Mineurs angulaires de la matrice hessoise. Fonctions de Hesse

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1 Définition. Le point 0 est appelé le point maximum local de la fonction voisinage du point 0, qui pour l'ensemble de ce voisinage f f 0. Définition. Le point 0 est appelé le point minimum local de la fonction, un voisinage du point 0, que pour tout ce voisinage f f 0. f f, si tel existe, si tel existe La valeur de la fonction au point maximum est appelée maximum local , la valeur de la fonction au point minimum est le minimum local de cette fonction. Le maximum et le minimum d’une fonction sont appelés ses extrema locaux. Le terme « extremum local » est dû au fait que la notion d'extremum introduite est associée au voisinage d'un point donné dans le domaine de définition de la fonction, et non à l'ensemble de ce domaine. Une fonction peut avoir plusieurs extrema, et le minimum à un moment donné peut être supérieur au maximum à un autre. Habituellement dans la littérature les termes « extremum », « maximum », « minimum » sont utilisés pour désigner un extremum local strict, un maximum local strict, un minimum local strict. Définition. Le point 0 est appelé point de maximum local strict d'une fonction telle qu'un voisinage du point 0 tel que pour tout le monde dans ce voisinage f f 0. f, si la définition existe. Le point 0 est appelé point de strict minimum local d'une fonction tel qu'un voisinage du point 0 tel que pour tout le monde dans ce quartier f f 0. Ou bien, le point 0 est appelé point de strict minimum local de fonction 0 : 0 f f. 0 0 f si f si existe Définition. La plus grande (la plus petite) valeur d’une fonction sur un intervalle est appelée l’extremum global. L'extremum global peut être atteint soit aux points de l'extremum local, soit aux extrémités du segment. Une matrice composée des dérivées secondes d'une fonction est appelée la matrice hessienne : f f n d f T d d f f... n 1 n (on conviendra d'appeler le déterminant de la matrice hessienne le hessien ; de même : une matrice composée des dérivées premières d'une fonction d'une fonction est appelée la matrice jacobienne, et son déterminant est appelé la matrice jacobienne : 1) Malugin V.A. "Analyse mathématique, cours magistral (mathématiques pour économistes)", 005, p. 105 (le concept d'extremum d'une fonction) ;) Malugin V.A. « Analyse mathématique, problèmes et exercices (mathématiques pour économistes) », 006, p. 13 (extremum global ; condition nécessaire pour extremum, 1ère et 1ère conditions suffisantes pour extremum) ; 3) Écrit D.T. "Notes de cours sur les mathématiques supérieures", 005, p. 0 (extremum d'une fonction d'une variable) ; 4) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "L'algèbre linéaire dans les exemples et les problèmes", 005, p.

2 Brève présentation de la solution au problème. Théorème (condition suffisante pour l'extremum). Soit une fonction f en un point stationnaire 0, 0 dans le voisinage. Calculons les valeurs de A f, B f C f au point 0, 0. Notons par quelques ses dérivées partielles continues jusqu'à la deuxième commande incluse. A B AC B B C, alors : 1) si 0, alors la fonction f, au point minimum, si A 0 ;) si 0, alors la fonction f, au point 0, 0, Dans le cas de 0, l'extremum est au point de recherche. 0 0 a un extremum : maximum si A 0 ; n'a pas d'extremum. peut-être peut-être pas. Supplémentaire 1) Examinez la fonction z 50 0, 0, z z 0 pour l'extremum Trouver des points stationnaires : z 0 z Point stationnaire trouvé P 5 ;. Vérifions si les conditions suffisantes pour la présence d'un extremum en un point donné sont remplies. 50 A z B z 1 0 C z 40 3

3 Au point P5 ; : A 450 B 1 C au point P 5 ; minimum, parce que A 0 0 Réponse : la fonction a un minimum z ;. La valeur de la fonction en ce point z ;) Trouver les extrema de la fonction z 1 z z z z 0 z Notez qu'en 0 la solution est l'ensemble des points de coordonnées R (dans l'espace 0 est une droite parallèle à l'axe O) . Par conséquent, parmi les points avec 0 il n’y a pas de points stationnaires. z 0 En excluant les points avec 0 de la considération, nous obtenons : P ; P ; 4 1 3

4 Deux points stationnaires trouvés P 1 01 ; et P 1 1 ; ; Vérifions-leur le respect de la condition suffisante 4 pour la présence d'extrema en ces points. A z B z 43 C z 6 Au point P 1 01 ; : A B 1 A0, B1, C 0, 10 B C 1 0 Depuis 0, il n'y a pas d'extremum à ce stade. Au point P 1 1 ; 4 A10, B14, C 38, A B B C A 0 Depuis 0, alors à ce stade la fonction a un maximum z 1 ; Réponse : la fonction a un maximum z 1 1 ; Faisons une illustration dans Mathcad 14 : - le maximum trouvé est marqué d'un point rouge ; la ligne droite des droites noires se trouve au point P 1 01 ;. 0 z 0 est surligné en bordeaux ; carrefour 4

