Le milieu de l'intervalle 18 27 est la valeur. Par exemple, la moyenne arithmétique d'une série d'intervalles

Lors du traitement statistique des résultats d'études de toutes sortes, les valeurs obtenues sont souvent regroupées en une séquence d'intervalles. Pour calculer les caractéristiques générales de telles séquences, il est parfois nécessaire de calculer milieu intervalle- «option centrale». Les méthodes de calcul sont assez simples, mais présentent certaines particularités qui tiennent à la fois à l'échelle utilisée pour la mesure et à la nature du regroupement (intervalles ouverts ou fermés).

Instructions

Si l'intervalle est une section d'une séquence numérique continue, alors pour trouver son milieu, utilisez les méthodes mathématiques habituelles de calcul de la moyenne arithmétique. Valeur minimum intervalle(son début) additionnez avec le maximum (fin) et divisez le résultat en deux - c'est une façon de calculer la moyenne arithmétique. Par exemple, cette règle s'applique en matière d'âge intervalle X. Disons, la cinquantaine intervalle dans la plage de 21 à 33 ans, il y aura une note de 27 ans, puisque (21+33)/2=27.

Parfois, il est plus pratique d'utiliser une autre méthode pour calculer la moyenne arithmétique entre les limites supérieure et inférieure. intervalle. Dans cette option, déterminez d'abord la largeur de la plage - soustrayez la valeur minimale de la valeur maximale. Divisez ensuite la valeur résultante en deux et ajoutez le résultat à la valeur minimale de la plage. Par exemple, si la limite inférieure correspond à la valeur 47,15 et la limite supérieure correspond à 79,13, alors la largeur de la plage sera de 79,13 à 47,15 = 31,98. Puis le milieu intervalle sera 63,14, puisque 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Si l'intervalle ne fait pas partie d'une séquence de nombres régulière, calculez-le milieu en fonction de la cyclicité et de la dimension de l'échelle de mesure utilisée. Par exemple, si nous parlons d'une période historique, alors le milieu intervalle sera une date calendaire spécifique. Donc pour intervalle du 1er janvier 2012 au 31 janvier 2012, le point médian sera le 16 janvier 2012.

En plus des intervalles habituels (fermés), les méthodes de recherche statistique peuvent également fonctionner avec des intervalles « ouverts ». Pour de telles plages, l'une des limites n'est pas définie. Par exemple, un intervalle ouvert pourrait être défini comme « 50 ans et plus ». Le milieu dans ce cas est déterminé par la méthode des analogies - si toutes les autres plages de la séquence en question ont la même largeur, alors on suppose que cet intervalle ouvert a également la même dimension. Sinon, vous devez déterminer la dynamique des changements dans la largeur des intervalles précédant celui ouvert et dériver sa largeur conditionnelle en fonction de la tendance de changement qui en résulte.

Les caractéristiques des unités d'agrégats statistiques ont une signification différente, par exemple, les salaires des travailleurs d'une même profession d'une entreprise ne sont pas les mêmes pour la même période de temps, les prix du marché pour les mêmes produits, les rendements des cultures dans le district fermes, etc Par conséquent, afin de déterminer la valeur d'une caractéristique caractéristique de l'ensemble de la population d'unités étudiées, des valeurs moyennes sont calculées.
valeur moyenne – il s'agit d'une caractéristique généralisatrice d'un ensemble de valeurs individuelles d'une certaine caractéristique quantitative.

La population étudiée sur une base quantitative est constituée de valeurs individuelles ; ils sont influencés à la fois par des causes générales et par des conditions individuelles. En valeur moyenne, les écarts caractéristiques des valeurs individuelles sont annulés. La moyenne, étant fonction d'un ensemble de valeurs individuelles, représente l'ensemble de l'ensemble avec une seule valeur et reflète ce qui est commun à toutes ses unités.

La moyenne calculée pour des populations constituées d'unités qualitativement homogènes est appelée moyenne typique. Par exemple, vous pouvez calculer le salaire mensuel moyen d'un salarié d'un groupe professionnel particulier (mineur, médecin, bibliothécaire). Bien entendu, les niveaux de salaire mensuel des mineurs, en raison des différences dans leurs qualifications, leur ancienneté, la durée mensuelle travaillée et de nombreux autres facteurs, diffèrent les uns des autres ainsi que du niveau des salaires moyens. Cependant, le niveau moyen reflète les principaux facteurs qui influencent le niveau des salaires, et les différences résultant des caractéristiques individuelles du salarié sont annulées. Le salaire moyen reflète le niveau de rémunération typique pour un type de travailleur donné. L'obtention d'une moyenne typique doit être précédée d'une analyse de l'homogénéité qualitative de la population donnée. Si l'ensemble est constitué de parties individuelles, il doit être divisé en groupes typiques (température moyenne à l'hôpital).

