Ou l'arithmétique est un type de séquence numérique ordonnée dont les propriétés sont étudiées dans un cours d'algèbre scolaire. Cet article aborde en détail la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique.

De quel genre de progression s’agit-il ?

Avant de passer à la question (comment trouver la somme d'une progression arithmétique), il convient de comprendre de quoi nous parlons.

Toute séquence de nombres réels obtenue en ajoutant (soustrayant) une valeur de chaque nombre précédent est appelée une progression algébrique (arithmétique). Cette définition, traduite en langage mathématique, prend la forme :

Ici i est le numéro de série de l'élément de la ligne a i. Ainsi, ne connaissant qu'un seul numéro de départ, vous pouvez facilement restaurer toute la série. Le paramètre d dans la formule est appelé différence de progression.

On peut facilement montrer que pour la série de nombres considérée, l’égalité suivante est vraie :

un n = un 1 + d * (n - 1).

Autrement dit, pour trouver la valeur du nième élément dans l'ordre, vous devez ajouter la différence d au premier élément a 1 n-1 fois.

Quelle est la somme d'une progression arithmétique : formule

Avant de donner la formule du montant indiqué, il convient de considérer un cas particulier simple. Étant donné une progression de nombres naturels de 1 à 10, vous devez trouver leur somme. Comme il y a peu de termes dans la progression (10), il est possible de résoudre le problème de front, c'est-à-dire de sommer tous les éléments dans l'ordre.

S 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

Cela vaut la peine de considérer une chose intéressante : puisque chaque terme diffère du suivant par la même valeur d = 1, alors la sommation par paire du premier avec le dixième, du second avec le neuvième, et ainsi de suite donnera le même résultat. Vraiment:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

Comme vous pouvez le constater, il n'y a que 5 de ces sommes, soit exactement deux fois moins que le nombre d'éléments de la série. En multipliant ensuite le nombre de sommes (5) par le résultat de chaque somme (11), vous arriverez au résultat obtenu dans le premier exemple.

Si l’on généralise ces arguments, on peut écrire l’expression suivante :

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

Cette expression montre qu'il n'est pas du tout nécessaire de sommer tous les éléments d'une suite ; il suffit de connaître la valeur du premier a 1 et du dernier a n, ainsi que le nombre total de termes n.

On pense que Gauss a pensé pour la première fois à cette égalité lorsqu'il cherchait une solution à un problème posé par son professeur : additionner les 100 premiers nombres entiers.

Somme des éléments de m à n : formule

La formule donnée dans le paragraphe précédent répond à la question de savoir comment trouver la somme d'une progression arithmétique (les premiers éléments), mais souvent dans les problèmes il est nécessaire de sommer une série de nombres au milieu de la progression. Comment faire?

La façon la plus simple de répondre à cette question est de considérer l'exemple suivant : supposons qu'il soit nécessaire de trouver la somme des termes du m-ième au n-ième. Pour résoudre le problème, vous devez présenter le segment donné de m à n de la progression sous la forme d'une nouvelle série de nombres. Dans cette représentation, le mième terme a m sera le premier, et an sera numéroté n-(m-1). Dans ce cas, en appliquant la formule standard pour la somme, on obtiendra l'expression suivante :

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

Exemple d'utilisation de formules

Sachant comment trouver la somme d'une progression arithmétique, il convient de considérer un exemple simple d'utilisation des formules ci-dessus.

Ci-dessous une séquence numérique, vous devriez trouver la somme de ses termes, en commençant par le 5 et en terminant par le 12 :

Les nombres donnés indiquent que la différence d est égale à 3. En utilisant l'expression du nième élément, vous pouvez trouver les valeurs des 5ème et 12ème termes de la progression. Il s'avère:

une 5 = une 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8 ;

une 12 = une 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

Connaissant les valeurs des nombres aux extrémités de la progression algébrique considérée, et connaissant également quels nombres de la série ils occupent, vous pouvez utiliser la formule de la somme obtenue dans le paragraphe précédent. Il s'avérera :

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

Il est à noter que cette valeur pourrait être obtenue différemment : trouvez d'abord la somme des 12 premiers éléments à l'aide de la formule standard, puis calculez la somme des 4 premiers éléments à l'aide de la même formule, puis soustrayez le second de la première somme.

Eh bien, mes amis, si vous lisez ce texte, alors les preuves internes me disent que vous ne savez pas encore ce qu'est une progression arithmétique, mais vous voulez vraiment (non, comme ça : SOOOOO !) savoir. Par conséquent, je ne vous tourmenterai pas avec de longues introductions et j’irai droit au but.

Tout d’abord, quelques exemples. Examinons plusieurs ensembles de nombres :

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

Quel est le point commun entre tous ces ensembles ? A première vue, rien. Mais en réalité, il y a quelque chose. À savoir: chaque élément suivant diffère du précédent par le même numéro.

Jugez par vous-même. Le premier ensemble est simplement constitué de nombres consécutifs, chaque suivant étant un de plus que le précédent. Dans le second cas, la différence entre les nombres adjacents est déjà de cinq, mais cette différence reste constante. Dans le troisième cas, il y a complètement des racines. Cependant, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$ et $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, c'est-à-dire et dans ce cas, chaque élément suivant augmente simplement de $\sqrt(2)$ (et n'ayez pas peur que ce nombre soit irrationnel).

Donc : toutes ces séquences sont appelées progressions arithmétiques. Donnons une définition stricte :

Définition. Une séquence de nombres dans laquelle chacun des nombres suivants diffère du précédent exactement du même montant est appelée progression arithmétique. Le montant même par lequel les nombres diffèrent est appelé différence de progression et est le plus souvent désigné par la lettre $d$.

Notation : $\left(((a)_(n)) \right)$ est la progression elle-même, $d$ est sa différence.

Et juste quelques notes importantes. Premièrement, la progression n’est prise en compte que commandé séquence de nombres : ils peuvent être lus strictement dans l'ordre dans lequel ils sont écrits - et rien d'autre. Les numéros ne peuvent pas être réorganisés ou échangés.

Deuxièmement, la séquence elle-même peut être finie ou infinie. Par exemple, l'ensemble (1 ; 2 ; 3) est évidemment une progression arithmétique finie. Mais si vous écrivez quelque chose dans l'esprit (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...) - c'est déjà une progression infinie. Les points de suspension après les quatre semblent laisser entendre qu’il y a encore quelques chiffres à venir. Une infinité, par exemple :)

Je voudrais également noter que les progressions peuvent être croissantes ou décroissantes. Nous en avons déjà vu des croissants - le même ensemble (1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...). Voici des exemples de progressions décroissantes :

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

D'accord, d'accord : le dernier exemple peut sembler trop compliqué. Mais le reste, je pense, vous comprenez. Nous introduisons donc de nouvelles définitions :

Définition. Une progression arithmétique s'appelle :

1. augmentant si chaque élément suivant est supérieur au précédent ;
2. décroissant si, au contraire, chaque élément suivant est inférieur au précédent.

De plus, il existe des séquences dites « stationnaires » - elles sont constituées du même numéro répétitif. Par exemple, (3 ; 3 ; 3 ; ...).

Une seule question demeure : comment distinguer une progression croissante d’une progression décroissante ? Heureusement, tout ici dépend uniquement du signe du nombre $d$, c'est-à-dire différences de progression :

1. Si $d \gt 0$, alors la progression augmente ;
2. Si $d \lt 0$, alors la progression est évidemment décroissante ;
3. Enfin, il y a le cas $d=0$ - dans ce cas toute la progression est réduite à une séquence stationnaire de nombres identiques : (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...), etc.

Essayons de calculer la différence $d$ pour les trois progressions décroissantes données ci-dessus. Pour ce faire, il suffit de prendre deux éléments adjacents (par exemple, le premier et le deuxième) et de soustraire le nombre de gauche du nombre de droite. Il ressemblera à ceci:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

Comme nous pouvons le constater, dans les trois cas, la différence s’est avérée négative. Et maintenant que nous avons plus ou moins compris les définitions, il est temps de comprendre comment les progressions sont décrites et quelles sont leurs propriétés.

