La variable aléatoire est spécifiée par la fonction. Exemples de résolution de problèmes sur le thème « Variables aléatoires »

En théorie des probabilités, il faut avoir affaire à des variables aléatoires dont toutes les valeurs ne peuvent être énumérées. Par exemple, il est impossible de prendre et de « itérer » toutes les valeurs de la variable aléatoire $X$ - le temps de service de l'horloge, puisque le temps peut être mesuré en heures, minutes, secondes, millisecondes, etc. Vous ne pouvez spécifier qu'un certain intervalle dans lequel se situent les valeurs de la variable aléatoire.

Variable aléatoire continue est une variable aléatoire dont les valeurs remplissent complètement un certain intervalle.

Fonction de distribution d'une variable aléatoire continue

Puisqu'il n'est pas possible d'énumérer toutes les valeurs d'une variable aléatoire continue, elle peut être spécifiée à l'aide de la fonction de distribution.

Fonction de distribution La variable aléatoire $X$ est appelée une fonction $F\left(x\right)$, qui détermine la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne une valeur inférieure à une valeur fixe $x$, c'est-à-dire $F\ gauche(x\droite)=P\gauche(X< x\right)$.

Propriétés de la fonction de distribution :

1 . $0\le F\gauche(x\droite)\le 1$.

2 . La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est égale à la différence entre les valeurs de la fonction de distribution aux extrémités de cet intervalle : $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$.

3 . $F\left(x\right)$ - non décroissant.

4 . $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \right)=1\ )$.

Exemple 1
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrice)\right.$. La probabilité qu'une variable aléatoire $X$ tombe dans l'intervalle $\left(0.3;0.7\right)$ peut être trouvée comme la différence entre les valeurs de la fonction de distribution $F\left(x\right)$ à les extrémités de cet intervalle, soit :

$$P\gauche(0,3< X < 0,7\right)=F\left(0,7\right)-F\left(0,3\right)=0,7-0,3=0,4.$$

Densité de distribution de probabilité

La fonction $f\left(x\right)=(F)"(x)$ est appelée densité de distribution de probabilité, c'est-à-dire qu'il s'agit de la dérivée du premier ordre tirée de la fonction de distribution $F\left(x\right )$ lui-même.

Propriétés de la fonction $f\left(x\right)$.

1 . $f\gauche(x\droite)\ge 0$.

2 . $\int^x_(-\infty )(f\left(t\right)dt)=F\left(x\right)$.

3 . La probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne des valeurs de l'intervalle $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ est $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Геометрически это означает, что вероятность попадания случайной величины $X$ в интервал $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ равна площади криволинейной трапеции, которая будет ограничена графиком функции $f\left(x\right)$, прямыми $x=\alpha ,\ x=\beta $ и осью $Ox$.

4 . $\int^(+\infty )_(-\infty )(f\left(x\right))=1$.

Exemple 2 . Une variable aléatoire continue $X$ est définie par la fonction de distribution suivante $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
x,\ 0< x\le 1\\
1,\x>1
\end(matrice)\right.$. Alors la fonction de densité $f\left(x\right)=(F)"(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\x\le 0\\
1,\ 0 < x\le 1\\
0.\x>1
\fin(matrice)\droite.$

Attente d'une variable aléatoire continue

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue $X$ est calculée à l'aide de la formule

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)dx).$$

Exemple 3 . Trouvons $M\left(X\right)$ pour la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$M\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(xf\left(x\right)\ dx)=\int^1_0(x\ dx)=(( x^2)\sur (2))\bigg|_0^1=((1)\sur (2)).$$

Variance d'une variable aléatoire continue

La variance d'une variable aléatoire continue $X$ est calculée par la formule

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2.$$

Exemple 4 . Trouvons $D\left(X\right)$ pour la variable aléatoire $X$ de l'exemple $2$.

$$D\left(X\right)=\int^(+\infty )_(-\infty )(x^2f\left(x\right)\ dx)-(\left)^2=\int^ 1_0(x^2\ dx)-(\left(((1)\over (2))\right))^2=((x^3)\over (3))\bigg|_0^1-( (1)\plus de (4))=((1)\plus de (3))-((1)\plus de (4))=((1)\plus de(12)).$$

La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue (fonction de distribution différentielle) est la dérivée première de la fonction de distribution intégrale : f(x)=F'(X). De cette définition et des propriétés de la fonction de distribution, il résulte que

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue X est le nombre

La variance d'une variable aléatoire continue X est déterminée par l'égalité

Exemple 79. Densité de distribution temporelle T Assemblage REA sur la ligne de production

Trouver le coefficient UN, la fonction de distribution du temps d'assemblage REA et la probabilité que le temps d'assemblage se situe dans l'intervalle (0,1A).

Solution. Basé sur la propriété de la fonction de distribution d'une variable aléatoire

En intégrant deux fois par parties, on obtient

La fonction de distribution est égale à

La probabilité que le temps d'assemblage du REA ne dépasse pas les limites (0 ; 1/λ) :

Exemple 80. Densité de probabilité d'écart de la résistance de sortie de l'unité d'équipement électronique par rapport à la valeur nominale R. 0 dans la plage de tolérance 2δ est décrit par la loi

Trouvez l'espérance mathématique et la variance de l'écart de résistance par rapport à la valeur nominale.

Solution.

Puisque l'intégrande est impaire et que les limites d'intégration sont symétriques par rapport à l'origine, l'intégrale est égale à 0.

Ainsi, M{R.} = 0.

En effectuant une substitution r = un péché X, on a

Exemple 81. La densité de distribution d'une variable aléatoire continue X est donnée :

Trouver : 1. F(x); 2. M(X); 3. D(X).

Solution. 1. Pour trouver F(x) nous utilisons la formule

Si
, Que

UN

Si
, Que

Si
, alors f(x)=0, et

3.

En intégrant par parties deux fois, on obtient :

, Alors

82. Trouvez f(x), M(X), D(X) dans les problèmes 74, 75.

83. La densité de distribution d'une variable aléatoire continue X est donnée :

Trouvez la fonction de distribution F(x).

84. La densité de distribution d'une variable aléatoire continue X est donnée sur tout l'axe Ox par l'égalité
. Trouvez le paramètre constant C.

85. La variable aléatoire X dans l'intervalle (-3, 3) est donnée par la densité de distribution
; en dehors de cet intervalle

a) Trouver la variance de X ;

b) ce qui est le plus probable : le résultat du test sera X<1 или X>1?

86. Trouver la variance de la variable aléatoire X donnée par la fonction de distribution

87. Une variable aléatoire est donnée par une fonction de distribution

Trouvez l'espérance, la variance et l'écart type de X.

