Expressions, équations et systèmes d'équations
avec des nombres complexes

Aujourd'hui, en classe, nous pratiquerons des opérations typiques avec des nombres complexes et maîtriserons également la technique de résolution d'expressions, d'équations et de systèmes d'équations contenant ces nombres. Cet atelier est une continuation de la leçon, et donc si vous ne maîtrisez pas bien le sujet, veuillez suivre le lien ci-dessus. Eh bien, pour les lecteurs plus préparés, je vous suggère de vous échauffer tout de suite :

Exemple 1

Simplifier une expression , Si . Représentez le résultat sous forme trigonométrique et tracez-le sur le plan complexe.

Solution: il faut donc substituer la fraction par la fraction « terrible », faire des simplifications, et convertir le résultat nombre complexe V forme trigonométrique. Plus un dessin.

Quelle est la meilleure façon de formaliser la décision ? Il est plus rentable de traiter une expression algébrique « sophistiquée » étape par étape. Premièrement, l’attention est moins distraite, et deuxièmement, si la tâche n’est pas acceptée, il sera beaucoup plus facile de trouver l’erreur.

1) Tout d’abord, simplifions le numérateur. Remplaçons-y la valeur, ouvrons les parenthèses et fixons la coiffure :

...Oui, un tel Quasimodo venait de nombres complexes...

Permettez-moi de vous rappeler que lors des transformations, des choses tout à fait simples sont utilisées - la règle de multiplication des polynômes et l'égalité déjà devenue banale. L'essentiel est d'être prudent et de ne pas se laisser tromper par les panneaux.

2) Vient maintenant le dénominateur. Si donc:

Remarquez dans quelle interprétation inhabituelle il est utilisé formule de somme carrée. Alternativement, vous pouvez effectuer un réarrangement ici sous-formule Les résultats seront naturellement les mêmes.

3) Et enfin, toute l'expression. Si donc:

Pour se débarrasser d'une fraction, multipliez le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur. Parallèlement, aux fins d'application formules de différence carrée doit en premier (et déjà un incontournable !) mettre la partie réelle négative à la 2ème place :

Et maintenant la règle clé :

NOUS NE SOMMES PAS PRÉPÉRÉS! Il vaut mieux jouer la sécurité et faire un pas supplémentaire.
Dans les expressions, équations et systèmes avec nombres complexes, calculs verbaux présomptueux plus tendu que jamais!

Il y a eu une bonne réduction dans la dernière étape et c'est tout simplement un bon signe.

Note : à proprement parler, ici s'est produite la division d'un nombre complexe par le nombre complexe 50 (rappelez-vous cela). J'ai gardé le silence sur cette nuance jusqu'à présent, et nous en reparlerons un peu plus tard.

Désignons notre réussite par la lettre

Présentons le résultat obtenu sous forme trigonométrique. D'une manière générale, ici on peut se passer de dessin, mais comme c'est obligatoire, il est un peu plus rationnel de le faire dès maintenant :

Calculons le module d'un nombre complexe :

Si vous dessinez sur une échelle de 1 unité. = 1 cm (2 cellules de cahier), alors la valeur obtenue peut être facilement vérifiée à l'aide d'une règle ordinaire.

Trouvons un argument. Puisque le numéro est situé dans le 2ème quartier de coordonnées, alors :

L'angle peut être facilement vérifié avec un rapporteur. C'est l'avantage incontestable du dessin.

Ainsi : – le nombre recherché sous forme trigonométrique.

Allons vérifier:
, c'est ce qui devait être vérifié.

Il est pratique de trouver des valeurs inconnues du sinus et du cosinus en utilisant table trigonométrique.

Répondre:

Un exemple similaire pour une solution indépendante :

Exemple 2

Simplifier une expression , Où . Dessinez le nombre obtenu sur le plan complexe et écrivez-le sous forme exponentielle.

Essayez de ne pas sauter les didacticiels. Cela peut paraître simple, mais sans entraînement, « entrer dans une flaque d'eau » n'est pas seulement facile, mais très facile. C’est pourquoi nous « mettons la main dessus ».

