Séminaire sur la modélisation mathématique à l'école primaire. Tâches de sélection de modèle

Mathématiquemodélisation– le processus d’établissement du respect des système S mat du modèle M et étude de ce modèle, qui permet d'obtenir les caractéristiques d'un système réel. Application modèle de tapis permet d'étudier des objets, des expériences réelles sur lesquelles sont difficiles voire impossibles.

Modélisation analytique- les processus de fonction des éléments sont écrits sous forme de relations mathématiques (algèbres, intégrales, différentielles, logiques, etc.). Tapis. le modèle peut ne pas contenir explicitement les quantités requises. Il doit se transformer en un système de relations entre les quantités souhaitées, permettant d'obtenir le résultat souhaité par des méthodes purement anales. Cela signifie obtenir des formules explicites de la forme

<искомая величина> =<аналитическое выражение>, ou obtenir des équations de forme connue dont la solution est également connue. Dans certains cas, il est possible qualitéétude d'un modèle dans lequel seules certaines propriétés de la solution peuvent être trouvées explicitement.

Mode numérique utilise des méthodes mathématiques computationnelles et permet d'obtenir uniquement des solutions approximatives. La solution au problème peut être moins complète que dans le mod anal. L’inconvénient fondamental du mode numérique réside dans la mise en œuvre automatique de la méthode numérique choisie. L'algorithme de modélisation reflète davantage la méthode numérique que les caractéristiques du modèle. Par conséquent, lors du changement méthode numérique l'algorithme de modélisation doit être retravaillé.

Mode d'imitation- reproduction sur ordinateur (imitation) du processus de fonctionnement du système étudié dans le respect de la séquence logique et temporelle événements réels. C'est typique du mode imitation lecture d'événement, se produisant dans le système (décrit par le modèle) avec leur préservation structure logique Et séquence temporelle. Il vous permet de connaître des données sur l'état du système ou de ses éléments individuels à certains moments. La modélisation par simulation s'apparente à la recherche expérimentale de processus sur un objet réel, c'est-à-dire sur place.

12.Obtention de nombres aléatoires avec une loi de distribution arbitraire en utilisant la méthode de la fonction inverse. Md arr f est la manière la plus générale et universelle d’obtenir des nombres obéissant à une loi donnée. La méthode de modélisation standard est basée sur le fait que la fonction de distribution cumulée
tout continu variable aléatoire uniformément réparti dans l'intervalle (0;1), c'est-à-dire pour toute variable aléatoire X avec densité de distribution f(x) la variable aléatoire est uniformément répartie sur l'intervalle (0;1).

Puis une variable aléatoire X avec une densité de distribution arbitraire f(x) peut être calculé à l’aide de l’algorithme suivant : 1. Il est nécessaire de générer une variable aléatoire r (la valeur de la variable aléatoire R), uniformément répartie dans l'intervalle (0;1). 2. Associez le nombre aléatoire généré à la fonction de distribution connue F( X ) et obtenez l'équation
. 3. En résolvant l'équation X=F -1 (r), on trouve la valeur souhaitée de X

Solution graphique

.

En plus de la question 11.

Considérons un exemple qui caractérise la différence entre les types de modélisation considérés.

Il existe un système composé de trois blocs.

Le système fonctionne normalement si au moins un des blocs 1 et 2 est opérationnel, et si le bloc 3 est également opérationnel. Les fonctions de répartition du temps de fonctionnement sans panne des blocs f1(t), f2(t), f3(t) sont. connu. Il est nécessaire de trouver la probabilité de fonctionnement sans panne du système au temps t.

Circuit logique équivalent

signifie qu'une panne du système se produit lorsque le circuit est coupé. Cela se produit dans les cas suivants :

Les unités 1 et 2 sont en panne, l'unité 3 est opérationnelle ;

le bloc 3 est en panne, au moins un des blocs 1 et 2 est opérationnel.

Probabilité de fonctionnement sans panne du système P(t)=P1.2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) =

Cette formule constitue la base du modèle mathématique du système.

Modélisation analytique. Cela n’est possible qu’à la condition que toutes les intégrales soient exprimées par des fonctions élémentaires. Supposons que

Alors
=
=
.

Compte tenu de cela, le modèle (1) prend la forme

Il s'agit d'une expression analytique explicite concernant la probabilité souhaitée ; il n'est valable que dans les hypothèses formulées.

Modélisation numérique. Cela peut s'avérer nécessaire, par exemple, lorsqu'il est établi que les intégrales ne sont pas définies (c'est-à-dire qu'elles ne sont pas exprimées fonctions élémentaires). Le besoin peut s'en faire sentir, par exemple, lorsqu'il est établi que les distributions f1(t), f2(t), f3(t) obéissent à la loi gaussienne (normale) :
.Pour les calculs utilisant la formule P(t)=P1,2(t)*p3(t)=(1-q1(t)*q2(t))*(1-q3(t)) = pour chaque valeur de t ils doivent être déterminés numériquement, par exemple par les méthodes trapézoïdale, Simpson, Gaussienne ou autres. Pour chaque valeur de t, les calculs sont refaits.

méthode du rectangle, méthode du trapèze, méthode de la parabole. Avec la méthode du rectangle, une erreur se produit - l'inexactitude des calculs. Mais il peut être divisé en 2 intervalles ou plus. De nombreuses intégrales apparaissent, mais ici une erreur d'arrondi se produit déjà.