Conditions de progression et formule de récurrence

Les éléments de nos séquences ne pouvant pas être intervertis, ils peuvent être numérotés :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3 )),... \droite\)\]

Les éléments individuels de cet ensemble sont appelés membres d'une progression. Ils sont indiqués par un numéro : premier membre, deuxième membre, etc.

De plus, comme nous le savons déjà, les termes voisins de la progression sont liés par la formule :

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

Bref, pour trouver le $n$ième terme d'une progression, il faut connaître le $n-1$ième terme et la différence $d$. Cette formule est dite récurrente, car avec son aide, vous pouvez trouver n'importe quel nombre uniquement en connaissant le précédent (et en fait, tous les précédents). C'est très gênant, il existe donc une formule plus astucieuse qui réduit tous les calculs au premier terme et à la différence :

\[((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d\]

Vous avez probablement déjà rencontré cette formule. Ils aiment le donner dans toutes sortes d’ouvrages de référence et de livres de solutions. Et dans tout manuel de mathématiques sensé, c'est l'un des premiers.

Cependant, je vous suggère de vous entraîner un peu.

Tâche n°1. Notez les trois premiers termes de la progression arithmétique $\left(((a)_(n)) \right)$ si $((a)_(1))=8,d=-5$.

Solution. Ainsi, nous connaissons le premier terme $((a)_(1))=8$ et la différence de progression $d=-5$. Utilisons la formule que nous venons de donner et remplaçons $n=1$, $n=2$ et $n=3$ :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3 ; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : (8 ; 3 ; −2)

C'est tout! Attention : notre progression est décroissante.

Bien entendu, $n=1$ ne peut pas être substitué - le premier terme nous est déjà connu. Cependant, en substituant l’unité, nous étions convaincus que même pour le premier mandat, notre formule fonctionnait. Dans d’autres cas, tout se résumait à de banales arithmétiques.

Tâche n°2. Écrivez les trois premiers termes d'une progression arithmétique si son septième terme est égal à −40 et son dix-septième terme est égal à −50.

Solution. Écrivons la condition problématique en termes familiers :

\[((a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(align) \droite.\]

J'ai mis le signe du système car ces exigences doivent être remplies simultanément. Notons maintenant que si on soustrait la première de la deuxième équation (on en a le droit, puisqu’on a un système), on obtient ceci :

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40 ; \\&10d=-10 ; \\&d=-1. \\ \fin(aligner)\]

C'est aussi simple que de trouver la différence de progression ! Il ne reste plus qu'à substituer le nombre trouvé dans l'une des équations du système. Par exemple, dans le premier :

\[\begin(matrix) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \fin(matrice)\]

Maintenant, connaissant le premier terme et la différence, il reste à trouver les deuxième et troisième termes :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \fin(aligner)\]

Prêt! Le problème est résolu.

Réponse : (−34 ; −35 ; −36)

Remarquez la propriété intéressante de progression que nous avons découverte : si nous prenons les $n$ième et $m$ième termes et les soustrayons les uns des autres, nous obtenons la différence de progression multipliée par le nombre $n-m$ :

\[((a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

Une propriété simple mais très utile que vous devez absolument connaître - avec son aide, vous pouvez accélérer considérablement la solution de nombreux problèmes de progression. En voici un exemple clair :

Tâche n°3. Le cinquième terme d'une progression arithmétique est 8,4 et son dixième terme est 14,4. Trouvez le quinzième terme de cette progression.

Solution. Puisque $((a)_(5))=8,4$, $((a)_(10))=14,4$, et que nous devons trouver $((a)_(15))$, nous notons ce qui suit :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \fin(aligner)\]

Mais par condition $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, donc $5d=6$, d'où on a :

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14,4=20,4. \\ \fin(aligner)\]

Réponse : 20.4

C'est tout! Nous n'avons pas eu besoin de créer de systèmes d'équations ni de calculer le premier terme et la différence - tout a été résolu en quelques lignes seulement.

Examinons maintenant un autre type de problème : la recherche des termes négatifs et positifs d'une progression. Ce n'est un secret pour personne que si une progression augmente et que son premier terme est négatif, tôt ou tard des termes positifs y apparaîtront. Et vice versa : les termes d’une progression décroissante deviendront tôt ou tard négatifs.

En même temps, il n'est pas toujours possible de retrouver ce moment « de front » en parcourant successivement les éléments. Souvent, les problèmes sont rédigés de telle manière que sans connaître les formules, les calculs prendraient plusieurs feuilles de papier – nous nous endormirions simplement pendant que nous trouvions la réponse. Essayons donc de résoudre ces problèmes plus rapidement.

Tâche n°4. Combien y a-t-il de termes négatifs dans la progression arithmétique −38,5 ; −35,8 ; ...?

Solution. Donc, $((a)_(1))=-38,5$, $((a)_(2))=-35,8$, d'où on trouve immédiatement la différence :

Notez que la différence est positive, donc la progression augmente. Le premier terme est négatif, donc effectivement à un moment donné nous tomberons sur des nombres positifs. La seule question est de savoir quand cela se produira.

Essayons de savoir combien de temps (c'est-à-dire jusqu'à quel nombre naturel $n$) reste la négativité des termes :

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \fin(aligner)\]

La dernière ligne nécessite quelques explications. Nous savons donc que $n \lt 15\frac(7)(27)$. En revanche, on se contente uniquement de valeurs entières du nombre (d'ailleurs : $n\in \mathbb(N)$), donc le plus grand nombre autorisé est précisément $n=15$, et en aucun cas 16 .

Tâche n°5. En progression arithmétique $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. Trouver le numéro du premier terme positif de cette progression.

Ce serait exactement le même problème que le précédent, mais nous ne connaissons pas $((a)_(1))$. Mais les termes voisins sont connus : $((a)_(5))$ et $((a)_(6))$, on peut donc facilement trouver la différence de progression :

De plus, essayons d'exprimer le cinquième terme à travers le premier et la différence en utilisant la formule standard :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \fin(aligner)\]

Nous procédons maintenant par analogie avec la tâche précédente. Voyons à quel moment de notre séquence les nombres positifs apparaîtront :

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165 ; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \fin(aligner)\]

La solution entière minimale de cette inégalité est le nombre 56.

Attention : dans la dernière tâche, tout se résumait à une stricte inégalité, donc l'option $n=55$ ne nous conviendra pas.

Maintenant que nous avons appris à résoudre des problèmes simples, passons aux plus complexes. Mais d'abord, étudions une autre propriété très utile des progressions arithmétiques, qui nous fera gagner beaucoup de temps et des cellules inégales à l'avenir :)

Moyenne arithmétique et indentations égales

Considérons plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique croissante $\left(((a)_(n)) \right)$. Essayons de les marquer sur la droite numérique :

J'ai spécifiquement marqué des termes arbitraires $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$, et non certains $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, etc. Parce que la règle dont je vais vous parler maintenant fonctionne de la même manière pour tous les « segments ».

Et la règle est très simple. Rappelons la formule récurrente et écrivons-la pour tous les termes marqués :

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \fin(aligner)\]

Cependant, ces égalités peuvent être réécrites différemment :

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \fin(aligner)\]

Eh bien, et alors ? Et le fait que les termes $((a)_(n-1))$ et $((a)_(n+1))$ se trouvent à la même distance de $((a)_(n)) $ . Et cette distance est égale à $d$. La même chose peut être dite à propos des termes $((a)_(n-2))$ et $((a)_(n+2))$ - ils sont également supprimés de $((a)_(n) )$ à la même distance égale à $2d$. On peut continuer à l'infini, mais le sens est bien illustré par l'image

Qu'est ce que cela veut dire pour nous? Cela signifie que $((a)_(n))$ peut être trouvé si les nombres voisins sont connus :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

Nous en avons tiré une excellente affirmation : chaque terme d'une progression arithmétique est égal à la moyenne arithmétique de ses termes voisins ! De plus : nous pouvons reculer de notre $((a)_(n))$ vers la gauche et vers la droite non pas d'un pas, mais de $k$ pas - et la formule sera toujours correcte :

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

Ceux. nous pouvons facilement trouver des $((a)_(150))$ si nous connaissons $((a)_(100))$ et $((a)_(200))$, car $(( a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. À première vue, il peut sembler que ce fait ne nous apporte rien d’utile. Cependant, en pratique, de nombreux problèmes sont spécialement adaptés à l’utilisation de la moyenne arithmétique. Regarde:

Tâche n°6. Trouver toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles les nombres $-6((x)^(2))$, $x+1$ et $14+4((x)^(2))$ sont des termes consécutifs de une progression arithmétique (dans l'ordre indiqué).

