La section contient du matériel de référence sur les principales fonctions élémentaires et leurs propriétés. Le classement est donné fonctions élémentaires. Vous trouverez ci-dessous des liens vers des sous-sections qui traitent des propriétés de fonctions spécifiques : graphiques, formules, dérivées, primitives (intégrales), développements en séries, expressions via des variables complexes.
Pages de référence pour les fonctions de base
Classification des fonctions élémentaires
Fonction algébrique est une fonction qui satisfait l'équation :
,
où est un polynôme dans la variable dépendante y et la variable indépendante x.
,
On peut l'écrire ainsi :
où sont les polynômes.
Les fonctions algébriques sont divisées en polynômes (fonctions rationnelles entières), fonctions rationnelles et fonctions irrationnelles. Fonction rationnelle entière , qu'on appelle aussi polynôme ou polynôme , est obtenu à partir de la variable x et nombre fini nombres utilisant opérations arithmétiques
.
addition (soustraction) et multiplication. Après avoir ouvert les parenthèses, le polynôme est réduit à la forme canonique :
Fonction rationnelle fractionnaire , ou juste fonction rationnelle
,
, est obtenu à partir de la variable x et d'un nombre fini de nombres en utilisant les opérations arithmétiques d'addition (soustraction), de multiplication et de division. La fonction rationnelle peut être réduite à la forme
où et sont des polynômes. Fonction irrationnelle est une fonction algébrique qui n’est pas rationnelle. En règle générale, sous ir fonction rationnelle
.
comprendre les racines et leurs compositions avec des fonctions rationnelles. Une racine de degré n est définie comme la solution de l'équation
.
Il est désigné comme suit : Fonctions transcendantales
sont appelées fonctions non algébriques. Ce sont des fonctions exponentielles, trigonométriques, hyperboliques et leurs fonctions inverses.
Aperçu des fonctions élémentaires de base
Toutes les fonctions élémentaires peuvent être représentées comme un nombre fini d'opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division effectuées sur une expression de la forme :
zt.
Les fonctions inverses peuvent également être exprimées en termes de logarithmes. Les fonctions élémentaires de base sont listées ci-dessous.
Fonction d'alimentation :
y(x) = xp,
où p est l'exposant. Cela dépend de la base du degré x. Retour à fonction de puissance
.
Pour une valeur entière non négative de l'exposant p, c'est un polynôme. Pour une valeur entière, p est une fonction rationnelle. À sens rationnel - fonction irrationnelle.
Fonctions transcendantales
Fonction exponentielle :
y(x) = une x ,
où a est la base du diplôme. Cela dépend de l'exposant x.
La fonction inverse est le logarithme pour baser a :
X = Connectez-vous un y.
Exposant, e à la puissance x :
y(x) = ex,
Il s'agit d'une fonction exponentielle dont la dérivée est égale à la fonction elle-même :
.
La base de l'exposant est le nombre e :
≈ 2,718281828459045...
.
Fonction inverse - logarithme népérien - logarithme en base e :
X = ln y ≡ log e y.
Fonctions trigonométriques :
Sinus : ;
Cosinus : ;
Tangente : ;
Cotangente : ;
Ici, je - unité imaginaire, je 2 = -1 .
Fonctions trigonométriques inverses :
Arc sinus : x = arcsin y,
;
Arc cosinus : x = arccos et,
;
Arctangente : x = arctan y,
;
Arc tangent : x = arcctg y,
.
1) Domaine fonctionnel et plage de fonctions.
Le domaine d'une fonction est l'ensemble de tous les éléments valides de vraies valeurs argument x(variable x), pour lequel la fonction y = f(x) déterminé. L'étendue d'une fonction est l'ensemble de toutes les valeurs réelles oui, ce que la fonction accepte.
DANS mathématiques élémentaires les fonctions ne sont étudiées que sur l’ensemble des nombres réels.
2) Zéros de fonction.
La fonction zéro est valeur de l'argument, auquel la valeur de la fonction est égale à zéro.
3) Intervalles de signe constant d'une fonction.
Les intervalles de signe constant d'une fonction sont des ensembles de valeurs d'arguments sur lesquels les valeurs de la fonction sont uniquement positives ou uniquement négatives.
4) Monotonie de la fonction.
Une fonction croissante (dans un certain intervalle) est une fonction pour laquelle valeur plus élevée l'argument de cet intervalle correspond à une valeur plus grande de la fonction.
Une fonction décroissante (dans un certain intervalle) est une fonction à laquelle correspond la plus grande valeur de l'argument de cet intervalle valeur inférieure fonctions.
5) Fonction paire (impaire).
Une fonction paire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout X du domaine de la définition l'égalité f(-x) = f(x).
Le graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’ordonnée. X Une fonction impaire est une fonction dont le domaine de définition est symétrique par rapport à l'origine et pour tout du domaine de la définition, l'égalité est vraie f(-x) = - f(x
)..
