Il existe plusieurs limites remarquables, mais les plus connues sont la première et la deuxième limites remarquables. Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles sont largement utilisées et qu'avec leur aide, vous pouvez trouver d'autres limites trouvées dans de nombreux problèmes. C'est ce que nous ferons dans la partie pratique de cette leçon. Pour résoudre des problèmes en les réduisant à la première ou à la deuxième limite remarquable, nul besoin de révéler les incertitudes qu'elles contiennent, puisque les valeurs de ces limites ont été déduites depuis longtemps par les grands mathématiciens.
La première limite merveilleuse est appelée la limite du rapport du sinus d'un arc infinitésimal au même arc, exprimée en mesure de radian :
Passons à la résolution des problèmes à la première limite remarquable. Remarque : s'il y a une fonction trigonométrique sous le signe limite, c'est un signe presque sûr que cette expression peut se réduire à la première limite remarquable.
Exemple 1. Trouvez la limite.
Solution. Remplacement à la place X zéro conduit à l'incertitude :
.
Le dénominateur est sinus, l'expression peut donc être amenée à la première limite remarquable. Commençons la transformation :
.
Le dénominateur est le sinus de trois X, mais le numérateur n'a qu'un seul X, ce qui signifie que vous devez avoir trois X au numérateur. Pour quoi? Pour présenter 3 X = un et obtenez l'expression.
Et nous arrivons à une variation de la première limite remarquable :
car peu importe quelle lettre (variable) dans cette formule remplace X.
On multiplie X par trois et on divise immédiatement :
.
Conformément à la première limite remarquable constatée, on remplace l'expression fractionnaire :
Nous pouvons maintenant enfin résoudre cette limite :
.
Exemple 2. Trouvez la limite.
Solution. La substitution directe conduit à nouveau à l’incertitude « zéro divisé par zéro » :
.
Pour obtenir la première limite remarquable, il faut que le x sous le signe sinus au numérateur et juste le x au dénominateur aient le même coefficient. Soit ce coefficient égal à 2. Pour ce faire, imaginons le coefficient actuel pour x comme ci-dessous, en effectuant des opérations avec des fractions, nous obtenons :
.
Exemple 3. Trouvez la limite.
Solution. Lors de la substitution, on obtient à nouveau l'incertitude « zéro divisé par zéro » :
.
Vous comprenez probablement déjà qu'à partir de l'expression originale, vous pouvez obtenir la première limite merveilleuse multipliée par la première limite merveilleuse. Pour ce faire, on décompose les carrés du x au numérateur et du sinus au dénominateur en facteurs identiques, et afin d'obtenir les mêmes coefficients pour le x et le sinus, on divise le x au numérateur par 3 et on multiplie immédiatement par 3. On obtient :
.
Exemple 4. Trouvez la limite.
Solution. On obtient à nouveau l'incertitude « zéro divisé par zéro » :
.
On peut obtenir le rapport des deux premières limites remarquables. Nous divisons le numérateur et le dénominateur par x. Ensuite, pour que les coefficients des sinus et des x coïncident, nous multiplions le x supérieur par 2 et divisons immédiatement par 2, et multiplions le x inférieur par 3 et divisons immédiatement par 3. Nous obtenons :
Exemple 5. Trouvez la limite.
Solution. Et encore l’incertitude du « zéro divisé par zéro » :
Nous nous souvenons de la trigonométrie que la tangente est le rapport du sinus au cosinus et que le cosinus de zéro est égal à un. On effectue les transformations et on obtient :
.
Exemple 6. Trouvez la limite.
Solution. La fonction trigonométrique sous le signe d'une limite suggère encore l'utilisation de la première limite remarquable. Nous le représentons comme le rapport sinus/cosinus.
La formule de la deuxième limite remarquable est lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Une autre forme d'écriture ressemble à ceci : lim x → 0 (1 + x) 1 x = e.
Lorsque nous parlons de la deuxième limite remarquable, nous devons faire face à une incertitude de la forme 1 ∞, c'est-à-dire : unité à un degré infini.
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Considérons des problèmes dans lesquels la capacité de calculer la deuxième limite remarquable sera utile.
Exemple 1
Trouver la limite lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .
Solution
Remplaçons la formule requise et effectuons les calculs.