§8. Distributions uniformes et exponentielles

La distribution d'une variable aléatoire continue X est dite uniforme si sur l'intervalle (a,b), qui contient toutes les valeurs possibles de X, la densité reste constante, et en dehors de cet intervalle elle est nulle, c'est-à-dire

Une distribution exponentielle est la distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X, qui est décrite par la densité

où λ est une valeur positive constante. Fonction de distribution de loi exponentielle

L'espérance mathématique et la variance sont respectivement égales

;
;

Exemple 88. La valeur de division de l'échelle de l'ampèremètre est de 0,10 A. Les lectures de l'ampèremètre sont arrondies à la division entière la plus proche. Trouvez la probabilité qu'une erreur supérieure à 0,02 A soit commise lors du comptage.

Solution. L'erreur d'arrondi peut être considérée comme une variable aléatoire X, distribuée uniformément dans l'intervalle (0; 0,1) entre deux divisions entières. Ainsi,

Alors
.

Exemple 89. La durée de fonctionnement sans panne d'un élément a une distribution exponentielle. Trouvez la probabilité que pendant une période de temps t=100 heures : a) l'élément tombe en panne ; b) l'élément n'échouera pas.

Solution. a) Par définition
, il détermine donc la probabilité de défaillance d'un élément au temps t, donc

b) L'événement « l'élément ne faillira pas » est l'opposé de celui considéré, donc sa probabilité

90. L'unité radioélectronique est assemblée sur une ligne de production, le cycle d'assemblage est de 2 minutes. Le bloc fini est retiré du convoyeur pour être surveillé et ajusté à un moment arbitraire du cycle d'horloge. Trouvez l'espérance mathématique et l'écart type du temps pendant lequel le bloc fini se trouve sur le convoyeur. Le temps qu'un bloc passe sur le convoyeur obéit à la loi de répartition uniforme des variables aléatoires.

91. La probabilité d'échec d'un REA dans un certain délai est exprimée par la formule . Déterminer la durée de fonctionnement moyenne de l'équipement électronique avant panne.

92. Le satellite de communications en cours de développement doit avoir un temps moyen entre pannes de 5 ans. En considérant le temps réel entre les pannes comme une valeur aléatoire distribuée de manière exponentielle, déterminez la probabilité que

a) le satellite fonctionnera pendant moins de 5 ans,

b) le satellite fonctionnera pendant au moins 10 ans,

c) le satellite tombera en panne au cours de la 6ème année.

93. Un certain locataire a acheté quatre ampoules à incandescence d'une durée de vie moyenne de 1 000 heures. Il en a installé une dans une lampe de table et a gardé le reste en réserve au cas où la lampe grillerait. Définir:

a) la durée de vie totale prévue des quatre lampes,

b) la probabilité que les quatre lampes fonctionnent pendant un total de 5 000 heures ou plus,

c) la probabilité que la durée de vie totale de toutes les lampes ne dépasse pas 2 000 heures.

94. La valeur de division d'échelle d'un appareil de mesure est de 0,2. Les lectures des instruments sont arrondies à la division entière la plus proche. Trouvez la probabilité qu'une erreur soit commise lors du comptage : a) inférieure à 0,04 ; b) grand 0,05.

95. Les bus sur un certain itinéraire circulent strictement selon les horaires. Intervalle de mouvement 5 min. Trouvez la probabilité qu'un passager arrivant à un arrêt attende moins de 3 minutes le prochain bus.

96. Trouvez l'espérance mathématique d'une variable aléatoire X, distribuée uniformément dans l'intervalle (2, 8).

97. Trouvez la variance et l'écart type d'une variable aléatoire X, distribuée uniformément dans l'intervalle (2, 8).

98. Deux éléments fonctionnant indépendamment sont testés. La durée de fonctionnement sans panne du premier élément a une distribution exponentielle
, deuxième
. Trouvez la probabilité que pendant une durée t=6 heures : a) les deux éléments échoueront ; b) les deux éléments n'échoueront pas ; c) un seul élément échouera ; d) au moins un élément échouera.

À trouver la fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète, vous devez utiliser cette calculatrice. Exercice 1. La densité de distribution d'une variable aléatoire continue X a la forme :
Trouver:
a) paramètre A ;
b) fonction de distribution F(x) ;
c) la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle ;
d) espérance mathématique MX et variance DX.
Tracez un graphique des fonctions f(x) et F(x).

Tâche 2. Trouvez la variance de la variable aléatoire X donnée par la fonction intégrale.

Tâche 3. Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire X étant donné la fonction de distribution.

Tâche 4. La densité de probabilité d'une variable aléatoire est donnée comme suit : f(x) = A/x 4 (x = 1; +∞)
Trouvez le coefficient A, la fonction de distribution F(x), l'espérance mathématique et la variance, ainsi que la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle. Dessinez les graphiques f(x) et F(x).

Tâche. La fonction de distribution d'une variable aléatoire continue est donnée comme suit :

Déterminez les paramètres a et b, trouvez une expression pour la densité de probabilité f(x), l'espérance mathématique et la variance, ainsi que la probabilité que la variable aléatoire prenne une valeur dans l'intervalle. Dessinez des graphiques de f(x) et F(x).

Trouvons la fonction de densité de distribution comme dérivée de la fonction de distribution.

Sachant que

trouvons le paramètre a :


ou 3a=1, d'où a = 1/3
On retrouve le paramètre b à partir des propriétés suivantes :
F(4) = a*4 + b = 1
1/3*4 + b = 1 d'où b = -1/3
La fonction de distribution a donc la forme : F(x) = (x-1)/3

Exemple n°1. La densité de distribution de probabilité f(x) d'une variable aléatoire continue X est donnée. Requis:

1. Déterminer le coefficient A.
2. trouver la fonction de distribution F(x) .
3. Construisez schématiquement des graphiques de F(x) et f(x).
4. trouver l’espérance mathématique et la variance de X.
5. trouvez la probabilité que X prenne une valeur de l’intervalle (2;3).

La variable aléatoire X est spécifiée par la densité de distribution f(x) :

Chapitre 1. Variable aléatoire discrète

§ 1. Concepts de variable aléatoire.

Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète.

Définition : L'aléatoire est une quantité qui, à la suite d'un test, ne prend qu'une seule valeur parmi un ensemble possible de ses valeurs, inconnues à l'avance et dépendant de raisons aléatoires.

Il existe deux types de variables aléatoires : discrètes et continues.

Définition : La variable aléatoire X est appelée discret (discontinu) si l'ensemble de ses valeurs est fini ou infini mais dénombrable.

Autrement dit, les valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète peuvent être renumérotées.

Une variable aléatoire peut être décrite à l'aide de sa loi de distribution.

Définition : Loi de distribution d'une variable aléatoire discrète appeler la correspondance entre les valeurs possibles d'une variable aléatoire et leurs probabilités.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X peut être spécifiée sous la forme d'un tableau, dans la première ligne duquel toutes les valeurs possibles de la variable aléatoire sont indiquées par ordre croissant, et dans la deuxième ligne les probabilités correspondantes de celles-ci. valeurs, c'est-à-dire

où р1+ р2+…+ рn=1

Un tel tableau est appelé une série de distribution d'une variable aléatoire discrète.