Solution. Puisque ces nombres sont membres d'une progression, la condition de moyenne arithmétique est satisfaite pour eux : l'élément central $x+1$ peut être exprimé en termes d'éléments voisins :

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-((x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \fin(aligner)\]

Le résultat est une équation quadratique classique. Ses racines : $x=2$ et $x=-3$ sont les réponses.

Réponse : −3 ; 2.

Tâche n°7. Trouvez les valeurs de $$ pour lesquelles les nombres $-1;4-3;(()^(2))+1$ forment une progression arithmétique (dans cet ordre).

Solution. Exprimons à nouveau le moyen terme par la moyenne arithmétique des termes voisins :

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+((x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=((x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \fin(aligner)\]

Encore une équation quadratique. Et encore une fois, il y a deux racines : $x=6$ et $x=1$.

Réponse 1; 6.

Si, en train de résoudre un problème, vous arrivez à des chiffres brutaux, ou si vous n'êtes pas entièrement sûr de l'exactitude des réponses trouvées, alors il existe une technique merveilleuse qui vous permet de vérifier : avons-nous résolu le problème correctement ?

Disons que dans le problème n°6 nous avons reçu les réponses −3 et 2. Comment pouvons-nous vérifier que ces réponses sont correctes ? Branchons-les simplement dans leur état d'origine et voyons ce qui se passe. Je vous rappelle que nous avons trois nombres ($-6(()^(2))$, $+1$ et $14+4(()^(2))$), qui doivent former une progression arithmétique. Remplaçons $x=-3$ :

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ &x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \fin(aligner)\]

Nous avons obtenu les nombres −54 ; -2 ; 50 qui diffèrent de 52 est sans aucun doute une progression arithmétique. La même chose se produit pour $x=2$ :

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ &x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \fin(aligner)\]

Encore une progression, mais avec une différence de 27. Ainsi, le problème a été résolu correctement. Ceux qui le souhaitent peuvent vérifier eux-mêmes le deuxième problème, mais je dirai tout de suite : là aussi, tout est correct.

En général, en résolvant les derniers problèmes, nous sommes tombés sur un autre fait intéressant qu'il faut également retenir :

Si trois nombres sont tels que le second est la moyenne arithmétique du premier et du dernier, alors ces nombres forment une progression arithmétique.

À l’avenir, comprendre cet énoncé nous permettra de « construire » littéralement les progressions nécessaires en fonction des conditions du problème. Mais avant de nous lancer dans une telle « construction », nous devons prêter attention à un autre fait, qui découle directement de ce qui a déjà été discuté.

Regrouper et additionner des éléments

Revenons à nouveau à l'axe des nombres. Notons là plusieurs membres de la progression, entre lesquels, peut-être. vaut beaucoup d'autres membres :

Essayons d'exprimer la « queue gauche » par $((a)_(n))$ et $d$, et la « queue droite » par $((a)_(k))$ et $d$. C'est très simple:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \fin(aligner)\]

Notez maintenant que les montants suivants sont égaux :

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= S ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= S. \fin(aligner)\]

En termes simples, si nous considérons comme point de départ deux éléments de la progression, qui au total sont égaux à un certain nombre $S$, puis commençons à partir de ces éléments dans des directions opposées (l'un vers l'autre ou vice versa pour s'éloigner), alors les sommes des éléments sur lesquels nous tomberons seront également égales$S$. Cela peut être représenté graphiquement de la manière la plus claire :

Comprendre ce fait nous permettra de résoudre des problèmes d'un niveau de complexité fondamentalement plus élevé que ceux que nous avons considérés ci-dessus. Par exemple, ceux-ci :

Tâche n°8. Déterminer la différence d'une progression arithmétique dans laquelle le premier terme est 66 et le produit du deuxième et du douzième terme est le plus petit possible.

Solution. Écrivons tout ce que nous savons :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \fin(aligner)\]

Nous ne connaissons donc pas la différence de progression $d$. En fait, toute la solution sera construite autour de la différence, puisque le produit $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ peut être réécrit comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right). \fin(aligner)\]

Pour ceux qui sont dans le tank : j’ai pris le multiplicateur global de 11 sur la deuxième tranche. Ainsi, le produit recherché est une fonction quadratique par rapport à la variable $d$. Par conséquent, considérons la fonction $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ - son graphique sera une parabole avec des branches vers le haut, car si on développe les parenthèses, on obtient :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

Comme vous pouvez le voir, le coefficient du terme le plus élevé est 11 - c'est un nombre positif, nous avons donc bien affaire à une parabole avec des branches ascendantes :

graphique d'une fonction quadratique - parabole

Attention : cette parabole prend sa valeur minimale en son sommet d'abscisse $((d)_(0))$. Bien sûr, on peut calculer cette abscisse en utilisant le schéma standard (il existe la formule $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$), mais il serait bien plus raisonnable de noter que le sommet souhaité se trouve sur l'axe de symétrie de la parabole, donc le point $((d)_(0))$ est à égale distance des racines de l'équation $f\left(d \right)=0$ :

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \fin(aligner)\]

C'est pourquoi je n'étais pas particulièrement pressé d'ouvrir les supports : dans leur forme originale, les racines étaient très, très faciles à trouver. L'abscisse est donc égale à la moyenne arithmétique des nombres −66 et −6 :

\[((d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

Que nous donne le numéro découvert ? Avec lui, le produit requis prend la plus petite valeur (d'ailleurs, nous n'avons jamais calculé $((y)_(\min ))$ - cela ne nous est pas demandé). En même temps, ce nombre est la différence de la progression initiale, c'est-à-dire nous avons trouvé la réponse :)

Réponse : −36

Tâche n°9. Entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac(1)(6)$ insérez trois nombres pour qu'avec ces nombres ils forment une progression arithmétique.

Solution. Essentiellement, nous devons créer une séquence de cinq nombres, le premier et le dernier nombre étant déjà connus. Notons les nombres manquants par les variables $x$, $y$ et $z$ :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

Notez que le nombre $y$ est le « milieu » de notre séquence - il est à égale distance des nombres $x$ et $z$, et des nombres $-\frac(1)(2)$ et $-\frac (1)(6)$. Et si on ne peut actuellement pas obtenir $y$ à partir des nombres $x$ et $z$, alors la situation est différente avec les fins de progression. Rappelons la moyenne arithmétique :

Maintenant, connaissant $y$, nous trouverons les nombres restants. Notez que $x$ se situe entre les nombres $-\frac(1)(2)$ et le $y=-\frac(1)(3)$ que nous venons de trouver. C'est pourquoi

En utilisant un raisonnement similaire, nous trouvons le nombre restant :

Prêt! Nous avons trouvé les trois numéros. Écrivons-les dans la réponse dans l'ordre dans lequel ils doivent être insérés entre les numéros d'origine.

Réponse : $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

Tâche n°10. Entre les nombres 2 et 42, insérez plusieurs nombres qui, avec ces nombres, forment une progression arithmétique, si vous savez que la somme du premier, du deuxième et du dernier des nombres insérés est 56.

