Additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs. Additionner et soustraire des fractions algébriques avec différents dénominateurs (8e année)

Comment effectuer l'addition de fractions algébriques (rationnelles) ?

Pour additionner des fractions algébriques, il vous faut :

1) Trouvez la plus petite de ces fractions.

2) Trouvez un facteur supplémentaire pour chaque fraction (pour ce faire, divisez le nouveau dénominateur par l'ancien).

3) Multipliez le facteur supplémentaire par le numérateur et le dénominateur.

4) Additionner des fractions avec des dénominateurs similaires

(pour additionner des fractions avec les mêmes dénominateurs, vous devez additionner leurs numérateurs, mais laisser le dénominateur identique).

Exemples d'ajout de fractions algébriques.

Le plus petit dénominateur commun est constitué de tous les facteurs pris à leur plus grande puissance. Dans ce cas, il est égal à ab.

Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, divisez le nouveau dénominateur par l'ancien. ab:a=b, ab:(ab)=1.

Le numérateur a un facteur commun a. Nous le retirons de la parenthèse et réduisons la fraction de a :

Les dénominateurs de ces fractions sont des polynômes, vous devez donc les essayer. Au dénominateur de la première fraction il y a un facteur commun x, dans la seconde - 5. On les sort entre parenthèses :

Le dénominateur commun est constitué de tous les facteurs inclus dans le dénominateur et est égal à 5x(x-5).

Pour trouver un facteur supplémentaire pour chaque fraction, divisez le nouveau dénominateur par l'ancien.

(Si vous n'aimez pas la division, vous pouvez procéder différemment. Nous raisonnons ainsi : par quoi avez-vous besoin de multiplier l'ancien dénominateur pour en obtenir un nouveau ? Pour obtenir 5x(x-5) à partir de x(x-5 ), vous devez multiplier la première expression par 5. Pour qu'à partir de 5 (x-5) pour obtenir 5x(x-5), vous devez multiplier la 1ère expression par x Ainsi, le facteur supplémentaire à la première fraction est. 5, au deuxième - x).

Le numérateur est le carré complet de la différence. Nous le réduisons selon la formule et réduisons la fraction de (x-5) :

Le dénominateur de la première fraction est un polynôme. Il ne peut pas être factorisé, donc le dénominateur commun de ces fractions est égal au produit des dénominateurs m(m+3) :

Polynômes dans les dénominateurs des fractions. Au dénominateur de la première fraction on retire le facteur commun x, au dénominateur de la deuxième fraction - 2 :

Le dénominateur de la première fraction entre parenthèses est la différence des carrés.

Algorithme d'addition (soustraction) de fractions algébriques

1. Réduire toutes les fractions à un dénominateur commun ; s'ils avaient les mêmes dénominateurs dès le début, alors cette étape de l'algorithme est omise.
2. Ajoutez (soustrayez) les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs.

Exemple 1. Suivez ces étapes :

UN) ; b) ; .

V) Solution.

Pour chaque paire de fractions algébriques données ici, le dénominateur commun a été trouvé ci-dessus, dans la leçon « Propriétés de base des fractions algébriques ». Sur la base de l'exemple ci-dessus, nous obtenons :
La chose la plus difficile dans l’algorithme ci-dessus est, bien sûr, la première étape : trouver un dénominateur commun et réduire les fractions à un dénominateur commun. Dans l'exemple 1, vous n'avez peut-être pas ressenti cette difficulté, puisque nous avons utilisé des résultats tout faits du § 2.

Pour développer une règle permettant de trouver un dénominateur commun, analysons l'exemple 1.

Pour les fractions, le dénominateur commun est le nombre 15 - il est divisible par 3 et par 5 et est leur commun multiple (même le plus petit commun multiple).
Pour les fractions, le dénominateur commun est le monôme. Il est divisé par les deux et par, c'est-à-dire par les deux monômes, qui servent de dénominateurs de fractions. Attention : le nombre 12 est le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6. La variable apparaît au dénominateur de la première fraction avec un exposant de 2, au dénominateur de la deuxième fraction avec un exposant de 3. Cette plus grande valeur de l’exposant 3 apparaît dans le dénominateur commun. Pour les fractions, le dénominateur commun est le produit
- il est divisible à la fois par le dénominateur et par le dénominateur.
Pour trouver un dénominateur commun, il est naturellement nécessaire de factoriser tous les dénominateurs donnés (si cela n'a pas été préparé dans la condition). Et puis vous devez travailler par étapes : trouver le plus petit commun multiple pour les coefficients numériques (nous parlons de coefficients entiers), déterminer pour chaque facteur de lettre apparaissant plusieurs fois l'exposant le plus grand, rassembler tout cela en un seul produit.