5 3 3) Étudier la fonction pour l'extremum z z z Trouver des points stationnaires : z 0 z le cercle à l'intersection avec l'hyperbole donnera quatre points : Quatre points stationnaires sont trouvés P1 ; 1, P 1 ;, P 3 1 ;, P 4 ; réalisation de conditions suffisantes pour la présence d'un extremum en ces points. A z B z C z 61 6 Au point P ; 1 1 : A 1 0 B 6 C 1 A B B C Vérifions 5

6 Un maximum, car 0 - au point P ; Au point P ; 1 : A 60 B 1 C 6 A B B C au point P ; 1 il n’y a pas d’extremum, car 0. Au point P 3 1 ; : A 6 0 B 1 C 6 A B B C au point P 3 1 ; il n'y a pas d'extremum, parce que 0. Au point P 4 1 ; : A 1 0 B 6 C 1 A B B C 6 1 P 4 - au point ; Un 0 1 minimum, car 0 z Valeur de la fonction à ce stade ;. La valeur de la fonction à ce stade z ; Réponse : la fonction a un minimum z 1 ; 8 et maximum ; z Littérature : 1) Écrit par D.T. "Notes de cours sur les mathématiques supérieures", 005, page (extremum d'une fonction de deux variables). Résoudre le problème en utilisant la matrice de Hesse. 4) Trouver les extrema de la fonction de deux variables, 3 z 3 61 Déterminer les points stationnaires à partir de la condition z 0 z 0 (une condition nécessaire à l'existence d'un extremum) 6

7 z z Points P1 1 ; 1 et P ; points fixes; Vérifions-leur le respect de la condition suffisante de présence d'un extremum. Pour ce faire, nous composons la matrice Hessienne à partir des dérivées secondes de la fonction : z z H z z 6 z H 6 1 z 1 Suite de la solution par l'analyse des mineurs angulaires de la matrice Hessienne Considérons le comportement de la matrice Hessienne matrice aux points stationnaires trouvés. 6 6 P11 ; 1 : HP1 6 1 ; mineurs angulaires : M1 6 0, M Depuis M 0, il n'y a pas d'extremum au point P 1. P ; mineurs angulaires : M1 6 0, M 4 ; : HP M1 0 Depuis M 0, alors au point P la fonction a un minimum local z ;

8 Théorème (conditions suffisantes pour un extremum). Si à un moment donné les conditions nécessaires pour un extremum sont satisfaites et que toutes les dérivées partielles du ème ordre sont continues, alors l'existence d'un extremum à ce stade est déterminée par les valeurs des mineurs angulaires de la matrice des dérivées secondes ( Matrice de Hesse) : M1 0, M 0 - minimum local ; M1 0, M 0 - maximum local ; M 0 - il n'y a pas d'extremum. Si M1 0 ou M 0 il peut y avoir ou non un extremum au point étudié, des recherches supplémentaires sont nécessaires. u u, z est considéré Lors de l'étude de l'extremum local d'une fonction à trois variables, la matrice u u u z u u u z uz uz u zz et ses mineurs angulaires sont étudiés. Littérature : 1) Malugin V.A. "Algèbre linéaire. Problèmes et exercices", 006, p. 149 (extremum local de la fonction) ;) Écrit par D.T. « Notes de cours sur les mathématiques supérieures », 005, page (extremum d'une fonction de deux variables) ; 3) Pyatkova V.B., Ruzakov V.Ya., Turova O.E. "Mathématiques, 3ème semestre", manuel de formation de l'Université d'État des sciences humaines de l'Oural (institut minier, Ekaterinbourg), 005, p. 3 (schéma d'étude de la fonction de deux variables sur les extrema). Poursuite de la solution par l'analyse des valeurs propres de la matrice hessienne Trouvons les valeurs propres de la matrice hessienne en chaque point stationnaire. 6 6 P11 ; 1 : HP A partir de l'équation 0 on trouve 1, Puisque les valeurs propres de la matrice hessienne 6 1 sont de signes différents, alors il n'y a pas d'extremum au point P 1. P De l'équation; : HP on trouve 1, Puisque toutes les valeurs propres de la matrice hessienne sont positives, alors au point P il y a un minimum local z ; 4 3. Trouver les valeurs propres de la matrice hessienne en chacun des points stationnaires Si toutes les valeurs propres* sont positives : i 0, i 1,..., n, alors il y a un minimum local au point ; négatif : i 0, i 1,..., n, puis au point non négatif : i 0, i 1,..., n, puis au point non positif : i 0, i 1,.. ., n, puis au point * maximum local ; * les fonctions. * il peut y avoir un minimum local ; * il peut y avoir un maximum local ; * signes différents, alors il n'y a pas d'extremum au point ; zéro : i 0, i 1,..., n, alors des recherches supplémentaires sont nécessaires. 8

