Résoudre des problèmes à l'aide de systèmes d'équations. Règles pour convertir un système d'équations en matrice

Maslova S.V.

Institut pédagogique d'État de Moscou nommé d'après. M. E. Evsevieva, département. méthodes d'enseignement primaire

Résoudre des problèmes à l'aide de systèmes d'équations

Actuellement, l'étude des systèmes d'équations et la résolution de problèmes avec leur aide sont l'apanage d'un cours d'algèbre au lycée. Fondamentalement, un système d’équations est considéré comme deux ou plusieurs équations dans lesquelles les mêmes lettres représentent les mêmes nombres. Donnons des exemples de certains types de problèmes résolus à l'aide d'un système d'équations dans un cours d'algèbre. En conséquence, la résolution d’un système d’équations se réduit à résoudre une équation quadratique. Accordons une attention particulière à la méthode de compilation du système lui-même.

1. Problème avec le contenu géométrique: « L'hypoténuse d'un triangle rectangle mesure 13 cm et son aire est de 30 cm 2. Trouvez les jambes.

Solution : que les jambes soient égales X Et à centimètres. En utilisant le théorème de Pythagore et la formule de l'aire d'un triangle rectangle, nous écrivons la condition problématique comme suit :

En ajoutant à la première équation du système la seconde, multipliée par 4, on obtient : où ou depuis X Et à sont des nombres positifs, alors à partir de cette équation nous exprimons àà travers X et substituer dans l'une des équations du système, par exemple dans la seconde : Résolvons l'équation résultante :

En substituant ces valeurs dans la formule que nous trouvons Dans les deux cas, l'une des jambes mesure 5 cm, l'autre 12 cm.

Réponse : Les côtés d'un triangle rectangle mesurent 5 cm et 12 cm.

2. Problème de numérotation du contenu: « Lorsqu'un nombre à deux chiffres est divisé par la somme de ses chiffres, le quotient est 6 et le reste est 4. Lorsqu'on divise le même nombre par le produit de ses chiffres, le quotient est 2 et le reste est 16. . Trouvez ce numéro.

Solution : Écrivons un nombre à deux chiffres sous la forme 10x+y. En utilisant la règle sur l'interaction des composants lors d'une division avec un reste, nous écrivons la condition problématique comme suit :

En ouvrant les parenthèses dans la première équation, nous en exprimons la valeur à: Valeur de substitution à dans la première équation du système, on obtient une équation quadratique : - ne satisfait pas aux conditions du problème.

En remplaçant la valeur résultante dans la formule, nous trouvons

Réponse : numéro à deux chiffres 64.

3. Problème de zone: « La parcelle rectangulaire doit être clôturée avec une clôture de 1 km de long. Quelles doivent être la longueur et la largeur de la parcelle si sa superficie est de 6 hectares ?

Solution : Laissez la longueur et la largeur de la section rectangulaire être égales X Et à mètres. En utilisant les formules pour trouver le périmètre et l'aire d'un rectangle, ainsi que les rapports 1 km = 1000 m et 1 ha = 10 000 m, nous écrivons la condition problématique comme suit :

Exprimons la valeur de la deuxième équation à: Valeur de substitution à dans la première équation du système, on obtient une équation quadratique :

Remplacement des valeurs résultantes dans la formule

Réponse : la longueur et la largeur de la parcelle sont de 300 m et 200 m.

Si, selon les conditions du problème, les élèves du secondaire créent un système d'équations, au cours du processus de résolution duquel aucune équation quadratique n'apparaît, alors le problème lui-même peut être résolu par les élèves des classes inférieures. Le seul programme qui a pris la liberté d'utiliser des systèmes d'équations dans le cours initial de mathématiques est le système d'éducation développementale de L.V. Zankov.Regardons quelques exemples de résolution de problèmes à l'aide d'un système d'équations du cours initial de mathématiques.

