3. C'est ainsi que les blondes résolvent les équations !

Cette inscription, que j'ai faite il y a quelques années, est probablement la preuve la plus courte que... 2 = 3. Placez un miroir dessus (ou regardez-le à travers la lumière), et vous verrez comment « deux » tours en "trois" "

Autre formule inhabituelle :

onze + deux = douze + un.

Il s'avère qu'en anglais l'égalité 11 + 2 = 12 + 1 est vraie, même si elle est écrite en mots - la « somme » des lettres à gauche et à droite est la même ! Cela signifie que le côté droit de cette égalité est une anagramme du côté gauche, c'est-à-dire qu'il en est obtenu en réarrangeant les lettres.

Des égalités littérales similaires, bien que moins intéressantes, peuvent être obtenues en russe :

quinze + six = seize + cinq.

De 1960 à 1970, la principale boisson nationale, appelée « Vodka spéciale de Moscou », coûtait : un demi-litre 2,87 et un quart de litre 1,49. Ces chiffres étaient probablement connus de la quasi-totalité de la population adulte de l’URSS. Les mathématiciens soviétiques ont remarqué que si le prix d'un demi-litre est élevé à une puissance égale au prix d'un quart, on obtient le nombre « Pi » :

1,49 2,87 ??

(Rapporté par B.S. Gorobets).

Après la publication de la première édition du livre, le professeur agrégé de la Faculté de chimie de l'Université d'État de Moscou Leenzon I. A. m'a envoyé le commentaire intéressant suivant sur cette formule : « ... il y a de nombreuses années, quand il n'y avait pas de calculatrices, et à au département de physique, nous avons passé un test difficile sur une règle à calcul (!) (combien de fois faut-il déplacer la règle mobile à gauche et à droite ?), moi, avec l'aide des tables les plus précises de mon père (il était géomètre, il a rêvé toute sa vie d'un examen de géodésie supérieure), a découvert que quarante-neuf roupies puissance deux quatre-vingt-sept équivaut à 3 1408. Cela ne m'a pas satisfait. Notre Comité du Plan d'État soviétique n'aurait pas pu agir de manière aussi grossière. Les consultations avec le ministère du Commerce à Kirovskaya ont montré que tous les calculs de prix à l'échelle nationale étaient effectués avec une précision au centième de centime. Mais ils ont refusé de me donner les chiffres exacts, invoquant le secret (cela m'a alors surpris - quel genre de secret peut-il y avoir en dixièmes et centièmes de centime). Au début des années 1990, j'ai réussi à obtenir des archives des chiffres exacts sur le prix de la vodka, qui avait alors été déclassifié par un décret spécial. Et voici ce que cela s'est avéré être : quart : 1 rouble 49,09 kopecks. En vente - 1,49 roubles. Demi-litre : 2 roubles 86,63 kopecks. En vente - 2,87 roubles. A l'aide d'une calculatrice, j'ai facilement découvert que dans ce cas, un quart à la puissance un demi-litre donne (après arrondi à 5 chiffres significatifs) exactement 3,1416 ! On ne peut qu’être étonné par les capacités mathématiques des travailleurs du Comité de planification de l’État soviétique, qui (je n’en doute pas une seule seconde) ont précisément ajusté le coût estimé de la boisson la plus populaire à un résultat connu auparavant.

Quel mathématicien, célèbre de l'école, est crypté dans ce rébus ?

Un mathématicien, un physicien et un ingénieur ont été confrontés au problème suivant : « Un garçon et une fille se tiennent debout sur les murs opposés de la salle. À un moment donné, ils commencent à marcher l’un vers l’autre et parcourent la moitié de la distance qui les sépare toutes les dix secondes. La question est : combien de temps leur faudra-t-il pour se rejoindre ?

Le mathématicien répondit sans hésiter :

Jamais.

Le physicien, après avoir réfléchi un peu, dit :

À travers un temps infini.

L'ingénieur, après de longs calculs, publia :

Après environ deux minutes, ils seront suffisamment proches pour toutes fins pratiques.

La formule piquante suivante, attribuée à Landau, grand amateur de la gent féminine, a été portée à ma connaissance par le célèbre professeur Landauved Gorobets.

Comme nous l'a dit le professeur agrégé du MSUIE A.I. Zyulkov, il a entendu dire que Landau avait dérivé la formule suivante pour un indicateur de l'attractivité féminine :

Où K- tour de poitrine ; M.- sur les hanches ; N- autour de la taille, T- la hauteur, le tout en cm ; P.- poids en kg.

Donc, si nous prenons les paramètres du modèle (années 1960) approximativement : 80-80-60-170-60 (dans la séquence de valeurs ci-dessus), alors selon la formule, nous obtenons 5. Si nous prenons les paramètres du " anti-modèle », par exemple : 120 -120-120-170-60, on obtient alors 2. C'est dans cette gamme de niveaux scolaires que, grosso modo, la « formule Landau » fonctionne.

(Cité du livre : Gorobets B. Cercle de Landau. La vie d'un génie. M. : Maison d'édition LKI/URSS, 2008.)

Un autre argument scientifique sur l'attractivité féminine attribué à Dau.

Déterminons l'attractivité d'une femme en fonction de la distance qui la sépare. Lorsque l'argument est infini, cette fonction devient nulle. En revanche, au point zéro, il est également nul (on parle d'attractivité externe, pas d'attractivité tactile). Selon le théorème de Lagrange, une fonction continue non négative qui prend des valeurs nulles aux extrémités d'un segment a un maximum sur ce segment. Ainsi:

1. Il existe une distance à laquelle une femme est la plus attirante.

2. Cette distance est différente pour chaque femme.

3. Vous devez garder vos distances avec les femmes.

Théorème: Tous les chevaux sont de la même couleur.

Preuve. Prouvons l'énoncé du théorème par induction.

À n= 1, c'est-à-dire que pour un ensemble composé d'un cheval, l'affirmation est évidemment vraie.

Que le théorème soit vrai pour n = k. Montrons que cela est également vrai pour n = k+ 1. Pour ce faire, considérons un ensemble arbitraire de k+ 1 chevaux. Si vous en retirez un cheval, il n'y aura alors que k. Par l’hypothèse d’induction, ils sont tous de la même couleur. Maintenant, remettons le cheval retiré à sa place et prenons-en un autre. Encore une fois, par l'hypothèse inductive, ces k les chevaux restants sont de la même couleur. Mais alors c'est tout k+ 1 chevaux seront de la même couleur.

