Comparer les résultats d'opérations arithmétiques.

Nous diviserons les questions de méthodologie pour étudier les opérations arithmétiques en deux parties. Dans cette partie, nous verrons comment former les idées des élèves sur l'addition, la soustraction, la multiplication, la division, le concept d'opération arithmétique, leurs propriétés et, dans la partie suivante du chapitre, comment développer des compétences informatiques.

7.3.1. Objectifs et résultats de l'étude des opérations arithmétiques. Les opérations arithmétiques sont des concepts clés de la théorie des nombres et la caractéristique la plus importante des ensembles de nombres. Leur étude fait partie intégrante de la formation du concept de nombre et des compétences informatiques. En mathématiques, la généralisation des opérations arithmétiques a conduit au concept d'opération, puis à des concepts tels que structure mathématique, groupe, anneau, champ, qui jouent un rôle énorme dans les mathématiques modernes et dans son application dans divers domaines de la vie. L'apprentissage des opérations arithmétiques permet aux enfants d'entrer intuitivement en contact avec de nombreuses idées mathématiques, en particulier avec les idées de fonctionnalité, de structure mathématique, de modélisation mathématique et de principe de dualité. Les opérations arithmétiques ont un riche potentiel pour le développement de la pensée, de la parole, de la formation et du développement d'actions éducatives universelles.

Les opérations arithmétiques dans les formes modernes de notation sont pratiques pour observer et découvrir des modèles et construire des séquences numériques. Ils permettent d'inventer des méthodes d'exécution d'actions et des algorithmes correspondants, des méthodes de conversion d'expressions numériques, et peuvent donc servir de moyen de développer une pensée indépendante et des capacités créatives. La tâche consistant à enseigner le calcul n’a pas perdu de son importance, même si le rôle des compétences informatiques a désormais changé. Les objectifs de l'étude des opérations arithmétiques et les exigences relatives aux résultats de leur étude ont également changé.

Objectifs d'apprentissage opérations arithmétiques écoliers plus jeunes - développement personnel et intellectuel, développement d'idées sur les opérations numériques et arithmétiques, formation de compétences informatiques, connaissance propédeutique des idées clés des mathématiques, obtention des résultats prévus.

Les résultats personnels et méta-matières sont garantis par a) la nature de la présentation par les étudiants des opérations arithmétiques, y compris la prise en compte non seulement de leurs aspects étroitement substantiels, mais également interdisciplinaires et humanitaires ; b) une attention accrue à la signification des opérations arithmétiques, aux connexions et conclusions logiques, à l'utilisation des opérations arithmétiques pour décrire le monde qui nous entoure ; c) l'inclusion dans le processus d'étude de l'expérience numérique subjective existante et émergente des enfants, l'expérience de la cognition.

Résultats personnelsétudier les opérations arithmétiques - une attitude formée envers le monde, les gens, soi-même, l'apprentissage, les nombres et les opérations arithmétiques. Résultats du méta-sujet liée aux opérations arithmétiques est la capacité de les utiliser comme modèles d'actions objectives et moyens d'obtenir de nouvelles informations dans divers domaines de la connaissance et de la vie quotidienne, c'est la capacité d'utiliser des dessins, des diagrammes, des tableaux comme moyen de comprendre les significations et les propriétés d'opérations arithmétiques; connaissance des méthodes arithmétiques générales pour résoudre des problèmes ; modéliser des situations à l’aide d’opérations arithmétiques. Les résultats méta-sujets de l'étude des opérations arithmétiques incluent également les UUD formés lors de l'étude de tout matériel pédagogique.

Résultats du sujet- c'est ce que chaque élève saura sur les opérations arithmétiques en tant qu'objets mathématiques, ce qu'il apprendra et aura l'occasion d'apprendre et d'apprendre. La responsabilité de l’enseignant est de veiller à ce que tous les élèves, à la fin de l’école primaire, atteignent les résultats prévus dans l’étude des opérations arithmétiques conformément aux exigences de la norme éducative de l’État fédéral NEO. Une version des résultats prévus du sujet est présentée ci-dessous.

À la suite de ses études en opérations arithmétiques, un diplômé du primaire apprendra: utiliser des opérations arithmétiques pour décrire et expliquer les objets, processus, phénomènes environnants, leurs relations quantitatives et spatiales, pour résoudre des problèmes verbaux (en 2 à 3 actions) ; effectuer oralement des additions, des soustractions, des multiplications et des divisions de nombres à un chiffre, à deux chiffres et à trois chiffres dans des cas pouvant être réduits à des opérations inférieures à 100 (y compris avec zéro et le chiffre 1) ; effectuer des opérations arithmétiques avec des nombres à plusieurs chiffres à l'aide d'algorithmes de calcul écrits (addition, soustraction, multiplication et division par nombres à un chiffre ou à deux chiffres inférieurs à 10 000), utiliser une calculatrice pour vérifier l'exactitude des calculs oraux et écrits ; isoler la composante inconnue d'une opération arithmétique et trouver sa valeur ; calculer la valeur d'une expression numérique contenant 2-3 opérations arithmétiques, avec et sans parenthèses.

Diplômé aura l'occasion d'apprendre: utiliser les propriétés des opérations arithmétiques pour simplifier et rationaliser les calculs ; effectuer des actions avec des valeurs de valeur ; vérifier l'exactitude des calculs, y compris les calculatrices (en utilisant l'action inverse, l'estimation et l'évaluation du résultat de l'action).

Après avoir formulé les résultats prévus, il est nécessaire de préciser les outils de diagnostic et le matériel de diagnostic permettant d'identifier dans quelle mesure un diplômé de l'école primaire a atteint les résultats prévus. Vous trouverez ci-dessous l'une des options possibles pour les tâches d'évaluation finale des résultats du sujet et du méta-sujet.

UN. Un niveau de base de.

1. Une partie du mur du modèle de maison est constituée de 5 blocs de bois identiques en forme de parallélépipède. (Les dimensions du bloc sont de 10 cm × 2 cm × 2 cm. Les barres sont empilées sur le bureau.) A l'aide des mesures des longueurs des côtés et des opérations d'addition, soustraction, multiplication et division, caractérisez cette partie de le mur en répondant aux questions : 1.1. Quelle est la longueur, l'épaisseur, la hauteur de cette partie du mur ? 1.2. Quelle est la superficie de l’intérieur du mur ? 1.3. Comparez les longueurs des côtés de la barre à l'aide des questions « Sont-elles égales ou inégales ? », « Combien de centimètres de plus (plus petit) ? », « Combien de fois plus (plus petit) ?

2. 4 560 kg de céréales de riz en sacs de 80 kg chacun et 64 sacs de sarrasin ont été amenés à l'entrepôt. Combien de sacs de céréales ont été apportés à l’entrepôt ?

3. Trouvez la signification des expressions : (360 – 24 ∙ 5) : 40 ; 450 :50 ; 78:4 ; 73 + 89 ; 0 ∙ 256 ; (36 : 9 – 3) ∙ 17 ; 32 ∙ (1462 + 748) : (7846 – 7781)

DANS. Niveau augmenté.

1. Une partie du mur du modèle de maison est constituée de 5 blocs de bois identiques en forme de parallélépipède. (Les dimensions du bar sont de 10 cm × 2 cm × 2 cm. Les barres sont empilées sur le bureau.)

En mesurant les longueurs des côtés et les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et de division, caractérisez cette partie du mur en répondant aux questions : 1.1. Quelles sont la longueur, la largeur et l’épaisseur de cette partie du mur ? 1.2. Quelle est la superficie de l’intérieur du mur ? 1.3. Quel est le volume du bloc ? le volume du mur ? 1.4. Comparez les longueurs des côtés du bloc à l'aide des questions « Combien de centimètres de plus (plus petit) ? », « Combien de fois de plus (plus petit) ? » 1.5. Comparez le volume d'une partie du mur et le volume du bloc.

2. Dans l'entrepôt se trouvent 4 560 kg de céréales de riz en sacs de 80 kg chacun et 3 840 kg de sarrasin en 64 sacs. Quel sac de céréales est le plus lourd et de combien ? Quelle céréale contient le plus de sacs et de combien ?

3. Trouver les valeurs d'expressions numériques à l'aide de calculs mentaux et de propriétés d'opérations arithmétiques : (480 – 24 ∙ 6) : 16 ; 354 + 188 ; 162:4 ; 18∙4 – 1345∙0 ; 317 : 50 ; 45h45 ; (27 - 108 : 9) ∙ 17.

4. Trouver les valeurs d'expressions numériques à l'aide d'algorithmes de calcul écrits : 26 (1672 + 1448) : (4825 – 4773)

« La compétence testée : la capacité à effectuer des opérations arithmétiques à l'aide des algorithmes étudiés (addition, soustraction, multiplication et division par nombres à un chiffre et à deux chiffres inférieurs à 10 000). Définition de la ligne de base. Calculer : 2072 : 37. Tâche de niveau avancé. Petya a effectué la multiplication et a vu que le même nombre était répété quatre fois dans l'enregistrement. Il a couvert ce numéro de cartes et a invité Misha à deviner ce numéro. Quel est le nombre?

Marquez la bonne réponse ✔. □ 0 □ 4 □ 5 □ 6. »

« Compétence: comprendre le sens de la division avec un reste, mettre en évidence le quotient incomplet et le reste. Définition de la ligne de base. Nous avons acheté des bonbons comme cadeaux. Il y a 199 bonbons au total. Vous devez mettre 5 bonbons dans chaque cadeau. Combien de bonbons restera-t-il ? Nous avons acheté 18 billets pour une voiture à compartiment pour l'équipe de football. Numéros de billets de 1 à 18. Dans combien de compartiments les joueurs de football seront-ils logés si chaque compartiment peut accueillir 4 personnes ?

« Capacité : estimer et vérifier le résultat d'une opération arithmétique. Tâche 31 niveau de base. Quel nombre est le résultat de l'action 12064 : 4 ? Entourez le numéro de la réponse. 1) à deux chiffres ; 2) à trois chiffres ; 3) à quatre chiffres ; 4) à cinq chiffres.

