et x = b est l'équation exponentielle la plus simple. En lui un supérieur à zéro et UN n'est pas égal à un.
Résoudre des équations exponentielles
D'après les propriétés de la fonction exponentielle, nous savons que sa plage de valeurs est limitée aux nombres réels positifs. Alors si b = 0, l’équation n’a pas de solution. La même situation se produit dans l'équation où b
Supposons maintenant que b>0. Si dans la fonction exponentielle la base un est supérieur à l'unité, alors la fonction sera croissante sur tout le domaine de définition. Si dans la fonction exponentielle pour la base UN la condition suivante est remplie 0 Sur cette base et en appliquant le théorème racine, nous trouvons que l'équation a x = b a une seule racine, pour b>0 et positif un pas égal à un. Pour le trouver, vous devez représenter b sous la forme b = a c. Prenons l'exemple suivant : résolvez l'équation 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25. Imaginons 25 comme 5 2, nous obtenons : 5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 . Ou ce qui est équivalent : x2 - 2*x - 1 = 2. Nous résolvons l'équation quadratique résultante en utilisant l'une des méthodes connues. On obtient deux racines x = 3 et x = -1. Réponse : 3;-1. Résolvons l'équation 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Faisons le remplacement : t=2 x et obtenons l'équation quadratique suivante : t 2 - 5*t + 4 = 0. Nous résolvons maintenant les équations 2 x = 1 et 2 x = 4. Réponse : 0 ; 2. La solution aux inégalités exponentielles les plus simples repose également sur les propriétés des fonctions croissantes et décroissantes. Si dans une fonction exponentielle la base a est supérieure à un, alors la fonction sera croissante sur tout le domaine de définition. Si dans la fonction exponentielle pour la base UN la condition suivante est remplie 0 Prenons un exemple : résoudre l'inégalité (0,5) (7 - 3*x)< 4. Notez que 4 = (0,5) 2 . Alors l'inégalité prendra la forme (0.5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели. On obtient : 7 - 3*x>-2. D'où : x<3. Réponse : x<3. Si la base de l’inégalité était supérieure à un, alors en supprimant la base, il ne serait pas nécessaire de changer le signe de l’inégalité. Matériaux additionnels Supports pédagogiques et simulateurs dans la boutique en ligne Integral pour la 11e année Définition. Les équations de la forme : $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ sont appelées équations exponentielles. En rappelant les théorèmes que nous avons étudiés dans le thème « Fonction exponentielle », nous pouvons introduire un nouveau théorème : B) $\sqrt(\frac(2)(3))=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5))$. C) L'équation originale est équivalente à l'équation : $x^2-6x=-3x+18$. Exemple. Exemple. Rappelons comment résoudre des équations exponentielles : Exemple. Théorème. Si $a>1$, alors l'inégalité exponentielle $a^(f(x))>a^(g(x))$ est équivalente à l'inégalité $f(x)>g(x)$. Exemple. B) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) Dans notre équation, la base est lorsque le degré est inférieur à 1, alors lors du remplacement d'une inégalité par une inégalité équivalente, il est nécessaire de changer de signe. C) Notre inégalité est équivalente à l'inégalité :
Il est alors évident que Avec sera une solution à l'équation a x = a c .
Nous résolvons cette équation en utilisant l'une des méthodes connues. On obtient les racines t1 = 1 t2 = 4Résoudre les inégalités exponentielles
Cours et présentation sur le thème : "Équations exponentielles et inégalités exponentielles"
Chers utilisateurs, n'oubliez pas de laisser vos commentaires, avis, souhaits ! Tous les documents ont été vérifiés par un programme antivirus.
Manuel interactif pour les classes 9 à 11 "Trigonométrie"
Manuel interactif pour les classes 10-11 « Logarithmes »Définition des équations exponentielles
Les gars, nous avons étudié les fonctions exponentielles, appris leurs propriétés et construit des graphiques, analysé des exemples d'équations dans lesquelles des fonctions exponentielles ont été trouvées. Aujourd'hui, nous étudierons les équations exponentielles et les inégalités.
Théorème. L'équation exponentielle $a^(f(x))=a^(g(x))$, où $a>0$, $a≠1$ est équivalente à l'équation $f(x)=g(x) $.Exemples d'équations exponentielles
Exemple.
Résoudre des équations :
une) 3$^(3x-3)=27$.
b) $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=\sqrt(\frac(2)(3))$.
c) 5$^(x^2-6x)=5^(-3x+18)$.
Solution.
a) On sait bien que $27=3^3$.
Réécrivons notre équation : $3^(3x-3)=3^3$.
En utilisant le théorème ci-dessus, nous constatons que notre équation se réduit à l'équation $3x-3=3$ ; en résolvant cette équation, nous obtenons $x=2$ ;
Réponse : $x=2$.
Ensuite, notre équation peut être réécrite : $((\frac(2)(3)))^(2x+0.2)=((\frac(2)(3)))^(\frac(1)(5) ) =((\frac(2)(3)))^(0,2)$.
$2х+0,2=0,2$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.