Si l'ensemble des valeurs possibles d'une variable aléatoire est infini, alors la série p1+ p2+…+ pn+… converge et sa somme est égale à 1.

La loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X peut être représentée graphiquement, pour laquelle une ligne brisée est construite dans un système de coordonnées rectangulaires, reliant séquentiellement des points avec des coordonnées (xi ; pi), i=1,2,…n. La ligne résultante s'appelle polygone de distribution (Fig. 1).

Chimie organique" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">chimie organique sont respectivement de 0,7 et 0,8. Établissez une loi de distribution pour la variable aléatoire X - le nombre d'examens que l'étudiant réussira.

Solution. La variable aléatoire X considérée à la suite de l'examen peut prendre l'une des valeurs suivantes : x1=0, x2=1, x3=2.

Trouvons la probabilité de ces valeurs. Notons les événements :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">

Ainsi, la loi de distribution de la variable aléatoire X est donnée par le tableau :

Contrôle : 0,6+0,38+0,56=1.

§ 2. Fonction de répartition

Une description complète d'une variable aléatoire est également donnée par la fonction de distribution.

Définition: Fonction de distribution d'une variable aléatoire discrète X s'appelle une fonction F(x), qui détermine pour chaque valeur x la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur inférieure à x :

F(x)=P(X<х)

Géométriquement, la fonction de distribution est interprétée comme la probabilité que la variable aléatoire X prenne la valeur représentée sur la droite numérique par un point situé à gauche du point x.

1)0≤ F(x) ≤1 ;

2) F(x) est une fonction non décroissante sur (-∞;+∞) ;

3) F(x) - continu à gauche aux points x= xi (i=1,2,...n) et continu à tous les autres points ;

4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,

F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.

Si la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X est donnée sous forme de tableau :

alors la fonction de distribution F(x) est déterminée par la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">

0 pour x≤ x1,

р1 à x1< х≤ x2,

F(x)= р1 + р2 à x2< х≤ х3

1 pour x>xn.

Son graphique est présenté sur la Fig. 2 :

§ 3. Caractéristiques numériques d'une variable aléatoire discrète.

L’espérance mathématique est l’une des caractéristiques numériques importantes.

Définition: Espérance mathématique M(X) la variable aléatoire discrète X est la somme des produits de toutes ses valeurs et de leurs probabilités correspondantes :

M(X) = ∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn

L'espérance mathématique sert de caractéristique de la valeur moyenne d'une variable aléatoire.

Propriétés de l'espérance mathématique :

1)M(C)=C, où C est une valeur constante ;

2)M(CX)=CM(X),

3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y);

4)M(X Y)=M(X) M(Y), où X, Y sont des variables aléatoires indépendantes ;

5)M(X±C)=M(X)±C, où C est une valeur constante ;

Pour caractériser le degré de dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire discrète autour de sa valeur moyenne, la dispersion est utilisée.

Définition: Variance D ( X ) la variable aléatoire X est l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique :

Propriétés de dispersion :

1)D(C)=0, où C est une valeur constante ;

2)D(X)>0, où X est une variable aléatoire ;

3)D(C X)=C2 D(X), où C est une valeur constante ;

4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), où X, Y sont des variables aléatoires indépendantes ;

Pour calculer la variance, il est souvent pratique d'utiliser la formule :

D(X)=M(X2)-(M(X))2,

où M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn

La variance D(X) a la dimension d'une variable aléatoire au carré, ce qui n'est pas toujours pratique. Par conséquent, la valeur √D(X) est également utilisée comme indicateur de la dispersion des valeurs possibles d'une variable aléatoire.

Définition: Écart-type σ(X) la variable aléatoire X est appelée racine carrée de la variance :

Tâche n°2. La variable aléatoire discrète X est spécifiée par la loi de distribution :

Trouvez P2, la fonction de distribution F(x) et tracez son graphique, ainsi que M(X), D(X), σ(X).

Solution: Puisque la somme des probabilités des valeurs possibles de la variable aléatoire X est égale à 1, alors

Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1

Trouvons la fonction de distribution F(x)=P(X

Géométriquement, cette égalité peut être interprétée comme suit : F(x) est la probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur représentée sur l'axe des nombres par le point situé à gauche du point x.

Si x≤-1, alors F(x)=0, puisqu'il n'y a pas une seule valeur de cette variable aléatoire sur (-∞;x) ;

Si -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1;

Si 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток

(-∞;x) il existe deux valeurs x1=-1 et x2=0 ;

Si 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1;

Si 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2;

Si x>3, alors F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, car quatre valeurs x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 tombent dans l'intervalle (-∞;x) et x5=3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 à x≤-1,

0,1 à -1<х≤0,

0,2 à 0<х≤1,

F(x)= 0,5 à 1<х≤2,

0,7 à 2<х≤3,

1 à x>3

Représentons graphiquement la fonction F(x) (Fig. 3) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1.2845.

§ 4. Loi de distribution binomiale

variable aléatoire discrète, loi de Poisson.

Définition: Binôme est appelée la loi de distribution d'une variable aléatoire discrète X - le nombre d'occurrences de l'événement A dans n essais répétés indépendants, dans chacun desquels l'événement A peut se produire avec une probabilité p ou ne pas se produire avec une probabilité q = 1-p. Alors P(X=m) - la probabilité d'occurrence de l'événement A exactement m fois en n essais est calculée à l'aide de la formule de Bernoulli :

Р(Х=m)=Сmnpmqn-m

L'espérance mathématique, la dispersion et l'écart type d'une variable aléatoire X distribuée selon une loi binaire se trouvent respectivement à l'aide des formules :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> La probabilité de l'événement A - « dérouler un cinq » dans chaque essai est la même et égale à 1/6 , c'est-à-dire P(A)=p=1/6, alors P(A)=1-p=q=5/6, où

- "échec à obtenir un A."

La variable aléatoire X peut prendre les valeurs suivantes : 0;1;2;3.

On trouve la probabilité de chacune des valeurs possibles de X à l’aide de la formule de Bernoulli :

Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216 ;

Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216 ;

Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216 ;

Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216.

Que. la loi de distribution de la variable aléatoire X a la forme :

Contrôle : 125/216+75/216+15/216+1/216=1.

Retrouvons les caractéristiques numériques de la variable aléatoire X :

M(X)=np=3 (1/6)=1/2,

D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12,

Tâche n°4. Une machine automatique estampille les pièces. La probabilité qu'une pièce fabriquée soit défectueuse est de 0,002. Trouvez la probabilité que parmi 1000 pièces sélectionnées il y ait :

a) 5 défectueux ;

b) au moins un est défectueux.

Solution: Le nombre n=1000 est grand, la probabilité de produire une pièce défectueuse p=0,002 est faible et les événements considérés (la pièce s'avère défectueuse) sont indépendants, donc la formule de Poisson est valable :

Рn(m)= e- λ λm

Trouvons λ=np=1000 0,002=2.

a) Trouvez la probabilité qu'il y ait 5 pièces défectueuses (m=5) :

Р1000(5)= e-2 25 = 32 0,13534 = 0,0361

b) Trouvez la probabilité qu'il y ait au moins une pièce défectueuse.