Souvent, un problème a plusieurs solutions :

Exemple 3

Calculer si ,

Solution: tout d'abord, faisons attention à la condition d'origine - un nombre est présenté sous forme algébrique, et l'autre sous forme trigonométrique, et même avec des degrés. Réécrivons-le immédiatement sous une forme plus familière : .

Sous quelle forme faut-il effectuer les calculs ? L'expression implique évidemment une première multiplication et une élévation ultérieure à la puissance 10. La formule de Moivre, qui est formulé pour la forme trigonométrique d'un nombre complexe. Il semble donc plus logique de convertir le premier nombre. Trouvons son module et son argument :

Nous utilisons la règle de multiplication des nombres complexes sous forme trigonométrique :
si donc

En rendant la fraction correcte, nous arrivons à la conclusion que nous pouvons « tordre » 4 tours ( content.):

Deuxième solution est de convertir le 2ème nombre sous forme algébrique , effectuez la multiplication sous forme algébrique, convertissez le résultat sous forme trigonométrique et utilisez la formule de Moivre.

Comme vous pouvez le voir, il existe une action « supplémentaire ». Ceux qui le souhaitent peuvent donner suite à leur décision et s’assurer que les résultats sont les mêmes.

La condition ne dit rien sur la forme du nombre complexe final, donc :

Répondre:

Mais « pour la beauté » ou à la demande, le résultat n'est pas difficile à imaginer sous forme algébrique :

Tout seul:

Exemple 4

Simplifier une expression

Ici, nous devons nous rappeler actions avec diplômes, bien qu'il n'y ait pas une seule règle utile dans le manuel, la voici : .

Et encore une remarque importante : l’exemple peut être résolu de deux manières. La première option consiste à travailler avec deux les nombres et être d'accord avec les fractions. La deuxième option consiste à représenter chaque nombre comme quotient de deux nombres: Et se débarrasser de la structure à quatre étages. D’un point de vue formel, peu importe la façon dont vous décidez, mais il y a une différence de fond ! Merci de bien réfléchir à :
est un nombre complexe ;
est le quotient de deux nombres complexes ( et ), mais selon le contexte, on peut aussi dire ceci : un nombre représenté comme le quotient de deux nombres complexes.

Une courte solution et une réponse à la fin de la leçon.

Les expressions sont bonnes, mais les équations sont meilleures :

Équations à coefficients complexes

En quoi diffèrent-elles des équations « ordinaires » ? Chances =)

À la lumière du commentaire ci-dessus, commençons par cet exemple :

Exemple 5

Résous l'équation

Et un préambule immédiat « dans la foulée » : initialement le côté droit de l'équation est positionné comme le quotient de deux nombres complexes ( et 13), et donc ce serait une mauvaise forme de réécrire la condition avec le nombre (même si cela ne provoquera pas d'erreur). Cette différence, d'ailleurs, est plus clairement visible dans la fraction - si, relativement parlant, alors cette valeur est principalement comprise comme racine complexe "complète" de l'équation, et non comme diviseur d'un nombre, et surtout pas comme partie d'un nombre !

Solution, en principe, peut aussi se faire étape par étape, mais dans ce cas, le jeu n'en vaut pas la chandelle. La tâche initiale est de simplifier tout ce qui ne contient pas l'inconnue "z", ce qui conduit à réduire l'équation à la forme :

Nous simplifions en toute confiance la fraction médiane :

Nous transférons le résultat sur le côté droit et trouvons la différence :

Note : et encore une fois j'attire votre attention sur le point significatif - ici nous n'avons pas soustrait un nombre d'un nombre, mais avons ramené les fractions à un dénominateur commun ! Il est à noter que déjà en cours de résolution, il n'est pas interdit de travailler avec des nombres : , cependant, dans l'exemple considéré, ce style est plus nuisible qu'utile =)

Selon la règle de proportion, on exprime « zet » :

Vous pouvez maintenant diviser et multiplier par le conjugué à nouveau, mais les nombres étrangement similaires au numérateur et au dénominateur suggèrent le prochain mouvement :

Répondre:

Pour vérifier, substituons la valeur résultante dans le côté gauche de l’équation d’origine et effectuons des simplifications :

– le côté droit de l’équation originale est obtenu, donc la racine est trouvée correctement.