$x^2-3x-18=0$.
$(x-6)(x+3)=0$.
$x_1=6$ et $x_2=-3$.
Réponse : $x_1=6$ et $x_2=-3$.
Résolvez l'équation : $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=16*((0,0625))^(x+1)$.
Solution:
Effectuons une série d'actions séquentiellement et ramenons les deux côtés de notre équation aux mêmes bases.
Effectuons un certain nombre d'opérations sur le côté gauche :
1) $((0,25))^(x-0,5)=((\frac(1)(4)))^(x-0,5)$.
2) $\sqrt(4)=4^(\frac(1)(2))$.
3) $\frac(((0,25))^(x-0,5))(\sqrt(4))=\frac(((\frac(1)(4)))^(x-0,5)) (4^(\frac(1)(2)))= \frac(1)(4^(x-0.5+0.5))=\frac(1)(4^x) =((\frac(1) (4)))^x$.
Passons au côté droit :
4) $16=4^2$.
5) $((0,0625))^(x+1)=\frac(1)((16)^(x+1))=\frac(1)(4^(2x+2))$.
6) $16*((0,0625))^(x+1)=\frac(4^2)(4^(2x+2))=4^(2-2x-2)=4^(-2x )= \frac(1)(4^(2x))=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
L'équation originale est équivalente à l'équation :
$((\frac(1)(4)))^x=((\frac(1)(4)))^(2x)$.
$x=2x$.
$x=0$.
Réponse : $x=0$.
Résolvez l'équation : $9^x+3^(x+2)-36=0$.
Solution:
Réécrivons notre équation : $((3^2))^x+9*3^x-36=0$.
$((3^x))^2+9*3^x-36=0$.
Faisons un changement de variables, soit $a=3^x$.
Dans les nouvelles variables, l'équation prendra la forme : $a^2+9a-36=0$.
$(a+12)(a-3)=0$.
$a_1=-12$ et $a_2=3$.
Effectuons le changement inverse des variables : $3^x=-12$ et $3^x=3$.
Dans la dernière leçon, nous avons appris que les expressions exponentielles ne peuvent prendre que des valeurs positives, rappelez-vous le graphique. Cela signifie que la première équation n'a pas de solutions, la deuxième équation a une solution : $x=1$.
Réponse : $x=1$.
1. Méthode graphique. Nous représentons les deux côtés de l'équation sous forme de fonctions et construisons leurs graphiques, trouvons les points d'intersection des graphiques. (Nous avons utilisé cette méthode dans la dernière leçon).
2. Le principe d'égalité des indicateurs. Le principe repose sur le fait que deux expressions de mêmes bases sont égales si et seulement si les degrés (exposants) de ces bases sont égaux. $a^(f(x))=a^(g(x))$ $f(x)=g(x)$.
3. Méthode de remplacement variable. Cette méthode doit être utilisée si l'équation, lors du remplacement de variables, simplifie sa forme et est beaucoup plus facile à résoudre.
Résolvez le système d'équations : $\begin (cases) (27)^y*3^x=1, \\ 4^(x+y)-2^(x+y)=12. \fin (cas)$.
Solution.
Considérons les deux équations du système séparément :
27 $^y*3^x=1$.
3 $^(3 ans)*3^x=3^0$.
$3^(3y+x)=3^0$.
$x+3y=0$.
Considérons la deuxième équation :
$4^(x+y)-2^(x+y)=12$.
$2^(2(x+y))-2^(x+y)=12$.
Utilisons la méthode de changement de variables, soit $y=2^(x+y)$.
L’équation prendra alors la forme :
$y^2-y-12=0$.
$(y-4)(y+3)=0$.
$y_1=4$ et $y_2=-3$.
Passons aux variables initiales, à partir de la première équation on obtient $x+y=2$. La deuxième équation n'a pas de solution. Alors notre système d'équations initial est équivalent au système : $\begin (cases) x+3y=0, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
Soustrayez la seconde de la première équation, nous obtenons : $\begin (cases) 2y=-2, \\ x+y=2. \fin (cas)$.
$\begin (cas) y=-1, \\ x=3. \fin (cas)$.
Réponse : $(3;-1)$.Inégalités exponentielles
Passons aux inégalités. Lors de la résolution des inégalités, il est nécessaire de prêter attention à la base du diplôme. Il existe deux scénarios possibles pour l'évolution des événements lors de la résolution des inégalités.
Si 0 $
Résoudre les inégalités :
une) 3$^(2x+3)>81$.
b) $((\frac(1)(4)))^(2x-4) c) $(0,3)^(x^2+6x)≤(0,3)^(4x+15)$ .
Solution.
une) 3$^(2x+3)>81$.
$3^(2x+3)>3^4$.
Notre inégalité équivaut à l'inégalité :
$2x+3>4$.
$2x>1$.
$x>0,5$.
$2x-4>2$.
$x>3$.
$x^2+6x≥4x+15$.
$x^2+2x-15≥0$.
$(x-3)(x+5)≥0$.
Utilisons la méthode de solution par intervalles :
Réponse : $(-∞;-5]U)