1. Tâche de mouvement: « La distance entre les villes est de 564 km. Les trains quittaient les villes pour se retrouver en même temps et se rejoignaient 6 heures plus tard. La vitesse d'un train est 10 km plus rapide que la vitesse de l'autre. Quelle est la vitesse de chaque train ?

Solution : Soit x km/h la vitesse du premier train et y km/h la vitesse du deuxième train. Selon les conditions du problème, les trains se sont rencontrés au bout de 6 heures. Ensuite, 6 km - le premier train passera avant le rendez-vous, 6 km - le deuxième train passera avant le rendez-vous. Leur rencontre signifie qu'au total ils ont parcouru une distance de 564 km jusqu'à la rencontre, soit 6x+6y=564 - la première équation.

La vitesse du premier train est 10 km/h supérieure à la vitesse du second, c'est-à-dire que la différence entre les vitesses est de 10. On obtient la deuxième équation : x-y = 10

Réponse : 52 km/h, 42 km/h.

2. Problème d'égalisation de deux populations: « Il y a 84 livres sur deux étagères. Si vous retirez 12 livres d’une étagère, il y aura un nombre égal de livres sur les deux étagères. Combien de livres y aura-t-il sur chaque étagère ? C'était combien au début ?

Solution : Laissez x livres sur la première étagère et x livres sur la deuxième étagère. Selon les conditions du problème, il y a un total de 84 livres sur deux étagères, soit x + y = 84 - la première équation.

Si vous retirez 12 livres de la première étagère, le nombre de livres sur les deux étagères sera égal. On obtient la deuxième équation : x-12=y.

En conséquence, nous obtenons un système d'équations :

(livres) - était sur la première étagère.

84-48=36 (k.) - était sur la deuxième étagère.

48-12=36 (k.) - sera sur chaque étagère.

Réponse : 36 livres, 48 livres et 36 livres.

3. Tâche de deviner: « Le garçon a des coléoptères et des araignées dans sa collection - 8 au total. Si vous comptez toutes les jambes de la collection. Il y en aura alors 54. Combien de coléoptères et d’araignées y a-t-il dans la collection ?

Solution : Soit x le nombre de coléoptères et y le nombre d’araignées. Un total de 8 pièces. Nous obtenons la première équation – x+y=8.

Et comme le coléoptère a 6 pattes, il y aura 6 pattes au total. Une araignée a 8 pattes, alors 8y est le nombre total de pattes d’une araignée. Le total est de 54. On arrive ensuite à la deuxième équation : 6x+8y=54.

Sujet de cours : « Résoudre des équations à l'aide de systèmes »

Objectif : apprendre à résoudre des équations à l'aide de systèmes.

Tâches :

Pédagogique

Apprendre à résoudre des équations à l'aide de systèmes et consolider ces connaissances

Du développement.

Développement d'opérations de réflexion (généralisation, analyse, mise en évidence de l'essentiel). Développement de l'attention.

Développement des compétences de coopération.

Pédagogique.

Cultiver une attitude consciente envers l'étude de l'algèbre.

Favoriser le désir de s’améliorer.

Type de cours – combiné.

Progression de la leçon

Ι.Motivation pour les activités éducatives.

Objectif : organiser la mise à jour des exigences de l'étudiant en termes d'activités pédagogiques.

– Bonjour les gars ! L'épigraphe de notre leçon sera les mots « Notre force est dans l'unité ».

Le sujet de notre leçon est « Résoudre des équations à l'aide de systèmes. Que pensez-vous que nous ferons en classe ? (Réponses des élèves). Généralisons et consolidons les connaissances acquises sur la résolution d'équations à l'aide de systèmes.

Oui. Vérification des devoirs.

Objectif : organiser l'actualisation des modalités d'action étudiées, suffisante à la construction de nouvelles connaissances.

Veuillez échanger des cahiers et vérifier comment chacun a accompli la tâche.

Continuez la phrase « Je connais ce sujet… », « Je connais ce sujet… ». Dites-moi, quelle est la différence entre les concepts « savoir » et « pouvoir » ?

