Calculateur en ligne.
Évaluez une expression avec des fractions numériques.
Multiplier, soustraire, diviser, additionner et réduire des fractions avec différents dénominateurs.

Avec ce calculateur en ligne, vous pouvez multiplier, soustraire, diviser, additionner et réduire des fractions avec des dénominateurs différents.

Le programme fonctionne avec des fractions numériques régulières, impropres et mixtes.

Ce programme (calculateur en ligne) peut :
- effectuer l'addition de fractions mixtes avec différents dénominateurs
- effectuer la soustraction de fractions mixtes avec différents dénominateurs
- diviser des fractions mixtes avec des dénominateurs différents
- multiplier des fractions mixtes avec différents dénominateurs
- réduire les fractions à un dénominateur commun
- convertir des fractions mixtes en fractions impropres
- réduire les fractions

Vous pouvez également saisir non pas une expression avec des fractions, mais une seule fraction.
Dans ce cas, la fraction sera réduite et la partie entière sera séparée du résultat.

Le calculateur en ligne pour calculer des expressions avec des fractions numériques ne donne pas seulement la réponse au problème, il fournit une solution détaillée avec des explications, c'est-à-dire affiche le processus de recherche d’une solution.

Ce programme peut être utile aux lycéens des écoles d'enseignement général lors de la préparation des tests et des examens, lors du test des connaissances avant l'examen d'État unifié et aux parents pour contrôler la solution de nombreux problèmes de mathématiques et d'algèbre. Ou peut-être que cela vous coûte trop cher d’embaucher un tuteur ou d’acheter de nouveaux manuels ? Ou souhaitez-vous simplement terminer vos devoirs de mathématiques ou d’algèbre le plus rapidement possible ? Dans ce cas, vous pouvez également utiliser nos programmes avec des solutions détaillées.

De cette façon, vous pouvez organiser votre propre formation et/ou celle de vos jeunes frères ou sœurs, tandis que le niveau d'éducation dans le domaine de la résolution de problèmes augmente.

Si vous n'êtes pas familier avec les règles de saisie des expressions avec des fractions numériques, nous vous recommandons de vous familiariser avec elles.

Règles de saisie d'expressions avec des fractions numériques

Seul un nombre entier peut servir de numérateur, de dénominateur et de partie entière d’une fraction.

Le dénominateur ne peut pas être négatif.

Lors de la saisie d'une fraction numérique, le numérateur est séparé du dénominateur par un signe de division : /
Entrée : -2/3 + 7/5
Résultat : \(-\frac(2)(3) + \frac(7)(5)\)

La partie entière est séparée de la fraction par le signe esperluette : &
Entrée : -1&2/3 * 5&8/3
Résultat : \(-1\frac(2)(3) \cdot 5\frac(8)(3)\)

La division des fractions est introduite par le signe deux-points : :
Entrée : -9&37/12 : -3&5/14
Résultat : \(-9\frac(37)(12) : \left(-3\frac(5)(14) \right) \)
N'oubliez pas que vous ne pouvez pas diviser par zéro !

Vous pouvez utiliser des parenthèses lors de la saisie d'expressions contenant des fractions numériques.
Saisir: -2/3 * (6&1/2-5/9) : 2&1/4 + 1/3
Résultat : \(-\frac(2)(3) \cdot \left(6 \frac(1)(2) - \frac(5)(9) \right) : 2\frac(1)(4) + \frac(1)(3)\)

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Un peu de théorie.

Fractions ordinaires. Division avec reste

Si nous devons diviser 497 par 4, alors lors de la division, nous verrons que 497 n'est pas divisible également par 4, c'est-à-dire le reste de la division demeure. Dans de tels cas, on dit que c'est terminé division avec reste, et la solution s'écrit comme suit :
497 : 4 = 124 (1 reste).

Les composantes de la division du côté gauche de l'égalité sont appelées de la même manière que dans la division sans reste : 497 - dividende, 4 - diviseur. Le résultat de la division divisée avec un reste est appelé privé incomplet. Dans notre cas, il s’agit du nombre 124. Et enfin, la dernière composante, qui n’est pas en division ordinaire, est reste. Dans les cas où il n’y a pas de reste, on dit qu’un nombre est divisé par un autre. sans laisser de trace, ou complètement. On pense qu'avec une telle division, le reste est nul. Dans notre cas, le reste est 1.

Le reste est toujours inférieur au diviseur.

La division peut être vérifiée par multiplication. Si, par exemple, il existe une égalité 64 : 32 = 2, alors la vérification peut se faire comme ceci : 64 = 32 * 2.

Souvent, dans les cas où une division avec un reste est effectuée, il est pratique d'utiliser l'égalité
une = b * n + r,
où a est le dividende, b est le diviseur, n est le quotient partiel, r est le reste.

Le quotient des nombres naturels peut s’écrire sous forme de fraction.

Le numérateur d'une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur.

Puisque le numérateur d’une fraction est le dividende et le dénominateur est le diviseur, croire que la ligne d'une fraction signifie l'action de division. Parfois, il est pratique d’écrire la division sous forme de fraction sans utiliser le signe « : ».

Le quotient de la division des nombres naturels m et n peut s'écrire sous la forme d'une fraction \(\frac(m)(n) \), où le numérateur m est le dividende et le dénominateur n est le diviseur :
\(m:n = \frac(m)(n)\)

Les règles suivantes sont vraies :

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser l'unité en n parties égales (actions) et prendre m de ces parties.

Pour obtenir la fraction \(\frac(m)(n)\), vous devez diviser le nombre m par le nombre n.

Pour trouver une partie d'un tout, il faut diviser le nombre correspondant au tout par le dénominateur et multiplier le résultat par le numérateur de la fraction qui exprime cette partie.

Pour trouver un tout à partir de sa partie, il faut diviser le nombre correspondant à cette partie par le numérateur et multiplier le résultat par le dénominateur de la fraction qui exprime cette partie.