Tâche 32 niveau avancé. Est-ce que 1 000 roubles suffisent pour acheter quatre livres au prix de 199 roubles par livre et un calendrier pour 250 roubles ? Écrivez et expliquez votre réponse. Répondre: …

Explication. Réponse : pas assez. Un exemple d'explication : après avoir acheté quatre livres, il restera un peu plus de deux cents roubles. Cet argent ne suffit pas pour acheter un calendrier pour 250 roubles. ..." 18 Une explication possible : « Ce n'est pas suffisant. Dans 1000 roubles. contient 5 fois 200 roubles. Ils paient 4 fois pour 1 rouble. moins de 200, c'est-à-dire pour 4 r. moins de 4 fois pour 200 roubles. Après avoir payé quatre livres, il ne restera que 4 roubles. plus de 200, ce qui fait moins de 250. » Si l'explication est donnée « Ce n'est pas suffisant, car : 199 ∙ 4 = 796 (r.) ; 1000 – 796 = 204 (à droite) ; 204< 250», то оценить владение прикидкой и оценкой по этому ответу нельзя, так как в этом обосновании они не показаны.

7.3.2. La séquence d'apprentissage des opérations arithmétiques à l'école primaire. Traditionnellement, les opérations arithmétiques sont étudiées dans la séquence : addition et soustraction, multiplication, division (entier) et division avec reste. Cet ordre est visible dans de nombreux manuels de mathématiques des écoles primaires. Il existe cependant d’autres approches pour séquencer l’apprentissage par l’action.

Dans l'histoire de l'enseignement primaire russe, les opérations d'addition et de soustraction ont été introduites et étudiées de manière séquentielle pendant une longue période, avec un décalage temporel important. Ensuite, l'opinion a été reconnue selon laquelle le travail à long terme avec une opération arithmétique rend difficile la maîtrise des deux opérations, car les étudiants parviennent à développer un certain stéréotype, qui doit ensuite être détruit. L'introduction simultanée ou séquentielle de l'addition et de la soustraction dans les leçons successives crée des conditions de comparaison des actions, ce qui contribue à une meilleure assimilation des sens. Par conséquent, depuis le milieu du siècle dernier, il était recommandé dans notre école d'étudier simultanément et d'introduire les opérations d'addition et de soustraction dans une ou plusieurs leçons séquentielles.

Il n’y a aucun désaccord concernant la séquence d’introduction de la multiplication et de la division. La multiplication est généralement introduite légèrement avant la division. La division commence à être étudiée une fois que les élèves maîtrisent le sens de la multiplication. Parfois, après avoir introduit la multiplication, ils étudient la multiplication par table, puis seulement la division. Mais le plus souvent, la division tabulaire est envisagée simultanément avec la multiplication tabulaire dans la même leçon ou dans des leçons consécutives après l'introduction de la division.

Il existe différents points de vue concernant séquences d'apprentissage divisions complètes Et division avec reste. Selon l'un d'eux, la division entière, ses significations et les cas tabulaires de division sont d'abord introduits. Après leur assimilation, la division avec reste est introduite comme une action spéciale, avec ses propres significations, propriétés et algorithmes basés sur la division par table dans son ensemble. Ensuite, les techniques non tabulaires de base de division par tout et de division avec reste sont considérées, ainsi que la division écrite en tant que division avec reste, dont un cas particulier est la division par un tout - avec reste 0.

Selon un autre point de vue, la division en tout et la division avec un reste peuvent être introduites comme désignation pour diviser un groupe d'objets en parties égales à une base donnée (conformément aux significations de la théorie des ensembles et de la grandeur de l'action de division ) simultanément ou dans une série de leçons séquentielles. Le résultat d'une telle introduction sera la capacité des étudiants à désigner les actions de division selon le contenu et en parties égales par des enregistrements de la forme 12 : 3, 13 : 3, 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (reste 1), et vice versa, effectuez des actions objectives ou faites des dessins comme écrit.

Après avoir maîtrisé les significations subjectives de la division, qui sont les mêmes pour la division par tout et la division avec reste, ils discutent de la question de savoir comment trouver les résultats de la division sans actions du sujet. La réponse est recherchée en établissant le lien entre division et multiplication d'abord pour la division entière et en se concentrant sur les cas tabulaires, les propriétés de la division entière et les propriétés des tables de multiplication/division. Les cas de division avec reste sont abordés de manière accessoire au cours de cette période, consolidant la compréhension, offrant à l'étudiant la possibilité de trouver le quotient et le reste à partir d'une compréhension intuitive du lien entre la division par tout et la division avec reste. Après avoir maîtrisé la multiplication et la division des tables, les caractéristiques, propriétés, méthodes et algorithmes de division avec reste sont examinés.

La justification de ce dernier point de vue est que la présence ou l’absence d’un reste ne change pas le cours de la division pratique. Par exemple, divisons 12 et 13 cubes en parties égales de 3 cubes chacune. On procède de la même manière dans les deux cas : prenez 3 cubes et mettez-les de côté. Nous répétons cette action jusqu'à ce que nous puissions prendre 3 cubes. Désigné : 12 : 3 et 13 : 3. Dès qu'il ne reste plus de cubes ou moins de trois, on compte les pièces résultantes. Leur numéro sera privé. Dans les deux cas, 4 parties égales de 3 cubes chacune ont été formées - le quotient sera le nombre 4. Dans le cas de 12 cubes, il ne restera plus de cubes « indivis », et en divisant 13 cubes par 3, 1 cube sera restent indivis. On obtient : 12 : 3 = 4, 13 : 3 = 4 (1 restant).

Nous diviserons 12 et 13 cubes en 3 parts égales. Nous prenons autant de cubes que de parties égales nécessaires et les disposons un à la fois. Là encore, nous prenons autant d'objets qu'il y a de pièces et les disposons un à un par rapport à ceux déjà disposés. Nous continuons ainsi jusqu'à ce qu'il ne reste plus de cubes ou qu'il reste moins de pièces que le nombre de pièces requis. Dans les deux cas, le quotient est de 4 (chacune des trois parties égales comporte 4 cubes). Lors de la division 12 : 3 il n'y a pas de reste, lors de la division 13 : 3 le reste est 1. Entrée : 12 : 3 = 4 et 13 : 3 = 4 (1 restant).

Dans les activités objectives, au début du processus de division, ils ne savent le plus souvent pas s'il y aura un reste. Dans l'expérience des enfants, il existe de nombreuses situations de division pratique. Les enfants partagent des jouets, des bonbons, sont divisés en équipes lors de jeux et bien plus encore. Une division complète ne fonctionne pas toujours. En introduisant uniquement une division complète, il est nécessaire de protéger les enfants des situations où une division complète est impossible. Et si la période des réunions uniquement avec division est très longue, alors les enfants développent un stéréotype : lorsqu'ils divisent des nombres, ils obtiennent toujours un nombre - le quotient. Cela rend la division avec un reste difficile à comprendre. C'est en partie pourquoi la division avec reste est considérée comme une action difficile, et les problèmes de mots dans lesquels elle peut être utilisée soit ne sont pas pris en compte (à l'exception des problèmes simples lors de l'introduction de la division avec reste), soit ils sont classés comme des problèmes de complexité accrue. difficulté.

Sur la base du raisonnement ci-dessus, la séquence apprendre la multiplication et la division peut ressembler à ceci : introduire la multiplication, maîtriser ses significations ; introduction de la division dans son ensemble et avec un reste, maîtrise du sens de la division ; table de multiplication et de division (entiers); algorithmes informatiques oraux pour la division avec reste basé sur la division en table ; algorithmes de multiplication et de division hors tabulaire (orale), y compris la division avec un reste ; algorithmes de multiplication écrits; algorithmes de division écrits comme algorithmes de division avec reste, dont un cas particulier est la division avec un reste nul - division par un nombre entier ; multiplication et division à l'aide d'une calculatrice.

L'étude de chaque opération arithmétique peut être présentée par étapes : préparation à l'introduction d'une ou plusieurs opérations arithmétiques ; introduction d'une ou plusieurs actions, motivation à étudier, planification d'un travail d'étude d'une ou plusieurs actions arithmétiques, formation du sens de l'action étudiée ; étudier les propriétés des opérations arithmétiques; étudier les algorithmes pour effectuer des actions et développer des compétences informatiques.

Se préparer à introduire une ou plusieurs opérations arithmétiques consiste à créer une base sujet-activité pour les opérations arithmétiques, qui est mise en œuvre dans des actions avec des groupes d'objets (approche théorique des ensembles) et avec des objets selon une valeur donnée (approche par grandeur), en « parcourant » une série de nombres, y compris le nombre 0 et la série naturelle (approche ordinale). Ici, il est nécessaire de clarifier, d'approfondir les idées sur le nombre, de mettre à jour les méthodes d'actions objectives et de les utiliser pour résoudre des problèmes de texte correspondant à des opérations arithmétiques.

Les principaux objectifs des cours introduire une ou plusieurs actions arithmétiques et former le sens de l'action étudiée sont : créer une motivation positive pour apprendre une action, isoler, exécuter et désigner avec une nouvelle action les actions objectives qui sous-tendent l'opération arithmétique introduite ; la maîtrise par les étudiants des termes et méthodes de désignation symbolique et de description verbale des actions ; inclusion d'une nouvelle opération arithmétique dans le système de représentations numériques existantes.

Des motivations positives pour apprendre l'action peuvent être formées à travers l'expérience émotionnelle des enfants des opérations arithmétiques comme moyen court et rapide de conserver et de transmettre des informations sur les actions avec des objets, comme moyen d'enrichir le langage écrit, comme élargissement des opportunités de communication, comme moyen de modéliser le problème. situations et comme moyen d'obtenir de nouvelles informations. Le sujet d'intérêt pour les enfants peut et doit être les propriétés des actions, les particularités du comportement des nombres individuels par rapport aux opérations arithmétiques, les méthodes de calcul inhabituelles, les séquences numériques construites sur des modèles exprimés dans le langage des opérations arithmétiques. Cela est possible grâce à la révélation du sens des opérations arithmétiques, grâce à la possibilité de générer ses propres significations personnelles.

Rappelons-le : les opérations arithmétiques sont des opérations mathématiques sur un ensemble de nombres (à l'école primaire sur l'ensemble des entiers non négatifs). Une opération est une correspondance entre un ensemble de paires de nombres d'un ensemble numérique et des éléments de ce même ensemble. La correspondance peut être spécifiée par une énumération et une propriété caractéristique. Ces propriétés sont incluses dans la définition d'une action. Dans l'enregistrement, cela est indiqué par un signe d'action. Dans les entrées 3 + 4, 17 – 9, 25 ∙ 7, 12 : 6, 17 : 5, les opérations sont précisées puisque des paires de nombres spécifiques sont indiquées, et le signe indique la méthode d'obtention du numéro correspondant. Dans les égalités 3 + 4 = 7, 17 – 9 = 8, 25 ∙ 7 = 175, 12 : 6 = 2, 17 : 5 = 3 (2 restants), le ou les nombres correspondants ne sont pas seulement spécifiés par la propriété caractéristique , mais aussi par le dénombrement .