Vous pouvez maintenant concevoir l’algorithme correspondant.

Algorithme pour trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions algébriques

Factorisez tous les dénominateurs (coefficients numériques, puissances des variables, binômes, trinômes).

Trouver le plus petit commun multiple des coefficients numériques présents dans les factorisations compilées à la première étape.

Ajouter au produit obtenu à la troisième étape le coefficient numérique trouvé à la deuxième étape ; le résultat final est un dénominateur commun.

Commentaire. En fait, vous pouvez trouver autant de dénominateurs communs que vous le souhaitez pour deux fractions algébriques. Par exemple, pour les fractions Et le dénominateur commun peut être le nombre 30, le nombre 60, et même un monôme . Le fait est que 30, 60 et peut être divisé par 3 ou par 5. Pour les fractions Et dénominateur commun, à l'exception du monôme trouvé ci-dessus , peut être Et . Quel est le monôme mieux que , comment ? C'est plus simple (en apparence). On ne l'appelle parfois même pas le dénominateur commun, mais le plus petit dénominateur commun. Ainsi, l'algorithme donné est un algorithme pour trouver le plus simple dénominateur commun de plusieurs fractions algébriques, un algorithme pour trouver le plus petit dénominateur commun.

Revenons à l'exemple 1, a. Pour additionner des fractions algébriques et , il fallait non seulement trouver un dénominateur commun (le nombre 15), mais aussi trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions qui permettraient de ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour une fraction, un tel facteur supplémentaire est le nombre 5 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 5), pour une fraction - le nombre 3 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 3). Un facteur supplémentaire est le quotient de la division du dénominateur commun par le dénominateur d'une fraction donnée.

Généralement, la notation suivante est utilisée :

Revenons à l'exemple 1.6. Le dénominateur commun des fractions est le monôme. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est égal à (depuis ), pour la deuxième fraction il est égal à 2 (depuis ). Cela signifie que la solution de l’exemple 1.6 peut s’écrire comme suit :

.

Un algorithme permettant de trouver un dénominateur commun pour plusieurs fractions algébriques a été formulé ci-dessus. Mais l'expérience montre que cet algorithme n'est pas toujours clair pour les étudiants, nous donnerons donc une formulation légèrement modifiée.

La règle pour réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

Factorisez tous les dénominateurs.

À partir du premier dénominateur, écrivez le produit de tous ses facteurs, à partir des dénominateurs restants, ajoutez les facteurs manquants à ce produit.

Le produit résultant sera le (nouveau) dénominateur commun.

Trouvez des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions : ce seront les produits des facteurs qui sont dans le nouveau dénominateur, mais qui ne sont pas dans l'ancien dénominateur.

Écrivez chaque fraction avec un nouveau numérateur et un nouveau dénominateur (commun).

Exemple 2. Simplifier une expression .

V)
Première étape. Trouvons le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires.
Nous avons

On prend le premier dénominateur dans son intégralité, et à partir du second on ajoute un facteur qui n'est pas dans le premier dénominateur. Trouvons un dénominateur commun.

Il est pratique de disposer les enregistrements sous forme de tableau :

Deuxième étape.
Effectuons les transformations :

Si vous avez une certaine expérience, vous pouvez sauter la première étape et la réaliser simultanément avec la deuxième étape.
En conclusion, regardons un exemple plus complexe (pour ceux que ça intéresse).

Exemple 3. Simplifier une expression

V) Première étape.
Factorisons tous les dénominateurs :

On prend le premier dénominateur dans son intégralité, du deuxième on prend les facteurs manquants et (ou), du troisième on prend le facteur manquant (puisque le troisième dénominateur contient le facteur).

Fractions ordinaires.