Ainsi, selon le principe d’induction mathématique, tous les chevaux sont de la même couleur. Le théorème a été prouvé.

Encore une merveilleuse illustration de l’application des méthodes mathématiques à la zoologie.

Théorème: Le crocodile est plus long que large.

Preuve. Prenons un crocodile arbitraire et démontrons deux lemmes auxiliaires.

Lemme 1 : Le crocodile est plus long que le vert.

Preuve. Regardons le crocodile d'en haut : il est long et vert. Regardons le crocodile d'en bas : il est long, mais pas si vert (il est en fait gris foncé).

Le lemme 1 est donc prouvé.

Lemme 2 : Le crocodile est plus vert que le large.

Preuve. Regardons à nouveau le crocodile d'en haut. C'est vert et large. Regardons le crocodile de côté : il est vert, mais pas large. Cela prouve le lemme 2.

L’énoncé du théorème découle évidemment des lemmes prouvés.

Le théorème inverse (« Un crocodile est plus large que long ») peut être prouvé de la même manière.

À première vue, il résulte des deux théorèmes que le crocodile est carré. Cependant, comme les inégalités dans leurs formulations sont strictes, un vrai mathématicien tirera la seule conclusion correcte : LES CROCODILES N'EXISTENT PAS !

Théorème: Tous les nombres naturels sont égaux les uns aux autres.

Preuve. Il faut prouver que pour deux nombres naturels quelconques UN Et B l'égalité est satisfaite UN = B. Reformulons-le ainsi : pour tout N> 0 et n'importe lequel UN Et B, satisfaisant l'égalité max( UN, B) = N, l'égalité doit également être satisfaite UN = B.

Prouvons cela par induction. Si N= 1, alors UN Et B, étant naturel, les deux sont égaux à 1. Par conséquent UN = B.

Supposons maintenant que la déclaration ait été prouvée pour une certaine valeur k. Prenons UN Et B tel que max( UN, B) = k+ 1. Alors max( UN–1, B–1) = k. Par l'hypothèse d'induction, il s'ensuit que ( UN–1) = (B–1). Moyens, UN = B.

Les amateurs d'énigmes linguistiques et mathématiques connaissent probablement les mots, expressions et chiffres réflexifs ou auto-descriptifs (ne pensez rien de mal), autoréférentiels. Ce dernier comprend par exemple le nombre 2100010006, dans lequel le premier chiffre est égal au nombre de un dans l'enregistrement de ce nombre, le deuxième - le nombre de deux, le troisième - le nombre de trois, ..., le dixième - le nombre de zéros.

Les mots auto-descriptifs incluent, disons, le mot vingt et une lettres, inventé par moi il y a plusieurs années. Il contient en fait 21 lettres !

Il existe un grand nombre d’expressions auto-descriptives connues. L'un des premiers exemples en russe a été inventé il y a de nombreuses années par le célèbre caricaturiste et esprit verbal Vagrich Bakhchanyan : Il y a trente-deux lettres dans cette phrase. En voici quelques autres, inventés bien plus tard : 1. Dix-sept lettres. 2. Cette phrase a une erreur à la fin. 3. Cette phrase ferait sept mots si elle était plus courte de sept mots.. 4. Vous êtes sous mon contrôle car vous me lirez jusqu'à ce que vous ayez fini de lire. 5. ...Cette phrase commence et se termine par trois points..

Il existe également des conceptions plus complexes. Admirez par exemple ce monstre (voir la note de S. Tabachnikov « Le prêtre avait un chien » dans la revue « Kvant », n°6, 1989) : Dans cette phrase, le mot « dans » apparaît deux fois, le mot « ceci » apparaît deux fois, le mot « phrase » apparaît deux fois, le mot « se produit » apparaît quatorze fois, le mot « mot » apparaît quatorze fois et le mot « raz » apparaît six fois, le mot « raza » apparaît neuf fois, le mot « deux » apparaît sept fois, le mot « quatorze » apparaît trois fois, le mot « trois » apparaît trois fois, le mot « neuf » apparaît deux fois. , le mot « sept » apparaît deux fois, deux Le mot « six » apparaît plusieurs fois.

Un an après la publication dans Kvant, I. Akulich a proposé une phrase auto-descriptive qui décrit non seulement les mots qu'elle contient, mais également les signes de ponctuation : La phrase que vous lisez contient : deux mots « Phrase », deux mots « qui », deux mots « Vous », deux mots « lire », deux mots « contient », vingt-cinq mots « mots », deux mots « mots » , deux mots « deux-points », deux mots « virgules », deux mots « par », deux mots « gauche », deux mots « et », deux mots « droite », deux mots « guillemets », deux mots « a », deux les mots « également », deux mots « point », deux mots « un », deux mots « un », vingt-deux mots « deux », trois mots « trois », deux mots « quatre », trois mots « cinq », quatre mots « vingt », deux mots « trente », un deux-points, trente virgules, vingt-cinq guillemets gauche et droit et un point.

Enfin, quelques années plus tard, dans le même « Kvant », parut une note de A. Khanyan, dans laquelle était donnée une phrase qui décrivait scrupuleusement toutes ses lettres : Dans cette phrase, il y a douze V, deux E, dix-sept T, trois O, deux Y, deux F, sept R, quatorze A, deux 3, douze E, seize D, sept H, sept C, treize B, huit C, six M, cinq I, deux H, deux S, trois I, trois Sh, deux P.

"On sent clairement qu'il manque encore une phrase - une qui parlerait de toutes ses lettres et signes de ponctuation", a écrit I. Akulich, qui a donné naissance à l'un des monstres précédemment cités, dans une lettre privée qui m'a été adressée. Peut-être qu'un de nos lecteurs résoudra ce problème très difficile.

Dans la continuité du sujet précédent, il convient de mentionner les paradoxes réflexifs.

Dans le livre mentionné précédemment de J. Littlewood, « A Mathematical Mixture », il est dit à juste titre que « tous les paradoxes réflexifs sont, bien sûr, d'excellentes plaisanteries ». Il y en a également deux, que je me permettrai de citer :

1. Il doit y avoir des nombres entiers (positifs) qui ne peuvent pas être exprimés en phrases de moins de seize mots. Tout ensemble d'entiers positifs contient le plus petit nombre, et il existe donc un nombre N, "le plus petit nombre entier qui ne peut être spécifié par une expression de moins de seize mots". Mais cette phrase contient 15 mots et définit N.