A noter qu'au stade initial de la maîtrise d'une opération arithmétique, ainsi que lors de l'étude des propriétés, lors de la généralisation de certaines caractéristiques d'une action, il est utile d'utiliser des symboles pour les nombres inventés par les enfants, par exemple : ⌂ + ○ ; ⌂ – ○ = ◊ , ⌂ + ○ = ○ + ⌂ ou ☼ +☺ ; ☼ +☺=☻. De tels enregistrements nous permettent de considérer une action et ses propriétés lorsque les enfants ne peuvent pas encore écrire les nombres requis, ainsi que lorsqu'une caractéristique numérique spécifique de groupes d'objets ou d'un objet ne peut être déterminée avec précision, lorsqu'il est nécessaire de montrer la forme générale des expressions et des égalités. De plus, ces signes conventionnels portent la composante émotionnelle de leurs auteurs ou « choix ».

Propriétés des opérations arithmétiques peuvent être découverts par les étudiants dans le cadre d'activités pédagogiques et de recherche organisées par l'enseignant. Il est important que chaque propriété soit une solution au problème accepté par les étudiants, une réponse à la question qui se pose dans leur esprit. Cela peut se produire lorsque, dès les premiers jours d'éducation, nous apprenons aux enfants à remarquer et à identifier les similitudes et les différences entre des objets, y compris entre des actions avec des objets, entre leurs notes.

Les principales questions qui conduisent à la découverte des propriétés des opérations arithmétiques sont des questions sur la possibilité de remplacer certaines expressions, et donc une suite d'opérations arithmétiques, par d'autres contenant les mêmes nombres et ayant la même valeur numérique que l'expression originale, mais différentes actions ou une séquence d'actions différente.

La liste des propriétés des opérations arithmétiques (sur l'ensemble des nombres naturels et zéro) peut être la suivante :

Propriétés de la connexion des relations « (directement) suivre » et addition et soustraction : un + 1 = UN′ Et UN′ – 1 = un(si vous ajoutez 1 à un nombre, vous obtenez le nombre suivant ; si vous soustrayez 1, vous obtenez le nombre précédent) ; propriété commutative d'addition, multiplication 3 + 4 = 4 + 3, un + b = b + un, un B= bun; propriété associative d'addition ( un + b) + c = un + (b + c), multiplications ( un B)c = un(avant JC) ou sous forme de règles pour ajouter un nombre à une somme et une somme à un nombre, multiplier un nombre par un produit et un produit par un nombre ; règles pour soustraire un nombre d'une somme et une somme d'un nombre : (7 + 9) – 5 = (7 – 5) + 9 = 7 + (9 – 5), 9 – (4 + 3) = 9 – 4 – 3 ; règles pour diviser un produit par un nombre et des nombres par un produit : (12  8) : 4 = (12 : 4)  8 = 12  (8 ; 4), 24 : (3  4) = (24 : 3 ) : 4; règle pour diviser une somme par un nombre : si ca Et avant JC (- est complètement divisible), alors ( un + b) : c = un:c + b:c, (60 + 12) : 6 = 60 : 6 + 12 : 6 ; propriété distributive de multiplication relative à l'addition (3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ou sous la forme des règles de multiplication d'une somme par un nombre et des nombres par une somme : ( 3 + 4)  5 = 3  5 + 4  5, 5  (3 + 4) = 5  3 + 5  4 ; règle pour multiplier la différence par un nombre : (13 – 5)  2 = 13  2 – 5  2 ; propriétés reflétant la relation entre addition et soustraction, multiplication et division : un + b = c ↔ c – b = un Et c – un = b; un : b = q ↔ un = bq Et un : q = b, un : b = q(repos.r), r < b ↔ un = bq + r; dépendances entre les modifications des composants et le résultat d'une action : un + b = c (un ± d) + b = c ± d (si un terme est augmenté (diminué) d'un certain nombre, alors la somme augmentera (diminuée du même nombre) ; un + b = c ↔ (un + d) + (b – d) = c (si un terme est augmenté et l'autre est diminué du même nombre, alors la somme ne changera pas) ; un – b = c ↔ (un ± d) – (b ± d) = c (si le minuend et le subtrahend sont augmentés (diminués) du même nombre, alors la différence ne changera pas) ; un B = c ↔ (un: d)  b = c: d; un B = c ↔ (un: d)(bd) = (annonce)(b: d) = c; un : b = q ↔ annonce : b = CD; propriétés de la division avec reste : la division avec reste est réalisable pour tous les nombres (sauf la division par zéro) ; le reste est inférieur au diviseur ; le dividende est égal à la somme du produit du quotient et du diviseur et du reste .

Si nous examinons de plus près les égalités exprimant les propriétés des opérations arithmétiques, nous constaterons qu'il y a beaucoup de points communs dans les propriétés d'addition et de multiplication, de division et de soustraction. C'est ici que " principe de dualité 19, ..., qui consiste dans le fait que chaque énoncé vrai de cette section correspond à un énoncé double, qui peut être obtenu à partir du premier en remplaçant les concepts qui y sont inclus par d'autres, les soi-disant. concepts qui leur sont duaux.

Le principe de dualité l'une des idées significatives importantes des mathématiques, qui élargit considérablement les possibilités de connaissance. L'idée de dualité est découverte par les enfants si l'enseignant organise l'étude d'une nouvelle action, les propriétés de cette action sur la base d'actions déjà apprises, en encourageant les enfants à prédire les propriétés, à vérifier les prédictions, par exemple à l'aide de questions simples et tâches sur les similitudes et les différences : « En quoi la soustraction est-elle similaire à l'addition ? En quoi est-ce différent ? », ... « En quoi la division est-elle similaire aux autres opérations arithmétiques que vous connaissez ? En quoi la division est-elle similaire à la soustraction ? En quoi la division diffère-t-elle de la soustraction ? », « Vous savez que l’addition a des propriétés commutatives et combinatoires. Formulez les mêmes propriétés pour la multiplication. Vérifiez leur validité à l'aide de plusieurs exemples", "Formuler des propriétés commutatives et associatives pour la division. Vérifiez leur validité avec plusieurs exemples."

7.3.3. Apprentissage de l'addition et de la soustraction. Le contenu de l'étude des actions dépend largement de l'approche de la notion de nombre à laquelle adhère l'enseignant, des sens qu'il donne à cette notion. Nous suivrons une approche universelle, en examinant le nombre avec les élèves dans tous ses sens fondamentaux.

Théorique des ensembles signification actions supplémentaires dans une langue accessible aux étudiants peuvent être présentés à travers Tâches, décrivant les actions du sujet correspondant et les dessins correspondants (Fig. 7.7). Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 dans l’autre. Combien y a-t-il de pommes dans les deux assiettes ? (Tâche pour trouver la somme). Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 autres pommes dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette, soit 3 pommes de moins que dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? (Problèmes avec les relations « plus (moins) par » dans lesquelles le plus grand nombre est inconnu.) ; Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes dans l'autre. De combien de façons peut-on choisir un fruit ? (Problèmes combinatoires spécifiant la règle de somme pour compter le nombre de combinaisons).

Tâches révélateur de la théorie des ensembles la signification de l'action de soustraction. a) Il y avait 4 pommes dans l'assiette, 3 pommes ont été mangées. Combien reste-t-il de pommes ? (Trouver le reste (différence)); b) Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes de moins dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette, soit 3 pommes de plus que dans l'autre. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? Il y a 4 pommes dans une assiette et 3 pommes dans l'autre. Combien y a-t-il de pommes de plus dans la première assiette que dans la seconde ? Combien y a-t-il de pommes de moins dans la deuxième assiette que dans la première ? (Problèmes avec les relations « plus (moins) par ») avec un nombre inconnu plus petit ou dans quelle mesure un nombre est plus ou moins qu'un autre (par comparaison par différence. (Fig. 7.8 a, b).

Significations de l'addition et de la soustraction basées sur le concept de grandeur, exprimer les opérations de combinaison et de suppression d'objets avec une longueur, une surface, un volume, une masse et d'autres quantités, qui peuvent être montrées par une action pratique ou un dessin (Fig. 7.9)

Significations ordinales de l'addition et de la soustraction se manifeste par une transition séquentielle du premier terme au nombre qui le suit immédiatement, de celui-ci au suivant autant de fois que le deuxième terme. La soustraction peut être définie comme une transition séquentielle de la fin du menu au précédent autant de fois que la fin de la soustraction. Lors de l'introduction de l'addition et de la soustraction, cette signification est représentée par une règle formulée à la suite de l'observation de la position d'un nombre auquel une unité est ajoutée à l'aide d'actions avec des objets (dont une unité est soustraite) et du résultat de ces actions. : « Si vous ajoutez un à un nombre, vous obtenez le nombre suivant ; Si vous soustrayez un d’un nombre, vous obtenez le nombre précédent.

Se préparer à introduire l'addition et la soustraction Les exercices d'actions avec des objets correspondant aux actions introduites, ainsi que le comptage des objets et des mesures qui accompagnent ces actions lors de la mesure de quantités dans les cas les plus simples, sont encouragés. Par exemple, compter les pas en marchant (mesurer la longueur d'un chemin), compter les triangles identiques, les rectangles qui composent une figure (surface de mesure), compter les verres d'eau versés dans ou hors d'un bocal, les mouvements de la trotteuse sur un cadran, etc. Compter par deux, trois, quatre et cinq est utile.

Types possibles opérations objectives correspondant à l'addition et à la soustraction peut être comme ça.

Placez 3 cubes à gauche. Placez la carte avec le numéro souhaité ci-dessous. Placez 5 cubes à droite. Placez une carte avec un numéro. Combinez les cubes en les rapprochant les uns des autres. Trouvez une bande de 3 unités de longueur (3 mesures composées de trois parties égales) et une bande de 5 unités de même longueur. Faites une longue bande à partir de ces deux bandes. Que signifient les chiffres 3 et 5 pour les dés ? ...Pour les rayures ? ...Qu'as-tu fait des cubes ? ...Qu'as-tu fait des rayures ? ...