9 Littérature : 1) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algèbre linéaire dans les exemples et problèmes", 005, p. 530, p. 5) Trouver les points extremum de la fonction z Déterminons les points stationnaires de la fonction à deux variables z, à partir de la condition z 0 z 0 (condition nécessaire à l'existence de l'extremum) z z On trouve trois points stationnaires P 1 00 ;, P0 ; 1 40, P 3 ; le respect de la condition suffisante de présence d'un extremum ; vérifions-les Lors de l'étude de l'extremum local d'une fonction de deux variables z z, la forme quadratique de la fonction par rapport aux différentielles d, d est la matrice hessienne z z z z et est considérée en chaque point stationnaire P i. Si cette forme quadratique s'avère définie, alors la fonction z z, extremum : a) minimum, si la forme quadratique est définie positive ; b) maximum si la forme quadratique est définie négative. Si la forme quadratique s'avère indéfinie, alors une matrice est compilée au point P i a P i il n'y a pas d'extremum. En cas de définition non négative ou non positive de la forme quadratique, des recherches supplémentaires sont nécessaires - il peut y avoir un extremum. 9

10 Matrice de Hesse : H z z z z F F F F F F F (Notez que 80 1). Donc H Établissons le signe défini de la forme quadratique en utilisant le critère de Sylvester. Pour qu'une forme quadratique en n variables soit définie positive, il faut et il suffit que tous les mineurs angulaires de sa matrice A soient positifs. Pour qu'une forme quadratique de n variables soit définie négative, il faut et il suffit que les signes des mineurs angulaires de la matrice A de la forme quadratique alternent en commençant par le signe moins. Pour l'incertitude (signe alterné) d'une forme quadratique, il suffit qu'au moins un mineur majeur d'ordre pair soit négatif, ou que deux mineurs majeurs d'ordre impair aient des signes différents (signe suffisant de l'incertitude d'une forme quadratique) . En un point stationnaire P 1 00 ; : H P mineurs angulaires : M1 410, 41 1 M 0110, la forme quadratique est de signe indéfini, il n'y a donc pas d'extremum au point P 1. En un point stationnaire P ; H P : mineurs angulaires : M1 410, 41 1 M 0110, la forme quadratique est de signe indéfini, il n'y a donc pas d'extremum au point P. dix

11 En un point stationnaire P; H P : mineurs angulaires : M1 410, M 0 0, la forme quadratique est définie positive, donc au point P 3 la fonction a un minimum local z ; ,Réponse : la fonction a un minimum local ; z Trouvons le minimum d'une fonction dans Mathematica 7 (pour cela vous devrez indiquer l'aire de sa dislocation) : Références : 1) Aksyonov A.P. "Mathématiques. Analyse mathématique", partie, 005, p. 193 (exemples 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algèbre linéaire dans les exemples et problèmes", 005, p. 530, p. 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Atelier d'algèbre linéaire et de géométrie analytique", 007, page) Malugin V.A. "Algèbre linéaire. Cours magistral", 006, pp. 157, 164 ; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Un guide pratique des mathématiques supérieures. Calculs typiques", 008, p. 301 (exemple 10.35). 6) Étudier la fonction F z 4 3 z z pour la présence d'extrema inconditionnels en utilisant des dérivées du premier et du second ordre, en analysant les points stationnaires. Déterminons les points stationnaires de la fonction de trois variables F, z à partir de la condition F 0 F 0 F 0 z (condition nécessaire à l'existence d'un extremum) F 8z F 6 Fz z 8z ​​​​z 0 z 0 Point P 000 ; ; - point stationnaire; Vérifions le respect de la condition suffisante de présence d'un extremum. onze

12 Lors de l'étude de l'extremum local d'une fonction à trois variables u u, z, la forme quadratique de la fonction par rapport aux différentielles d, d, dz - la matrice hessienne u u u z u u u z uz uz u zz et est considérée en chaque point stationnaire si. cette forme quadratique s'avère être définie, alors la fonction z z, P i. extremum : a) minimum, si la forme quadratique est définie positive ; b) maximum si la forme quadratique est définie négative. Si la forme quadratique s'avère indéfinie, alors une matrice est compilée au point P i a P i il n'y a pas d'extremum. En cas de définition non négative ou non positive de la forme quadratique, des recherches supplémentaires sont nécessaires - il peut y avoir un extremum. Écrivons la matrice de Hesse : F F F z F F F H z F F F z z z F F F F 8z 8 1 z F F F z F z F z z F F (Notez que, So, 8 1 H F F z z 1, F F z z 0). Analyse du signe d'une forme quadratique. Critère Sylvestre. Établissons le signe défini de la forme quadratique en utilisant le critère de Sylvester. 1