Méthode gaussienne

Méthode Monte Carlo

Modélisation par simulation. L'imitation est la reproduction d'événements se produisant dans le système, c'est-à-dire bon fonctionnement ou défaillance de chaque élément. Si le temps de fonctionnement du système est t, et ti est le temps de fonctionnement sans panne de l'élément de numéro i, alors : l'événement ti>t signifie le bon fonctionnement de l'élément pendant le temps (0 ; t] ;

événement ti<=t означает отказ элемента к моменту t.

Notez que ti est une variable aléatoire distribuée selon la loi fi(t), connue par condition.

La modélisation d'un événement aléatoire « bon fonctionnement du kième élément pendant le temps (0 ; t] » est la suivante :

1) à obtenir un nombre aléatoire ti, distribué selon la loi fi(t) ;

2) en vérifiant la véracité de l'expression logique ti>t. Si c’est vrai, alors le ième élément est opérationnel ; si c’est faux, il a échoué.

L'algorithme de modélisation est le suivant :

1.Définissez n=0, k=0. Ici n est le compteur du nombre d'implémentations (répétitions) processus aléatoire; k – compteur du nombre de « succès ».

2. Obtenez-en trois nombres aléatoires t1,t2,t3, distribués selon les lois f1(t),f2(t),f3(t), respectivement.

3. Vérifiez la véracité de l'expression logique L=[(t1>t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)] v [(t1>t)∩ (t2<=t)∩ (t3>t)] v [(t1<=t)∩ (t2>t)∩ (t3>t)]

Si L=true, alors définissez k=k+1 et passez à l'étape 4, sinon passez à l'étape 4.

4.Définissez n=n+1.

5.Si n<=N, перейти к шагу 2; иначе вычислить и вывести P(t)=k/N. Здесь N - число реализация случайного процесса; от него зависят точность и достоверность результатов моделирования.

Nous soulignons encore une fois : la valeur de N est fixée à l'avance pour garantir la précision spécifiée de la fiabilité de l'estimation statistique de la valeur souhaitée P(t).

Modèle mathématique- une description approximative de l'objet à modéliser, exprimée à l'aide de symboles mathématiques.

Les modèles mathématiques sont apparus avec les mathématiques il y a plusieurs siècles. L’avènement des ordinateurs a donné une impulsion considérable au développement de la modélisation mathématique. L'utilisation des ordinateurs a permis d'analyser et d'appliquer dans la pratique de nombreux modèles mathématiques qui ne se prêtaient auparavant pas à la recherche analytique. Modèle mathématique mis en œuvre par ordinateur appelé modèle mathématique informatique, UN effectuer des calculs ciblés à l'aide d'un modèle informatique appelé expérience informatique.

Les étapes de la modélisation mathématique informatique sont présentées sur la figure. Première étape- détermination des objectifs de modélisation. Ces objectifs peuvent être différents :

1) un modèle est nécessaire pour comprendre comment un objet spécifique est structuré, quelle est sa structure, ses propriétés fondamentales, les lois du développement et de l'interaction avec le monde extérieur (compréhension) ;

2) un modèle est nécessaire pour apprendre à gérer un objet (ou un processus) et déterminer les meilleures méthodes de gestion pour des objectifs et des critères donnés (gestion) ;

3) le modèle est nécessaire pour prédire les conséquences directes et indirectes de la mise en œuvre de méthodes et de formes d'influence données sur l'objet (prévision).

Expliquons avec des exemples. Soit l'objet d'étude l'interaction d'un flux de liquide ou de gaz avec un corps faisant obstacle à ce flux. L'expérience montre que la force de résistance à l'écoulement de la part du corps augmente avec l'augmentation de la vitesse d'écoulement, mais à une vitesse suffisamment élevée, cette force diminue brusquement, de sorte qu'avec une nouvelle augmentation de la vitesse, elle augmente à nouveau. Quelle est la cause de la diminution de la force de résistance ? La modélisation mathématique permet d'obtenir une réponse claire : au moment d'une diminution brutale de la résistance, les tourbillons formés dans l'écoulement de liquide ou de gaz derrière le corps caréné commencent à s'en détacher et sont emportés par l'écoulement.

Un exemple venu d'un tout autre domaine : des populations de deux espèces d'individus coexistant pacifiquement avec des effectifs stables, ayant un approvisionnement alimentaire commun, commencent « soudainement » à changer fortement leurs effectifs. Et ici la modélisation mathématique permet (avec un certain degré de fiabilité) d'établir la cause (ou du moins de réfuter une certaine hypothèse).

Développer un concept de gestion d'un objet est un autre objectif possible de la modélisation. Quel mode de vol de l'avion dois-je choisir pour garantir que le vol soit sûr et le plus rentable économiquement ? Comment planifier des centaines de types de travaux pour la construction d'une grande installation afin qu'ils soient achevés dans les plus brefs délais ? Beaucoup de ces problèmes se posent systématiquement aux économistes, aux concepteurs et aux scientifiques.

Enfin, prédire les conséquences de certains impacts sur un objet peut être à la fois relativement simple dans des systèmes physiques simples et extrêmement complexe – à la limite de la faisabilité – dans des systèmes biologiques, économiques et sociaux. S'il est relativement facile de répondre à la question des modifications du mode de répartition de la chaleur dans une tige mince dues aux modifications de son alliage constitutif, il est incomparablement plus difficile de retracer (prédire) les conséquences environnementales et climatiques de la construction d'un grand centrale hydroélectrique ou les conséquences sociales des changements de législation fiscale. Peut-être qu’ici aussi, les méthodes de modélisation mathématique apporteront à l’avenir une aide plus significative.

Deuxième étape: détermination des paramètres d'entrée et de sortie du modèle ; division des paramètres d'entrée selon le degré d'importance de l'influence de leurs modifications sur la sortie. Ce processus est appelé classement, ou séparation par rang (voir . “Formalisation et modélisation”).

