Projet d'algèbre « Résoudre les inégalités trigonométriques » Réalisé par l'élève de la classe 10 « B » Kazachkova Yulia Superviseur : professeur de mathématiques Kochakova N.N.
Objectif Consolider le matériel sur le thème «Résoudre les inégalités trigonométriques» et créer un rappel pour que les étudiants se préparent à l'examen à venir.
Objectifs : Résumer le matériel sur ce sujet. Systématiser les informations reçues. Considérez ce sujet dans l'examen d'État unifié.
Pertinence La pertinence du sujet que j'ai choisi réside dans le fait que des tâches sur le thème « Résoudre les inégalités trigonométriques » sont incluses dans les tâches de l'examen d'État unifié.
Inégalités trigonométriques Une inégalité est une relation reliant deux nombres ou expressions par l'un des signes : (supérieur à) ; ≥ (supérieur ou égal à). Une inégalité trigonométrique est une inégalité impliquant des fonctions trigonométriques.
Inégalités trigonométriques La solution des inégalités contenant des fonctions trigonométriques se réduit, en règle générale, à la solution des inégalités les plus simples de la forme : sin x>a, sin x une, parce que x un, tg x a, ctg x
Algorithme de résolution des inégalités trigonométriques Sur l'axe correspondant à une fonction trigonométrique donnée, marquez la valeur numérique donnée de cette fonction. Tracez une ligne passant par le point marqué coupant le cercle unité. Sélectionnez les points d'intersection d'une droite et d'un cercle en tenant compte du signe d'inégalité stricte ou non stricte. Sélectionnez l'arc de cercle sur lequel se situent les solutions de l'inégalité. Déterminez les valeurs d'angle aux points de départ et d'arrivée de l'arc de cercle. Écrivez la solution de l'inégalité en tenant compte de la périodicité de la fonction trigonométrique donnée.
Formules pour résoudre les inégalités trigonométriques sinx >a ; x (arcsin a + 2πn ; π- arcsin a + 2πn). péché un; x (- arccos a + 2πn ; arccos a + 2πn). cosxun; x (arctg a + πn ; + πn). tgx un; x (πn ; arctan + πn). ctgx
Solution graphique des inégalités trigonométriques de base sinx >a
Solution graphique des inégalités trigonométriques de base sinx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base cosx >a Solution graphique des inégalités trigonométriques de base cosx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base tgx >a Solution graphique des inégalités trigonométriques de base tgx Solution graphique des inégalités trigonométriques de base ctgx >a
MÉTHODES DE RÉSOLUTION DES INÉGALITÉS TRIGONOMÉTRIQUES
Pertinence. Historiquement, les équations trigonométriques et les inégalités ont occupé une place particulière dans les programmes scolaires. On peut dire que la trigonométrie est l'une des sections les plus importantes du cours scolaire et de l'ensemble de la science mathématique en général.
Les équations trigonométriques et les inégalités occupent l'une des places centrales du cours de mathématiques au secondaire, tant en termes de contenu du matériel pédagogique que de méthodes d'activité éducative et cognitive qui peuvent et doivent être formées au cours de leur étude et appliquées à la résolution d'un grand nombre. de problèmes d'ordre théorique et appliqué.
La résolution d'équations trigonométriques et d'inégalités crée les conditions préalables à la systématisation des connaissances des étudiants liées à tout le matériel pédagogique en trigonométrie (par exemple, propriétés des fonctions trigonométriques, méthodes de transformation des expressions trigonométriques, etc.) et permet d'établir des liens efficaces avec le matériel étudié en algèbre (équations, équivalence d'équations, inégalités, transformations identiques d'expressions algébriques, etc.).
En d'autres termes, la réflexion sur les techniques de résolution d'équations trigonométriques et d'inégalités implique une sorte de transfert de ces compétences vers de nouveaux contenus.
L'importance de la théorie et ses nombreuses applications témoignent de la pertinence du sujet choisi. Cela vous permet à son tour de déterminer les buts, les objectifs et le sujet de recherche du travail de cours.
Objectif de l'étude : généraliser les types d'inégalités trigonométriques disponibles, les méthodes de base et spéciales pour les résoudre, sélectionner un ensemble de problèmes pour résoudre les inégalités trigonométriques par les écoliers.
Objectifs de recherche :
1. Sur la base d'une analyse de la littérature disponible sur le sujet de recherche, systématiser le matériel.
2. Fournir un ensemble de tâches nécessaires à la consolidation du thème « Inégalités trigonométriques ».
Objet d'étude sont des inégalités trigonométriques dans le cours de mathématiques à l'école.
Sujet de recherche : types d'inégalités trigonométriques et méthodes pour les résoudre.
Signification théorique est de systématiser le matériel.
Signification pratique : application des connaissances théoriques à la résolution de problèmes ; analyse des principales méthodes courantes de résolution des inégalités trigonométriques.
Méthodes de recherche : analyse de la littérature scientifique, synthèse et généralisation des connaissances acquises, analyse de résolution de problèmes, recherche de méthodes optimales de résolution des inégalités.
§1. Types d'inégalités trigonométriques et méthodes de base pour les résoudre
1.1. Les inégalités trigonométriques les plus simples
Deux expressions trigonométriques reliées par le signe ou > sont appelées inégalités trigonométriques.
Résoudre une inégalité trigonométrique signifie trouver l'ensemble des valeurs des inconnues incluses dans l'inégalité pour lesquelles l'inégalité est satisfaite.
L'essentiel des inégalités trigonométriques est résolu en les réduisant à la solution la plus simple :
Il peut s'agir d'une méthode de factorisation, de changement de variable ( 
, 
etc.), où l'inégalité habituelle est d'abord résolue, puis une inégalité de la forme 
etc., ou d'autres méthodes.
Les inégalités les plus simples peuvent être résolues de deux manières : en utilisant le cercle unité ou graphiquement.
Laisserf(x
– une des fonctions trigonométriques de base. Pour résoudre l'inégalité 
il suffit de trouver sa solution sur une période, c'est-à-dire sur tout segment dont la longueur est égale à la période de la fonctionf
x
. Alors la solution à l’inégalité initiale sera entièrement trouvéex
, ainsi que les valeurs qui diffèrent de celles trouvées par n'importe quel nombre entier de périodes de la fonction. Dans ce cas, il est préférable d’utiliser la méthode graphique.