Solution. Un problème encore plus complexe, qui est cependant résolu selon le même schéma que les précédents - par la moyenne arithmétique. Le problème est que nous ne savons pas exactement combien de nombres doivent être insérés. Par conséquent, supposons avec certitude qu'après avoir tout inséré, il y aura exactement $n$ nombres, et le premier d'entre eux est 2 et le dernier est 42. Dans ce cas, la progression arithmétique requise peut être représentée sous la forme :

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

Notez cependant que les nombres $((a)_(2))$ et $((a)_(n-1))$ sont obtenus à partir des nombres 2 et 42 aux bords d'un pas l'un vers l'autre, c'est à dire. . au centre de la séquence. Et cela signifie que

\[((a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

Mais alors l’expression écrite ci-dessus peut être réécrite comme suit :

\[\begin(align) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \fin(aligner)\]

Connaissant $((a)_(3))$ et $((a)_(1))$, on peut facilement trouver la différence de progression :

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \fin(aligner)\]

Il ne reste plus qu'à trouver les termes restants :

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \fin(aligner)\]

Ainsi, déjà à la 9ème étape, nous arriverons à l'extrémité gauche de la séquence - le nombre 42. Au total, seuls 7 nombres ont dû être insérés : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37.

Réponse : 7 ; 12 ; 17 ; 22 ; 27 ; 32 ; 37

Problèmes de mots avec progressions

En conclusion, je voudrais examiner quelques problèmes relativement simples. Eh bien, c'est aussi simple que cela : pour la plupart des élèves qui étudient les mathématiques à l'école et qui n'ont pas lu ce qui est écrit ci-dessus, ces problèmes peuvent sembler difficiles. Néanmoins, ce sont les types de problèmes qui apparaissent dans l'OGE et l'examen d'État unifié en mathématiques, je vous recommande donc de vous familiariser avec eux.

Tâche n°11. L'équipe a produit 62 pièces en janvier, et chaque mois suivant, elle a produit 14 pièces de plus que le mois précédent. Combien de pièces l’équipe a-t-elle produites en novembre ?

Solution. Évidemment, le nombre de pièces répertoriées par mois représentera une progression arithmétique croissante. De plus:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

Novembre est le 11ème mois de l'année, nous devons donc trouver $((a)_(11))$ :

\[((a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

Ainsi, 202 pièces seront produites en novembre.

Tâche n°12. L'atelier de reliure a relié 216 livres en janvier et chaque mois suivant, il a relié 4 livres de plus que le mois précédent. Combien de livres l’atelier a-t-il relié en décembre ?

Solution. Tous les mêmes:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

Décembre est le dernier, 12ème mois de l'année, nous recherchons donc $((a)_(12))$ :

\[((a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

Voilà la réponse : 260 livres seront reliés en décembre.

Eh bien, si vous avez lu jusqu'ici, je m'empresse de vous féliciter : vous avez réussi le « cours de jeune combattant » en progressions arithmétiques. Vous pouvez passer en toute sécurité à la leçon suivante, où nous étudierons la formule de la somme de la progression, ainsi que ses conséquences importantes et très utiles.

Attention!
Il y a des supplémentaires
matériaux dans la section spéciale 555.
Pour ceux qui sont très "pas très..."
Et pour ceux qui « beaucoup… »)

Une progression arithmétique est une série de nombres dans laquelle chaque nombre est supérieur (ou inférieur) au précédent du même montant.

Ce sujet semble souvent complexe et incompréhensible. Les indices des lettres, le nième terme de la progression, la différence de progression - tout cela est en quelque sorte déroutant, oui... Trouvons le sens de la progression arithmétique et tout ira mieux tout de suite.)

Le concept de progression arithmétique.

La progression arithmétique est un concept très simple et clair. Avez-vous des doutes ? En vain.) Voyez par vous-même.

Je vais écrire une série de nombres inachevée :

1, 2, 3, 4, 5, ...

Pouvez-vous prolonger cette série ? Quels nombres viendront ensuite, après les cinq ? Tout le monde... euh..., bref, tout le monde se rendra compte que les nombres 6, 7, 8, 9, etc. viendront ensuite.

Compliquons la tâche. Je vous donne une série de chiffres inachevée :

2, 5, 8, 11, 14, ...

Vous pourrez saisir le motif, étendre la série et nommer septième numéro de ligne ?

Si vous avez réalisé que ce nombre est 20, félicitations ! Non seulement tu as ressenti points clés de la progression arithmétique, mais aussi les utiliser avec succès en affaires ! Si vous ne l’avez pas compris, continuez à lire.

Traduisons maintenant les points clés des sensations en mathématiques.)

Premier point clé.

La progression arithmétique concerne les séries de nombres. C'est déroutant au début. On a l'habitude de résoudre des équations, de dessiner des graphiques et tout ça... Mais ici on étend la série, on trouve le numéro de la série...

C'est bon. C’est juste que les progressions sont la première connaissance d’une nouvelle branche des mathématiques. La section s'appelle « Séries » et fonctionne spécifiquement avec des séries de nombres et d'expressions. Habituez-vous-y.)

Deuxième point clé.

Dans une progression arithmétique, tout nombre est différent du précédent du même montant.

Dans le premier exemple, cette différence en est une. Quel que soit le numéro que vous prenez, c'est un de plus que le précédent. Dans le deuxième - trois. N'importe quel nombre est trois de plus que le précédent. En fait, c’est ce moment qui nous donne l’opportunité de saisir la tendance et de calculer les nombres ultérieurs.

Troisième point clé.

Ce moment n’est pas marquant, oui… Mais il est très, très important. Il est la: Chaque numéro de progression est à sa place. Il y a le premier nombre, il y a le septième, il y a le quarante-cinquième, etc. Si vous les mélangez au hasard, le motif disparaîtra. La progression arithmétique disparaîtra également. Ce qui reste, c'est juste une série de chiffres.

Exactement.

Bien entendu, de nouveaux termes et désignations apparaissent dans un nouveau sujet. Vous devez les connaître. Sinon, vous ne comprendrez pas la tâche. Par exemple, vous devrez décider quelque chose comme :

Notez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.

Inspirant ?) Des lettres, quelques index... Et la tâche, d'ailleurs, ne pourrait pas être plus simple. Il vous suffit de comprendre la signification des termes et des désignations. Nous allons maintenant maîtriser ce sujet et revenir à la tâche.

Termes et désignations.

Progression arithmétique est une série de nombres dans lesquels chaque nombre est différent du précédent du même montant.

Cette quantité est appelée . Examinons ce concept plus en détail.

Différence de progression arithmétique.

Différence de progression arithmétique est le montant par lequel tout numéro de progression plus le précédent.

Un point important. S'il vous plaît, faites attention au mot "plus". Mathématiquement, cela signifie que chaque numéro de progression est en ajoutant différence de progression arithmétique par rapport au nombre précédent.

Pour calculer, disons deuxième numéros de la série, vous devez d'abord nombre ajouter cette différence même d'une progression arithmétique. Pour le calcul cinquième- la différence est nécessaire ajouterÀ quatrième, eh bien, etc.

Différence de progression arithmétique Peut être positif, alors chaque numéro de la série se révélera réel plus que le précédent. Cette progression est appelée en augmentant. Par exemple:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Ici, chaque numéro est obtenu en ajoutant nombre positif, +5 au précédent.

La différence peut être négatif, alors chaque numéro de la série sera moins que le précédent. Cette progression s’appelle (vous n’y croirez pas !) diminuant.

Par exemple:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Ici, chaque numéro est également obtenu en ajoutant au précédent, mais déjà un nombre négatif, -5.

À propos, lorsque l'on travaille avec une progression, il est très utile de déterminer immédiatement sa nature - si elle augmente ou diminue. Cela aide beaucoup à prendre la décision, à repérer vos erreurs et à les corriger avant qu’il ne soit trop tard.

Différence de progression arithmétique généralement désigné par la lettre d.

Comment trouver d? Très simple. Il faut soustraire de n'importe quel nombre de la série précédent nombre. Soustraire. À propos, le résultat de la soustraction est appelé « différence ».)

Définissons, par exemple, d pour une progression arithmétique croissante :

2, 5, 8, 11, 14, ...

Nous prenons n'importe quel nombre de la série que nous voulons, par exemple 11. Nous en soustrayons numéro précédent ceux. 8 :

C'est la bonne réponse. Pour cette progression arithmétique, la différence est de trois.