L'événement A - « au moins une des pièces sélectionnées est défectueuse » est l'opposé de l'événement - « toutes les pièces sélectionnées ne sont pas défectueuses ». Par conséquent, P(A) = 1-P(). La probabilité recherchée est donc égale à : P(A)=1-P1000(0)=1- e-2 20 = 1-e-2=1-0,13534≈0,865.

Tâches pour un travail indépendant.

1.1

1.2. La variable aléatoire dispersée X est spécifiée par la loi de distribution :

Trouvez p4, la fonction de distribution F(X) et tracez son graphique, ainsi que M(X), D(X), σ(X).

1.3. Il y a 9 feutres dans la boîte dont 2 n'écrivent plus. Prenez 3 marqueurs au hasard. La variable aléatoire X est le nombre de marqueurs d'écriture parmi ceux pris. Établir une loi de distribution d'une variable aléatoire.

1.4. Il y a 6 manuels disposés au hasard sur une étagère de bibliothèque, dont 4 sont reliés. Le bibliothécaire prend 4 manuels au hasard. La variable aléatoire X est le nombre de manuels reliés parmi ceux pris. Établir une loi de distribution d'une variable aléatoire.

1.5. Il y a deux tâches sur le ticket. La probabilité de résoudre correctement le premier problème est de 0,9, le second est de 0,7. La variable aléatoire X est le nombre de problèmes correctement résolus dans le ticket. Établissez une loi de distribution, calculez l'espérance mathématique et la variance de cette variable aléatoire, trouvez également la fonction de distribution F(x) et construisez son graphique.

1.6. Trois tireurs tirent sur une cible. La probabilité d'atteindre la cible d'un seul coup est de 0,5 pour le premier tireur, de 0,8 pour le deuxième et de 0,7 pour le troisième. La variable aléatoire X est le nombre de coups sûrs sur la cible si les tireurs tirent un coup à la fois. Trouvez la loi de distribution, M(X),D(X).

1.7. Un basketteur lance le ballon dans le panier avec une probabilité de toucher chaque tir de 0,8. Pour chaque coup, il reçoit 10 points, et s'il rate, aucun point ne lui est attribué. Élaborez une loi de répartition de la variable aléatoire X - le nombre de points reçus par un basketteur en 3 tirs. Trouvez M(X),D(X), ainsi que la probabilité qu'il obtienne plus de 10 points.

1.8. Des lettres sont écrites sur les cartes, soit un total de 5 voyelles et 3 consonnes. 3 cartes sont choisies au hasard, et à chaque fois la carte prise est restituée. La variable aléatoire X est le nombre de voyelles parmi celles prises. Établissez une loi de distribution et trouvez M(X),D(X),σ(X).

1.9. En moyenne, dans 60 % des contrats, la compagnie d'assurance verse des sommes d'assurance liées à la survenance d'un événement assuré. Établissez une loi de répartition de la variable aléatoire X - le nombre de contrats pour lesquels le montant d'assurance a été payé parmi quatre contrats sélectionnés au hasard. Trouvez les caractéristiques numériques de cette quantité.

1.10. La station de radio envoie des indicatifs d'appel (pas plus de quatre) à certains intervalles jusqu'à ce qu'une communication bidirectionnelle soit établie. La probabilité de recevoir une réponse à un indicatif d'appel est de 0,3. La variable aléatoire X est le nombre d'indicatifs d'appel envoyés. Élaborez une loi de distribution et trouvez F(x).

1.11. Il y a 3 clés, dont une seule s'adapte à la serrure. Établir une loi de répartition de la variable aléatoire nombre X de tentatives d'ouverture de la serrure, si la clé essayée ne participe pas aux tentatives ultérieures. Trouvez M(X),D(X).

1.12. Des tests indépendants consécutifs de trois appareils sont effectués pour vérifier leur fiabilité. Chaque appareil suivant n'est testé que si le précédent s'est avéré fiable. La probabilité de réussir le test pour chaque appareil est de 0,9. Établir une loi de distribution pour la variable aléatoire nombre X d'appareils testés.

1.13 .La variable aléatoire discrète X a trois valeurs possibles : x1=1, x2, x3 et x1.<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины.

1.14. Le bloc appareil électronique contient 100 éléments identiques. La probabilité de défaillance de chaque élément pendant le temps T est de 0,002. Les éléments fonctionnent indépendamment. Trouvez la probabilité que pas plus de deux éléments échouent pendant le temps T.

1.15. Le manuel a été publié à 50 000 exemplaires. La probabilité que le manuel soit mal relié est de 0,0002. Trouvez la probabilité que la circulation contienne :

a) quatre livres défectueux,

b) moins de deux livres défectueux.

1 .16. Le nombre d'appels arrivant au PBX chaque minute est distribué selon la loi de Poisson avec le paramètre λ=1,5. Trouvez la probabilité que dans une minute ce qui suit arrive :

a) deux appels ;

b) au moins un appel.

1.17.

Trouvez M(Z),D(Z) si Z=3X+Y.

1.18. Les lois de distribution de deux variables aléatoires indépendantes sont données :

Trouvez M(Z),D(Z) si Z=X+2Y.

Réponses:

https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1. p3=0,4 ; 0 à x≤-2,

0,3 à -2<х≤0,

F(x)= 0,5 à 0<х≤2,

0,9 à 2<х≤5,

1 à x>5

1.2. p4=0,1 ; 0 à x≤-1,

0,3 à -1<х≤0,

0,4 à 0<х≤1,

F(x)= 0,6 à 1<х≤2,

0,7 à 2<х≤3,

1 à x>3

M(X) = 1 ; D(X) = 2,6 ; σ(X) ≈1,612.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 à x≤0,

0,03 à 0<х≤1,

F(x)= 0,37 à 1<х≤2,

1 pour x>2

M(X)=2; D(X)=0,62

M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896

1. 8 .

M(X) = 15/8 ; D(X) = 45/64 ; σ(X) ≈

M(X)=2,4; D(X)=0,96

https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.

M(X)=2; D(X)=2/3

1.14. 1,22 e-0,2≈0,999

1.15. a)0,0189 ; b) 0,00049

1.16. a)0,0702 ; b)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Chapitre 2. Variable aléatoire continue

Définition: Continu est une quantité dont toutes les valeurs possibles remplissent complètement une étendue finie ou infinie de la droite numérique.

Évidemment, le nombre de valeurs possibles d'une variable aléatoire continue est infini.

Une variable aléatoire continue peut être spécifiée à l'aide d'une fonction de distribution.

Définition: F fonction de distribution une variable aléatoire continue X est appelée fonction F(x), qui détermine pour chaque valeur xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R.

La fonction de distribution est parfois appelée fonction de distribution cumulative.

