Densité spectrale comment calculer. Une paire de transformées de Fourier

Une grandeur caractérisant la répartition de l'énergie sur le spectre du signal et appelée énergie densité spectrale, n'existe que pour les signaux dont l'énergie sur un intervalle de temps infini est finie et, par conséquent, la transformée de Fourier leur est applicable.

Pour les signaux qui ne décroissent pas dans le temps, l’énergie est infiniment grande et l’intégrale (1,54) diverge. Le réglage du spectre d'amplitude n'est pas possible. Cependant, la puissance moyenne Рср, déterminée par la relation

s'avère fini. Par conséquent, plus notion large"densité spectrale de puissance". Définissons-le comme la dérivée de la puissance moyenne du signal par rapport à la fréquence et notons-le Сk(п) :

L'indice k souligne que l'on considère ici la densité spectrale de puissance comme une caractéristique d'une fonction déterministe u(t) décrivant la mise en œuvre du signal.

Cette caractéristique du signal est moins significative que la densité spectrale d'amplitude, car elle est dépourvue d'informations de phase [voir. (1.38)]. Par conséquent, il est impossible de reconstruire sans ambiguïté l’implémentation originale du signal à partir de celui-ci. Cependant, l'absence d'information de phase permet d'appliquer ce concept à des signaux pour lesquels la phase n'est pas définie.

Pour établir une connexion entre la densité spectrale Сk(х) et le spectre d'amplitude, nous utiliserons le signal u(t) existant sur un intervalle de temps limité (-T<. t

où est la densité spectrale de puissance d'un signal limité dans le temps.

Il sera montré plus loin (voir § 1.11) qu'en faisant la moyenne de cette caractéristique sur de nombreuses réalisations, il est possible d'obtenir la densité spectrale de puissance pour une large classe de processus aléatoires.

Fonction d'autocorrélation d'un signal déterministe

Il existe désormais deux caractéristiques dans le domaine fréquentiel : la réponse spectrale et la densité spectrale de puissance. La caractéristique spectrale, qui contient des informations complètes sur le signal u(t), correspond à la transformée de Fourier sous la forme d'une fonction temporelle. Voyons à quoi correspond la densité spectrale de puissance, dépourvue d'information de phase, dans le domaine temporel.

Il faut supposer qu’à la même densité spectrale de puissance correspond de nombreuses fonctions temporelles différentes en phase. Le scientifique soviétique L.Ya. Khinchin et le scientifique américain N. Wiener ont trouvé presque simultanément la transformée de Fourier inverse de la densité spectrale de puissance :

Appelons la fonction temporelle généralisée r(), qui ne contient pas d'informations de phase, la fonction d'autocorrélation temporelle. Il montre le degré de corrélation entre les valeurs d'une fonction u(t) séparées par un intervalle de temps, et peut être dérivé de la théorie statistique en développant le concept de coefficient de corrélation. A noter que dans la fonction de corrélation temporelle, la moyenne est effectuée dans le temps au sein d'une réalisation d'une durée suffisamment longue.

Pour être complet, nous discutons brièvement ci-dessous des concepts de spectre et de densité spectrale. L'application de ces concepts importants est décrite plus en détail dans. Nous ne les utilisons pas pour l’analyse de séries chronologiques dans ce livre, cette section peut donc être ignorée lors de votre première lecture.

Exemple de spectre. Lors de la définition du périodogramme (2.2.5), on suppose que les fréquences sont des harmoniques de la fréquence fondamentale. En introduisant un spectre, nous assouplissons cette hypothèse et permettons à la fréquence de varier continuellement dans la plage de 0 à 0,5 Hz. La définition d'un périodogramme peut être modifiée comme suit :

, , (2.2.7)

où est appelé le spectre de l’échantillon. Comme un périodogramme, il peut être utilisé pour détecter et estimer les amplitudes de la composante sinusoïdale d'une fréquence inconnue cachée dans le bruit, et en effet, il est encore plus pratique à moins que l'on sache que la fréquence est liée harmoniquement à la longueur de la série, c'est-à-dire De plus, c'est le point de départ de la théorie de l'analyse spectrale, utilisant la relation importante donnée en annexe A2.1. Cette relation établit un lien entre l'analyse du spectre d'échantillon et les estimations de la fonction d'autocovariance :

. (2.2.8)

Ainsi, le spectre de l'échantillon est la transformée en cosinus de Fourier de la fonction d'autocovariance de l'échantillon.

