Additionner des fractions avec des X. Comment résoudre des fractions algébriques ? Théorie et pratique

Les exemples avec des fractions sont l'un des éléments de base des mathématiques. Il existe de nombreux types d’équations avec des fractions. Vous trouverez ci-dessous des instructions détaillées pour résoudre des exemples de ce type.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - règles générales

Pour résoudre des exemples avec des fractions de tout type, qu'il s'agisse d'addition, de soustraction, de multiplication ou de division, vous devez connaître les règles de base :

• Afin d'ajouter des expressions fractionnaires avec le même dénominateur (le dénominateur est le nombre en bas de la fraction, le numérateur en haut), vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
• Afin de soustraire une deuxième expression fractionnaire (avec le même dénominateur) d’une fraction, vous devez soustraire leurs numérateurs et laisser le dénominateur identique.
• Pour additionner ou soustraire des fractions avec des dénominateurs différents, vous devez trouver le plus petit dénominateur commun.
• Afin de trouver un produit fractionnaire, vous devez multiplier les numérateurs et les dénominateurs et, si possible, réduire.
• Pour diviser une fraction par une fraction, on multiplie la première fraction par la deuxième fraction inversée.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - pratique

Règle 1, exemple 1 :

Calculez 3/4 +1/4.

Selon la règle 1, si deux (ou plus) fractions ont le même dénominateur, vous additionnez simplement leurs numérateurs. On obtient : 3/4 + 1/4 = 4/4. Si une fraction a le même numérateur et le même dénominateur, la fraction sera égale à 1.

Réponse : 3/4 + 1/4 = 4/4 = 1.

Règle 2, exemple 1 :

Calculer : 3/4 – 1/4

En utilisant la règle numéro 2, pour résoudre cette équation, vous devez soustraire 1 de 3 et laisser le dénominateur identique. Nous obtenons 2/4. Puisque deux 2 et 4 peuvent être réduits, nous réduisons et obtenons 1/2.

Réponse : 3/4 – 1/4 = 2/4 = 1/2.

Règle 3, exemple 1

Calculer : 3/4 + 1/6

Solution : En utilisant la 3ème règle, on trouve le plus petit dénominateur commun. Le plus petit dénominateur commun est le nombre divisible par les dénominateurs de toutes les expressions fractionnaires de l'exemple. Ainsi, nous devons trouver le nombre minimum qui sera divisible à la fois par 4 et par 6. Ce nombre est 12. Nous écrivons 12 comme dénominateur. Divisons 12 par le dénominateur de la première fraction, nous obtenons 3, multiplions par 3, écrivons. 3 au numérateur *3 et signe +. Divisez 12 par le dénominateur de la deuxième fraction, nous obtenons 2, multipliez 2 par 1, écrivez 2*1 au numérateur. On obtient donc une nouvelle fraction avec un dénominateur égal à 12 et un numérateur égal à 3*3+2*1=11. 11/12.

Réponse : 11/12

Règle 3, exemple 2 :

Calculez 3/4 – 1/6. Cet exemple est très similaire au précédent. Nous faisons toutes les mêmes étapes, mais au numérateur au lieu du signe +, nous écrivons un signe moins. On obtient : 3*3-2*1/12 = 9-2/12 = 7/12.

Réponse : 7/12

Règle 4, exemple 1 :

Calculer : 3/4 * 1/4

En utilisant la quatrième règle, on multiplie le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde et le numérateur de la première fraction par le numérateur de la seconde. 3*1/4*4 = 3/16.

Réponse : 3/16

Règle 4, exemple 2 :

Calculez 2/5 * 10/4.

Cette fraction peut être réduite. Dans le cas d'un produit, le numérateur de la première fraction et le dénominateur de la seconde ainsi que le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première sont annulés.

2 annules sur 4. 10 annules sur 5. Nous obtenons 1 * 2/2 = 1*1 = 1.

Réponse : 2/5 * 10/4 = 1

Règle 5, exemple 1 :

Calculer : 3/4 : 5/6

En utilisant la 5ème règle, on obtient : 3/4 : 5/6 = 3/4 * 6/5. On réduit la fraction selon le principe de l'exemple précédent et on obtient 9/10.

Réponse : 9/10.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - équations fractionnaires

Les équations fractionnaires sont des exemples où le dénominateur contient une inconnue. Afin de résoudre une telle équation, vous devez utiliser certaines règles.

Regardons un exemple :

Résolvez l'équation 15/3x+5 = 3

Rappelons qu'on ne peut pas diviser par zéro, c'est-à-dire la valeur du dénominateur ne doit pas être nulle. Lors de la résolution de tels exemples, cela doit être indiqué. Il existe à cet effet une OA (plage de valeurs admissibles).

Donc 3x+5 ≠ 0.
Donc : 3x ≠ 5.
x ≠ 5/3

À x = 5/3, l’équation n’a tout simplement pas de solution.

