Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux. une dans UN B 1 2 1 = 2 c
Preuve : A B C DM N 1 2 K O Soient les droites AB et CD parallèles, MN est leur sécante. Montrons que les angles transversaux 1 et 2 sont égaux entre eux. Supposons que 1 et 2 ne soient pas égaux. Traçons une ligne K F passant par le point O. Puis au point O nous pouvons construire KON, croisé et égal à 2. Mais si KON = 2, alors la droite K F sera parallèle à CD. Nous avons constaté que deux droites AB et K F passent par le point O, parallèlement à la droite CD. Mais cela ne peut pas être le cas. Nous sommes arrivés à une contradiction car nous avons supposé que 1 et 2 ne sont pas égaux. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et 1 doit être égal à 2, c’est-à-dire que les angles transversaux sont égaux.
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux. une dans UN B 1 2 1 =
Preuve : 2 a dans A B 3 1 Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par une sécante AB, alors les transversales 1 et 3 seront égales. 2 et 3 sont égaux à la verticale. Des égalités 1 = 3 et 2 = 3 il s'ensuit que 1 = 2. Le théorème est prouvé
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors la somme des angles unilatéraux est de 180°. a dans A B 3 1 1 + 3 = 180°
Preuve : Soient les droites parallèles a et b coupées par la sécante AB, alors les 1 et 2 correspondants seront égaux, 2 et 3 seront adjacents, donc 2 + 3 = 180°. Des égalités 1 = 2 et 2 + 3 = 180° il résulte que 1 + 3 = 180°. Le théorème a été prouvé. 2 une dans A B
Solution : 1. Soit X égal à 2, alors 1 = (X+70°), puisque la somme des angles 1 et 2 = 180°, du fait qu'ils sont adjacents. Faisons une équation : X+ (X+70°) = 180° 2 X = 110 ° X = 55° (Angle 2) 2. Trouvez 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, car ils sont verticale. 3 = 5, car ils se trouvent en travers. 125° 5 = 7 car ils sont verticaux. 2 = 4 car ils sont verticaux. 4 = 6, car ils se trouvent en travers. 55° 6 = 8 car ils sont verticaux. Problème n° 1 : A B 4 3 5 8 7 21 6 Condition : trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles A et B se coupent avec une transversale C, si l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.
Solution : 1. Puisque 4 = 45°, alors 2 = 45°, car 2 = 4 (comme correspondant) 2. 3 est adjacent à 4, donc 3+ 4 = 180°, et il en résulte que 3 = 180° - 45° = 135°. 3. 1 = 3, car ils se trouvent en travers. 1 = 135°. Réponse : 1=135° ; 2=45°; 3=135°. Problème n°2 : A B 1 Condition : sur la figure il y a des droites A II B et C II D, 4 = 45°. Trouvez les angles 1, 2, 3.
Solution : 1. 1= 2, car ils sont verticaux, donc 2= 45°. 2. 3 est adjacent à 2, donc 3+ 2=180°, et il s'ensuit que 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, car ils sont unilatéraux. 4 = 45°. Réponse : 4=45° ; 3=135°. Problème n°3 : A B 2 Condition : deux droites parallèles A et B sont coupées par une sécante C. Trouvez à quoi 4 et 3 seront égaux si 1=45°.
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux. et en A B = 2 s
Preuve : A B CD M N 1 2 A B CD M N 1 2 K O Soient les droites AB et CD parallèles, MN leur sécante. Montrons que les angles transversaux 1 et 2 sont égaux entre eux. Supposons que 1 et 2 ne soient pas égaux. Traçons une droite KF passant par le point O. Alors au point O il est possible de construire KON, croisé et égal à 2. Mais si KON = 2, alors la droite KF sera parallèle à CD. Nous avons constaté que deux droites AB et KF passent par le point O, parallèlement à la droite CD. Mais cela ne peut pas être le cas. Nous sommes arrivés à une contradiction car nous avons supposé que 1 et 2 ne sont pas égaux. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et 1 doit être égal à 2, c’est-à-dire que les angles transversaux sont égaux. F
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux. et en A B = 2
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors la somme des angles unilatéraux est de 180°. et en A B = 180°
Preuve : Soient les droites parallèles a et b coupées par la sécante AB, alors les 1 et 2 correspondants seront égaux, 2 et 3 seront adjacents, donc = 180°. Des égalités 1 = 2 et = 180° il résulte que = 180°. Le théorème a été prouvé. 2 une dans UN B 3 1
Solution : 1. Soit X égal à 2, alors 1 = (X+70°), car la somme des angles 1 et 2 = 180°, du fait qu'ils sont adjacents. Faisons une équation : X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Angle 2) 2. Trouvez 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, car ils sont verticaux. 3 = 5, parce que ils sont couchés en travers. 125° 5 = 7, car ils sont verticaux. 2 = 4, parce que ils sont verticaux. 4 = 6, parce que ils sont couchés en travers. 55° 6 = 8, car ils sont verticaux. Problème 1 : A B Condition : Trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles A et B se coupent avec une transversale C, si l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.
