Le mot « conformité » est utilisé assez souvent en russe ; il désigne une relation entre quelque chose, exprimant la cohérence, l'égalité à certains égards (dictionnaire explicatif d'Ozhegov).

Dans la vie on entend souvent : « Ce manuel correspond à ce programme, mais ce manuel ne correspond pas (mais peut correspondre à un autre programme) ; Cette pomme correspond au grade le plus élevé, mais ce n'est que le premier. On dit que cette réponse à l’examen correspond à une note « excellent », et celle-ci – « bien ». On dit que cette personne porte (au sens de coupes) des vêtements de taille 46. Conformément aux instructions, vous devez faire cela et pas autrement. Il existe une correspondance entre le nombre de jours ensoleillés par an et le rendement des cultures.

Si vous essayez d'analyser ces exemples, vous remarquerez que dans tous les cas nous parlons de deux classes d'objets, et entre les objets d'une classe, selon certaines règles, une certaine connexion s'établit avec des objets d'une autre classe. Par exemple, dans le cas de vêtements assortis à une certaine taille, une classe d'objets est constituée de personnes et une autre classe d'objets est constituée de nombres naturels qui jouent le rôle de tailles de vêtements. Nous pouvons définir la règle par laquelle la conformité est établie, par exemple, en utilisant un algorithme naturel - essayer une combinaison spécifique ou déterminer son adéquation « à l'œil nu ».

Nous considérerons des correspondances pour lesquelles les classes d'objets entre lesquelles la correspondance est établie et la règle d'établissement de la correspondance sont complètement définies. De nombreux exemples de telles correspondances ont été étudiés à l'école. Tout d’abord, ce sont bien entendu des fonctions. Toute fonction est un exemple de correspondance. En effet, considérons par exemple la fonction à = X+ 3. S'il n'est pas spécifiquement dit sur le domaine de définition de la fonction, alors on considère que chaque valeur numérique de l'argument X correspond à une valeur numérique à, qui se trouve selon la règle : à X il faut en ajouter 3. Dans ce cas, une correspondance s'établit entre les ensembles R. Et R. nombres réels.

Notez qu'établir des connexions entre deux ensembles X Et Oui associé à la considération de paires d'objets formés à partir d'éléments de l'ensemble X et les éléments correspondants de l'ensemble Oui.

Définition. Conformité entre les séries X Et Oui appeler n'importe quel sous-ensemble non vide d'un produit cartésien X ´ Oui.

Un tas de X appelé zone de départ matchs, set Oui – zone d'arrivée conformité.

Les correspondances entre ensembles sont généralement désignées par des lettres majuscules de l'alphabet latin, par exemple : R, S, T. Si R.– quelques correspondances entre ensembles X Et Oui, alors, selon la définition de la correspondance, R.Í X´ Oui Et R.≠Æ. Correspondance des temps entre les ensembles X Et Oui est chaque sous-ensemble du produit cartésien X ´ Oui, c'est à dire. est un ensemble de paires ordonnées, alors les méthodes de spécification des correspondances sont essentiellement les mêmes que les méthodes de spécification des ensembles. Donc, correspondant R. entre les séries X Et Oui vous pouvez définir :

a) listant toutes les paires d'éléments ( x, y) Î R.;

b) indiquant la propriété caractéristique que possèdent toutes les paires ( x, y) ensembles R. et aucun couple qui n'est pas son élément ne le possède.

EXEMPLES.

1) Conformité R. entre les séries X= (20, 25) et Oui= (4, 5, 6) se précise en indiquant la propriété caractéristique : « X plusieurs à»,
X Î X, à Î Oui. Puis beaucoup R. = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.

2) Conformité R. entre les séries X= (2, 4, 6, 8) et

Oui= (1, 3, 5) donné par un ensemble de paires R. = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.

Si R.– correspondance entre deux ensembles numériques X Et Oui, puis, représentant toutes les paires de nombres qui correspondent R. sur le plan de coordonnées, on obtient une figure appelée graphe de correspondance R.. À l'inverse, tout sous-ensemble de points sur le plan de coordonnées est considéré comme un graphique d'une certaine correspondance entre des ensembles numériques. X Et Oui.

Graphique correspondant

Pour afficher visuellement les correspondances entre ensembles finis, en plus des graphiques, des graphiques sont utilisés. (Du mot grec « grapho » - j'écris, compare : graphique, télégraphe).