Tu peux le prendre n'importe quel numéro de progression, parce que pour une progression spécifique d-toujours le même. Au moins quelque part au début de la rangée, au moins au milieu, au moins n'importe où. Vous ne pouvez pas prendre uniquement le tout premier numéro. Tout simplement parce que le tout premier numéro pas de précédent.)

D'ailleurs, sachant que d=3, trouver le septième nombre de cette progression est très simple. Ajoutons 3 au cinquième nombre - nous obtenons le sixième, ce sera 17. Ajoutons trois au sixième nombre, nous obtenons le septième nombre - vingt.

Définissons d pour la progression arithmétique décroissante :

8; 3; -2; -7; -12; .....

Je vous rappelle que, quels que soient les signes, pour déterminer d nécessaire à partir de n'importe quel numéro enlevez le précédent. Choisissez n'importe quel numéro de progression, par exemple -7. Son numéro précédent est -2. Alors:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

La différence d'une progression arithmétique peut être n'importe quel nombre : entier, fractionnaire, irrationnel, n'importe quel nombre.

Autres termes et désignations.

Chaque numéro de la série s'appelle membre d'une progression arithmétique.

Chaque membre de la progression a son propre numéro. Les chiffres sont strictement dans l'ordre, sans aucune astuce. Premier, deuxième, troisième, quatrième, etc. Par exemple, dans la progression 2, 5, 8, 11, 14, ... deux est le premier terme, cinq est le deuxième, onze est le quatrième, eh bien, vous comprenez...) Veuillez bien comprendre - les chiffres eux-mêmes peut être absolument n'importe quoi, entier, fractionnaire, négatif, peu importe, mais numérotation des numéros- strictement dans l'ordre !

Comment rédiger une progression sous forme générale ? Aucun problème! Chaque chiffre d'une série est écrit sous forme de lettre. Pour désigner une progression arithmétique, la lettre est généralement utilisée un. Le numéro de membre est indiqué par un index en bas à droite. Nous écrivons les termes séparés par des virgules (ou des points-virgules), comme ceci :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5, .....

un 1- c'est le premier numéro, un 3- troisième, etc. Rien d'extraordinaire. Cette série peut être écrite brièvement comme ceci : (un).

Des progressions se produisent fini et infini.

Ultime la progression compte un nombre limité de membres. Cinq, trente-huit, peu importe. Mais c'est un nombre fini.

Infini progression - a un nombre infini de membres, comme vous pouvez le deviner.)

Vous pouvez écrire la progression finale à travers une série comme celle-ci, tous les termes et un point à la fin :

un 1, un 2, un 3, un 4, un 5.

Ou comme ceci, s'il y a beaucoup de membres :

un 1, un 2, ... un 14, un 15.

Dans la courte entrée, vous devrez en outre indiquer le nombre de membres. Par exemple (pour vingt membres), comme ceci :

(une n), n = 20

Une progression infinie peut être reconnue par les points de suspension à la fin de la rangée, comme dans les exemples de cette leçon.

Vous pouvez maintenant résoudre les tâches. Les tâches sont simples et servent uniquement à comprendre le sens d'une progression arithmétique.

Exemples de tâches sur la progression arithmétique.

Examinons en détail la tâche donnée ci-dessus :

1. Écrivez les six premiers termes de la progression arithmétique (a n), si a 2 = 5, d = -2,5.

Nous traduisons la tâche dans un langage compréhensible. Une progression arithmétique infinie est donnée. Le deuxième numéro de cette progression est connu : un 2 = 5. La différence de progression est connue : d = -2,5. Il faut trouver les premier, troisième, quatrième, cinquième et sixième termes de cette progression.

Pour plus de clarté, j'écrirai une série en fonction des conditions du problème. Les six premiers termes, où le deuxième terme est cinq :

un 1, un 5, un 3, un 4, un 5, un 6,....

un 3 = un 2 + d

Substituer dans l'expression un 2 = 5 Et d = -2,5. N'oubliez pas le moins !

un 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Le troisième terme s'est avéré inférieur au deuxième. Tout est logique. Si le nombre est supérieur au précédent négatif valeur, ce qui signifie que le nombre lui-même sera inférieur au précédent. La progression diminue. Bon, prenons-en en compte.) Nous comptons le quatrième terme de notre série :

un 4 = un 3 + d

un 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

un 5 = un 4 + d

un 5=0+(-2,5)= - 2,5

un 6 = un 5 + d

un 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Ainsi, les termes du troisième au sixième ont été calculés. Le résultat est la série suivante :

un 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Reste à trouver le premier terme un 1 selon la seconde bien connue. C'est un pas dans l'autre sens, vers la gauche.) Donc, la différence de la progression arithmétique d ne devrait pas être ajouté à un 2, UN emporter:

un 1 = un 2 - d

un 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

C'est ça. Réponse au devoir :

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Au passage, je voudrais noter que nous avons résolu cette tâche récurrent chemin. Ce mot terrible ne signifie que la recherche d'un membre de la progression selon le numéro précédent (adjacent). Nous examinerons ci-dessous d'autres façons de travailler avec la progression.

Une conclusion importante peut être tirée de cette tâche simple.

Souviens-toi:

Si l'on connaît au moins un terme et la différence d'une progression arithmétique, on peut trouver n'importe quel terme de cette progression.

Vous souvenez-vous? Cette conclusion simple permet de résoudre la plupart des problèmes du cours scolaire sur ce sujet. Toutes les tâches s'articulent autour de trois paramètres principaux : membre d'une progression arithmétique, différence d'une progression, numéro d'un membre de la progression. Tous.

Bien sûr, toute l'algèbre précédente n'est pas annulée.) Les inégalités, les équations et d'autres choses sont liées à la progression. Mais selon la progression elle-même- tout tourne autour de trois paramètres.

À titre d'exemple, examinons quelques tâches populaires sur ce sujet.

2. Écrivez la progression arithmétique finie sous forme de série si n=5, d = 0,4 et a 1 = 3,6.

Tout est simple ici. Tout a déjà été donné. Vous devez vous rappeler comment les termes d'une progression arithmétique sont comptés, les compter et les écrire. Il est conseillé de ne pas manquer les mots dans les conditions de la tâche : « final » et « n=5". Pour ne pas compter jusqu'à ce que vous ayez complètement le visage bleu.) Il n'y a que 5 (cinq) membres dans cette progression :

une 2 = une 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

une 3 = une 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

un 4 = un 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

un 5 = un 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Reste à écrire la réponse :

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

Autre tâche :

3. Déterminez si le nombre 7 fera partie de la progression arithmétique (a n), si une 1 = 4,1 ; d = 1,2.

Hum... Qui sait ? Comment déterminer quelque chose ?

Comment-comment... Notez la progression sous forme de série et voyez s'il y aura un sept ou non ! Nous comptons:

une 2 = une 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3

une 3 = une 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

un 4 = un 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Maintenant, il est clairement visible que nous ne sommes que sept passés à travers entre 6,5 et 7,7 ! Sept ne fait pas partie de notre série de nombres et, par conséquent, sept ne fera pas partie de la progression donnée.

Réponse : non.

Et voici un problème basé sur une version réelle du GIA :

4. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :

... ; 15 ; X; 9 ; 6 ; ...

Voici une série écrite sans fin ni début. Aucun numéro de membre, aucune différence d. C'est bon. Pour résoudre le problème, il suffit de comprendre le sens d'une progression arithmétique. Regardons et voyons ce qui est possible savoir de cette série ? Quels sont les trois paramètres principaux ?

Numéros de membres ? Il n’y a pas un seul numéro ici.