Troisième étape: construction d'un modèle mathématique. A ce stade, on passe d'une formulation abstraite du modèle à une formulation ayant une représentation mathématique spécifique.

Modèle mathématique- ce sont des équations, des systèmes d'équations, des systèmes d'inégalités, des équations différentielles ou des systèmes de telles équations, etc.

Quatrième étape: choisir une méthode pour étudier un modèle mathématique. Le plus souvent, on utilise ici des méthodes numériques, qui se prêtent bien à la programmation. En règle générale, plusieurs méthodes conviennent pour résoudre le même problème, différant par leur précision, leur stabilité, etc. Le succès de l’ensemble du processus de modélisation dépend souvent du choix correct de la méthode.

Cinquième étape: le développement d'un algorithme, la compilation et le débogage d'un programme informatique est un processus difficile à formaliser. Parmi les langages de programmation, de nombreux professionnels préfèrent FORTRAN pour la modélisation mathématique : à la fois en raison des traditions et en raison de l'efficacité inégalée des compilateurs (pour le travail de calcul) et de la disponibilité d'énormes bibliothèques soigneusement déboguées et optimisées de programmes standards pour les méthodes mathématiques écrites dedans. . Des langages tels que PASCAL, BASIC, C sont également utilisés, selon la nature de la tâche et les inclinations du programmeur.

Sixième étape: test du programme. Le fonctionnement du programme est testé sur un problème de test avec une réponse préalablement connue. Ce n’est que le début d’une procédure de test difficile à décrire de manière formellement exhaustive. En règle générale, les tests se terminent lorsque l'utilisateur, sur la base de ses caractéristiques professionnelles, considère le programme comme correct.

Septième étape: l'expérience informatique proprement dite, au cours de laquelle il est déterminé si le modèle correspond à un objet réel (processus). Le modèle est suffisamment adapté au processus réel si certaines caractéristiques du processus obtenues sur ordinateur coïncident avec les caractéristiques obtenues expérimentalement avec un degré de précision donné. Si le modèle ne correspond pas au processus réel, on revient à une des étapes précédentes.

Classification des modèles mathématiques

La classification des modèles mathématiques peut reposer sur divers principes. Vous pouvez classer les modèles par branches scientifiques (modèles mathématiques en physique, biologie, sociologie, etc.). Peut être classé selon l'appareil mathématique utilisé (modèles basés sur l'utilisation d'équations différentielles ordinaires, d'équations aux dérivées partielles, de méthodes stochastiques, de transformations algébriques discrètes, etc.). Enfin, si l'on part des problèmes généraux de modélisation dans différentes sciences, quel que soit l'appareil mathématique, la classification suivante est la plus naturelle :

· modèles descriptifs (descriptifs);

· modèles d'optimisation ;

· modèles multicritères ;

· modèles de jeux.

Expliquons cela avec des exemples.

Modèles descriptifs (descriptifs). Par exemple, la modélisation du mouvement d'une comète ayant envahi le système solaire est réalisée pour prédire sa trajectoire de vol, la distance à laquelle elle passera de la Terre, etc. Dans ce cas, les objectifs de modélisation sont de nature descriptive, puisqu'il n'y a aucun moyen d'influencer le mouvement de la comète ou d'y changer quoi que ce soit.

Modèles d'optimisation sont utilisés pour décrire des processus qui peuvent être influencés pour tenter d’atteindre un objectif donné. Dans ce cas, le modèle comprend un ou plusieurs paramètres pouvant être influencés. Par exemple, lors de la modification du régime thermique dans un grenier, vous pouvez vous fixer pour objectif de choisir un régime qui permettra d'atteindre une sécurité maximale des grains, c'est-à-dire optimiser le processus de stockage.

Modèles multicritères. Il est souvent nécessaire d’optimiser un processus selon plusieurs paramètres simultanément, et les objectifs peuvent être assez contradictoires. Par exemple, connaissant les prix de la nourriture et les besoins alimentaires d'une personne, il est nécessaire d'organiser la nutrition de grands groupes de personnes (dans l'armée, les camps d'été pour enfants, etc.) physiologiquement correctement et, en même temps, à moindre coût que possible. Il est clair que ces objectifs ne coïncident pas du tout, c'est-à-dire Lors de la modélisation, plusieurs critères seront utilisés, entre lesquels un équilibre devra être recherché.

Modèles de jeu peut concerner non seulement les jeux informatiques, mais aussi des choses très sérieuses. Par exemple, avant une bataille, un commandant, s'il existe des informations incomplètes sur l'armée adverse, doit élaborer un plan : dans quel ordre introduire certaines unités dans la bataille, etc., en tenant compte de la réaction possible de l'ennemi. Il existe une branche particulière des mathématiques modernes - la théorie des jeux - qui étudie les méthodes de prise de décision dans des conditions d'information incomplète.

Dans le cours d'informatique de l'école, les étudiants reçoivent une première compréhension de la modélisation mathématique informatique dans le cadre du cours de base. Au lycée, la modélisation mathématique peut être étudiée en profondeur dans un cours de formation générale pour les cours de physique et de mathématiques, ainsi que dans le cadre d'un cours au choix spécialisé.

Les principales formes d'enseignement de la modélisation mathématique informatique au lycée sont les cours magistraux, les cours de laboratoire et les tests. En règle générale, le travail de création et de préparation à l'étude de chaque nouveau modèle prend 3 à 4 leçons. Au cours de la présentation du matériel, des problèmes sont posés qui doivent être résolus par les étudiants de manière indépendante à l'avenir, et les moyens de les résoudre sont décrits en termes généraux. Des questions sont formulées, dont les réponses doivent être obtenues lors de l'exécution des tâches. Une littérature supplémentaire est indiquée qui vous permet d'obtenir des informations auxiliaires pour une meilleure réussite des tâches.