Spectre. Le périodogramme et le spectre d'échantillon sont des concepts pratiques pour analyser des séries temporelles formées par un mélange d'ondes sinusoïdales et cosinusoïdales avec des fréquences constantes cachées dans le bruit. Cependant, les séries temporelles stationnaires du type décrit dans la Sect. 2.1, sont caractérisés par des changements aléatoires de fréquence, d'amplitude et de phase. Pour de telles séries, le spectre des échantillons fluctue considérablement et ne permet aucune interprétation raisonnable.

Supposons cependant que le spectre de l'échantillon ait été calculé pour une série temporelle à partir d'observations qui constituent une réalisation d'un processus normal stationnaire. Comme mentionné ci-dessus, un tel processus n'a pas de composantes sinus ou cosinus déterministes, mais nous pouvons effectuer formellement une analyse de Fourier et obtenir des valeurs pour , pour n'importe quelle fréquence. Si des observations répétées sont générées par un processus stochastique, nous pouvons collecter une population de valeurs et . Nous pouvons alors trouver la valeur moyenne sur des réalisations répétées de longueur, à savoir

. (2.2.9)

Pour les grandes valeurs, on peut montrer (voir, par exemple) que la valeur moyenne de l'autocovariance dans des implémentations répétées tend vers l'autocovariance théorique, c'est-à-dire

En passant à la limite de (2.2.9) pour , nous définissons le spectre de puissance comme

, . (2.2.10)

Notez que depuis

puis pour que le spectre converge, il faut qu'il décroisse avec la croissance si vite qu'il assure la convergence de la série (2.2.11). Puisque le spectre de puissance est la transformée de Fourier cosinus de la fonction d'autocovariance, connaître la fonction d'autocovariance équivaut mathématiquement à connaître le spectre de puissance et vice versa. À partir de maintenant, nous appellerons simplement le spectre de puissance le spectre.

En intégrant (2.2.10) dans la plage de 0 à 1/2, on retrouve la dispersion du processus

. (2.2.12)

Ainsi, tout comme un périodogramme montre comment la dispersion (2.2.6) d’une série constituée d’un mélange d’ondes sinusoïdales et cosinusoïdales est répartie entre les différentes composantes harmoniques, un spectre montre comment la dispersion d’un processus stochastique se répartit sur une période continue. gamme de fréquences. Peut être interprété comme une valeur approximative de la variance du processus dans la plage de fréquences de à .

Spectre normalisé. Parfois, il est plus pratique de définir le spectre (2.2.10) en utilisant des autocorrélations plutôt que des autocovariances. Fonction résultante

, (2.2.13). Cependant, on peut montrer (voir) que le spectre d'échantillon d'une série temporelle stationnaire fluctue fortement autour du spectre théorique. L'explication intuitive de ce fait est que le spectre échantillonné correspond à l'utilisation d'un intervalle trop étroit dans le domaine fréquentiel. Cela revient à utiliser un intervalle de regroupement trop étroit pour un histogramme lors de l'estimation d'une distribution de probabilité normale à l'aide d'un estimateur modifié ou lissé.

, (2.2.14)

où - des poids spécialement sélectionnés, appelés fenêtre de corrélation, peuvent augmenter la « bande passante » de l'estimation et obtenir une estimation lissée du spectre.

Sur la fig. La figure 2.8 montre un exemple d'évaluation du spectre des données de lots de produits. On constate que la dispersion de la série se concentre principalement aux hautes fréquences. Ceci est dû aux oscillations rapides de la série originale illustrée à la Fig. 2.1.

La fonction n’est pas périodique, elle ne peut donc pas être développée en série de Fourier. En revanche, la fonction, du fait de sa durée illimitée, n'est pas intégrable et ne peut donc pas être représentée par l'intégrale de Fourier. Pour éviter ces difficultés, une fonction auxiliaire est introduite, qui coïncide avec la fonction sur l'intervalle et est égale à zéro en dehors de cet intervalle :

(5.15)

La fonction est intégrable et il existe une transformée de Fourier directe (intégrale de Fourier) :

(5.16)

Densité spectrale de puissance signal aléatoire (ou simplement densité spectrale ) est appelée une fonction de la forme :

(5.17)

La densité spectrale est une fonction caractérisant la répartition des valeurs moyennes des carrés des amplitudes des harmoniques du signal. La densité spectrale a les propriétés suivantes :

1. Plus le processus aléatoire stationnaire change rapidement, plus le graphique est large .

2. Les pics individuels sur le graphique de densité spectrale indiquent la présence de composantes périodiques dans un signal aléatoire.