Ajouter des fractions algébriques

Souviens-toi!

Vous ne pouvez additionner que des fractions ayant les mêmes dénominateurs !

Vous ne pouvez pas ajouter de fractions sans conversions

Vous pouvez ajouter des fractions

Lors de l'addition de fractions algébriques avec des dénominateurs similaires:

1. le numérateur de la première fraction est ajouté au numérateur de la deuxième fraction ;
2. le dénominateur reste le même.

Regardons un exemple d'ajout de fractions algébriques.

Puisque le dénominateur des deux fractions est « 2a », cela signifie que les fractions peuvent être additionnées.

Ajoutons le numérateur de la première fraction avec le numérateur de la deuxième fraction et laissons le dénominateur inchangé. Lors de l'ajout de fractions dans le numérateur résultant, nous en présentons des similaires.

Soustraire des fractions algébriques

Lors de la soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs similaires:

1. Le numérateur de la deuxième fraction est soustrait du numérateur de la première fraction.
2. le dénominateur reste le même.

Important!

Assurez-vous d'inclure le numérateur complet de la fraction que vous soustrayez entre parenthèses.

Sinon, vous ferez une erreur dans les signes en ouvrant les parenthèses de la fraction que vous soustrayez.

Regardons un exemple de soustraction de fractions algébriques.

Puisque les deux fractions algébriques ont un dénominateur de « 2c », cela signifie que ces fractions peuvent être soustraites.

Soustrayez le numérateur de la deuxième fraction « (a − b) » du numérateur de la première fraction « (a + d) ». N'oubliez pas de mettre entre parenthèses le numérateur de la fraction que vous soustrayez. Lors de l’ouverture des parenthèses, nous utilisons la règle d’ouverture des parenthèses.

Réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

Regardons un autre exemple. Vous devez ajouter des fractions algébriques.

Les fractions ne peuvent pas être additionnées sous cette forme car elles ont des dénominateurs différents.

Avant d'ajouter des fractions algébriques, il faut les ramener à un dénominateur commun.

Les règles de réduction des fractions algébriques à un dénominateur commun sont très similaires aux règles de réduction des fractions ordinaires à un dénominateur commun.

.

En conséquence, nous devrions obtenir un polynôme qui sera divisé sans reste en chacun des dénominateurs précédents des fractions. À réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

1. vous devez faire ce qui suit.
2. Nous travaillons avec des coefficients numériques. Nous déterminons le LCM (plus petit commun multiple) pour tous les coefficients numériques.
3. Nous travaillons avec des polynômes. Nous définissons tous les différents polynômes dans les plus grandes puissances.
4. Le produit du coefficient numérique et de tous les polynômes dans les plus grandes puissances sera le dénominateur commun.

Déterminez par quoi vous devez multiplier chaque fraction algébrique pour obtenir un dénominateur commun.

Revenons à notre exemple.

1. Considérez les dénominateurs « 15a » et « 3 » des deux fractions et trouvez-leur un dénominateur commun.
2. Nous travaillons avec des coefficients numériques. Trouvez le LCM (le plus petit commun multiple est un nombre divisible par chaque coefficient numérique sans reste).
   Pour "15" et "3", c'est "15".
3. Nous travaillons avec des polynômes. Il est nécessaire de lister tous les polynômes aux plus grandes puissances.
4. Dans les dénominateurs « 15a » et « 5 », il n'y a que

un monôme - "a".

Multiplions le LCM de l'étape 1 par "15" et le monôme "a" de l'étape 2. Nous obtenons « 15a ». Ce sera le dénominateur commun.

Pour chaque fraction, on se pose la question : « Par quoi faut-il multiplier le dénominateur de cette fraction pour obtenir « 15a » ? Regardons la première fraction. Cette fraction a déjà un dénominateur de « 15a », ce qui signifie qu’elle n’a pas besoin d’être multipliée par quoi que ce soit..

Regardons la deuxième fraction. Posons la question : « Par quoi faut-il multiplier « 3 » pour obtenir « 15a » ?

La réponse est « 5a ».

Lorsque vous réduisez une fraction à un dénominateur commun, multipliez par « 5a »

à la fois numérateur et dénominateur

Une notation abrégée pour réduire une fraction algébrique à un dénominateur commun peut être écrite en utilisant des « maisons ».