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a \cdot n)(b \cdot n) \)

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont divisés par le même nombre (sauf zéro), la valeur de la fraction ne changera pas :
\(\large \frac(a)(b) = \frac(a: m)(b: m) \)
Cette propriété est appelée propriété principale d'une fraction.

Les deux dernières transformations sont appelées réduire une fraction.

Si les fractions doivent être représentées comme des fractions avec le même dénominateur, alors cette action est appelée réduire des fractions à un dénominateur commun.

Fractions propres et impropres. Numéros mixtes

Vous savez déjà qu'une fraction peut être obtenue en divisant un tout en parties égales et en prenant plusieurs de ces parties. Par exemple, la fraction \(\frac(3)(4)\) signifie trois quarts de un. Dans de nombreux problèmes du paragraphe précédent, les fractions étaient utilisées pour représenter des parties d’un tout. Le bon sens veut que la partie soit toujours inférieure au tout, mais qu'en est-il des fractions telles que \(\frac(5)(5)\) ou \(\frac(8)(5)\ ? Il est clair que cela ne fait plus partie de l'unité. C'est probablement pourquoi les fractions dont le numérateur est supérieur ou égal au dénominateur sont appelées fractions impropres. Les fractions restantes, c'est-à-dire les fractions dont le numérateur est inférieur au dénominateur, sont appelées fractions correctes.

Comme vous le savez, toute fraction commune, propre ou impropre, peut être considérée comme le résultat de la division du numérateur par le dénominateur. Ainsi, en mathématiques, contrairement au langage ordinaire, le terme « fraction impropre » ne signifie pas que nous avons fait quelque chose de mal, mais seulement que le numérateur de cette fraction est supérieur ou égal au dénominateur.

Si un nombre est constitué d’une partie entière et d’une fraction, alors les fractions sont appelées mixtes.

Par exemple:
\(5:3 = 1\frac(2)(3) \) : 1 est la partie entière et \(\frac(2)(3) \) est la partie fractionnaire.

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b) \) est divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut diviser son numérateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a:n)(b) \)

Si le numérateur de la fraction \(\frac(a)(b)\) n'est pas divisible par un entier naturel n, alors pour diviser cette fraction par n, il faut multiplier son dénominateur par ce nombre :
\(\large \frac(a)(b) : n = \frac(a)(bn) \)

Notez que la deuxième règle est également vraie lorsque le numérateur est divisible par n. On peut donc l’utiliser lorsqu’il est difficile de déterminer au premier coup d’œil si le numérateur d’une fraction est divisible par n ou non.

Actions avec des fractions. Additionner des fractions.

Vous pouvez effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres fractionnaires, tout comme avec des nombres naturels. Voyons d'abord ajouter des fractions. Il est facile d'additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Trouvons, par exemple, la somme de \(\frac(2)(7)\) et \(\frac(3)(7)\). Il est facile de comprendre que \(\frac(2)(7) + \frac(2)(7) = \frac(5)(7) \)

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.

À l'aide de lettres, la règle d'addition de fractions ayant des dénominateurs similaires peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(c) + \frac(b)(c) = \frac(a+b)(c) \)

Si vous devez additionner des fractions avec des dénominateurs différents, elles doivent d'abord être réduites à un dénominateur commun. Par exemple:
\(\large \frac(2)(3)+\frac(4)(5) = \frac(2\cdot 5)(3\cdot 5)+\frac(4\cdot 3)(5\cdot 3 ) = \frac(10)(15)+\frac(12)(15) = \frac(10+12)(15) = \frac(22)(15) \)

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et associatives de l'addition sont valables.

Ajouter des fractions mixtes

Les notations telles que \(2\frac(2)(3)\) sont appelées fractions mélangées. Dans ce cas, le chiffre 2 est appelé partie entière fraction mixte, et le nombre \(\frac(2)(3)\) est son partie fractionnaire. L’entrée \(2\frac(2)(3)\) se lit comme suit : « deux et deux tiers ».

En divisant le nombre 8 par le nombre 3, vous pouvez obtenir deux réponses : \(\frac(8)(3)\) et \(2\frac(2)(3)\). Ils expriment le même nombre fractionnaire, c'est-à-dire \(\frac(8)(3) = 2 \frac(2)(3)\)

Ainsi, la fraction impropre \(\frac(8)(3)\) est représentée comme une fraction mixte \(2\frac(2)(3)\). Dans de tels cas, on dit qu'à partir d'une fraction impropre a mis en évidence toute la partie.

Soustraire des fractions (nombres fractionnaires)

La soustraction des nombres fractionnaires, comme les nombres naturels, est déterminée sur la base de l'action d'addition : en soustraire un autre à un nombre signifie trouver un nombre qui, ajouté au second, donne le premier. Par exemple:
\(\frac(8)(9)-\frac(1)(9) = \frac(7)(9) \) puisque \(\frac(7)(9)+\frac(1)(9 ) = \frac(8)(9)\)

La règle pour soustraire des fractions avec des dénominateurs similaires est similaire à la règle pour additionner de telles fractions :
Pour trouver la différence entre des fractions ayant les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur identique.

En utilisant des lettres, cette règle s'écrit ainsi :
\(\large \frac(a)(c)-\frac(b)(c) = \frac(a-b)(c) \)

Multiplier des fractions

Pour multiplier une fraction par une fraction, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs et écrire le premier produit comme numérateur et le second comme dénominateur.

À l'aide de lettres, la règle de multiplication des fractions peut s'écrire comme suit :
\(\large \frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d) = \frac(a \cdot c)(b \cdot d) \)

À l'aide de la règle formulée, vous pouvez multiplier une fraction par un nombre naturel, par une fraction mixte, ainsi que multiplier des fractions mixtes. Pour ce faire, vous devez écrire un nombre naturel sous forme de fraction avec un dénominateur 1, une fraction mixte - sous forme de fraction impropre.

Le résultat de la multiplication doit être simplifié (si possible) en réduisant la fraction et en isolant toute la partie de la fraction impropre.