3. La densité spectrale est une fonction paire :

(5.18)

La densité spectrale est liée à la dispersion du signal comme suit :

(5.19)

Expérimentalement, la densité spectrale est déterminée (calculée) selon le schéma suivant :

Riz. 5.6.

La densité spectrale est liée à la fonction de corrélation par l'expression suivante (d'après le théorème de Khinchin-Wiener) :

(5.20)

(5.21)

Si nous développons les facteurs et utilisons la formule d'Euler et prenons en compte le fait que , et sont des fonctions paires et sont une fonction impaire, alors les expressions (5.20), (5.21) peuvent être transformées sous la forme suivante :

(5.22)

(5.23)

Les expressions (5.23), (5.24) sont utilisées dans les calculs pratiques. Il est facile de voir que lorsque l’expression (5.24) détermine la dispersion d’un processus aléatoire stationnaire :

(5.24)

Les relations reliant la fonction de corrélation et la densité spectrale ont toutes les propriétés inhérentes à la transformée de Fourier et déterminent les caractéristiques comparatives suivantes : plus le graphe est large, plus le graphe est étroit, et vice versa, plus la fonction décroît vite, plus la fonction décroît lentement. . Cette relation est illustrée par les graphiques des Fig. (5.7), (5.8)

Riz. 5.7.

Riz. 5.8.

La ligne 1 des deux figures correspond à un signal aléatoire variant lentement, dont le spectre est dominé par les harmoniques basses fréquences. Les lignes 2 correspondent à un signal à évolution rapide dont le spectre est dominé par les harmoniques hautes fréquences.

Si un signal aléatoire change très fortement dans le temps et qu'il n'y a pratiquement aucune corrélation entre ses valeurs précédentes et suivantes, alors la fonction de corrélation a la forme d'une fonction delta (ligne 3). Le graphique de densité spectrale représente dans ce cas une ligne horizontale dans la plage. Cela indique que les amplitudes harmoniques sont les mêmes sur toute la gamme de fréquences. Ce signal est appelé bruit blanc (par analogie avec la lumière blanche, dans laquelle, comme on le sait, l'intensité de toutes les composantes est la même).

Le concept de « bruit blanc » est une abstraction mathématique. Physiquement, les signaux sous forme de bruit blanc ne sont pas réalisables, puisqu'à un spectre infiniment large correspond une dispersion infiniment grande, et donc une puissance infiniment grande. Cependant, les systèmes réels avec un spectre fini peuvent souvent être considérés approximativement comme du bruit blanc. Cette simplification est valable dans les cas où le spectre du signal est beaucoup plus large que la bande passante du système sur lequel agit le signal.

Laisse le signal s(t) est spécifié comme fonction non périodique et n'existe que sur l'intervalle ( t 1 ,t 2) (exemple - impulsion unique). Choisissons une période de temps arbitraire T, y compris l'intervalle ( t 1 ,t 2) (voir Fig. 1).

Notons le signal périodique obtenu à partir de s(t), sous la forme ( t). Ensuite, nous pouvons écrire la série de Fourier pour cela

Pour accéder à la fonction s(t) suit dans l'expression ( t) diriger la période vers l’infini. Dans ce cas, le nombre de composantes harmoniques avec des fréquences w=n 2p/T sera infiniment grand, la distance qui les sépare tendra vers zéro (vers une valeur infinitésimale :

les amplitudes des composantes seront également infinitésimales. Il n’est donc plus possible de parler du spectre d’un tel signal, puisque le spectre devient continu.

L'intégrale interne est fonction de la fréquence. C'est ce qu'on appelle la densité spectrale du signal, ou la réponse en fréquence du signal et est désignée c'est-à-dire

Pour généralité, les limites de l'intégration peuvent être fixées à l'infini, puisque c'est tout de même où s(t) est égal à zéro, et l'intégrale est égale à zéro.