Donnons un exemple d'algorithme de résolution d'inégalités 
(
) Et 
.
Algorithme pour résoudre les inégalités (
).
1. Formuler la définition du sinus d'un nombrex sur le cercle unité.
3. Sur l'axe des ordonnées, marquez le point avec la coordonnéeun .
4. Tracez une ligne parallèle à l'axe OX passant par ce point et marquez ses points d'intersection avec le cercle.
5. Sélectionnez un arc de cercle dont tous les points ont une ordonnée inférieure àun .
6. Indiquez le sens du tour (dans le sens inverse des aiguilles d'une montre) et notez la réponse en ajoutant le point de la fonction aux extrémités de l'intervalle2πn
,
.
Algorithme pour résoudre les inégalités .
1. Formuler la définition de la tangente d'un nombrex sur le cercle unité.
2. Dessinez un cercle unité.
3. Tracez une ligne de tangentes et marquez un point avec une ordonnée dessusun .
4. Reliez ce point à l'origine et marquez le point d'intersection du segment résultant avec le cercle unité.
5. Sélectionnez un arc de cercle dont tous les points ont une ordonnée sur la ligne tangente inférieure àun .
6. Indiquez le sens du parcours et écrivez la réponse en tenant compte du domaine de définition de la fonction, en ajoutant un pointπn
,
(le chiffre à gauche de l'entrée est toujours inférieur au chiffre à droite).
L'interprétation graphique des solutions aux équations et formules les plus simples pour résoudre les inégalités sous forme générale est indiquée en annexe (Annexes 1 et 2).
Exemple 1.
Résoudre l'inégalité 
.
Tracez une ligne droite sur le cercle unité 
, qui coupe le cercle aux points A et B.
Toutes les significationsoui
sur l'intervalle NM est plus grand
, tous les points de l'arc AMB satisfont à cette inégalité. À tous les angles de rotation, grand 
, mais plus petit 
,
prendra des valeurs plus grandes
(mais pas plus d'un).
Figure 1
Ainsi, la solution de l'inégalité sera toutes les valeurs de l'intervalle 
, c'est-à-dire 
. Pour obtenir toutes les solutions de cette inégalité, il suffit d'ajouter aux extrémités de cet intervalle 
, Où 
, c'est-à-dire 
,
.
Notez que les valeurs 
Et 
sont les racines de l'équation 
,
ceux. 
;
.
Répondre: 
, .
1.2. Méthode graphique
En pratique, la méthode graphique de résolution des inégalités trigonométriques s'avère souvent utile. Considérons l'essence de la méthode en utilisant l'exemple de l'inégalité 
:
1. Si l’argument est complexe (différent deX ), puis remplacez-le part .
2. Nous construisons dans un seul plan de coordonnéesjouet
graphiques de fonctions 
Et 
.
3. Nous trouvons teldeux points adjacents d'intersection de graphiques, entre lesquelsonde sinusoïdalesituéplus haut
direct . On retrouve les abscisses de ces points.
4. Écrivez une double inégalité pour l'argumentt , en tenant compte de la période cosinus (t sera entre les abscisses trouvées).
5. Effectuez une substitution inverse (retour à l'argument d'origine) et exprimez la valeurX à partir de la double inégalité, on écrit la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.
Exemple 2. Résoudre l'inégalité : .
Lors de la résolution d'inégalités à l'aide de la méthode graphique, il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions aussi précisément que possible. Transformons l'inégalité sous la forme :
Construisons des graphiques de fonctions dans un système de coordonnées 
Et 
(Fig.2).
Figure 2
Les graphiques des fonctions se croisent au pointUN
avec coordonnées 
; 
. Entre 
points du graphique 
sous les points du graphique 
. Et quand les valeurs de la fonction sont les mêmes. C'est pourquoi à 
.
Répondre: 
.
1.3. Méthode algébrique
Très souvent, l'inégalité trigonométrique originale peut être réduite à une inégalité algébrique (rationnelle ou irrationnelle) grâce à une substitution bien choisie. Cette méthode consiste à transformer une inégalité, à introduire une substitution ou à remplacer une variable.
Examinons des exemples spécifiques d'application de cette méthode.
Exemple 3.
Réduction à la forme la plus simple 
.
(Fig.3)
Figure 3
, 
.
Répondre: 
,
Exemple 4. Résoudre les inégalités :
ODZ : 
, 
.
Utiliser des formules : 
, 
Écrivons l'inégalité sous la forme : 
.
Ou, croyant 
après de simples transformations on obtient
,
,
.
En résolvant la dernière inéquation par la méthode des intervalles, on obtient :
Figure 4
, respectivement 
. Puis à partir de la Fig. 4 suit 
, Où 
.
Figure 5
Répondre: 
, 
.
1.4. Méthode d'intervalle
Schéma général de résolution des inégalités trigonométriques par la méthode des intervalles :
Factoriser à l'aide de formules trigonométriques.
Trouvez les points de discontinuité et les zéros de la fonction et placez-les sur le cercle.
Prenez n'importe quel pointÀ (mais introuvable plus tôt) et découvrez le signe du produit. Si le produit est positif, alors placez un point en dehors du cercle unité sur le rayon correspondant à l'angle. Sinon, placez le point à l'intérieur du cercle.
Si un point apparaît un nombre pair de fois, nous l’appelons un point de multiplicité paire ; si un nombre impair de fois, nous l’appelons un point de multiplicité impaire. Dessinez des arcs comme suit : commencez à partir d'un pointÀ , si le point suivant est de multiplicité impaire, alors l'arc coupe le cercle en ce point, mais si le point est de multiplicité paire, alors il ne coupe pas.
Les arcs derrière le cercle sont des intervalles positifs ; à l'intérieur du cercle il y a des espaces négatifs.
Exemple 5. Résoudre les inégalités
, 
.
Points de la première série : 
.
Points de la deuxième série : 
.