Les valeurs moyennes utilisées comme caractéristiques pour des populations hétérogènes sont appelées moyennes du système. Par exemple, la valeur moyenne du produit intérieur brut (PIB) par habitant, la valeur moyenne de la consommation de divers groupes de biens par personne et d'autres valeurs similaires qui représentent les caractéristiques générales de l'État en tant que système économique unifié.

La moyenne doit être calculée pour des populations constituées d'un nombre d'unités suffisamment important. Le respect de cette condition est nécessaire pour que la loi des grands nombres entre en vigueur, de sorte que les écarts aléatoires des valeurs individuelles par rapport à la tendance générale s'annulent mutuellement.

Types de moyennes et méthodes de calcul

Le choix du type de moyenne est déterminé par le contenu économique d'un certain indicateur et des données sources. Cependant, toute valeur moyenne doit être calculée de manière à ce que lorsqu'elle remplace chaque variante de la caractéristique moyennée, la valeur finale, généralisatrice ou, comme on l'appelle communément, ne change pas. indicateur de définition, qui est associé à l'indicateur moyenné. Par exemple, lors du remplacement des vitesses réelles sur des sections individuelles de l'itinéraire par leur vitesse moyenne, la distance totale parcourue par le véhicule dans le même temps ne doit pas changer ; lors du remplacement du salaire réel des employés individuels d'une entreprise par le salaire moyen, le fonds salarial ne devrait pas changer. Par conséquent, dans chaque cas particulier, selon la nature des données disponibles, il n'existe qu'une seule vraie valeur moyenne de l'indicateur, adéquate aux propriétés et à l'essence du phénomène socio-économique étudié.
Les plus couramment utilisées sont la moyenne arithmétique, la moyenne harmonique, la moyenne géométrique, la moyenne quadratique et la moyenne cubique.
Les moyennes indiquées appartiennent à la classe calme moyennes et sont combinés par la formule générale :
,
où est la valeur moyenne de la caractéristique étudiée ;
m – indice de diplôme moyen ;
– valeur actuelle (variante) de la caractéristique faisant l'objet de la moyenne ;
n – nombre de fonctionnalités.
En fonction de la valeur de l'exposant m, on distingue les types de moyennes de puissance suivants :
lorsque m = -1 – moyenne harmonique ;
à m = 0 – moyenne géométrique ;
pour m = 1 – moyenne arithmétique ;
pour m = 2 – moyenne quadratique ;
à m = 3 – cube moyen.
Lorsque vous utilisez les mêmes données initiales, plus l'exposant m dans la formule ci-dessus est grand, plus la valeur moyenne est grande :
.
Cette propriété de la puissance moyenne d'augmenter avec l'exposant croissant de la fonction de définition est appelée la règle de la majorité des moyennes.
Chacune des moyennes marquées peut prendre deux formes : simple Et pondéré.
Forme moyenne simple utilisé lorsque la moyenne est calculée à partir de données primaires (non regroupées). Forme pondérée– lors du calcul de la moyenne sur la base de données secondaires (regroupées).

Moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique est utilisée lorsque le volume de la population est la somme de toutes les valeurs individuelles d'une caractéristique variable. Il convient de noter que si le type de moyenne n’est pas précisé, la moyenne arithmétique est utilisée. Sa formule logique ressemble à :

Moyenne arithmétique simple calculé basé sur des données non regroupées selon la formule :
ou ,
où sont les valeurs individuelles de la caractéristique ;
j est le numéro de série de l'unité d'observation, qui est caractérisé par la valeur ;
N – nombre d'unités d'observation (volume de la population).
Exemple. La conférence «Résumé et regroupement des données statistiques» a examiné les résultats de l'observation de l'expérience de travail d'une équipe de 10 personnes. Calculons l'expérience de travail moyenne des travailleurs de l'équipe. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