Propriétés de la fonction de distribution :

1)1≤ F(x) ≤1

2) Pour une variable aléatoire continue, la fonction de distribution est continue en tout point et différentiable partout, sauf peut-être en des points individuels.

3) La probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'un des intervalles (a;b), [a;b], [a;b], est égale à la différence entre les valeurs de la fonction F(x) aux points a et b, c'est-à-dire R(a)<Х

4) La probabilité qu'une variable aléatoire continue X prenne une valeur distincte est de 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Spécifier une variable aléatoire continue à l'aide d'une fonction de distribution n'est pas le seul moyen. Introduisons le concept de densité de distribution de probabilité (densité de distribution).

Définition : Densité de distribution de probabilité F ( X ) d'une variable aléatoire continue X est la dérivée de sa fonction de distribution, soit :

La fonction de densité de probabilité est parfois appelée fonction de distribution différentielle ou loi de distribution différentielle.

Le graphique de la distribution de densité de probabilité f(x) est appelé courbe de distribution de probabilité .

Propriétés de la distribution de densité de probabilité :

1) f(x) ≥0, sur xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" height ="62 src="> 0 à x≤2,

f(x)= c(x-2) à 2<х≤6,

0 pour x>6.

Trouvez : a) la valeur de c ; b) la fonction de distribution F(x) et tracez-la ; c) P(3≤x<5)

Solution:

+ ∞

a) On trouve la valeur de c à partir de la condition de normalisation : ∫ f(x)dx=1.

Donc -∞

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x

si 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2;

Gif" width="14" height="62"> 0 à x≤2,

F(x)= (x-2)2/16 à 2<х≤6,

1 pour x>6.

Le graphique de la fonction F(x) est présenté sur la figure 3.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 à x≤0,

F(x)= (3 arctan x)/π à 0<х≤√3,

1 pour x>√3.

Trouver la fonction de distribution différentielle f(x)

Solution: Puisque f(x)= F’(x), alors

https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24">

Toutes les propriétés d'espérance mathématique et de dispersion, évoquées précédemment pour les variables aléatoires dispersées, sont également valables pour les variables continues.

Tâche n°3. La variable aléatoire X est spécifiée par la fonction différentielle f(x) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2

X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞

D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 -

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38">

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Problèmes pour une solution indépendante.

2.1. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la fonction de distribution :

0 à x≤0,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤ π/6,

F(x)= - cos 3x à π/6<х≤ π/3,

1 pour x> π/3.

Trouvez la fonction de distribution différentielle f(x), et aussi

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3.

0 à x≤2,

f(x)= cx à 2<х≤4,

0 pour x>4.

2.4. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la densité de distribution :

0 à x≤0,

f(x)= c √x à 0<х≤1,

0 pour x>1.

Trouvez : a) le numéro c ; b) M(X), D(X).

2.5.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> à x,

0 à x.

Trouver : a) F(x) et construire son graphique ; b) M(X),D(X), σ(X); c) la probabilité que dans quatre essais indépendants la valeur de X prenne exactement 2 fois la valeur appartenant à l'intervalle (1;4).

2.6. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X est donnée :

f(x)= 2(x-2) à x,

0 à x.

Trouver : a) F(x) et construire son graphique ; b) M(X),D(X), σ (X); c) la probabilité que dans trois essais indépendants la valeur de X prenne exactement 2 fois la valeur appartenant au segment .

2.7. La fonction f(x) est donnée par :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2 ; √3/2].

2.8. La fonction f(x) est donnée par :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π/4].

Trouvez : a) la valeur de la constante c à laquelle la fonction sera la densité de probabilité d'une variable aléatoire X ; b) fonction de distribution F(x).

2.9. La variable aléatoire X, concentrée sur l'intervalle (3;7), est spécifiée par la fonction de distribution F(x)= . Trouver la probabilité que

la variable aléatoire X prendra la valeur : a) inférieure à 5, b) pas inférieure à 7.

2.10. Variable aléatoire X, concentrée sur l'intervalle (-1;4),

est donné par la fonction de distribution F(x)= . Trouver la probabilité que

la variable aléatoire X prendra la valeur : a) inférieure à 2, b) pas inférieure à 4.

2.11.

https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">.

Trouvez : a) le numéro c ; b) M(X); c) probabilité P(X> M(X)).

2.12. La variable aléatoire est spécifiée par la fonction de distribution différentielle :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> .

Trouver : a) M(X); b) probabilité P(X≤M(X))

2.13. La distribution Rem est donnée par la densité de probabilité :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> pour x ≥0.

Montrer que f(x) est bien une fonction de densité de probabilité.

2.14. La densité de distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X est donnée :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Fig. 4) (Fig.5)

2.16. La variable aléatoire X est distribuée selon la loi du « triangle rectangle » dans l'intervalle (0 ; 4) (Fig. 5). Trouvez une expression analytique pour la densité de probabilité f(x) sur toute la droite numérique.

Réponses

0 à x≤0,

f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤ π/6,

F(x)= 3sin 3x à π/6<х≤ π/3,

0 pour x> π/3. Une variable aléatoire continue X a une loi de distribution uniforme sur un certain intervalle (a;b), qui contient toutes les valeurs possibles de X, si la densité de distribution de probabilité f(x) est constante sur cet intervalle et égale à 0 en dehors de celui-ci , c'est à dire.

0 pour x≤a,

f(x)= pour un<х

0 pour x≥b.

Le graphique de la fonction f(x) est présenté sur la Fig. 1

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 pour x≤a,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=.

Tâche n°1. La variable aléatoire X est uniformément répartie sur le segment. Trouver:

a) densité de distribution de probabilité f(x) et tracez-la ;

b) la fonction de distribution F(x) et tracez-la ;

c) M(X),D(X), σ(X).

Solution: En utilisant les formules discutées ci-dessus, avec a=3, b=7, on trouve :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> à 3≤х≤7,

0 pour x>7

Construisons son graphique (Fig. 3) :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 à x≤3,

F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Fig. 4

D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 à x<0,

f(x)= λе-λх pour x≥0.

La fonction de distribution d'une variable aléatoire X, distribuée selon la loi exponentielle, est donnée par la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)=

Ainsi, l’espérance mathématique et l’écart type de la distribution exponentielle sont égaux.

La probabilité que X tombe dans l'intervalle (a;b) est calculée par la formule :

Pennsylvanie<Х

Tâche n°2. La durée moyenne de fonctionnement sans panne de l'appareil est de 100 heures. En supposant que la durée de fonctionnement sans panne de l'appareil ait une loi de distribution exponentielle, trouvez :

a) densité de distribution de probabilité ;

b) fonction de distribution ;

c) la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne de l’appareil dépasse 120 heures.

Solution: Selon la condition, la distribution mathématique M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 à x<0,

a) f(x)= 0,01e -0,01x pour x≥0.

b) F(x)= 0 à x<0,

1-e -0,01x à x≥0.

c) On trouve la probabilité souhaitée en utilisant la fonction de distribution :

P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3.