2. Dans un magazine Spectateur un concours a été annoncé sur le thème « Qu'aimeriez-vous le plus lire lorsque vous ouvrez votre journal du matin ? » Le premier prix a reçu la réponse :

Le premier prix du deuxième concours de cette année a été décerné à M. Arthur Robinson, dont la réponse pleine d'esprit doit facilement être considérée comme la meilleure. Sa réponse à la question : « Qu’aimeriez-vous le plus lire lorsque vous ouvrez votre journal du matin ? » s'intitulait "Notre deuxième concours", mais en raison des contraintes de papier, nous ne pouvons pas l'imprimer dans son intégralité.

Il y a des phrases tellement étonnantes qui se lisent de la même manière de gauche à droite et de droite à gauche. Tout le monde sait une chose avec certitude : Et la rose tomba sur la patte d'Azor. C'est à elle que la capricieuse Malvina a demandé d'écrire sous la dictée de l'ignorant Pinocchio. De telles expressions réciproques sont appelées palindromes, qui, traduit du grec, signifie « reculer, revenir ». Voici quelques exemples supplémentaires : 1. Sciage de poisson-chat lilliputien sur le pont. 2. Je monte dans la salle de bain. 3. Il s'est couché sur le temple et l'archange est merveilleux et invisible. 4. Sanglier pressé sur aubergine. 5. Muse, blessée par le poinçon de l'expérience, tu prieras pour la raison. (D. Avaliani). 6. Je tiens rarement un mégot de cigarette avec ma main... (B. Goldstein) 7. Quand je sens le lait, je miaule. (G. Loukomnikov). 8. C'est un saule, mais elle est une bûche. (S.F.)

Je me demande s'il existe des palindromes en mathématiques ? Pour répondre à cette question, essayons de transférer l'idée de lecture réciproque et symétrique aux nombres et aux formules. Il s'avère que ce n'est pas si difficile. Regardons quelques exemples typiques de ces mathématiques palindromiques : palindromatique. Laissant de côté les nombres palindromiques - par exemple, 1991 , 666 etc. - passons immédiatement aux formules symétriques.

Essayons d'abord de résoudre le problème suivant : trouver toutes les paires de ces nombres à deux chiffres

(x 1 - premier chiffre, oui 1 - deuxième chiffre) et

afin que le résultat de leur addition ne change pas suite à la lecture de la somme de droite à gauche, c'est-à-dire

Par exemple, 42 + 35 = 53 + 24.

Le problème peut être résolu de manière triviale : la somme des premiers chiffres de toutes ces paires de nombres est égale à la somme de leurs deuxièmes chiffres. Vous pouvez désormais facilement créer des exemples similaires : 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52 et ainsi de suite.

En raisonnant de la même manière, on peut facilement résoudre le même problème pour d’autres opérations arithmétiques.

En cas de différence, c'est à dire

les exemples suivants sont obtenus : 41 – 32 = 23 –14, 46 – 28 = 82 – 64, ... - les sommes des chiffres de ces nombres sont égales ( x 1 + oui 1 =x 2 + oui 2 ).

Dans le cas de la multiplication on a : 63 48 = 84 36, 82 14 = 41 28, ... - dans ce cas le produit des premiers chiffres des nombres N 1 Et N 2 égal au produit de leurs deuxièmes chiffres ( x 1 x 2 = oui 1 oui 2 ).

Enfin, pour la division, nous obtenons les exemples suivants :

Dans ce cas, le produit du premier chiffre du nombre N 1 au deuxième chiffre du numéro N 2 égal au produit de leurs deux autres chiffres, c'est-à-dire x 1 oui 2 =x 2 oui 1 .

La preuve du « théorème » suivant, apparu à l'époque du « socialisme sous-développé », est basée sur les thèses populaires de ces années-là concernant le rôle du Parti communiste.

Théorème. Le rôle du parti est négatif.

Preuve. Il est bien connu que :

1. Le rôle du parti ne cesse de croître.

2. Sous le communisme, dans une société sans classes, le rôle du parti sera nul.

Ainsi, nous avons une fonction continuellement croissante tendant vers 0. Elle est donc négative. Le théorème a été prouvé.

Malgré l’apparente absurdité du problème suivant, il existe néanmoins une solution tout à fait rigoureuse.

Tâche. Maman a 21 ans de plus que son fils. Dans six ans, elle aura cinq fois son âge. La question est : OÙ EST PAPA ?!

Solution. Laisser X- l'âge du fils, et Oui- l'âge de la mère. Ensuite, la condition du problème s’écrit sous la forme d’un système de deux équations simples :

Remplacement Oui = X+ 21 dans la deuxième équation, on obtient 5 X + 30 = X+ 21 + 6, d'où X= –3/4. Ainsi, maintenant le fils a moins 3/4 ans, c'est-à-dire moins 9 mois. Cela signifie que papa est actuellement au dessus de maman !

L’expression ironique « Si vous êtes si intelligent, alors pourquoi êtes-vous si pauvre ? » est bien connue et, hélas, s’applique à beaucoup de gens. Il s’avère que ce triste phénomène a une justification mathématique stricte, fondée sur des vérités tout aussi incontestables.

A savoir, commençons par deux postulats bien connus :

Postulat 1 : Connaissance = Pouvoir.

Postulat 2 : Temps = Argent.

De plus, tout écolier sait que

Chemin s = Vitesse x Temps = Travail : Force,

Travail : Temps = Force x Vitesse (*)

En substituant les valeurs de « temps » et de « force » des deux postulats dans (*), nous obtenons :

Travail : (Connaissance x Vitesse) = Argent (**)

De l'égalité résultante (**), il est clair qu'en dirigeant la « connaissance » ou la « vitesse » vers zéro, nous pouvons obtenir autant d'argent que nous le souhaitons pour n'importe quel « travail ».

D'où la conclusion : plus une personne est stupide et paresseuse, plus elle peut gagner d'argent.