...Maintenant, maintenant... Je vais trouver quelque chose de plus intéressant pour vous... c'est parti :

Exemple 6

Résous l'équation

Cette équation se réduit à la forme , ce qui signifie qu'elle est linéaire. Je pense que l'indice est clair : allez-y !

Bien sûr... comment vivre sans lui :

Équation quadratique à coefficients complexes

À la leçon Nombres complexes pour les nuls nous avons appris qu'une équation quadratique avec des coefficients réels peut avoir des racines complexes conjuguées, après quoi une question logique se pose : pourquoi, en fait, les coefficients eux-mêmes ne peuvent pas être complexes ? Permettez-moi de formuler un cas général :

Équation quadratique avec coefficients complexes arbitraires (dont 1 ou 2 ou les trois peuvent notamment être valables) Il a deux et seulement deux racine complexe (peut-être l'un ou les deux sont valides). En même temps, les racines (à la fois réel et avec partie imaginaire non nulle) peuvent coïncider (être multiples).

Une équation quadratique à coefficients complexes est résolue en utilisant le même schéma que équation "école", avec quelques différences dans la technique de calcul :

Exemple 7

Trouver les racines d'une équation quadratique

Solution: l'unité imaginaire vient en premier, et, en principe, on peut s'en débarrasser (en multipliant les deux côtés par), cependant, cela n’est pas particulièrement nécessaire.

Pour plus de commodité, nous écrivons les coefficients :

Ne perdons pas le « moins » d'un membre gratuit ! ...Ce n'est peut-être pas clair pour tout le monde - je vais réécrire l'équation sous forme standard :

Calculons le discriminant :

Et voici le principal obstacle :

Application de la formule générale d'extraction de la racine (voir dernier paragraphe de l'article Nombres complexes pour les nuls) compliqué par de sérieuses difficultés associées à l’argument des nombres complexes radicaux (voir par vous-même). Mais il existe une autre manière, « algébrique » ! On cherchera la racine sous la forme :

Mettons au carré les deux côtés :

Deux nombres complexes sont égaux si leurs parties réelle et imaginaire sont égales. On obtient donc le système suivant :

Le système est plus facile à résoudre en sélectionnant (une manière plus approfondie consiste à exprimer à partir de la 2ème équation - remplacer par la 1ère, obtenir et résoudre une équation biquadratique). En supposant que l'auteur du problème n'est pas un monstre, nous émettons l'hypothèse que et sont des nombres entiers. De la 1ère équation il résulte que « x » module plus que "Y". De plus, le produit positif nous indique que les inconnues sont du même signe. Sur la base de ce qui précède et en nous concentrant sur la 2ème équation, nous notons toutes les paires qui y correspondent :

Il est évident que la 1ère équation du système est satisfaite par les deux derniers couples, donc :

Un contrôle intermédiaire ne ferait pas de mal :

c'est ce qui devait être vérifié.

Vous pouvez choisir comme racine « de travail » n'importe lequel signification. Force est de constater qu'il vaut mieux prendre la version sans les « inconvénients » :

On retrouve les racines, sans oublier d'ailleurs que :

Répondre:

Vérifions si les racines trouvées satisfont à l'équation :

1) Remplaçons :

une véritable égalité.

2) Remplaçons :

une véritable égalité.

La solution a donc été trouvée correctement.

Basé sur le problème dont nous venons de parler :

Exemple 8

Trouver les racines de l'équation

Il convient de noter que la racine carrée de purement complexe les nombres peuvent être facilement extraits à l'aide de la formule générale , Où , les deux méthodes sont donc présentées dans l'exemple. La deuxième remarque utile concerne le fait que l’extraction préalable de la racine d’une constante ne simplifie pas du tout la solution.