13 Pour qu'une forme quadratique en n variables soit définie positive, il faut et il suffit que tous les mineurs angulaires de sa matrice A soient positifs. Pour qu'une forme quadratique de n variables soit définie négative, il faut et il suffit que les signes des mineurs angulaires de la matrice A de la forme quadratique alternent en commençant par le signe moins. Pour l'incertitude (signe alterné) d'une forme quadratique, il suffit qu'au moins un mineur majeur d'ordre pair soit négatif, ou que deux mineurs majeurs d'ordre impair aient des signes différents (signe suffisant de l'incertitude d'une forme quadratique) . Dans le cas où un ou plusieurs mineurs angulaires sont égaux à zéro, mais qu'une des conditions de définition du signe pourrait être satisfaite, la forme quadratique est définie non négative ou définie non positive (cette condition a été écrite pour compléter le tableau ; nécessite un justificatif). Au point stationnaire trouvé : 8 1 P000 ; ; : PV 6 0 ; 1 0 mineurs angulaires : M1 80, 8 M , M M1 0 Depuis M 0 M 3 0, alors au point P la fonction a un minimum local F ; ; Valeurs propres de la matrice hessienne. Établissons le signe défini de la forme quadratique en analysant les valeurs propres de la matrice hessienne. * Trouver les valeurs propres de la matrice hessienne en chacun des points stationnaires de la fonction. Si toutes les valeurs propres sont positives : i 0, i 1,..., n, alors la forme quadratique est définie positive ; négatif : i 0, i 1,..., n, alors la forme quadratique est définie négative ; non négatif : i 0, i 1,..., n, alors la forme quadratique est définie non négative ; non positif : i 0, i 1,..., n, alors la forme quadratique est définie non positive ; différents signes, alors la forme quadratique est indéfinie ; zéro : i 0, i 1,..., n, alors la forme quadratique est définie non négative ou définie non positive [, p. Trouvons les valeurs propres de la matrice hessienne au point stationnaire trouvé. 8 1 P000 ; ; : PV 6 0 ;

14 8 1 A partir de l'équation ou on trouve, 4, 855 9, comme racines d'un polynôme dans Mathcad : ou graphiquement dans Mathcad : Puisque toutes les valeurs propres de la matrice hessienne sont positives, alors au point P il y a un minimum . Deuxième fonction différentielle. Établissons directement le signe défini de la forme quadratique. La forme quadratique par rapport aux différentielles est la deuxième différentielle de la fonction. Transformons l'expression de la différentielle seconde de la fonction de manière à établir explicitement que son signe est défini. Cette approche pour étudier la détermination du signe d'une forme quadratique peut être utilisée comme méthode de recherche complémentaire lorsque le critère de Sylvester ou l'analyse des valeurs propres d'une matrice d'une forme quadratique ne donne pas de résultats. Conditions suffisantes pour l'extremum d'une fonction de n variables Si M,..., n est un point stationnaire d'une fonction deux fois différentiable f,..., n 1 et si dans un voisinage de ce point la deuxième différentielle n f d f M 0 M 0did j i, j1 i j conserve le signe pour toutes les valeurs d i et d j non égales à zéro en même temps, alors la fonction au point M 0 a un extremum : minimum au maximum à d f M0 0 ; d f M0 0 . 14

15 La deuxième différentielle de la fonction Ф est égale à Ф Ф Ф d Ф, d d dd ou, dans le cas d'une fonction à trois variables Ф z, Ф Ф Ф Ф Ф Ф d Ф, z d d dz dd ddz ddz z z z calculer les dérivées partielles du second ordre : F F F F F F 8z 8 1 z z F F F F z z F F z z z et écrire la deuxième différentielle de la fonction au point P 000 ; ; : d F d d dz F z F F F F F F d d dz d d d dz d dz z z 8d 6d dz d d 0d dz 1d dz 8 d 6 d dz 4d d d dz Sélectionnez les carrés complets ; par souci de brièveté de la notation, nous redésignons d comme, etc. : 8 6 z 4 z z z z z z c'est-à-dire au point P000 ; ; : d F d dz d d d (avec d, d, dz non égaux à zéro en même temps) - donc point P000 ; ; est le point minimum. 15

16 Littérature : 1) Aksyonov A.P. "Mathématiques. Analyse mathématique", partie, 005, p. 193 (exemples 13, 14);) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Algèbre linéaire dans les exemples et problèmes", 005, p. 530, p. 3) Bortakovsky A.S., Panteleev A.V. "Atelier d'algèbre linéaire et de géométrie analytique", 007, page) Malugin V.A. "Algèbre linéaire. Cours magistral", 006, pp. 157, 164 ; 5) Baranova E.S., Vasilyeva N.V., Fedotov V.P. "Un guide pratique des mathématiques supérieures. Calculs typiques", 008, p. 301 (exemple 10.35). Vérifions la présence de ce minimum dans Mathematica 7 : 16

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Thème 8 CALCUL DIFFÉRENTIEL DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Cours 8.1. Fonctions de plusieurs variables. Plan des dérivées partielles 1. Le concept de fonction à deux et plusieurs variables Limite et continuité.