La forme d'organisation des cours lors de l'étude de nouveaux matériaux est généralement un cours magistral. Après avoir terminé la discussion sur le modèle suivant, les étudiants disposent des informations théoriques nécessaires et d'un ensemble de tâches pour des travaux ultérieurs. En préparation à l'accomplissement d'une tâche, les étudiants choisissent une méthode de résolution appropriée et testent le programme développé à l'aide d'une solution privée bien connue. En cas de difficultés tout à fait possibles dans l'accomplissement des tâches, une consultation est donnée, et il est proposé d'étudier plus en détail ces sections dans les sources littéraires.

La méthode projet est la plus appropriée pour la partie pratique de l’enseignement de la modélisation informatique. La tâche est formulée pour l'étudiant sous la forme d'un projet pédagogique et se déroule en plusieurs cours, la principale forme d'organisation étant le travail en laboratoire informatique. La modélisation pédagogique par la méthode des projets pédagogiques peut être mise en œuvre à différents niveaux.
D'abord- une présentation problématique du processus de mise en œuvre du projet, animée par l'enseignant.
Deuxième- mise en œuvre du projet par les étudiants sous la direction de l'enseignant.
Troisième- mise en œuvre indépendante par les étudiants d'un projet de recherche pédagogique.

Les résultats des travaux doivent être présentés sous forme numérique, sous forme de graphiques et de schémas. Si possible, le processus est présenté sur l'écran de l'ordinateur de manière dynamique. Une fois les calculs terminés et la réception des résultats, ils sont analysés, comparés aux faits connus de la théorie, la fiabilité est confirmée et une interprétation significative est effectuée, qui est ensuite reflétée dans un rapport écrit.

Si les résultats satisfont l'étudiant et l'enseignant, alors le travail est considéré comme terminé et sa dernière étape est la préparation d'un rapport. Le rapport comprend de brèves informations théoriques sur le sujet étudié, une formulation mathématique du problème, un algorithme de solution et sa justification, un programme informatique, les résultats du programme, une analyse des résultats et des conclusions et une liste de références.

Une fois tous les rapports rédigés, lors du cours test, les élèves rendent compte brièvement du travail effectué et défendent leur projet. Il s'agit d'une forme efficace de rapport du groupe réalisant le projet à la classe, comprenant la définition du problème, la construction d'un modèle formel, le choix des méthodes de travail avec le modèle, la mise en œuvre du modèle sur un ordinateur, le travail avec le modèle fini, l'interprétation les résultats et faire des prédictions. En conséquence, les étudiants peuvent recevoir deux notes : la première - pour l'élaboration du projet et la réussite de sa soutenance, la seconde - pour le programme, l'optimalité de son algorithme, de son interface, etc. Les étudiants reçoivent également des notes lors de quiz théoriques.

Une question essentielle est de savoir quels outils utiliser dans un cours d’informatique scolaire pour la modélisation mathématique ? La mise en œuvre informatique des modèles peut être réalisée :

· en utilisant un tableur (généralement MS Excel) ;

· en créant des programmes dans les langages de programmation traditionnels (Pascal, BASIC, etc.), ainsi que dans leurs versions modernes (Delphi, Visual Basic for Application, etc.) ;

· utiliser des packages d'applications spéciaux pour résoudre des problèmes mathématiques (MathCAD, etc.).

Au niveau scolaire de base, la première méthode semble être préférable. Cependant, au lycée, lorsque la programmation est, avec la modélisation, un sujet clé en informatique, il convient de l'utiliser comme outil de modélisation. Au cours du processus de programmation, les détails des procédures mathématiques deviennent accessibles aux étudiants ; De plus, ils sont simplement obligés de les maîtriser, ce qui contribue également à l'éducation mathématique. Quant à l'utilisation de progiciels spécifiques, elle convient dans un cours spécialisé d'informatique en complément d'autres outils.

Développement des processus mentaux de base - mémoire, attention, imagination, pensée imaginative, parole ; recodage des informations, c'est-à-dire transformation de symboles abstraits en images ; développer la compétence de modélisation indépendante; développement de la motricité fine avec reproduction graphique partielle ou complète. Développement de l'intérêt cognitif des enfants pour les mathématiques L'importance de la modélisation dans le développement des enfants d'âge préscolaire.

L'utilisation de la modélisation dans le développement des concepts mathématiques des enfants d'âge préscolaire donne des résultats positifs tangibles, à savoir : - permet d'identifier les liens cachés entre les phénomènes et de les rendre accessibles à la compréhension de l'enfant ; - améliore la compréhension de l'enfant de la structure et de l'interconnexion des éléments constitutifs d'un objet ou d'un phénomène ; - augmente la capacité d'observation de l'enfant, lui donne la possibilité de remarquer les particularités du monde qui l'entoure ;

Étapes de travail avec des modèles Séquence en quatre étapes d'application de la méthode de modélisation. La première étape consiste à se familiariser avec le sens des opérations arithmétiques. La seconde consiste à apprendre à décrire ces actions dans le langage des signes et symboles mathématiques. La troisième consiste à apprendre les techniques les plus simples de calculs arithmétiques. La quatrième étape consiste à apprendre à résoudre des problèmes. Étapes de travail avec des modèles.