Pour les fractions, comme pour les nombres naturels, les propriétés commutatives et combinatoires de la multiplication, ainsi que la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, sont valables.

Division de fractions

Prenons la fraction \(\frac(2)(3)\) et « retournons-la », en échangeant le numérateur et le dénominateur. On obtient la fraction \(\frac(3)(2)\). Cette fraction est appelée inverse fractions \(\frac(2)(3)\).

Si nous « inversons » maintenant la fraction \(\frac(3)(2)\), nous obtiendrons la fraction originale \(\frac(2)(3)\). Par conséquent, des fractions telles que \(\frac(2)(3)\) et \(\frac(3)(2)\) sont appelées mutuellement inverse.

Par exemple, les fractions \(\frac(6)(5) \) et \(\frac(5)(6) \), \(\frac(7)(18) \) et \(\frac (18 )(7)\).

À l'aide de lettres, les fractions réciproques peuvent s'écrire comme suit : \(\frac(a)(b) \) et \(\frac(b)(a) \)

Il est clair que le produit des fractions réciproques est égal à 1. Par exemple : \(\frac(2)(3) \cdot \frac(3)(2) =1 \)

En utilisant des fractions réciproques, vous pouvez réduire la division de fractions à la multiplication.

La règle pour diviser une fraction par une fraction est :
Pour diviser une fraction par une autre, vous devez multiplier le dividende par l’inverse du diviseur.

Les fractions sont des nombres ordinaires et peuvent également être additionnées et soustraites. Mais comme ils ont un dénominateur, ils nécessitent des règles plus complexes que pour les nombres entiers.

Considérons le cas le plus simple, lorsqu'il existe deux fractions avec les mêmes dénominateurs. Alors:

Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé.

Pour soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez soustraire le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction, et encore une fois laisser le dénominateur inchangé.

Dans chaque expression, les dénominateurs des fractions sont égaux. Par définition de l'addition et de la soustraction de fractions, nous obtenons :

Comme vous pouvez le constater, ce n’est rien de compliqué : on ajoute ou soustrait simplement les numérateurs et c’est tout.

Mais même dans des actions aussi simples, les gens parviennent à commettre des erreurs. Ce qu’on oublie le plus souvent, c’est que le dénominateur ne change pas. Par exemple, en les additionnant, ils commencent également à s'additionner, ce qui est fondamentalement faux.

Se débarrasser de la mauvaise habitude d’ajouter des dénominateurs est assez simple. Essayez la même chose lors de la soustraction. En conséquence, le dénominateur sera nul et la fraction perdra (du coup !) son sens.

N'oubliez donc pas une fois pour toutes : lors de l'addition et de la soustraction, le dénominateur ne change pas !

De nombreuses personnes font également des erreurs en additionnant plusieurs fractions négatives. Il y a une confusion avec les signes : où mettre un moins et où mettre un plus.

Ce problème est également très simple à résoudre. Il suffit de rappeler que le moins avant le signe d'une fraction peut toujours être transféré au numérateur - et vice versa. Et bien sûr, n’oubliez pas deux règles simples :

1. Plus par moins donne moins ;
2. Deux négatifs font un affirmatif.

Regardons tout cela avec des exemples précis :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Dans le premier cas, tout est simple, mais dans le second, ajoutons des moins aux numérateurs des fractions :

Que faire si les dénominateurs sont différents

Vous ne pouvez pas additionner directement des fractions avec des dénominateurs différents. En tout cas, cette méthode m'est inconnue. Cependant, les fractions originales peuvent toujours être réécrites pour que les dénominateurs deviennent les mêmes.

Il existe de nombreuses façons de convertir des fractions. Trois d'entre eux sont abordés dans la leçon « Réduire des fractions à un dénominateur commun », nous ne nous y attarderons donc pas ici. Regardons quelques exemples :

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Dans le premier cas, on réduit les fractions à un dénominateur commun en utilisant la méthode des « entrecroisés ». Dans la seconde, nous chercherons le CNO. Notez que 6 = 2 · 3 ; 9 = 3 · 3. Les derniers facteurs de ces développements sont égaux et les premiers sont relativement premiers. Par conséquent, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Que faire si une fraction a une partie entière

Je peux vous plaire : les dénominateurs différents dans les fractions ne sont pas le plus grand mal. Beaucoup plus d'erreurs se produisent lorsque la partie entière est mise en évidence dans les fractions additionnelles.

Bien sûr, il existe ses propres algorithmes d'addition et de soustraction pour de telles fractions, mais ils sont assez complexes et nécessitent une longue étude. Mieux vaut utiliser le schéma simple ci-dessous :

1. Convertissez toutes les fractions contenant une partie entière en fractions impropres. On obtient des termes normaux (même avec des dénominateurs différents), qui sont calculés selon les règles évoquées ci-dessus ;
2. En fait, calculez la somme ou la différence des fractions résultantes. En conséquence, nous trouverons pratiquement la réponse ;
3. Si c'est tout ce qui était requis dans le problème, nous effectuons la transformation inverse, c'est-à-dire On se débarrasse d'une fraction impropre en mettant en évidence la partie entière.

Les règles pour passer aux fractions impropres et mettre en évidence la partie entière sont décrites en détail dans la leçon « Qu'est-ce qu'une fraction numérique ». Si vous ne vous en souvenez pas, assurez-vous de le répéter. Exemples:

Tâche. Trouvez le sens de l’expression :

Tout est simple ici. Les dénominateurs à l'intérieur de chaque expression sont égaux, il ne reste donc plus qu'à convertir toutes les fractions en fractions impropres et à compter. Nous avons:

Pour simplifier les calculs, j'ai sauté certaines étapes évidentes dans les derniers exemples.

Une petite note sur les deux derniers exemples, où les fractions dont la partie entière est mise en évidence sont soustraites. Le moins avant la deuxième fraction signifie que c'est la fraction entière qui est soustraite, et pas seulement sa partie entière.

