L'un des éléments de l'algèbre de niveau primitive est le logarithme. Le nom vient de la langue grecque du mot « nombre » ou « puissance » et désigne la puissance à laquelle le nombre dans la base doit être élevé pour trouver le nombre final.
Types de logarithmes
- log a b – logarithme du nombre b en base a (a > 0, a ≠ 1, b > 0) ;
- log b – logarithme décimal (logarithme en base 10, a = 10) ;
- ln b – logarithme népérien (logarithme en base e, a = e).
Comment résoudre des logarithmes ?
Le logarithme de b en base a est un exposant qui nécessite que b soit élevé en base a. Le résultat obtenu se prononce ainsi : « logarithme de b en base a ». La solution aux problèmes logarithmiques est que vous devez déterminer la puissance donnée en nombres à partir des nombres spécifiés. Il existe quelques règles de base pour déterminer ou résoudre le logarithme, ainsi que pour convertir la notation elle-même. En les utilisant, des équations logarithmiques sont résolues, des dérivées sont trouvées, des intégrales sont résolues et de nombreuses autres opérations sont effectuées. Fondamentalement, la solution du logarithme lui-même est sa notation simplifiée. Vous trouverez ci-dessous les formules et propriétés de base :
Pour tout un ; une > 0 ; a ≠ 1 et pour tout x ; y > 0.
- a log a b = b – identité logarithmique de base
- log a 1 = 0
- log a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , pour k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – formule pour passer à une nouvelle base
- log a x = 1/log x a
Comment résoudre des logarithmes – instructions étape par étape pour la résolution
- Tout d’abord, notez l’équation requise.
Attention : si le logarithme de base est 10, alors l'entrée est raccourcie, ce qui donne un logarithme décimal. S'il existe un nombre naturel e, alors nous l'écrivons en le réduisant à un logarithme naturel. Cela signifie que le résultat de tous les logarithmes est la puissance à laquelle le nombre de base est élevé pour obtenir le nombre b.
Directement, la solution réside dans le calcul de ce degré. Avant de résoudre une expression avec un logarithme, il faut la simplifier selon la règle, c'est-à-dire à l'aide de formules. Vous pourrez retrouver les principales identités en remontant un peu dans l’article.
Lorsque vous additionnez et soustrayez des logarithmes avec deux nombres différents mais avec les mêmes bases, remplacez-les par un logarithme avec le produit ou la division des nombres b et c, respectivement. Dans ce cas, vous pouvez appliquer la formule de déplacement vers une autre base (voir ci-dessus).
Si vous utilisez des expressions pour simplifier un logarithme, vous devez prendre en compte certaines limitations. Et c'est : la base du logarithme a n'est qu'un nombre positif, mais pas égal à un. Le nombre b, comme a, doit être supérieur à zéro.
Il existe des cas où, en simplifiant une expression, vous ne pourrez pas calculer numériquement le logarithme. Il arrive qu’une telle expression n’ait aucun sens, car de nombreuses puissances sont des nombres irrationnels. Dans cette condition, laissez la puissance du nombre sous forme de logarithme.
Commençons avec propriétés du logarithme de un. Sa formulation est la suivante : le logarithme de l'unité est égal à zéro, c'est-à-dire enregistrer un 1=0 pour tout a>0, a≠1. La preuve n'est pas difficile : puisque a 0 =1 pour tout a satisfaisant les conditions ci-dessus a>0 et a≠1, alors l'égalité log a 1=0 à prouver découle immédiatement de la définition du logarithme.
Donnons des exemples d'application de la propriété considérée : log 3 1=0, log1=0 et .
Passons à la propriété suivante : le logarithme d'un nombre égal à la base est égal à un, c'est, log a a=1 pour une>0, une≠1. En effet, puisque a 1 =a pour tout a, alors par définition du logarithme log a a=1.
Des exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes sont les égalités log 5 5=1, log 5,6 5,6 et lne=1.
Par exemple, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 et 
.
Logarithme du produit de deux nombres positifs x et y sont égaux au produit des logarithmes de ces nombres : log a (x y)=log a x+log a y, une>0 , une≠1 . Démontrons la propriété du logarithme d'un produit. En raison des propriétés du diplôme un journal a x+log a y =un journal a x ·un journal a y, et puisque par l'identité logarithmique principale un log a x =x et un log a y =y, alors un log a x ·a log a y =x·y. Ainsi, un log a x+log a y =x·y, d'où, par la définition d'un logarithme, découle l'égalité prouvée.