Chaque point apparaît un nombre impair de fois, c'est-à-dire que tous les points sont de multiplicité impaire.
Découvrons le signe du produit sur 
: . Marquons tous les points sur le cercle unité (Fig. 6) :
Riz. 6
Répondre: 
, 
; 
, 
; 
, 
.
Exemple 6 . Résoudre l'inégalité.
Solution:
Trouvons les zéros de l'expression .
Recevoiraem :
,
;
, 
;
, 
;
, 
;
Sur les valeurs de la série du cercle unitaireX
1
représenté par des points 
. SérieX
2
donne des points 
. De la sérieX
3
nous obtenons deux points 
. Enfin, la sérieX
4
représentera des points 
. Traçons tous ces points sur le cercle unité, en indiquant sa multiplicité entre parenthèses à côté de chacun d'eux.
Laissez maintenant le numéro 
sera égal. Faisons une estimation en fonction du signe :
Donc, point finalUN
doit être sélectionné sur le rayon formant l'angle 
avec poutreOh,
en dehors du cercle unité. (Notez que le faisceau auxiliaireÀ PROPOS
UN
Il n’est pas du tout nécessaire de le représenter en image. PointUN
est choisi approximativement.)
Maintenant du point de vueUN
tracez une ligne continue ondulée séquentiellement vers tous les points marqués. Et à des points notre ligne va d'une zone à une autre : si elle était à l'extérieur du cercle unité, alors elle passe à l'intérieur de celui-ci. On approche du point 
, la droite revient à la région intérieure, puisque la multiplicité de ce point est paire. De même au point 
(avec une multiplicité égale), la ligne doit être tournée vers la région extérieure. Nous avons donc dessiné une certaine image présentée sur la Fig. 7. Cela aide à mettre en évidence les zones souhaitées sur le cercle unitaire. Ils sont marqués du signe « + ».
Figure 7
Réponse finale :
Note. Si une ligne ondulée, après avoir parcouru tous les points marqués sur le cercle unité, ne peut pas être ramenée au pointUN , sans traverser le cercle à un endroit « illégal », cela signifie qu'une erreur a été commise dans la solution, à savoir qu'un nombre impair de racines a été manqué.
Répondre: .
§2. Un ensemble de problèmes pour résoudre les inégalités trigonométriques
Dans le processus de développement de la capacité des écoliers à résoudre les inégalités trigonométriques, 3 étapes peuvent également être distinguées.
1. préparatoire,
2. développer la capacité de résoudre des inégalités trigonométriques simples ;
3. introduction d'inégalités trigonométriques d'autres types.
Le but de l'étape préparatoire est qu'il est nécessaire de développer chez les écoliers la capacité d'utiliser un cercle ou un graphique trigonométrique pour résoudre des inégalités, à savoir :
Capacité à résoudre des inégalités simples de la forme ,
, ,
,
utiliser les propriétés des fonctions sinus et cosinus ;
Capacité à construire des inégalités doubles pour des arcs de cercle numérique ou pour des arcs de graphiques de fonctions ;
Capacité à effectuer diverses transformations d'expressions trigonométriques.
Il est recommandé de mettre en œuvre cette étape dans le processus de systématisation des connaissances des écoliers sur les propriétés des fonctions trigonométriques. Les principaux moyens peuvent être des tâches proposées aux étudiants et réalisées soit sous la direction d'un enseignant, soit de manière indépendante, ainsi que des compétences développées dans la résolution d'équations trigonométriques.
Voici des exemples de telles tâches :
1
. Marquez un point sur le cercle unité 
, Si
.
2.
Dans quel quart du plan de coordonnées se trouve le point ? , Si 
est égal à : 
3.
Marquez les points sur le cercle trigonométrique , Si:
4. Convertir l'expression en fonctions trigonométriquesjequarts.
UN) 
,
b) 
,
V) 
5. L'arc MR est donné.M - milieuje-ème quart-temps,R. - milieuIIème trimestre. Limiter la valeur d'une variablet pour : (faire une double inégalité) a) arc MR ; b) Arcs RM.
6. Notez la double inégalité pour les sections sélectionnées du graphique :
Riz. 1
7.
Résoudre les inégalités 
, 
, 
, 
.
8. Convertir l'expression .
Lors de la deuxième étape de l’apprentissage de la résolution des inégalités trigonométriques, nous pouvons proposer les recommandations suivantes liées à la méthodologie d’organisation des activités des étudiants. Dans ce cas, il est nécessaire de se concentrer sur les compétences existantes des étudiants dans le travail avec un cercle ou un graphique trigonométrique, formé lors de la résolution des équations trigonométriques les plus simples.
Premièrement, on peut justifier l'opportunité d'obtenir une méthode générale de résolution des inégalités trigonométriques les plus simples en se tournant, par exemple, vers une inégalité de la forme 
.
En utilisant les connaissances et les compétences acquises au stade préparatoire, les étudiants mettront l'inégalité proposée sous la forme 
, mais peut avoir du mal à trouver un ensemble de solutions à l’inégalité qui en résulte, car Il est impossible de le résoudre uniquement en utilisant les propriétés de la fonction sinus. Cette difficulté peut être évitée en se tournant vers l'illustration appropriée (en résolvant l'équation graphiquement ou en utilisant un cercle unité).
Deuxièmement, l’enseignant doit attirer l’attention des élèves sur les différentes manières d’accomplir la tâche, donner un exemple approprié de résolution de l’inégalité à la fois graphiquement et à l’aide d’un cercle trigonométrique.
Considérons les solutions suivantes à l'inégalité .
1. Résoudre l’inégalité à l’aide du cercle unité.
Dans la première leçon sur la résolution des inégalités trigonométriques, nous proposerons aux étudiants un algorithme de solution détaillé qui, dans une présentation étape par étape, reflète toutes les compétences de base nécessaires pour résoudre l'inégalité.
Étape 1.Traçons un cercle unité et marquons un point sur l'axe des ordonnées 
et tracez une ligne droite qui le traverse parallèlement à l’axe des x. Cette ligne coupera le cercle unité en deux points. Chacun de ces points représente des nombres dont le sinus est égal à .