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞
Notre réponse s’est avérée être celle de la puissance de l’infini. Pour déterminer la méthode de résolution, nous utilisons la table d'incertitude. Choisissons la deuxième limite remarquable et effectuons un changement de variables.
t = - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 = - t 2
Si x → ∞, alors t → - ∞.
Voyons ce que nous avons obtenu après le remplacement :
lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2
Répondre: lim X → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .
Exemple 2
Calculez la limite lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .
Solution
Remplaçons l'infini et obtenons ce qui suit.
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞
Dans la réponse, nous avons à nouveau obtenu la même chose que dans le problème précédent, nous pouvons donc à nouveau utiliser la deuxième merveilleuse limite. Ensuite, nous devons sélectionner toute la partie à la base de la fonction puissance :
x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1
Après cela, la limite prend la forme suivante :
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x
Remplacez les variables. Supposons que t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; si x → ∞, alors t → ∞.
Après cela, nous écrivons ce que nous avons obtenu dans la limite initiale :
lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 · (1 + 0) - 1 = e - 2
Pour effectuer cette transformation, nous avons utilisé les propriétés fondamentales des limites et des puissances.
Répondre: lim X → ∞ X - 1 X + 1 X = e - 2 .
Exemple 3
Calculez la limite lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .
Solution
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1 ∞
Après cela, nous devons transformer la fonction pour appliquer la deuxième grande limite. Nous avons obtenu ce qui suit :
lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5
Puisque nous avons désormais les mêmes exposants au numérateur et au dénominateur de la fraction (égaux à six), la limite de la fraction à l'infini sera égale au rapport de ces coefficients aux puissances supérieures.
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3
En substituant t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 nous obtenons une deuxième limite remarquable. Ça signifie quoi:
lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3
Répondre: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .
conclusions
Incertitude 1 ∞, soit l'unité à une puissance infinie est une incertitude de loi de puissance, elle peut donc être révélée à l'aide des règles permettant de trouver les limites des fonctions de puissance exponentielles.
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À partir de l'article ci-dessus, vous pouvez découvrir quelle est la limite et avec quoi elle est consommée - c'est TRÈS important. Pourquoi? Vous ne comprenez peut-être pas ce que sont les déterminants et ne réussissez pas à les résoudre, vous ne comprenez peut-être pas du tout ce qu'est une dérivée et ne les trouvez pas avec un « A ». Mais si vous ne comprenez pas ce qu’est une limite, il sera alors difficile de résoudre des tâches pratiques. Ce serait également une bonne idée de vous familiariser avec les exemples de solutions et mes recommandations de conception. Toutes les informations sont présentées sous une forme simple et accessible.
Et pour les besoins de cette leçon, nous aurons besoin du matériel pédagogique suivant : Des limites merveilleuses Et Formules trigonométriques. Ils peuvent être trouvés sur la page. Il est préférable d'imprimer les manuels - c'est beaucoup plus pratique et, de plus, vous devrez souvent vous y référer hors ligne.
Qu’y a-t-il de si spécial dans les limites remarquables ? Ce qui est remarquable à propos de ces limites, c'est qu'elles ont été prouvées par les plus grands esprits de mathématiciens célèbres, et que leurs descendants reconnaissants n'ont pas à souffrir de terribles limites avec un tas de fonctions trigonométriques, de logarithmes et de puissances. Autrement dit, pour trouver les limites, nous utiliserons des résultats prêts à l'emploi qui ont été prouvés théoriquement.
Il existe plusieurs merveilleuses limites, mais en pratique, dans 95 % des cas, les étudiants à temps partiel ont deux merveilleuses limites : La première limite merveilleuse, Deuxième merveilleuse limite. Il convient de noter qu'il s'agit de noms historiquement établis, et lorsque, par exemple, ils parlent de « la première limite remarquable », ils entendent par là une chose très spécifique, et non une limite aléatoire prise au plafond.
La première limite merveilleuse
Considérez la limite suivante : (au lieu de la lettre native « il », j'utiliserai la lettre grecque « alpha », c'est plus pratique du point de vue de la présentation du matériel).
D'après notre règle de recherche des limites (voir article Limites. Exemples de solutions) on essaie de substituer zéro dans la fonction : au numérateur on obtient zéro (le sinus de zéro est zéro), et au dénominateur, évidemment, il y a aussi zéro. Nous sommes donc confrontés à une incertitude sur la forme, qui, heureusement, n’a pas besoin d’être divulguée. Au cours de l'analyse mathématique, il est prouvé que :
Ce fait mathématique est appelé La première limite merveilleuse. Je ne donnerai pas de preuve analytique de la limite, mais nous examinerons sa signification géométrique dans la leçon sur fonctions infinitésimales.