Montrons des exemples d'utilisation de la propriété du logarithme d'un produit : log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 et 
.
La propriété du logarithme d'un produit peut être généralisée au produit d'un nombre fini n de nombres positifs x 1 , x 2 , …, x n comme log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Cette égalité peut être prouvée sans problème.
Par exemple, le logarithme naturel du produit peut être remplacé par la somme de trois logarithmes naturels des nombres 4, e et.
Logarithme du quotient de deux nombres positifs x et y sont égaux à la différence entre les logarithmes de ces nombres. La propriété du logarithme d'un quotient correspond à une formule de la forme , où a>0, a≠1, x et y sont des nombres positifs. La validité de cette formule est prouvée ainsi que celle du logarithme d'un produit : puisque 
, puis par définition du logarithme.
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété du logarithme : 
.
Passons à propriété du logarithme de la puissance. Le logarithme d'un degré est égal au produit de l'exposant et du logarithme du module de la base de ce degré. Écrivons cette propriété du logarithme d'une puissance sous forme de formule : log a b p =p·log a |b|, où a>0, a≠1, b et p sont des nombres tels que le degré b p a du sens et b p >0.
Nous prouvons d’abord cette propriété pour b positif. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors b p =(a log a b) p , et l'expression résultante, en raison de la propriété de puissance, est égale à a p·log a b . On arrive donc à l'égalité b p =a p·log a b, d'où, par la définition d'un logarithme, on conclut que log a b p =p·log a b.
Il reste à prouver cette propriété pour b négatif. Notons ici que l'expression log a b p pour b négatif n'a de sens que pour les exposants pairs p (puisque la valeur du degré b p doit être supérieure à zéro, sinon le logarithme n'aura pas de sens), et dans ce cas b p =|b| p. Alors bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, d'où log a b p =p·log a |b| .
Par exemple, 
et ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Il découle de la propriété précédente propriété du logarithme à partir de la racine: le logarithme de la nième racine est égal au produit de la fraction 1/n par le logarithme de l'expression radicale, soit 
, où a>0, a≠1, n est un nombre naturel supérieur à un, b>0.
La preuve est basée sur l'égalité (voir), qui est valable pour tout b positif, et la propriété du logarithme de la puissance : 
.
Voici un exemple d'utilisation de cette propriété : 
.
Maintenant, prouvons formule pour passer à une nouvelle base de logarithme taper 
. Pour ce faire, il suffit de prouver la validité de l'égalité log c b=log a b·log c a. L'identité logarithmique de base nous permet de représenter le nombre b comme un log a b , alors log c b=log c a log a b . Il reste à utiliser la propriété du logarithme du degré : journal c a journal a b = journal a b journal c a. Cela prouve l'égalité log c b=log a b·log c a, ce qui signifie que la formule pour passer à une nouvelle base de logarithme a également été prouvée.
Montrons quelques exemples d'utilisation de cette propriété des logarithmes : et 
.
La formule de passage à une nouvelle base vous permet de passer au travail avec des logarithmes ayant une base « pratique ». Par exemple, il peut être utilisé pour accéder à des logarithmes naturels ou décimaux afin de pouvoir calculer la valeur d'un logarithme à partir d'un tableau de logarithmes. La formule de passage à une nouvelle base de logarithme permet également, dans certains cas, de retrouver la valeur d'un logarithme donné lorsque les valeurs de certains logarithmes avec d'autres bases sont connues.
Un cas particulier de formule de transition vers une nouvelle base de logarithme pour c=b de la forme est souvent utilisé 
. Cela montre que log a b et log b a – . Par exemple, 
.
La formule est également souvent utilisée 
, ce qui est pratique pour trouver des valeurs de logarithme. Pour confirmer nos propos, nous montrerons comment il peut être utilisé pour calculer la valeur d'un logarithme de la forme . Nous avons 
. Pour prouver la formule 
il suffit d'utiliser la formule de passage à une nouvelle base du logarithme a : 
.
Reste à prouver les propriétés de comparaison des logarithmes.