Étape 2.Cette ligne droite divisait le cercle en deux arcs. Sélectionnons celui qui représente les nombres dont le sinus est supérieur à . Naturellement, cet arc se situe au dessus de la ligne droite tracée.
Riz. 2
Étape 3.Sélectionnez l'une des extrémités de l'arc marqué. Écrivons l'un des nombres représentés par ce point du cercle unité 
.
Étape 4.Afin de sélectionner le numéro correspondant à la deuxième extrémité de l'arc sélectionné, on « marche » le long de cet arc de l'extrémité nommée à l'autre. Dans le même temps, rappelez-vous qu'en vous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, les nombres que nous traverserons augmenteront (en vous déplaçant dans la direction opposée, les nombres diminueront). Écrivons le nombre représenté sur le cercle unité à la deuxième extrémité de l'arc marqué 
.
On voit donc que l'inégalité satisfaire les nombres pour lesquels l'inégalité est vraie 
. Nous avons résolu l'inégalité pour les nombres situés sur la même période de la fonction sinus. Par conséquent, toutes les solutions à l’inégalité peuvent s’écrire sous la forme 
Il convient de demander aux élèves d'examiner attentivement le dessin et de comprendre pourquoi toutes les solutions à l'inégalité peut s'écrire sous la forme 
, 
.
Riz. 3
Il est nécessaire d'attirer l'attention des élèves sur le fait que lors de la résolution des inégalités pour la fonction cosinus, on trace une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
Méthode graphique pour résoudre les inégalités.
Nous construisons des graphiques 
Et 
, étant donné que 
.
Riz. 4
Ensuite, nous écrivons l'équation 
et sa décision 
, 
, 
, trouvé à l'aide de formules 
, 
, 
.
(Donnantn
valeurs 0, 1, 2, on retrouve les trois racines de l'équation compilée). Valeurs 
sont trois abscisses consécutives des points d'intersection des graphiques Et . Évidemment, toujours à l'intervalle 
l’inégalité persiste 
, et sur l'intervalle 
– les inégalités 
. On s'intéresse au premier cas, puis en ajoutant aux extrémités de cet intervalle un nombre multiple de la période du sinus, on obtient une solution de l'inégalité sous la forme : 
, .
Riz. 5
Résumons. Pour résoudre l'inégalité , vous devez créer l’équation correspondante et la résoudre. Trouvez les racines de la formule résultante 
Et 
, et écrivez la réponse à l'inégalité sous la forme : , .
Troisièmement, le fait concernant l'ensemble des racines de l'inégalité trigonométrique correspondante est très clairement confirmé lors de sa résolution graphique.
Riz. 6
Il est nécessaire de démontrer aux élèves que le tour, qui est la solution de l'inégalité, se répète sur le même intervalle, égal à la période de la fonction trigonométrique. Vous pouvez également envisager une illustration similaire pour le graphique de la fonction sinus.
Quatrièmement, il convient de réaliser un travail de mise à jour des techniques des étudiants pour convertir la somme (différence) des fonctions trigonométriques en un produit, et d'attirer l'attention des étudiants sur le rôle de ces techniques dans la résolution des inégalités trigonométriques.
Ce travail peut être organisé à travers l’accomplissement autonome par les élèves de tâches proposées par l’enseignant, parmi lesquelles nous soulignons les suivantes :
Cinquièmement, les élèves doivent illustrer la solution de chaque inégalité trigonométrique simple à l'aide d'un graphique ou d'un cercle trigonométrique. Vous devez absolument faire attention à son opportunité, en particulier à l'utilisation du cercle, car lors de la résolution d'inégalités trigonométriques, l'illustration correspondante constitue un moyen très pratique d'enregistrer l'ensemble des solutions à une inégalité donnée.
Il convient d'initier les étudiants aux méthodes de résolution des inégalités trigonométriques qui ne sont pas les plus simples selon le schéma suivant : se tourner vers une inégalité trigonométrique spécifique se tourner vers l'équation trigonométrique correspondante recherche conjointe (enseignant - élèves) d'une solution transfert indépendant du méthode trouvée à d’autres inégalités du même type.
Afin de systématiser les connaissances des étudiants en trigonométrie, nous recommandons de sélectionner spécialement les inégalités dont la solution nécessite diverses transformations qui peuvent être mises en œuvre au cours du processus de résolution, et de concentrer l'attention des étudiants sur leurs caractéristiques.
Comme telles inégalités productives, nous pouvons proposer, par exemple, ce qui suit :
En conclusion, nous donnons un exemple d'un ensemble de problèmes pour résoudre des inégalités trigonométriques.
1. Résoudre les inégalités :
2. Résoudre les inégalités : 3. Trouver toutes les solutions aux inégalités : 4. Trouver toutes les solutions aux inégalités :UN) 
, satisfaisant la condition 
;
b) 
, satisfaisant la condition 
.
5. Trouver toutes les solutions aux inégalités :
UN) ;
b) ;
V) 
;
G) 
;
d) 
.
6. Résoudre les inégalités :
UN) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) ;
e) ;
et) 
.
7. Résoudre les inégalités :
UN) 
;
b) ;
V) ;
G) .
8. Résoudre les inégalités :
UN) ;
b) ;
V) ;
G) 
;
d) 
;
e) ;
et) 
;
h) .
Il est conseillé de proposer les tâches 6 et 7 aux étudiants qui étudient les mathématiques à un niveau avancé, la tâche 8 aux étudiants des classes d'études avancées en mathématiques.
§3. Méthodes spéciales pour résoudre les inégalités trigonométriques
Méthodes spéciales pour résoudre des équations trigonométriques - c'est-à-dire les méthodes qui ne peuvent être utilisées que pour résoudre des équations trigonométriques. Ces méthodes sont basées sur l'utilisation des propriétés des fonctions trigonométriques, ainsi que sur l'utilisation de diverses formules et identités trigonométriques.
3.1. Méthode sectorielle
Considérons la méthode sectorielle pour résoudre les inégalités trigonométriques. Résoudre les inégalités de la forme 
, OùP.