Relisez cette phrase, regardez les exemples – et réfléchissez-y. C’est là que les débutants commettent un grand nombre d’erreurs. Ils adorent poser de tels problèmes lors des tests. Vous les rencontrerez également à plusieurs reprises dans les tests de cette leçon, qui sera publiée prochainement.

Résumé : schéma général de calcul

En conclusion, je vais donner un algorithme général qui vous aidera à trouver la somme ou la différence de deux fractions ou plus :

1. Si une ou plusieurs fractions ont une partie entière, convertissez ces fractions en fractions impropres ;
2. Ramenez toutes les fractions à un dénominateur commun de la manière qui vous convient (à moins, bien sûr, que les auteurs des problèmes ne l'aient fait) ;
3. Ajoutez ou soustrayez les nombres résultants selon les règles d'addition et de soustraction de fractions avec des dénominateurs similaires ;
4. Si possible, raccourcissez le résultat. Si la fraction est incorrecte, sélectionnez la partie entière.

N'oubliez pas qu'il est préférable de mettre en évidence toute la partie à la toute fin de la tâche, juste avant d'écrire la réponse.

En 5ème année du secondaire, la représentation des fractions est introduite. Une fraction est un nombre composé d'un nombre entier de fractions d'unités. Les fractions ordinaires s'écrivent sous la forme ±m/n, le nombre m est appelé numérateur de la fraction et le nombre n est son dénominateur. Si le module du dénominateur est supérieur au module du numérateur, disons 3/4, alors la fraction est appelée fraction correcte, sinon elle est appelée fraction impropre. Une fraction peut contenir une partie entière, disons 5 * (2/3). Diverses opérations arithmétiques peuvent être utilisées avec des fractions.

Instructions

1. Réduction à un dénominateur universel. Soit les fractions a/b et c/d. - Tout d'abord, trouvez le nombre LCM (plus petit multiple universel) pour les dénominateurs des fractions. - Le numérateur et le dénominateur de la première fraction sont. multiplié par LCM/b - Le numérateur et le dénominateur des 2èmes fractions sont multipliés par LCM/d. Un exemple est montré dans la figure. Pour comparer des fractions, elles doivent être réduites à un dénominateur commun, puis comparer les numérateurs. Disons 3/4< 4/5, см. рисунок.

2. Addition et soustraction de fractions. Pour trouver la somme de 2 fractions ordinaires, il faut les réduire à un dénominateur commun, puis additionner les numérateurs en laissant le dénominateur inchangé. Un exemple d'ajout de fractions 1/2 et 1/3 est montré sur la figure. La différence des fractions se trouve de la même manière, après avoir trouvé le dénominateur commun, les numérateurs des fractions sont soustraits, voir l'exemple sur la figure.

3. Multiplication et division de fractions. Lors de la multiplication de fractions ordinaires, les numérateurs et les dénominateurs sont multipliés ensemble. Afin de diviser deux fractions, vous devez obtenir l'inverse de la 2ème fraction, c'est-à-dire. échangez son numérateur et son dénominateur, puis multipliez les fractions obtenues.

Module représente la valeur inconditionnelle de l'expression. Les parenthèses droites sont utilisées pour désigner un module. Les valeurs qu'ils contiennent sont considérées comme modulo. La résolution d'un module consiste à développer les parenthèses modulaires selon certaines règles et à trouver l'ensemble des valeurs d'expression. Dans la plupart des cas, le module est étendu de telle manière que l'expression sous-modulaire reçoive un certain nombre de valeurs positives et négatives, y compris une valeur nulle. Sur la base de ces propriétés du module, d'autres équations et inégalités de l'expression initiale sont compilées et résolues.

Instructions

1. Notez l'équation initiale avec le module. Pour le résoudre, développez le module. Regardez chaque expression sous-modulaire. Déterminez à quelle valeur des quantités inconnues qui y sont incluses l'expression entre parenthèses modulaires devient nulle.

2. Pour ce faire, assimilez l'expression sous-modulaire à zéro et trouvez la solution à l'équation résultante. Enregistrez les valeurs détectées. De la même manière, déterminez les valeurs de la variable inconnue pour l'ensemble du module dans l'équation donnée.

3. Considérons les cas d'existence de variables lorsqu'elles sont bonnes à partir de zéro. Pour ce faire, écrivez un système d'inégalités pour tous les modules de l'équation initiale. Les inégalités doivent couvrir toutes les valeurs valides d'une variable sur la droite numérique.

4. Tracez une droite numérique et tracez-y les valeurs résultantes. Les valeurs de la variable dans le module zéro serviront de contraintes lors de la résolution de l'équation modulaire.

5. Dans l'équation initiale, vous devez ouvrir les parenthèses modulaires, en changeant le signe de l'expression afin que les valeurs de la variable correspondent à celles affichées sur la droite numérique. Résolvez l’équation résultante. Vérifiez la valeur de la variable détectée par rapport à la limite spécifiée par le module. Si la solution satisfait à la condition, alors c’est vrai. Les racines qui ne satisfont pas aux restrictions doivent être écartées.

6. De même, développez les modules de l'expression initiale en tenant compte du signe et calculez les racines de l'équation résultante. Notez toutes les racines résultantes qui satisfont aux inégalités de contraintes.

Les nombres fractionnaires permettent d'exprimer la valeur exacte d'une quantité sous différentes formes. Vous pouvez effectuer les mêmes opérations mathématiques avec des fractions qu'avec des nombres entiers : soustraction, addition, multiplication et division. Pour apprendre à décider fractions, vous devez vous rappeler certaines de leurs fonctionnalités. Ils dépendent du type fractions, la présence d'une partie entière, un dénominateur commun. Certaines opérations arithmétiques nécessitent ultérieurement la réduction de la partie fractionnaire du total.