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I) Étant donné les sous-espaces linéaires U et W, générés par les systèmes vectoriels : a ; ; 3 ; une un b b 3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 3 ; 3 ; ; Trouver les bases des sous-espaces U a) Base du sous-espace U W. W et U W. L'ensemble de tous

Module et dérivé V.V. Silvestrov Lors de la résolution de certains problèmes, il est nécessaire de trouver la dérivée d'une fonction contenant un ou plusieurs modules. De telles tâches sont également possibles lors de l'examen d'État unifié.

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Recherche de fonctions et construction de graphiques.) Étudier la fonction f à l'aide de méthodes de calcul différentiel et construire son graphique. Domaine fonctionnel : Dy R\. Fonction générale : y y y Critique

TABLE DES MATIÈRES Section I. CONDITIONS D'EXTREMUM DE FONCTIONS... 6 Chapitre. Formulation générale du problème d'optimisation et principales dispositions... 6 Chapitre. Conditions nécessaires et suffisantes pour un extremum inconditionnel... Ch. Requis

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Questions pour préparer l'examen Sujet. Algèbre linéaire 1. Qu'est-ce qu'un déterminant ? Sous quelles transformations la valeur du déterminant ne change-t-elle pas ? 2. Dans quels cas le déterminant est-il égal à zéro ? Ce qui suit

LEÇON PRATIQUE 11 Extremum d'une fonction à deux variables Le maximum ou le minimum d'une fonction est appelé son extremum Le point M 0 auquel la fonction a un extremum est appelé le point extremum Si le différentiable

Cours 1 6 Conditions suffisantes pour un extremum dans un problème à extrémités fixes Revenons au problème à extrémités fixes : trouver le minimum de la fonctionnelle (,) V = F x x à condition que = A, = B Nécessaire

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES Les fonctions d'une variable indépendante ne couvrent pas toutes les dépendances qui existent dans la nature. Il est donc naturel d’élargir le concept bien connu de dépendance fonctionnelle et d’introduire

Règles de saisie des fonctions:

Une fonction f(x) deux fois continuellement différentiable est convexe (concave) si et seulement si Matrice de Hesse la fonction f(x) par rapport à x est semi-définie positive (négative) pour tout x (voir points d'extrema locaux d'une fonction de plusieurs variables).

Points critiques du fonctionnement :

• si le Hessien est défini positif, alors x 0 est le point minimum local de la fonction f(x),
• si le Hessien est défini négatif, alors x 0 est le point maximum local de la fonction f(x),
• si le Hessian n'est pas défini par un signe (prend à la fois des valeurs positives et négatives) et est non dégénéré (det G(f) ≠ 0), alors x 0 est le point selle de la fonction f(x).

Critères de définition d'une matrice (théorème de Sylvester)

• tous les éléments diagonaux de la matrice doivent être positifs ;
• tous les principaux qualificatifs doivent être positifs.

Semi-définition positive :

• tous les éléments diagonaux sont non négatifs ;
• tous les principaux déterminants sont non négatifs.

Une matrice carrée symétrique d'ordre n, dont les éléments sont les dérivées partielles de la fonction objectif du second ordre, appelée matrice de Hesse et est désigné :

Pour qu'une matrice symétrique soit définie positive, il faut et il suffit que tous ses mineurs diagonaux soient positifs, c'est-à-dire


pour la matrice A = (a ij) sont positifs.

Certitude négative.
Pour qu'une matrice symétrique soit définie négative, il faut et suffisant que les inégalités suivantes aient lieu :
(-1) kDk > 0, k=1,..,n.
En d’autres termes, pour que la forme quadratique soit négatif défini, il faut et il suffit que les signes des mineurs angulaires d'une matrice de forme quadratique alternent, en commençant par le signe moins. Par exemple, pour deux variables, D 1< 0, D 2 > 0.

Si le Hessien est semi-défini, cela peut aussi être un point d'inflexion. Des recherches supplémentaires sont nécessaires, qui peuvent être effectuées en utilisant l'une des options suivantes :

1. Ordre décroissant. Un changement de variables est effectué. Par exemple, pour une fonction de deux variables, c'est y=x, nous obtenons ainsi une fonction d'une variable x. Ensuite, nous examinons le comportement de la fonction sur les lignes y=x et y=-x. Si dans le premier cas la fonction au point étudié aura un minimum, et dans l'autre cas un maximum (ou vice versa), alors le point étudié est un point selle.
2. Trouver les valeurs propres du Hessien. Si toutes les valeurs sont positives, la fonction au point étudié a un minimum ; si toutes les valeurs sont négatives, il y a un maximum.
3. Etude de la fonction f(x) au voisinage du point ε. Les variables x sont remplacées par x 0 +ε. Ensuite, il faut prouver que la fonction f(x 0 + ε) d'une variable ε est soit supérieure à zéro (alors x 0 est le point minimum), soit inférieure à zéro (alors x 0 est le point maximum).