(
x
)
EtQ
(
x
)
– les fonctions trigonométriques rationnelles (les sinus, les cosinus, les tangentes et les cotangentes y sont incluses rationnellement), similaires à la résolution d'inégalités rationnelles. Il est pratique de résoudre les inégalités rationnelles en utilisant la méthode des intervalles sur la droite numérique. Son analogue pour résoudre les inégalités trigonométriques rationnelles est la méthode des secteurs dans le cercle trigonométrique, par exemplepéché
Etcosx
(
) ou demi-cercle trigonométrique pourtgx
Etctgx
(
).
Dans la méthode des intervalles, chaque facteur linéaire du numérateur et du dénominateur de la forme 
sur l'axe des nombres correspond à un point 
, et en passant par ce point change de signe. Dans la méthode sectorielle, chaque facteur de la forme 
, Où 
- une des fonctionspéché
oucosx
Et 
, dans un cercle trigonométrique correspondent deux angles 
Et 
, qui divise le cercle en deux secteurs. Lors du passage Et fonction change de signe.
Il faut retenir les éléments suivants :
a) Facteurs de forme 
Et 
, Où 
, conserve le signe pour toutes les valeurs 
. Ces facteurs du numérateur et du dénominateur sont écartés en changeant (si 
) à chacun de ces rejets, le signe de l'inégalité est inversé.
b) Facteurs de forme 
Et 
sont également rejetés. De plus, s'il s'agit de facteurs du dénominateur, alors des inégalités de forme s'ajoutent au système d'inégalités équivalent 
Et 
. Si ce sont des facteurs du numérateur, alors dans le système équivalent de restrictions ils correspondent aux inégalités Et dans le cas d'une inégalité initiale stricte, et l'égalité 
Et 
dans le cas d’une inégalité initiale non stricte. Lors de la suppression du multiplicateur 
ou 
le signe de l'inégalité est inversé.
Exemple 1.
Résoudre les inégalités : a) 
, b) 
.
nous avons la fonction b) . Résoudre l'inégalité que nous avons,
3.2. Méthode du cercle concentrique
Cette méthode est un analogue de la méthode des axes de nombres parallèles pour résoudre des systèmes d'inégalités rationnelles.
Prenons un exemple de système d'inégalités.
Exemple 5.
Résoudre un système d'inégalités trigonométriques simples 
Tout d’abord, nous résolvons chaque inégalité séparément (Figure 5). Dans le coin supérieur droit de la figure, nous indiquerons pour quel argument le cercle trigonométrique est considéré.
Figure 5
Ensuite, nous construisons un système de cercles concentriques pour l’argumentX . Nous dessinons un cercle et l'ombrons selon la solution de la première inégalité, puis nous dessinons un cercle d'un plus grand rayon et l'ombrons selon la solution de la seconde, puis nous construisons un cercle pour la troisième inégalité et un cercle de base. Nous dessinons des rayons depuis le centre du système jusqu'aux extrémités des arcs afin qu'ils coupent tous les cercles. Nous formons une solution sur le cercle de base (Figure 6).
Figure 6
Répondre:
, 
.
Conclusion
Tous les objectifs de la recherche du cours ont été atteints. Le matériel théorique est systématisé : les principaux types d'inégalités trigonométriques et les principales méthodes pour les résoudre sont données (graphique, algébrique, méthode des intervalles, secteurs et méthode des cercles concentriques). Un exemple de résolution d’inégalité a été donné pour chaque méthode. La partie théorique a été suivie par la partie pratique. Il contient un ensemble de tâches pour résoudre les inégalités trigonométriques.
Ce cours peut être utilisé par les étudiants pour un travail indépendant. Les écoliers peuvent vérifier le niveau de maîtrise de ce sujet et s'entraîner à accomplir des tâches de complexité variable.
Après avoir étudié la littérature pertinente sur cette question, nous pouvons évidemment conclure que la capacité et les compétences nécessaires pour résoudre les inégalités trigonométriques dans le cours scolaire d'algèbre et d'analyse élémentaire sont très importantes, dont le développement nécessite des efforts importants de la part du professeur de mathématiques.
Ce travail sera donc utile aux professeurs de mathématiques, car il permet d'organiser efficacement la formation des étudiants sur le thème « Inégalités trigonométriques ».
La recherche peut être poursuivie en l'élargissant jusqu'à un ouvrage final qualifiant.
Liste de la littérature utilisée
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Jourbenko, L.N. Mathématiques en exemples et problèmes [Texte] / L.N. Jourbenko. – M. : Infra-M, 2009. – 373 p.
Ivanov, O.A. Mathématiques élémentaires pour écoliers, étudiants et enseignants [Texte] / O.A. Ivanov. – M. : MTsNMO, 2009. – 384 p.
Karp, A.P. Travaux d'algèbre et débuts de l'analyse pour l'organisation du redoublement final et de la certification en 11e année [Texte] / A.P. Carpe. – M. : Éducation, 2005. – 79 p.
Koulanine, E.D. 3000 problèmes de concours en mathématiques [Texte] / E.D. Koulanine. – M. : Iris-presse, 2007. – 624 p.
Leibson, K.L. Recueil de tâches pratiques en mathématiques [Texte] / K.L. Leibson. – M. : Outarde, 2010. – 182 p.
Coude, V.V. Problèmes avec les paramètres et leur solution. Trigonométrie : équations, inégalités, systèmes. 10e année [Texte] / V.V. Coude. – M. : ARKTI, 2008. – 64 p.
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Friedman, L.M. Fondements théoriques des méthodes d'enseignement des mathématiques [Texte] / L.M. Friedmann. – M. : Maison du livre « LIBROKOM », 2009. – 248 p.
Annexe 1
Interprétation graphique de solutions à des inégalités simples
Riz. 1
Riz. 2
Figure 3
Figure 4
Figure 5
Figure 6
Figure 7
Figure 8
Annexe 2
Solutions aux inégalités simples
Les inégalités sont des relations de la forme a › b, où a et b sont des expressions contenant au moins une variable. Les inégalités peuvent être strictes - ‹, › et non strictes - ≥, ≤.