Souvent, dans les tâches pratiques, les fonctions peuvent être organisées différemment, cela ne change rien :
- la même première merveilleuse limite.
Mais vous ne pouvez pas réorganiser vous-même le numérateur et le dénominateur ! Si une limite est donnée sous la forme , alors elle doit être résolue sous la même forme, sans rien réarranger.
En pratique, non seulement une variable, mais aussi une fonction élémentaire ou une fonction complexe peut faire office de paramètre. La seule chose importante c'est qu'il tende vers zéro.
Exemples:
, , 
, 
Ici , , , 
, et tout va bien - la première limite merveilleuse est applicable.
Mais l’entrée suivante est une hérésie :
Pourquoi? Parce que le polynôme ne tend pas vers zéro, il tend vers cinq.
Au fait, une petite question : quelle est la limite ? 
? La réponse se trouve à la fin de la leçon.
Dans la pratique, tout ne se passe pas aussi bien ; on ne propose presque jamais à un étudiant de résoudre une limite gratuite et d'obtenir une passe facile. Hmmm... J'écris ces lignes, et une pensée très importante m'est venue à l'esprit - après tout, il vaut mieux se souvenir par cœur des définitions et des formules mathématiques « libres », cela peut apporter une aide inestimable dans le test, lorsque la question sera être décidé entre « deux » et « trois », et l'enseignant décide de poser à l'élève une question simple ou de lui proposer de résoudre un exemple simple (« peut-être qu'il(s) sait encore quoi ?! »).
Passons à des exemples pratiques :
Exemple 1
Trouver la limite
Si nous remarquons un sinus dans la limite, cela devrait immédiatement nous amener à réfléchir à la possibilité d'appliquer la première limite remarquable.
Tout d'abord, nous essayons de substituer 0 dans l'expression sous le signe limite (nous le faisons mentalement ou dans un brouillon) :
On a donc une incertitude de la forme assurez-vous d'indiquer en prenant une décision. L'expression sous le signe limite est similaire à la première limite merveilleuse, mais ce n'est pas exactement cela, elle est sous le sinus, mais au dénominateur.
Dans de tels cas, nous devons organiser nous-mêmes la première limite remarquable, en utilisant une technique artificielle. Le raisonnement pourrait être le suivant : « sous le sinus nous avons , ce qui signifie que nous devons également entrer dans le dénominateur ».
Et cela se fait très simplement :
Autrement dit, le dénominateur est artificiellement multiplié dans ce cas par 7 et divisé par le même sept. Notre enregistrement a désormais pris une forme familière.
Lorsque la tâche est rédigée à la main, il convient de marquer la première limite remarquable avec un simple crayon :
Ce qui s'est passé? En fait, notre expression encerclée s'est transformée en une unité et a disparu dans l'œuvre : 
Il ne reste plus qu'à se débarrasser de la fraction à trois étages : 
Qui a oublié la simplification des fractions à plusieurs niveaux, veuillez actualiser le matériel dans l'ouvrage de référence Formules chaudes pour le cours de mathématiques à l'école .
Prêt. Réponse finale:
Si vous ne souhaitez pas utiliser de traits de crayon, la solution peut s'écrire comme ceci :
“
Utilisons la première limite merveilleuse 
“
Exemple 2
Trouver la limite
Encore une fois, nous voyons une fraction et un sinus dans la limite. Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :
En effet, nous sommes dans l’incertitude et nous devons donc essayer d’organiser la première limite merveilleuse. À la leçon Limites. Exemples de solutions nous avons considéré la règle selon laquelle, en cas d'incertitude, nous devons factoriser le numérateur et le dénominateur. Ici c’est la même chose, on représentera les diplômes comme un produit (multiplicateurs) :
Semblable à l'exemple précédent, on dessine au crayon autour des limites remarquables (ici il y en a deux), et on indique qu'elles tendent vers l'unité :
En fait, la réponse est prête :
Dans les exemples suivants, je ne ferai pas d'art dans Paint, je pense que comment rédiger correctement une solution dans un cahier - vous l'avez déjà compris.