III. Identifier l'emplacement et la cause du problème

Objectif : organiser la restauration, fixer le lieu de difficulté, corréler ses actions avec les standards utilisés - déterminer les connaissances et les compétences qui manquent pour résoudre le problème posé.

Je vous suggère de résoudre l'équation suivante

S'il vous plaît, dites-moi ce que nous appelons une équation ? ( Une équation est une relation mathématique exprimant l'égalité de deux expressions algébriques)

Que signifie résoudre une équation ? ( Résoudre l'équation - signifie retrouver toutes ses racines, c'est-à-dire ces valeurs x, qui transforment l'équation en identité, ou prouvent qu'il n'y a pas de racines)

IV. Construire un projet pour sortir d'un problème

Objectif : organiser la construction d'un projet pour sortir de la difficulté.

Selon vous, que faut-il faire pour résoudre cette équation à l’aide de systèmes ? (Mise au carré) Exactement. Quelle méthode connaissez-vous pour résoudre cette équation ? (Réponses possibles : mettre au carré et vérifier, mais cela peut entraîner des racines supplémentaires ; non, nous ne pouvons pas). Il faut tenir compte, lors de la résolution de cette équation, que son membre droit est supérieur ou égal à 2.

Quelle équation avons-nous obtenue ? (Carré). Devinez, les gars, est-il possible de résoudre l'équation correctement et avec compétence à la fois et dans son intégralité ? (Non) Et si nous le décomposions en ses composants et le résolvions séparément ? (Oui, vous pouvez) Autrement dit, nous pouvons dire que même dans les équations, l’unité fait la force. Réfléchissez et dites-moi, quel est un exemple d'unité et de force ? (Réponses : pendant la guerre, les gens sont unis).

Les racines de cette équation sont 3 et -23/7. La première racine satisfait l’inégalité x>2, mais pas la deuxième racine. La solution de l’équation est une seule racine. (Réponse x=3)

Les gars, maintenant, pour résoudre cette équation, nous avons utilisé le théorème :

Nous utiliserons ce théorème pour résoudre des équations similaires. Veuillez ouvrir votre manuel à la page 243. Relisez le théorème.

V.Consolidation primaire.

Maintenant, je vous suggère de résoudre les équations suivantes.

Pour ceux qui étudient à « 5 », équation numéro un, pour le reste, tâche numéro 2.

(Dans des cahiers, tout le monde écrit la solution. Un élève écrit la solution au tableau. Après l'avoir résolue, j'ouvre la diapositive avec la bonne réponse pour la tâche numéro 1)

V. Travail indépendant avec autotest.

Objectif : organiser la réalisation autonome par les étudiants de tâches standards pour une nouvelle manière d’agir.

Test sur ordinateur.

VI. Inclusion dans le système de connaissances et répétition.

Objectif : organiser l'identification des types de tâches où une nouvelle méthode est utilisée.

Peut-être avez-vous déjà rencontré des équations similaires quelque part ? (C'est la tâche B5,

Alors, qu'avons-nous rencontré aujourd'hui ? Quelles nouvelles choses avez-vous apprises ? (Réponses)

Maintenant, je veux à nouveau me tourner vers l'épigraphe de notre leçon « Notre force est dans l'unité ». Les gars, pourquoi pensez-vous que j'ai choisi cette épigraphe en particulier pour la leçon ? (Réponses des élèves).

VII . Réflexion sur les activités d'apprentissage.

Objectif : organiser l’évaluation par les élèves de leurs propres activités pendant la leçon.

« Les gars, s'il vous plaît, continuez la phrase « En classe, j'ai réussi à... » (Réponses des élèves.)

VIII . Devoirs.

Les systèmes d'équations sont largement utilisés dans le secteur économique pour la modélisation mathématique de divers processus. Par exemple, lors de la résolution de problèmes de gestion et de planification de la production, d'itinéraires logistiques (problème de transport) ou de placement d'équipements.