L'expression de la densité spectrale est appelée transformée de Fourier directe. La transformée de Fourier inverse détermine la fonction temporelle d'un signal à partir de sa densité spectrale

Les transformées de Fourier directe (*) et inverse (**) sont appelées ensemble une paire de transformées de Fourier. Module de densité spectrale

détermine la réponse amplitude-fréquence (AFC) du signal et son argument appelée réponse phase-fréquence (PFC) du signal. La réponse en fréquence du signal est une fonction paire et la réponse en phase est une fonction impaire.

La signification du module S(w) est défini comme l'amplitude d'un signal (courant ou tension) par 1 Hz dans une bande de fréquences infiniment étroite qui inclut la fréquence en question w. Sa dimension est [signal/fréquence].

Spectre énergétique du signal. Si la fonction s(t) a une densité de puissance de signal de Fourier ( densité spectrale d'énergie du signal) est déterminé par l'expression :

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Le spectre de puissance est une fonction paire non négative réelle W(), généralement appelée spectre d'énergie. Le spectre de puissance, en tant que carré du module de la densité spectrale du signal, ne contient pas d'informations de phase sur ses composantes de fréquence et, par conséquent, la reconstruction du signal à partir du spectre de puissance est impossible. Cela signifie également que des signaux présentant des caractéristiques de phase différentes peuvent avoir le même spectre de puissance. En particulier, le décalage du signal n'affecte pas son spectre de puissance. Cette dernière permet d'obtenir une expression du spectre énergétique directement à partir des expressions (5.2.7). A la limite, pour des signaux identiques u(t) et v(t) avec un décalage t 0, la partie imaginaire du spectre Wuv() tend vers des valeurs nulles, et la partie réelle tend vers les valeurs du module spectral . Avec une combinaison temporelle complète de signaux, nous avons :

ceux. l'énergie du signal est égale à l'intégrale du module carré de son spectre de fréquence - la somme de l'énergie de ses composantes de fréquence, et est toujours une valeur réelle.

Pour un signal arbitraire s(t) l'égalité

généralement appelée égalité de Parseval (en mathématiques - théorème de Plancherel, en physique - formule de Rayleigh). L'égalité est évidente, puisque les représentations de coordonnées et de fréquence ne sont essentiellement que des représentations mathématiques différentes du même signal. De même pour l'énergie d'interaction de deux signaux :

De l’égalité de Parseval il résulte que le produit scalaire des signaux et de la norme par rapport à la transformée de Fourier est invariant :

Dans un certain nombre de problèmes purement pratiques d'enregistrement et de transmission de signaux, le spectre énergétique du signal est très important. Les signaux périodiques sont traduits dans la région spectrale sous la forme de séries de Fourier. Écrivons un signal périodique de période T sous la forme d'une série de Fourier sous forme complexe :

L'intervalle 0-T contient un nombre entier de périodes de tous les exposants de l'intégrande et est égal à zéro, à l'exception de l'exponentielle à k = -m, pour laquelle l'intégrale est égale à T. En conséquence, la puissance moyenne d'un le signal périodique est égal à la somme des carrés des modules des coefficients de sa série de Fourier :

Spectre énergétique du signal – c’est la répartition de l’énergie des signaux de base qui composent le signal non harmonique sur l’axe des fréquences. Mathématiquement, le spectre énergétique du signal est égal au carré du module de la fonction spectrale :

En conséquence, le spectre amplitude-fréquence montre l'ensemble des amplitudes des composantes des signaux de base sur l'axe des fréquences, et le spectre phase-fréquence montre l'ensemble des phases

Le module de la fonction spectrale est souvent appelé spectre d'amplitude, et son argument est spectre de phase.

De plus, il existe une transformée de Fourier inverse qui permet de restituer le signal d'origine, connaissant sa fonction spectrale :

Par exemple, prenons une impulsion rectangulaire :

Autre exemple de spectres :

Fréquence de Nyquist, théorème de Kotelnikov .