Modèle visuel planaire « Maison où vivent les signes et les chiffres » Objectif de l'application : - renforcer les compétences des enfants à composer des nombres à partir de deux plus petits ; ajouter et soustraire des nombres ; -donner aux enfants une idée de l'immuabilité des nombres et des quantités, sous réserve de différences de sommation ; - enseigner ou renforcer la capacité à comparer les nombres (plus, moins, égaux).

Modèle de plan visuel "Système solaire" Uniquement pour les enfants des groupes seniors et préparatoires. Objectifs d'application : - donner (ou consolider) les idées des enfants sur les corps et figures géométriques (comparer un cercle, une boule avec d'autres corps et figures géométriques) ; - apprendre aux enfants à identifier et à refléter dans le discours les bases du regroupement, de la classification, de la connexion et de la dépendance du groupe résultant (système solaire) ; - enseigner (ou consolider) la capacité des enfants à déterminer la séquence d'un certain nombre d'objets par taille ; -développer une compréhension des relations spatiales, déterminer l'emplacement de certains objets par rapport à d'autres ; -améliorer le comptage ordinal et quantitatif ; - consolider la capacité à utiliser une mesure conventionnelle pour mesurer des distances ; - renforcer la capacité à résoudre des problèmes arithmétiques.

Modèle de plan visuel « Counting Cake » Objectif de l'application : - apprendre aux enfants à résoudre des problèmes arithmétiques et à développer les capacités cognitives de l'enfant ; - apprendre à identifier les relations mathématiques entre les quantités et à s'y retrouver.

MODÉLISATION DE SYSTÈMES D'ENTRAÎNEMENT ÉLECTROMÉCANIQUES

Lignes directrices et atelier de laboratoire pour les étudiants à temps plein et à temps partiel

Spécialité 140604 "Entraînement électrique et automatisation des installations industrielles et complexes technologiques"

Publié par décision du conseil de rédaction et d'édition de l'Université d'État de Viatka

CDU 621.31112 : 621.313

Évaluateur : Candidat en Sciences Techniques, Professeur Agrégé du département. À V. I. Semionov

Compilé par : professeur du Département d'EP&APD D.V. Ichoutinov

Signé pour les conditions du sceau. four l. 2.5

Papier offset. Copieur d'impression Aficio 1022

N° de commande 340 Circulation 52 Gratuit.

Le texte est imprimé à partir de la mise en page originale fournie par le compilateur

610000, Kirov, st. Moskovskaïa, 36 ans.

Conception de la couverture, production – PRIP VyatGU

Ó Université d'État de Viatka, 2011

INTRODUCTION

Analogie- il s'agit d'une similitude particulière entre deux objets, qui peut être significative ou moins significative. L'importance de la similarité dépend du niveau d'abstraction et est déterminée par l'objectif de l'étude.

Les analogies qui reflètent le monde réel et objectivement existant sont visuelles, ce qui signifie qu'elles simplifient le raisonnement et aident à mener des expériences qui clarifient la nature des phénomènes. De telles analogies sont appelées modèles .

Modèle– il s’agit d’un objet de substitution à l’objet original, permettant l’étude de certaines propriétés de l’original.

Modélisation– il s’agit de la représentation d’un objet physique réel par son modèle afin d’obtenir des informations sur les propriétés et les processus physiques les plus importants qui s’y déroulent en menant des expériences avec son modèle.

Au cours du processus de modélisation, le modèle agit comme un objet indépendant, ce qui permet d'acquérir certaines connaissances : les résultats de la modélisation. S'ils sont confirmés et peuvent servir de base pour prédire les processus se produisant dans les objets étudiés, alors le modèle est considéré adéquat objet. Sur la base de modèles adéquats, de tels objets peuvent être étudiés.

1. CLASSIFICATION DES TYPES DE MODÉLISATION

Lors du développement et de la conception de systèmes électromécaniques modernes, qui combinent un moteur électrique, une partie mécanique d'un entraînement électrique et un système de contrôle, il est nécessaire de résoudre des problèmes de calcul complexes. Pour ce faire, ils recourent dans de nombreux cas à la modélisation.

Les types de modélisation peuvent être classés selon divers critères. Du point de vue du type de modèle et de la méthode de présentation de la description mathématique, la classification est présentée dans la figure 1.1.

Ainsi, la modélisation peut être divisée en deux types principaux : mathématique et physique.

Modélisation physique appelé mener des recherches sur un objet réel ou son modèle. Lorsqu'on mène des expériences sur un objet réel, diverses caractéristiques sont étudiées sur l'objet lui-même ou sur une partie de celui-ci. La modélisation physique peut être réalisée sur des objets fonctionnant en mode normal ou en modes spéciaux. La modélisation réelle est la plus adéquate, mais ses capacités sont limitées par les caractéristiques physiques, techniques et autres des objets et systèmes réels.

Un autre type de modélisation physique est la modélisation sur maquette, utilisée lorsque les expériences avec un objet réel sont difficiles, impossibles ou dangereuses. La recherche à l'aide d'un prototype est réalisée sur des installations présentant une similitude physique et préservant la nature des phénomènes dans l'objet étudié.

La modélisation physique peut avoir lieu à une échelle de temps réelle ou arbitraire. La plus grande complexité et intérêt est la modélisation en temps réel, qui permet d'obtenir les résultats de recherche les plus fiables.

Modélisation mathématique peut être effectuée à l'aide de méthodes de recherche analytiques, ainsi qu'à l'aide d'ordinateurs analogiques (AVM) et numériques (ordinateurs).