Maintenant, vous pouvez vous détendre - dans cet exemple, vous vous en sortirez avec une légère frayeur :)

Exemple 9

Résolvez l'équation et vérifiez

Solutions et réponses à la fin de la leçon.

Le dernier paragraphe de l'article est consacré à

système d'équations avec des nombres complexes

Détendons-nous et... ne nous crispons pas =) Considérons le cas le plus simple - un système de deux équations linéaires à deux inconnues :

Exemple 10

Résolvez le système d’équations. Présentez la réponse sous des formes algébriques et exponentielles, représentez les racines dans le dessin.

Solution: la condition elle-même suggère que le système a une solution unique, c'est-à-dire que nous devons trouver deux nombres qui satisfont pour chaqueéquation du système.

Le système peut vraiment être résolu de manière « enfantine » (exprimer une variable en fonction d'une autre) , mais il est beaucoup plus pratique à utiliser Les formules de Cramer. Calculons déterminant principal systèmes :

, ce qui signifie que le système a une solution unique.

Je répète qu'il vaut mieux prendre son temps et rédiger les étapes de la manière la plus détaillée possible :

On multiplie le numérateur et le dénominateur par une unité imaginaire et on obtient la 1ère racine :

De même:

Les côtés droits correspondants sont obtenus, etc.

Faisons le dessin :

Représentons les racines sous forme exponentielle. Pour ce faire, vous devez retrouver leurs modules et arguments :

1) – l’arctangente de « deux » est calculée « mal », donc on la laisse ainsi :

AGENCE FÉDÉRALE POUR L'ÉDUCATION

INSTITUTION ÉDUCATIVE D'ÉTAT

FORMATION PROFESSIONNELLE SUPÉRIEURE

"UNIVERSITÉ PÉDAGOGIQUE D'ÉTAT DE VORONEZH"

DÉPARTEMENT D'AGLEBRA ET DE GÉOMÉTRIE

Nombres complexes

(tâches sélectionnées)

TRAVAIL QUALIFIANT POUR DIPLÔMÉS

spécialité 050201.65 mathématiques

(avec spécialité complémentaire 050202.65 informatique)

Réalisé par : étudiant de 5ème année

physique et mathématique

la faculté

Conseiller scientifique:

VORONEJ – 2008

1. Introduction……………………………………………………...…………..…

2. Nombres complexes (problèmes sélectionnés)

2.1. Nombres complexes sous forme algébrique….……...……….….

2.2. Interprétation géométrique des nombres complexes…………..…

2.3. Forme trigonométrique des nombres complexes

2.4. Application de la théorie des nombres complexes à la solution d'équations du 3ème et 4ème degré……………..……………………………………………………………

2.5. Nombres et paramètres complexes…………………………………...….

3. Conclusion……………………………………………………………………………….

4. Liste des références………………………….………………………......

1. Introduction

Dans le programme scolaire de mathématiques, la théorie des nombres est introduite à l'aide d'exemples d'ensembles de nombres naturels, d'entiers, de rationnels, d'irrationnels, c'est-à-dire sur l'ensemble des nombres réels dont les images remplissent toute la droite numérique. Mais déjà en 8e année, il n'y a pas suffisamment de nombres réels pour résoudre des équations quadratiques avec un discriminant négatif. Il était donc nécessaire de reconstituer le stock de nombres réels à l'aide de nombres complexes, pour lesquels la racine carrée d'un nombre négatif a du sens.

Le choix du sujet « Nombres complexes » comme sujet de mon travail de qualification final est que le concept de nombre complexe élargit les connaissances des étudiants sur les systèmes numériques, sur la résolution d'une large classe de problèmes à contenu algébrique et géométrique, sur la résolution de problèmes algébriques équations de tout degré et sur la résolution de problèmes avec des paramètres.

Cette thèse examine la solution à 82 problèmes.