Note. Trouver toile de jute inversée il suffit de trouver la matrice inverse.

Exemple n°1. Lesquelles des fonctions suivantes sont convexes ou concaves : f(x) = 8x 1 2 +4x 1 x 2 +5x 2 2 .
Solution. 1. Trouvons les dérivées partielles.


2. Résolvons le système d'équations.
-4x1 +4x2 +2 = 0
4x 1 -6x 2 +6 = 0
On a:
a) À partir de la première équation, nous exprimons x 1 et le substituons dans la deuxième équation :
x2 = x2 + 1/2
-2x2 +8 = 0
Où x 2 = 4
Nous substituons ces valeurs x 2 dans l'expression pour x 1. On obtient : x 1 = 9 / 2
Le nombre de points critiques est de 1.
M1 (9 / 2 ;4)
3. Trouvons les dérivées partielles du second ordre.



4. Calculons la valeur de ces dérivées partielles du second ordre aux points critiques M(x 0 ;y 0).
On calcule les valeurs pour le point M 1 (9 / 2 ;4)



Nous construisons la matrice hessienne :

D 1 = un 11< 0, D 2 = 8 > 0
Les mineurs diagonaux ayant des signes différents, on ne peut rien dire sur la convexité ou la concavité d'une fonction.

Les paramètres avec de petites valeurs de dérivées secondes sont remis à zéro. L'analyse de sensibilité est complexe sur le plan informatique et nécessite beaucoup de mémoire supplémentaire.  

Les relations (1.4) et (1.6) déterminent les signes des principaux mineurs de la matrice hessienne pour notre fonction et sont donc une condition suffisante pour la définition non positive de la forme quadratique correspondante (1.3). Par conséquent, pour la concavité de fonctions linéairement homogènes à deux ressources, la condition (1.4) est suffisante.  

La matrice I, comme déjà mentionné, est appelée matrice hessienne (ou Hessian).  

Dans une approche plus cohérente, les informations sur les dérivées du second ordre de la fonction résiduelle peuvent être utilisées pour améliorer le processus d'apprentissage. Les méthodes d'optimisation correspondantes sont dites quadratiques. Toutes ces informations sont collectées dans la matrice hessienne H, qui a pour dimensions Nw x Nw, où Nw est le nombre de poids. Cette matrice contient des informations sur la façon dont le gradient change avec de petits déplacements dans différentes directions dans l'espace des poids. Le calcul matriciel direct nécessite beaucoup de temps, c'est pourquoi des méthodes ont été développées pour éviter le calcul et le stockage matriciels (descente de gradient conjugué, méthode du gradient conjugué mis à l'échelle (voir), RBA kProp (voir), méthode quasi-newtonienne, méthode de Levenberg-Marquard).  

La première équation (4.17) montre comment la production changera lorsque le prix des produits de l'entreprise augmente. Puisque la matrice de Hess H est définie négative, la matrice H"1 est également définie négative, donc  

A noter que du fait de l'existence de la fonction Q due à la symétrie de la matrice des dérivées secondes (matrice de Hesse) pour une fonction deux fois différentiable de plusieurs variables, découlent des égalités qui relient la sensibilité des estimations aux variations des réserves de ressources.  

De plus, la matrice hessienne des dérivées secondes de cette fonction par rapport à C doit être définie négative à C = 0.  

Considérons l'évolution de la matrice hessienne de la fonction /(C) lors de sa transformation monotone. Écrivons d'abord les composantes du gradient au point  

Pour que la fonction FQ() soit convexe, il suffit que la matrice T = Tij soit définie négative. Les premiers termes de (9.108) diffèrent des éléments 7 j de la matrice hessienne du problème original par un facteur non négatif, puisque la fonction FQ est croissante de façon monotone. Si les seconds termes de ces expressions sont égaux à zéro, alors la fonction d’accessibilité concave du problème d’origine correspondra à la concavité et à FQ().  

Ainsi, la matrice hessienne de la fonction d’accessibilité du problème transformé est la somme  

Le premier d'entre eux représente n équations pour les composantes du vecteur A, et le second est la condition de définition négative de la forme quadratique, qui est vérifiée à l'aide du critère de Sylvester par rapport à la matrice hessienne de la fonction R.  