Comptez tous les triangles. (8) Comptez tous les triangles rouges. (3) Mettez-les dans une enveloppe. Ce pot contient 8 verres d'eau. Versez 3 verres d'eau. Étiquetez avec des chiffres.

Faire des additions et des soustractions. Une caractéristique des opérations arithmétiques, y compris l'addition et la soustraction, qui encourage les enfants à les étudier, est la capacité de réduire plusieurs fois l'enregistrement des informations. Pour montrer cela aux élèves, au fur et à mesure que les élèves accomplissent les tâches ci-dessus, le texte apparaît au tableau : Placez 3 cubes à gauche. Placez 5 cubes à droite. Cubes combinés. Nous avons pris une bande de 3 unités de long et une bande de 5 unités de long. Nous avons fait une longue bande à partir de deux bandes. (Si la soustraction est introduite simultanément avec l'addition, alors le texte contiendra également des phrases du type : « Il y avait 8 triangles. 3 triangles ont été supprimés », « Il y avait 8 verres d'eau. 3 verres ont été versés »). Ci-dessous se trouvent les nombres écrits (ou disposés sur des cartes) : 3 5 (8 3).

Il est écrit au tableau ce que vous venez de faire avec des cubes, avec des rayures, (avec des triangles, avec de l'eau). Est-ce facile pour vous de lire ce texte ? (Pas facile.) – Mais si vous utilisez le langage mathématique, vous pouvez l’écrire beaucoup plus brièvement. Peut-être que quelqu'un sait déjà comment désigner nos actions en mathématiques ? Avec les enfants, nous construisons un exemple d'enregistrement (au début uniquement l'expression) : 3 + 5 (8 – 5).

Cette entrée remplace l'intégralité de ce texte. Combien y a-t-il de chiffres dans la notation mathématique ? (Total 3. Avec introduction et soustraction simultanées - 6.) - Combien de caractères y a-t-il dans le texte ?

Si la saisie a été effectuée sur un tableau blanc interactif, alors en surlignant le texte, il est facile de déterminer le nombre de caractères : 163 (ou en soustrayant 236 !) : 163 ! (ou 236 !) contre 3 (ou 6 !) la notation mathématique est plus de 50 (presque 40 fois) plus courte ! Cette découverte peut être un point de surprise, qui donnera une coloration émotionnelle à ce qui est étudié et augmentera l'intérêt pour celui-ci.

Peut-être que certains d’entre vous savent déjà comment lire cette entrée et ce qu’elle signifie ? (Les enfants parlent en premier, puis l'enseignant.) – L'entrée 3 + 5 se lit généralement « ajouter cinq à trois » (et « soustraire cinq de huit »). Relisez-le avec moi. ... Cette entrée signifie qu'il y avait 3 objets et 5 objets, et qu'ils ont été combinés (Il y avait 8 objets, 5 d'entre eux ont été pris et retirés). Ou qu'à partir de deux bandes de longueur 3 et 5 unités de longueur ils formaient une bande de longueur 3 et 5 unités de longueur. On dit aussi que 3 + 5 est une notation pour l'action ajout(8 – 5 est un enregistrement d'action soustraction).

Ensuite, trois types de tâches sont organisés pour développer la capacité de passer des actions du sujet aux actions avec des nombres et des actions avec des nombres aux actions du sujet : (1) les actions du sujet sont démontrées (par l'enseignant, les élèves, dans des images dans un manuel ou cahier d'exercices, sur un tableau interactif), et les élèves les désignent avec des expressions numériques appropriées, lisent les expressions ; (2) des expressions numériques sont nommées ou affichées (ajouter deux à quatre, soustraire trois de quatre, 4 + 2 ; 4 – 3), et les élèves effectuent des actions avec des objets, dessinent ou sélectionnent des images d'actions d'objets qui pourraient être indiquées par une addition ( soustraction ); (3) une correspondance est établie entre l'image des actions objectives et les expressions numériques (les dessins et les expressions peuvent être dans des manuels, sur des feuilles séparées, sur un tableau, interactifs ou réguliers ; il peut s'agir de deux jeux de cartes - avec des dessins d'actions objectives et avec des expressions numériques, ou des cartes selon type de domino).

Faisons attention à plusieurs points importants. Bien que l’introduction à l’addition et à la soustraction vienne de l’étude des nombres dans les dix premiers, il est utile de considérer les situations représentées par l’addition et la soustraction non seulement avec les nombres dans les dix premiers, mais également avec les nombres d’autres ensembles de nombres. Par exemple, l’enseignant montre une boîte avec 14 boutons et une autre avec 26 boutons identiques. Sur chaque case le numéro correspondant est écrit en grand. Vous devez mettre les mêmes numéros sur vos bureaux avec des cartes numérotées. Puis il verse les boutons de la deuxième boîte dans la première et demande aux élèves de mettre une carte avec le signe correspondant entre les chiffres. L'entrée résultante est : 14 + 26. Avec l'aide de l'enseignant, les enfants lisent l'entrée et disent ce qu'elle signifie.

Au début de l'introduction d'une opération arithmétique, on désigne les actions objectives par une expression numérique ou une expression numérique et égalité. L'égalité nécessite de nommer et d'écrire un nombre précis, le résultat d'une action, alors que les enfants ne savent pas encore comment le trouver, autre que les actions objectives et le comptage. Une expression numérique ne nomme pas le nombre, le résultat de l'action, mais précise la méthode pour l'obtenir avec le signe de l'action. Dans ce cas, nous avons la possibilité d'envisager des actions pour n'importe quel nombre et des actions avec n'importe quel modèle d'action sujet. Ceci est important pour la formation du sens de l’action. Les étudiants ont également la possibilité de déterminer la limite d'applicabilité des calculs utilisant des objets, ce qui les motive à inventer des méthodes et des algorithmes sans interagir avec les objets.

Lors de la première étape de l’apprentissage par l’action, il est nécessaire d’attirer l’attention des enfants sur les questions « Quoi Qu’est-ce que « l’addition » ? », « Qu’est-ce que la « soustraction ? » Ici, il est préférable d'écrire l'action sous forme d'expression numérique. Lorsque les réponses aux questions « Quoi… ? sera compris et approprié, on peut passer à la question » Comment trouver le résultat de l'action (la valeur de la somme, la différence) ? Désormais, l’addition et la soustraction peuvent être écrites et prononcées comme des égalités.

Avant de passer aux égalités, à trouver des résultats et à écrire les égalités, résumons Total, donnant aux élèves l'opportunité de montrer leur compréhension de l'addition (et de la soustraction si les opérations sont introduites dans la même leçon).

Ainsi, vous savez maintenant comment désigner des actions avec des objets pour ajouter des nombres. Montrez comment vous pouvez le faire. Lisez les notations mathématiques et dites ce que chacune pourrait signifier : 3 + 2, 1 + 3, 5 + 8, 10 + 4, 1000 + 5000, Ω + ☼. (Au tableau il y a des dessins correspondants, par exemple, pour l'entrée 1000 + 5000 il y a un dessin de deux billets de banque, pour l'entrée en nombres « magiques » - deux conteneurs avec une cargaison sur une plate-forme ferroviaire, indiquant la masse en tonnes Ω et ☼.).

Vous avez bien dit : cet ajout désigne des situations dans lesquelles quelque chose a été ajouté à quelque chose, combiné. Comment pouvons-nous indiquer les résultats de telles actions ? - Observez le mouvement de Dima, mesurez avec lui la longueur de chaque partie du chemin en comptant les pas. (Dima fait 4 pas du bureau au tableau, s'arrête, puis fait encore 3 pas jusqu'à la fenêtre). - Enregistrez l'action. (4 + 3). – Dima, recommence en comptant toutes les étapes. Combien y a-t-il d'étapes au total ? (7) – Comment écrire cela ? Complétez le dossier de ce que vous avez fait avec le résultat de l'action. (Après les suggestions des enfants, on note : 4 + 3 = 7. – Lisez cette égalité. (Avec l'aide de l'enseignant, lisez : « Nous avons ajouté trois à quatre et nous avons obtenu sept. »)

Ensuite, les enfants accomplissent des tâches des types ci-dessus (1), (2) et (3). Dans le cas où le nombre d'objets dans une combinaison ou le nombre de mesures lors de la mesure d'une quantité peut être compté, les élèves écrivent des égalités, dans d'autres cas, ils écrivent uniquement des expressions.

Au cours de la même période, les conditions ont été introduites terme, terme, somme; minuend, soustrahend, différence. Il est utile de faire précéder l’introduction des termes d’une conversation sur les noms. Chacun de nous a de nombreux noms et titres. Un groupe de noms est constitué de noms propres : Tanya, Lena, Valentina Sergeevna. Des noms sont également donnés en fonction de ce que l'on fait - cycliste, piéton, passager, passant, lecteur ; par profession et profession - enseignant, étudiant, tailleur, tourneur, pilote et bien d'autres raisons - personne, employé, ami, sœur, fille, petit-fils.

Si cette approche est appliquée aux nombres, alors les noms propres sont « un », « deux », « trois cent soixante-dix », etc. La participation des nombres aux opérations arithmétiques et l'exercice de certaines fonctions ou rôles nous permettent de leur donner des noms en fonction de ces fonctions. Tout d’abord, laissez les enfants proposer leurs noms et les justifier. Vous pouvez même annoncer un concours ! Ce n’est que dans le contexte de leur propre création de mots que les termes généralement acceptés seront « vivants », mémorables et chargés d’émotion pour les enfants.

Lorsque les élèves passent librement des situations disciplinaires à la notation par addition et soustraction et vice versa, la question « Comment trouver le résultat d'une addition, d'une soustraction sans dessins, compter avec les doigts, mesurer ? » deviendra pertinente.

Durant cette même période, il faut déjà commencer à inclure les enfants dans planifier votre travail académique, inciter à la réflexion sur l'enseignement et ses résultats, c'est-à-dire pour former des activités éducatives, progressivement, à mesure qu'ils maîtrisent les activités d'apprentissage appropriées, les transfèrent d'activités éducatives contrôlées de l'extérieur à des activités indépendantes.

Par exemple, après avoir introduit l’addition et la soustraction, nous demandons :

Savez-vous maintenant ce qu’est une addition et une soustraction ? (Oui.) - Tout le monde, vous savez tout sur l'addition ? À propos de la soustraction ? (Non, pas tous.) – Selon vous, que devrions-nous savoir d’autre à propos de ces actions ? Que pouvoir faire ? ... - À quelles questions sur l'addition et la soustraction souhaiteriez-vous obtenir des réponses ? Que faut-il apprendre ? ...