Après avoir spécifié l’ODZ, la meilleure façon de résoudre cette équation est de se débarrasser des fractions. Pour ce faire, nous présentons d'abord toutes les valeurs non fractionnaires sous forme de fraction, en l'occurrence le nombre 3. Nous obtenons : 15/(3x+5) = 3/1. Pour vous débarrasser des fractions, vous devez multiplier chacune d’elles par le plus petit dénominateur commun. Dans ce cas, ce sera (3x+5)*1. Séquençage :

1. Multipliez 15/(3x+5) par (3x+5)*1 = 15*(3x+5).
2. Ouvrez les parenthèses : 15*(3x+5) = 45x + 75.
3. On fait la même chose avec le côté droit de l’équation : 3*(3x+5) = 9x + 15.
4. Égalisez les côtés gauche et droit : 45x + 75 = 9x +15
5. Déplacez les X vers la gauche, les nombres vers la droite : 36x = – 50
6. Trouvez x : x = -50/36.
7. On réduit : -50/36 = -25/18

Réponse : ODZ x ≠ 5/3. x = -25/18.

Comment résoudre des exemples avec des fractions - inégalités fractionnaires

Les inégalités fractionnaires du type (3x-5)/(2-x)≥0 sont résolues en utilisant l'axe des nombres. Regardons cet exemple.

Séquençage :

• Nous assimilons le numérateur et le dénominateur à zéro : 1. 3x-5=0 => 3x=5 => x=5/3
  2. 2-x=0 => x=2
• Nous dessinons un axe numérique en y écrivant les valeurs résultantes.
• Tracez un cercle sous la valeur. Il existe deux types de cercles : remplis et vides. Un cercle plein signifie que la valeur donnée se situe dans la plage de solution. Un cercle vide indique que cette valeur n'est pas incluse dans la plage de solutions.
• Puisque le dénominateur ne peut pas être égal à zéro, il y aura un cercle vide sous le 2ème.

• Pour déterminer les signes, nous substituons n'importe quel nombre supérieur à deux dans l'équation, par exemple 3. (3*3-5)/(2-3)= -4. la valeur est négative, ce qui signifie que nous écrivons un moins au-dessus de la zone après les deux. Remplacez ensuite X par n'importe quelle valeur de l'intervalle de 5/3 à 2, par exemple 1. La valeur est à nouveau négative. Nous écrivons un moins. On répète la même chose avec la zone située jusqu'au 5/3. Nous remplaçons n'importe quel nombre inférieur à 5/3, par exemple 1. Encore une fois, moins.

• Puisque nous nous intéressons aux valeurs de x pour lesquelles l'expression sera supérieure ou égale à 0, et qu'il n'y a pas de telles valeurs (il y a des moins partout), cette inégalité n'a pas de solution, c'est-à-dire x = Ø (un ensemble vide).

Réponse : x = Ø

Fraction- une forme de représentation des nombres en mathématiques. La barre de fraction indique l’opération de division. Numérateur la fraction est appelée le dividende, et dénominateur- diviseur. Par exemple, dans une fraction, le numérateur est 5 et le dénominateur est 7.

Correct Une fraction dont le numérateur est supérieur à son dénominateur est appelée une fraction. Si une fraction est propre, alors le module de sa valeur est toujours inférieur à 1. Toutes les autres fractions sont faux.

La fraction s'appelle mixte, s'il s'écrit sous forme d'entier et de fraction. C'est la même chose que la somme de ce nombre et de la fraction :

La propriété principale d'une fraction

Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont multipliés par le même nombre, alors la valeur de la fraction ne changera pas, c'est-à-dire par exemple :

Réduire les fractions à un dénominateur commun

Pour amener deux fractions à un dénominateur commun, il vous faut :

1. Multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde
2. Multipliez le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première
3. Remplacez les dénominateurs des deux fractions par leur produit

Opérations avec des fractions

Ajout. Pour ajouter deux fractions dont vous avez besoin

1. Ajoutez les nouveaux numérateurs des deux fractions et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Soustraction. Pour soustraire une fraction d’une autre, il faut

1. Réduire les fractions à un dénominateur commun
2. Soustrayez le numérateur de la seconde du numérateur de la première fraction et laissez le dénominateur inchangé

Exemple:

Multiplication. Pour multiplier une fraction par une autre, multipliez leurs numérateurs et dénominateurs :

Division. Pour diviser une fraction par une autre, multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la seconde, et multipliez le dénominateur de la première fraction par le numérateur de la seconde :

Multiplier et diviser des fractions.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Cette opération est bien plus sympa que l’addition-soustraction ! Parce que c'est plus facile. Pour rappel, pour multiplier une fraction par une fraction, il faut multiplier les numérateurs (ce sera le numérateur du résultat) et les dénominateurs (ce sera le dénominateur). C'est-à-dire:

Par exemple:

Tout est extrêmement simple. Et s’il vous plaît, ne cherchez pas de dénominateur commun ! On n'a pas besoin de lui ici...