Les systèmes d'équations sont utilisés non seulement en mathématiques, mais également en physique, en chimie et en biologie, pour résoudre des problèmes liés à la détermination de la taille d'une population.

Un système d'équations linéaires est constitué de deux ou plusieurs équations à plusieurs variables pour lesquelles il est nécessaire de trouver une solution commune. Une telle séquence de nombres pour laquelle toutes les équations deviennent de vraies égalités ou prouvent que la séquence n'existe pas.

Équation linéaire

Les équations de la forme ax+by=c sont dites linéaires. Les désignations x, y sont les inconnues dont il faut trouver la valeur, b, a sont les coefficients des variables, c est le terme libre de l'équation.
Résoudre une équation en la traçant ressemblera à une ligne droite dont tous les points sont des solutions du polynôme.

Types de systèmes d'équations linéaires

Les exemples les plus simples sont considérés comme des systèmes d'équations linéaires à deux variables X et Y.

F1(x, y) = 0 et F2(x, y) = 0, où F1,2 sont des fonctions et (x, y) sont des variables de fonction.

Résoudre un système d'équations - cela signifie trouver des valeurs (x, y) auxquelles le système se transforme en une véritable égalité ou établir que les valeurs appropriées de x et y n'existent pas.

Une paire de valeurs (x, y), écrites sous la forme des coordonnées d'un point, est appelée solution d'un système d'équations linéaires.

Si les systèmes ont une solution commune ou qu’aucune solution n’existe, ils sont appelés équivalents.

Les systèmes homogènes d'équations linéaires sont des systèmes dont le membre droit est égal à zéro. Si la partie droite après le signe égal a une valeur ou est exprimée par une fonction, un tel système est hétérogène.

Le nombre de variables peut être bien supérieur à deux, nous devrions alors parler d'un exemple de système d'équations linéaires avec trois variables ou plus.

Face aux systèmes, les écoliers supposent que le nombre d’équations doit nécessairement coïncider avec le nombre d’inconnues, mais ce n’est pas le cas. Le nombre d'équations dans le système ne dépend pas des variables ; il peut y en avoir autant que l'on souhaite.

Méthodes simples et complexes pour résoudre des systèmes d'équations

Il n'existe pas de méthode analytique générale pour résoudre de tels systèmes ; toutes les méthodes sont basées sur des solutions numériques. Le cours de mathématiques scolaires décrit en détail des méthodes telles que la permutation, l'addition algébrique, la substitution, ainsi que les méthodes graphiques et matricielles, solution par la méthode gaussienne.

La tâche principale lors de l'enseignement des méthodes de résolution est d'apprendre à analyser correctement le système et à trouver l'algorithme de solution optimal pour chaque exemple. L'essentiel n'est pas de mémoriser un système de règles et d'actions pour chaque méthode, mais de comprendre les principes d'utilisation d'une méthode particulière

La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires dans le programme d'enseignement général de 7e année est assez simple et expliquée de manière très détaillée. Dans tout manuel de mathématiques, cette section reçoit suffisamment d’attention. La résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires par la méthode de Gauss et Cramer est étudiée plus en détail dans les premières années de l'enseignement supérieur.

Résolution de systèmes par la méthode de substitution

Les actions de la méthode de substitution visent à exprimer la valeur d'une variable en fonction de la seconde. L'expression est substituée dans l'équation restante, puis elle est réduite à une forme à une variable. L'action est répétée en fonction du nombre d'inconnues dans le système

Donnons une solution à un exemple de système d'équations linéaires de classe 7 utilisant la méthode de substitution :

Comme le montre l'exemple, la variable x a été exprimée par F(X) = 7 + Y. L'expression résultante, substituée dans la 2ème équation du système à la place de X, a permis d'obtenir une variable Y dans la 2ème équation . La résolution de cet exemple est simple et permet d'obtenir la valeur Y. La dernière étape consiste à vérifier les valeurs obtenues.