Sur la base de ce dialogue, au cours duquel l'enseignant note au tableau les questions et suggestions des enfants, organise un échange d'opinions, les élèves, avec la participation de l'enseignant en tant qu'organisateur et porteur de connaissances sur les accords existants, construisent une séquence d'apprentissage addition et soustraction.

La prochaine tâche pédagogique est développer les compétences en calcul de table, et la tâche d’apprentissage des étudiants est apprendre à trouver les résultats de l'addition et de la soustraction, de la somme et de la différence (la valeur de la somme et la valeur de la différence), expliquer les calculs, vous tester, planifier d'autres actions.

Étudier les propriétés de l'addition et de la soustraction. La particularité de l'étude des propriétés d'addition et de soustraction est que ce sont les premières opérations arithmétiques avec lesquelles les enfants se familiarisent. Les propriétés des actions sont considérées pendant la période de maîtrise du sens objectif des actions et sont justifiées par ces propriétés objectives et intuitives des actions. Toutes les propriétés peuvent être découvertes par les enfants au cours d'activités pédagogiques organisées par l'enseignant. Il est important que les déclarations de propriété et les notations ne soient pas encombrantes.

De nombreux calculs en première année, en particulier au cours du premier semestre, sont effectués de manière à ce que les propriétés connues apparaissent de manière intuitive. Ces biens sont présentés avec la participation des enfants sous une forme qui leur est accessible. Par exemple, des méthodes pour ajouter et soustraire un, par un, par parties : 3 + 4 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3 + 2 + 2 ; 7 – 4 = 7 – 2 – 2 = 7 – 1 – 3.

Les premières propriétés dont disposent les élèves peuvent être des propriétés qui relient les notions de « suivant », de « précédent » (« immédiatement suivant ») aux opérations d'addition et de soustraction. Ce propriétés de la série naturelle, qui manifestent la signification ordinale d'un nombre dans les opérations arithmétiques, que nous avons formulées ci-dessus. Cela a été précédé par l'invention de méthodes permettant de compter rapidement des objets dans la combinaison de deux groupes d'objets, par exemple en comptant un groupe d'objets par un autre jusqu'à un nombre connu d'objets : ⌂⌂⌂⌂⌂⌂ - 6 ⌂ 7⌂ 8 ⌂ 9. 9 articles.

La conséquence de cette méthode est de trouver les résultats de l'addition et de la soustraction en « parcourant » la série naturelle, d'abord par étapes simples, puis par étapes de longueur différente (addition, soustraction en groupes).

Découvrir propriété commutative d'addition ou réarrangement des termes les étudiants peuvent le faire dans plusieurs situations.

1. À l'aide d'actions objectives, calculez les valeurs des paires de la forme 4 + 3 et 3 + 4. Établissez les similitudes et les différences. Faites des hypothèses sur la valeur d'autres sommes similaires, vérifiez l'hypothèse en calculant les valeurs à l'aide des méthodes disponibles.

2. Dans le processus d'exécution d'actions objectives de combinaison de deux groupes d'objets, de deux objets, de substances, il est établi que lorsque l'emplacement des pièces ou l'ordre dans lequel la combinaison se produit change, les caractéristiques quantitatives du résultat de la combinaison ne changez pas. En désignant les actions objectives par des expressions numériques, nous obtenons deux expressions avec des ordres de termes différents et des valeurs identiques.

3. Deux élèves, situés de part et d'autre de la table, ont indiqué par addition (la somme de deux termes) le nombre d'objets sur la table (Chekin A.L. Mathématiques, 1re année 2011) et ont reçu deux expressions différentes : 3 + 4 et 4 + 3. En se mettant à la place de chacun, les enfants s'assurent que les deux entrées indiquent correctement la même situation, le numéro des mêmes objets. Sur cette base, 3 + 4 = 4 + 3. Puisque n'importe quel autre nombre d'objets peut être placé sur la table, par exemple Ω et ☼, alors Ω + ☼.= ☼ + Ω, où Ω et ☼ sont des nombres arbitraires.

Une caractéristique importante de l’addition et de la soustraction est que ces les actions expriment des relations « plus (moins) par" N'importe laquelle des égalités de la forme un + b = c Et m – n = k définit des relations dans lesquelles trois nombres sont impliqués : le plus grand, le plus petit et un nombre qui répond à la question de savoir dans quelle mesure un nombre est plus grand (moins) que l'autre. Si une égalité est donnée, par exemple 5 + 3 = 8, alors les nombres liés par la relation « plus (moins) de » peuvent être les nombres 5 et 8, et le nombre 3 montrera à quel point 5 est inférieur à 8. , et 8 est supérieur à 5. tee, ou 3 et 8, alors 5 montrera à quel point 3 est inférieur à 8 et 8 est supérieur à 3.

D’autres propriétés des opérations d’addition et de soustraction peuvent également être découvertes par les étudiants disposant d’une organisation appropriée. Pour découvrir des propriétés, il est d'une grande importance de concentrer les tâches sur la comparaison, la classification et l'observation des changements. Avec l'introduction des opérations de multiplication et de division, des règles sur l'ordre des opérations, de la propriété distributive de la multiplication par rapport à l'addition, de la règle de division d'une somme, des différences par un nombre, des produits par un nombre, des nombres par un produit, et d'autres propriétés liées à une ou plusieurs propriétés sont étudiées.

L'expansion et l'approfondissement des connaissances sur l'addition et la soustraction sont associés à l'expansion des ensembles numériques et au transfert de techniques, d'algorithmes, de termes et de propriétés précédemment étudiés, à l'étude des propriétés et à la maîtrise des compétences informatiques, à l'enrichissement de la terminologie. avec des noms de propriétés (propriété combinatoire, propriété distributive), des noms de rangs et de classes, des noms de nombres à plusieurs chiffres, des caractéristiques des nombres.

7.3.4. Apprentissage de la multiplication et de la division. Rappelons d’abord les principaux significations de la multiplication et de la division.

Théorique des ensembles signification des actions de multiplication Et Divisions Présentons-leur des problèmes de texte et des images. a) « Il y a 4 pommes dans une assiette. Combien y a-t-il de pommes dans 3 de ces assiettes ? (Fig. 7.10a) ; b) 3 équipes ont participé au tournoi d'échecs, chacune comprenant 4 joueurs d'échecs - un candidat maître des sports et des joueurs d'échecs de 1ère, 2ème et 3ème catégories. Combien de joueurs d'échecs ont participé au tournoi ?" ; c) « Il y a 4 pommes dans une assiette, et 3 fois plus dans l'autre. Combien y a-t-il de pommes dans l'autre assiette ? », « Il y a 4 pommes dans une assiette, c'est 3 fois moins que dans l'autre assiette. Combien de pommes y a-t-il dans l’autre assiette ? (tâches avec des relations « plus (moins) de… fois », dans lesquelles le plus grand nombre est inconnu) (Fig. 7.10, c) ; d) De combien de façons peut-on réaliser le couple « enveloppe, timbre » s'il y a 3 types d'enveloppes et 4 types de timbres ? (tâches de comptage du nombre de combinaisons, règle du produit) (Fig. 7.10, d).

Division des nombres au sens de la théorie des ensembles, est apparu comme une désignation deux types de division pratique d'un groupe d'objets en parties égales en nombre d'éléments, qui dans les méthodes d'enseignement des mathématiques sont appelés division par contenu Et division en parties égales. Division par contenu: un groupe d'objets est divisé en parties selon un nombre égal d'objets dans chaque partie et il est nécessaire de savoir combien de ces parties sont formées. Division en parties égales: un groupe d'objets est divisé en un nombre donné de parties égales (par le nombre d'objets) et vous devez savoir combien d'objets il y aura dans chaque partie.

Action du sujet division par contenu- il s'agit de la mise de côté séquentielle d'un nombre donné d'éléments jusqu'à ce que tous les éléments soient disposés ou jusqu'à ce qu'il reste moins d'éléments qu'il ne devrait y en avoir dans une partie. La procédure d'ajournement correspond au sens objectif de la soustraction et peut être désignée par soustraction. La division agit comme une notation plus courte

1 Mikulina, G. G. Généralisation des connaissances en mathématiques à l'aide de personnages de contes de fées / G. G. Mikulina. – Ecole primaire, 1986. - N° 6 - Du 25-29..

2 Mathématiques. Vilenkin N.Ya., Pyshkalo A.M. et autres. M., 1977.

3 Ondar Ch. Aspects ethnoculturels dans la formation des représentations numériques // École primaire. 2010. N° 11. – S.

4 Exigences de l'État fédéral concernant la structure du programme de formation générale de base de l'enseignement préscolaire. Arrêté du ministère de l'Éducation et des Sciences de la Fédération de Russie du 23 novembre 2009 n° 655 http://www.rg.ru/2010/03/05/obr-dok.html Date d'accès 26/10/2011

5 Piaget J. Ouvrages psychologiques choisis, M., 1994.

6 Menchinskaïa N.A. Psychologie de l'enseignement de l'arithmétique. – M., 1955. Menchinskaya N. A. Psychologie de l'acquisition des connaissances à l'école. M., 1959. Menchinskaya N.A., Moreau. M.I. Questions de méthodologie et de psychologie de l'enseignement de l'arithmétique à l'école primaire. – M., 1965.

7 Kostyuk G.S. À propos de la genèse du concept de nombre chez les enfants / Naukovi zapiski, T. 1. Institut de recherche en psychologie, Kiev, 1949

8 L. S. Tsvetkova. Neuropsychologie du comptage, de l'écriture et de la lecture : déficience et récupération, M., 2000 ;

9 L.F. Magnitski. Arithmétique. 1703 / http://www.math.ru/lib/176 Date d'accès : 29.09.2011

dixGalanin D.D. Histoire des idées méthodologiques en arithmétique en Russie. Partie I. XVIIIe siècle. M., 1915.

11 Galanin D.D. Introduction à la méthodologie de l'arithmétique Moscou, 1911.

12 Kourganov S.Yu. Enfant et adulte en dialogue éducatif. M., 1988 ; Berlyand I.E. Des énigmes numériques. M..1996

13 Bashmakov M.I., Nefedova M.G. Mathématiques. 1 cours. Partie 1. M, 2006

14 Tchekin A.L. Mathématiques. 1 cours. Partie 1. M., 2010

15 Règles et réglementations sanitaires et épidémiologiques SanPiN 2.4.2.2821-10. http://www.rg.ru/2011/03/16/sanpin-dok.html Date d'accès : 4 décembre 2011.