Pour diviser une fraction par une fraction, il faut inverser deuxième(c'est important !) fraction et multipliez-les, c'est-à-dire :

Par exemple:

Si vous rencontrez une multiplication ou une division avec des nombres entiers et des fractions, ce n'est pas grave. Comme pour l'addition, on fait une fraction à partir d'un nombre entier avec un au dénominateur - et c'est parti ! Par exemple:

Au lycée, on est souvent confronté à des fractions de trois étages (voire quatre étages !). Par exemple:

Comment puis-je rendre cette fraction décente ? Oui, très simple ! Utilisez la division en deux points :

Mais n'oubliez pas l'ordre de division ! Contrairement à la multiplication, c'est très important ici ! Bien entendu, on ne confondra pas 4:2 ou 2:4. Mais il est facile de se tromper sur une fraction de trois étages. A noter par exemple :

Dans le premier cas (expression de gauche) :

Dans la seconde (expression de droite) :

Sentez-vous la différence ? 4 et 1/9 !

Qu’est-ce qui détermine l’ordre de division ? Soit avec des parenthèses, soit (comme ici) avec la longueur des lignes horizontales. Développez votre œil. Et s'il n'y a pas de parenthèses ni de tirets, comme :

puis divise et multiplie dans l'ordre, de gauche à droite!

Et une autre technique très simple et importante. Dans des actions avec diplômes, cela vous sera tellement utile ! Divisons un par n'importe quelle fraction, par exemple par 13/15 :

Le coup s'est retourné ! Et cela arrive toujours. Lorsque l’on divise 1 par n’importe quelle fraction, le résultat est la même fraction, mais à l’envers.

C'est tout pour les opérations avec des fractions. La chose est assez simple, mais elle donne largement assez d'erreurs. Tenez compte des conseils pratiques, et il y en aura moins (erreurs) !

Conseils pratiques :

1. La chose la plus importante lorsque l’on travaille avec des expressions fractionnaires est la précision et l’attention ! Ce ne sont pas des mots généraux, ni de bons vœux ! C'est une nécessité absolue ! Effectuez tous les calculs de l'examen d'État unifié comme une tâche à part entière, ciblée et claire. Il est préférable d’écrire deux lignes supplémentaires dans votre brouillon plutôt que de faire des erreurs lors de vos calculs mentaux.

2. Dans des exemples avec différents types de fractions, passons aux fractions ordinaires.

3. Nous réduisons toutes les fractions jusqu'à ce qu'elles s'arrêtent.

4. Nous réduisons les expressions fractionnaires à plusieurs niveaux aux expressions ordinaires en utilisant la division par deux points (nous suivons l'ordre de division !).

5. Divisez une unité par une fraction dans votre tête, en retournant simplement la fraction.

Voici les tâches que vous devez absolument résoudre. Les réponses sont données après toutes les tâches. Utilisez le matériel sur ce sujet et les conseils pratiques. Estimez combien d’exemples vous avez pu résoudre correctement. La première fois! Sans calculatrice ! Et tirez les bonnes conclusions...

N'oubliez pas : la bonne réponse est reçu dès la deuxième (surtout la troisième) fois ne compte pas ! Telle est la dure vie.

Donc, résoudre en mode examen ! D'ailleurs, il s'agit déjà d'une préparation à l'examen d'État unifié. Nous résolvons l'exemple, le vérifions, résolvons le suivant. Nous avons tout décidé - vérifié à nouveau du début au dernier. Mais, seulement Alors regarde les réponses.

Calculer:

As-tu décidé?

Nous recherchons des réponses qui correspondent aux vôtres. Je les ai volontairement notées dans le désordre, loin de la tentation, pour ainsi dire... Les voici, les réponses, écrites avec des points-virgules.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Maintenant, nous tirons des conclusions. Si tout s'est bien passé, je suis content pour toi ! Les calculs de base avec des fractions ne sont pas votre problème ! Vous pouvez faire des choses plus sérieuses. Sinon...

Vous avez donc l'un des deux problèmes suivants. Ou les deux à la fois.) Manque de connaissances et (ou) inattention. Mais ça soluble Problèmes.

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Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

Il existe deux types d'addition de fractions :

1. Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires
2. Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Tout d’abord, apprenons l’addition de fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé. Par exemple, ajoutons les fractions et . Additionnez les numérateurs et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous ajoutez une pizza à une pizza, vous obtenez une pizza :

Exemple 2. Ajoutez des fractions et .

La réponse s’est avérée être une fraction impropre. Lorsque la fin de la tâche arrive, il est d'usage de se débarrasser des fractions impropres. Pour vous débarrasser d’une fraction impropre, vous devez en sélectionner la totalité. Dans notre cas, la partie entière est facilement isolée - deux divisé par deux égale un :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on pense à une pizza divisée en deux parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez une pizza entière :

Exemple 3. Ajoutez des fractions et .

Encore une fois, nous additionnons les numérateurs et laissons le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous ajoutez plus de pizza à la pizza, vous obtenez de la pizza :

Exemple 4. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Les numérateurs doivent être additionnés et le dénominateur laissé inchangé :

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez des pizzas à une pizza et ajoutez plus de pizzas, vous obtenez 1 pizza entière et plus de pizzas.