§ 3. Loi sur la distribution normale

Définition: Une variable aléatoire continue X a loi de distribution normale (loi de Gauss), si sa densité de distribution a la forme :

,

où m=M(X), σ2=D(X), σ>0.

La courbe de distribution normale est appelée courbe normale ou gaussienne (Fig.7)

La courbe normale est symétrique par rapport à la droite x=m, a un maximum en x=a, égal à .

La fonction de distribution d'une variable aléatoire X, distribuée selon la loi normale, s'exprime par la fonction de Laplace Ф (x) selon la formule :

,

où est la fonction de Laplace.

Commentaire: La fonction Ф(x) est impaire (Ф(-х)=-Ф(х)), de plus, pour x>5 on peut supposer Ф(х) ≈1/2.

Le graphique de la fonction de distribution F(x) est présenté sur la Fig. 8

https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33">

La probabilité que la valeur absolue de l'écart soit inférieure à un nombre positif δ est calculée par la formule :

En particulier, pour m=0 l’égalité suivante est vraie :

"La règle des trois Sigma"

Si une variable aléatoire X a une loi de distribution normale avec les paramètres m et σ, alors il est presque certain que sa valeur se situe dans l'intervalle (a-3σ ; a+3σ), car

https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a)

b) Utilisons la formule :

https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src=">

À partir du tableau des valeurs de fonction Ф(х) nous trouvons Ф(1,5)=0,4332, Ф(1)=0,3413.

Donc la probabilité recherchée :

P(28

Tâches pour le travail indépendant

3.1. La variable aléatoire X est uniformément distribuée dans l'intervalle (-3;5). Trouver:

b) fonction de distribution F(x);

c) caractéristiques numériques ;

d) probabilité P(4<х<6).

3.2. La variable aléatoire X est uniformément répartie sur le segment. Trouver:

a) densité de distribution f(x);

b) fonction de distribution F(x);

c) caractéristiques numériques ;

d) probabilité P(3≤х≤6).

3.3. Il y a un feu de circulation automatique sur l'autoroute, dans lequel le feu vert est allumé pendant 2 minutes, jaune pendant 3 secondes, rouge pendant 30 secondes, etc. Une voiture roule sur l'autoroute à un moment aléatoire. Trouvez la probabilité qu'une voiture passe un feu tricolore sans s'arrêter.

3.4. Les rames de métro circulent régulièrement à des intervalles de 2 minutes. Un passager entre sur le quai à une heure aléatoire. Quelle est la probabilité qu’un passager doive attendre plus de 50 secondes pour un train ? Trouvez l'espérance mathématique de la variable aléatoire X - le temps d'attente du train.

3.5. Trouvez la variance et l'écart type de la distribution exponentielle donnés par la fonction de distribution :

F(x)= 0 à x<0,

1er-8x pour x≥0.

3.6. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

f(x)= 0 à x<0,

0,7 e-0,7x à x≥0.

a) Nommez la loi de distribution de la variable aléatoire considérée.

b) Trouvez la fonction de distribution F(X) et les caractéristiques numériques de la variable aléatoire X.

3.7. La variable aléatoire X est distribuée selon la loi exponentielle spécifiée par la densité de distribution de probabilité :

f(x)= 0 à x<0,

0,4 e-0,4 x à x≥0.

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test, X prenne une valeur de l'intervalle (2,5 ; 5).

3.8. Une variable aléatoire continue X est distribuée selon la loi exponentielle spécifiée par la fonction de distribution :

F(x)= 0 à x<0,

1er-0,6x à x≥0

Trouvez la probabilité qu'à la suite du test, X prenne une valeur du segment.

3.9. La valeur attendue et l'écart type d'une variable aléatoire normalement distribuée sont respectivement 8 et 2. Trouvez :

a) densité de distribution f(x);

b) la probabilité qu'à la suite du test X prenne une valeur dans l'intervalle (10 ; 14).

3.10. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec une espérance mathématique de 3,5 et une variance de 0,04. Trouver:

a) densité de distribution f(x);

b) la probabilité qu'à la suite du test X prenne une valeur du segment .

3.11. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=0 et D(X)=1. Lequel des événements : |X|≤0,6 ou |X|≥0,6 est le plus probable ?

3.12. La variable aléatoire X est distribuée normalement avec M(X)=0 et D(X)=1. À partir de quel intervalle (-0,5 ; -0,1) ou (1 ; 2) est-elle plus susceptible de prendre une valeur au cours d'un test ?

3.13. Le prix actuel par action peut être modélisé en utilisant la loi de distribution normale avec M(X)=10 den. unités et σ (X) = 0,3 den. unités Trouver:

a) la probabilité que le cours actuel de l'action soit de 9,8 deniers. unités jusqu'à 10,4 jours unités;

b) en utilisant la « règle des trois sigma », trouvez les limites dans lesquelles se situera le cours actuel de l’action.

3.14. La substance est pesée sans erreurs systématiques. Les erreurs de pesée aléatoires sont soumises à la loi normale avec le rapport quadratique moyen σ=5g. Trouvez la probabilité que dans quatre expériences indépendantes, une erreur dans trois pesées ne se produise pas en valeur absolue 3r.

3.15. La variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=12,6. La probabilité qu'une variable aléatoire tombe dans l'intervalle (11,4 ; 13,8) est de 0,6826. Trouvez l'écart type σ.

3.16. La variable aléatoire X est distribuée normalement avec M(X)=12 et D(X)=36. Trouvez l'intervalle dans lequel la variable aléatoire X tombera à la suite du test avec une probabilité de 0,9973.

3.17. Une pièce fabriquée par une machine automatique est considérée comme défectueuse si l'écart X de son paramètre contrôlé par rapport à la valeur nominale dépasse modulo 2 unités de mesure. On suppose que la variable aléatoire X est normalement distribuée avec M(X)=0 et σ(X)=0,7. Quel pourcentage de pièces défectueuses la machine produit-elle ?

3.18. Le paramètre X de la pièce est distribué normalement avec une espérance mathématique de 2 égale à la valeur nominale et un écart type de 0,014. Trouvez la probabilité que l'écart de X par rapport à la valeur nominale ne dépasse pas 1 % de la valeur nominale.

Réponses

https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src=">

b) 0 pour x≤-3,

F(x)= gauche">

3.10. une)f(x)= ,

b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185.

3.11. |x|≥0,6.

3.12. (-0,5;-0,1).

3.13. une) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562.

3.14. 0,111.

3.15. σ = 1,2.

3.16. (-6;30).

3.17. 0,4%.

9. Variable aléatoire continue, ses caractéristiques numériques

Une variable aléatoire continue peut être spécifiée à l'aide de deux fonctions. Fonction de distribution de probabilité intégrale de la variable aléatoire X est appelée une fonction définie par l'égalité
.