16 Voir Ondar Ch. Aspects ethnoculturels dans la formation des représentations numériques // Ecole primaire, 2010. - N° 11. – P. 104 – 107 ; Tsareva S.E. Poèmes, énigmes, proverbes, dictons, contes de fées dans l'enseignement primaire des mathématiques Novossibirsk, 1998.

17 Lysenkova S.N. Quand c'est facile à apprendre. – M. : 1985.

18 Évaluer l'atteinte des résultats prévus à l'école primaire. Système de tâches. À 14 heures Partie 1/ [M. Yu. Demidova, S.V. Ivanov, etc.] ; édité par G.S. Kovaleva, O.B. Loginova - M. 2011. P. 58

19 http://slovari.yandex.ru/~books/TSB/Dualityprincipe/.

Carte des cours technologiques

NOM ET PRÉNOM. professeurs : Sabitova Liliya Gennadievna

Classe : 1 "b"

Date : 28/11/16.

Matière : mathématiques

№ cours programmés : 1

Sujet de cours : Comparaison résultats d'opérations arithmétiques

Place et rôle de la leçon dans le sujet étudié : leçon 49

Objectif de la leçon : apprendre à comparer des objets mathématiques,

Comparaison des résultats arithmétiques

Tâches pédagogiques : créer les conditions de familiarisation avec la règle de comparaison des objets mathématiques,; améliorer les compétences dans la résolution de problèmes de multiplication

Résultats prévus

Sujet:

familiarisons-nous avec la règle de comparaison d'objets mathématiques,résultats d'addition, soustraction, multiplication, division

apprendra : effectuer des comparaisons d'objets mathématiques ;résultats d'addition, soustraction, multiplication, division; résoudre des problèmes de multiplication

Métasujet :

Cognitif: enseignement général - comparaison d'objets mathématiques;résultats d'addition, soustraction, multiplication, divisionrésoudre des problèmes de multiplication ;casse-tête - la mise en œuvre de la synthèse en tant que composition d'un tout à partir de parties.

Réglementaire : planifiez vos actions en fonction de la tâche et des conditions de sa mise en œuvre.

Communicatif:être capable de poser des questions; négocier et parvenir à une décision commune dans le cadre d'activités conjointes, y compris dans des situations de conflit d'intérêts

Personnel: prendre conscience du besoin de s'améliorer

Activités étudiantes

Moulé
façons
activités
étudiant

1. Organisation

moment de transition

(1 minute)

Accueille les étudiants et vérifie leur état de préparation pour le cours

Bon après-midi Asseyez-vous.

Tournez-vous l'un vers l'autre. Dites : « Je vous souhaite bonne chance, vous me souhaitez bonne chance, nous nous souhaitons bonne chance. Si cela devient difficile, je t'aiderai.

Les enseignants saluent, organisent leur lieu de travail et démontrent leur préparation pour la leçon.

Développer la capacité à organiser l’environnement de travail. Développement de la bienveillance et de la réactivité émotionnelle.

2.Mise à jour des connaissances de base.

Comptage verbal.

Intellect

échauffement total

(5 minutes)

Organise des calculs oraux afin de mettre à jour ses connaissances.

Compter de 1 à 20 ; de 20 à 1.

Problème en vers :

Écureuil, hérisson et raton laveur,

Lapin, renard, bébé taupe

Il y avait des voisins sympathiques

Ils sont venus chez l'ours pour une tarte,

Vous ne bâillez pas, les gars.

Comptez combien d'animaux il y a ! (7)

Le bouquet contient 4 roses jaunes et 5 blanches.

Quelles roses y a-t-il en plus ? Combien de temps?

Combien de roses y a-t-il dans le bouquet ?

9 roses ont été réparties à parts égales en trois bouquets. Combien de roses y a-t-il dans chaque bouquet ?

Répondez aux questions du professeur. Effectuer des tâches de calcul mental.

Il y a plus de roses blanches. Encore une rose.

4 + 5 = 9

Le bouquet contient 9 roses.

9:3=3

Mettre à jour votre expérience de vie personnelle. Accepter et maintenir l’objectif et la tâche d’apprentissage

3. Déterminer le sujet et le but de la leçon

(2 minutes)

Amener les enfants à formuler le sujet et à fixer les objectifs de la leçon. Élaboration d'un plan de travail

Ouvrez le manuel en déplaçant le signet vers la page suivante. Lisez le sujet de la leçon.

Que pensez-vous que nous allons comparer ?

Lire le sujet de la leçon : « Comparer »

Comparez des nombres, des formes, des segments...

Montrez de l'intérêt pour les nouveaux contenus, réalisez le caractère incomplet de vos connaissances, formulez une demande d'information, déterminez les objectifs des activités pédagogiques

4 . Découverte de nouvelles connaissances, méthode d'action.

Travail tiré du manuel (p. 108).

Exercice 1

(3 minutes)

Organise le travail pour découvrir de nouvelles connaissances, assure le contrôle de l'achèvement de la tâche.

− Qui plus est : « 2 jetons 4 fois » ou « 3 jetons 3 fois » ? Pouvez-vous répondre à cette question tout de suite ?

− Effectuez les calculs.

− Qui plus est : « 6 jetons pour 3 piles à parts égales » ou « 6 jetons pour 2 piles à parts égales » ? Effectuer des calculs

Ils accomplissent des tâches, répondent aux questions, expriment leurs opinions.

Effectuer des calculs.

2 4 = 8 ; 3 3 = 9 ; plus « 3 jetons 3 fois ».

− Plus de « 6 jetons répartis en 2 piles égales ».

™ ™ ™ ™ ™ ™ 6: 3 = 2

6: 2 = 3

Planifier une solution à une tâche d'apprentissage : construire un algorithme d'actions, sélectionner des actions en fonction de la tâche.

Reproduire de mémoire les informations nécessaires à la résolution d'une tâche d'apprentissage et justifier le choix.

Appliquer les règles de la coopération commerciale. Soyez actif dans les interactions. Surveiller les résultats

Consolidation primaire du nouveau matériel

Tâche 2

(2 minutes)

− Lisez les notes mathématiques.

− Recherchez des colonnes avec les mêmes opérations arithmétiques.

− Rechercher des colonnes avec les mêmes résultats

− La première colonne effectue une soustraction. Dans le troisième - ajout.

− Les première, deuxième et quatrième colonnes contiennent les mêmes réponses.

16 – 6

19 – 9

12 +1

13 +0

14 –1

15 -1

14+0

13+1

Construction consciente des énoncés de parole sous forme orale et écrite

Fizminoutka

(1 minute)

Réaliser des exercices physiques

Comment vas-tu? - Comme ça! (Montrer le pouce.)

Comment allez-vous? - Comme ça! (« Marchez » avec deux doigts sur la paume.)

Est-ce que tu cours? - Comme ça! (Pliez leurs bras au niveau des coudes et montrez comment ils travaillent avec eux lorsqu'ils courent.)

Dors-tu la nuit ? - Comme ça! (Mettez leurs mains sous leurs joues et posez leur tête dessus.)

Comment le prends-tu ? Comme ça! (Faites des mouvements de préhension avec leurs mains.)

Le donnerez-vous ? - Comme ça! (Ils font des mouvements avec leurs mains. Comme s'ils donnaient quelque chose.)

Comment ça va, tu es méchant ? - Comme ça! (Ils gonflent leurs joues et les giflent légèrement avec leurs paumes.)

Êtes-vous menaçant ? - Comme ça! (Ils montrent le doigt à leur voisin.)

Faire des exercices

Tâche 3

(5 minutes)

− Combien y a-t-il de feuilles sur la photo ?

− En quoi les feuilles sont-elles différentes ?

− Combien de feuilles jaunes ? Vert? Rouge?

− Combien de feuilles d'un érable ? D'un chêne ?

− Trouvez un problème pour le dessin et la solution.

UN) ;

b) ;

V) ;

G)

− Il n'y a que 9 feuilles sur la photo.

− Les feuilles diffèrent par leur couleur et leur forme.

− 5 feuilles jaunes, 2 vertes, 1 rouge.

− 4 feuilles d'érable, 5 de chêne.

a) Il y avait 3 feuilles d'érable jaunes et 1 rouge sur la branche. Combien y a-t-il de feuilles d’érable au total ?

b) Il y avait 4 feuilles d'érable et 5 feuilles de chêne. Combien y a-t-il de feuilles au total ?

c) Il y avait 5 feuilles de chêne et 4 feuilles d'érable. Combien y a-t-il de feuilles de chêne de plus que de feuilles d’érable ? Combien y a-t-il de feuilles d’érable de moins que de feuilles de chêne ?

d) Il y avait 2 feuilles vertes et 1 rouge. Combien y a-t-il de feuilles vertes de plus que de feuilles rouges ? Combien y a-t-il de feuilles rouges de moins que de feuilles vertes ?

Tâche 6

(2 minutes)

− L'araignée a 4 paires de pattes. Combien de pattes a une araignée ?

− L'oreiller a 4 « oreilles ». Combien d’« oreilles » ont trois oreillers ?

− Prendre 2 à 4 fois fait 8.

2 · 4 = 8 (pattes d'araignée).

− Prendre 4 3 fois fait 12.

4 3 = 12 (« oreilles » pour trois oreillers)

Consolidation secondaire du nouveau matériel.

Travailler dans un cahier imprimé

Exercice 1

(2 minutes)

Comparer. Écrivez les mots « plus » ou « moins ».

Désignant le résultat d'une comparaison avec les mots « plus », « moins »

Prendre 3 à 3 fois, prendre plus de 3 à 2 fois.

Prendre 5 3 fois moins que 6 prendre 3 fois.

Tâche 2

(2 minutes)

Marquez les segments dont la longueur est inférieure à 8 cm.

Désignant le résultat d'une comparaison avec les mots « plus long », « plus court »

Marquez les segments dont la longueur est inférieure à 8 cm.

–comparaison, généralisation, analogie

– extraire les informations nécessaires ;

Tâche 3

(2 minutes)

Complétez les entrées.

Application de la formulation « Si Olya a... plus, alors...

Olya a 3 bonbons. Olya a 2 bonbons de moins qu'Anya.

–comparaison, généralisation, analogie

– extraire les informations nécessaires ;

Tâche 4

(2 minutes)

Combien y a-t-il de roues au total ?