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à additionner des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour additionner des fractions avec le même dénominateur, vous devez additionner leurs numérateurs et laisser le dénominateur inchangé ;

Additionner des fractions avec différents dénominateurs

Apprenons maintenant à additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Lors de l'addition de fractions, les dénominateurs des fractions doivent être les mêmes. Mais ils ne sont pas toujours les mêmes.

Par exemple, des fractions peuvent être additionnées car elles ont les mêmes dénominateurs.

Mais les fractions ne peuvent pas être additionnées immédiatement, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Il existe plusieurs façons de réduire des fractions au même dénominateur. Aujourd'hui, nous n'en examinerons qu'une, car les autres méthodes peuvent sembler compliquées pour un débutant.

L'essence de cette méthode est que l'on recherche d'abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le LCM est ensuite divisé par le dénominateur de la première fraction pour obtenir le premier facteur supplémentaire. Ils font de même avec la deuxième fraction : le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu.

Les numérateurs et dénominateurs des fractions sont ensuite multipliés par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces actions, des fractions ayant des dénominateurs différents se transforment en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions.

Exemple 1. Additionnons les fractions et

Tout d’abord, on trouve le plus petit commun multiple des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 6.

LCM (2 et 3) = 6

Revenons maintenant aux fractions et . Tout d’abord, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction et obtenez le premier facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 6 par 3, nous obtenons 2.

Le nombre 2 résultant est le premier multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la première fraction. Pour ce faire, tracez un petit trait oblique sur la fraction et notez le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

On fait de même avec la deuxième fraction. Nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction et obtenons le deuxième facteur supplémentaire. LCM est le nombre 6 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 2. Divisez 6 par 2, nous obtenons 3.

Le nombre 3 résultant est le deuxième multiplicateur supplémentaire. Nous l'écrivons jusqu'à la deuxième fraction. Encore une fois, nous traçons une petite ligne oblique sur la deuxième fraction et notons le facteur supplémentaire trouvé au-dessus :

Maintenant, nous avons tout prêt pour l'ajout. Il reste à multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Regardez attentivement où nous en sommes arrivés. Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment additionner de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Ceci complète l’exemple. Il s'avère ajouter .

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous ajoutez de la pizza à une pizza, vous obtenez une pizza entière et un autre sixième de pizza :

La réduction de fractions au même dénominateur (commun) peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant les fractions et à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces deux fractions seront représentées par les mêmes morceaux de pizza. La seule différence sera que cette fois ils seront répartis en parts égales (réduites au même dénominateur).

Le premier dessin représente une fraction (quatre pièces sur six) et le deuxième dessin représente une fraction (trois pièces sur six). En ajoutant ces pièces, nous obtenons (sept pièces sur six). Cette fraction est impropre, nous en avons donc mis en évidence toute la partie. En conséquence, nous avons obtenu (une pizza entière et une autre sixième pizza).

Veuillez noter que nous avons décrit cet exemple de manière trop détaillée. Dans les établissements d’enseignement, il n’est pas habituel d’écrire avec autant de détails. Vous devez être capable de trouver rapidement le LCM des dénominateurs et des facteurs supplémentaires, ainsi que de multiplier rapidement les facteurs supplémentaires trouvés par vos numérateurs et dénominateurs. Si nous étions à l’école, nous devrions écrire cet exemple comme suit :

Mais il y a aussi un autre revers à la médaille. Si vous ne prenez pas de notes détaillées dès les premières étapes de l’étude des mathématiques, des questions de ce type commencent à apparaître. « D'où vient ce nombre ? », « Pourquoi les fractions se transforment-elles soudainement en fractions complètement différentes ? «.

Pour faciliter l'addition de fractions avec des dénominateurs différents, vous pouvez utiliser les instructions étape par étape suivantes :

1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions ;
2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction ;
3. Multiplier les numérateurs et dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires ;
4. Additionnez les fractions qui ont les mêmes dénominateurs ;
5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez sa partie entière ;

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression .

Utilisons les instructions données ci-dessus.

Étape 1. Trouver le LCM des dénominateurs des fractions

Trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Les dénominateurs des fractions sont les nombres 2, 3 et 4

Étape 2. Divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction et obtenez un facteur supplémentaire pour chaque fraction

Divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 2. Divisez 12 par 2, nous obtenons 6. Nous avons le premier facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 4. Nous l'écrivons au-dessus de la deuxième fraction :

Maintenant, nous divisons le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 12, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Étape 3. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs des fractions par leurs facteurs supplémentaires

On multiplie les numérateurs et les dénominateurs par leurs facteurs supplémentaires :

Étape 4. Additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Il ne reste plus qu'à additionner ces fractions. Additionnez-le :

L'ajout ne tenait pas sur une seule ligne, nous avons donc déplacé l'expression restante vers la ligne suivante. Ceci est autorisé en mathématiques. Lorsqu'une expression ne tient pas sur une ligne, elle est déplacée sur la ligne suivante, et il faut mettre un signe égal (=) à la fin de la première ligne et au début de la nouvelle ligne. Le signe égal sur la deuxième ligne indique qu'il s'agit d'une continuation de l'expression qui figurait sur la première ligne.