La fonction intégrale fournit un moyen général de spécifier des variables aléatoires discrètes et continues. Dans le cas d'une variable aléatoire continue. Tous les événements : ont la même probabilité, égale à l'incrément de la fonction intégrale sur cet intervalle, c'est-à-dire. Par exemple, pour la variable aléatoire discrète spécifiée dans l'exemple 26, on a :

Ainsi, le graphique de la fonction intégrale de la fonction considérée est une union de deux rayons et trois segments parallèles à l'axe Ox.

Exemple 27. La variable aléatoire continue X est spécifiée par la fonction de distribution de probabilité intégrale

.

Construisez un graphique de la fonction intégrale et trouvez la probabilité qu'à la suite du test, la variable aléatoire X prenne une valeur dans l'intervalle (0,5 ; 1,5).

Solution. Sur l'intervalle
le graphique est la droite y = 0. Dans l'intervalle de 0 à 2 il y a une parabole donnée par l'équation
. Sur l'intervalle
Le graphique est la droite y = 1.

La probabilité que la variable aléatoire X à la suite du test prenne une valeur dans l'intervalle (0,5 ; 1,5) est trouvée à l'aide de la formule.

Ainsi, .

Propriétés de la fonction de distribution de probabilité intégrale :

Il est pratique de spécifier la loi de distribution d'une variable aléatoire continue à l'aide d'une autre fonction, à savoir : fonctions de densité de probabilité
.

La probabilité que la valeur prise par la variable aléatoire X se situe dans l'intervalle
, est déterminé par l'égalité
.

Le graphique de la fonction s'appelle courbe de distribution. Géométriquement, la probabilité qu'une variable aléatoire X tombe dans l'intervalle est égale à l'aire du trapèze curviligne correspondant délimitée par la courbe de répartition, l'axe Ox et les droites
.

Propriétés de la fonction de densité de probabilité :

9.1. Caractéristiques numériques des variables aléatoires continues

Valeur attendue(valeur moyenne) d'une variable aléatoire continue X est déterminée par l'égalité
.

M(X) est noté UN. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire continue a des propriétés similaires à celles d'une variable aléatoire discrète :

Variance la variable aléatoire discrète X est l'espérance mathématique de l'écart carré de la variable aléatoire par rapport à son espérance mathématique, c'est-à-dire . Pour une variable aléatoire continue, la variance est donnée par la formule
.

La dispersion a les propriétés suivantes :

La dernière propriété est très pratique à utiliser pour trouver la variance d’une variable aléatoire continue.

La notion d’écart type est introduite de la même manière. L'écart type du continu la variable aléatoire X est appelée racine carrée de la variance, c'est-à-dire
.

Exemple 28. Une variable aléatoire continue X est spécifiée par une fonction de densité de probabilité
dans l'intervalle (10;12), en dehors de cet intervalle la valeur de la fonction est 0. Trouver 1) la valeur du paramètre UN, 2) espérance mathématique M(X), variance
, écart type, 3) fonction intégrale
et construire des graphiques de fonctions intégrales et différentielles.

1). Pour trouver le paramètre UN utilise la formule
. Nous l'aurons. Ainsi,
.

2). Pour trouver l'espérance mathématique, on utilise la formule : , d'où il résulte que
.

Nous trouverons l'écart en utilisant la formule :
, c'est à dire. .

Trouvons l'écart type à l'aide de la formule : , d'où on obtient cela
.

3). La fonction intégrale est exprimée par la fonction de densité de probabilité comme suit :
. Ainsi,
à
, = 0 à
u = 1 à
.

Les graphiques de ces fonctions sont présentés dans la Fig. 4. et fig. 5.

Fig.4 Fig.5.

9.2. Distribution de probabilité uniforme d'une variable aléatoire continue

Distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue X uniformément sur l'intervalle si sa densité de probabilité est constante sur cet intervalle et égale à zéro en dehors de cet intervalle, soit . Il est facile de montrer que dans ce cas
.

Si l'intervalle
est contenu dans l'intervalle, alors
.

Exemple 29. Un événement de signal instantané doit se produire entre une heure et cinq heures. Le temps d'attente du signal est une variable aléatoire X. Trouvez la probabilité que le signal soit détecté entre deux et trois heures de l'après-midi.

Solution. La variable aléatoire X a une distribution uniforme, et en utilisant la formule on trouve que la probabilité que le signal soit entre 2 et 3 heures de l'après-midi est égale à
.

Dans la littérature éducative et autre, il est souvent désigné par
.

9.3. Distribution de probabilité normale d'une variable aléatoire continue

La distribution de probabilité d'une variable aléatoire continue est dite normale si sa loi de distribution de probabilité est déterminée par la densité de probabilité
. Pour de telles quantités UN- valeur attendue,
- écart-type.

Théorème. Probabilité qu'une variable aléatoire continue normalement distribuée tombe dans un intervalle donné
déterminé par la formule
, Où
- Fonction Laplace.

Une conséquence de ce théorème est la règle des trois sigma, c'est-à-dire Il est presque certain qu'une variable aléatoire continue et normalement distribuée X prend ses valeurs dans l'intervalle
. Cette règle peut être dérivée de la formule
, qui est un cas particulier du théorème formulé.

Exemple 30. La durée de vie du téléviseur est une variable aléatoire X, soumise à la loi normale de distribution, avec une durée de garantie de 15 ans et un écart type de 3 ans. Trouvez la probabilité que le téléviseur dure de 10 à 20 ans.

Solution. Selon les conditions du problème, l'espérance mathématique UN= 15, écart type.

Allons trouver . Ainsi, la probabilité que le téléviseur fonctionne pendant 10 à 20 ans est supérieure à 0,9.

9.4. L'inégalité de Chebyshev

Se produit Lemme de Chebyshev. Si une variable aléatoire X ne prend que des valeurs non négatives et a une espérance mathématique, alors pour tout positif V
.

En considérant que, comme la somme des probabilités d’événements opposés, on obtient que
.

Théorème de Chebyshev. Si la variable aléatoire X a une variance finie
et l'espérance mathématique M(X), alors pour tout positif l'inégalité est vraie
.

D'où il suit que
.

Exemple 31. Un lot de pièces a été produit. La longueur moyenne des pièces est de 100 cm et l'écart type est de 0,4 cm. Estimez par le bas la probabilité que la longueur d'une pièce prise au hasard soit d'au moins 99 cm. et pas plus de 101 cm.

Solution. Variance. L'espérance mathématique est de 100. Par conséquent, pour estimer par le bas la probabilité de l'événement en question
Appliquons l'inégalité de Chebyshev, dans laquelle
, Alors
.

10. Éléments de statistiques mathématiques

Agrégat statistique nommer un ensemble d’objets ou de phénomènes homogènes. Nombre P. Les éléments de cet ensemble sont appelés le volume de la collection. Valeurs observées le trait X est appelé choix. Si les options sont classées dans un ordre croissant, alors nous obtenons série à variation discrète. Dans le cas du regroupement, l'option par intervalles s'avère être série de variations d'intervalle. Sous fréquence t les valeurs caractéristiques comprennent le nombre de membres de la population avec une variante donnée.