En utilisant la formule simple de la moyenne arithmétique, nous pouvons également calculer moyennes en séries chronologiques, si les intervalles de temps pour lesquels les valeurs caractéristiques sont présentées sont égaux.
Exemple. Le volume des produits vendus au premier trimestre s'élève à 47 deniers. unités, pour le deuxième 54, pour le troisième 65 et pour le quatrième 58 den. unités Le chiffre d'affaires trimestriel moyen est de (47+54+65+58)/4 = 56 den. unités
Si les indicateurs momentanés sont donnés dans une série chronologique, alors lors du calcul de la moyenne, ils sont remplacés par des demi-sommes des valeurs de début et de fin de période.
S'il y a plus de deux moments et que les intervalles entre eux sont égaux, alors la moyenne est calculée à l'aide de la formule de la moyenne chronologique

,
où n est le nombre de points dans le temps
Dans le cas où les données sont regroupées par valeurs caractéristiques (c'est-à-dire qu'une série de distribution variationnelle discrète a été construite) avec moyenne arithmétique pondérée calculé en utilisant soit des fréquences, soit des fréquences d'observations de valeurs spécifiques de la caractéristique, dont le nombre (k) est nettement inférieur au nombre d'observations (N).
,
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations,
je – numéro de groupe de la série de variations.
Puisque , a , on obtient les formules utilisées pour les calculs pratiques :
Et
Exemple. Calculons l'ancienneté moyenne des équipes de travail sur une ligne regroupée.
a) en utilisant des fréquences :

b) en utilisant des fréquences :

Dans le cas où les données sont regroupées par intervalles , c'est à dire. sont présentés sous forme de séries de distributions d'intervalles lors du calcul de la moyenne arithmétique, le milieu de l'intervalle est pris comme valeur de l'attribut, sur la base de l'hypothèse d'une répartition uniforme des unités de population sur un intervalle donné. Le calcul est effectué à l'aide des formules :
Et
où est le milieu de l'intervalle : ,
où et sont les limites inférieure et supérieure des intervalles (à condition que la limite supérieure d'un intervalle donné coïncide avec la limite inférieure de l'intervalle suivant).

Exemple. Calculons la moyenne arithmétique de la série de variations d'intervalles construite à partir des résultats d'une étude des salaires annuels de 30 travailleurs (voir cours « Résumé et regroupement des données statistiques »).
Tableau 1 – Distribution des séries de variations d’intervalle.

UAH ou UAH
Les moyennes arithmétiques calculées sur la base des données sources et des séries de variations d'intervalles peuvent ne pas coïncider en raison de la répartition inégale des valeurs d'attributs dans les intervalles. Dans ce cas, pour un calcul plus précis de la moyenne arithmétique pondérée, il ne faut pas utiliser les milieux des intervalles, mais les moyennes arithmétiques simples calculées pour chaque groupe ( moyennes de groupe). La moyenne calculée à partir des moyennes de groupe à l'aide d'une formule de calcul pondérée est appelée moyenne générale.
La moyenne arithmétique possède un certain nombre de propriétés.
1. La somme des écarts par rapport à l'option moyenne est nulle :
.
2. Si toutes les valeurs de l'option augmentent ou diminuent du montant A, alors la valeur moyenne augmente ou diminue du même montant A :

3. Si chaque option est augmentée ou diminuée de B fois, alors la valeur moyenne augmentera ou diminuera également du même nombre de fois :
ou
4. La somme des produits de l'option par les fréquences est égale au produit de la valeur moyenne par la somme des fréquences :

5. Si toutes les fréquences sont divisées ou multipliées par un nombre quelconque, alors la moyenne arithmétique ne changera pas :

6) si dans tous les intervalles les fréquences sont égales les unes aux autres, alors la moyenne arithmétique pondérée est égale à la moyenne arithmétique simple :
,
où k est le nombre de groupes de la série de variations.