Étape 5. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, sélectionnez-en la partie entière

Notre réponse s’est avérée être une fraction impropre. Il faut en souligner toute une partie. Nous soulignons :

Nous avons reçu une réponse

Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs

Il existe deux types de soustraction de fractions :

1. Soustraire des fractions avec les mêmes dénominateurs
2. Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Tout d’abord, apprenons à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Tout est simple ici. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction, mais laisser le dénominateur inchangé.

Par exemple, trouvons la valeur de l'expression . Pour résoudre cet exemple, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé. Faisons cela:

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en quatre parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 2. Trouvez la valeur de l'expression.

Encore une fois, du numérateur de la première fraction, soustrayez le numérateur de la deuxième fraction et laissez le dénominateur inchangé :

Cet exemple peut être facilement compris si l’on se souvient de la pizza, qui est divisée en trois parties. Si vous coupez des pizzas dans une pizza, vous obtenez des pizzas :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Cet exemple se résout exactement de la même manière que les précédents. Du numérateur de la première fraction, vous devez soustraire les numérateurs des fractions restantes :

Comme vous pouvez le constater, il n’y a rien de compliqué à soustraire des fractions ayant les mêmes dénominateurs. Il suffit de comprendre les règles suivantes :

1. Pour en soustraire un autre à une fraction, vous devez soustraire le numérateur de la deuxième fraction du numérateur de la première fraction et laisser le dénominateur inchangé ;
2. Si la réponse s'avère être une fraction impropre, vous devez alors en souligner toute la partie.

Soustraire des fractions avec des dénominateurs différents

Par exemple, vous pouvez soustraire une fraction d’une fraction car les fractions ont les mêmes dénominateurs. Mais vous ne pouvez pas soustraire une fraction d'une fraction, car ces fractions ont des dénominateurs différents. Dans de tels cas, les fractions doivent être réduites au même dénominateur (commun).

Le dénominateur commun est trouvé en utilisant le même principe que celui que nous avons utilisé pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents. Tout d’abord, trouvez le LCM des dénominateurs des deux fractions. Ensuite, le LCM est divisé par le dénominateur de la première fraction et le premier facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la première fraction. De même, le LCM est divisé par le dénominateur de la deuxième fraction et un deuxième facteur supplémentaire est obtenu, qui est écrit au-dessus de la deuxième fraction.

Les fractions sont ensuite multipliées par leurs facteurs supplémentaires. À la suite de ces opérations, les fractions ayant des dénominateurs différents sont converties en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions.

Exemple 1. Trouvez le sens de l’expression :

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc les réduire au même dénominateur (commun).

Nous trouvons d’abord le LCM des dénominateurs des deux fractions. Le dénominateur de la première fraction est le nombre 3 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 12.

LCM (3 et 4) = 12

Revenons maintenant aux fractions et

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de la première fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la première fraction est le nombre 3. Divisez 12 par 3, nous obtenons 4. Écrivez un quatre au-dessus de la première fraction :

On fait de même avec la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 12 et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 4. Divisez 12 par 4, nous obtenons 3. Écrivez un trois sur la deuxième fraction :

Nous sommes maintenant prêts pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs. Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Prenons cet exemple jusqu'au bout :

Nous avons reçu une réponse

Essayons de représenter notre solution à l'aide d'un dessin. Si vous coupez une pizza dans une pizza, vous obtenez une pizza

Ceci est la version détaillée de la solution. Si nous étions à l’école, nous devrions résoudre cet exemple plus rapidement. Une telle solution ressemblerait à ceci :

La réduction de fractions à un dénominateur commun peut également être représentée à l’aide d’une image. En réduisant ces fractions à un dénominateur commun, nous obtenons les fractions et . Ces fractions seront représentées par les mêmes parts de pizza, mais cette fois elles seront divisées en parts égales (réduites au même dénominateur) :

La première image montre une fraction (huit pièces sur douze) et la deuxième image montre une fraction (trois pièces sur douze). En coupant trois morceaux sur huit morceaux, on obtient cinq morceaux sur douze. La fraction décrit ces cinq pièces.

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Ces fractions ont des dénominateurs différents, vous devez donc d'abord les réduire au même dénominateur (commun).

Trouvons le LCM des dénominateurs de ces fractions.

Les dénominateurs des fractions sont les nombres 10, 3 et 5. Le plus petit commun multiple de ces nombres est 30.

LCM(10, 3, 5) = 30

Nous trouvons maintenant des facteurs supplémentaires pour chaque fraction. Pour ce faire, divisez le LCM par le dénominateur de chaque fraction.