Pour ce faire, gardez à l’esprit le dénominateur commun. Au-dessus de chaque fraction en haut « dans la maison », nous écrivons par quoi nous multiplions chacune des fractions.

Maintenant que les fractions ont les mêmes dénominateurs, les fractions peuvent être additionnées.

Dans certains exemples, des formules de multiplication abrégées doivent être utilisées pour réduire des fractions algébriques à un dénominateur commun.

Regardons un exemple d'ajout de fractions algébriques, où nous devrons utiliser la formule de la différence des carrés.

Dans la première fraction algébrique, le dénominateur est « (p 2 − 36) ». Évidemment, la formule de la différence des carrés peut lui être appliquée.

Après avoir décomposé le polynôme « (p 2 − 36) » en produit de polynômes
« (p + 6)(p − 6) », il est clair que le polynôme « (p + 6) » est répété en fractions.

Cela signifie que le dénominateur commun des fractions sera le produit des polynômes « (p + 6)(p − 6) ».

AJOUTER ET SOUSTRAIRE DES FRACTIONS ALGÉBRIQUES AVEC DIFFÉRENTS DÉNOMINATEURS
L'addition et la soustraction de fractions algébriques avec des dénominateurs différents sont effectuées en utilisant le même algorithme que celui utilisé pour ajouter et soustraire des fractions ordinaires avec des dénominateurs différents : d'abord, les fractions sont ramenées à un dénominateur commun en utilisant les facteurs supplémentaires correspondants.

tel, puis ajoutez ou soustrayez les fractions résultantes avec les mêmes dénominateurs selon la règle du § 3. Un algorithme peut être formulé qui couvre tous les cas d'addition (soustraction) de fractions algébriques.

Algorithme d'addition (soustraction) de fractions algébriques Exemple 1.

Suivez ces étapes :

Solution. Pour chaque couple de fractions algébriques donné ici, le dénominateur commun a été trouvé ci-dessus, dans l'exemple du § 2. A partir de l'exemple ci-dessus, on obtient :

La chose la plus difficile dans l’algorithme ci-dessus est, bien sûr, la première étape : trouver un dénominateur commun et réduire les fractions à un dénominateur commun. Dans l'exemple 1, vous n'avez peut-être pas ressenti cette difficulté, puisque nous avons utilisé des résultats tout faits du § 2.
Pour développer une règle permettant de trouver un dénominateur commun, analysons l'exemple 1.
Pour les fractions, le dénominateur commun est le nombre 15 ; il est divisible par 3 et par 5 et est leur commun multiple (même le plus petit commun multiple).

Pour les fractions, le dénominateur commun est le monôme 12b 3. Il est divisible à la fois par 4b 2 et par 6b ​​3, c'est-à-dire par les deux monômes qui servent de dénominateurs des fractions.
Attention, le nombre 12 est le plus petit commun multiple des nombres 4 et 6. La variable b est incluse au dénominateur de la première fraction d'exposant 2, au dénominateur
la deuxième fraction - avec l'exposant 3. Cette valeur la plus élevée de l'exposant 3 apparaît dans le dénominateur commun.

Pour les fractions

Pour trouver un dénominateur commun, il est naturellement nécessaire de factoriser tous les dénominateurs donnés (si cela n'a pas été préparé dans la condition). Et puis vous devez travailler par étapes : trouver le plus petit commun multiple pour les coefficients numériques (nous parlons de coefficients entiers), déterminer pour chaque facteur de lettre apparaissant plusieurs fois l'exposant le plus grand, rassembler tout cela en un seul produit.

Vous pouvez maintenant concevoir l’algorithme correspondant.