Exemple 3
Trouver la limite
On substitue zéro dans l'expression sous le signe limite :
Une incertitude a été obtenue et doit être divulguée. S'il y a une tangente dans la limite, alors elle est presque toujours convertie en sinus et cosinus en utilisant la formule trigonométrique bien connue (d'ailleurs, ils font à peu près la même chose avec la cotangente, voir matériel méthodologique Formules trigonométriques chaudes Sur la page Formules mathématiques, tableaux et documents de référence).
Dans ce cas:
Le cosinus de zéro est égal à un, et il est facile de s'en débarrasser (n'oubliez pas de marquer qu'il tend vers un) :
Ainsi, si à la limite le cosinus est un MULTIPLICATEUR, alors, grosso modo, il faut le transformer en une unité qui disparaît dans le produit.
Ici, tout s'est avéré plus simple, sans multiplications ni divisions. La première limite remarquable se transforme également en une et disparaît dans le produit :
En conséquence, l'infini est obtenu, et cela se produit.
Exemple 4
Trouver la limite
Essayons de remplacer zéro au numérateur et au dénominateur :
L'incertitude est obtenue (le cosinus de zéro, on s'en souvient, est égal à un)
Nous utilisons la formule trigonométrique. Prendre note! Pour une raison quelconque, les limites utilisant cette formule sont très courantes.
Déplaçons les facteurs constants au-delà de l'icône de limite :
Organisons la première merveilleuse limite :
Nous n’avons ici qu’une seule limite remarquable, qui se transforme en une et disparaît dans le produit :
Débarrassons-nous de la structure à trois étages :
La limite étant effectivement résolue, on indique que le sinus restant tend vers zéro :
Exemple 5
Trouver la limite 
Cet exemple est plus compliqué, essayez de le comprendre vous-même :
Certaines limites peuvent être réduites à la 1ère limite remarquable en changeant une variable, vous pourrez lire cela un peu plus loin dans l'article Méthodes pour résoudre les limites.
Deuxième merveilleuse limite
Dans la théorie de l'analyse mathématique, il a été prouvé que :
Ce fait est appelé deuxième limite merveilleuse.
Référence: 
est un nombre irrationnel.
Le paramètre peut être non seulement une variable, mais aussi une fonction complexe. La seule chose importante c'est qu'il vise l'infini.
Exemple 6
Trouver la limite
Lorsque l'expression sous le signe limite est en degré, c'est le premier signe que vous devez essayer d'appliquer la deuxième limite merveilleuse.
Mais d'abord, comme toujours, nous essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression, le principe par lequel cela est fait est discuté dans la leçon Limites. Exemples de solutions.
Il est facile de remarquer que lorsque la base du degré est , et l'exposant est , c'est-à-dire qu'il existe une incertitude de la forme :
Cette incertitude est précisément révélée à l’aide de la deuxième limite remarquable. Mais, comme cela arrive souvent, la deuxième limite merveilleuse ne se trouve pas sur un plateau d’argent et doit être organisée artificiellement. Vous pouvez raisonner ainsi : dans cet exemple le paramètre est , ce qui signifie qu'il faut aussi s'organiser dans l'indicateur. Pour ce faire, on élève la base à la puissance, et pour que l'expression ne change pas, on l'élève à la puissance :
Lorsque la tâche est terminée à la main, on marque au crayon :
Presque tout est prêt, le terrible diplôme s'est transformé en une jolie lettre :
Dans ce cas, nous déplaçons l'icône de limite elle-même vers l'indicateur:
Exemple 7
Trouver la limite
Attention! Ce type de limite se produit très souvent, merci d'étudier cet exemple très attentivement.
Essayons de substituer un nombre infiniment grand dans l'expression sous le signe limite :
Le résultat est l’incertitude. Mais la deuxième limite remarquable concerne l’incertitude de la forme. Ce qu'il faut faire? Nous devons convertir la base du diplôme. On raisonne ainsi : au dénominateur on a , ce qui veut dire qu'au numérateur il faut aussi organiser .