Trouvons un facteur supplémentaire pour la première fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la première fraction est le nombre 10. Divisez 30 par 10, nous obtenons le premier facteur supplémentaire 3. Nous l'écrivons au-dessus de la première fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la deuxième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la deuxième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la deuxième fraction est le nombre 3. Divisez 30 par 3, nous obtenons le deuxième facteur supplémentaire 10. On l'écrit au-dessus de la deuxième fraction :

Nous trouvons maintenant un facteur supplémentaire pour la troisième fraction. Divisez le LCM par le dénominateur de la troisième fraction. LCM est le nombre 30, et le dénominateur de la troisième fraction est le nombre 5. Divisez 30 par 5, nous obtenons le troisième facteur supplémentaire 6. Nous l'écrivons au-dessus de la troisième fraction :

Maintenant, tout est prêt pour la soustraction. Il reste à multiplier les fractions par leurs facteurs supplémentaires :

Nous sommes arrivés à la conclusion que les fractions ayant des dénominateurs différents se sont transformées en fractions ayant les mêmes dénominateurs (communs). Et nous savons déjà comment soustraire de telles fractions. Terminons cet exemple.

La suite de l’exemple ne tiendra pas sur une seule ligne, nous déplaçons donc la suite sur la ligne suivante. N'oubliez pas le signe égal (=) sur la nouvelle ligne :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, et tout semble nous convenir, mais c'est trop encombrant et moche. Nous devrions faire plus simple. Ce qui peut être fait? Vous pouvez raccourcir cette fraction.

Pour réduire une fraction, vous devez diviser son numérateur et son dénominateur par (PGCD) des nombres 20 et 30.

On retrouve donc le pgcd des nombres 20 et 30 :

Revenons maintenant à notre exemple et divisons le numérateur et le dénominateur de la fraction par le pgcd trouvé, c'est-à-dire par 10

Nous avons reçu une réponse

Multiplier une fraction par un nombre

Pour multiplier une fraction par un nombre, vous devez multiplier le numérateur de la fraction donnée par ce nombre et laisser le dénominateur identique.

Exemple 1. Multipliez une fraction par le nombre 1.

Multipliez le numérateur de la fraction par le nombre 1

L'enregistrement peut être compris comme prenant la moitié d'une fois. Par exemple, si vous prenez une pizza une fois, vous obtenez une pizza

Grâce aux lois de la multiplication, nous savons que si le multiplicande et le facteur sont inversés, le produit ne changera pas. Si l’expression s’écrit , alors le produit sera toujours égal à . Encore une fois, la règle pour multiplier un nombre entier et une fraction fonctionne :

Cette notation peut être comprise comme prenant la moitié de un. Par exemple, s'il y a 1 pizza entière et qu'on en prend la moitié, alors on aura une pizza :

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la fraction par 4

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

L'expression peut être comprise comme prenant deux quarts 4 fois. Par exemple, si vous prenez 4 pizzas, vous obtiendrez deux pizzas entières

Et si on échange le multiplicande et le multiplicateur, on obtient l’expression . Elle sera également égale à 2. Cette expression peut être comprise comme prenant deux pizzas sur quatre pizzas entières :

Multiplier des fractions

Pour multiplier des fractions, vous devez multiplier leurs numérateurs et dénominateurs. Si la réponse s’avère être une fraction impropre, vous devez en souligner toute la partie.

Exemple 1. Trouvez la valeur de l'expression.

Nous avons reçu une réponse. Il est conseillé de réduire cette fraction. La fraction peut être réduite de 2. La solution finale prendra alors la forme suivante :

L'expression peut être comprise comme prenant une pizza sur une demi-pizza. Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Comment prélever les deux tiers de cette moitié ? Vous devez d’abord diviser cette moitié en trois parties égales :

Et prenez-en deux parmi ces trois pièces :

Nous ferons des pizzas. Rappelez-vous à quoi ressemble la pizza lorsqu'elle est divisée en trois parties :

Un morceau de cette pizza et les deux morceaux que nous avons pris auront les mêmes dimensions :

En d’autres termes, nous parlons d’une pizza de même taille. La valeur de l’expression est donc

Exemple 2. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse était une fraction impropre. Soulignons toute cette partie :

Exemple 3. Trouver la valeur d'une expression

Multipliez le numérateur de la première fraction par le numérateur de la deuxième fraction et le dénominateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction :

La réponse s'est avérée être une fraction régulière, mais ce serait bien si elle était raccourcie. Pour réduire cette fraction, vous devez diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le plus grand diviseur commun (PGCD) des nombres 105 et 450.

Trouvons donc le pgcd des nombres 105 et 450 :

Maintenant, nous divisons le numérateur et le dénominateur de notre réponse par le pgcd que nous avons maintenant trouvé, c'est-à-dire par 15

Représenter un nombre entier sous forme de fraction

Tout nombre entier peut être représenté sous forme de fraction. Par exemple, le chiffre 5 peut être représenté par . Cela ne changera pas le sens de cinq, puisque l'expression signifie « le nombre cinq divisé par un », et celui-ci, comme nous le savons, est égal à cinq :

Nombres réciproques

Nous allons maintenant nous familiariser avec un sujet très intéressant en mathématiques. C'est ce qu'on appelle des "numéros inversés".

Définition. Inverser le numéroun est un nombre qui, multiplié parun en donne un.