Algorithme pour trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions algébriques

Avant de continuer, essayez d'appliquer cet algorithme à la logique du dénominateur commun pour les fractions algébriques de l'exemple 1.
Commentaire. En fait, vous pouvez trouver autant de dénominateurs communs que vous le souhaitez pour deux fractions algébriques. Par exemple, pour les fractions, le commun
le dénominateur peut être le nombre 30, ou le nombre 60, ou encore le monôme 15a2b. Le fait est que 30, 60 et 15a 2 b peuvent être divisés par 3 ou par 5. Pour
fractions -
le dénominateur commun, en plus du monôme 12b trouvé ci-dessus, peut être 24b 3 et 48a 2 b 4. Pourquoi le monôme 12b 3 est-il meilleur que 24b 3, que 48a 2 b 4 ? C'est plus simple (en apparence). On ne l'appelle parfois même pas le dénominateur commun, mais le plus petit dénominateur commun. Ainsi, l’algorithme donné est l’algorithme
trouver le plus simple dénominateur commun de plusieurs fractions algébriques, un algorithme pour trouver le plus petit dénominateur commun.

Revenons à l'exemple 1, a. Pour additionner des fractions algébriques, il fallait non seulement trouver un dénominateur commun (le nombre 15), mais aussi trouver des facteurs supplémentaires pour chacune des fractions qui permettraient de ramener les fractions à un dénominateur commun. Pour une fraction, un tel multi-
le résident est le nombre 5 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 5), pour la fraction le nombre est 3 (le numérateur et le dénominateur de cette fraction sont en outre multipliés par 3).

Un facteur supplémentaire est le quotient de la division du dénominateur commun par le dénominateur d'une fraction donnée.
Généralement, la notation suivante est utilisée :

Revenons à l'exemple 1.6. Le dénominateur commun des fractions est le monôme 12b 3. Le facteur supplémentaire pour la première fraction est égal à 3b (puisque 12b 3 : 4b 2 = 3 b), pour la deuxième fraction il est égal à 2 (puisque 12b 3 : 6b 3 = 2). Cela signifie que la solution de l’exemple 1.6 peut s’écrire comme suit :

Un algorithme permettant de trouver un dénominateur commun pour plusieurs fractions algébriques a été formulé ci-dessus. Mais l'expérience montre que cet algorithme n'est pas toujours clair pour les étudiants, nous donnerons donc une formulation légèrement modifiée.

La règle pour réduire les fractions algébriques à un dénominateur commun

Exemple 2. Simplifier une expression

Solution.
Première étape. Trouvons le dénominateur commun et les facteurs supplémentaires.

Nous avons
4a 2 - 1 = (2a - 1) (2a + 1),
2une 2 + une = une(2une + 1).
On prend le premier dénominateur dans son intégralité, et à partir du second on ajoute le facteur a, qui n'est pas dans le premier dénominateur. Trouvons un dénominateur commun

une(2une - 1) (2une +1).

Il est pratique de disposer les enregistrements sous forme de tableau :

Deuxième étape.
Effectuons les transformations :

Si vous avez une certaine expérience, vous pouvez sauter la première étape et la réaliser simultanément avec la deuxième étape.

En conclusion, regardons un exemple plus complexe (pour ceux que ça intéresse).

Exemple 3 . Simplifier une expression

Solution.
Première étape.
Factorisons tous les dénominateurs :

1) 2a 4 + 4a 3 b + 2a 2 b 2 = 2a 2 (a 2 + 2ab + b 2) = 2a 2 (a + b) 2 ;

2) 3ab 2 - Pour 3 = Pour (b 2 - a 2) = Pour (b - a) (b + a) ;

3) 6a 4 -6a 3 b = 6a 3 (ab).

On prend le premier dénominateur dans son intégralité, du second on prend les facteurs manquants 3 et b - a (ou a - b), du troisième on prend le facteur manquant a (puisque le troisième dénominateur contient le facteur a 3).

Fractions algébriques

Notez que si un facteur supplémentaire a un signe « - », il est généralement placé avant la fraction entière, c'est-à-dire que le signe devra être changé avant la deuxième fraction.

Deuxième étape.
Effectuons les transformations :

Notez que remplacer l'expression donnée dans l'exemple 3 par la fraction algébrique résultante est une transformation identique pour les valeurs acceptables des variables. Dans ce cas, toutes les valeurs des variables a et b sont acceptables, sauf a = 0, a = b, a = - b (dans ces
cas, les dénominateurs tendent vers zéro).