Tu auras besoin de

• - calculatrice

Instructions

1. Regardez attentivement ces chiffres. Si parmi les fractions il y a des décimales et des irrégulières, il est parfois plus pratique d'effectuer d'abord des opérations avec des décimales, puis de les convertir sous une forme incorrecte. Peux-tu traduire fractions sous cette forme dans un premier temps, en écrivant la valeur après la virgule au numérateur et en mettant 10 au dénominateur. Si nécessaire, réduisez la fraction en divisant les nombres au-dessus et en dessous de la ligne par un diviseur. Réduisez les fractions dans lesquelles la partie entière est donnée sous la mauvaise forme en la multipliant par le dénominateur et en ajoutant le numérateur au total. Cette valeur deviendra le nouveau numérateur fractions. Afin de sélectionner une pièce entière parmi celle initialement incorrecte fractions, vous devez diviser le numérateur par le dénominateur. Écrivez le total à gauche de fractions. Et le reste de la division deviendra le nouveau numérateur, dénominateur fractionsça ne change pas. Pour les fractions avec une partie entière, il est permis d'effectuer des actions séparément, d'abord pour la partie entière, puis pour les parties fractionnaires. Disons que la somme est de 1 2/3 et 2 ? peut être calculé par deux méthodes : - Conversion de fractions sous la mauvaise forme : - 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12 ; - En sommant séparément les parties entières et fractionnaires des termes : - 1 2/3 + 2 ? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Pour les fractions impropres avec des valeurs différentes, trouvez le dénominateur commun sous la ligne. Disons que pour 5/9 et 7/12 le dénominateur commun sera 36. Pour cela, le numérateur et le dénominateur du premier fractions vous devez multiplier par 4 (il s'avère que 28/36) et le 2ème - par 3 (il s'avère que 15/36). Vous pouvez maintenant effectuer les calculs nécessaires.

3. Si vous comptez calculer la somme ou la différence de fractions, notez d'abord le dénominateur commun découvert sous la ligne. Effectuez les actions nécessaires entre les numérateurs et écrivez le résultat au-dessus de la nouvelle ligne fractions. Ainsi, le nouveau numérateur sera la différence ou la somme des numérateurs des fractions originales.

4. Pour calculer le produit de fractions, multipliez les numérateurs des fractions et écrivez le total à la place du numérateur du résultat final. fractions. Faites de même pour les dénominateurs. Quand on en divise un fractions notez une fraction par une autre, puis multipliez son numérateur par le dénominateur de la 2e. Dans ce cas, le dénominateur du premier fractions multiplié en conséquence par le 2ème numérateur. Dans ce cas, une révolution originale se produit 2ème fractions(diviseur). La fraction finale sera constituée des résultats de la multiplication des numérateurs et des dénominateurs des deux fractions. Ce n'est pas difficile d'apprendre à résoudre fractions, écrit dans la condition sous la forme de « quatre étages » fractions. Si une ligne sépare deux fractions, réécrivez-les en utilisant le délimiteur « : » et continuez avec la division ordinaire.

5. Pour obtenir le total final, réduisez la fraction obtenue en divisant le numérateur et le dénominateur par un nombre entier, le plus grand autorisé dans ce cas. Dans ce cas, au-dessus et en dessous de la ligne doivent être des nombres entiers.

Note!
N'effectuez pas d'opérations arithmétiques avec des fractions dont les dénominateurs sont différents. Choisissez un nombre tel que lorsque vous multipliez le numérateur et le dénominateur d’une fraction par celui-ci, les dénominateurs des deux fractions finissent par être égaux.

Conseil utile
Lors de l'écriture de nombres fractionnaires, le dividende est écrit au-dessus de la ligne. Cette quantité est désignée comme le numérateur de la fraction. Le diviseur ou le dénominateur de la fraction est écrit sous la ligne. Disons qu'un kilo et demi de riz sous forme de fraction s'écrira comme suit : 1 ? kg de riz. Si le dénominateur d’une fraction est 10, la fraction est appelée décimale. Dans ce cas, le numérateur (dividende) est écrit à droite de la partie entière, séparé par une virgule : 1,5 kg de riz. Pour la commodité des calculs, une telle fraction peut invariablement être écrite sous la mauvaise forme : 1 2/10 kg de pommes de terre. Pour faciliter les choses, vous pouvez réduire les valeurs du numérateur et du dénominateur en les divisant par un entier. Dans cet exemple, la division par 2 est acceptable. Le résultat sera 1 1/5 kg de pommes de terre. Assurez-vous que les nombres avec lesquels vous allez effectuer des calculs sont présentés sous la même forme.

Si vous rédigez une dissertation ou rédigez un autre document contenant une partie de calcul, vous ne pouvez pas échapper aux expressions fractionnaires, qui doivent également être imprimées. Voyons comment procéder plus loin.

Instructions

1. Cliquez une fois sur l'élément de menu « Insérer », puis sélectionnez « Symbole ». C'est l'une des méthodes d'insertion les plus primitives fractions dans le texte. Il conclut plus loin. L'ensemble de symboles prêts à l'emploi comprend fractions. Leur nombre, comme d'habitude, est petit, mais si vous devez écrire ? dans le texte, et non 1/2, alors une option similaire sera la plus optimale pour vous. De plus, le nombre de caractères de fraction peut dépendre de la police. Par exemple, pour la police Times New Roman, il y a un peu moins de fractions que pour la même Arial. Variez les polices pour trouver la meilleure option en matière d’expressions primitives.

2. Cliquez sur l'élément de menu « Insérer » et sélectionnez le sous-élément « Objet ». Une fenêtre apparaîtra devant vous avec une liste d'objets acceptables à insérer. Choisissez parmi eux Microsoft Equation 3.0. Cette application vous aidera à taper fractions. Et pas seulement fractions, mais aussi des expressions mathématiques difficiles contenant diverses fonctions trigonométriques et d'autres éléments. Double-cliquez sur cet objet avec le bouton gauche de la souris. Une fenêtre apparaîtra devant vous contenant de nombreux symboles.