Remplaçons dans cette définition la variable un numéro 5 et essayez de lire la définition :

Inverser le numéro 5 est un nombre qui, multiplié par 5 en donne un.

Est-il possible de trouver un nombre qui, multiplié par 5, donne un ? Il s'avère que c'est possible. Imaginons cinq sous forme de fraction :

Multipliez ensuite cette fraction par elle-même, échangez simplement le numérateur et le dénominateur. En d’autres termes, multiplions la fraction par elle-même, uniquement à l’envers :

Que se passera-t-il à la suite de cela ? Si nous continuons à résoudre cet exemple, nous obtenons un :

Cela signifie que l’inverse du nombre 5 est le nombre , puisque lorsque vous multipliez 5 par vous obtenez un.

L’inverse d’un nombre peut également être trouvé pour tout autre nombre entier.

Vous pouvez également trouver l’inverse de toute autre fraction. Pour ce faire, retournez-le simplement.

Diviser une fraction par un nombre

Disons que nous mangeons une demi-pizza :

Divisons-le également entre deux. Quelle quantité de pizza chaque personne recevra-t-elle ?

On constate qu'après avoir divisé la moitié de la pizza, on obtient deux morceaux égaux dont chacun constitue une pizza. Donc tout le monde aura une pizza.

La division des fractions se fait à l'aide d'inverses. Les nombres réciproques vous permettent de remplacer la division par la multiplication.

Pour diviser une fraction par un nombre, vous devez multiplier la fraction par l’inverse du diviseur.

En utilisant cette règle, nous écrirons la division de notre moitié de pizza en deux parties.

Vous devez donc diviser la fraction par le nombre 2. Ici, le dividende est la fraction et le diviseur est le nombre 2.

Pour diviser une fraction par le nombre 2, vous devez multiplier cette fraction par l'inverse du diviseur 2. L'inverse du diviseur 2 est la fraction. Il faut donc multiplier par

J'ai moi-même été confronté au fait que les fractions s'avéraient être un sujet assez difficile pour mes enfants.

Il existe un très bon jeu Nikitin's Fractions, il est destiné aux enfants d'âge préscolaire, mais aussi à l'école il aidera parfaitement l'enfant à comprendre ce qu'elles sont - les fractions, leurs relations les unes avec les autres..., et le tout de manière accessible, visuelle et forme passionnante.

Il se compose de douze cercles multicolores. Un cercle est entier et tous les autres sont divisés en parties égales - deux, trois... (jusqu'à douze).

L'enfant est invité à accomplir des tâches de jeu simples, par exemple :

Comment s’appellent les parties des cercles ? ou

Quelle partie est la plus grande ? (mettez le plus petit au-dessus du plus grand.)

Cette technique m'a aidé. En général, je regrette vraiment que tous ces développements de Nikitine n'aient pas attiré mon attention lorsque les enfants étaient encore bébés.

Vous pouvez créer le jeu vous-même ou en acheter un tout fait et en savoir plus sur tout -.

La résolution de fractions peut également être expliquée à l’aide de briques Lego. Il développe non seulement l'imagination, mais aussi la pensée créative et logique, ce qui signifie qu'il peut également être utilisé comme support pédagogique.

Alicia Zimmerman a eu l'idée d'utiliser les blocs du célèbre designer pour enseigner aux enfants les bases des mathématiques.

Et voici comment expliquer les fractions en utilisant des Lego.





La pratique montre que la plupart des difficultés surviennent lors de l'addition (soustraction) de fractions avec des dénominateurs différents et lors de la division de fractions.

Des difficultés surviennent en raison d'instructions incorrectes dans le manuel, comme diviser une fraction par une fraction.

Pour diviser une fraction par une fraction, vous multipliez le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction et le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction.

Un enfant de 4e peut-il comprendre cela et ne pas se tromper ? NON!

Et le professeur nous l'a expliqué de manière élémentaire : il faut retourner la deuxième fraction puis la multiplier !

Même chose avec l'ajout.

Pour additionner deux fractions, vous devez multiplier le numérateur de la première fraction par le dénominateur de la deuxième fraction, multiplier le numérateur de la deuxième fraction par le dénominateur de la première fraction, additionner les nombres obtenus et les écrire au numérateur. Et au dénominateur, vous devez écrire le produit des dénominateurs des fractions. Après cela, la fraction résultante peut (ou doit) être réduite.

Et c'est plus simple : réduisez les fractions à un dénominateur commun, qui est égal au LCM des dénominateurs, puis additionnez les numérateurs.

Montrez-leur avec un exemple clair. Par exemple, coupez une pomme en 4 parties, mettez-la en 8 parties, ajoutez 12 parties dans un tout, ajoutez plusieurs parties, soustrayez. En même temps, expliquez sur papier en utilisant des règles. Règles d'addition et de soustraction. diviser des fractions, ainsi que comment isoler un tout d'une fraction impropre - apprenez tout cela en manipulant une pomme. Ne précipitez pas les enfants ; laissez-les trier soigneusement les tranches avec votre aide.