Le rapport entre la fréquence et le volume d'une population statistique est appelé fréquence relative signe:
.

La relation entre les variantes d'une série de variations et leurs fréquences est appelée répartition statistique de l'échantillon. Une représentation graphique de la distribution statistique peut être polygone fréquence

Exemple 32. En interrogeant 25 étudiants de première année, les données suivantes sur leur âge ont été obtenues :
. Compilez une répartition statistique des élèves par âge, trouvez l'étendue de variation, construisez un polygone de fréquence et compilez une série de distributions de fréquences relatives.

Solution. En utilisant les données obtenues à partir de l'enquête, nous créerons une distribution statistique de l'échantillon

La plage de l'échantillon de variation est 23 – 17 = 6. Pour construire un polygone de fréquence, construisez des points avec des coordonnées
et connectez-les en série.

La série de distribution de fréquence relative a la forme :

10.1.Caractéristiques numériques de la série de variations

Supposons que l'échantillon soit donné par une série de distributions de fréquences de la caractéristique X :

La somme de toutes les fréquences est égale P.

Moyenne arithmétique de l'échantillon nommer la quantité
.

Variance ou la mesure de dispersion des valeurs d'une caractéristique X par rapport à sa moyenne arithmétique est appelée la valeur
. L'écart type est la racine carrée de la variance, c'est-à-dire .

Le rapport de l'écart type à la moyenne arithmétique de l'échantillon, exprimé en pourcentage, est appelé coefficient de variation:
.

Fonction de distribution de fréquence relative empirique appeler une fonction qui détermine pour chaque valeur la fréquence relative d'un événement
, c'est à dire.
, Où - nombre d'options, plus petit X, UN P.- taille de l'échantillon.

Exemple 33. Dans les conditions de l'exemple 32, retrouver les caractéristiques numériques
.

Solution. Trouvons la moyenne arithmétique de l'échantillon à l'aide de la formule, puis .

La variance du trait X est trouvée par la formule : , c'est-à-dire . L'écart type de l'échantillon est
. Le coefficient de variation est
.

10.2. Estimation de probabilité par fréquence relative. Intervalle de confiance

Qu'il soit réalisé P. essais indépendants, dans chacun desquels la probabilité d'occurrence de l'événement A est constante et égale à R.. Dans ce cas, la probabilité que la fréquence relative diffère de la probabilité d'apparition de l'événement A dans chaque essai en valeur absolue n'est pas supérieure à , est approximativement égale à deux fois la valeur de la fonction intégrale de Laplace :
.

Estimation d'intervalle appelons une telle estimation, qui est déterminée par deux nombres qui sont les extrémités de l'intervalle couvrant le paramètre estimé de la population statistique.

Intervalle de confianceest un intervalle qui, avec une probabilité de confiance donnée couvre le paramètre estimé de la population statistique. Considérant la formule dans laquelle on remplace la quantité inconnue R.à sa valeur approximative obtenu à partir des données de l’échantillon, nous obtenons :
. Cette formule est utilisée pour estimer la probabilité par fréquence relative. Nombres
Et
appelés inférieur et, respectivement, supérieur limites de confiance, - l'erreur maximale pour une probabilité de confiance donnée
.

Exemple 34. L'atelier de l'usine produit des ampoules. Lors du contrôle de 625 lampes, 40 se sont révélées défectueuses. Trouvez, avec une probabilité de confiance de 0,95, les limites dans lesquelles se situe le pourcentage d'ampoules défectueuses produites par l'atelier d'usine.

Solution. Selon les conditions de la tâche. Nous utilisons la formule
. A l'aide du tableau 2 de l'annexe, on retrouve la valeur de l'argument, dans lequel la valeur de la fonction intégrale de Laplace est égale à 0,475. Nous obtenons cela
. Ainsi, . On peut donc dire avec une probabilité de 0,95 que la part des défauts produits par l'atelier est élevée, à savoir qu'elle varie de 6,2% à 6,6%.

10.3. Estimation des paramètres en statistiques

Supposons que la caractéristique quantitative X de l'ensemble de la population étudiée (population générale) ait une distribution normale.

Si l'écart type est connu, alors l'intervalle de confiance couvrant l'espérance mathématique UN

, Où P.- taille de l'échantillon, - un exemple de moyenne arithmétique, t est l'argument de la fonction intégrale de Laplace, auquel
. Dans ce cas, le numéro
appelée précision de l’estimation.

Si l'écart type est inconnu, alors à partir des données de l'échantillon, il est possible de construire une variable aléatoire qui a une distribution de Student avec P.– 1 degrés de liberté, déterminés par un seul paramètre P. et ne dépend pas d'inconnues UN Et . Distribution t de Student même pour les petits échantillons
donne des notes tout à fait satisfaisantes. Ensuite, l'intervalle de confiance couvrant l'espérance mathématique UN de cette caractéristique avec une probabilité de confiance donnée est trouvée à partir de la condition

, où S est le carré moyen corrigé, - Coefficient de Student, trouvé à partir des données
du tableau 3 de l’annexe.

L'intervalle de confiance couvrant l'écart type de cette caractéristique avec une probabilité de confiance est trouvé à l'aide des formules : et , où
trouvé dans le tableau des valeurs q selon .

10.4. Méthodes statistiques pour étudier les dépendances entre variables aléatoires

La dépendance de corrélation de Y sur X est la dépendance fonctionnelle de la moyenne conditionnelle depuis X. L'équation
représente l'équation de régression de Y sur X, et
- équation de régression de X sur Y.

La dépendance de corrélation peut être linéaire ou curviligne. Dans le cas d'une dépendance de corrélation linéaire, l'équation de la droite de régression a la forme :
, où la pente UN la droite de régression Y sur X est appelée coefficient de régression d'échantillon Y sur X et est notée
.

Pour les petits échantillons, les données ne sont pas regroupées, les paramètres
sont trouvés en utilisant la méthode des moindres carrés du système d'équations normales :

, Où P.– nombre d'observations de valeurs de paires de quantités interdépendantes.

Exemple de coefficient de corrélation linéaire montre la relation étroite entre Y et X. Le coefficient de corrélation est trouvé à l'aide de la formule
, et
, à savoir :

L'exemple d'équation de la droite de régression Y sur X a la forme :

.

Avec un grand nombre d'observations des caractéristiques X et Y, un tableau de corrélation à deux entrées est établi, avec la même valeur X observé fois, même sens à observé fois, même paire
observé une fois.

Exemple 35. Un tableau d'observations des signes X et Y est donné.

Trouvez l’exemple d’équation de la droite de régression Y sur X.

Solution. La relation entre les caractéristiques étudiées peut être exprimée par l'équation d'une régression en ligne droite de Y sur X : . Pour calculer les coefficients de l'équation, nous allons créer une table de calcul :