La première partie de la section principale « Nombres complexes » apporte des solutions aux problèmes des nombres complexes sous forme algébrique, définit les opérations d'addition, soustraction, multiplication, division, l'opération de conjugaison des nombres complexes sous forme algébrique, la puissance d'une unité imaginaire. , le module d'un nombre complexe, et énonce également la règle d'extraction de la racine carrée d'un nombre complexe.

Dans la deuxième partie, des problèmes d'interprétation géométrique de nombres complexes sous forme de points ou de vecteurs du plan complexe sont résolus.

La troisième partie examine les opérations sur les nombres complexes sous forme trigonométrique. Les formules utilisées sont : Moivre et extraction de la racine d'un nombre complexe.

La quatrième partie est consacrée à la résolution d'équations des 3e et 4e degrés.

Lors de la résolution des problèmes de la dernière partie, « Nombres et paramètres complexes », les informations fournies dans les parties précédentes sont utilisées et consolidées. Une série de problèmes du chapitre est consacrée à la détermination de familles de droites dans le plan complexe défini par des équations (inégalités) avec un paramètre. Dans une partie des exercices, vous devez résoudre des équations avec un paramètre (sur le champ C). Il existe des tâches dans lesquelles une variable complexe satisfait simultanément un certain nombre de conditions. Une particularité de la résolution des problèmes dans cette section est la réduction de beaucoup d'entre eux à la solution d'équations (inégalités, systèmes) du deuxième degré, irrationnelles, trigonométriques avec un paramètre.

Une caractéristique de la présentation du matériel dans chaque partie est l'introduction initiale des fondements théoriques, puis leur application pratique dans la résolution de problèmes.

A la fin de la thèse se trouve une liste de références utilisées. La plupart d'entre eux présentent du matériel théorique de manière suffisamment détaillée et accessible, discutent des solutions à certains problèmes et donnent des tâches pratiques pour une solution indépendante. Je voudrais accorder une attention particulière à des sources telles que :

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Nombres complexes et leurs applications : Manuel. . Le matériel du manuel est présenté sous forme de cours magistraux et d'exercices pratiques.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Problèmes sélectionnés et théorèmes de mathématiques élémentaires. Arithmétique et algèbre. Le livre contient 320 problèmes liés à l'algèbre, à l'arithmétique et à la théorie des nombres. Ces tâches diffèrent considérablement par leur nature des tâches scolaires standard.

2. Nombres complexes (problèmes sélectionnés)

2.1. Nombres complexes sous forme algébrique

La solution de nombreux problèmes en mathématiques et en physique revient à résoudre des équations algébriques, c'est-à-dire équations de la forme

où a0, a1, …, an sont des nombres réels. Par conséquent, l’étude des équations algébriques est l’une des questions les plus importantes en mathématiques. Par exemple, une équation quadratique avec un discriminant négatif n’a pas de véritable racine. L'équation la plus simple est l'équation

Pour que cette équation ait une solution, il faut élargir l'ensemble des nombres réels en y ajoutant la racine de l'équation

Notons cette racine par

ainsi,

appelée unité imaginaire. Avec son aide et à l'aide d'une paire de nombres réels, une expression de la forme est compilée.

Ainsi, les nombres complexes sont des expressions de la forme

Nombres complexes de la forme

Nombres complexes de la forme

La notation algébrique des nombres complexes permet d'effectuer des opérations sur ceux-ci selon les règles habituelles de l'algèbre.

Pour résoudre des problèmes avec des nombres complexes, vous devez comprendre les définitions de base. L'objectif principal de cet article de synthèse est d'expliquer ce que sont les nombres complexes et de présenter des méthodes pour résoudre des problèmes de base avec des nombres complexes. Ainsi, un nombre complexe sera appelé un nombre de la forme z = a + bi, Où un B- les nombres réels, qui sont appelés respectivement parties réelle et imaginaire d'un nombre complexe, et désignent une = Re(z), b=Je suis(z).
je appelée unité imaginaire. je 2 = -1. En particulier, tout nombre réel peut être considéré comme complexe : une = une + 0i, où a est réel. Si une = 0 Et b ≠ 0, alors le nombre est généralement appelé purement imaginaire.