Une fonction est dite bornée s’il existe un tel nombre positif M tel que |f(x)| ≤ M pour toutes les valeurs de x. Si un tel nombre n’existe pas, alors la fonction est illimitée.
7) Périodicité de la fonction.
Une fonction f(x) est périodique s'il existe un nombre T non nul tel que pour tout x du domaine de définition de la fonction, ce qui suit est valable : f(x+T) = f(x). Ce plus petit nombre est appelé la période de la fonction. Toutes les fonctions trigonométriques sont périodiques. (Formules trigonométriques).
19. Fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et graphiques. Application des fonctions en économie.
Fonctions élémentaires de base. Leurs propriétés et graphiques
1. Fonction linéaire.
Fonction linéaire est appelée une fonction de la forme , où x est une variable, a et b sont des nombres réels.
Nombre UN appelé pente hétéro, il égal à la tangente l'angle d'inclinaison de cette droite par rapport à la direction positive de l'axe des x. Calendrier fonction linéaire est une ligne droite. Il est défini par deux points.
Propriétés d'une fonction linéaire
1. Domaine de définition - l'ensemble de tous les nombres réels : D(y)=R
2. L'ensemble des valeurs est l'ensemble de tous les nombres réels : E(y)=R
3. La fonction prend une valeur nulle lorsque ou.
4. La fonction augmente (diminue) sur tout le domaine de définition.
5. Une fonction linéaire est continue sur tout le domaine de définition, différentiable et .
2. Fonction quadratique.
Une fonction de la forme où x est une variable, les coefficients a, b, c sont des nombres réels, est appelée quadratique.
Longueur du segment axe de coordonnées se trouve par la formule :
Longueur du segment plan de coordonnées est recherché par la formule :
Pour trouver la longueur d'un segment dans un système de coordonnées tridimensionnelles, utilisez la formule suivante :
Coordonnées du milieu du segment (pour l'axe de coordonnées, seule la première formule est utilisée, pour le plan de coordonnées - les deux premières formules, pour système tridimensionnel coordonnées - les trois formules) sont calculées à l'aide des formules :
Fonction– c'est une correspondance de la forme oui= f(x) entre des quantités variables, grâce auxquelles chaque valeur considérée de certains taille variable x(argument ou variable indépendante) correspond à une certaine valeur d'une autre variable, oui(variable dépendante, parfois cette valeur est simplement appelée la valeur de la fonction). Notez que la fonction suppose qu'une valeur d'argument X une seule valeur de la variable dépendante peut correspondre à. Cependant, la même valeur à peut être obtenu avec différents X.
Domaine de fonction– ce sont toutes les valeurs de la variable indépendante (argument de fonction, généralement ceci X), pour lequel la fonction est définie, c'est-à-dire sa signification existe. La zone de définition est indiquée D(oui). Par en gros Vous connaissez déjà ce concept. Le domaine d'une fonction est également appelé domaine valeurs acceptables, ou ODZ, que vous avez longtemps pu trouver.
Plage de fonctions- c'est tout valeurs possibles variable dépendante de cette fonction. Désigné E(à).
La fonction augmente sur l'intervalle dans lequel une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus grande valeur de la fonction. La fonction diminue sur l'intervalle dans lequel une plus grande valeur de l'argument correspond à une plus petite valeur de la fonction.
Intervalles de signe constant d'une fonction- ce sont les intervalles de la variable indépendante sur lesquels la variable dépendante conserve son signe positif ou négatif.
Zéros de fonction– ce sont les valeurs de l'argument pour lesquelles la valeur de la fonction est égale à zéro. En ces points, le graphique de fonctions coupe l'axe des abscisses (axe OX). Très souvent, la nécessité de trouver les zéros d’une fonction signifie simplement la nécessité de résoudre l’équation. De plus, la nécessité de trouver des intervalles de constance de signe signifie souvent la nécessité de simplement résoudre l’inégalité.
Fonction oui = f(x) sont appelés même X
Cela signifie que pour tout sens opposés argument, les valeurs de la fonction paire sont égales. Calendrier même fonction toujours symétrique par rapport à l'axe des ordonnées de l'ampli-op.
Fonction oui = f(x) sont appelés impair, s'il est défini sur un ensemble symétrique et pour tout X du domaine de définition, l'égalité est vraie :
Cela signifie que pour toute valeur opposée de l'argument, les valeurs de la fonction impaire sont également opposées. Le graphique d’une fonction impaire est toujours symétrique par rapport à l’origine.
La somme des racines de pair et fonctions impaires(points d'intersection de l'axe des abscisses OX) est toujours égal à zéro, car pour chacun racine positive X devoir racine négative –X.
Il est important de noter : certaines fonctions ne doivent pas nécessairement être paires ou impaires. Il existe de nombreuses fonctions qui ne sont ni paires ni impaires. De telles fonctions sont appelées fonctions vue générale , et pour eux aucune des égalités ou propriétés données ci-dessus n'est satisfaite.