Preuve:
Démontrons d'abord le théorème pour le cas de la suite 
D'après la formule binomiale de Newton :
En supposant que nous obtenions
De cette égalité (1), il résulte que lorsque n augmente, le nombre de termes positifs du côté droit augmente. De plus, à mesure que n augmente, le nombre diminue, donc les valeurs 
augmentent. Donc la séquence 
croissant, et (2)*Nous montrons qu'il est borné. Remplacez chaque parenthèse du côté droit de l'égalité par une, le côté droit augmentera et nous obtiendrons l'inégalité
Renforçons l'inégalité résultante, remplaçons 3,4,5, ..., figurant aux dénominateurs des fractions, par le chiffre 2 : On retrouve la somme entre parenthèses à l'aide de la formule de la somme des termes d'une progression géométrique : Donc 
(3)*
Ainsi, la suite est bornée par le haut et les inégalités (2) et (3) sont satisfaites : 
Ainsi, d’après le théorème de Weierstrass (critère de convergence d’une suite), la suite 
augmente de manière monotone et est limité, ce qui signifie qu'il a une limite, désignée par la lettre e. Ceux. 
Sachant que la deuxième limite remarquable est vraie pour les valeurs naturelles de x, nous prouverons la deuxième limite remarquable pour x réel, c'est-à-dire que nous prouverons que 
. Considérons deux cas :
1. Soit chaque valeur de x entre deux entiers positifs : ,où est la partie entière de x. => =>
Si , alors Donc, selon la limite 
Nous avons
Basé sur le critère (sur la limite d'une fonction intermédiaire) d'existence de limites 
2. Laissez . Faisons la substitution − x = t, alors
De ces deux cas il résulte que 
pour de vrai x.
Conséquences:
9 .) Comparaison des infinitésimaux. Le théorème sur le remplacement des infinitésimaux par des équivalents dans la limite et le théorème sur la partie principale des infinitésimaux.
Soit les fonctions a( X) et B( X) – b.m. à X ® X 0 .
DÉFINITIONS.
1)une( X) appelé ordre infinitésimal supérieur à b (X) Si
Écrivez : a( X) = o(b( X)) .
2)une( X) Et b( X)sont appelés infinitésimaux du même ordre, Si
où CÎℝ et C¹ 0 .
Écrivez : a( X) = Ô(b( X)) .
3)une( X) Et b( X) sont appelés équivalent , Si
Écrivez : a( X) ~ b( X).
4)une( X) est dit infinitésimal d'ordre k relatif
absolument infinitésimal b( X),
si infinitésimal un( X)Et(b( X))k ont le même ordre, c'est-à-dire Si
où CÎℝ et C¹ 0 .
THÉORÈME 6 (sur le remplacement des infinitésimaux par des équivalents).
Laisser un( X), b( X), un 1 ( X), b 1 ( X)– b.m. à x ® X 0 . Si un( X) ~ une 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X),
Que 
Preuve : Soit a( X) ~ une 1 ( X), b( X) ~ b 1 ( X), Alors
THÉORÈME 7 (sur la partie principale de l'infinitésimal).
Laisser un( X)Et b( X)– b.m. à x ® X 0 , et b( X)– b.m. ordre supérieur à un( X).
= , a puisque b( X) – ordre supérieur à a( X), alors, c'est-à-dire 
depuis il est clair qu'un( X) + b( X) ~ une ( X)
10) Continuité d'une fonction en un point (dans le langage de l'epsilon-delta, limites géométriques) Continuité unilatérale. Continuité sur un intervalle, sur un segment. Propriétés des fonctions continues.
1. Définitions de base
Laisser F(X) est défini dans un certain voisinage du point X 0 .
DÉFINITION 1. Fonction f(X) appelé continu en un point X 0 si l'égalité est vraie
Remarques.
1) En vertu du théorème 5 §3, l'égalité (1) peut s'écrire sous la forme
Condition (2) – définition de la continuité d'une fonction en un point dans le langage des limites unilatérales.
2) L'égalité (1) peut également s'écrire :
Ils disent : « si une fonction est continue en un point X 0, alors le signe de la limite et la fonction peuvent être échangés."
DÉFINITION 2 (en langage e-d).
Fonction f(X) appelé continu en un point X 0 Si"e>0 $d>0 tel, Quoi
si xОU( X 0 , d) (c'est-à-dire | X – X 0 | < d),
alors f(X)ÎU( F(X 0), e) (c'est-à-dire | F(X) – F(X 0) | < e).
Laisser X, X 0 Î D(F) (X 0 – fixe, X - arbitraire)
Notons : D X= x – x 0 – incrément d'argument
D F(X 0) = F(X) – F(X 0) – incrément de fonction au pointx 0
DÉFINITION 3 (géométrique).