La leçon vidéo « Addition et soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs » est une aide visuelle qui fournit du matériel théorique, explique en détail les algorithmes et les caractéristiques des opérations de soustraction et d'addition de fractions avec différents dénominateurs. Avec l'aide du manuel, il est plus facile pour l'enseignant de développer la capacité des élèves à effectuer des opérations avec des fractions algébriques. Au cours de la leçon vidéo, un certain nombre d'exemples sont examinés, dont la solution est décrite en détail, en prêtant attention aux détails importants.

L'utilisation d'un cours vidéo dans un cours de mathématiques permet à l'enseignant d'atteindre rapidement ses objectifs pédagogiques et d'augmenter l'efficacité de l'enseignement. La clarté de la démonstration aide les élèves à mémoriser le matériel et à le maîtriser plus en profondeur, de sorte que la vidéo peut être utilisée pour accompagner l’explication de l’enseignant. Si cette vidéo est utilisée dans le cadre d’un cours, le temps de l’enseignant est alors libéré pour enrichir le travail individuel et utiliser d’autres outils pédagogiques pour améliorer l’efficacité de l’enseignement.

La démonstration commence par l'introduction du sujet de la leçon vidéo. Il est à noter que réaliser des opérations de soustraction et d’addition de fractions algébriques est similaire à réaliser des opérations avec des fractions ordinaires. Le mécanisme de soustraction et d'addition pour les fractions ordinaires n'est pas sans rappeler - les fractions sont ramenées à un dénominateur commun, puis les opérations elles-mêmes sont effectuées directement.

L'algorithme de soustraction et d'addition de fractions algébriques est exprimé et décrit à l'écran. Il se compose de deux étapes : réduire les fractions à des dénominateurs similaires, puis ajouter (ou soustraire) des fractions avec des dénominateurs égaux. L'application de l'algorithme est envisagée à l'aide de l'exemple de recherche des valeurs des expressions a/4b 2 -a 2 /6b 3, ainsi que x/(x+y)-x/(x-y). On note que pour résoudre le premier exemple il faut réduire les deux fractions au même dénominateur. Ce dénominateur sera 12b 3. La réduction de ces fractions au dénominateur 12b 3 a été discutée en détail dans la leçon vidéo précédente. À la suite de la transformation, deux fractions sont obtenues avec des dénominateurs égaux 3ab/12b 3 et 2a 2 /12b 3. Ces fractions sont additionnées selon la règle d'addition des fractions de dénominateurs égaux. Après avoir additionné les numérateurs des fractions, le résultat est la fraction (3ab+2a 2)/12b 3. Ce qui suit décrit la solution à l'exemple x/(x+y)-x/(x-y). Après avoir réduit les fractions au même dénominateur, les fractions résultantes sont (x 2 -xy)/(x 2 -y 2) et (x 2 +xy)/(x 2 -y 2). Selon la règle de soustraction de fractions de dénominateurs égaux, nous effectuons l'opération avec les numérateurs, après quoi nous obtenons la fraction -2xy/(x 2 -y 2).

Il est à noter que l'étape la plus difficile dans la résolution de problèmes impliquant l'addition et la soustraction de fractions avec des dénominateurs différents consiste à les amener à un dénominateur commun. Des conseils sont donnés sur la manière de développer plus facilement les compétences nécessaires pour résoudre ces problèmes. Le dénominateur commun d'une fraction est analysé. Il s'agit d'un coefficient numérique avec une variable élevée à une puissance. On peut voir que l'expression peut être divisée en dénominateurs des première et deuxième fractions. Dans ce cas, le coefficient numérique 12 est le plus petit commun multiple des coefficients numériques des fractions 4 et 6. Et la variable b contient les deux dénominateurs 4b 2 et 6b 3. Dans ce cas, le dénominateur commun contient la variable dans la plus grande mesure parmi les dénominateurs des fractions originales. La recherche du dénominateur commun pour x/(x+y) et x/(x-y) est également prise en compte. Il est à noter que le dénominateur commun (x+y)(x-y) est divisé par chaque dénominateur. Ainsi, résoudre le problème revient à trouver le plus petit commun multiple des coefficients numériques disponibles, ainsi qu'à trouver l'exposant le plus élevé pour une variable de lettre qui apparaît plusieurs fois. Ensuite, après avoir rassemblé ces parties dans un produit global, un dénominateur commun est obtenu.