Utiliser les propriétés de la moyenne permet de simplifier son calcul.
Supposons que toutes les options (x) soient d'abord réduites du même nombre A, puis réduites d'un facteur B. La plus grande simplification est obtenue lorsque la valeur du milieu de l'intervalle avec la fréquence la plus élevée est choisie comme A et que la valeur de l'intervalle (pour les séries avec des intervalles identiques) est sélectionnée comme B. La quantité A est appelée l'origine, donc cette méthode de calcul de la moyenne est appelée chemin b référence ohm à partir du zéro conditionnel ou façon de moments.
Après une telle transformation, on obtient une nouvelle série de distribution variationnelle dont les variantes sont égales à . Leur moyenne arithmétique, appelée moment du premier ordre, est exprimé par la formule et, selon les deuxième et troisième propriétés, la moyenne arithmétique est égale à la moyenne de la version originale, réduite d'abord de A, puis de B fois, c'est-à-dire
Pour obtenir moyenne réelle(moyenne de la série originale) vous devez multiplier le moment du premier ordre par B et ajouter A :

Le calcul de la moyenne arithmétique par la méthode des moments est illustré par les données du tableau. 2.
Tableau 2 – Répartition des ouvriers des ateliers d'usine selon l'ancienneté

Trouver le moment de la première commande . Puis, sachant que A = 17,5 et B = 5, on calcule l'ancienneté moyenne des ouvriers d'atelier :
années

Moyenne harmonique
Comme indiqué ci-dessus, la moyenne arithmétique est utilisée pour calculer la valeur moyenne d'une caractéristique dans les cas où ses variantes x et leurs fréquences f sont connues.
Si les informations statistiques ne contiennent pas de fréquences f pour les options individuelles x de la population, mais sont présentées comme leur produit, la formule est appliquée moyenne harmonique pondérée. Pour calculer la moyenne, notons où . En substituant ces expressions dans la formule de la moyenne arithmétique pondérée, on obtient la formule de la moyenne pondérée harmonique :
,
où est le volume (poids) des valeurs d'attribut de l'indicateur dans l'intervalle numéroté i (i=1,2, …, k).

Ainsi, la moyenne harmonique est utilisée dans les cas où ce ne sont pas les options elles-mêmes qui font l'objet d'une sommation, mais leurs réciproques : .
Dans les cas où le poids de chaque option est égal à un, c'est-à-dire les valeurs individuelles de la caractéristique inverse se produisent une fois, appliquées moyenne harmonique simple:
,
où sont les variantes individuelles de la caractéristique inverse, apparaissant une fois ;
N – option numérique.
S'il existe des moyennes harmoniques pour deux parties d'une population, alors la moyenne globale pour l'ensemble de la population est calculée à l'aide de la formule :

et s'appelle moyenne harmonique pondérée des moyennes de groupe.

Exemple. Lors des échanges de devises, trois transactions ont été conclues au cours de la première heure de fonctionnement. Les données sur le montant des ventes de hryvnia et le taux de change de la hryvnia par rapport au dollar américain sont présentées dans le tableau. 3 (colonnes 2 et 3). Déterminez le taux de change moyen de la hryvnia par rapport au dollar américain pour la première heure de négociation.
Tableau 3 – Données sur l'évolution des échanges sur les marchés des changes

Le taux de change moyen du dollar est déterminé par le rapport entre le montant de la hryvnia vendu lors de toutes les transactions et le montant des dollars acquis à la suite des mêmes transactions. Le montant final de la vente de la hryvnia est connu à partir de la colonne 2 du tableau, et le nombre de dollars achetés dans chaque transaction est déterminé en divisant le montant de la vente de la hryvnia par son taux de change (colonne 4). Au total, 22 millions de dollars ont été achetés au cours de trois transactions. Cela signifie que le taux de change moyen de la hryvnia pour un dollar était
.
La valeur résultante est réelle, car le remplacer par les taux de change réels de la hryvnia dans les transactions ne modifiera pas le montant final des ventes de hryvnia, qui sert de indicateur de définition: millions d'UAH
Si la moyenne arithmétique était utilisée pour le calcul, c'est-à-dire hryvnia, puis au taux de change pour l'achat de 22 millions de dollars. il faudrait dépenser 110,66 millions d'UAH, ce qui n'est pas vrai.

Moyenne géométrique
La moyenne géométrique permet d'analyser la dynamique des phénomènes et permet de déterminer le coefficient de croissance moyen. Lors du calcul de la moyenne géométrique, les valeurs individuelles d'une caractéristique sont des indicateurs relatifs de dynamique, construits sous la forme de valeurs en chaîne, comme le rapport de chaque niveau au précédent.
La moyenne géométrique simple est calculée à l'aide de la formule :
,
où est le signe du produit,
N – nombre de valeurs moyennes.
Exemple. Le nombre de délits enregistrés sur 4 ans a augmenté de 1,57 fois, dont pour la 1ère – 1,08 fois, pour la 2ème – 1,1 fois, pour la 3ème – 1,18 et pour la 4ème – 1,12 fois. Alors le taux de croissance annuel moyen du nombre de délits est : , c'est-à-dire le nombre de délits enregistrés a augmenté chaque année de 12 % en moyenne.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Pour calculer le carré moyen pondéré, nous déterminons et entrons dans le tableau et . Alors l'écart moyen de la longueur des produits par rapport à la norme donnée est égal à :

La moyenne arithmétique ne conviendrait pas dans ce cas, car en conséquence, nous obtiendrions un écart nul.
L’utilisation du carré moyen sera discutée plus en détail en termes de variation.