Ici et ci-dessous, R f0 et R i désignent les dérivées partielles de R par rapport aux variables correspondantes. Les conditions de définition négative doivent être satisfaites par la matrice hessienne de la fonction R à éléments (voir (9.125))  

La deuxième partie constitue le noyau théorique du livre. Il est entièrement consacré à une présentation rigoureuse de la théorie des différentielles et des fondements de l'analyse, formulés dans le langage des différentielles. Les concepts de première et seconde différentielles sont introduits et une règle d'identification pour les matrices de Jacobi et de Hesse est donnée. Le chapitre se termine par un paragraphe consacré à la théorie de l'optimisation en présence de contraintes, présentée en termes de différentielles.  

La quatrième partie, sur les inégalités, est née de notre conviction que les économètres devraient être à l'aise avec des inégalités telles que l'inégalité de Cauchy-Bunyakovsky (Schwartz), l'inégalité de Minkowski et leurs généralisations, ainsi qu'avec des résultats puissants tels que le théorème de séparabilité de Poincaré. Dans une certaine mesure, ce chapitre est aussi l'histoire de notre déception. Lorsque nous avons commencé à écrire ce livre, nous avions une idée ambitieuse : dériver toutes les inégalités à l’aide du calcul différentiel matriciel. Après tout, chaque inégalité peut être représentée comme une solution à un problème d’optimisation. Cependant, cette idée s'est avérée être une illusion, puisque la matrice hessienne s'avère dans la plupart des cas singulière au point extremum.  

Notation. Dans ce livre, nous utilisons principalement la notation standard, sauf que les vecteurs sont indiqués en italique simple (et non gras). Des symboles spéciaux sont utilisés pour désigner la dérivée (matrice) D et la matrice hessienne H. L'opérateur de différenciation est noté d. Une liste complète de tous les symboles utilisés dans le texte est contenue dans l'index de notation à la fin du livre.  

Ce chapitre couvre les concepts de dérivées secondes, de dérivabilité double et de différentielle seconde. Une attention particulière est accordée au lien entre la différentiabilité double et l'approximation du second ordre. Nous définissons la matrice hessienne (pour les fonctions vectorielles) et trouvons les conditions de sa symétrie (de colonne). Nous obtenons également la règle de chaîne pour les matrices hessiennes et son analogue pour les différentielles secondes. Le théorème de Taylor est prouvé pour des fonctions réelles. Enfin, les différentielles d'ordre supérieur sont discutées très brièvement et nous montrons comment l'analyse des fonctions vectorielles peut être étendue aux fonctions matricielles.  

Auparavant, nous avons défini une matrice qui contient toutes les dérivées partielles du premier ordre. C'était la matrice jacobienne. Définissons maintenant une matrice (appelée matrice de Hesse) qui contient toutes les dérivées partielles du second ordre. Définissons cette matrice d'abord pour les fonctions réelles puis pour les fonctions vectorielles.  

Soit / S -> Rm, S Avec Rn est

Matrice g(X) dimension( n X n) est considéré comme défini positif si toutes ses valeurs propres m 1 , m 2 ,…, m n sont positifs, c'est-à-dire m j> 0 pour tous j = 1, 2,…, n.

Matrice g(X) est considéré comme défini négatif si les valeurs propres sont négatives, c'est-à-dire m j< 0 для всех j = 1, 2,…, n.

Si parmi les valeurs propres g Si des valeurs positives et négatives se produisent, alors la matrice est à signe alterné et la fonction étudiée est non convexe.

Pour déterminer les valeurs propres, il faut résoudre l’équation caractéristique :

Où je– matrice d'identité carrée; det est le signe du déterminant.

La matrice diffère de la matrice de Hesse en ce que les termes de la forme sont situés le long de la diagonale.

Donc pour une fonction bidimensionnelle F(X 1 , X 2) l'équation caractéristique aura la forme :

(4.10)

Les valeurs propres m 1 et m 2 sont les racines de l'équation quadratique ordinaire m 2+b m +c= 0, se forment après développement du déterminant.

Par exemple, prenons les fonctions de deux variables :

F(X)= 2 – 2X 1 –2X 2 +X 1 2 +X 2 2 – X 1 X 2

Coordonnées des points extrêmes X* déterminé en résolvant le système d'équations

Et égal X 1 * = 2, X 2 * = 2

Toile de jute . Après avoir résolu l'équation caractéristique , c'est à dire. équation quadratique (2 – m) 2 – 1 = 0, les valeurs propres m 1 = 3, m 2 = 1 sont obtenues, c'est-à-dire matrice g est défini positif. Par conséquent, la fonction F(X) est convexe et à l’extrême X* = (2,2) prend la valeur minimale F(X*) = –2.

Les deux méthodes de vérification des conditions suffisantes et nécessaires pour un extremum de second ordre sont données dans le tableau 4.2.

Exemple 4.4. Trouver l'extremum d'une fonction sur un ensemble E 2 .

Solution. 1. Écrivons les conditions nécessaires pour un extremum de premier ordre :

;

X* = (0,0).