Il y a plusieurs années, le magazine « Science et Vie » (n° 1, 2000) a publié une note du professeur B. Gorobets, qui a suscité un grand intérêt parmi les lecteurs, consacrée au merveilleux jeu de réflexion inventé par l'académicien Landau pour éviter l'ennui lors d'un voyage en la voiture. Il invitait souvent ses compagnons à jouer à ce jeu, dans lequel les plaques d'immatriculation des voitures qui passaient servaient de capteur de nombres aléatoires (à cette époque ces chiffres étaient constitués de deux lettres et de deux paires de chiffres). L'essence du jeu était d'utiliser les signes d'opérations arithmétiques et les symboles de fonctions élémentaires (c'est-à-dire +, –, x, :, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, etc.) pour conduire à un seul et même c'est-à-dire que ces deux nombres à deux chiffres proviennent du numéro de la voiture qui passe. Dans ce cas, il est permis d'utiliser factorielle ( n! = 1 x 2 x ... x n), mais l'utilisation de sécante, cosécante et différenciation n'est pas autorisée.

Par exemple, pour le couple 75-33, l'égalité souhaitée est obtenue comme suit :

et pour la paire 00-38 - comme ceci :

Cependant, tous les problèmes ne sont pas résolus aussi simplement. Certains d’entre eux (par exemple, 75 à 65) dépassaient les capacités de l’auteur du jeu, Landau. Par conséquent, la question se pose d'une approche universelle, d'une formule unique qui vous permet de « résoudre » n'importe quelle paire de nombres. La même question a été posée par Landau et son étudiant Prof. Kaganov. C’est notamment ce qu’il écrit : « Est-il toujours possible de faire l’égalité à partir d’une plaque d’immatriculation ? - J'ai demandé à Landau. «Non», répondit-il de manière très catégorique. - "Avez-vous prouvé le théorème de la non-existence d'une solution ?" - J'ai été surpris. "Non", a déclaré Lev Davidovitch avec conviction, "mais je n'ai pas réussi dans tous les chiffres."

Cependant, de telles solutions ont été trouvées, notamment du vivant de Landau lui-même.

Le mathématicien de Kharkov Yu. Palant a proposé une formule pour égaliser des paires de nombres.

permettant, suite à une utilisation répétée, d'exprimer n'importe quel nombre par un nombre plus petit. "J'ai apporté la preuve de Landau", écrit Kaganov à propos de cette décision. - "Il l'a vraiment aimé... et nous avons discuté, mi-plaisantant, mi-sérieux, de l'opportunité de le publier dans une revue scientifique."

Cependant, la formule de Palant utilise la sécante désormais « interdite » (elle n’est plus inscrite dans les programmes scolaires depuis plus de 20 ans), et ne peut donc pas être considérée comme satisfaisante. Cependant, j'ai pu facilement résoudre ce problème en utilisant une formule modifiée

La formule résultante (encore une fois, si nécessaire, elle doit être appliquée plusieurs fois) permet d'exprimer n'importe quel nombre en termes de n'importe quel grand nombre sans utiliser d'autres nombres, ce qui épuise évidemment le problème de Landau.

1. Qu'il n'y ait pas de zéros parmi les nombres. Faisons-en deux nombres un ab Et CD, (ce ne sont bien sûr pas des œuvres). Montrons que lorsque n ? 6:

péché[( un ab)!]° = péché[( CD)!]° = 0.

En effet, le péché( n!)° = 0 si n? 6, puisque sin(6!)° = sin720° = sin(2 x 360°) = 0. Alors toute factorielle s'obtient en multipliant 6 ! aux entiers suivants : 7 ! = 6 ! x7,8 ! = 6 ! x 7 x 8, etc., donnant un multiple de 360° dans l'argument du sinus, le rendant (ainsi que la tangente) égal à zéro.

2. Supposons qu'il y ait un zéro dans une paire de nombres. Nous le multiplions par le chiffre adjacent et l'assimilons au sinus de la factorielle en degrés tirés du nombre dans une autre partie du nombre.

3. Qu'il y ait des zéros des deux côtés du nombre. Lorsqu'ils sont multipliés par des chiffres adjacents, ils donnent l'égalité triviale 0 = 0.

La division de la solution générale en trois points avec multiplication par zéro aux points 2 et 3 est due au fait que sin( n!)° ? 0 si n < 6».

Bien entendu, de telles solutions générales privent le jeu de Landau de son charme originel, ne représentant qu'un intérêt abstrait. Essayez donc de jouer avec des nombres individuels difficiles sans utiliser de formules universelles. En voici quelques-uns : 59-58 ; 47-73 ; 47-97 ; 27-37 ; 00-26.

En savoir plus sur les déterminants.

On m'a dit qu'à une certaine époque, le jeu du « déterminant » pour l'argent était populaire parmi les étudiants de première année de la Faculté de mécanique et de mathématiques. Deux joueurs dessinent un identifiant 3 x 3 sur du papier avec des cellules vides. Ensuite, un par un, les nombres de 1 à 9 sont insérés dans les cellules vides. Lorsque toutes les cellules sont remplies, le déterminant est calculé - la réponse, en tenant compte du signe, est la victoire (ou la perte) du premier joueur. , exprimé en roubles. Autrement dit, si, par exemple, le nombre s'avère être -23, alors le premier joueur paie le deuxième 23 roubles, et si, disons, 34, alors, au contraire, le deuxième joueur paie les 34 premiers roubles.

Bien que les règles du jeu soient aussi simples qu’un navet, il est très difficile de trouver la bonne stratégie gagnante.

Cette note m'a été envoyée par le mathématicien et écrivain A. Zhukov, auteur du merveilleux livre « Le nombre Pi omniprésent ».

Le professeur Boris Solomonovitch Gorobets, qui enseigne les mathématiques dans deux universités de Moscou, a écrit un livre sur le grand physicien Lev Davidovitch Landau (1908-1968) – « Le cercle de Landau ». Voici une histoire intéressante qu'il nous a racontée sur l'un des problèmes d'introduction à la physique et à la technologie.

Il se trouve que le collègue de Landau et co-auteur du cours en dix volumes sur la physique théorique, l'académicien Evgeniy Mikhailovich Lifshitz (1915-1985), a aidé en 1959 Bora Gorobets, diplômé de l'école, à se préparer à son admission dans l'une des principales universités de physique de Moscou.

Lors de l'examen écrit de mathématiques à l'Institut de physique et de mathématiques de Moscou, le problème suivant a été proposé : « À la base de la pyramide SABC se trouve un triangle rectangle isocèle ABC, d'angle C = 90° et de côté AB = l. Les faces latérales forment des angles dièdres ?, ?, ? avec le plan de la base. Trouvez le rayon de la balle inscrit dans la pyramide.