Mais il y a trois chiffres et - attention ! - mot "cohérent"à la condition. Cela signifie que les chiffres sont strictement en ordre, sans lacunes. Y en a-t-il deux dans cette rangée ? voisin numéros connus ? Oui j'ai! Ce sont 9 et 6. On peut donc calculer la différence de la progression arithmétique ! Soustraire de six précédent numéro, c'est-à-dire neuf:

Il ne reste que des bagatelles. Quel nombre sera le précédent pour X ? Quinze. Cela signifie que X peut être facilement trouvé par simple addition. Ajoutez la différence de la progression arithmétique à 15 :

C'est tout. Répondre: x=12

Nous résolvons nous-mêmes les problèmes suivants. Remarque : ces problèmes ne sont pas basés sur des formules. Uniquement pour comprendre le sens d'une progression arithmétique.) Nous écrivons simplement une série de chiffres et de lettres, regardons et comprenons.

5. Trouver le premier terme positif de la progression arithmétique si a 5 = -3 ; d = 1,1.

6. On sait que le nombre 5,5 fait partie de la progression arithmétique (a n), où a 1 = 1,6 ; d = 1,3. Déterminez le nombre n de ce membre.

7. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 4 ; un 5 = 15,1. Trouvez un 3 .

8. Plusieurs termes consécutifs de la progression arithmétique sont écrits :

... ; 15,6 ; X; 3.4 ; ...

Trouvez le terme de la progression indiqué par la lettre x.

9. Le train a commencé à quitter la gare, augmentant uniformément sa vitesse de 30 mètres par minute. Quelle sera la vitesse du train dans cinq minutes ? Donnez votre réponse en km/heure.

10. On sait que dans la progression arithmétique a 2 = 5 ; un 6 = -5. Trouver un 1.

Réponses (en désarroi) : 7,7 ; 7,5 ; 9,5 ; 9 ; 0,3 ; 4.

Tout s'est bien passé ? Incroyable! Vous pourrez maîtriser la progression arithmétique à un niveau supérieur dans les leçons suivantes.

Tout ne s'est pas bien passé ? Aucun problème. Dans la section spéciale 555, tous ces problèmes sont triés pièce par pièce.) Et, bien sûr, une technique pratique simple est décrite qui met immédiatement en évidence la solution à de telles tâches de manière claire, claire, en un coup d'œil !

À propos, dans le puzzle du train, il y a deux problèmes sur lesquels les gens butent souvent. L’un est purement en termes de progression, et le second est général pour tous les problèmes de mathématiques, ainsi que de physique. Il s'agit d'une traduction de dimensions de l'une à l'autre. Il montre comment ces problèmes devraient être résolus.

Dans cette leçon, nous avons examiné la signification élémentaire d'une progression arithmétique et ses principaux paramètres. C'est suffisant pour résoudre presque tous les problèmes sur ce sujet. Ajouter d aux chiffres, écrivez une série, tout sera résolu.

La solution avec les doigts fonctionne bien pour les morceaux d'une rangée très courts, comme dans les exemples de cette leçon. Si la série est plus longue, les calculs deviennent plus compliqués. Par exemple, si dans le problème 9 de la question nous remplaçons "cinq minutes" sur "trente-cinq minutes" le problème va s'aggraver considérablement.)

Et il y a aussi des tâches simples dans leur essence, mais absurdes en termes de calculs, par exemple :

Une progression arithmétique (a n) est donnée. Trouvez un 121 si a 1 =3 et d=1/6.

Alors quoi, allons-nous ajouter 1/6 plusieurs fois ?! Vous pouvez vous suicider !?

Vous pouvez.) Si vous ne connaissez pas de formule simple grâce à laquelle vous pouvez résoudre de telles tâches en une minute. Cette formule sera dans la prochaine leçon. Et ce problème est résolu là. Dans une minute.)

Si vous aimez ce site...

Au fait, j'ai quelques autres sites intéressants pour vous.)

Vous pouvez vous entraîner à résoudre des exemples et découvrir votre niveau. Test avec vérification instantanée. Apprenons - avec intérêt !)

Vous pouvez vous familiariser avec les fonctions et les dérivées.

Progressions arithmétiques et géométriques

Informations théoriques

	Progression arithmétique	Progression géométrique
Définition	Progression arithmétique un est une séquence dans laquelle chaque membre, à partir du second, est égal au membre précédent ajouté au même nombre d (d- différence de progression)	Progression géométrique bn est une suite de nombres non nuls dont chaque terme, à partir du second, est égal au terme précédent multiplié par le même nombre q (q- dénominateur de progression)
Formule de récurrence	Pour tout naturel n un n + 1 = un n + d	Pour tout naturel n b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0
Formule nième terme	une n = une 1 + ré (n-1)	b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0
Propriété caractéristique
Somme des n premiers termes

Exemples de tâches avec commentaires

Exercice 1

En progression arithmétique ( un) un 1 = -6, un 2

D'après la formule du nième terme :

un 22 = un 1+ ré (22 - 1) = un 1+ 21 jours

Par condition :

un 1= -6, alors un 22= -6 + 21 ré .

Il faut trouver la différence de progressions :

ré = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Répondre : un 22 = -48.

Tâche 2

Trouver le cinquième terme de la progression géométrique : -3 ; 6;....

1ère méthode (en utilisant la formule à n termes)

D'après la formule du nième terme d'une progression géométrique :

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4.

Parce que b1 = -3,

2ème méthode (en utilisant une formule récurrente)

Puisque le dénominateur de la progression est -2 (q = -2), alors :

b3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Répondre : b5 = -48.

Tâche 3

En progression arithmétique ( une n ) une 74 = 34; un 76= 156. Trouvez le soixante-quinzième terme de cette progression.

Pour une progression arithmétique, la propriété caractéristique a la forme .

Donc:

.

Remplaçons les données dans la formule :

Réponse : 95.

Tâche 4

En progression arithmétique ( une n) une n= 3n - 4. Trouvez la somme des dix-sept premiers termes.

Pour trouver la somme des n premiers termes d’une progression arithmétique, deux formules sont utilisées :

.

Lequel d’entre eux est le plus pratique à utiliser dans ce cas ?

Par condition, la formule du nième terme de la progression originale est connue ( un) un= 3n - 4. Vous pouvez trouver immédiatement et un 1, Et un 16 sans trouver d. Nous utiliserons donc la première formule.

Réponse : 368.

Tâche 5

En progression arithmétique( un) un 1 = -6; un 2= -8. Trouvez le vingt-deuxième terme de la progression.

D'après la formule du nième terme :

une 22 = une 1 + d (22 – 1) = un 1+ 21j.

Par condition, si un 1= -6, alors un 22= -6 + 21j . Il faut trouver la différence de progressions :

ré = un 2 – un 1 = -8 – (-6) = -2

un 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Répondre : un 22 = -48.

Tâche 6

Plusieurs termes consécutifs de la progression géométrique s'écrivent :

Trouvez le terme de la progression étiqueté x.

Lors de la résolution, nous utiliserons la formule du nième terme b n = b 1 ∙ q n - 1 pour les progressions géométriques. Le premier terme de la progression. Pour trouver le dénominateur de la progression q, vous devez prendre l'un des termes donnés de la progression et le diviser par le précédent. Dans notre exemple, nous pouvons prendre et diviser par. On obtient que q = 3. Au lieu de n, on substitue 3 dans la formule, puisqu'il faut trouver le troisième terme d'une progression géométrique donnée.

En substituant les valeurs trouvées dans la formule, nous obtenons :

.

Répondre : .

Tâche 7

Parmi les progressions arithmétiques données par la formule du nième terme, sélectionner celle pour laquelle la condition est satisfaite un 27 > 9:

Puisque la condition donnée doit être satisfaite pour le 27ème terme de la progression, on substitue 27 au lieu de n dans chacune des quatre progressions. Dans la 4ème progression nous obtenons :

.

Réponse : 4.

Tâche 8

En progression arithmétique un 1= 3, d = -1,5. Spécifiez la plus grande valeur de n pour laquelle l'inégalité est vraie un > -6.