Solution : 1. 1= 2, car ils sont verticaux, ce qui veut dire que 2= 45° est adjacent à 2, donc 3+ 2=180°, et il en résulte que 3= 180° - 45°= 135° = 180°, car ils sont unilatéraux. 4 = 45°. Réponse : 4=45° ; 3=135°. Problème 3 : A B 2 Condition : deux droites parallèles A et B sont coupées par une sécante C. Trouvez à quoi 4 et 3 seront égaux si 1=45°
Rybalko Pavel
Cette présentation contient : 3 théorèmes avec preuves et 3 tâches pour consolider la matière étudiée avec des solutions détaillées. La présentation peut être utile à l'enseignant pendant la leçon, car elle lui fera gagner beaucoup de temps. Il peut également servir de bilan général de fin d’année scolaire.
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Légendes des diapositives :
Théorèmes sur les angles formés par deux droites parallèles et une transversale. Interprète : Rybalko Pavel, élève de 7e année, Mytishchi, 2012
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles qui se croisent sont égaux. une dans A B 1 2 1 = 2 c
Preuve : A B C D M N 1 2 A B C D M N 1 2 K O Soient les droites AB et CD parallèles, MN est leur sécante. Montrons que les angles transversaux 1 et 2 sont égaux entre eux. Supposons que 1 et 2 ne soient pas égaux. Traçons une droite K F passant par le point O. Puis au point O nous pouvons construire KON , transversal et égal à 2. Mais si KON = 2, alors la droite K F sera parallèle à CD. Nous avons constaté que deux droites AB et K F passent par le point O, parallèlement à la droite CD. Mais cela ne peut pas être le cas. Nous sommes arrivés à une contradiction car nous avons supposé que 1 et 2 ne sont pas égaux. Par conséquent, notre hypothèse est incorrecte et 1 doit être égal à 2, c'est-à-dire que les angles transversaux sont égaux. F
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors les angles correspondants sont égaux. une dans A B 1 2 1 = 2
Preuve : 2 a dans A B 3 1 Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par la sécante AB, alors les transversales 1 et 3 seront égales. 2 et 3 sont égaux à la verticale. Des égalités 1 = 3 et 2 = 3 il s'ensuit que 1 = 2. Le théorème est prouvé
Théorème : Si deux droites parallèles sont coupées par une transversale, alors la somme des angles unilatéraux est de 180°. a dans A B 3 1 1 + 3 = 180°
Preuve : Supposons que les droites parallèles a et b soient coupées par la sécante AB, alors les 1 et 2 correspondants seront égaux, 2 et 3 sont adjacents, donc 2 + 3 = 180 °. Des égalités 1 = 2 et 2 + 3 = 180 ° il s'ensuit que 1 + 3 = 180 °. Le théorème a été prouvé. 2 une dans UN B 3 1
Solution : 1. Soit X 2, alors 1 = (X+70°), car la somme des angles 1 et 2 = 180°, du fait qu'ils sont adjacents. Faisons une équation : X+ (X+70°) = 180° 2X = 110° X = 55° (Angle 2) 2. Trouvez 1. 55° + 70° = 125° 3. 1 = 3, soit À. ils sont verticaux. 3 = 5, car ils sont couchés en travers. 125° 5 = 7, car ils sont verticaux. 2 = 4, car ils sont verticaux. 4 = 6, car ils sont couchés en travers. 55° 6 = 8, car ils sont verticaux. Problème n°1 : A B 4 3 5 8 7 2 1 6 Condition : trouver tous les angles formés lorsque deux droites parallèles A et B se coupent avec une transversale C, si l'un des angles est 70° plus grand que l'autre.