Le futur professeur n'a pas fait face à la tâche à ce moment-là, mais s'est souvenu de son état et en a informé plus tard Evgeniy Mikhailovich. Lui, après avoir bricolé le problème en présence d'un étudiant, n'a pas pu le résoudre tout de suite et l'a emporté chez lui, et le soir il a appelé et a dit que, ne l'ayant pas résolu dans l'heure, il avait proposé ce problème à Lev Davidovitch.

Landau aimait résoudre des problèmes qui causaient des difficultés aux autres. Bientôt, il rappela Lifshits et, satisfait, dit : « J'ai résolu le problème. Il a fallu exactement une heure pour se décider. J'ai appelé Zeldovich, maintenant c'est lui qui décide. Expliquons-nous : Yakov Borisovich Zeldovich (1914-1987), un scientifique célèbre qui se considérait comme un étudiant de Landau, était à l'époque le physicien théoricien en chef du projet atomique soviétique top-secret (dont, bien sûr, peu de gens connaissaient l'existence). alors). Environ une heure plus tard, E.M. Lifshits a rappelé et a dit : Zeldovich venait de l'appeler et, non sans fierté, lui a dit : « J'ai résolu votre problème. J’ai décidé en quarante minutes !

Combien de temps vous faudra-t-il pour accomplir cette tâche ?

Il y a pas mal de blagues mathématiques dans le recueil plein d'esprit d'humour physique et technologique « Zany Scientific Humour » (Moscou, 2000). En voici juste un.

Une défaillance s'est produite lors du test d'un produit. Quelle est la probabilité de fonctionnement sans panne du produit ?

Théorème. Tous les nombres naturels sont intéressants.

Preuve. Supposons le contraire. Alors il doit y avoir un plus petit nombre naturel sans intérêt. Ha, c'est sacrément intéressant !

1 + 1 = 3 lorsque la valeur de 1 est suffisamment grande.

E = m c 2 = m(une 2 + b 2).

Cette histoire amusante de ma vie d'étudiant pourrait bien être proposée comme problème lors de séminaires de théorie des probabilités.

L'été, mes amis et moi partions en randonnée en montagne. Nous étions quatre : Volodia, deux Oleg et moi. Nous avions une tente et trois sacs de couchage, dont un double pour Volodia et moi. Il y avait un problème avec ces mêmes sacs de couchage, ou plus précisément avec leur emplacement dans la tente. Le fait est qu'il pleuvait, la tente était exiguë, elle fuyait sur les côtés et ce n'était pas très confortable pour ceux qui étaient allongés sur le bord. J'ai donc proposé de résoudre ce problème « honnêtement », en utilisant beaucoup.

Écoute, j'ai dit à Olegs, Volodia et moi pouvons avoir un lit double soit sur le bord, soit au centre. Par conséquent, nous lancerons une pièce de monnaie : si elle tombe « face », notre lit double sera sur le bord, si « face » - au centre.

Les Olegs ont accepté, mais après plusieurs nuits au bord de la tente (il est facile de calculer à l'aide de la formule de probabilité totale que pour Volodia et moi, la probabilité de ne pas dormir au bord de la tente est de 0,75), les Olegs ont soupçonné que quelque chose n'allait pas et proposé de reconsidérer l’accord.

En effet, dis-je, les chances étaient inégales. En effet, pour notre lit double, il y a trois possibilités : sur le bord gauche, à droite et au centre. Par conséquent, chaque soir, nous tirerons l'un des trois bâtons - si nous tirons le plus court, notre double sera au centre.

Les Olegs ont de nouveau accepté, même si cette fois nos chances de passer la nuit loin du bord (maintenant la probabilité est de 0,66, plus précisément des deux tiers) étaient préférables à celles de chacun d'eux. Après deux nuits à la limite (nous avions les meilleures chances et la chance de notre côté), les Oleg se sont à nouveau rendu compte qu'ils avaient été trompés. Mais heureusement, les pluies se sont arrêtées et le problème a disparu de lui-même.

Mais en fait, notre lit double devait toujours être sur le bord, et Volodia et moi utilisions une pièce de monnaie pour déterminer à chaque fois qui avait de la chance. Les Oleg auraient fait de même. Dans ce cas, les chances de dormir au bord du lit seraient les mêmes pour tout le monde et égales à 0,5.

Remarques :

Parfois, une histoire similaire est racontée à propos de Jean Charles François Sturm.

Souvent, lorsque je discute avec des lycéens de travaux de recherche en mathématiques, j’entends ceci : « Que peut-on découvrir de nouveau en mathématiques ? Mais vraiment : peut-être que toutes les grandes découvertes ont été faites et les théorèmes prouvés ?

Le 8 août 1900, lors du Congrès international de mathématiques à Paris, le mathématicien David Hilbert dresse une liste de problèmes qui, selon lui, devraient être résolus au XXe siècle. Il y avait 23 éléments sur la liste. Vingt et un d’entre eux ont été résolus jusqu’à présent. Le dernier problème à résoudre sur la liste de Hilbert était le célèbre théorème de Fermat, que les scientifiques étaient incapables de résoudre depuis 358 ans. En 1994, le Britannique Andrew Wiles propose sa solution. Cela s'est avéré être vrai.

À l'instar de Gilbert, à la fin du siècle dernier, de nombreux mathématiciens ont tenté de formuler des tâches stratégiques similaires pour le XXIe siècle. L'une de ces listes est devenue largement connue grâce au milliardaire de Boston Landon T. Clay. En 1998, grâce à ses fonds, le Clay Mathematics Institute a été fondé à Cambridge (Massachusetts, États-Unis) et des prix ont été créés pour résoudre un certain nombre des problèmes les plus importants des mathématiques modernes. Le 24 mai 2000, les experts de l'institut ont sélectionné sept problèmes, en fonction du nombre de millions de dollars alloués au prix. La liste s'intitule Problèmes du Prix du Millénaire :

1. Le problème de Cook (formulé en 1971)

Disons que vous, étant dans une grande entreprise, voulez vous assurer que votre ami est également là. S'ils vous disent qu'il est assis dans un coin, alors une fraction de seconde vous suffira pour y jeter un coup d'œil et être convaincu de la véracité de l'information. Sans ces informations, vous serez obligé de parcourir toute la pièce en regardant les invités. Cela suggère que résoudre un problème prend souvent plus de temps que vérifier l’exactitude de la solution.