2*3=6

S'il y a 8 roues, vous pouvez alors assembler 4 de ces vélos.

prendre en compte les différentes opinions, coordonner les différentes positions en coopération

-Tâche 5

(2 minutes)

Dessinez les jetons. Complétez les entrées.

Dessin.

Entrée : 3+7=10

10=3+7

4+6=10

10=4+6

Exercice pour les mains.

(1 minute)

Organisation de l'entraînement physique.

Nous avons écrit, nous avons écrit,

Nos doigts sont fatigués, on va se reposer un peu,

Et recommençons à écrire.

Travail indépendant.

(3 minutes)

Notez les signes d'action.

Organise l'inspection des travaux.

5+1=6

5-1=4

7+2=9

7-2=5

4-2=2

4+2=6

6-3=3

6+3=9

contrôle, correction, évaluation

Résumé de la leçon. Réflexion

(5 minutes)

Continuez les phrases avec vos propres mots :

J'aime ça…

C'était intéressant pour moi…

C'était facile pour moi...

C'était difficile pour moi...

J'aimerais savoir...

Si vous êtes satisfait de vos résultats et avez terminé toutes les tâches sans erreurs, levez un smiley vert. Pour ceux qui ont parfois connu des difficultés et commis des erreurs, levez le smiley jaune. Si vous ne comprenez pas le matériel et avez besoin d'aide, levez un visage souriant rouge.

Leçon terminée, merci pour la leçon.

Répondez aux questions. Déterminez leur état émotionnel en classe. Effectuer une auto-évaluation et une réflexion

Effectuer le contrôle final, évaluer les résultats des performances,

parler de nouvelles connaissances selon le plan, exprimer leurs impressions sur la leçon

Considérons quelles questions théoriques et pratiques sont étudiées dans le thème « Opérations arithmétiques », quel est le niveau de leur divulgation et l'ordre d'introduction.

La signification spécifique des opérations arithmétiques, c'est-à-dire les connexions entre les opérations sur les ensembles et les opérations arithmétiques correspondantes (par exemple, la connexion entre l'opération de combinaison d'ensembles disjoints et l'action d'addition). La connaissance du sens spécifique des opérations arithmétiques doit être acquise au niveau de la généralisation empirique : l'étudiant doit apprendre à établir pratiquement des liens entre les opérations sur les ensembles et les opérations arithmétiques lors de la recherche des résultats d'opérations arithmétiques dans un certain nombre de cas, ainsi qu'à choisir l'arithmétique opérations lors de la résolution de problèmes d’arithmétique de texte.

Propriétés des opérations arithmétiques. Ce sont des dispositions mathématiques sur les transformations identiques d'expressions mathématiques ; elles reflètent sous quelles transformations d'une expression mathématique donnée sa valeur ne change pas. Le cours initial de mathématiques comprend des propriétés qui constituent la base théorique des techniques informatiques.

Au cours initial de mathématiques, les propriétés suivantes des opérations arithmétiques sont étudiées : propriétés commutatives et associatives d'addition, propriété de soustraire un nombre d'une somme, propriété de soustraire une somme à un nombre, propriété de soustraire une somme à une somme, les propriétés commutatives et associatives de multiplication, la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition, la propriété de diviser une somme par un nombre, la propriété de diviser un nombre par un produit.

Les propriétés des opérations arithmétiques proposées par le programme doivent être maîtrisées au niveau de la généralisation conceptuelle : les étudiants doivent connaître leur formulation et les appliquer pratiquement lors de la justification des techniques de calcul, lors de la résolution de problèmes, d'équations, d'exercices de transformations d'identité, etc.

D'autres propriétés des opérations arithmétiques (existence et unicité du résultat, monotonie de la somme et du produit, etc.) se révèlent au niveau de la généralisation empirique : les élèves opèrent pratiquement avec elles, la formulation des propriétés n'est pas donnée.

Connexions entre composants et résultats d'opérations arithmétiques. Il s'agit d'énoncés mathématiques qui reflètent la manière dont chacune des composantes des opérations arithmétiques est exprimée à travers le résultat et son autre composante.

Dans le cours initial de mathématiques, on étudie d'abord le lien entre les composantes et le résultat de l'action d'addition, puis le lien entre les composantes et le résultat des actions de soustraction, de multiplication et de division.

La connaissance des connexions doit être acquise au niveau de la généralisation conceptuelle : les étudiants doivent connaître la formulation appropriée et utiliser pratiquement ces connaissances pour résoudre des équations et justifier des techniques de calcul.

Modification des résultats des opérations arithmétiques en fonction d'un changement dans l'une des composantes, c'est-à-dire des dispositions mathématiques qui caractérisent la façon dont la valeur d'une expression change en fonction d'un changement dans l'un de ses composants.

Par rapport à ce matériel, un niveau empirique de généralisation est proposé : les étudiants, effectuant des exercices particuliers, observent les changements correspondants et, à l'aide d'exemples précis, établissent soit la nature de l'évolution des résultats des opérations arithmétiques en fonction de l'augmentation ou de la diminution de l'un des composants, ou établir des changements quantitatifs - comment le résultat changera si l'un des composants augmente ou diminue de plusieurs unités ou plusieurs fois. De telles observations serviront plus tard de base à l’introduction du concept de fonction ; en même temps, elles constituent d’excellents exercices de développement.

Relations entre les composants et entre les composants et résultats des opérations arithmétiques. Il s'agit de dispositions mathématiques qui reflètent les relations « supérieur à », « inférieur à », « égal à », soit entre les composants (la fin est supérieure ou égale au sous-trahend), soit entre les composants et les résultats des opérations arithmétiques ( la somme peut être supérieure à chacun des termes, ou peut être égale à un ou chacun des termes). Ce matériel est également absorbé au niveau de la généralisation empirique : les étudiants établissent des relations appropriées en effectuant des exercices spéciaux. La connaissance de ces relations sert à vérifier les calculs ; elles servent également à la propédeutique fonctionnelle.

Règles. Il s'agit tout d'abord de dispositions qui sont des conséquences de la définition des opérations arithmétiques et de leur signification spécifique : les règles d'addition et de soustraction avec le nombre 0, de multiplication et de division avec les nombres 1 et 0, ainsi que les dispositions historiquement établies - règles sur l'ordre d'exécution des opérations arithmétiques dans les expressions mathématiques. Les étudiants doivent comprendre le libellé des règles et être capables de les utiliser de manière pratique.

Termes et symboles. Dans le cadre de l'étude de ces questions liées au matériel théorique, la terminologie et la symbolique correspondantes sont introduites : le nom des opérations arithmétiques, les symboles les désignant et leur nom, le nom des composants et résultats des opérations arithmétiques, le nom du expressions mathématiques correspondantes. Les termes doivent être inclus dans le vocabulaire actif des élèves et utilisés par ceux-ci lors de la formulation d'énoncés mathématiques ; les élèves doivent également apprendre à utiliser correctement les symboles correspondants ; Les termes et symboles sont introduits en lien étroit avec l'étude des opérations arithmétiques correspondantes.

Parallèlement au matériel théorique et en lien organique avec celui-ci, questions pratiques : techniques de calcul et résolution de problèmes arithmétiques. Les techniques informatiques sont des techniques permettant de trouver les résultats d'opérations arithmétiques. Les techniques informatiques sont révélées sur la base de l'utilisation explicite de principes théoriques pertinents. Par exemple, sur la base de la propriété commutative de l'addition, la technique de réorganisation des termes est introduite. Dans chaque concentration, des techniques de calcul sont étudiées sur des nombres entiers non négatifs du segment correspondant de la série naturelle (dans la première concentration - à 10 près, dans la seconde - à 100 près, etc.). Dans la concentration « Dix », seules les techniques d'addition et de soustraction sont étudiées, et dans les concentrations restantes, les techniques des quatre opérations arithmétiques sont étudiées.

L'ordre d'introduction de toutes ces questions est soumis à l'objectif principal de l'étude des opérations arithmétiques - la formation de compétences informatiques conscientes, fortes et automatiques.

3. Dispositions générales de la méthodologie pour la formation de concepts et d'idées sur les opérations arithmétiques chez les écoliers plus jeunes.

L'assimilation par l'étudiant du matériel théorique se résume à l'assimilation des aspects essentiels des principes mathématiques étudiés au niveau de généralisation prévu par le programme. Par conséquent, toutes les activités des étudiants dans l’acquisition de connaissances doivent viser à mettre en évidence et à comprendre les aspects essentiels des principes théoriques étudiés. Ceci est réalisé principalement par les étudiants qui exécutent un système d'exercices approprié, soumis aux objectifs de chaque étape de formation des connaissances. Dans la méthodologie de formation des connaissances, il y a les étapes suivantes : étape préparatoire, familiarisation avec du nouveau matériel, consolidation des connaissances.

Au stade de la préparation à la familiarisation avec du nouveau matériel théorique Tout d'abord, des exercices sont proposés pour reproduire des connaissances précédemment acquises, qui sont des moyens d'assimilation de nouvelles connaissances. Dans la plupart des cas, pendant cette période, il est conseillé de créer des « modèles de sujets » des connaissances formées dans l’esprit des enfants en effectuant des opérations sur des ensembles. Par exemple, avant de vous familiariser avec le sens précis de l'action d'addition, il convient de réaliser un nombre suffisant d'exercices sur la réalisation de l'opération de combinaison d'ensembles disjoints (ajouter 3 boules à 4 boules et savoir combien il y a de boules), qui servira plus tard de base pour se familiariser avec le sens de l'action d'addition.

Au stade de la familiarisation avec le nouveau matériel les aspects essentiels des propositions mathématiques étudiées sont révélés à l'aide d'un système d'exercices réalisés par les étudiants. Pour se familiariser avec les propriétés des opérations arithmétiques, les connexions et les dépendances entre leurs composants et leurs résultats, il est plus conseillé d'utiliser méthode de conversation heuristique, étudiants en échec inductivementà la « découverte » du motif correspondant et à convaincre de sa validité par des moyens visuels. Lorsque vous vous familiarisez avec les règles, lorsque vous introduisez la terminologie et les symboles, utilisez méthode d'explication, c'est à dire. L'enseignant présente le matériel et les élèves le perçoivent.