Fréquence de Nyquist - en traitement numérique du signal, une fréquence égale à la moitié de la fréquence d'échantillonnage. Nommé d'après Harry Nyquist. Du théorème de Kotelnikov, il s'ensuit que lors de l'échantillonnage d'un signal analogique, il n'y aura aucune perte d'information uniquement si le spectre (densité spectrale) du signal est égal ou inférieur à la fréquence de Nyquist. Sinon, lors de la restauration d'un signal analogique, il y aura un chevauchement des « queues » spectrales (substitution de fréquence, masquage de fréquence) et la forme du signal restauré sera déformée. Si le spectre du signal ne comporte aucune composante supérieure à la fréquence de Nyquist, il peut (théoriquement) être échantillonné puis reconstruit sans distorsion. En fait, la « numérisation » d'un signal (conversion d'un signal analogique en un signal numérique) est associée à la quantification des échantillons - chaque échantillon est écrit sous la forme d'un code numérique de profondeur de bits finie, de sorte que des erreurs de quantification (arrondi) sont ajoutées aux échantillons, dans certaines conditions considérées comme du « bruit de quantification ».

Les signaux réels de durée finie ont toujours un spectre infiniment large, qui diminue plus ou moins rapidement avec l'augmentation de la fréquence. Par conséquent, l’échantillonnage du signal entraîne toujours une perte d’informations (distorsion de la forme du signal lors de l’échantillonnage et de la reconstruction), quelle que soit la fréquence d’échantillonnage. Au taux d'échantillonnage sélectionné, la distorsion peut être réduite en supprimant les composantes spectrales du signal analogique (pré-échantillonnage) au-dessus de la fréquence de Nyquist, ce qui nécessite un filtre d'ordre très élevé pour éviter le repliement. La mise en œuvre pratique d'un tel filtre est très compliquée, car les caractéristiques amplitude-fréquence des filtres ne sont pas rectangulaires, mais lisses, et une certaine bande de fréquence de transition se forme entre la bande passante et la bande de suppression. Par conséquent, la fréquence d'échantillonnage est choisie avec une marge, par exemple, dans les CD audio, une fréquence d'échantillonnage de 44 100 Hz est utilisée, tandis que la fréquence la plus élevée du spectre des signaux audio est considérée comme étant de 20 000 Hz. La marge de fréquence Nyquist de 44 100/2 - 20 000 = 2 050 Hz vous permet d'éviter la substitution de fréquence lors de l'utilisation du filtre d'ordre inférieur implémenté.

Théorème de Kotelnikov

Afin de restaurer le signal continu d'origine à partir d'un signal échantillonné avec de petites distorsions (erreurs), il est nécessaire de sélectionner rationnellement le pas d'échantillonnage. Par conséquent, lors de la conversion d'un signal analogique en un signal discret, la question se pose nécessairement de la taille du pas d'échantillonnage. Intuitivement, il n'est pas difficile de comprendre l'idée suivante. Si un signal analogique a un spectre basse fréquence limité par une certaine fréquence supérieure Fe (c'est-à-dire que la fonction u(t) a la forme d'une courbe variant progressivement, sans changements brusques d'amplitude), alors il est peu probable que cette fonction puisse changer de manière significative sur un petit intervalle de temps d’échantillonnage. Il est bien évident que la précision de la reconstruction d'un signal analogique à partir de la séquence de ses échantillons dépend de la taille de l'intervalle d'échantillonnage. Plus celui-ci est court, moins la fonction u(t) différera d'une courbe lisse traversant l'échantillon. points. Cependant, à mesure que l’intervalle d’échantillonnage diminue, la complexité et le volume des équipements de traitement augmentent considérablement. Si l'intervalle d'échantillonnage est suffisamment grand, la probabilité de distorsion ou de perte d'informations lors de la reconstruction d'un signal analogique augmente. La valeur optimale de l'intervalle d'échantillonnage est établie par le théorème de Kotelnikov (d'autres noms sont le théorème d'échantillonnage, le théorème de K. Shannon, le théorème de X. Nyquist : le théorème a été découvert pour la première fois dans les mathématiques d'O. Cauchy, puis décrit à nouveau par D. Carson et R. Hartley), prouvé par lui en 1933, le théorème de V. A. Kotelnikov a une signification théorique et pratique importante : il permet d'échantillonner correctement un signal analogique et détermine la manière optimale de le restituer à la réception à partir des valeurs d'échantillonnage.