Montrons que pour tout nombre positif b 1 et b 2, b 1 log a b 2 , et pour a>1 – l'inégalité log a b 1 Enfin, il reste à prouver la dernière des propriétés répertoriées des logarithmes. Limitons-nous à la preuve de sa première partie, c'est-à-dire que nous prouverons que si a 1 >1, a 2 >1 et a 1 1 est vrai log a 1 b>log a 2 b . Les autres affirmations de cette propriété des logarithmes sont prouvées selon un principe similaire. Utilisons la méthode inverse. Supposons que pour un 1 >1, un 2 >1 et un 1 1 est vrai log a 1 b≤log a 2 b . Sur la base des propriétés des logarithmes, ces inégalités peuvent être réécrites comme 
Et 
respectivement, et il en résulte que log b a 1 ≤log b a 2 et log b a 1 ≥log b a 2, respectivement. Alors, selon les propriétés des puissances de mêmes bases, les égalités b log b a 1 ≥b log b a 2 et b log b a 1 ≥b log b a 2 doivent être vraies, c'est-à-dire a 1 ≥a 2 . Nous sommes donc arrivés à une contradiction avec la condition a 1
Bibliographie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. et autres. Algèbre et débuts de l'analyse : Manuel pour les 10e et 11e années des établissements d'enseignement général.
- Gusev V.A., Mordkovitch A.G. Mathématiques (un manuel pour ceux qui entrent dans les écoles techniques).
Logarithme d'un nombre N basé sur UN appelé exposant X , auquel vous devez construire UN pour obtenir le numéro N
À condition que 
,
,
De la définition du logarithme, il résulte que 
, c'est à dire.
- cette égalité est l'identité logarithmique de base.
Les logarithmes en base 10 sont appelés logarithmes décimaux. Au lieu de 
écrire 
.
Logarithmes à la base e
sont appelés naturels et sont désignés 
.
Propriétés de base des logarithmes.
Le logarithme de un est égal à zéro pour n'importe quelle base.
Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
3) Le logarithme du quotient est égal à la différence des logarithmes
Facteur 
appelé module de transition des logarithmes à la base un
aux logarithmes à la base b
.
En utilisant les propriétés 2 à 5, il est souvent possible de réduire le logarithme d'une expression complexe au résultat d'opérations arithmétiques simples sur des logarithmes.
Par exemple, 
De telles transformations d'un logarithme sont appelées logarithmes. Les transformations inverses des logarithmes sont appelées potentialisation.
Chapitre 2. Éléments de mathématiques supérieures.
1. Limites
Limite de la fonction 
est un nombre fini A si, comme xx
0
pour chaque prédéterminé 
, il y a un tel nombre 
que dès 
, Que 
.
Une fonction qui a une limite en diffère d'une quantité infinitésimale : 
, où- b.m.v., c'est-à-dire 
.
Exemple. Considérez la fonction 
.
En s'efforçant 
, fonction oui
tend vers zéro : 
1.1. Théorèmes de base sur les limites.
La limite d'une valeur constante est égale à cette valeur constante
.
La limite de la somme (différence) d'un nombre fini de fonctions est égale à la somme (différence) des limites de ces fonctions.
La limite du produit d'un nombre fini de fonctions est égale au produit des limites de ces fonctions.
La limite du quotient de deux fonctions est égale au quotient des limites de ces fonctions si la limite du dénominateur n'est pas nulle.
Des limites merveilleuses
,
, Où 
1.2. Exemples de calcul de limite
Cependant, toutes les limites ne se calculent pas aussi facilement. Le plus souvent, calculer la limite revient à faire apparaître une incertitude du type : 
ou .
.
2. Dérivée d'une fonction
Ayons une fonction 
, en continu sur le segment 
.
Argument 
j'ai eu une augmentation 
. Ensuite la fonction recevra un incrément 
.
Valeur des arguments 
correspond à la valeur de la fonction 
.
Valeur des arguments 
correspond à la valeur de la fonction.
Ainsi, .
Trouvons la limite de ce rapport à 
. Si cette limite existe, alors on l'appelle la dérivée de la fonction donnée.
Définition 3 Dérivée d'une fonction donnée 
par argumentation 
est appelée la limite du rapport de l'incrément d'une fonction à l'incrément de l'argument, lorsque l'incrément de l'argument tend arbitrairement vers zéro.
Dérivée d'une fonction 
peut être désigné comme suit :
;
;
;
.
Définition 4L'opération consistant à trouver la dérivée d'une fonction est appelée différenciation.
2.1. Signification mécanique du dérivé.
Considérons le mouvement rectiligne d'un corps rigide ou d'un point matériel.
Laissez à un moment donné 
point en mouvement 
était à distance 
depuis la position de départ 
.
Après un certain temps 
elle a parcouru une certaine distance 
. Attitude 
=
- vitesse moyenne d'un point matériel 
. Trouvons la limite de ce rapport, en tenant compte du fait que 
.