Fonction linéaire est une fonction qui peut être donnée par la formule :
Le graphique d'une fonction linéaire est une ligne droite et cas général ressemble à ceci (un exemple est donné pour le cas où k> 0, dans ce cas la fonction est croissante ; pour l'occasion k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graphique d'une fonction quadratique (Parabole)
Le graphique d'une parabole est donné par une fonction quadratique :
Une fonction quadratique, comme toute autre fonction, coupe l'axe OX aux points qui sont ses racines : ( x 1 ; 0) et ( x 2 ; 0). S'il n'y a pas de racines, alors la fonction quadratique ne coupe pas l'axe OX ; s'il n'y a qu'une seule racine, alors à ce stade ( x 0 ; 0) la fonction quadratique touche uniquement l’axe OX, mais ne le coupe pas. La fonction quadratique coupe toujours l'axe OY au point de coordonnées : (0 ; c). Calendrier fonction quadratique(parabole) peut ressembler à ceci (la figure montre des exemples qui n'épuisent pas tous les types de paraboles possibles) :
Dans ce cas:
- si le coefficient un> 0, en fonction oui = hache 2 + bx + c, alors les branches de la parabole sont dirigées vers le haut ;
- si un < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Les coordonnées du sommet d'une parabole peuvent être calculées à partir de les formules suivantes. X hauts (p- dans les images ci-dessus) paraboles (ou le point auquel le trinôme quadratique atteint sa plus grande ou sa plus petite valeur) :
Hauts Igrecs (q- dans les figures ci-dessus) des paraboles ou le maximum si les branches de la parabole sont dirigées vers le bas ( un < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (un> 0), valeur trinôme quadratique:
Graphiques d'autres fonctions
Fonction d'alimentation
Voici quelques exemples de graphiques de fonctions puissance :
Inversement proportionnel appeler la fonction donné par la formule:
Selon le signe du nombre k planifier à nouveau dépendance proportionnelle peut avoir deux options fondamentales :
Asymptote est une ligne dont le graphique d’une fonction se rapproche infiniment mais ne coupe pas. Asymptotes pour les graphiques proportionnalité inverse montrés dans la figure ci-dessus sont les axes de coordonnées dont le graphique de la fonction se rapproche à l'infini, mais ne les coupe pas.
Fonction exponentielle avec socle UN est une fonction donnée par la formule :
un calendrier fonction exponentielle peut avoir deux options fondamentales (nous donnons également des exemples, voir ci-dessous) :
Fonction logarithmique est une fonction donnée par la formule :
Selon que le nombre est supérieur ou inférieur à un un calendrier fonction logarithmique peut avoir deux options fondamentales :
Graphique d'une fonction oui = |x| ça ressemble à ça :
Graphiques de fonctions périodiques (trigonométriques)
Fonction à = f(x) s'appelle périodique, si une telle chose existe, non égal à zéro, nombre T, Quoi f(x + T) = f(x), pour tout X du domaine de la fonction f(x). Si la fonction f(x) est périodique avec un point T, alors la fonction :
Où: UN, k, b – nombres constants, et k différent de zéro, également périodique avec période T 1, qui est déterminé par la formule :
La plupart des exemples fonctions périodiques- Ce sont des fonctions trigonométriques. Voici les graphiques des principaux fonctions trigonométriques. La figure suivante montre une partie du graphique de la fonction oui= péché x(le graphe entier continue indéfiniment à gauche et à droite), graphe de la fonction oui= péché x appelé sinusoïde:
Graphique d'une fonction oui=cos x appelé cosinus. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Puisque le graphique sinusoïdal continue indéfiniment le long de l’axe OX à gauche et à droite :
Graphique d'une fonction oui= tg x appelé tangentoïde. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Comme les graphiques d'autres fonctions périodiques, ce calendrier se répète indéfiniment le long de l’axe OX à gauche et à droite.
Et enfin, le graphique de la fonction oui=ctg x appelé cotangentoïde. Ce graphique est présenté dans la figure suivante. Comme les graphiques d'autres fonctions périodiques et trigonométriques, ce graphique se répète indéfiniment le long de l'axe OX à gauche et à droite.
La mise en œuvre réussie, assidue et responsable de ces trois points vous permettra de vous présenter au CT excellent résultat, le maximum de ce dont vous êtes capable.
Vous avez trouvé une erreur ?
Si vous pensez avoir trouvé une erreur dans matériel pédagogique, alors écrivez-nous par e-mail. Vous pouvez également signaler un bug à réseau social(). Dans la lettre, indiquez le sujet (physique ou mathématique), le nom ou le numéro du sujet ou du test, le numéro du problème, ou l'endroit dans le texte (page) où, à votre avis, il y a une erreur. Décrivez également quelle est l'erreur suspectée. Votre lettre ne passera pas inaperçue, soit l'erreur sera corrigée, soit on vous expliquera pourquoi ce n'est pas une erreur.