Lors de l'utilisation de méthodes de recherche analytique, il est possible d'obtenir, sous une forme générale, des dépendances explicites pour les caractéristiques souhaitées de l'objet. La recherche analytique nous permet d'obtenir l'idée la plus générale des processus de fonctionnement du système, cependant, elle est possible pour des systèmes relativement simples et est associée à des calculs fastidieux. Même dans les cas les plus simples (pour les systèmes linéaires), la modélisation analytique ne permet pas d'obtenir des résultats complets. Si le système contient des éléments non linéaires, des paramètres variables et d'autres facteurs qui compliquent les calculs, les capacités des méthodes de calcul analytique sont encore plus limitées.

Les ordinateurs modernes permettent de simuler avec une précision suffisante toutes fonctions de transfert, caractéristiques statiques non linéaires, produits et quotients. Les ordinateurs, et donc les modèles, peuvent être analogiques ou numériques.

Sous modèle analogique est compris comme celui qui est décrit par des équations reliant des quantités continues. La solution des équations différentielles dans AVM est continue. Un objet physique réel est remplacé lors de la modélisation analogique par un objet physique similaire. Dans AVM, l'amplificateur opérationnel décisif agit comme un tel objet. Le principal avantage de la modélisation sur AVM est la grande visibilité du modèle et la possibilité de connecter d'autres moyens techniques au modèle. De plus, l'utilisation d'AVM peut accélérer l'étude de systèmes assez simples. D’un autre côté, la mise en place de modèles complexes pose des problèmes ; des erreurs apparaissent en raison de la dérive des paramètres AVM et de la linéarisation par morceaux des non-linéarités. La tension de sortie maximale de l'amplificateur opérationnel décisif de l'AVM est limitée à cent volts. Par conséquent, des facteurs d'échelle sont introduits pour toutes les variables du modèle, ce qui peut entraîner une accumulation d'erreurs supplémentaires.

Sous modèle numérique est compris comme un modèle dans lequel la solution des équations et les processus qui s'y produisent sont de nature discrète. Par conséquent, toutes les quantités calculées sont définies dans des intervalles de temps discrets. Le modèle numérique a moins de clarté physique, mais ne présente pas les inconvénients inhérents au modèle analogique. La technologie informatique moderne est utilisée pour concevoir des modèles numériques, et le calcul de ces modèles repose sur l’utilisation de méthodes numériques.

Grâce à la technologie informatique, les modèles mathématiques peuvent être étudiés à la fois par solution directe de systèmes d'équations différentielles et sur la base d'une modélisation utilisant des schémas fonctionnels.

Dans le premier cas, la modélisation mathématique consiste à résoudre numériquement un système d’équations différentielles décrivant le comportement de l’objet étudié. Un tel modèle ne reflète pas la structure réelle d’un objet physique. Dans ce cas, pour calculer le modèle, vous n'avez pas besoin de connaître les systèmes de CAO spécialisés, mais il devient difficile de comprendre la structure d'un objet physique réel.

Dans le second cas, un modèle structurel est construit dans lequel les éléments sont connectés conformément à la structure du système étudié. Lors de l'utilisation de la méthode structurelle, le modèle du système est présenté sous la forme de modèles de liaisons TAP dynamiques typiques et de blocs non linéaires qui simulent le fonctionnement d'unités physiques individuelles du système étudié. L'utilisation de modèles structurels permet de conserver la structure de l'objet étudié lors de la modélisation, et donc les changements dans les paramètres et la structure d'un objet physique réel sont facilement reproduits sur le modèle, par exemple l'inclusion de dispositifs correctifs, le choix de la profondeur du feedback, des modifications du moment d'inertie de la pièce mécanique et de la rigidité des caractéristiques mécaniques.

Méthodes de modélisation mathématique

Pour étudier les caractéristiques des systèmes techniques et des processus physiques se produisant lors du fonctionnement de tout système, la formalisation des processus doit être effectuée à l'aide de méthodes mathématiques, c'est-à-dire un modèle mathématique a été construit.

Modélisation mathématique est le processus d'établissement d'une correspondance entre un objet physique réel et un objet mathématique (description mathématique), appelé modèle mathématique, et l'étude de ce modèle, qui permet d'obtenir, avec quelques approximations, les caractéristiques de l'objet réel considéré. La modélisation mathématique peut être dynamique, simulée et combinée.

Lors de la résolution de problèmes de propulsion électrique, des modèles dynamiques d'objets sont utilisés. De tels modèles sont décrits par des systèmes d'équations différentielles et étudiés à l'aide de méthodes analytiques, numériques ou qualitatives.

La recherche analytique permet d'obtenir l'idée la plus générale des processus de fonctionnement du système, mais elle n'est possible que pour des systèmes relativement simples ou linéaires.

Les méthodes numériques sont utilisées s'il est impossible de résoudre la description mathématique du système sous une forme générale ou si le système est significativement non linéaire. Les méthodes numériques sont plus efficaces lorsqu’on utilise un ordinateur.

Dans certains cas, les méthodes qualitatives d’analyse d’un modèle mathématique suffisent pour étudier un système. De telles méthodes sont utilisées dans la théorie du contrôle automatique et permettent de juger, par exemple, de la stabilité d'un système sous un certain contrôle.

En général, un certain objet dynamique est décrit par un système d'équations différentielles d'ordre n de la forme :

, (2.1)

Où x1, x2, … xn– variables d'un objet dynamique;

– taux de variation (dérivées) des variables d'un objet dynamique ;

– la valeur des variables à l'instant initial ;

t– variable indépendante.