2. Vérifions si les conditions suffisantes pour l’extremum sont remplies.

Première façon : La matrice hessienne a la forme .Puisque M 1 = 2 > 0, , puis au point X* minimum local (ligne 1 du tableau 4.2).

Deuxième manière : Trouvons les valeurs propres de la matrice hessienne à l'aide de (4.10) :

Ainsi . Puisque toutes les valeurs propres sont positives, alors au point X* minimum local (ligne 1 du tableau 4.2). De l'exemple 3.3, il résulte que la fonction est strictement convexe sur l'ensemble E 2. Le point minimum local est donc également un point minimum global (selon le paragraphe 3, énoncé 3.1).

3. Calculez la valeur de la fonction au point minimum global : F(X*) = 0.

Exemple 4.5. Trouver l'extremum de la fonction sur l'ensemble E 2.

Solution. 1. Écrivons les conditions nécessaires de premier ordre :

; .

En résolvant le système, nous obtenons un point stationnaire X* = (0,0).

2. Vérifions la réalisation des conditions suffisantes pour les conditions extremum et nécessaires du second ordre.

Première façon : La matrice hessienne a la forme . Puisque M 1 = 2 > 0, , alors les conditions suffisantes pour l’extremum ne sont pas remplies (lignes 1 et 2 du tableau 4.2). Vérifions la réalisation des conditions nécessaires du second ordre.

Principaux mineurs de premier ordre ( m= 1) sont obtenus à partir de M 2 suite à la suppression n–m=2 – 1 = 1 lignes et colonnes, avec les mêmes nombres : – 2, 2. Majeur mineur du deuxième ordre ( m = 2) obtenu à partir de M 2 suite à la suppression n-m= 0 lignes et colonnes, c'est-à-dire coïncide avec M 2 : -4. Il s’ensuit que les conditions nécessaires pour un extremum de second ordre ne sont pas satisfaites (lignes 3 et 4 du tableau 4.2). Puisque la matrice hessienne n'est pas nulle, on peut conclure qu'au point X* pas d'extremum (ligne 6 du tableau 2.1).

Tableau 4.2

Un critère de vérification des conditions suffisantes et nécessaires du second ordre dans le problème de la recherche d'un extremum inconditionnel

Décrire le comportement d'une fonction au second ordre.

Pour la fonction texvc , deux fois différentiable au point Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : x\in \R^n

Où Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README - aide à la configuration.) : a_(ij)=\partial^2 f/\partial x_i \partial x_j(ou Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README - aide à la configuration.) : a_(ij)=\partial^2 f/\partial z_i \partial \overline(z)_j) et fonction Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : f mis à Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : n espace réel dimensionnel Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : \mathbb(R)^n(ou espace complexe Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README pour l'aide à la configuration.) : \mathbb(C)^n) avec des coordonnées Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README - aide à la configuration.) : x_1,\ldots,x_n(ou Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README - aide à la configuration.) : z_1,\ldots,z_n). Dans les deux cas, le Hessien est une forme quadratique définie sur l'espace tangent, qui ne change pas sous les transformations linéaires des variables. Toile de jute aussi souvent appelé le déterminant d'une matrice Impossible d'analyser l'expression (fichier exécutable texvc pas trouvé; Voir math/README - aide à la configuration.) : (a_(ij)), voir ci-dessous.

Matrice de Hesse

La matrice de cette forme quadratique est formée par les dérivées partielles secondes de la fonction. Si toutes les dérivées existent, alors

Les matrices hessiennes sont utilisées dans les problèmes d'optimisation par la méthode de Newton. Le calcul complet de la matrice hessienne peut être difficile, c'est pourquoi des algorithmes quasi-Newton ont été développés sur la base d'expressions approximatives de la matrice hessienne. Le plus célèbre d’entre eux est l’algorithme de Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno.

Symétrie de la matrice hessienne

Dérivés mixtes les fonctions F- ce sont des éléments de la matrice hessienne qui ne sont pas sur la diagonale principale. S'ils sont continus, alors l'ordre de différenciation n'a pas d'importance :

Cela peut aussi s’écrire

Dans ce cas, la matrice hessienne est symétrique.

Points critiques d'une fonction

Histoire

voir également

• Critère de Sylvester - critère de définition positive/négative d'une matrice carrée

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Remarques

Liens

• Kamynine L.I. Analyse mathematique. T. 1, 2. - 2001.
• Kudryavtsev L.D. « Cours abrégé en analyse mathématique. T.2. Calcul différentiel et intégral de fonctions de plusieurs variables. Analyse harmonique", FIZMATLIT, 2002, - 424 p. -ISBN5-9221-0185-4. Ou toute autre publication.
• Golubitsky M., Guillemin V. Mappages stables et leurs caractéristiques, - M. : Mir, 1977.

Un extrait caractérisant les fonctions de Hesse