Construire un graphe de correspondance entre ensembles X Et Oui les éléments de chacun des ensembles sont représentés par des points sur le plan, puis des flèches sont dessinées à partir de X Î XÀ à Î Oui, si paire ( x, y) appartient à cette correspondance. Le résultat est un dessin composé de points et de flèches.

EXEMPLE Correspondance R. entre les séries X= (2, 3, 4, 5) et Oui= (4, 9) est donné en listant les paires R. = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.

De la même manière, vous pouvez écrire 4 R. 4, 3R. 9. Et en général, si un couple
(x, y) Î R., alors ils disent que l'élément X Î X correspond à l'élément à Î Oui et écris xRу. Élément 2 О X appelée l'image inverse de l'élément
4 î Oui sous réserve de conformité R. et est désigné 4 R.-1 2. De même, vous pouvez écrire 4 R. -1 4, 9R. -1 3.

Pour construire une théorie mathématique, vous avez besoin non seulement des éléments eux-mêmes, mais aussi des relations entre eux. Pour les nombres, la notion d'égalité a du sens : a = b. Si les nombres a et b sont différents, hein ? b, alors il est possible soit a > b, soit a

Deux plans droits peuvent être perpendiculaires, parallèles ou se croiser selon un certain angle.

Toutes ces relations concernent deux objets. C'est pourquoi on les appelle relations binaires.

Pour étudier les relations entre objets en mathématiques, la théorie des relations binaires a été créée.

Lorsqu'on considère certaines relations, on a toujours affaire à des couples ordonnés formés à partir des éléments d'un ensemble donné. Par exemple, pour la relation « plus grand de 4 », qui est considérée sur l'ensemble X = (2, 6, 10, 14), ce seront des couples ordonnés (2, 6), (6, 10), (10, 14), et pour les relations « divisées » - (6, 2), (10, 2), (14, 2).

On peut noter que l'ensemble des couples qui définissent les relations « supérieur à 4 », « divisible », sont des sous-ensembles du produit cartésien

X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).

Définition 1. Une relation binaire entre éléments d'un ensemble X ou une relation sur un ensemble X est tout sous-ensemble du produit cartésien X ´ X.

Les relations binaires sont généralement désignées par les lettres majuscules de l'alphabet latin : P, T, S, R, Q, etc. Ainsi, si P est une relation sur l'ensemble X, alors P Ì X ´ X. Souvent, divers symboles spéciaux sont utilisés pour écrire des relations, par exemple , =, >, ~, ½½, ^, etc. L'ensemble de tous les premiers éléments des paires de P est appelé le domaine de définition de la relation P. L'ensemble des valeurs de la relation P est l'ensemble de tous les seconds éléments des paires de P.

Pour plus de clarté, les relations binaires sont représentées graphiquement à l'aide d'un dessin graphique spécial. Les éléments de l'ensemble X sont représentés par des points. Si (x, y) Î Р(хРу) est vrai, alors une flèche est dessinée du point x au point y. Un tel dessin est appelé un graphe de relations P, et les points représentant les éléments de l'ensemble X sont les sommets du graphe. flèches comme bords du graphique.

Exemple. Soit la relation P : « le nombre x est un diviseur du nombre y » donnée sur l'ensemble

X = (5, 10, 20, 30, 40), illustré à la figure 25.

Les flèches d'un graphique dont le début et la fin sont le même point sont appelées boucles. Si vous changez la direction de toutes les flèches sur le graphique de relation P en sens inverse, vous obtiendrez une nouvelle relation, appelée l'inverse de P. Elle est notée P–1. Notez que xРу Û уР–1х.

Méthodes de spécification des relations binaires.

Puisque la relation R entre les éléments de l’ensemble X est un ensemble dont les éléments sont des paires ordonnées, elle peut être spécifiée de la même manière que n’importe quel ensemble.

1. Le plus souvent, la relation R sur l'ensemble X est spécifiée à l'aide de la propriété caractéristique des couples d'éléments qui sont dans la relation R. Cette propriété est formulée sous la forme d'une phrase à deux variables.