Les inégalités trigonométriques sont des expressions de la forme : F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, dans laquelle F(x) est représenté par une ou plusieurs fonctions trigonométriques .
Un exemple de l'inégalité trigonométrique la plus simple est : sin x ‹ 1/2. Il est d'usage de résoudre ces problèmes graphiquement ; deux méthodes ont été développées à cet effet.
Méthode 1 - Résoudre les inégalités en traçant graphiquement une fonction
Pour trouver un intervalle qui satisfait aux conditions d'inégalité sin x ‹ 1/2, vous devez effectuer les étapes suivantes :
- Sur l'axe des coordonnées, construisez une sinusoïde y = sin x.
- Sur le même axe, tracez un graphique de l'argument numérique de l'inégalité, c'est-à-dire une droite passant par le point ½ de l'ordonnée OY.
- Marquez les points d'intersection des deux graphiques.
- Ombrez le segment qui est la solution de l’exemple.
Lorsque des signes stricts sont présents dans une expression, les points d’intersection ne sont pas des solutions. Puisque la plus petite période positive d’une sinusoïde est 2π, nous écrivons la réponse comme suit :
Si les signes de l'expression ne sont pas stricts, alors l'intervalle de solution doit être mis entre crochets - . La réponse au problème peut également s’écrire sous la forme de l’inégalité suivante : 
Méthode 2 - Résolution d'inégalités trigonométriques à l'aide du cercle unité
Des problèmes similaires peuvent être facilement résolus à l’aide d’un cercle trigonométrique. L'algorithme pour trouver des réponses est très simple :
- Vous devez d’abord dessiner un cercle unité.
- Ensuite, vous devez noter la valeur de la fonction arc de l'argument du côté droit de l'inégalité sur l'arc de cercle.
- Il faut tracer une droite passant par la valeur de la fonction arc parallèle à l'axe des abscisses (OX).
- Après cela, il ne reste plus qu'à sélectionner l'arc de cercle, qui est l'ensemble des solutions de l'inégalité trigonométrique.
- Notez la réponse dans le formulaire requis.
Analysons les étapes de la solution en utilisant l'exemple de l'inégalité sin x › 1/2. Les points α et β sont marqués sur le cercle - valeurs
Les points de l'arc situés au-dessus de α et β sont l'intervalle permettant de résoudre l'inégalité donnée.
Si vous devez résoudre un exemple pour cos, alors l'arc de réponse sera situé symétriquement par rapport à l'axe OX, et non OY. Vous pouvez considérer la différence entre les intervalles de solution pour sin et cos dans les diagrammes ci-dessous dans le texte.
Les solutions graphiques pour les inégalités tangentes et cotangentes différeront à la fois du sinus et du cosinus. Cela est dû aux propriétés des fonctions.
L'arctangente et l'arccotangente sont tangentes à un cercle trigonométrique et la période positive minimale pour les deux fonctions est π. Pour utiliser rapidement et correctement la deuxième méthode, vous devez vous rappeler sur quel axe sont tracées les valeurs de sin, cos, tg et ctg.
La tangente est parallèle à l'axe OY. Si nous traçons la valeur de arctan a sur le cercle unité, alors le deuxième point requis sera situé dans le quart diagonal. Angles
Ce sont des points d'arrêt pour la fonction, puisque le graphique tend vers eux, mais ne les atteint jamais.
Dans le cas d'une cotangente, la tangente est parallèle à l'axe OX et la fonction est interrompue aux points π et 2π.
Inégalités trigonométriques complexes
Si l'argument de la fonction d'inégalité est représenté non seulement par une variable, mais par une expression entière contenant une inconnue, alors nous parlons d'une inégalité complexe. Le processus et la procédure pour le résoudre sont quelque peu différents des méthodes décrites ci-dessus. Supposons que nous devions trouver une solution à l’inégalité suivante :
La solution graphique consiste à construire une sinusoïde ordinaire y = sin x en utilisant des valeurs de x arbitrairement sélectionnées. Calculons un tableau avec les coordonnées des points de contrôle du graphique :
Le résultat devrait être une belle courbe.
Pour faciliter la recherche d'une solution, remplaçons l'argument de la fonction complexe
1. Si l’argument est complexe (différent de X), puis remplacez-le par t.
2. Nous construisons dans un seul plan de coordonnées jouet graphiques de fonctions y=coût Et y=a.
3. Nous trouvons tel deux points adjacents d'intersection de graphiques, entre lequel se trouve au-dessus de la droite y=a. On retrouve les abscisses de ces points.
4. Écrivez une double inégalité pour l'argument t, en tenant compte de la période cosinus ( t sera entre les abscisses trouvées).
5. Effectuez une substitution inverse (retour à l'argument d'origine) et exprimez la valeur Xà partir de la double inégalité, on écrit la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.
Exemple 1.
Ensuite, selon l'algorithme, nous déterminons les valeurs de l'argument t, où se trouve la sinusoïde plus haut direct. Écrivons ces valeurs comme une double inégalité, en tenant compte de la périodicité de la fonction cosinus, puis revenons à l'argument d'origine X.
Exemple 2.
Sélection d'une plage de valeurs t, dans lequel la sinusoïde est au-dessus de la ligne droite.
On écrit les valeurs sous forme de double inégalité t, satisfaisant la condition. N'oubliez pas que la plus petite période de la fonction y=coût est égal 2π. Revenir à la variable X, simplifiant progressivement toutes les parties de la double inégalité.
Nous écrivons la réponse sous la forme d’un intervalle numérique fermé, puisque l’inégalité n’était pas stricte.
Exemple 3.
Nous nous intéresserons à la plage de valeurs t, auquel les points de la sinusoïde se situeront au-dessus de la ligne droite.
Valeurs técrivez-le sous la forme d'une double inégalité, réécrivez les mêmes valeurs pour 2x et exprimer X. Écrivons la réponse sous la forme d'un intervalle numérique.
Et encore formule coût>a.
Si coût>un, (-1≤UN≤1), alors - arccos a + 2πn< t < arccos a + 2πn, nєZ.
Appliquez des formules pour résoudre les inégalités trigonométriques et vous gagnerez du temps sur les tests d'examen.