Stephen Cook a formulé le problème : la vérification de l'exactitude d'une solution à un problème peut-elle prendre plus de temps que l'obtention de la solution elle-même, quel que soit l'algorithme de vérification. Ce problème est également l’un des problèmes non résolus dans le domaine de la logique et de l’informatique. Sa solution pourrait révolutionner les fondamentaux de la cryptographie utilisée dans la transmission et le stockage des données.

2. Hypothèse de Riemann (formulée en 1859)

Certains nombres entiers ne peuvent pas être exprimés comme le produit de deux nombres entiers plus petits, tels que 2, 3, 5, 7, etc. Ces nombres sont appelés nombres premiers et jouent un rôle important dans les mathématiques pures et leurs applications. La répartition des nombres premiers parmi les séries de tous les nombres naturels ne suit aucun modèle. Cependant, le mathématicien allemand Riemann a fait une conjecture concernant les propriétés d'une séquence de nombres premiers. Si l’hypothèse de Riemann est prouvée, elle entraînera un changement révolutionnaire dans nos connaissances sur le cryptage et une avancée sans précédent dans la sécurité Internet.

3. Hypothèse de Birch et Swinnerton-Dyer (formulée en 1960)

Associé à la description de l'ensemble des solutions de certaines équations algébriques à plusieurs variables à coefficients entiers. Un exemple d’une telle équation est l’expression x2 + y2 = z2. Euclide a donné une description complète des solutions de cette équation, mais pour des équations plus complexes, trouver des solutions devient extrêmement difficile.

4. L'hypothèse de Hodge (formulée en 1941)

Au XXe siècle, les mathématiciens ont découvert une méthode puissante pour étudier la forme d’objets complexes. L’idée principale est d’utiliser de simples « briques » à la place de l’objet lui-même, qui sont collées ensemble et forment son image. L'hypothèse de Hodge est associée à certaines hypothèses concernant les propriétés de ces « éléments de base » et objets.

5. Navier - Équations de Stokes (formulées en 1822)

Si vous naviguez en bateau sur un lac, des vagues apparaîtront, et si vous volez en avion, des courants turbulents apparaîtront dans les airs. On suppose que ces phénomènes, ainsi que d'autres, sont décrits par des équations connues sous le nom d'équations de Navier-Stokes. Les solutions de ces équations sont inconnues, et on ne sait même pas comment les résoudre. Il est nécessaire de montrer qu’une solution existe et qu’elle est une fonction suffisamment fluide. La résolution de ce problème modifiera considérablement les méthodes de réalisation des calculs hydro- et aérodynamiques.

6. Problème de Poincaré (formulé en 1904)

Si vous tirez un élastique sur une pomme, vous pouvez, en déplaçant lentement l'élastique sans le soulever de la surface, le comprimer jusqu'à un certain point. D'un autre côté, si le même élastique est convenablement tendu autour d'un beignet, il n'y a aucun moyen de comprimer l'élastique jusqu'à un certain point sans déchirer le ruban ou casser le beignet. On dit que la surface d’une pomme est simplement connectée, mais pas la surface d’un beignet. Il s’est avéré si difficile de prouver que seule la sphère est simplement connectée que les mathématiciens cherchent encore la bonne réponse.

7. Équations de Yang-Mills (formulées en 1954)

Les équations de la physique quantique décrivent le monde des particules élémentaires. Les physiciens Young et Mills, ayant découvert le lien entre la géométrie et la physique des particules, ont écrit leurs équations. Ainsi, ils ont trouvé un moyen d’unifier les théories des interactions électromagnétiques, faibles et fortes. Les équations de Yang-Mills impliquaient l'existence de particules qui ont été effectivement observées dans des laboratoires du monde entier. La théorie de Yang-Mills est donc acceptée par la plupart des physiciens malgré le fait que dans le cadre de cette théorie, il n'est toujours pas possible de prédire la masses de particules élémentaires.

Grand événement

Une fois dans le bulletin du Nouvel An sur la façon de porter des toasts, j'ai mentionné avec désinvolture qu'à la fin du XXe siècle, un grand événement s'est produit, que beaucoup n'ont pas remarqué - le soi-disant Le dernier théorème de Fermat. À ce sujet, parmi les lettres que j'ai reçues, j'ai trouvé deux réponses de filles (l'une d'elles, autant que je me souvienne, était Vika, élève de neuvième année de Zelenograd), qui ont été surprises par ce fait.

J'ai été surpris de voir à quel point les filles s'intéressaient aux problèmes des mathématiques modernes. Par conséquent, je pense que non seulement les filles, mais aussi les garçons de tous âges - des lycéens aux retraités, seront également intéressés à apprendre l'histoire du Grand Théorème.

La preuve du théorème de Fermat est un grand événement. Et parce que Il n'est pas habituel de plaisanter avec le mot « grand », mais il me semble que tout locuteur qui se respecte (et nous sommes tous locuteurs lorsque nous parlons) est simplement obligé de connaître l'histoire du théorème.

S’il s’avère que vous n’aimez pas les mathématiques autant que moi, parcourez certains détails. Conscient que tous les lecteurs de notre newsletter ne sont pas intéressés à se promener dans la jungle mathématique, j'ai essayé de ne donner aucune formule (à l'exception de l'équation du théorème de Fermat lui-même) et de simplifier autant que possible la couverture de certaines questions spécifiques.

Comment Fermat a fait des dégâts

L'avocat français et grand mathématicien à temps partiel du XVIIe siècle Pierre Fermat (1601-1665) a avancé une déclaration intéressante dans le domaine de la théorie des nombres, qui est devenue plus tard connue sous le nom de Grand (ou Grand) Théorème de Fermat. C’est l’un des théorèmes mathématiques les plus célèbres et les plus phénoménaux. L'enthousiasme qui l'entoure n'aurait probablement pas été aussi fort si, dans le livre de Diophante d'Alexandrie (IIIe siècle) « L'Arithmétique », que Fermat étudiait souvent en prenant des notes dans ses larges marges, et que son fils Samuel avait aimablement conservé pour la postérité, On n'avait pas découvert approximativement la note suivante du grand mathématicien :

"J'ai des preuves très surprenantes, mais elles sont trop volumineuses pour tenir dans les marges."

C'est cet enregistrement qui a été à l'origine de l'énorme tapage qui a suivi autour du théorème.