Par exemple, parmi les relations sur l'ensemble X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10), on peut considérer celle-ci : « le nombre x est 2 fois inférieur au nombre y", "le nombre x est un diviseur des nombres y", "le nombre x est supérieur au nombre y" et d'autres.

2. La relation R sur l'ensemble X peut également être définie en listant toutes les paires d'éléments de l'ensemble X liés par la relation R.

Par exemple, si nous écrivons un ensemble de paires (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), alors sur le ensemble X = (1, 2, 3, 4), nous définirons une relation R. La même relation R peut également être donnée

3. à l'aide d'un graphique (Fig. 26).

Propriétés des relations binaires.

Définition 2. Une relation R sur un ensemble X est dite réflexive si chaque élément de l'ensemble X est dans cette relation avec lui-même.

En bref : R est réflexif sur X Û xRx pour tout x О X.

ou, ce qui revient au même : à chaque sommet du graphe de relations il y a une boucle. L’inverse est également vrai : si tous les sommets d’un graphe de relations n’ont pas de boucle, alors c’est une relation réflexive.

Exemple. Relations réflexives : « être égal sur l'ensemble de tous les triangles du plan », « ? et £ sur l'ensemble de tous les nombres réels.

Notez qu'il existe des relations qui n'ont pas la propriété de réflexivité (donnez un exemple « x est supérieur à y »)

Définition 3. Une relation binaire R sur un ensemble X est dite anti-réflexive sur X si pour chaque x de X (x, x) Ï R, c'est-à-dire pour chaque x de X la condition xRx n’est pas satisfaite.

Si une relation R est anti-réflexive, alors aucun sommet de son graphe n'a de boucle. Inversement : si aucun sommet du graphe ne possède de boucle, alors le graphe représente une relation anti-réflexive.

Exemples de relations anti-réflexives : « être plus âgée », « être plus petite », « être fille », etc.

Définition 4. Une relation R sur un ensemble X est dite symétrique si, pour tout élément x, Î X la condition est satisfaite : si x et y sont dans une relation R, alors y et x sont également dans cette relation.

En bref : R est symétrique sur X Û xRу Û yRx.

Un graphe de relations symétriques a la propriété : s'il y a une flèche reliant une paire d'éléments, alors il y en a nécessairement une seconde qui relie les mêmes éléments, mais va dans la direction opposée. L’inverse est également vrai.

Des exemples de relations symétriques sont les relations : « être mutuellement perpendiculaires sur l'ensemble de toutes les droites du plan », « être semblables sur l'ensemble de tous les rectangles du plan ».

Définition 5. Si pour aucun élément x et y de l'ensemble X, il peut arriver que xRy et yRx se produisent simultanément, alors la relation R sur l'ensemble X est dite asymétrique.

Un exemple de relation asymétrique : « être le père » (si x est le père de y, alors y ne peut pas être le père de x).

Définition 6. Une relation R sur un ensemble X est dite antisymétrique si, pour différents éléments x, y О X, du fait que l'élément x est dans une relation entre R et l'élément y, il s'ensuit que l'élément y n'est pas dans une relation entre R et l'élément x.

En bref : R est antisymétrique sur X Û xRу et x ? ouais ? .

Par exemple, la relation « inférieur à » sur l'ensemble des entiers est antisymétrique.

Un graphe de relations antisymétriques a une particularité : si deux sommets du graphe sont reliés par une flèche, alors il n'y a qu'une seule flèche. L’affirmation inverse est également vraie.

Notez qu’il existe des relations qui n’ont ni la propriété de symétrie ni la propriété d’antisymétrie.

Définition7. Une relation R sur un ensemble X est dite transitive si pour des éléments x, y, z О X la condition suivante est satisfaite : si x est dans la relation R avec y et y est dans la relation R avec z, alors l'élément x est dans la relation R avec l'élément z.

En bref : R est transitif sur X Û xRу et уRz ? xRz.

Par exemple, la relation « la droite x est parallèle à la droite y », définie sur l'ensemble des droites d'un plan, est transitive.

Le graphe de relations transitives a la particularité que pour chaque paire de flèches allant de x à y et de y à z, il contient également une flèche allant de x à z. L’inverse est également vrai.

Notez qu'il existe des relations qui n'ont pas la propriété de transitivité. Par exemple, la relation « se tenir côte à côte sur une étagère » n’est pas transitive.