Introduisons maintenant les opérations sur les nombres complexes.
Considérons deux nombres complexes z 1 = une 1 + b 1 je Et z 2 = une 2 + b 2 je.

Considérons z = a + bi.

L’ensemble des nombres complexes étend l’ensemble des nombres réels, qui à son tour étend l’ensemble des nombres rationnels, etc. Cette chaîne d'investissements est visible sur la figure : N – nombres naturels, Z – entiers, Q – rationnel, R – réel, C – complexe.

Représentation des nombres complexes

Notation algébrique.

Considérons un nombre complexe z = a + bi, cette forme d'écriture d'un nombre complexe s'appelle algébrique. Nous avons déjà discuté en détail de cette forme d’enregistrement dans la section précédente. Le dessin visuel suivant est utilisé assez souvent

Forme trigonométrique.

Sur la figure, on peut voir que le nombre z = a + bi peut être écrit différemment. Il est évident que une = rcos(φ), b = résine (φ), r=|z|, ainsi z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) s'appelle l'argument d'un nombre complexe. Cette représentation d'un nombre complexe s'appelle forme trigonométrique. La forme de notation trigonométrique est parfois très pratique. Par exemple, il est pratique de l'utiliser pour élever un nombre complexe à une puissance entière, à savoir si z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Que z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, cette formule s'appelle La formule de Moivre.

Forme démonstrative.

Considérons z = rcos(φ) + rsin(φ)i- un nombre complexe sous forme trigonométrique, écrivez-le sous une autre forme z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, la dernière égalité découle de la formule d’Euler, nous avons ainsi obtenu une nouvelle forme d’écriture d’un nombre complexe : z = re jeφ, qui est appelée indicatif. Cette forme de notation est également très pratique pour élever un nombre complexe à une puissance : z n = r n e dansφ, Ici n pas nécessairement un nombre entier, mais peut être un nombre réel arbitraire. Cette forme de notation est assez souvent utilisée pour résoudre des problèmes.

Théorème fondamental de l'algèbre supérieure

Imaginons que nous ayons une équation quadratique x 2 + x + 1 = 0. Évidemment, le discriminant de cette équation est négatif et il n’a pas de racines réelles, mais il s’avère que cette équation a deux racines complexes différentes. Ainsi, le théorème fondamental de l’algèbre supérieure stipule que tout polynôme de degré n possède au moins une racine complexe. Il s'ensuit que tout polynôme de degré n possède exactement n racines complexes, compte tenu de leur multiplicité. Ce théorème est un résultat très important en mathématiques et est largement utilisé. Un corollaire simple de ce théorème est qu’il existe exactement n racines différentes de degré n d’unité.

Principaux types de tâches

Cette section examinera les principaux types de problèmes simples impliquant des nombres complexes. Classiquement, les problèmes impliquant des nombres complexes peuvent être divisés dans les catégories suivantes.

• Effectuer des opérations arithmétiques simples sur des nombres complexes.
• Trouver les racines des polynômes dans les nombres complexes.
• Élever des nombres complexes en puissances.
• Extraire les racines de nombres complexes.
• Utiliser des nombres complexes pour résoudre d'autres problèmes.

Examinons maintenant les méthodes générales permettant de résoudre ces problèmes.

Les opérations arithmétiques les plus simples avec des nombres complexes sont effectuées selon les règles décrites dans la première section, mais si les nombres complexes sont présentés sous des formes trigonométriques ou exponentielles, alors dans ce cas, vous pouvez les convertir sous forme algébrique et effectuer des opérations selon des règles connues.

Trouver les racines des polynômes revient généralement à trouver les racines d’une équation quadratique. Supposons que nous ayons une équation quadratique, si son discriminant est non négatif, alors ses racines seront réelles et pourront être trouvées selon une formule bien connue. Si le discriminant est négatif, c'est-à-dire D = -1∙une 2, Où un est un certain nombre, alors le discriminant peut être représenté comme D = (ia) 2, ainsi √D = je|une|, puis vous pouvez utiliser la formule déjà connue pour les racines d'une équation quadratique.