Instructions

Si l'intervalle est une section d'une séquence numérique continue, alors pour trouver son milieu, utilisez des méthodes mathématiques de calcul de la moyenne arithmétique. Ajoutez la valeur minimale (son début) avec le maximum () et divisez le résultat en deux - c'est une façon de calculer la moyenne arithmétique. Par exemple, cela s'applique en ce qui concerne l'âge intervalle X. Disons, la cinquantaine intervalle dans la plage de 21 à 33 ans, il y aura une note de 27 ans, puisque (21+33)/2=27.

Parfois, il est plus pratique d'utiliser une autre méthode pour calculer la moyenne arithmétique entre les limites supérieure et inférieure. intervalle. Dans cette option, déterminez d'abord la largeur de la plage - soustrayez la valeur minimale de la valeur maximale. Divisez ensuite la valeur résultante en deux et ajoutez le résultat à la valeur minimale de la plage. Par exemple, si la valeur inférieure correspond à la valeur 47,15 et la valeur supérieure correspond à 79,13, alors la largeur de la plage sera de 79,13 à 47,15 = 31,98. Puis le milieu intervalle sera 63,14, puisque 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

Si l'intervalle ne fait pas partie d'une séquence de nombres régulière, calculez-le milieu en fonction de la cyclicité et de la dimension de l'échelle de mesure utilisée. Par exemple, si nous parlons d'une période historique, alors le milieu intervalle sera une date calendaire spécifique. Donc pour intervalle du 1er janvier 2012 au 31 janvier 2012, le point médian sera le 16 janvier 2012.

En plus des intervalles habituels (fermés), les méthodes de recherche statistique peuvent également fonctionner avec des intervalles « ouverts ». Pour de telles plages, l'une des limites n'est pas définie. Par exemple, un intervalle ouvert pourrait être défini comme « 50 ans et plus ». Le milieu dans ce cas est déterminé par la méthode des analogies - si toutes les autres plages de la séquence en question ont la même largeur, alors on suppose que cet intervalle ouvert est le même. Sinon, vous devez déterminer la dynamique de la largeur des intervalles précédant celui ouvert et sa largeur conditionnelle, en fonction de la tendance de changement obtenue.

Sources:

• qu'est-ce qu'un intervalle ouvert

Lors de l'étude de la variation - différences dans les valeurs individuelles d'une caractéristique entre les unités de la population étudiée - un certain nombre d'indicateurs absolus et relatifs sont calculés. En pratique, le coefficient de variation est le plus utilisé parmi les indicateurs relatifs.

Instructions

Veuillez noter que le coefficient de variation dans la pratique est utilisé non seulement pour une évaluation comparative de la variation, mais également pour caractériser l'homogénéité de la population. Si cet indicateur ne dépasse pas 0,333, soit 33,3 %, la variation du trait est considérée comme faible, et si elle est supérieure à 0,333, elle est considérée comme forte. En cas de forte variation, la population statistique étudiée est considérée comme hétérogène, et la valeur moyenne est considérée comme atypique et ne peut être utilisée comme indicateur général de cette population ; La limite inférieure du coefficient de variation est considérée comme nulle ; il n'y a pas de limite supérieure. Cependant, à mesure que la variation d’un trait augmente, sa valeur augmente également.

Lors du calcul du coefficient de variation, vous devrez utiliser l'écart moyen. Il est défini comme la racine carrée, que vous pouvez trouver comme suit : D = Σ(X-Xsr)^2/N. En d’autres termes, la dispersion est le carré moyen de l’écart par rapport à la moyenne arithmétique. détermine dans quelle mesure en moyenne les indicateurs spécifiques d'une série s'écartent de leur valeur moyenne. C'est une mesure absolue de la variabilité d'un signe, et donc clairement interprétée.