Premier niveau

Progression arithmétique. Théorie détaillée avec exemples (2019)

Séquence numérique

Alors asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:
Vous pouvez écrire n'importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez (dans notre cas, il y en a). Peu importe le nombre de nombres que nous écrivons, nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite jusqu'au dernier, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Voici un exemple de séquence de nombres :

Séquence numérique
Par exemple, pour notre séquence :

Le numéro attribué est spécifique à un seul numéro de la séquence. En d’autres termes, il n’y a pas de nombres de trois secondes dans la séquence. Le deuxième nombre (comme le ème nombre) est toujours le même.
Le nombre avec nombre est appelé le ème terme de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

Dans notre cas:

Disons que nous avons une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.
Par exemple:

etc.
Cette suite de nombres est appelée progression arithmétique.
Le terme « progression » a été introduit par l'auteur romain Boèce au VIe siècle et était compris dans un sens plus large comme une séquence numérique infinie. Le nom « arithmétique » a été transféré de la théorie des proportions continues, étudiée par les anciens Grecs.

Il s'agit d'une séquence de nombres dont chaque membre est égal au précédent ajouté au même nombre. Ce nombre est appelé la différence d'une progression arithmétique et est désigné.

Essayez de déterminer quelles suites de nombres sont une progression arithmétique et lesquelles ne le sont pas :

un)
b)
c)
d)

J'ai compris? Comparons nos réponses :
Est progression arithmétique - b, c.
N'est pas progression arithmétique - a, d.

Revenons à la progression donnée () et essayons de trouver la valeur de son ème terme. Existe deux moyen de le trouver.

1. Méthode

On peut ajouter le numéro de progression à la valeur précédente jusqu'à atteindre le ème terme de la progression. C'est bien que nous n'ayons pas grand chose à résumer - seulement trois valeurs :

Ainsi, le ème terme de la progression arithmétique décrite est égal à.

2. Méthode

Et s’il fallait trouver la valeur du ème terme de la progression ? La sommation nous prendrait plus d'une heure, et ce n'est pas un fait que nous ne ferions pas d'erreurs en additionnant des nombres.
Bien entendu, les mathématiciens ont trouvé une méthode selon laquelle il n’est pas nécessaire d’ajouter la différence d’une progression arithmétique à la valeur précédente. Regardez de plus près l'image dessinée... Vous avez sûrement déjà remarqué un certain motif, à savoir :

Voyons par exemple en quoi consiste la valeur du ième terme de cette progression arithmétique :


Autrement dit:

Essayez de trouver vous-même la valeur d'un membre d'une progression arithmétique donnée.

As-tu calculé ? Comparez vos notes avec la réponse :

Veuillez noter que vous avez obtenu exactement le même nombre que dans la méthode précédente, lorsque nous avons ajouté séquentiellement les termes de la progression arithmétique à la valeur précédente.
Essayons de « dépersonnaliser » cette formule - mettons-la sous forme générale et obtenons :

Les progressions arithmétiques peuvent être croissantes ou décroissantes.

En augmentant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est supérieure à la précédente.
Par exemple:

Descendant- des progressions dans lesquelles chaque valeur suivante des termes est inférieure à la précédente.
Par exemple:

La formule dérivée est utilisée dans le calcul des termes en termes croissants et décroissants d'une progression arithmétique.
Vérifions cela en pratique.
On nous donne une progression arithmétique composée des nombres suivants : Vérifions quel sera le ème nombre de cette progression arithmétique si nous utilisons notre formule pour le calculer :

Depuis lors:

Ainsi, nous sommes convaincus que la formule fonctionne à la fois en progression arithmétique décroissante et croissante.
Essayez de trouver vous-même les ième et ième termes de cette progression arithmétique.

Comparons les résultats :

Propriété de progression arithmétique

Compliquons le problème - nous en dériverons la propriété de progression arithmétique.
Disons qu'on nous donne la condition suivante :
- progression arithmétique, trouver la valeur.
Facile, dites-vous et commencez à compter selon la formule que vous connaissez déjà :

Laissez, ah, alors :

Absolument raison. Il s'avère que nous trouvons d'abord, puis l'ajoutons au premier nombre et obtenons ce que nous recherchons. Si la progression est représentée par de petites valeurs, alors cela n’a rien de compliqué, mais que se passe-t-il si on nous donne des nombres dans la condition ? D'accord, il est possible de se tromper dans les calculs.
Demandez-vous maintenant s'il est possible de résoudre ce problème en une seule étape en utilisant n'importe quelle formule ? Bien sûr que oui, et c’est ce que nous allons essayer de faire ressortir maintenant.

Notons le terme requis de la progression arithmétique car la formule pour le trouver nous est connue - c'est la même formule que nous avons dérivée au début :
, Alors:

• le terme précédent de la progression est :
• le terme suivant de la progression est :

Résumons les termes précédents et suivants de la progression :

Il s'avère que la somme des termes de progression précédents et suivants est la double valeur du terme de progression situé entre eux. En d’autres termes, pour trouver la valeur d’un terme de progression avec des valeurs précédentes et successives connues, vous devez les additionner et diviser par.

C'est vrai, nous avons le même numéro. Sécurisons le matériel. Calculez vous-même la valeur de la progression, ce n’est pas du tout difficile.

Bien joué! Vous savez presque tout sur la progression ! Il ne reste plus qu'à découvrir une formule qui, selon la légende, a été facilement déduite par l'un des plus grands mathématiciens de tous les temps, le « roi des mathématiciens » - Karl Gauss...

Lorsque Carl Gauss avait 9 ans, un enseignant, occupé à vérifier le travail des élèves d'autres classes, lui a confié la tâche suivante en classe : « Calculer la somme de tous les nombres naturels de à (selon d'autres sources à) inclus. » Imaginez la surprise du professeur lorsqu'un de ses élèves (c'était Karl Gauss) a donné une minute plus tard la bonne réponse à la tâche, tandis que la plupart des camarades de classe du casse-cou, après de longs calculs, ont reçu le mauvais résultat...

Le jeune Carl Gauss a remarqué une certaine tendance que vous pouvez facilement remarquer aussi.
Disons que nous avons une progression arithmétique composée de -èmes termes : nous devons trouver la somme de ces termes de la progression arithmétique. Bien sûr, nous pouvons additionner manuellement toutes les valeurs, mais que se passe-t-il si la tâche nécessite de trouver la somme de ses termes, comme le recherchait Gauss ?

Décrivons la progression qui nous est donnée. Examinez attentivement les nombres en surbrillance et essayez d'effectuer diverses opérations mathématiques avec eux.


L'as tu essayé? Qu'avez-vous remarqué ? Droite! Leurs sommes sont égales

Maintenant, dites-moi, combien y a-t-il de telles paires au total dans la progression qui nous est donnée ? Bien sûr, exactement la moitié de tous les chiffres.
Partant du fait que la somme de deux termes d'une progression arithmétique est égale et que les paires similaires sont égales, on obtient que la somme totale est égale à :
.
Ainsi, la formule de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Dans certains problèmes, nous ne connaissons pas le ème terme, mais nous connaissons la différence de progression. Essayez de remplacer la formule du ème terme par la formule de somme.
Qu'est-ce que vous obtenez?

Bien joué! Revenons maintenant au problème qui a été posé à Carl Gauss : calculez vous-même à quoi est égale la somme des nombres à partir du ème et la somme des nombres à partir du ème.

Combien as-tu reçu ?
Gauss a découvert que la somme des termes est égale, ainsi que la somme des termes. C'est ce que tu as décidé ?

En fait, la formule de la somme des termes d'une progression arithmétique a été prouvée par l'ancien scientifique grec Diophante au 3ème siècle, et tout au long de cette période, des gens pleins d'esprit ont pleinement utilisé les propriétés de la progression arithmétique.
Par exemple, imaginez l'Égypte ancienne et le plus grand projet de construction de cette époque - la construction d'une pyramide... La photo en montre un côté.

Où est la progression ici, dites-vous ? Regardez attentivement et trouvez une régularité dans le nombre de blocs de sable dans chaque rangée du mur de la pyramide.


Pourquoi pas une progression arithmétique ? Calculez combien de blocs sont nécessaires pour construire un mur si des blocs de briques sont placés à la base. J'espère que vous ne compterez pas en déplaçant votre doigt sur le moniteur, vous vous souvenez de la dernière formule et de tout ce que nous avons dit sur la progression arithmétique ?