La modélisation mathématique, basée sur la résolution d'équations différentielles ordinaires, s'appuie sur des méthodes numériques. Les méthodes numériques permettent d'obtenir des valeurs approximatives d'un processus continu réel, séparées les unes des autres par un certain intervalle de temps, appelé étape d'intégration. Le choix de l'étape d'intégration dépend des propriétés dynamiques du système modélisé. Pour une large gamme de systèmes dynamiques, plus le pas d’intégration est petit, plus la solution numérique est précise. Il convient toutefois de garder à l’esprit qu’une réduction excessive de l’étape d’intégration peut entraîner une augmentation significative des coûts en temps informatique.

Les méthodes les plus couramment utilisées pour l'intégration numérique d'équations différentielles comprennent la méthode d'Euler (méthode d'incrément fini) et la méthode Runge – Kutta du quatrième ordre.

Méthode Euler est basé sur le développement de l'intégrande au voisinage du point étudié dans une série de Taylor :

, (2.2)

Où h– petit voisinage du point étudié (étape d'intégration) ;

e- erreur d'expansion des séries de Taylor.

La méthode d'Euler ne prend en compte que la dérivée première de la série de Taylor. L’équation (2.2) ressemblera alors à :

où est le côté droit de l’équation différentielle calculée au point .

Par conséquent, pour résoudre une équation ou un système d'équations différentielles du premier ordre à l'aide de la méthode d'Euler, le système d'équations suivant avec conditions initiales doit être compilé :

, (2.4)

Où je, t je +1

x j , je, x j , je+1- signification j

fj– fonction d'intégrande pour la jième variable ;

h– étape d'intégration ;

je = 0 .. m

j = 0 .. n

Les avantages de la méthode d'Euler sont les suivants :

· Avec un pas d'intégration suffisamment petit, une grande précision de la solution peut être obtenue. L'erreur de la méthode est approximativement égale au carré du pas d'intégration : e » h 2;

· La méthode d'Euler dispose d'un algorithme de calcul stable pour résoudre un large éventail de problèmes liés à l'étude des systèmes d'entraînement électrique électromécaniques.

Les inconvénients de la méthode d'Euler incluent le fait que la réduction de l'étape d'intégration nécessaire pour garantir la précision requise ralentit considérablement les calculs.

Méthode Runge-Kutta est basé sur le développement de l'intégrande au voisinage du point étudié dans une série de Taylor. Les coefficients de la série de Taylor (jusqu'au quatrième ordre) sont calculés à l'aide de coefficients spéciaux de Runge – Kutta. Cette approche nous permet d'obtenir une plus grande précision de la solution.

Les formules pour trouver une solution numérique à une équation différentielle ou à un système d'équations différentielles du premier ordre à l'aide de la méthode Runge – Kutta sont les suivantes :

, (2.5)

Où je, t je +1– la valeur de la variable indépendante (temps) à l'étape d'intégration précédente et suivante ;

x j , je, x j , je+1- signification j– la variable de l'objet dynamique à l'étape d'intégration précédente et suivante ;

fj– fonction intégrande pour j– oh variable ;

k l je, j– Coefficients Runge-Kutta ( l = 1 .. 4);

h– étape d'intégration ;

je = 0 .. m– nombre d'étapes d'intégration ;

j = 0 .. n– nombre de variables d'un objet dynamique.

Les avantages de la méthode Runge – Kutta sont les suivants. Haute précision de la solution numérique. Pour une étape d'intégration fixe, l'erreur de solution est approximativement égale à la puissance cinquième de l'étape d'intégration : e » h 5.

Cependant, cette méthode n’apporte pas toujours des solutions durables. La stabilité de la solution dépend à la fois de la taille de l'étape d'intégration et de la dynamique du système étudié.

3. Calculs dynamiques de systèmes à l'aide de schémas fonctionnels

en utilisant le système CAO Vue du système

CAD System View vous permet d'effectuer des calculs de systèmes dynamiques au niveau des modèles structurels et d'obtenir des résultats sous forme de tableaux, de graphiques de processus transitoires et de caractéristiques de fréquence, ainsi que d'indicateurs complexes de qualité de contrôle.

Le schéma fonctionnel est saisi sur le champ de travail de la fenêtre principale du package SV (Fig. 3.1) à l'aide de blocs qui, pour faciliter son utilisation, sont combinés en quatre bibliothèques. Les blocs de sommation et de multiplication sont réalisés séparément.

Figure 3.1 – Fenêtre principale de la vue système

Les bibliothèques d'éléments sont situées sur le côté gauche de la fenêtre de travail SV et contiennent un ensemble de divers éléments fonctionnels et dynamiques. Graphiquement, les éléments sont représentés sous la forme d'un rectangle avec des entrées et des sorties. Le numéro de série de l'élément dans le diagramme est écrit dans le coin supérieur gauche et le type d'élément est écrit au centre sous la forme d'une image.

Tâches

Sujet

Pour résoudre ce problème, il faut tout d'abord définir dans le système les fonctionnalités de modification de la tâche de détection d'un visage avec une caméra vidéo, puis effectuer la localisation des mouvements des lèvres.

Quant à la première tâche, il convient d'en distinguer deux types :
Localisation du visage ;
Suivi du visage.
Puisque nous sommes confrontés à la tâche de développer un algorithme de reconnaissance des expressions faciales, il est logique de supposer que ce système sera utilisé par un utilisateur qui ne bougera pas la tête trop activement. Par conséquent, pour mettre en œuvre la technologie de reconnaissance du mouvement des lèvres, il est nécessaire de se baser sur une version simplifiée du problème de détection, où il y a un et un seul visage dans l'image.