Ainsi, le célèbre scientifique a déclaré avoir prouvé son théorème. Demandons-nous : l'a-t-il vraiment prouvé ou a-t-il simplement menti ? Ou existe-t-il d’autres versions qui expliquent l’apparition de cette note en marge, qui n’a pas permis à de nombreux mathématiciens des générations suivantes de dormir paisiblement ?

L’histoire du Grand Théorème est aussi fascinante qu’une aventure à travers le temps. En 1636, Fermat affirmait qu'une équation de la forme Xn+Yn=Zn n'a pas de solutions en nombres entiers d'exposant n>2. Il s'agit en fait du dernier théorème de Fermat. Dans cette formule mathématique apparemment simple, l’Univers dissimulait une incroyable complexité.

Il est quelque peu étrange que, pour une raison quelconque, le théorème soit apparu tardivement, car la situation se préparait depuis longtemps, car son cas particulier avec n = 2 - une autre formule mathématique célèbre - le théorème de Pythagore, est apparu il y a vingt-deux siècles. plus tôt. Contrairement au théorème de Fermat, le théorème de Pythagore a un nombre infini de solutions entières, par exemple les triangles de Pythagore suivants : (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15 ,17 ) … (27,36,45) … (112 384 400) … (4232, 7935, 8993) …

Syndrome du Grand Théorème

Qui n’a pas essayé de prouver le théorème de Fermat ? Tout étudiant nouvellement diplômé considérait qu'il était de son devoir de s'appliquer au Grand Théorème, mais personne n'était en mesure de le prouver. Au début, cela n’a pas fonctionné pendant cent ans. Puis une autre centaine. Un syndrome de masse commença à se développer parmi les mathématiciens : « Comment est-ce possible ? Fermat l’a prouvé, mais quoi, je n’y arrive pas ? et certains d'entre eux sont devenus fous sur cette base au sens plein du terme.

Peu importe le nombre de fois où le théorème a été testé, il s’est toujours avéré vrai. J'ai connu un programmeur passionné qui était obsédé par l'idée de réfuter le Grand Théorème en essayant de trouver au moins une solution en recherchant des nombres entiers à l'aide d'un ordinateur à grande vitesse (plus communément appelé ordinateur central à l'époque). Il croyait au succès de son entreprise et aimait dire : « Encore un peu, et une sensation éclatera ! Je pense qu'à différents endroits de notre planète, il y avait un nombre considérable de ce type de chercheurs courageux. Bien entendu, il n’a pas trouvé de solution unique. Et aucun ordinateur, même avec une vitesse fabuleuse, ne pourra jamais vérifier le théorème, car toutes les variables de cette équation (y compris les exposants) peuvent augmenter jusqu'à l'infini.

Le mathématicien le plus virtuose et le plus prolifique du XVIIIe siècle, Leonard Euler, dont l'humanité parcourt les archives depuis près d'un siècle, a prouvé le théorème de Fermat pour les puissances 3 et 4 (ou plutôt, il a répété les preuves perdues de Pierre Fermat lui-même) ; son disciple en théorie des nombres, Legendre - pour les puissances 5 ; Dirichlet - pour le degré 7. Mais en général, le théorème n'est pas prouvé.

Au début du XXe siècle (1907), un riche allemand amateur de mathématiques, Wolfskehl, légua cent mille marks à celui qui présenterait une preuve complète du théorème de Fermat. L’excitation a commencé. Les départements de mathématiques étaient remplis de milliers de preuves, mais toutes, comme vous pouvez le deviner, contenaient des erreurs. Ils disent que dans certaines universités allemandes, qui ont reçu de grandes quantités de « preuves » du théorème de Fermat, des formulaires ont été préparés avec approximativement le contenu suivant :

Cher __________________________!

Dans votre preuve du théorème de Fermat sur ____ page en ____ ligne en haut
l'erreur suivante a été détectée dans la formule :__________________________ :,

Qui ont été envoyés à des candidats malchanceux.

A cette époque, un surnom semi-méprisant est apparu parmi les mathématiciens : le fermier. C'était le nom donné à tout débutant sûr de lui qui manquait de connaissances, mais qui avait suffisamment d'ambition pour faire de son mieux pour prouver à la hâte le Grand Théorème, puis, sans remarquer ses propres erreurs, se frappant fièrement sur la poitrine en déclarant haut et fort : : "J'ai été le premier à prouver le théorème de Fermat !" Chaque agriculteur, même s'il était le dix millième, se considérait comme le premier, c'était drôle. La simple apparence du Grand Théorème rappelait tellement aux agriculteurs une cible facile qu'ils n'étaient pas du tout gênés que même Euler et Gauss ne puissent y faire face.

(Les fermatistes, curieusement, existent encore aujourd'hui. Bien que l'un d'entre eux ne pensait pas avoir prouvé le théorème, comme un fermatiste classique, il a fait des tentatives jusqu'à récemment - il a refusé de me croire quand je lui ai dit que le théorème de Fermat avait déjà été éprouvé).

Les mathématiciens les plus puissants, peut-être, dans le calme de leurs bureaux, ont également essayé d'approcher avec précaution cette barre impossible, mais n'en ont pas parlé à haute voix, afin de ne pas être qualifiés d'agriculteurs et, ainsi, de ne pas nuire à leur haute autorité. .

À cette époque, une preuve du théorème pour l'exposant n était apparue

Théorème- une déclaration dont l'exactitude est établie par un raisonnement, des preuves. Un exemple de théorème serait l'affirmation selon laquelle la somme des angles d'un triangle arbitraire est égale à 180°. Cela pourrait être vérifié expérimentalement : tracez un triangle, mesurez les valeurs de ses angles avec un rapporteur et, en les additionnant. , assurez-vous que la somme est égale à 180° (en tout cas, dans les limites de précision de mesure que permet le rapporteur).

Ce test pourrait être répété plusieurs fois pour différents triangles. Cependant, la validité de cette affirmation est établie dans un cours de géométrie non par une vérification expérimentale, mais au moyen d'une preuve qui nous convainc que cette affirmation est vraie pour n'importe quel triangle. Ainsi, l’énoncé sur la somme des angles d’un triangle est un théorème.

Dans les formulations des théorèmes, en règle générale, on trouve les mots « si ». puis...", "de... suivant :- ..", etc. Dans ces cas, le signe est utilisé pour raccourcir la notation. => Prenons comme exemple le théorème selon lequel le point M, à égale distance de deux points A et B, appartient à l'axe de symétrie de ces points (1). Il peut être formulé plus en détail comme suit : (pour tout point A, B, M) (MA - MB) => (M appartient à l'axe de symétrie des points A et B).