3. Pour imprimer une fraction, sélectionnez le symbole représentant une fraction avec un numérateur et un dénominateur vides. Cliquez dessus une fois avec le bouton gauche de la souris. Un menu supplémentaire apparaîtra, clarifiant le schéma lui-même. fractions. Il peut y avoir plusieurs options. Sélectionnez celui qui vous convient particulièrement et cliquez une fois dessus avec le bouton gauche de la souris.

4. Entrez le numérateur et le dénominateur fractions toutes les données nécessaires. Cela coulera plus facilement sur la feuille de document. La fraction sera insérée en tant qu'objet séparé, qui, si nécessaire, pourra être déplacé n'importe où dans le document. Vous pouvez imprimer sur plusieurs étages fractions. Pour ce faire, placez au numérateur ou au dénominateur (selon vos besoins) une autre fraction, que vous pourrez choisir dans la fenêtre de la même application.

Vidéo sur le sujet

Une fraction algébrique est une expression de la forme A/B, où les lettres A et B représentent n'importe quelle expression numérique ou alphabétique. Souvent, le numérateur et le dénominateur des fractions algébriques ont une forme massive, mais les opérations avec de telles fractions doivent être effectuées selon les mêmes règles que les actions avec des fractions ordinaires, où le numérateur et le dénominateur sont des entiers réguliers.

Instructions

1. Si donné mélangé fractions, convertissez-les en fractions irrégulières (une fraction dans laquelle le numérateur est plus grand que le dénominateur) : multipliez le dénominateur par la partie entière et ajoutez le numérateur. Ainsi, le nombre 2 1/3 se transformera en 7/3. Pour ce faire, multipliez 3 par 2 et ajoutez-en un.

2. Si vous devez convertir une décimale en fraction impropre, pensez à diviser un nombre sans virgule décimale par un avec autant de zéros qu'il y a de nombres après la virgule décimale. Supposons que le nombre 2,5 soit 25/10 (si vous le raccourcissez, vous obtenez 5/2) et le nombre 3,61 soit 361/100. Il est souvent plus facile d'opérer avec des fractions impropres qu'avec des fractions mixtes ou décimales.

3. Si les fractions ont des dénominateurs identiques et que vous devez les additionner, ajoutez simplement les numérateurs ; les dénominateurs restent inchangés.

4. Si vous devez soustraire des fractions avec des dénominateurs identiques, soustrayez le numérateur de la 2e fraction du numérateur de la première fraction. Les dénominateurs ne changent pas non plus.

5. Si vous devez additionner des fractions ou soustraire une fraction d’une autre et qu’elles ont des dénominateurs différents, réduisez les fractions à un dénominateur commun. Pour ce faire, trouvez un nombre qui sera le plus petit multiple universel (LCM) des deux dénominateurs ou plusieurs si les fractions sont supérieures à 2. LCM est un nombre qui sera divisé en dénominateurs de toutes les fractions données. Par exemple, pour 2 et 5, ce nombre est 10.

6. Après le signe égal, tracez une ligne horizontale et écrivez ce nombre (NOC) au dénominateur. Ajoutez des facteurs supplémentaires à chaque terme - le nombre par lequel vous devez multiplier à la fois le numérateur et le dénominateur pour obtenir le LCM. Multipliez les numérateurs étape par étape par des facteurs supplémentaires, en préservant le signe d'addition ou de soustraction.

7. Calculez le total, réduisez-le si nécessaire ou sélectionnez la partie entière. Par exemple, faut-il le plier ? Et?. Le LCM pour les deux fractions est de 12. Ensuite, le facteur supplémentaire pour la première fraction est de 4, pour la 2ème fraction - 3. Total : ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Si un exemple est donné pour la multiplication, multipliez les numérateurs ensemble (ce sera le numérateur du total) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur du total). Dans ce cas, il n’est pas nécessaire de les réduire à un dénominateur commun.

9. Pour diviser une fraction par une fraction, vous devez retourner la deuxième fraction et multiplier les fractions. Autrement dit, a/b : c/d = a/b · d/c.

10. Factorisez le numérateur et le dénominateur selon vos besoins. Par exemple, déplacez le facteur universel hors de la parenthèse ou développez-le selon des formules de multiplication abrégées, de sorte que vous puissiez ensuite, si nécessaire, réduire le numérateur et le dénominateur de GCD - le diviseur universel minimum.

Note!
Additionnez des chiffres avec des chiffres, des lettres du même genre avec des lettres du même genre. Disons qu'il est impossible d'additionner 3a et 4b, ce qui signifie que leur somme ou différence restera au numérateur - 3a±4b.

Vidéo sur le sujet

) et dénominateur par dénominateur (on obtient le dénominateur du produit).

Formule pour multiplier des fractions :

Par exemple:

Avant de commencer à multiplier les numérateurs et les dénominateurs, vous devez vérifier si la fraction peut être réduite. Si vous parvenez à réduire la fraction, il vous sera plus facile de faire d'autres calculs.

Diviser une fraction commune par une fraction.

Division de fractions impliquant des nombres naturels.

Ce n'est pas aussi effrayant qu'il y paraît. Comme dans le cas de l’addition, on convertit l’entier en une fraction avec un au dénominateur. Par exemple:

Multiplier des fractions mixtes.

Règles de multiplication des fractions (mixtes) :

• convertir des fractions mixtes en fractions impropres ;
• multiplier les numérateurs et les dénominateurs des fractions ;
• réduire la fraction;
• Si vous obtenez une fraction impropre, nous convertissons la fraction impropre en fraction mixte.

Note! Pour multiplier une fraction mixte par une autre fraction mixte, vous devez d'abord les convertir sous forme de fractions impropres, puis multiplier selon la règle de multiplication des fractions ordinaires.

La deuxième façon de multiplier une fraction par un nombre naturel.

Il peut être plus pratique d'utiliser la deuxième méthode pour multiplier une fraction commune par un nombre.

Note! Pour multiplier une fraction par un nombre naturel, vous devez diviser le dénominateur de la fraction par ce nombre et laisser le numérateur inchangé.