Un algorithme permettant de trouver un dénominateur commun à plusieurs fractions est annoncé et formulé à l'écran. Cet algorithme se compose de quatre étapes, dans la première desquelles les dénominateurs sont factorisés. Lors de la deuxième étape de l'algorithme, le plus petit commun multiple des coefficients disponibles inclus dans les dénominateurs des fractions est trouvé. À la troisième étape, un produit est compilé, qui inclut les facteurs de lettre des décompositions du dénominateur, tandis que l'exposant de lettre présent dans plusieurs dénominateurs est sélectionné au maximum. À la quatrième étape, les facteurs numériques et alphabétiques trouvés aux étapes précédentes sont rassemblés en un seul produit. Ce sera le dénominateur commun. Une note est faite sur l'algorithme considéré. Dans l'exemple de recherche du dénominateur commun des fractions a/4b 2 et a 2 /6b 3, on note qu'en plus de 12b 3 il existe d'autres dénominateurs 24b 3 et 48a 2 b 3. Et pour chaque ensemble de fractions, vous pouvez trouver de nombreux dénominateurs communs. Cependant, le dénominateur 12b 3 est le plus simple et le plus pratique, c'est pourquoi il est également appelé le plus petit dénominateur commun des fractions originales. Des facteurs supplémentaires sont le résultat du dénominateur commun partiel et du dénominateur initial de la fraction. Il est démontré en détail à l'aide d'une animation comment le numérateur et le dénominateur des fractions sont multipliés par un facteur supplémentaire.

Ensuite, il est proposé d'envisager l'algorithme de réduction des fractions algébriques à un dénominateur commun sous une forme plus simple, afin qu'il soit plus compréhensible pour les étudiants. Il comprend également quatre étapes, dont la première est la factorisation des dénominateurs. Ensuite, il est proposé d'écrire tous les facteurs du premier dénominateur et de compléter le produit avec les facteurs manquants des dénominateurs restants. De cette façon, le dénominateur commun est trouvé. Des facteurs supplémentaires sont trouvés pour chaque fraction parmi les facteurs du dénominateur qui ne rentrent pas dans le dénominateur commun. La quatrième étape consiste à déterminer pour chaque fraction un nouveau numérateur, qui est le produit de l'ancien numérateur et d'un facteur supplémentaire. Ensuite, chaque fraction est écrite avec un nouveau numérateur et un nouveau dénominateur.

L'exemple suivant décrit une simplification de l'expression 3a/(4a 2 -1)-(a+1)/(2a 2 +a). Lors de la première étape de résolution, les dénominateurs de chaque fraction sont pris en compte. Pour les produits, le facteur commun est (2a+1). En complétant le produit avec les facteurs restants (2a-1) et a, on obtient un dénominateur commun de la forme a(2a-1)(2a+1). Un tableau auxiliaire est construit dans lequel le dénominateur commun, les dénominateurs et les facteurs supplémentaires sont indiqués. Lors de la deuxième étape de la solution, chaque numérateur est multiplié par un facteur supplémentaire et une soustraction est effectuée. Le résultat est la fraction (a 2 -a+1)/a(2a-1)(2a+1).

L'exemple 3 considère une simplification de l'expression b/(2a 4 +4a 3 b+2a 2 b 2)-1/(3ab 2 -3a 3)+b/(6a 4 -6a 3 b). La solution est également analysée étape par étape, l'attention est attirée sur les caractéristiques essentielles de l'exécution des opérations, la réduction des fractions à un dénominateur commun et l'exécution des opérations avec le numérateur sont décrites en détail. À la suite de calculs et après transformation, la fraction (2a 3 +6a 2 b-ab 2 +b 3)/6a 3 (a-b)(a+b) 2 est obtenue.

La leçon vidéo « Addition et soustraction de fractions algébriques avec différents dénominateurs » peut servir à augmenter l'efficacité d'une leçon de mathématiques sur ce sujet. Le manuel sera utile à un enseignant dispensant un enseignement à distance pour une présentation visuelle du matériel pédagogique. Pour les étudiants, la leçon vidéo peut être recommandée pour l'auto-apprentissage, car elle explique en détail et clairement les caractéristiques de la réalisation des opérations étudiées.