Lors du traitement statistique des résultats de recherches de toutes sortes, les valeurs obtenues sont souvent regroupées en une séquence d'intervalles. Pour calculer des classements généralisés de telles séquences, il est parfois nécessaire de calculer milieu intervalle- «option centrale». Les méthodes de calcul sont assez primitives, mais présentent certaines caractéristiques découlant à la fois de l'échelle utilisée pour la mesure et de la nature du regroupement (écarts ouverts ou fermés).

Instructions

1. Si l'intervalle est une section d'une séquence numérique constante, alors pour trouver son milieu, utilisez des méthodes mathématiques ordinaires pour calculer la moyenne arithmétique. Valeur minimum intervalle(sa préface) additionner avec le maximum (fin) et diviser le total en deux - c'est l'une des méthodes de calcul de la moyenne arithmétique. Disons que cette règle s'applique en matière d'âge intervalle X. Disons, la cinquantaine intervalle entre 21 et 33 ans, la note sera de 27 ans car (21+33)/2=27.

2. Parfois, il est plus pratique d'utiliser une autre méthode pour calculer la moyenne arithmétique entre les limites supérieure et inférieure. intervalle. Dans cette option, déterminez d'abord la largeur de la plage - soustrayez la valeur minimale de la valeur maximale. Après cela, divisez la valeur obtenue en deux et ajoutez le total à la valeur minimale de la plage. Disons que si la limite inférieure correspond à la valeur de 47,15 et que la limite supérieure correspond à 79,13, alors la largeur de la plage sera de 79,13 à 47,15 = 31,98. Puis le milieu intervalle sera 63,14 car 47,15+(31,98/2) = 47,15+15,99 = 63,14.

3. Si l'intervalle ne fait pas partie d'une séquence de nombres ordinaire, calculez-le milieu en fonction de la répétabilité et de la dimension de l'échelle de mesure utilisée. Disons que si nous parlons d'une période historique, alors le milieu intervalle sera une date calendaire spécifique. Donc pour intervalle du 1er janvier 2012 au 31 janvier 2012, le point médian sera le 16 janvier 2012.

4. En plus des intervalles ordinaires (fermés), les méthodes de recherche statistique peuvent également fonctionner avec des intervalles « ouverts ». Pour de telles plages, l'une des limites n'est pas définie. Par exemple, la période d’ouverture peut être précisée par la mention « à partir de 50 ans ». Le milieu dans ce cas est déterminé par la méthode des analogies - si toutes les autres plages de la séquence en question ont des largeurs identiques, alors on suppose que cet intervalle ouvert a la même dimension. Dans le cas contraire, il faut déterminer la dynamique de métamorphose de la largeur des interstices précédant celui ouvert, et en déduire sa largeur conditionnelle en fonction de la tendance à la métamorphose qui en résulte.

Parfois, dans les activités quotidiennes, il peut être nécessaire de détecter milieu segment de droite. Par exemple, si vous avez besoin de créer un motif, un croquis d'un produit ou de scier facilement un bloc de bois en deux parties égales. La géométrie et un peu d'ingéniosité au quotidien viennent à la rescousse.

Tu auras besoin de

• Boussole, règle ; épingle, crayon, fil

Instructions

1. Utilisez des outils ordinaires préparés pour mesurer la longueur. C'est la méthode la plus simple pour trouver milieu segment. Mesurez la longueur du segment avec une règle ou un ruban à mesurer, divisez la valeur obtenue en deux et mesurez le total obtenu à partir d'une extrémité du segment. Vous obtiendrez un point correspondant au milieu du segment.

2. Il existe une méthode plus précise pour trouver le point médian d'un segment, apprise lors d'un cours de géométrie scolaire. Pour ce faire, prenez un compas et une règle, et la règle peut être remplacée par n'importe quel objet de longueur appropriée avec un côté droit.

3. Réglez la distance entre les branches de la boussole de manière à ce qu'elle soit égale à la longueur du segment ou supérieure à la moitié du segment. Après cela, placez l’aiguille de la boussole à une extrémité du segment et tracez un demi-cercle de manière à ce qu’il coupe le segment. Déplacez l'aiguille à l'autre extrémité du segment et, sans modifier l'envergure des branches de la boussole, tracez correctement le deuxième demi-cercle de la même manière.

4. Vous avez reçu deux points d'intersection de demi-cercles de part et d'autre du segment, milieu que nous souhaitons découvrir. Combinez ces deux points à l'aide d'une règle ou d'un bloc plat. La ligne de connexion passera exactement au milieu du segment.