Dans ce cas, la progression ressemble à ceci : .
Différence de progression arithmétique.
Le nombre de termes d'une progression arithmétique.
Remplaçons nos données dans les dernières formules (calculons le nombre de blocs de 2 manières).

Méthode 1.

Méthode 2.

Et maintenant, vous pouvez calculer sur le moniteur : comparez les valeurs obtenues avec le nombre de blocs qui se trouvent dans notre pyramide. J'ai compris? Bravo, vous maîtrisez la somme des nièmes termes d'une progression arithmétique.
Bien sûr, on ne peut pas construire une pyramide à partir de blocs à la base, mais à partir de ? Essayez de calculer combien de briques de sable sont nécessaires pour construire un mur dans cette condition.
Avez-vous réussi ?
La bonne réponse est les blocs :

Entraînement

Tâches:

1. Masha se met en forme pour l'été. Chaque jour, elle augmente le nombre de squats. Combien de fois Masha fera-t-elle des squats par semaine si elle faisait des squats lors de la première séance d'entraînement ?
2. Quelle est la somme de tous les nombres impairs contenus.
3. Lors du stockage des journaux, les enregistreurs les empilent de manière à ce que chaque couche supérieure contienne un journal de moins que la précédente. Combien y a-t-il de rondins dans une maçonnerie, si les fondations de la maçonnerie sont constituées de rondins ?

Réponses:

1. Définissons les paramètres de la progression arithmétique. Dans ce cas
   (semaines = jours).

   Répondre: Dans deux semaines, Masha devrait faire des squats une fois par jour.

2. Premier nombre impair, dernier nombre.
   Différence de progression arithmétique.
   Le nombre de nombres impairs est la moitié, cependant, vérifions ce fait à l'aide de la formule pour trouver le ème terme d'une progression arithmétique :

   Les nombres contiennent des nombres impairs.
   Remplaçons les données disponibles dans la formule :

   Répondre: La somme de tous les nombres impairs contenus dans est égale.

3. Rappelons-nous le problème des pyramides. Pour notre cas, a , puisque chaque couche supérieure est réduite d'un journal, alors au total, il y a un tas de couches, c'est-à-dire.
   Remplaçons les données dans la formule :

   Répondre: Il y a des rondins dans la maçonnerie.

Résumons-le

1. - une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale. Il peut être croissant ou décroissant.
2. Trouver une formule Le ème terme d'une progression arithmétique s'écrit par la formule - , où est le nombre de nombres dans la progression.
3. Propriété des membres d'une progression arithmétique- - où est le nombre de nombres en progression.
4. La somme des termes d'une progression arithmétique peut être trouvé de deux manières :
   
   , où est le nombre de valeurs.

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. NIVEAU MOYEN

Séquence numérique

Asseyons-nous et commençons à écrire quelques chiffres. Par exemple:

Vous pouvez écrire n’importe quel nombre, et il peut y en avoir autant que vous le souhaitez. Mais nous pouvons toujours dire lequel est le premier, lequel est le deuxième, et ainsi de suite, c'est-à-dire que nous pouvons les numéroter. Ceci est un exemple de séquence de nombres.

Séquence numérique est un ensemble de nombres, chacun pouvant se voir attribuer un numéro unique.

En d’autres termes, chaque nombre peut être associé à un certain nombre naturel et unique. Et nous n’attribuerons ce numéro à aucun autre numéro de cet ensemble.

Le nombre avec nombre est appelé le ème membre de la séquence.

Nous appelons généralement la séquence entière par une lettre (par exemple,), et chaque membre de cette séquence est la même lettre avec un indice égal au numéro de ce membre : .

C'est très pratique si le ème terme de la séquence peut être spécifié par une formule. Par exemple, la formule

définit la séquence :

Et la formule est la séquence suivante :

Par exemple, une progression arithmétique est une suite (le premier terme ici est égal et la différence l'est). Ou (, différence).

formule du nième terme

On appelle récurrente une formule dans laquelle, pour connaître le ème terme, il faut connaître le ou plusieurs précédents :

Pour trouver, par exemple, le ième terme de la progression à l'aide de cette formule, il faudra calculer les neuf précédents. Par exemple, laissez-le. Alors:

Eh bien, est-ce que la formule est claire maintenant ?

Dans chaque ligne, nous ajoutons, multiplié par un certain nombre. Lequel? Très simple : c'est le numéro du membre actuel moins :

Beaucoup plus pratique maintenant, non ? Nous vérifions:

Décider vous-même:

Dans une progression arithmétique, trouvez la formule du nième terme et trouvez le centième terme.

Solution:

Le premier terme est égal. Quelle est la différence? Voici quoi :

(C'est pourquoi on l'appelle différence car elle est égale à la différence des termes successifs de la progression).

Donc la formule :

Alors le centième terme est égal à :

Quelle est la somme de tous les nombres naturels de à ?

Selon la légende, le grand mathématicien Carl Gauss, alors qu'il avait 9 ans, aurait calculé ce montant en quelques minutes. Il a remarqué que la somme du premier et du dernier nombre est égale, la somme du deuxième et de l'avant-dernier est la même, la somme du troisième et du troisième à partir de la fin est la même, et ainsi de suite. Combien y a-t-il de telles paires au total ? C'est vrai, exactement la moitié du nombre de tous les nombres, bien sûr. Donc,

La formule générale de la somme des premiers termes de toute progression arithmétique sera :

Exemple:
Trouvez la somme de tous les multiples à deux chiffres.

Solution:

Le premier de ces chiffres est le suivant. Chaque numéro suivant est obtenu en ajoutant au numéro précédent. Ainsi, les nombres qui nous intéressent forment une progression arithmétique avec le premier terme et la différence.

Formule du ème terme pour cette progression :

Combien de termes y a-t-il dans la progression s’ils doivent tous être à deux chiffres ?

Très facile: .

Le dernier terme de la progression sera égal. Alors la somme :

Répondre: .

Maintenant, décidez vous-même :

1. Chaque jour, l'athlète court plus de mètres que la veille. Combien de kilomètres au total parcourra-t-il en une semaine, si le premier jour il courait des kilomètres m ?
2. Un cycliste parcourt chaque jour plus de kilomètres que la veille. Le premier jour, il a parcouru des kilomètres. Combien de jours faut-il parcourir pour parcourir un kilomètre ? Combien de kilomètres parcourra-t-il lors du dernier jour de son voyage ?
3. Le prix d'un réfrigérateur dans un magasin diminue du même montant chaque année. Déterminez de combien le prix d'un réfrigérateur a diminué chaque année si, mis en vente pour des roubles, six ans plus tard, il était vendu pour des roubles.

Réponses:

1. Le plus important ici est de reconnaître la progression arithmétique et de déterminer ses paramètres. Dans ce cas, (semaines = jours). Il faut déterminer la somme des premiers termes de cette progression :
   .
   Répondre:
2. Ici, il est donné : , doit être trouvé.
   Évidemment, vous devez utiliser la même formule de somme que dans le problème précédent :
   .
   Remplacez les valeurs :

   La racine ne convient évidemment pas, donc la réponse est.
   Calculons le chemin parcouru au cours du dernier jour à l'aide de la formule du ème terme :
   (km).
   Répondre:

3. Donné: . Trouver: .
   Rien de plus simple :
   (frotter).
   Répondre:

PROGRESSION ARITHMÉTIQUE. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Il s'agit d'une séquence de nombres dans laquelle la différence entre les nombres adjacents est la même et égale.

La progression arithmétique peut être croissante () et décroissante ().

Par exemple:

Formule pour trouver le nième terme d'une progression arithmétique

s'écrit par la formule, où est le nombre de nombres en progression.

Propriété des membres d'une progression arithmétique

Il permet de retrouver facilement un terme d'une progression si ses termes voisins sont connus - où est le nombre de nombres dans la progression.

Somme des termes d'une progression arithmétique

Il existe deux façons de connaître le montant :

Où est le nombre de valeurs.

Où est le nombre de valeurs.