Et maintenant formule
, que vous devez utiliser lors de l'UNT ou de l'examen d'État unifié lors de la résolution d'une inégalité trigonométrique de la forme coût
Si coût , (-1≤UN≤1), alors arccos a + 2πn< t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.
Appliquez cette formule pour résoudre les inégalités évoquées dans cet article, et vous obtiendrez la réponse beaucoup plus rapidement et sans aucun graphique !
Compte tenu de la périodicité de la fonction sinus, on écrit une double inégalité pour les valeurs de l'argument t, satisfaisant la dernière inégalité. Revenons à la variable d'origine. Transformons la double inégalité résultante et exprimons la variable X.Écrivons la réponse sous la forme d'un intervalle.
Résolvons la deuxième inégalité :
Lors de la résolution de la deuxième inégalité, nous avons dû transformer le côté gauche de cette inégalité en utilisant la formule sinusoïdale à double argument pour obtenir une inégalité de la forme : sint≥a. Ensuite, nous avons suivi l'algorithme.
On résout la troisième inégalité :
Chers diplômés et candidats ! Gardez à l'esprit que les méthodes de résolution des inégalités trigonométriques, telles que la méthode graphique donnée ci-dessus et, que vous connaissez probablement, la méthode de résolution à l'aide d'un cercle trigonométrique unitaire (cercle trigonométrique), ne sont applicables que dans les premières étapes de l'étude de la section de trigonométrie. «Résoudre des équations trigonométriques et des inégalités.» Je pense que vous vous souviendrez que vous avez d'abord résolu les équations trigonométriques les plus simples à l'aide de graphiques ou d'un cercle. Cependant, vous ne penseriez plus à résoudre des équations trigonométriques de cette façon. Comment les résoudre ? C'est vrai, selon les formules. Les inégalités trigonométriques doivent donc être résolues à l'aide de formules, en particulier lors des tests, lorsque chaque minute est précieuse. Alors, résolvez les trois inégalités de cette leçon en utilisant la formule appropriée.
Si sint>a, où -1≤ un≤1, alors arcsin a + 2πn< t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.
Apprenez les formules !
Et enfin : saviez-vous que les mathématiques, ce sont des définitions, des règles et des FORMULES ?!
Bien sûr que oui ! Et les plus curieux, après avoir étudié cet article et regardé la vidéo, se sont exclamés : « Comme c'est long et difficile ! Existe-t-il une formule qui permet de résoudre de telles inégalités sans graphiques ni cercles ? » Oui, bien sûr !
POUR RÉSOUDRE LES INÉGALITÉS DE LA FORME : péché (-1≤UN≤1) la formule est valable :
— π — arcsin a + 2πn< t < arcsin a + 2πn, nєZ.
Appliquez-le aux exemples discutés et vous obtiendrez la réponse beaucoup plus rapidement !
Conclusion: APPRENEZ LES FORMULES, LES AMIS !
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Au cours de la leçon pratique, nous répéterons les principaux types de tâches du thème « Trigonométrie », analyserons en outre des problèmes de complexité accrue et considérerons des exemples de résolution de diverses inégalités trigonométriques et de leurs systèmes.
Cette leçon vous aidera à vous préparer à l'un des types de tâches B5, B7, C1 et C3.
Commençons par passer en revue les principaux types de tâches que nous avons abordées dans le sujet « Trigonométrie » et résolvons plusieurs problèmes non standard.
Tâche n°1. Convertir les angles en radians et degrés : a) ; b) .
a) Utilisons la formule pour convertir les degrés en radians
Remplaçons-y la valeur spécifiée.
b) Appliquer la formule de conversion des radians en degrés
Effectuons la substitution 
.
Répondre. UN) ; b) .
Tâche n°2. Calculer : a) ; b) .
a) Puisque l'angle dépasse largement le tableau, nous allons le réduire en soustrayant la période sinusoïdale. Parce que L'angle est indiqué en radians, on considérera alors la période comme .
b) Dans ce cas, la situation est similaire. Puisque l’angle est indiqué en degrés, nous considérerons la période de la tangente comme .
L'angle résultant, bien que plus petit que la période, est plus grand, ce qui signifie qu'il ne se réfère plus à la partie principale, mais à la partie étendue du tableau. Afin de ne pas entraîner une nouvelle fois votre mémoire en mémorisant le tableau étendu des valeurs trigofonctionnelles, soustrayons à nouveau la période tangente :
Nous avons profité de la bizarrerie de la fonction tangente.
Répondre. une) 1 ; b) .
Tâche n°3. Calculer 
, Si .
Réduisons l'expression entière aux tangentes en divisant le numérateur et le dénominateur de la fraction par . En même temps, nous ne pouvons pas avoir peur, car dans ce cas, la valeur tangente n’existerait pas.
Tâche n°4. Simplifiez l'expression.
Les expressions spécifiées sont converties à l'aide de formules de réduction. Ils sont tout simplement inhabituellement écrits en utilisant des diplômes. La première expression représente généralement un nombre. Simplifions toutes les trigofonctions une à une :
Parce que , alors la fonction se transforme en cofonction, c'est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le deuxième quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe négatif.
Pour les mêmes raisons que dans l’expression précédente, la fonction se transforme en cofonction, c’est-à-dire à la cotangente, et l'angle tombe dans le premier quart, dans lequel la tangente d'origine a un signe positif.
Remplaçons le tout par une expression simplifiée :
Problème n°5. Simplifiez l'expression.
Écrivons la tangente du double angle en utilisant la formule appropriée et simplifions l'expression :
La dernière identité est l'une des formules universelles de remplacement du cosinus.
Problème n°6. Calculer.
L'essentiel est de ne pas commettre l'erreur standard et de ne pas donner la réponse selon laquelle l'expression est égale à . Vous ne pouvez pas utiliser la propriété de base de l’arctangente tant qu’il y a un facteur sous la forme de deux à côté d’elle. Pour s'en débarrasser, nous écrirons l'expression selon la formule de la tangente d'un angle double, en traitant , comme un argument ordinaire.
Nous pouvons maintenant appliquer la propriété de base de l’arctangente ; rappelez-vous qu’il n’y a aucune restriction sur son résultat numérique.