Par conséquent, déterminer la vitesse instantanée de déplacement d'un point matériel se réduit à trouver la dérivée de la trajectoire par rapport au temps.
2.2. Valeur géométrique de la dérivée
Ayons une fonction définie graphiquement 
.
Riz. 1. Signification géométrique de la dérivée
Si 
, puis pointez 
, se déplacera le long de la courbe, en se rapprochant du point 
.
Ainsi 
, c'est à dire. la valeur de la dérivée pour une valeur donnée de l'argument 
numériquement égal à la tangente de l'angle formé par la tangente en un point donné avec la direction positive de l'axe 
.
2.3. Tableau des formules de différenciation de base.
Fonction de puissance
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Fonction exponentielle
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Fonction logarithmique
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Fonction trigonométrique
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Fonction trigonométrique inverse
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2.4. Règles de différenciation.
Dérivé de 
Dérivée de la somme (différence) des fonctions
Dérivée du produit de deux fonctions
Dérivée du quotient de deux fonctions
2.5. Dérivée d'une fonction complexe.
Soit la fonction donnée 
de telle sorte qu'il puisse être représenté sous la forme
Et 
, où la variable 
est un argument intermédiaire, alors 
La dérivée d'une fonction complexe est égale au produit de la dérivée de la fonction donnée par rapport à l'argument intermédiaire et de la dérivée de l'argument intermédiaire par rapport à x.
Exemple 1. 
Exemple 2. 
3. Fonction différentielle.
Qu'il y ait 
, différentiable sur un certain intervalle 
laisse tomber à
cette fonction a une dérivée
,
alors nous pouvons écrire
(1),
Où 
- une quantité infinitésimale,
depuis quand 
En multipliant tous les termes d'égalité (1) par 
nous avons:
Où 
- b.m.v. ordre supérieur.
Ordre de grandeur 
appelé différentiel de la fonction 
et est désigné 
.
3.1. Valeur géométrique du différentiel.
Soit la fonction donnée 
.
Figure 2. Signification géométrique du différentiel.
.
Évidemment, la différentielle de la fonction 
est égal à l'incrément de l'ordonnée de la tangente en un point donné.
3.2. Dérivés et différentiels de divers ordres.
S'il y a 
, Alors 
est appelée la dérivée première.
La dérivée de la dérivée première est appelée dérivée du second ordre et s'écrit 
.
Dérivée du nième ordre de la fonction 
est appelée la dérivée d'ordre (n-1) et s'écrit :
.
La différentielle de la différentielle d'une fonction est appelée différentielle du second ordre ou différentielle du second ordre.
.
.
3.3 Résoudre des problèmes biologiques par différenciation.
Tache 1. Des études ont montré que la croissance d'une colonie de micro-organismes obéit à la loi 
, Où N
– nombre de micro-organismes (en milliers), t
– temps (jours).
b) La population de la colonie augmentera-t-elle ou diminuera-t-elle pendant cette période ?
Répondre. La taille de la colonie va augmenter.
Tâche 2. L'eau du lac est périodiquement testée pour surveiller la teneur en bactéries pathogènes. À travers t jours après le test, la concentration de bactéries est déterminée par le rapport
.
Quand le lac aura-t-il une concentration minimale de bactéries et sera-t-il possible de s'y baigner ?
Solution : Une fonction atteint max ou min lorsque sa dérivée est nulle.
,
Déterminons que le maximum ou le minimum sera dans 6 jours. Pour ce faire, prenons la dérivée seconde.
Réponse : Après 6 jours, il y aura une concentration minimale de bactéries.
Les propriétés de base du logarithme naturel, du graphique, du domaine de définition, de l'ensemble de valeurs, des formules de base, de la dérivée, de l'intégrale, du développement en séries entières et de la représentation de la fonction ln x à l'aide de nombres complexes sont données.
Définition
Un algorithme naturel est la fonction y = dans x, l'inverse de l'exponentielle, x = e y, et est le logarithme à la base du nombre e : ln x = log e x.
Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques car sa dérivée a la forme la plus simple : (lnx)′ = 1/x.
Basé définitions, la base du logarithme népérien est le nombre e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Graphique de la fonction y = dans x.
Graphique du logarithme népérien (fonctions y = dans x) est obtenu à partir du graphique exponentiel par réflexion miroir par rapport à la droite y = x.