D'après l'exemple donné ci-dessus, il est clair que cette option est plus pratique à utiliser lorsque le dénominateur d'une fraction est divisé sans reste par un nombre naturel.

Fractions à plusieurs étages.

Au lycée, on rencontre souvent des fractions de trois étages (ou plus). Exemple:

Pour ramener une telle fraction à sa forme habituelle, utilisez la division par 2 points :

Note! Lors de la division de fractions, l’ordre de division est très important. Attention, il est facile de se tromper ici.

Note, Par exemple:

En divisant un par n'importe quelle fraction, le résultat sera la même fraction, seulement inversée :

Conseils pratiques pour multiplier et diviser des fractions :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention. Effectuez tous les calculs avec soin et précision, de manière concentrée et claire. Il vaut mieux écrire quelques lignes supplémentaires dans son brouillon plutôt que de se perdre dans des calculs mentaux.

2. Dans les tâches avec différents types de fractions, accédez au type de fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'il ne soit plus possible de les réduire.

4. Nous transformons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux en expressions ordinaires en utilisant la division par 2 points.

5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.

Les élèves sont initiés aux fractions dès la 5e année. Auparavant, les personnes sachant effectuer des opérations avec des fractions étaient considérées comme très intelligentes. La première fraction était 1/2, c'est-à-dire la moitié, puis 1/3 est apparu, etc. Pendant plusieurs siècles, les exemples ont été jugés trop complexes. Des règles détaillées ont désormais été développées pour la conversion de fractions, l'addition, la multiplication et d'autres opérations. Il suffit de comprendre un peu le matériel et la solution sera facile.

Une fraction ordinaire, appelée fraction simple, s’écrit comme la division de deux nombres : m et n.

M est le dividende, c'est-à-dire le numérateur de la fraction, et le diviseur n est appelé le dénominateur.

Identifier les fractions appropriées (m< n) а также неправильные (m >n).

Une fraction propre est inférieure à un (par exemple, 5/6 - cela signifie que 5 parties sont prises sur un ; 2/8 - 2 parties sont prises sur un). Une fraction impropre est égale ou supérieure à 1 (8/7 - l'unité est 7/7 et une partie supplémentaire est considérée comme un plus).

Ainsi, c'est lorsque le numérateur et le dénominateur coïncident (3/3, 12/12, 100/100 et autres).

Opérations avec des fractions ordinaires, 6e année

Vous pouvez faire ce qui suit avec des fractions simples :

• Développez une fraction. Si vous multipliez les parties supérieure et inférieure de la fraction par un nombre identique (mais pas par zéro), alors la valeur de la fraction ne changera pas (3/5 = 6/10 (simplement multiplié par 2).
• Réduire des fractions est similaire à développer, mais ici, elles se divisent par un nombre.
• Comparer. Si deux fractions ont les mêmes numérateurs, alors la fraction avec le plus petit dénominateur sera la plus grande. Si les dénominateurs sont les mêmes, alors la fraction avec le plus grand numérateur sera plus grande.
• Effectuez des additions et des soustractions. Avec les mêmes dénominateurs, c'est facile à faire (on résume les parties supérieures, mais la partie inférieure ne change pas). S'ils sont différents, vous devrez trouver un dénominateur commun et des facteurs supplémentaires.
• Multipliez et divisez des fractions.

Regardons ci-dessous des exemples d'opérations avec des fractions.

Fractions réduites 6e année

Réduire, c'est diviser le haut et le bas d'une fraction par un nombre égal.

La figure montre des exemples simples de réduction. Dans la première option, vous pouvez immédiatement deviner que le numérateur et le dénominateur sont divisibles par 2.

Sur une note ! Si le nombre est pair, alors il est divisible par 2 de quelque manière que ce soit. Les nombres pairs sont 2, 4, 6...32. 8 (se termine par un nombre pair), etc.

Dans le second cas, en divisant 6 par 18, il apparaît immédiatement que les nombres sont divisibles par 2. En divisant, on obtient 3/9. Cette fraction est ensuite divisée par 3. La réponse est alors 1/3. Si vous multipliez les deux diviseurs : 2 par 3, vous obtenez 6. Il s'avère que la fraction a été divisée par six. Cette division progressive est appelée réduction successive de fractions par des diviseurs communs.

Certaines personnes diviseront immédiatement par 6, d’autres devront diviser par parties. L'essentiel est qu'à la fin il reste une fraction qui ne peut en aucun cas être réduite.

A noter que si un nombre est constitué de chiffres dont l'addition donne un nombre divisible par 3, alors celui d'origine peut également être réduit de 3. Exemple : nombre 341. Additionnez les nombres : 3 + 4 + 1 = 8 (8 n'est pas divisible par 3, ce qui signifie que le nombre 341 ne peut pas être réduit par 3 sans reste). Autre exemple : 264. Additionner : 2 + 6 + 4 = 12 (divisible par 3). Nous obtenons : 264 : 3 = 88. Cela facilitera la réduction des grands nombres.

En plus de la méthode de réduction séquentielle des fractions par diviseurs communs, il existe d'autres méthodes.

GCD est le plus grand diviseur d'un nombre. Après avoir trouvé le pgcd pour le dénominateur et le numérateur, vous pouvez immédiatement réduire la fraction au nombre souhaité. La recherche s'effectue en divisant progressivement chaque numéro. Ensuite, ils regardent quels diviseurs coïncident ; s'il y en a plusieurs (comme dans l'image ci-dessous), alors vous devez multiplier.

Fractions mixtes, 6e année

Toutes les fractions impropres peuvent être converties en fractions mixtes en en séparant la partie entière. L'entier est écrit à gauche.

Souvent, vous devez former un nombre fractionnaire à partir d’une fraction impropre. Le processus de conversion est illustré dans l'exemple ci-dessous : 22/4 = 22 divisé par 4, on obtient 5 entiers (5 * 4 = 20). 22 - 20 = 2. On obtient 5 entiers et 2/4 (le dénominateur ne change pas). Puisque la fraction peut être réduite, on divise les parties supérieure et inférieure par 2.