D'autres théorèmes géométriques peuvent être écrits de la même manière : vient d'abord la partie explicative du théorème (décrivant quels points ou figures sont considérés dans le théorème), puis deux énoncés reliés par le signe =>. La première de ces affirmations, placée après la partie explicative et avant le signe =>, est appelée la condition du théorème, la seconde, placée après le signe =>, est appelée la conclusion du théorème.

En échangeant la condition et la conclusion et en laissant la partie explicative inchangée, nous obtenons un nouveau théorème, appelé l'inverse de l'original. Par exemple, pour le théorème évoqué ci-dessus, la réciproque sera la suivante : (pour tout point A, B, M) (le point M appartient à l'axe de symétrie des points A et B) => (MA - MB). En bref : si le point M appartient à l'axe de symétrie des points A et B, alors le point M est à égale distance des points A et B. Dans ce cas, le théorème d'origine et sa réciproque sont valables.

Cependant, ce n’est pas parce qu’un théorème est vrai que sa réciproque est également vraie.

Un rôle important en mathématiques est joué par les théorèmes dits d'existence, qui indiquent uniquement l'existence d'un nombre, d'un chiffre, etc., mais n'indiquent pas comment ce nombre (ou ce chiffre) peut être trouvé. Par exemple : chaque équation x" + -t-atx"-1 + a2xb~2 + ...I avec des coefficients réels a au moins une racine réelle pour n impair, c'est-à-dire qu'il existe un nombre x0eR qui est la racine de cette équation.

Certains types de théorèmes reçoivent des noms spéciaux, par exemple lemme, corollaire. Ils ont une teinte supplémentaire. Un lemme est généralement appelé théorème auxiliaire, ce qui en soi n’a que peu d’intérêt, mais est nécessaire pour la suite. Un corollaire est une affirmation qui peut être facilement déduite de quelque chose de prouvé précédemment.

Parfois, un théorème est appelé quelque chose qu’il serait plus juste d’appeler une hypothèse. Par exemple, le dernier théorème de Fermat, qui stipule que l'équation x* + y" = z* n'a pas de solutions entières positives pour n > 2, n'a pas encore été prouvé.

Avec les axiomes et les définitions, les théorèmes sont les principaux types de phrases mathématiques. Les faits importants de chaque science mathématique (géométrie, algèbre, théorie des fonctions, théorie des probabilités, etc.) sont formulés sous forme de théorèmes.

Cependant, maîtriser les mathématiques ne se limite pas à apprendre axiomes, définitions et théorèmes de base. L'enseignement des mathématiques comprend également la capacité de naviguer dans la richesse des faits de la théorie mathématique, la maîtrise des méthodes de base pour résoudre des problèmes, la compréhension des idées qui sous-tendent les mathématiques et la capacité d'appliquer les connaissances mathématiques pour résoudre des problèmes pratiques.

Non moins importantes sont la représentation spatiale, les compétences en « vision » graphique, la capacité à trouver des exemples illustrant un concept mathématique particulier, etc. Ainsi, les théorèmes ne constituent que le « cadre » formel d’une théorie mathématique, et la familiarité avec les théorèmes ne représente que le début d’une profonde maîtrise des mathématiques.

Nous avons déjà vu que si une suite numérique a une limite, alors les éléments de cette suite s'en rapprochent le plus possible. Même à une très petite distance, on peut toujours trouver deux éléments dont la distance sera encore plus petite. C’est ce qu’on appelle la séquence fondamentale, ou séquence de Cauchy. Peut-on dire que cette séquence a une limite ? S'il se forme sur

Si nous prenons un carré de côté égal à un, nous pouvons facilement calculer sa diagonale en utilisant le théorème de Pythagore : $d^2=1^2+1^2=2$, c'est-à-dire que la valeur de la diagonale sera égale à $\sqrt 2$. Nous avons maintenant deux nombres, 1 et $\sqrt 2$, représentés par deux segments de ligne. Cependant, nous ne pourrons pas établir de relation entre eux, comme nous le faisions auparavant. Impossible

Déterminer où se trouve le point P - à l'intérieur ou à l'extérieur d'une certaine figure - est parfois très simple, comme par exemple pour la figure représentée sur la figure : Cependant, pour des figures plus complexes, comme celle représentée ci-dessous, cela est plus difficile à faire . Pour ce faire, vous devrez tracer un trait avec un crayon. Cependant, lorsque nous cherchons des réponses à des questions comme celles-ci, nous pouvons en utiliser une simple,

Il est généralement formulé comme suit : tout nombre naturel autre que 1 peut être représenté de manière unique comme un produit de nombres premiers, ou comme ceci : chaque nombre naturel peut être représenté de manière unique comme un produit de puissances de différents nombres premiers. dit canonique, bien que pas toujours, exigeant que ce soit pour que les facteurs premiers entrent dans cette expansion par ordre ascendant.

Ce théorème est extrêmement utile pour résoudre des problèmes impliquant des restes de puissances, et bien qu'il s'agisse d'un théorème tout à fait sérieux de la théorie des nombres et qu'il ne soit pas inclus dans le cours scolaire, sa démonstration peut être effectuée au niveau scolaire normal. Elle peut être réalisée de différentes manières, et l'une des preuves les plus simples repose sur la formule binomiale, ou binôme de Newton, qui

Souvent, dans la littérature méthodologique, on peut trouver une compréhension des preuves indirectes comme une preuve par contradiction. En fait, il s’agit d’une interprétation très étroite de ce concept. La méthode de preuve par contradiction est l’une des méthodes de preuve indirectes les plus connues, mais elle est loin d’être la seule. D'autres méthodes de preuve indirectes, bien que souvent utilisées à un niveau intuitif, sont rarement mises en œuvre, et

Souvent, les enseignants, utilisant le produit scalaire des vecteurs, prouvent presque instantanément le théorème de Pythagore et le théorème du cosinus. C'est certainement tentant. Cependant, un commentaire s'impose. Dans la présentation traditionnelle, la distributivité du produit scalaire des vecteurs est prouvée plus tard que le théorème de Pythagore, puisque ce dernier est utilisé dans cette preuve, au moins indirectement. Des variantes de cette preuve sont possibles. Dans les manuels scolaires de géométrie, comme