5. Si vous n'avez pas de boussole à portée de main ou si la longueur du segment dépasse considérablement l'envergure possible de ses jambes, vous pouvez utiliser un appareil simple issu de moyens improvisés. Il peut être fabriqué à partir d'une épingle, d'un fil et d'un crayon ordinaires. Attachez les extrémités du fil à une épingle et un crayon, et la longueur du fil doit légèrement dépasser la longueur du segment. Avec un substitut aussi improvisé à la boussole, il ne reste plus qu'à suivre les étapes décrites ci-dessus.

Vidéo sur le sujet

Conseil utile
Vous pouvez localiser assez précisément le milieu d’une planche ou d’un bloc à l’aide d’un fil ou d’un cordon ordinaire. Pour ce faire, coupez le fil de manière à ce qu'il corresponde à la longueur de la planche ou de la barre. Il ne reste plus qu'à plier le fil en deux et le couper en deux parties égales. Appliquez une extrémité de la mesure obtenue à l'extrémité de l'objet à mesurer, et la 2ème extrémité correspondra à son milieu.

Le type de moyenne le plus courant est la moyenne arithmétique.

Moyenne arithmétique simple

Une moyenne arithmétique simple est le terme moyen permettant de déterminer que le volume total d'un attribut donné dans les données est également réparti entre toutes les unités incluses dans la population donnée. Ainsi, la production annuelle moyenne par employé est la quantité de production qui serait produite par chaque employé si le volume total de la production était réparti également entre tous les employés de l'organisation. La moyenne arithmétique simple est calculée à l'aide de la formule :

Moyenne arithmétique simple— Égal au rapport de la somme des valeurs individuelles d'une caractéristique au nombre de caractéristiques dans l'ensemble

Trouver le salaire moyen
Solution : (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 mille roubles.

Moyenne arithmétique pondérée

Si le volume de l'ensemble de données est important et représente une série de distribution, la moyenne arithmétique pondérée est calculée. C'est ainsi qu'est déterminé le prix moyen pondéré par unité de production : le coût total de production (la somme des produits de sa quantité par le prix d'une unité de production) est divisé par la quantité totale de production.

Imaginons cela sous la forme de la formule suivante :

Moyenne arithmétique pondérée— égal au rapport de (la somme des produits de la valeur d'une caractéristique par la fréquence de répétition de cette caractéristique) à (la somme des fréquences de toutes les caractéristiques). Il est utilisé lorsque des variantes de la population étudiée apparaissent. un nombre inégal de fois.

Le salaire moyen peut être obtenu en divisant le salaire total par le nombre total de travailleurs :

Réponse : 3,35 mille roubles.

Moyenne arithmétique pour les séries d'intervalles

Lors du calcul de la moyenne arithmétique d'une série de variations d'intervalles, déterminez d'abord la moyenne de chaque intervalle comme la demi-somme des limites supérieure et inférieure, puis la moyenne de la série entière. Dans le cas d'intervalles ouverts, la valeur de l'intervalle inférieur ou supérieur est déterminée par la taille des intervalles qui leur sont adjacents.

Les moyennes calculées à partir de séries d'intervalles sont approximatives.

Exemple 3. Déterminez l’âge moyen des étudiants du soir.

Les moyennes calculées à partir de séries d'intervalles sont approximatives. Le degré de leur rapprochement dépend de la mesure dans laquelle la répartition réelle des unités de population au sein de l'intervalle se rapproche d'une distribution uniforme.

Lors du calcul des moyennes, non seulement des valeurs absolues mais également relatives (fréquence) peuvent être utilisées comme poids :

La moyenne arithmétique possède un certain nombre de propriétés qui révèlent plus pleinement son essence et simplifient les calculs :

1. Le produit de la moyenne par la somme des fréquences est toujours égal à la somme des produits de la variante par les fréquences, c'est-à-dire

2. La moyenne arithmétique de la somme des quantités variables est égale à la somme des moyennes arithmétiques de ces quantités :

3. La somme algébrique des écarts des valeurs individuelles d'une caractéristique par rapport à la moyenne est égale à zéro :

4. La somme des carrés des écarts des options par rapport à la moyenne est inférieure à la somme des carrés des écarts par rapport à toute autre valeur arbitraire, c'est-à-dire