Toutes les propriétés générales des relations peuvent être divisées en trois groupes :

la réflexivité (toute relation est réflexive ou anti-réflexive),

symétrie (la relation est toujours soit symétrique, asymétrique ou antisymétrique),

transitivité (toute relation est transitive ou non transitive). Les relations qui possèdent un certain ensemble de propriétés reçoivent des noms spéciaux.

SUR LA RÉSOLUTION DE TRIANGLES.

IX. Triangles rectangles.

§ 83. Relations entre les éléments d'un triangle rectangle.

Au § 20, les relations trigonométriques entre les éléments d'un triangle rectangle ont été dérivées ; à savoir, à partir de la définition des fonctions trigonométriques, les formules ont été dérivées (Fig. 40) :

péché A = un / c; car A = b / c; bronzage A = un / b

Déterminer à partir de ces formules un B Et Avec, nous trouvons:

1) UN= Avec péché A 2) b= Avec cosA ; 3) UN= b tg A.

Les formulations verbales sont données aux §§20-21. A ces formules il faut en ajouter trois autres, connues de la géométrie :

A + B = 90° ; c 2 = un 2 +b 2 ; S = 1/2 un B.

§ 84. Il n’existe que trois relations indépendantes entre les éléments d’un triangle. Un triangle a trois côtés et trois angles ; mais de ces six éléments, il suffit d'en avoir trois (sauf dans le cas de trois angles) pour que l'on puisse construire un triangle et obtenir ainsi les trois éléments restants. Il s'ensuit que lors d'un calcul dans un triangle, trois éléments peuvent être déterminés à partir des données restantes ; et pour cela, le nombre d'équations différentes entre les éléments du triangle doit également être égal à trois. Si plus de trois équations sont obtenues, certaines d’entre elles seront les conséquences des autres.

Dans un triangle rectangle, les principales relations sont généralement considérées comme les suivantes :

A + B = 90° ; UN= Avec péché A; b= Avec parce que A.

Le reste peut en être déduit.

§ 85. Résolution de triangles rectangles.

Les principaux éléments d’un triangle sont les côtés et les angles. Ainsi, lors de la résolution d’un triangle rectangle, selon les éléments donnés, 4 cas peuvent se présenter, discutés dans les paragraphes suivants. Dans ce cas, les données doivent certainement contenir un élément linéaire, sinon il est impossible de connaître les dimensions du triangle : sous trois angles, vous pouvez construire autant de triangles similaires que vous le souhaitez.

La solution des triangles (comme la solution de tout problème mathématique) s'effectue d'abord, si possible, jusqu'au bout sous une forme générale ; puis les données numériques sont remplacées et les calculs sont effectués. Tous les exemples suivants sont résolus à l'aide de tables de Bradis, d'abord en utilisant les valeurs naturelles des fonctions trigonométriques, puis en utilisant des logarithmes.

En cas d'utilisation de tableaux à cinq chiffres, des exemples de résolution de triangles à l'aide de ces tableaux ont également été enregistrés.

§ 86. 1er cas.Étant donné une hypoténuse et un angle aigu ( Avec et A). Trouvez un autre angle aigu, des jambes et une zone (B, un B, S).

JE. Solution générale.

II. Exemple numérique : Avec= 627 ; A = 23°30"

Solution.

B = 90° - 23°30" = 66°30" ; UN= 627 péché 23°30"

D'après le tableau VIII de Bradis, nous trouvons sin 23°30" = 0,3987 ; donc :

UN = 627 0,3987 = 249,9849;
UN≈ 250 (unités lin.);
b= 627 cos 23°30" = 627 0,9171 = 575,0227.
b≈ 575 (unités lin.);
S = 1/2 249,98 575,02 = 71 872 (unités carrées). je

§ 87. 2ème cas.Étant donné une jambe et un angle aigu ( UN et A). Retrouver dans, c, b, S.

I. Solution sous forme générale.

II. Exemple numérique : UN=18 ; A = 47°.

Solution.

§ 88. 3ème cas.Étant donné une hypoténuse et une jambe ( Avec Et UN). Trouver A, B, b, S.

I. Solution sous forme générale.

péché A = un / c; cos B = un / c ; b = √c 2 -un 2 ; S= un / 2 √c 2 -un 2 .