Solution : 1. Parce que 4 = 45°, alors 2 = 45°, car 2 = 4 (comme correspondant) 2. 3 est adjacent à 4, donc 3+ 4 = 180°, et il s'ensuit que 3= 180°-45°= 135°. 3. 1 = 3, car ils sont couchés en travers. 1 = 135°. Réponse : 1=135° ; 2=45°; 3=135°. Problème n°2 : A B 1 Condition : sur la figure il y a des droites A II B et C II D, 4=45°. Trouvez les angles 1, 2, 3. 3 2 4
Solution : 1. 1= 2, car ils sont verticaux, ce qui signifie 2= 45°. 2. 3 est adjacent à 2, donc 3+ 2=180°, et il en résulte que 3= 180° - 45°= 135°. 3. 4 + 3=180°, car ils sont unilatéraux. 4 = 45°. Réponse : 4=45° ; 3=135°. Problème n°3 : A B 2 Condition : deux droites parallèles A et B sont coupées par une sécante C. Déterminez à quoi 4 et 3 seront égaux si 1=45°. 3 4 1
\[(\Large(\text(Angles centraux et inscrits)))\]
Définitions
Un angle au centre est un angle dont le sommet est au centre du cercle.
Un angle inscrit est un angle dont le sommet se trouve sur un cercle.
La mesure en degrés d’un arc de cercle est la mesure en degrés de l’angle central qui le sous-tend.
Théorème
La mesure en degrés d’un angle inscrit est égale à la moitié de la mesure en degrés de l’arc sur lequel il repose.
Preuve
Nous effectuerons la preuve en deux étapes : d'abord, nous prouverons la validité de l'énoncé pour le cas où l'un des côtés de l'angle inscrit contient un diamètre. Soit le point \(B\) le sommet de l'angle inscrit \(ABC\) et \(BC\) le diamètre du cercle :
Le triangle \(AOB\) est isocèle, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) est externe, alors \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), où \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Considérons maintenant un angle inscrit arbitraire \(ABC\) . Traçons le diamètre du cercle \(BD\) à partir du sommet de l'angle inscrit. Il y a deux cas possibles:
1) le diamètre coupe l'angle en deux angles \(\angle ABD, \angle CBD\) (pour chacun desquels le théorème est vrai comme prouvé ci-dessus, donc il est également vrai pour l'angle d'origine, qui est la somme de ceux-ci deux et donc égal à la moitié de la somme des arcs sur lesquels ils reposent, c'est-à-dire égal à la moitié de l'arc sur lequel il repose). Riz. 1.
2) le diamètre n'a pas coupé l'angle en deux angles, alors nous avons deux autres nouveaux angles inscrits \(\angle ABD, \angle CBD\), dont le côté contient le diamètre, donc le théorème est vrai pour eux, alors il est également vrai pour l'angle d'origine (qui est égal à la différence de ces deux angles, c'est-à-dire qu'il est égal à la demi-différence des arcs sur lesquels ils reposent, c'est-à-dire égal à la moitié de l'arc sur lequel il repose) . Riz. 2.
Conséquences
1. Les angles inscrits sous-tendant le même arc sont égaux.
2. Un angle inscrit sous-tendu par un demi-cercle est un angle droit.
3. Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre sous-tendu par le même arc.
\[(\Large(\text(Tangente au cercle)))\]
Définitions
Il existe trois types de positions relatives d'une ligne et d'un cercle :
1) la droite \(a\) coupe le cercle en deux points. Une telle ligne est appelée ligne sécante. Dans ce cas, la distance \(d\) du centre du cercle à la droite est inférieure au rayon \(R\) du cercle (Fig. 3).
2) la ligne droite \(b\) coupe le cercle en un point. Une telle ligne est appelée tangente, et leur point commun \(B\) est appelé point de tangence. Dans ce cas \(d=R\) (Fig. 4).
Théorème
1. Une tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon tracé jusqu'au point de tangence.
2. Si une droite passe par l'extrémité du rayon d'un cercle et est perpendiculaire à ce rayon, alors elle est tangente au cercle.
Conséquence
Les segments tangents tracés d'un point à un cercle sont égaux.
Preuve
Traçons deux tangentes \(KA\) et \(KB\) au cercle à partir du point \(K\) :
Cela signifie que \(OA\perp KA, OB\perp KB\) sont comme des rayons. Les triangles rectangles \(\triangle KAO\) et \(\triangle KBO\) sont égaux en jambe et en hypoténuse, donc \(KA=KB\) .
Conséquence
Le centre du cercle \(O\) se trouve sur la bissectrice de l'angle \(AKB\) formé par deux tangentes tirées du même point \(K\) .
\[(\Large(\text(Théorèmes liés aux angles)))\]
Théorème sur l'angle entre sécantes
L'angle entre deux sécantes tirées du même point est égal à la demi-différence en degrés des arcs plus grands et plus petits qu'elles coupent.