Apprendre aux enfants à résoudre des fractions, en particulier, est assez courant et ne créera pas beaucoup de problèmes. La chose la plus simple que vous puissiez faire est de prendre quelque chose d'entier, par exemple une mandarine, ou tout autre fruit, de le diviser en parties et d'utiliser un exemple pour montrer la soustraction, l'addition et d'autres opérations avec des morceaux de ce fruit, qui seront des fractions du entier. Tout doit être expliqué et montré, et le facteur final sera d'expliquer et de résoudre des problèmes ensemble à l'aide d'exemples mathématiques jusqu'à ce que l'enfant apprenne à effectuer ces tâches lui-même.

La figure montre clairement ce qui correspond à quoi et à quoi ressemble la fraction sur un objet réel, c'est exactement ainsi qu'il faut l'expliquer.



Vous devez aborder ce problème de manière approfondie, car résoudre des fractions vous sera utile dans la vie. Il faut en la matière, comme on dit, être sur un pied d'égalité avec les enfants, et expliquer la théorie dans une langue qu'ils comprennent, par exemple la langue du gâteau ou de la mandarine. Vous devez diviser le gâteau en tâches et le donner à des amis, après quoi l'enfant commencera à comprendre l'essence de la résolution de fractions. Ne commencez pas par des fractions lourdes, commencez par les concepts de 1/2, 1/3, 1/10. Commencez par soustraire et additionner, puis passez à des concepts plus complexes comme la multiplication et la division.

Il existe différents types de problèmes avec les fractions. Un enfant ne peut pas comprendre qu'une seconde et cinq dixièmes sont la même chose, d'autres sont perplexes en ramenant différentes fractions au même dénominateur, et d'autres encore sont confus par la division des fractions. Il n’y a donc pas de règle unique pour toutes les occasions.

L’essentiel dans les problèmes impliquant des fractions est de ne pas rater le moment où ce qui est compréhensible cesse de l’être. Retournez aux fourneaux et recommencez tout, même si cela semble misérablement primitif. Par exemple, revenez à qu'est-ce qu'une seconde.

L'enfant doit comprendre que les concepts mathématiques sont abstraits, qu'un même phénomène peut être décrit avec des mots différents et exprimé avec des nombres différents.

J'aime la réponse donnée par Mefody66. J'ajouterai de nombreuses années de pratique personnelle : apprendre à résoudre des problèmes avec des fractions (et non résoudre des fractions ; résoudre des fractions est impossible, tout comme il est impossible de résoudre des nombres) est assez simple, il suffit d'être proche de l'enfant lorsqu'il commence à résoudre de tels problèmes, et corriger sa solution à temps, afin que les erreurs, inévitables dans tout apprentissage, n'aient pas le temps de s'installer dans l'esprit de l'enfant. Réapprendre est plus difficile que d’apprendre quelque chose de nouveau. Et résolvez ces problèmes autant que possible. Ce serait une bonne chose de rendre automatique la solution de ces tâches. La capacité de résoudre des problèmes avec des fractions ordinaires est aussi importante dans un cours de mathématiques à l'école que la connaissance de la table de multiplication. Vous devez donc prendre le temps d’observer comment votre enfant résout ces problèmes.

Et ne vous fiez pas trop au manuel : les enseignants des écoles expliquent exactement ce que Mefody66 a écrit dans sa réponse. Il est préférable de parler avec le professeur, de découvrir avec quels mots le professeur a expliqué ce sujet. Et utilisez si possible les mêmes mots et phrases (afin de ne pas trop confondre l'enfant)

Aussi : je vous conseille d'utiliser des exemples visuels uniquement au stade initial de l'explication, puis de résumer rapidement et de passer à l'algorithme de solution. Sinon, la clarté peut être préjudiciable lors de la résolution de problèmes plus complexes. Par exemple, si vous devez additionner des fractions avec les dénominateurs 29 et 121, quel type d'aide visuelle vous aidera ? Cela ne fera que confondre.

Les fractions sont l'un de ces sujets mathématiques bénis où il n'y a pas d'abstractions qui ne soient pas applicables au cas. Des produits doivent être utilisés (sur des gâteaux, comme Juanita Solis dans Desperate Housewives - une méthode d'explication vraiment sympa). Tous ces numérateurs-dénominateurs viennent plus tard. Ensuite, il faut que l'enfant comprenne que diviser par une fraction n'est plus du tout une diminution, et que la multiplication n'est pas une augmentation. Ici, il vaut mieux montrer comment diviser par une fraction sous forme de multiplication par inversion. Présentez l'abréviation de manière ludique ; si elles sont divisées par un nombre, puis divisez, cela s'avère presque être du Sudoku, si cela vous intéresse. L'essentiel est de remarquer les malentendus à temps, car plus loin il y aura des sujets plus intéressants qui ne sont pas faciles à comprendre. Par conséquent, entraînez-vous davantage à résoudre des fractions et tout ira mieux rapidement. Pour moi, le plus pur humaniste, loin du moindre degré d’abstraction, les fractions ont toujours été plus claires que les autres sujets.