II. Exemple numérique : Avec = 65; UN =16.

Je Décision.

péché A= 16 / 65 = 0,2461 ; A = 14°12" + 3" = 14°15" ;
B = 90° - 14°15" = 75°45" ;

b = √65 2 -16 2 = √(65 + 16) (65 -16) = √81 49 = 9 7;
b= 63 (unités lin.);

S = 16 / 2 63 = 504 (unités carrées).

§ 89. 4ème cas. Les deux côtés sont donnés ( UN Et b). Trouver A, B, Avec, S.

I. Solution sous forme générale.

bronzage A = un / b; bronzage B = b / un ; c = √un 2 +b 2 ; S= un B / 2

II. Exemple numérique : un = 25; b = 40.

Solution.

bronzage A = 25/40 = 0,625 ; A = 32°; B = 58°;
c= √25 2 +40 2 ≈ 47,2 ; S = 500 (unités carrées).

Le concept de conformité. Méthodes de spécification des correspondances

Initialement, l’algèbre était l’étude de la résolution d’équations. Au cours des nombreux siècles de son développement, l'algèbre est devenue une science qui étudie les opérations et les relations sur divers ensembles. Ce n'est donc pas un hasard si dès l'école primaire, les enfants se familiarisent avec des concepts algébriques tels que les expressions (numériques et avec variables), l'égalité numérique, l'inégalité numérique, l'équation. Ils étudient diverses propriétés des opérations arithmétiques sur les nombres qui leur permettent d'effectuer des calculs de manière rationnelle. Et, bien sûr, dans le cours initial de mathématiques, ils sont initiés à diverses dépendances et relations, mais afin de les utiliser pour le développement de l'activité mentale des enfants, l'enseignant doit maîtriser certains concepts généraux de l'algèbre moderne - le concept de correspondance, relations, opérations algébriques, etc. De plus, en maîtrisant le langage mathématique utilisé en algèbre, l'enseignant sera en mesure de mieux comprendre l'essence de la modélisation mathématique de phénomènes et de processus réels.

En étudiant le monde qui nous entoure, les mathématiques considèrent non seulement ses objets, mais aussi et surtout les connexions entre eux. Ces connexions sont appelées dépendances, correspondances, relations, fonctions. Par exemple, lors du calcul des longueurs des objets, des correspondances sont établies entre les objets et les nombres, qui sont les valeurs de leurs longueurs ; lors de la résolution de problèmes de mouvement, une relation s'établit entre la distance parcourue et le temps si la vitesse de déplacement est constante.

Les dépendances, correspondances et relations spécifiques entre les objets en mathématiques ont été étudiées depuis leur création. Mais la question de savoir ce qu'une variété de correspondances ont en commun, quelle est l'essence de toute correspondance, a été posée à la fin du XIXe et au début du XXe siècle, et la réponse a été trouvée dans le cadre de la théorie des ensembles.

Dans le cours initial de mathématiques, diverses relations entre éléments d'un, deux ou plusieurs ensembles sont étudiées. Par conséquent, l'enseignant doit comprendre leur essence, ce qui l'aidera à assurer l'unité dans la méthodologie d'étude de ces relations.

Regardons trois exemples de correspondances étudiées dans un cours initial de mathématiques.

Dans le premier cas, on établit une correspondance entre des expressions données et leurs valeurs numériques. Dans la seconde, on découvre quel numéro correspond à chacun de ces chiffres, caractérisant son aire. Dans la troisième, nous recherchons un nombre qui est une solution à l’équation.

Quel est le point commun entre ces correspondances ?

On voit que dans tous les cas on a deux ensembles : dans le premier, c'est un ensemble de trois expressions numériques et un ensemble de N nombres naturels (les valeurs de ces expressions lui appartiennent), dans le second, c'est un un ensemble de trois figures géométriques et un ensemble de N nombres naturels ; dans le troisième, c'est un ensemble de trois équations et un ensemble de N nombres naturels.

En accomplissant les tâches proposées, nous établissons une connexion (correspondance) entre les éléments de ces ensembles. Il peut être représenté visuellement à l'aide de graphiques (Fig. 1).