Problème n°7. Résolvez l’équation.
Lors de la résolution d'une équation fractionnaire égale à zéro, il est toujours indiqué que le numérateur est égal à zéro, mais pas le dénominateur, car Vous ne pouvez pas diviser par zéro.
La première équation est un cas particulier de l’équation la plus simple pouvant être résolue à l’aide d’un cercle trigonométrique. Rappelez-vous vous-même cette solution. La deuxième inégalité est résolue comme l'équation la plus simple en utilisant la formule générale des racines de la tangente, mais uniquement avec un signe différent de.
Comme nous le voyons, une famille de racines exclut une autre famille exactement du même type de racines qui ne satisfait pas à l’équation. Ceux. il n'y a pas de racines.
Répondre. Il n'y a pas de racines.
Problème n°8. Résolvez l’équation.
Notons tout de suite qu'on peut retirer le facteur commun et faisons-le :
L'équation a été réduite à l'une des formes standard, où le produit de plusieurs facteurs est égal à zéro. On sait déjà que dans ce cas, soit l'un d'eux est égal à zéro, soit l'autre, soit le troisième. Écrivons cela sous la forme d'un ensemble d'équations :
Les deux premières équations sont des cas particuliers des plus simples ; nous avons déjà rencontré plusieurs fois des équations similaires, nous indiquerons donc immédiatement leurs solutions. Nous réduisons la troisième équation à une fonction en utilisant la formule du sinus à double angle.
Résolvons la dernière équation séparément :
Cette équation n'a pas de racines, car la valeur sinusoïdale ne peut pas dépasser 
.
Ainsi, la solution n'est que les deux premières familles de racines ; elles peuvent être combinées en une seule, ce qui est facile à montrer sur le cercle trigonométrique :
 |
Il s'agit d'une famille composée de toutes les moitiés, c'est-à-dire
Passons à la résolution des inégalités trigonométriques. Tout d'abord, examinons l'approche pour résoudre l'exemple sans utiliser de formules de solutions générales, mais en utilisant un cercle trigonométrique.
Problème n°9. Résoudre les inégalités.
Traçons une ligne auxiliaire sur le cercle trigonométrique correspondant à une valeur sinusoïdale égale à , et montrons la plage d'angles qui satisfont l'inégalité.
 |
Il est très important de comprendre exactement comment indiquer l'intervalle d'angles résultant, c'est-à-dire quel est son début et quelle est sa fin. Le début de l'intervalle sera l'angle correspondant au point que l'on entrera au tout début de l'intervalle si l'on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Dans notre cas, c'est le point qui se trouve à gauche, car en nous déplaçant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et en passant par le bon point, nous quittons au contraire la plage d'angles requise. Le bon point correspondra donc à la fin de l’écart.
Nous devons maintenant comprendre les angles du début et de la fin de notre intervalle de solutions à l’inégalité. Une erreur typique est d'indiquer immédiatement que le point droit correspond à l'angle, celui de gauche et de donner la réponse. Ce n'est pas vrai ! Attention, nous venons d'indiquer l'intervalle correspondant à la partie supérieure du cercle, même si c'est la partie inférieure qui nous intéresse, autrement dit, nous avons confondu le début et la fin de l'intervalle de solution dont nous avons besoin.
Pour que l'intervalle commence au coin du point droit et se termine au coin du point gauche, il faut que le premier angle spécifié soit inférieur au second. Pour ce faire, nous devrons mesurer l'angle du point droit dans la direction de référence négative, c'est-à-dire dans le sens des aiguilles d'une montre et ce sera égal à . Ensuite, en commençant à nous déplacer dans le sens positif des aiguilles d'une montre, nous arriverons au point droit après le point gauche et obtiendrons la valeur de l'angle correspondant. Or le début de l'intervalle des angles est inférieur à la fin, et on peut écrire l'intervalle des solutions sans tenir compte de la période :
Considérant que de tels intervalles seront répétés un nombre infini de fois après tout nombre entier de rotations, on obtient une solution générale prenant en compte la période sinusoïdale :
On met des parenthèses car l'inégalité est stricte, et on repère les points sur le cercle qui correspondent aux extrémités de l'intervalle.
Comparez la réponse que vous recevez avec la formule de la solution générale que nous avons donnée dans le cours.
Répondre. 
.
Cette méthode est utile pour comprendre d'où viennent les formules de solutions générales des inégalités trigones les plus simples. De plus, il est utile pour ceux qui sont trop paresseux d’apprendre toutes ces formules encombrantes. Cependant, la méthode elle-même n'est pas non plus facile ; choisissez l'approche de solution qui vous convient le mieux.
Pour résoudre les inégalités trigonométriques, vous pouvez également utiliser des graphiques de fonctions sur lesquels une ligne auxiliaire est construite, similaire à la méthode illustrée à l'aide d'un cercle unité. Si vous êtes intéressé, essayez de trouver vous-même cette approche de la solution. Dans ce qui suit, nous utiliserons des formules générales pour résoudre des inégalités trigonométriques simples.
Problème n°10. Résoudre les inégalités.
Utilisons la formule de la solution générale, en tenant compte du fait que l'inégalité n'est pas stricte :
Dans notre cas nous obtenons :
Répondre. 
Problème n°11. Résoudre les inégalités.
Utilisons la formule générale de solution pour l'inégalité strictement correspondante :
Répondre. 
.
Problème n°12. Résoudre les inégalités : a) ; b) .
Dans ces inégalités, il n'est pas nécessaire de se précipiter pour utiliser des formules de solutions générales ou le cercle trigonométrique ; il suffit de mémoriser simplement la plage de valeurs du sinus et du cosinus.
a) Depuis 
, alors l’inégalité n’a pas de sens. Il n’y a donc pas de solutions.
b) Parce que de même, le sinus de tout argument satisfait toujours à l'inégalité spécifiée dans la condition. Par conséquent, toutes les valeurs réelles de l'argument satisfont à l'inégalité.
Répondre. a) il n'y a pas de solutions ; b) .
Problème 13. Résoudre les inégalités 
.