Après examen inductivement avec le sens spécifique des opérations arithmétiques, avec leurs propriétés, connexions et dépendances entre composants et résultats, les étudiants se voient proposer des exercices dans lesquels les modèles correspondants apparaissent lors de leur exécution. En les analysant, les étudiants identifient les caractéristiques essentielles des connaissances en formation et, selon le niveau de leur généralisation, soit formulent un certain nombre de conclusions particulières (au niveau empirique), soit en passent à une conclusion générale (au niveau conceptuel). ). Il est important de mettre en évidence non seulement les fonctionnalités essentielles, mais également un certain nombre de fonctionnalités non essentielles. Par exemple, réfléchissez à la façon dont vous pouvez introduire la propriété commutative de la multiplication. Les élèves sont invités à disposer 6 carrés de chaque rangée en 4 rangées et à connaître le nombre total de carrés qu'ils ont disposés. Parallèlement, l'attention des élèves est attirée sur le fait que compter le nombre total de carrés peut se faire de deux manières : 6 * 4 = 24 et 4 * 6 = 24. En comparant les enregistrements reçus, les élèves établissent des caractéristiques similaires ( les produits sont donnés, les mêmes facteurs sont égaux, les valeurs des produits sont égales) et les traits distinctifs (les multiplicateurs sont intervertis). Ensuite, des exercices similaires sont effectués, un ou deux d’entre eux étant des enfants. Après avoir effectué suffisamment d'exercices pour comparer des paires de produits, les élèves établissent que toutes les paires de produits ont les mêmes facteurs et que les valeurs des produits de chaque paire sont égales, les facteurs étant inversés. Ces observations permettent aux élèves d’arriver à une conclusion généralisatrice, qui est une formulation de la propriété commutative de la multiplication : « Si les facteurs sont intervertis, la valeur du produit ne changera pas. »

Avec cette méthode d'introduction de nouveau matériel, le système d'exercices doit répondre à un certain nombre d'exigences :

· Le système d'exercices doit fournir une base visuelle aux connaissances acquises. Ainsi, lors de la réalisation des exercices, il est important dans de nombreux cas de faire preuve de clarté : les opérations sur les ensembles (dans l'exemple considéré, l'union d'ensembles de carrés égaux et disjoints) et les notations mathématiques correspondantes (6* 4 = 24 et 4* 6 = 24). Cela crée l’opportunité pour les enfants eux-mêmes de « découvrir » les modèles qu’ils étudient.

· Les exercices doivent être sélectionnés de manière à ce que les aspects essentiels des connaissances en cours de formation restent inchangés et que les aspects non essentiels changent. Ainsi, pour la propriété commutative de multiplication, les traits essentiels seront : les produits ont des facteurs identiques, les produits diffèrent dans l'ordre des facteurs, les valeurs des produits sont égales ; Les caractéristiques sans importance sont les nombres eux-mêmes et leur rapport. Par conséquent, lors de la sélection de paires de produits, vous devez les prendre avec des nombres différents et les nombres dans des rapports différents (6 * 4 et 4 * 6 ; 2 * 5 et 5 * 2 ; 7 * 3 et 3 * 7, etc. ). Cela permettra aux étudiants de mettre en évidence non seulement les caractéristiques essentielles, mais également non essentielles des nouvelles connaissances, ce qui contribuera à une généralisation correcte.

· Les étudiants devraient être encouragés à créer des exercices similaires à ceux discutés. La capacité de composer de tels exercices indiquera que les étudiants ont identifié les aspects essentiels des connaissances en cours de formation.

· Lors de l'apprentissage d'un nouveau matériel, des situations surviennent souvent où l'expérience antérieure des enfants a un impact à la fois positif et négatif sur la maîtrise du nouveau matériel. Ceci doit être pris en compte lors de l'introduction de nouveaux matériels et proposer des exercices spéciaux pour comparer et opposer des questions présentant certaines similitudes. Par exemple, avant d’apprendre la propriété commutative de multiplication, vous devez répéter la propriété commutative d’addition et utiliser la même technique. Dans ce cas, une analogie sera utile lors de la maîtrise d'une nouvelle propriété. Avant d'étudier la propriété distributive de multiplication par rapport à l'addition, il est utile de répéter la propriété associative de l'addition afin d'éviter la confusion de ces propriétés et l'apparition d'erreurs lors de l'apprentissage d'une nouvelle propriété.

Ainsi, à la suite d'exercices particuliers, les étudiants sont amenés soit à une formulation généralisée de la proposition mathématique étudiée, soit uniquement à des conclusions spécifiques.

Au stade de la consolidation des connaissances Grâce à l'exécution par les étudiants d'un système d'exercices pour appliquer le matériel étudié, leurs connaissances sont enrichies de nouveaux contenus spécifiques et incluses dans le système de connaissances existantes. La consolidation des connaissances de chaque position mathématique s'effectue grâce à l'exécution par les étudiants d'un système spécial d'exercices, soumis aux exigences générales :

· Chaque exercice du système doit avoir le potentiel d'appliquer les connaissances générées. Ensuite, l'étudiant, en les exécutant, mettra à chaque fois en valeur les propriétés essentielles des connaissances en formation et ainsi mieux les assimiler. Dans ce cas, les premiers à inclure sont des exercices qui peuvent être réalisés à la fois sur la base de l'application des connaissances en cours de formation et d'autres connaissances acquises précédemment. Réaliser de tels exercices avec la méthodologie appropriée crée de réelles opportunités pour chaque étudiant de généraliser les connaissances acquises.

· Les exercices d'application des connaissances doivent être basés sur divers contenus spécifiques (résolution de problèmes arithmétiques, comparaison d'expressions mathématiques, etc.). Cela garantira la formation de connaissances significatives et flexibles et empêchera leur assimilation formelle.

· Le système d'exercices doit assurer l'établissement de connexions intra-conceptuelles (connexions entre opérations arithmétiques, entre leurs propriétés, etc.) et inter-conceptuelles (connexions entre les composants et résultats des opérations arithmétiques avec la solution d'équations). Cela détermine l'inclusion de nouvelles connaissances dans le système de connaissances existantes.

· Il devrait y avoir un nombre suffisant d'exercices pour garantir la solidité des connaissances acquises.

· Les exercices doivent être accessibles aux étudiants et varier du simple au complexe.

· Le système doit proposer des exercices spéciaux qui préparent les étudiants à maîtriser des questions de nature pratique : effectuer des calculs, résoudre des problèmes arithmétiques, résoudre des équations, etc.

· À ce stade, plus qu'au précédent, des exercices devraient être prévus pour comparer et contraster le nouveau matériel avec le matériel appris précédemment, ce qui évitera toute confusion entre des questions similaires et aidera à établir des connexions intra-conceptuelles et interconceptuelles.

· Lors de l'organisation des activités des étudiants à ce stade, la méthode du travail indépendant devrait être utilisée plus souvent et le développement mental des étudiants devrait être facilité de toutes les manières possibles.

· De plus, nous devons tenir compte du fait que les élèves plus jeunes apprennent mieux la matière si elle est incluse dans les cours en petites parties, mais pendant une période suffisamment longue.

Annexe n°1

Opérations arithmétiques

Annexe n°2

Informations connexes.

Les opérations arithmétiques comprennent :

L'addition est un concept de base pour lequel il est impossible de donner une définition formelle stricte. Cependant, pour donner à cette opération une idée raisonnable, nous dirons que l'addition est l'opération consistant à trouver la somme de deux nombres ou plus, où par somme on entend le nombre total de uns contenus ensemble dans les nombres en question. Ces nombres sont appelés termes. Par exemple, 11 + 6 = 17. Ici 11 et 6 sont des termes, 17 est la somme. Si les termes sont inversés, la somme ne changera pas : 11 + 6 = 17 et 6 + 11 = 17.

La soustraction est l'opération inverse de l'addition, puisqu'il s'agit de l'opération consistant à trouver l'un des termes par la somme et l'autre terme. Soustraire d'un nombre (la fin) un autre (la sous-tranche) signifie trouver un troisième nombre (la différence), qui, ajouté à la sous-tranche, donne la fin : 17 - 6 = 11. Ici 17 est la fin, 6 est le soustrahend, 11 est la différence.

Multiplication. Multiplier un nombre n (le multiplicande) par un autre entier m (le facteur) signifie répéter le multiplicande n comme terme m fois. Le résultat de la multiplication s’appelle un produit. Ecriture de l'opération de multiplication : n x m ou n m. Par exemple, 12 x 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48. Ainsi, 12 x 4 = 48 ou 12 4 = 48. Ici 12 est le multiplicande, 4 est le multiplicateur, 48 est le produit. Si le multiplicande n et le multiplicateur m sont inversés, le produit ne changera pas. Par exemple, 12 4 = 12 + 12 + 12 + 12 = 48 et, par conséquent, 4 12 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 48. Par conséquent, le multiplicande et le multiplicateur sont souvent appelés facteurs.

La division est l'action inverse de la multiplication, puisqu'elle est l'opération consistant à trouver un des facteurs par un produit et un autre facteur : Diviser un nombre (dividende) par un autre (diviseur) signifie trouver un troisième nombre (quotient) qui, multiplié par le diviseur, donne le dividende : 48 : 4 = 12. Ici 48 est le dividende, 4 est le diviseur, 12 est le quotient. Le quotient d’un entier divisé par un autre entier ne peut pas être un entier. Ce quotient est alors représenté sous forme de fraction. Si le quotient est un nombre entier, alors ces nombres sont dits divisibles par un nombre entier. Sinon, on effectue une division avec un reste. Exemple : 23 n'est pas divisible par 4, dans ce cas on peut écrire : 23 = 5 · 4 + 3. Ici 3 est le reste.

Exponentiation. Élever un nombre (la base de la puissance) à une puissance entière (l'exposant) signifie le répéter sous forme de facteur autant de fois que l'exposant. Le résultat s’appelle le diplôme. Écriture d'une exponentiation :

3 5 = 3 3 3 3 3 = 243

Ici 3 est la base du degré, 5 est l'exposant, 243 est le degré.

La deuxième puissance d'un nombre quelconque s'appelle un carré, la troisième un cube. La première puissance d’un nombre est le nombre lui-même.

Extraire la racine est l'action inverse de l'élévation à une puissance, puisque c'est l'opération de trouver la base d'un degré par le degré et son exposant. Extraire la nième racine (n est l'exposant de la racine) d'un nombre a (nombre radical) signifie trouver le troisième nombre dont la nième puissance est égale à a. Le résultat s’appelle la racine. Par exemple:

L'addition et la soustraction, la multiplication et la division, l'exponentiation et l'extraction de racine sont des opérations inverses par paires.