Selon l'une des interprétations les plus célèbres et les plus simples du théorème de Kotelnikov, un signal arbitraire u(t), dont le spectre est limité par une certaine fréquence Fe, peut être complètement reconstruit à partir de la séquence de ses valeurs de référence, suivie d'un temps intervalle

L'intervalle d'échantillonnage et la fréquence Fe(1) en ingénierie radio sont souvent appelés respectivement intervalle et fréquence de Nyquist. Du point de vue analytique, le théorème de Kotelnikov est présenté à côté de

où k est le numéro d'échantillon ; - valeur du signal aux points de référence - fréquence supérieure du spectre du signal.

Représentation fréquentielle de signaux discrets .

La plupart des signaux peuvent être représentés sous forme de séries de Fourier :

En ingénierie radio statistique et en physique, lors de l'étude des signaux déterministes et des processus aléatoires, leur représentation spectrale sous forme de densité spectrale, basée sur la transformée de Fourier, est largement utilisée.

Si le processus $x(t)$ a une énergie finie et est quadratiquement intégrable (et il s'agit d'un processus non stationnaire), alors pour une mise en œuvre du processus, la transformée de Fourier peut être définie comme une fonction complexe et aléatoire de la fréquence :

Fonction $S\_x(f)=|X(f)|^2$ caractérise ainsi la répartition de l'énergie de mise en œuvre le long de l'axe des fréquences et est appelée densité spectrale de mise en œuvre. En faisant la moyenne de cette fonction sur toutes les implémentations, la densité spectrale du processus peut être obtenue.

Passons maintenant à un processus aléatoire stationnaire, au sens large, centré $x(t)$, dont les réalisations avec probabilité 1 ont une énergie infinie et, par conséquent, n'ont pas de transformée de Fourier. La densité spectrale de puissance d'un tel processus peut être trouvée sur la base du théorème de Wiener-Khinchin comme transformée de Fourier de la fonction de corrélation :

Si nous supposons dans les formules (3) et (4) respectivement $f=0$ Et $\backslash tau=0$, nous avons

La formule (6), prenant en compte (2), montre que la dispersion détermine l'énergie totale d'un processus aléatoire stationnaire, qui est égale à l'aire sous la courbe de densité spectrale. Valeur dimensionnelle $S\_x(f)df$ peut être interprété comme la fraction d’énergie concentrée dans une petite gamme de fréquences allant de $f-df/2$à $f+df/2$. Si nous entendons par $x(t)$ Courant ou tension aléatoire (fluctuation), alors la valeur $S\_x(f)$ aura la dimension énergétique [V 2 /Hz] = [V 2 s]. C'est pourquoi $S\_x(f)$ parfois appelé spectre énergétique. Dans la littérature, on peut souvent trouver une autre interprétation : $\backslash sigma\_x^2$– est considérée comme la puissance moyenne libérée par le courant ou la tension aux bornes d’une résistance de 1 ohm. En même temps, la valeur $S\_x(f)$ appelé spectre de puissance processus aléatoire.

Propriétés de densité spectrale

• Le spectre énergétique d'un processus stationnaire (matériau ou complexe) est une grandeur non négative :

• Fonction de corrélation $k\_x(\backslash tau)$ et spectre énergétique $S\_x(f)$ les processus aléatoires stationnaires au sens large ont toutes les propriétés caractéristiques d'une paire de transformées de Fourier mutuelles. En particulier, plus le spectre est « large » $S\_x(f)$ plus la fonction de corrélation est « étroite » $k\_x(\backslash tau)$, et vice-versa. Ce résultat est quantifié comme une relation de principe ou d'incertitude.

Voir aussi

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Littérature

1. Zyuko, A.G. Théorie de la transmission du signal / A. G. Zyuko [et al.]. - M. : Communication, 1980. - 288 p.
2. Tikhonov, V.I. Analyse statistique et synthèse des dispositifs et systèmes d'ingénierie radio / V. I. Tikhonov, V. N. Kharisov. - M. : Radio et communication, 2004. - 608 p. - ISBN5-256-01701-2.
3. Tikhonov, V.I. Théorie statistique des dispositifs d'ingénierie radio / V. I. Tikhonov, Yu. N. Bakaev. - M. : Académie du nom. prof. N.E. Joukovski, 1978. - 420 p.

Un extrait caractérisant la densité spectrale