Il n'est pas toujours possible de résoudre un exemple de système d'équations linéaires par substitution. Les équations peuvent être complexes et exprimer la variable en termes de seconde inconnue sera trop fastidieux pour des calculs ultérieurs. Lorsqu’il y a plus de 3 inconnues dans le système, la résolution par substitution est également inappropriée.

Solution d'un exemple de système d'équations inhomogènes linéaires :

Solution utilisant l'addition algébrique

Lors de la recherche de solutions de systèmes à l'aide de la méthode d'addition, les équations sont ajoutées terme par terme et multipliées par différents nombres. Le but ultime des opérations mathématiques est une équation à une variable.

L'application de cette méthode nécessite de la pratique et de l'observation. Résoudre un système d'équations linéaires à l'aide de la méthode d'addition lorsqu'il y a 3 variables ou plus n'est pas facile. L'addition algébrique est pratique à utiliser lorsque les équations contiennent des fractions et des décimales.

Algorithme de solution :

Multipliez les deux côtés de l’équation par un certain nombre. À la suite de l'opération arithmétique, l'un des coefficients de la variable devrait devenir égal à 1.
Ajoutez l'expression obtenue terme par terme et trouvez l'une des inconnues.
Remplacez la valeur résultante dans la 2ème équation du système pour trouver la variable restante.

Méthode de solution en introduisant une nouvelle variable

Une nouvelle variable peut être introduite si le système nécessite de trouver une solution pour pas plus de deux équations ; le nombre d'inconnues ne doit pas non plus être supérieur à deux.

La méthode est utilisée pour simplifier l'une des équations en introduisant une nouvelle variable. La nouvelle équation est résolue pour l'inconnue introduite et la valeur résultante est utilisée pour déterminer la variable d'origine.

L'exemple montre qu'en introduisant une nouvelle variable t, il a été possible de réduire la 1ère équation du système à un trinôme quadratique standard. Vous pouvez résoudre un polynôme en trouvant le discriminant.

Il faut trouver la valeur du discriminant à l'aide de la formule bien connue : D = b2 - 4*a*c, où D est le discriminant recherché, b, a, c sont les facteurs du polynôme. Dans l'exemple donné, a=1, b=16, c=39, donc D=100. Si le discriminant est supérieur à zéro, alors il existe deux solutions : t = -b±√D / 2*a, si le discriminant est inférieur à zéro, alors il existe une solution : x = -b / 2*a.

La solution pour les systèmes résultants est trouvée par la méthode d’addition.

Méthode visuelle pour résoudre des systèmes

Convient pour 3 systèmes d'équations. La méthode consiste à construire des graphiques de chaque équation incluse dans le système sur l'axe des coordonnées. Les coordonnées des points d'intersection des courbes seront la solution générale du système.

La méthode graphique présente un certain nombre de nuances. Examinons plusieurs exemples de résolution visuelle de systèmes d'équations linéaires.

Comme le montre l'exemple, pour chaque ligne deux points ont été construits, les valeurs de la variable x ont été choisies arbitrairement : 0 et 3. Sur la base des valeurs de x, les valeurs de y ont été trouvées : 3 et 0. Les points de coordonnées (0, 3) et (3, 0) ont été marqués sur le graphique et reliés par une ligne.

Les étapes doivent être répétées pour la deuxième équation. Le point d'intersection des droites est la solution du système.

L'exemple suivant nécessite de trouver une solution graphique à un système d'équations linéaires : 0,5x-y+2=0 et 0,5x-y-1=0.

Comme le montre l'exemple, le système n'a pas de solution, car les graphiques sont parallèles et ne se coupent pas sur toute leur longueur.

Les systèmes des exemples 2 et 3 sont similaires, mais une fois construits, il devient évident que leurs solutions sont différentes. Il ne faut pas oublier qu’il n’est pas toujours possible de dire si un système a une solution ou non ; il faut toujours construire un graphe ;

La matrice et ses variétés

Les matrices sont utilisées pour écrire de manière concise un système d’équations linéaires. Une matrice est un type spécial de tableau rempli de nombres. n*m a n lignes et m colonnes.