Il est facile de transformer un nombre fractionnaire en fraction impropre (cela est nécessaire pour diviser et multiplier des fractions). Pour cela : multipliez le nombre entier par la partie inférieure de la fraction et ajoutez-y le numérateur. Prêt. Le dénominateur ne change pas.

Calculs avec des fractions 6e année

Des nombres mixtes peuvent être ajoutés. Si les dénominateurs sont les mêmes, alors c'est simple à faire : additionnez les parties entières et les numérateurs, le dénominateur reste en place.

Lors de l’addition de nombres avec des dénominateurs différents, le processus est plus compliqué. Tout d’abord, nous réduisons les nombres à un plus petit dénominateur (LSD).

Dans l’exemple ci-dessous, pour les nombres 9 et 6, le dénominateur sera 18. Après cela, des facteurs supplémentaires sont nécessaires. Pour les trouver, il faut diviser 18 par 9, c'est ainsi que l'on trouve le nombre supplémentaire - 2. On le multiplie par le numérateur 4 pour obtenir la fraction 8/18). Ils font de même avec la deuxième fraction. On additionne déjà les fractions converties (entiers et numérateurs séparément, on ne change pas le dénominateur). Dans l'exemple, la réponse devait être convertie en une fraction appropriée (au départ, le numérateur s'est avéré être supérieur au dénominateur).

Veuillez noter que lorsque les fractions diffèrent, l'algorithme des actions est le même.

Lors de la multiplication de fractions, il est important de placer les deux sous la même ligne. Si le nombre est mixte, nous le transformons en une fraction simple. Ensuite, multipliez les parties supérieure et inférieure et notez la réponse. S’il est clair que les fractions peuvent être réduites, nous les réduisons immédiatement.

Dans l’exemple ci-dessus, vous n’avez rien eu à couper, vous avez simplement écrit la réponse et mis en surbrillance toute la partie.

Dans cet exemple, nous avons dû réduire les nombres sous une seule ligne. Bien que vous puissiez raccourcir la réponse toute faite.

Lors de la division, l'algorithme est presque le même. Tout d’abord, nous transformons la fraction mixte en fraction impropre, puis nous écrivons les nombres sur une seule ligne, en remplaçant la division par la multiplication. N'oubliez pas d'intervertir les parties supérieure et inférieure de la deuxième fraction (c'est la règle pour diviser les fractions).

Si nécessaire, nous réduisons les nombres (dans l'exemple ci-dessous nous les avons réduits de cinq et deux). Nous convertissons la fraction impropre en mettant en évidence la partie entière.

Problèmes de fractions de base 6e année

La vidéo montre quelques tâches supplémentaires. Pour plus de clarté, des images graphiques de solutions sont utilisées pour aider à visualiser les fractions.

Exemples de multiplication de fractions 6e année avec explications

Les fractions multiplicatives sont écrites sur une seule ligne. Ils sont ensuite réduits en divisant par les mêmes nombres (par exemple, 15 au dénominateur et 5 au numérateur peuvent être divisés par cinq).

Comparer des fractions, 6e année

Pour comparer des fractions, vous devez vous rappeler deux règles simples.

Règle 1. Si les dénominateurs sont différents

Règle 2. Quand les dénominateurs sont les mêmes

Par exemple, comparez les fractions 7/12 et 2/3.

1. On regarde les dénominateurs, ils ne correspondent pas. Il faut donc en trouver un commun.
2. Pour les fractions, le dénominateur commun est 12.
3. On divise d'abord 12 par la partie inférieure de la première fraction : 12 : 12 = 1 (c'est un facteur supplémentaire pour la 1ère fraction).
4. Maintenant, nous divisons 12 par 3, nous obtenons 4 - en plus. facteur de la 2ème fraction.
5. On multiplie les nombres obtenus par les numérateurs pour convertir les fractions : 1 x 7 = 7 (première fraction : 7/12) ; 4 x 2 = 8 (deuxième fraction : 8/12).
6. Maintenant on peut comparer : 7/12 et 8/12. Il s'est avéré : 7/12< 8/12.

Pour mieux représenter les fractions, vous pouvez utiliser des images pour plus de clarté où un objet est divisé en parties (par exemple, un gâteau). Si vous souhaitez comparer 4/7 et 2/3, alors dans le premier cas, le gâteau est divisé en 7 parties et 4 d'entre elles sont sélectionnées. Dans le second, ils se divisent en 3 parties et en prennent 2. À l'œil nu, il sera clair que 2/3 sera supérieur à 4/7.

Exemples avec des fractions de 6e année pour la formation

Vous pouvez effectuer les tâches suivantes à titre d’entraînement.

• Comparer des fractions

• effectuer une multiplication

Astuce : s'il est difficile de trouver le plus petit dénominateur commun des fractions (surtout si leurs valeurs​​sont petites), alors vous pouvez multiplier le dénominateur de la première et de la deuxième fraction. Exemple : 2/8 et 5/9. Trouver leur dénominateur est simple : multipliez 8 par 9, vous obtenez 72.

Résoudre des équations avec des fractions 6e année

Résoudre des équations nécessite de mémoriser les opérations avec les fractions : multiplication, division, soustraction et addition. Si l'un des facteurs est inconnu, alors le produit (total) est divisé par le facteur connu, c'est-à-dire que les fractions sont multipliées (la seconde est retournée).

Si le dividende est inconnu, alors le dénominateur est multiplié par le diviseur, et pour trouver le diviseur, vous devez diviser le dividende par le quotient.

Présentons des exemples simples de résolution d'équations :

Ici, il suffit de produire la différence des fractions, sans conduire à un dénominateur commun.

La réponse est une fraction impropre. Il peut être converti en 1 entier et 3/5.

Dans la deuxième méthode, le numérateur et le dénominateur ont été multipliés par 4 pour annuler la partie inférieure plutôt que d'inverser le dénominateur.