Le logarithme népérien est défini pour les valeurs positives de la variable x.
Il augmente de façon monotone dans son domaine de définition. 0 À x →
la limite du logarithme népérien est moins l'infini (-∞).
Comme x → + ∞, la limite du logarithme népérien est plus l'infini (+ ∞). Pour x grand, le logarithme augmente assez lentement. Toute fonction puissance x a avec un exposant positif a croît plus vite que le logarithme.
Propriétés du logarithme népérien
Domaine de définition, ensemble de valeurs, extrema, augmentation, diminution
Le logarithme népérien est une fonction croissante de façon monotone, il n’a donc pas d’extrema. Les principales propriétés du logarithme népérien sont présentées dans le tableau.
valeurs ln x
ln 1 = 0
Formules de base pour les logarithmes naturels
Formules issues de la définition de la fonction inverse :
La propriété principale des logarithmes et ses conséquences
Formule de remplacement de base
Tout logarithme peut être exprimé en termes de logarithmes naturels en utilisant la formule de substitution de base :
Des preuves de ces formules sont présentées dans la section "Logarithme".
Fonction inverse
L'inverse du logarithme népérien est l'exposant.
Si donc
Si donc.
Dérivée ln x
.
Dérivée du logarithme népérien :
.
Dérivée du nième ordre :
.
Formules dérivées > > >
Intégral
L'intégrale est calculée par intégration par parties :
.
Donc,
Expressions utilisant des nombres complexes
Considérons la fonction de la variable complexe z :
.
Exprimons la variable complexe z par module r et argumentation φ
:
.
En utilisant les propriétés du logarithme, on a :
.
Ou
.
L'argument φ n'est pas défini de manière unique. Si tu mets
, où n est un nombre entier,
ce sera le même numéro pour différents n.
Par conséquent, le logarithme népérien, en fonction d’une variable complexe, n’est pas une fonction à valeur unique.
Extension de la série de puissance
Lorsque l’agrandissement a lieu :
Les références:
DANS. Bronstein, KA (2004). Semendyaev, Manuel de mathématiques pour ingénieurs et étudiants, « Lan », 2009.
Expressions logarithmiques, résolution d'exemples. Dans cet article, nous examinerons les problèmes liés à la résolution de logarithmes. Les tâches posent la question de trouver le sens d'une expression. Il convient de noter que le concept de logarithme est utilisé dans de nombreuses tâches et qu’il est extrêmement important d’en comprendre la signification. Quant à l'examen d'État unifié, le logarithme est utilisé lors de la résolution d'équations, dans des problèmes appliqués, ainsi que dans des tâches liées à l'étude des fonctions.
Donnons des exemples pour comprendre le sens même du logarithme :
Identité logarithmique de base :
Propriétés des logarithmes qu'il faut toujours retenir :
*Le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes des facteurs.
* * *
*Le logarithme d'un quotient (fraction) est égal à la différence entre les logarithmes des facteurs.
* * *
*Le logarithme d'un exposant est égal au produit de l'exposant par le logarithme de sa base.
* * *
*Transition vers une nouvelle fondation
* * *
Plus de propriétés :
* * *
Le calcul des logarithmes est étroitement lié à l'utilisation des propriétés des exposants.
Citons-en quelques-uns :
L'essence de cette propriété est que lorsque le numérateur est transféré au dénominateur et vice versa, le signe de l'exposant change à l'opposé. Par exemple:
Un corollaire de cette propriété :
* * *
Lorsqu'on élève une puissance à une puissance, la base reste la même, mais les exposants sont multipliés.
* * *
Comme vous l’avez vu, le concept de logarithme en lui-même est simple. L'essentiel est que vous ayez besoin d'une bonne pratique, qui vous confère une certaine compétence. Bien entendu, la connaissance des formules est requise. Si les compétences nécessaires à la conversion de logarithmes élémentaires n'ont pas été développées, vous pouvez facilement commettre une erreur lors de la résolution de tâches simples.
Entraînez-vous, résolvez d'abord les exemples les plus simples du cours de mathématiques, puis passez aux exemples plus complexes. À l'avenir, je montrerai certainement comment les logarithmes « moches » sont résolus ; ceux-ci n'apparaîtront pas à l'examen d'État unifié, mais ils sont intéressants, ne les manquez pas !
C'est tout! Bonne chance à toi!
Cordialement, Alexandre Krutitskikh
P.S : je vous serais reconnaissant de me parler du site sur les réseaux sociaux.