Une matrice est carrée lorsque le nombre de colonnes et de lignes sont égaux. Une matrice-vecteur est une matrice d'une colonne avec un nombre infini de lignes. Une matrice avec des uns le long d’une des diagonales et d’autres éléments nuls est appelée identité.

Une matrice inverse est une matrice lorsqu'elle est multipliée par laquelle celle d'origine se transforme en une matrice unitaire ; une telle matrice n'existe que pour la matrice carrée d'origine ;

Règles pour convertir un système d'équations en matrice

En ce qui concerne les systèmes d'équations, les coefficients et les termes libres des équations sont écrits sous forme de nombres matriciels ; une équation correspond à une ligne de la matrice.

Une ligne matricielle est dite non nulle si au moins un élément de la ligne est non nul. Par conséquent, si dans l'une des équations le nombre de variables diffère, il est alors nécessaire d'entrer zéro à la place de l'inconnue manquante.

Les colonnes de la matrice doivent correspondre strictement aux variables. Cela signifie que les coefficients de la variable x ne peuvent être écrits que dans une colonne, par exemple la première, le coefficient de l'inconnu y - uniquement dans la seconde.

Lors de la multiplication d'une matrice, tous les éléments de la matrice sont multipliés séquentiellement par un nombre.

Options pour trouver la matrice inverse

La formule pour trouver la matrice inverse est assez simple : K -1 = 1 / |K|, où K -1 est la matrice inverse, et |K| est le déterminant de la matrice. |K| ne doit pas être égal à zéro, alors le système a une solution.

Le déterminant se calcule facilement pour une matrice deux par deux ; il suffit de multiplier les éléments diagonaux les uns par les autres. Pour l'option « trois par trois », il existe une formule |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 + une 3 b 2 c 1 . Vous pouvez utiliser la formule ou vous rappeler que vous devez prendre un élément de chaque ligne et de chaque colonne afin que le nombre de colonnes et de lignes d'éléments ne se répète pas dans le travail.

Résolution d'exemples de systèmes d'équations linéaires à l'aide de la méthode matricielle

La méthode matricielle de recherche d'une solution vous permet de réduire les saisies fastidieuses lors de la résolution de systèmes comportant un grand nombre de variables et d'équations.

Dans l'exemple, a nm sont les coefficients des équations, la matrice est un vecteur x n sont des variables et b n sont des termes libres.

Résolution de systèmes par la méthode gaussienne

En mathématiques supérieures, la méthode gaussienne est étudiée avec la méthode Cramer, et le processus de recherche de solutions aux systèmes est appelé méthode de solution Gauss-Cramer. Ces méthodes sont utilisées pour trouver des variables de systèmes comportant un grand nombre d'équations linéaires.

La méthode de Gauss est très similaire aux solutions par substitution et addition algébrique, mais est plus systématique. Dans le cours scolaire, la solution par la méthode gaussienne est utilisée pour les systèmes de 3 et 4 équations. Le but de la méthode est de réduire le système à la forme d'un trapèze inversé. Au moyen de transformations algébriques et de substitutions, la valeur d'une variable se retrouve dans l'une des équations du système. La deuxième équation est une expression à 2 inconnues, tandis que 3 et 4 sont respectivement à 3 et 4 variables.

Après avoir amené le système à la forme décrite, la solution supplémentaire est réduite à la substitution séquentielle de variables connues dans les équations du système.

Dans les manuels scolaires de la 7e année, un exemple de solution par la méthode Gauss est décrit comme suit :

Comme le montre l'exemple, à l'étape (3), deux équations ont été obtenues : 3x 3 -2x 4 =11 et 3x 3 +2x 4 =7. La résolution de l'une des équations vous permettra de connaître l'une des variables x n.