Preuve
Soit \(M\) le point à partir duquel deux sécantes sont tirées comme indiqué sur la figure :
Montrons que \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) est l'angle externe du triangle \(MAD\), alors \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), où \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\), mais les angles \(\angle DAB\) et \(\angle MDA\) sont inscrits, alors \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\), c'était ce qui devait être prouvé.
Théorème sur l'angle entre les cordes qui se croisent
L'angle entre deux cordes sécantes est égal à la moitié de la somme des mesures en degrés des arcs qu'elles coupent : \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Preuve
\(\angle BMA = \angle CMD\) comme vertical.
Du triangle \(AMD\) : \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Mais \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\), d'où nous concluons que \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ sourire\sur(CD)).\]
Théorème sur l'angle entre une corde et une tangente
L'angle entre la tangente et la corde passant par le point de tangence est égal à la moitié du degré de l'arc sous-tendu par la corde.
Preuve
Laissez la droite \(a\) toucher le cercle au point \(A\), \(AB\) est la corde de ce cercle, \(O\) est son centre. Laissez la ligne contenant \(OB\) couper \(a\) au point \(M\) . Prouvons que \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
Notons \(\angle OAB = \alpha\) . Puisque \(OA\) et \(OB\) sont des rayons, alors \(OA = OB\) et \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Ainsi, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
Puisque \(OA\) est le rayon tracé au point tangent, alors \(OA\perp a\), c'est-à-dire \(\angle OAM = 90^\circ\), donc, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Théorème sur les arcs sous-tendus par des cordes égales
Des accords égaux sous-tendent des arcs égaux plus petits que des demi-cercles.
Et vice versa : les arcs égaux sont sous-tendus par des accords égaux.
Preuve
1) Soit \(AB=CD\) . Montrons que les plus petits demi-cercles de l'arc .
Sur trois côtés donc, \(\angle AOB=\angle COD\) . Mais parce que \(\angle AOB, \angle COD\) - angles centraux supportés par des arcs \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) en conséquence, alors \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Si \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), Que \(\triangle AOB=\triangle COD\) sur deux côtés \(AO=BO=CO=DO\) et l'angle entre eux \(\angle AOB=\angle COD\) . Par conséquent, et \(AB=CD\) .
Théorème
Si le rayon coupe la corde en deux, alors il lui est perpendiculaire.
L'inverse est également vrai : si le rayon est perpendiculaire à la corde, alors au point d'intersection il la coupe en deux.
Preuve
1) Soit \(AN=NB\) . Montrons que \(OQ\perp AB\) .
Considérons \(\triangle AOB\) : il est isocèle, car \(OA=OB\) – rayons du cercle. Parce que \(ON\) est la médiane dessinée à la base, alors c'est aussi la hauteur, donc \(ON\perp AB\) .
2) Soit \(OQ\perp AB\) . Montrons que \(AN=NB\) .
De même, \(\triangle AOB\) est isocèle, \(ON\) est la hauteur, donc \(ON\) est la médiane. Par conséquent, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Théorèmes liés aux longueurs des segments)))\]
Théorème sur le produit des segments d'accords
Si deux cordes d'un cercle se coupent, alors le produit des segments d'une corde est égal au produit des segments de l'autre corde.
Preuve
Laissez les accords \(AB\) et \(CD\) se croiser au point \(E\) .
Considérons les triangles \(ADE\) et \(CBE\) . Dans ces triangles, les angles \(1\) et \(2\) sont égaux, puisqu'ils sont inscrits et reposent sur le même arc \(BD\), et les angles \(3\) et \(4\) sont égaux comme verticale. Les triangles \(ADE\) et \(CBE\) sont similaires (sur la base du premier critère de similarité des triangles).
Alors \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), d'où \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Théorème de la tangente et de la sécante
Le carré d'un segment tangent est égal au produit d'une sécante et de sa partie extérieure.
Preuve
Laissez la tangente passer par le point \(M\) et touchez le cercle au point \(A\) . Laissez la sécante passer par le point \(M\) et coupez le cercle aux points \(B\) et \(C\) de sorte que \(MB< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Considérons les triangles \(MBA\) et \(MCA\) : \(\angle M\) est commun, \(\angle BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). D'après le théorème de l'angle entre une tangente et une sécante, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Ainsi, les triangles \(MBA\) et \(MCA\) sont semblables sous deux angles.
De la similarité des triangles \(MBA\) et \(MCA\) on a : \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), ce qui équivaut à \(MB\cdot MC = MA^2\) .
Conséquence
Le produit d'une sécante tirée du point \(O\) par sa partie externe ne dépend pas du choix de la sécante tirée du point \(O\) .