Vous pouvez spécifier ces correspondances en répertoriant toutes les paires d'éléments qui se trouvent dans une correspondance donnée :

I. ((en 1, 4), (en 3, 20));

II. ((F 1, 4), (F 2, 10), (F 3, 10));

III. ((y 1, 4), (y 2, 11), (y 3, 4)).

Les ensembles résultants montrent que toute correspondance entre deux ensembles X et Y peut être considérée comme ensemble de paires ordonnées , formés à partir de leurs éléments. Et puisque les paires ordonnées sont des éléments d’un produit cartésien, on arrive à la définition suivante du concept général de correspondance.

Définition. Une correspondance entre les éléments de l'ensemble X et Y est tout sous-ensemble du produit cartésien de ces ensembles.

Les correspondances sont généralement désignées par les lettres P, S, T, R, etc. Si S est une correspondance entre des éléments des ensembles X et Y, alors, selon la définition, S X x Y.

Voyons maintenant comment définir des correspondances entre deux ensembles. Puisque la correspondance est un sous-ensemble, elle peut être spécifiée comme n'importe quel ensemble, c'est-à-dire soit en listant tous les couples d'éléments qui se trouvent dans une correspondance donnée, soit en indiquant une propriété caractéristique des éléments de ce sous-ensemble. Ainsi, la correspondance entre les ensembles X = (1, 2, 4, 6) et Y = (3, 5) peut être précisée :

1) en utilisant une phrase à deux variables : a< b при условии, что а X, b Y;

2) lister des paires de nombres appartenant à un sous-ensemble du produit cartésien XxY : ((1, 3), (1, 5), (2, 3), (2, 5), (4, 5)). Cette méthode d'affectation comprend également l'affectation des correspondances à l'aide d'un graphe (Fig. 2) et d'un graphe (Fig. 3)

Riz. 2 Fig. 3

Souvent, lorsqu'on étudie les correspondances entre les éléments des ensembles X et Y, il faut considérer la correspondance qui est son opposée. Laissez, par exemple,

S - correspondance « plus de 2 » entre les éléments des ensembles

X = (4,5,8, 10) et Y= (2,3,6). Alors S=((4, 2), (5,3), (8, 6)) et son graphique sera le même que sur la figure 4a.

L'inverse de la correspondance donnée est la correspondance "moins de 2". Il est considéré entre les éléments des ensembles Y et X, et pour le présenter clairement, il suffit de changer le sens des flèches sur le graphe de relation S vers l'opposé (Fig. 4b). Si la correspondance « moins de 2 » est notée S -1, alors S -1 = ((2.4), (3.5), (6.8)).

Convenons d'écrire la phrase « l'élément x est conforme à l'élément y » comme suit : xSy. L'entrée xSy peut être considérée comme une généralisation des entrées pour des correspondances spécifiques : x = 2y ; x > 3 ans+1, etc.

Utilisons la notation introduite pour définir la notion de correspondance inverse à celle donnée.

Définition. Soit S une correspondance entre éléments des ensembles X et Y. Une correspondance S -1 entre éléments des ensembles Y et X est dite son inverse si yS -x si et seulement si xSy .

Les correspondances S et S -1 sont dites mutuellement inverses. Découvrons les caractéristiques de leurs graphiques.

Construisons un graphe de correspondance S = ((4, 2), (5, 3), (8, 6)) (Fig. 5a). Lors de la construction d'un graphe de correspondance S -1 = ((2, 4), (3, 5), (6, 8)), nous devons sélectionner la première composante de l'ensemble Y = (2, 3, 6), et la seconde de l'ensemble X = (4, 5, 8, 10). En conséquence, le graphe de correspondance S -1 coïncidera avec le graphe de correspondance S. Pour distinguer les graphes de correspondance S et S -1 ,

convenu de considérer la première composante du couple de correspondance S -1 comme abscisse, et la seconde comme ordonnée. Par exemple, si (5, 3) S, alors (3, 5) S -1. Les points de coordonnées (5, 3) et (3, 5), et dans le cas général (x, y) et (y, x) sont symétriques par rapport à la bissectrice des 1er et 3ème angles de coordonnées. Par conséquent, les graphiques des correspondances mutuellement inverses S et S -1 sont symétriques par rapport à la bissectrice des 1er et 3ème angles de coordonnées.

Pour construire un graphe de correspondance S -1, il suffit de représenter sur le plan de coordonnées des points symétriques aux points du graphe S par rapport à la bissectrice des 1er et 3ème angles de coordonnées.