Cela signifie que la recherche de visage peut être effectuée relativement rarement (environ 10 images/s, voire moins). Dans le même temps, les mouvements des lèvres de l’orateur au cours d’une conversation sont assez actifs et, par conséquent, l’évaluation de leur contour doit être effectuée avec une plus grande intensité.

La tâche consistant à trouver un visage dans une image peut être résolue à l'aide des outils existants. Il existe aujourd’hui plusieurs méthodes pour détecter et localiser un visage dans une image, que l’on peut diviser en 2 catégories :
1. Reconnaissance empirique ;
2. Modélisation de l'image faciale. .

La première catégorie comprend des méthodes de reconnaissance descendante basées sur des caractéristiques invariantes d'images faciales, basées sur l'hypothèse qu'il existe certains signes de présence de visages dans l'image qui sont invariants par rapport aux conditions de prise de vue. Ces méthodes peuvent être divisées en 2 sous-catégories :
1.1. Détection d'éléments et de traits caractéristiques d'une image faciale (bords, luminosité, couleur, forme caractéristique des traits du visage, etc.) ;
1.2. Analyse des caractéristiques détectées, prise de décision sur le nombre et l'emplacement des visages (algorithme empirique, statistiques de position relative des caractéristiques, modélisation des processus d'image visuelle, utilisation de gabarits rigides et déformables, etc.).

Pour que l'algorithme fonctionne correctement, il est nécessaire de créer une base de données des caractéristiques du visage avec des tests ultérieurs. Pour une mise en œuvre plus précise des méthodes empiriques, des modèles peuvent être utilisés qui prennent en compte les possibilités de transformation faciale et, par conséquent, disposent soit d'un ensemble étendu de données de base pour la reconnaissance, soit d'un mécanisme permettant de modéliser la transformation sur des éléments de base. Les difficultés liées à la création d'une base de données de classificateurs ciblant une grande variété d'utilisateurs présentant des caractéristiques individuelles, des traits du visage, etc. contribuent à une diminution de la précision de la reconnaissance de cette méthode.

La deuxième catégorie comprend les méthodes de statistiques mathématiques et d'apprentissage automatique. Les méthodes de cette catégorie sont basées sur des outils de reconnaissance d’images, considérant la tâche de détection de visage comme un cas particulier de la tâche de reconnaissance. L'image se voit attribuer un certain vecteur de caractéristiques, qui est utilisé pour classer les images en deux classes : visage/non-visage. La manière la plus courante d'obtenir un vecteur de caractéristiques est d'utiliser l'image elle-même : chaque pixel devient un composant du vecteur, transformant l'image n×m en un vecteur dans l'espace R^(n×m), où n et m sont positifs. entiers. . L’inconvénient de cette représentation est la dimension extrêmement élevée de l’espace des fonctionnalités. L'avantage de cette méthode est qu'elle exclut de l'ensemble de la procédure la construction d'un classificateur à participation humaine, ainsi que la possibilité de former le système lui-même pour un utilisateur spécifique. Par conséquent, l’utilisation de méthodes de modélisation d’images pour construire un modèle mathématique de localisation des visages est optimale pour résoudre notre problème.

Quant à la segmentation d’un profil de visage et au suivi de la position des pointes des lèvres dans une séquence de cadres, des méthodes de modélisation mathématique doivent également être utilisées pour résoudre ce problème. Il existe plusieurs façons de déterminer le mouvement des expressions faciales, la plus connue d'entre elles est l'utilisation d'un modèle mathématique basé sur des modèles de contours actifs :

Localisation de la zone d'expression faciale basée sur le modèle mathématique des modèles de contours actifs

Pour adapter le contour actif à l'image des expressions faciales, il est nécessaire de procéder à la binarisation appropriée de l'objet étudié, c'est-à-dire sa transformation en une sorte d'images raster numériques, puis une évaluation appropriée des paramètres du le contour actif et le calcul du vecteur caractéristique doivent être effectués.

Le modèle de contour actif est défini comme :
Ensemble de points N ;
Terme d'énergie élastique interne ;
Terme énergétique basé sur les bords externes.

Pour améliorer la qualité de la reconnaissance, deux classes de couleurs sont distinguées : la peau et les lèvres. La fonction d'appartenance à la classe de couleur a une valeur comprise entre 0 et 1.

L'équation du modèle de contour actif (serpent) est représentée par la formule v(s) comme suit :

Où E est l'énergie du serpent (modèle de contour actif). Les deux premiers termes décrivent l'énergie de régularité du modèle de contour actif (serpent). Dans notre système de coordonnées polaires, v(s) = , s de 0 à 1. Le troisième terme est l'énergie liée à la force externe obtenue à partir de l'image, le quatrième est à la force de pression.

La force externe est déterminée sur la base des caractéristiques décrites ci-dessus. Il est capable de déplacer les points de contrôle vers une certaine valeur d'intensité. Il est calculé comme suit :

Le multiplicateur de gradient (dérivé) est calculé aux points du serpent le long de la ligne radiale correspondante. La force augmente si le gradient est négatif et diminue sinon. Le coefficient avant gradient est un facteur de pondération qui dépend de la topologie de l'image. La force de compression est simplement une constante, utilisant la moitié du facteur de poids minimum. La meilleure forme de serpent est obtenue en minimisant l’énergie fonctionnelle après un certain nombre d’itérations.

Examinons plus en détail les opérations de base de traitement d'image. Pour plus de simplicité, supposons que nous ayons déjà sélectionné d'une manière ou d'une autre la zone de la bouche de l'orateur. Dans ce cas, les principales opérations de traitement de l'image résultante que nous devons effectuer sont présentées sur la Fig. 3.

Conclusion

Liste des sources utilisées

À suivre