Le théorème 5, mentionné dans le texte, stipule que si l'une des équations du système est remplacée par une équivalente, alors le système résultant sera également équivalent à celui d'origine.

La méthode gaussienne est difficile à comprendre pour les collégiens, mais c'est l'un des moyens les plus intéressants pour développer l'ingéniosité des enfants inscrits dans les programmes d'apprentissage avancé des cours de mathématiques et de physique.

Pour faciliter l'enregistrement, les calculs sont généralement effectués comme suit :

Les coefficients des équations et les termes libres sont écrits sous la forme d'une matrice, où chaque ligne de la matrice correspond à l'une des équations du système. sépare le côté gauche de l’équation du côté droit. Les chiffres romains indiquent le nombre d'équations du système.

Notez d’abord la matrice à travailler, puis toutes les actions réalisées avec l’une des lignes. La matrice résultante est écrite après le signe "flèche" et les opérations algébriques nécessaires sont poursuivies jusqu'à ce que le résultat soit obtenu.

Le résultat devrait être une matrice dans laquelle l'une des diagonales est égale à 1 et tous les autres coefficients sont égaux à zéro, c'est-à-dire que la matrice est réduite à une forme unitaire. Il ne faut pas oublier d'effectuer des calculs avec des nombres des deux côtés de l'équation.

Cette méthode d'enregistrement est moins lourde et permet de ne pas se laisser distraire par la liste de nombreuses inconnues.

L'utilisation gratuite de n'importe quelle méthode de résolution nécessitera de la prudence et une certaine expérience. Toutes les méthodes ne sont pas de nature appliquée. Certaines méthodes pour trouver des solutions sont plus préférables dans un domaine particulier de l'activité humaine, tandis que d'autres existent à des fins pédagogiques.

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Être capable de résoudre des systèmes d’équations linéaires est une très bonne chose, mais la résolution de systèmes d’équations en soi n’est qu’une méthode pour des problèmes plus complexes. En utilisant des systèmes d’équations, nous pouvons résoudre divers problèmes que nous rencontrons dans la vie.

L'algèbre est la science de la résolution d'équations et de systèmes d'équations. C’est exactement la définition utilisée par les scientifiques à la fin du 20e siècle. Le célèbre scientifique René Descartes est célèbre pour l'une de ses œuvres, appelée « Méthode Descartes ». Descartes croyait que tout problème peut être réduit à un problème mathématique, tout problème mathématique peut être réduit à un système algébrique d'équations. Et tout système peut être réduit à la résolution d’une seule équation.

Malheureusement, Descartes n'a pas eu le temps de compléter complètement sa méthode et n'en a pas écrit tous les points, mais l'idée est très bonne.

Et maintenant, comme Descartes, nous allons résoudre des problèmes en utilisant des systèmes d'équations, bien sûr, pas n'importe lesquels, mais seulement ceux qui peuvent être réduits à la résolution de systèmes d'équations linéaires.

Schéma général pour résoudre le problème à l'aide de systèmes d'équations

Décrivons le schéma général de résolution de problèmes à l'aide de systèmes d'équations :

1. Pour les quantités inconnues, nous introduisons certaines notations et composons un système d'équations linéaires.
2. Résolvez le système d’équations linéaires résultant.
3. J'utilise les notations saisies et j'écris la réponse.

Essayons d'appliquer ce schéma à un problème spécifique.

On sait que deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles et que deux cahiers et trois crayons coûtent 40 roubles. Vous devez savoir combien coûtent cinq crayons et six cahiers.

Solution:

Nous devons déterminer combien coûtent séparément un crayon et un cahier. Si nous disposons de telles données, il ne sera pas difficile de décider combien coûtent cinq crayons et six cahiers.

Notons x le prix d'un crayon en roubles. Et y est le prix d'un ordinateur portable en roubles. Maintenant, nous lisons attentivement la condition et créons une équation.

"deux crayons et trois cahiers coûtent 35 roubles" signifie