alors x1 =-1, x2 =-c/a=-7/2=-3,5. Répondre: -1; -3,5.

IV. hache 2 +bx+c=0 – équation quadratique d'une forme particulière soumise à : a+b+c=0.

La première racine est toujours égale à un et la deuxième racine est égale à Avec, divisé par UN:

x 1 =1, x 2 =c/a.

Exemple 8) 2x2 -9x+7=0.

Solution. un=2; b=-9; c=7. Vérifions l'égalité : a+b+c=0. On a: 2-9+7=0 .

Alors x1 =1, x2 =c/a=7/2=3,5. Répondre: 1; 3,5.

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Au stade de la préparation au test final, les lycéens doivent améliorer leurs connaissances sur le thème « Équations exponentielles ». L'expérience des années passées indique que de telles tâches posent certaines difficultés aux écoliers. Par conséquent, les lycéens, quel que soit leur niveau de préparation, doivent maîtriser parfaitement la théorie, mémoriser les formules et comprendre le principe de résolution de telles équations. Ayant appris à faire face à ce type de problème, les diplômés peuvent compter sur des scores élevés lorsqu'ils réussissent l'examen d'État unifié en mathématiques.

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Comment utiliser la calculatrice mathématique

1. L'écran (écran de la calculatrice) affiche l'expression saisie et le résultat de son calcul en symboles ordinaires, comme on l'écrit sur papier. Ce champ sert simplement à visualiser la transaction en cours. L'entrée apparaît à l'écran lorsque vous tapez une expression mathématique dans la ligne de saisie.

2. Le champ de saisie de l'expression est destiné à enregistrer l'expression qui doit être calculée. Il convient de noter ici que les symboles mathématiques utilisés dans les programmes informatiques ne sont pas toujours les mêmes que ceux que nous utilisons habituellement sur papier. Dans l'aperçu de chaque fonction de la calculatrice, vous trouverez la désignation correcte pour une opération spécifique et des exemples de calculs dans la calculatrice. Sur cette page ci-dessous se trouve une liste de toutes les opérations possibles dans la calculatrice, indiquant également leur orthographe correcte.

3. Barre d'outils - ce sont des boutons de calculatrice qui remplacent la saisie manuelle de symboles mathématiques indiquant l'opération correspondante. Certains boutons de la calculatrice (fonctions supplémentaires, convertisseur d'unités, résolution de matrices et d'équations, graphiques) complètent la barre des tâches avec de nouveaux champs dans lesquels sont saisies les données d'un calcul spécifique. Le champ « Historique » contient des exemples d'écriture d'expressions mathématiques, ainsi que vos six entrées les plus récentes.

Veuillez noter que lorsque vous appuyez sur les boutons permettant d'appeler des fonctions supplémentaires, un convertisseur d'unités, de résoudre des matrices et des équations et de tracer des graphiques, l'ensemble du panneau de la calculatrice monte, couvrant une partie de l'écran. Remplissez les champs obligatoires et appuyez sur la touche "I" (surlignée en rouge sur l'image) pour voir l'affichage en taille réelle.

4. Le pavé numérique contient des chiffres et des symboles arithmétiques. Le bouton "C" supprime toute l'entrée dans le champ de saisie de l'expression. Pour supprimer les caractères un par un, vous devez utiliser la flèche à droite de la ligne de saisie.

Essayez de toujours fermer les parenthèses à la fin d'une expression. Pour la plupart des opérations, ce n'est pas critique ; le calculateur en ligne calculera tout correctement. Toutefois, dans certains cas, des erreurs peuvent survenir. Par exemple, lors d'une élévation à une puissance fractionnaire, des parenthèses non fermées feront passer le dénominateur de la fraction dans l'exposant dans le dénominateur de la base. La parenthèse fermante est affichée en gris pâle sur l’écran et doit être fermée une fois l’enregistrement terminé.

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