Exemple. Revenons à l'équation quadratique mentionnée ci-dessus x 2 + x + 1 = 0.
Discriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
Maintenant, nous pouvons facilement trouver les racines :

L’élévation de nombres complexes à des puissances peut se faire de plusieurs manières. Si vous devez élever un nombre complexe sous forme algébrique à une petite puissance (2 ou 3), vous pouvez le faire par multiplication directe, mais si la puissance est plus grande (dans les problèmes, elle est souvent beaucoup plus grande), alors vous devez écrivez ce nombre sous forme trigonométrique ou exponentielle et utilisez des méthodes déjà connues.

Exemple. Considérons z = 1 + i et élevons-le à la puissance dixième.
Écrivons z sous forme exponentielle : z = √2 e iπ/4.
Alors z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Revenons à la forme algébrique : z 10 = -32i.

L’extraction de racines de nombres complexes est l’opération inverse de l’exponentiation et s’effectue donc de la même manière. Pour extraire les racines, la forme exponentielle d’écriture d’un nombre est souvent utilisée.

Exemple. Trouvons toutes les racines du degré 3 d'unité. Pour ce faire, on retrouvera toutes les racines de l'équation z 3 = 1, on cherchera les racines sous forme exponentielle.
Remplaçons dans l'équation : r 3 e 3iφ = 1 ou r 3 e 3iφ = e 0 .
D'où : r = 1, 3φ = 0 + 2πk, donc φ = 2πk/3.
Différentes racines sont obtenues à φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Donc 1, e i2π/3, e i4π/3 sont des racines.
Ou sous forme algébrique :

Le dernier type de problèmes comprend une grande variété de problèmes et il n’existe pas de méthodes générales pour les résoudre. Donnons un exemple simple d'une telle tâche :

Trouver le montant péché(x) + péché(2x) + péché(2x) + … + péché(nx).

Bien que la formulation de ce problème ne parle pas de nombres complexes, il peut être facilement résolu avec leur aide. Pour le résoudre, les représentations suivantes sont utilisées :


Si nous substituons maintenant cette représentation dans la somme, alors le problème se réduit à additionner la progression géométrique habituelle.

Conclusion

Les nombres complexes sont largement utilisés en mathématiques ; cet article de synthèse a examiné les opérations de base sur les nombres complexes, a décrit plusieurs types de problèmes standards et a brièvement décrit les méthodes générales pour les résoudre ; pour une étude plus détaillée des capacités des nombres complexes, il est recommandé de : utiliser la littérature spécialisée.

Littérature

L'utilisation d'équations est répandue dans nos vies. Ils sont utilisés dans de nombreux calculs, construction de structures et même dans le sport. L’homme utilisait des équations dans l’Antiquité et depuis lors, leur utilisation n’a fait que croître. Pour plus de clarté, résolvons le problème suivant :

Calculer \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] si \

Tout d'abord, faisons attention au fait qu'un nombre est présenté sous forme algébrique, l'autre sous forme trigonométrique. Il doit être simplifié et ramené à la forme suivante

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

L'expression \ dit que l'on fait tout d'abord la multiplication et l'élévation à la puissance 10 en utilisant la formule de Moivre. Cette formule est formulée pour la forme trigonométrique d'un nombre complexe.

On a:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

En suivant les règles de multiplication des nombres complexes sous forme trigonométrique, nous procédons comme suit :

Dans notre cas:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

En rendant la fraction \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] correcte, nous arrivons à la conclusion que nous pouvons « tordre » 4 tours \[(8\pi rad.) : \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Réponse : \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Cette équation peut être résolue d’une autre manière, qui revient à mettre le 2ème nombre sous forme algébrique, puis à effectuer la multiplication sous forme algébrique, à convertir le résultat sous forme trigonométrique et à appliquer la formule de Moivre :

Où puis-je résoudre en ligne un système d’équations avec des nombres complexes ?