Fonction f(X) sur appelé continu en un point
X 0
si à ce stade un incrément infinitésimal dans l'argument correspond à un incrément infinitésimal dans la fonction, c'est à dire.
Laissez la fonction F(X) est défini sur l'intervalle [ X 0 ; X 0 + d) (sur l'intervalle ( X 0 – d ; X 0 ]).
DÉFINITION. Fonction f(X) appelé continu en un point
X 0 sur la droite
(gauche
), si l'égalité est vraie
Il est évident que F(X) est continue au point X 0 Û F(X) est continue au point X 0 à droite et à gauche.
DÉFINITION. Fonction f(X) appelé continu pendant un intervalle e ( un; b) s'il est continu en tout point de cet intervalle.
Fonction f(X) est dit continu sur le segment [un; b] si c'est continu sur l'intervalle (un; b) et a une continuité à sens unique aux points limites(c'est-à-dire continu au point unà droite, au point b- gauche).
11) Points de rupture, leur classement
DÉFINITION. Si la fonction f(X) défini dans un certain voisinage du point x 0 , mais n'est pas continu à ce stade, alors F(X) dit discontinu au point x 0 , et le point lui-même X 0 appelé le point de rupture fonctions f(X) .
Remarques.
1) F(X) peut être défini dans un voisinage incomplet du point X 0 .
Considérons ensuite la continuité unidirectionnelle correspondante de la fonction.
2) De la définition du point Þ X 0 est le point d'arrêt de la fonction F(X) dans deux cas :
une) U( X 0 , d)О D(F) , mais pour F(X) l'égalité n'est pas vraie
b) U * ( X 0 , d)О D(F) .
Pour les fonctions élémentaires, seul le cas b) est possible.
Laisser X 0 – point d'arrêt de la fonction F(X) .
DÉFINITION. Pointx 0 appelé point d'arrêt je sorte de si fonction f(X)a des limites finies à gauche et à droite à ce stade.
Si ces limites sont égales, alors le point x 0 appelé point de rupture amovible , sinon - point de saut .
DÉFINITION. Pointx 0 appelé point d'arrêt II sorte de si au moins une des limites unilatérales de la fonction f(X)à ce stade est égal¥ ou n'existe pas.
12) Propriétés des fonctions continues sur un intervalle (théorèmes de Weierstrass (sans preuve) et de Cauchy
Théorème de Weierstrass
Soit la fonction f(x) continue sur l'intervalle, alors
1)f(x)est limité à
2) f(x) prend sa plus petite et sa plus grande valeur sur l'intervalle
Définition: La valeur de la fonction m=f est dite la plus petite si m≤f(x) pour tout x€ D(f).
La valeur de la fonction m=f est dite la plus grande si m≥f(x) pour tout x € D(f).
La fonction peut prendre la plus petite/la plus grande valeur en plusieurs points du segment.
f(x 3)=f(x 4)=max
Théorème de Cauchy.
Soit la fonction f(x) continue sur le segment et soit x le nombre contenu entre f(a) et f(b), alors il y a au moins un point x 0 € tel que f(x 0)= g
Maintenant, l’âme sereine, passons à la réflexion merveilleuses limites.
ressemble à .
A la place de la variable x, diverses fonctions peuvent être présentes, l'essentiel est qu'elles tendent vers 0.
Il faut calculer la limite
Comme vous pouvez le constater, cette limite est très similaire à la première limite remarquable, mais ce n'est pas tout à fait vrai. En général, si vous remarquez un péché dans la limite, vous devez immédiatement vous demander s'il est possible d'utiliser la première limite remarquable.
Selon notre règle n°1, on substitue zéro à la place de x :
Nous sommes confrontés à de l'incertitude.
Essayons maintenant d'organiser nous-mêmes la première merveilleuse limite. Pour ce faire, faisons une combinaison simple :
On organise donc le numérateur et le dénominateur pour mettre en évidence 7x. Maintenant, la limite remarquable familière est déjà apparue. Il est conseillé de le mettre en évidence au moment de décider :
Remplaçons la solution du premier exemple remarquable et obtenons :
Simplifier la fraction :
Réponse : 7/3.
Comme vous pouvez le constater, tout est très simple.
Ressemble à 
, où e = 2,718281828... est un nombre irrationnel.
Diverses fonctions peuvent être présentes à la place de la variable x, l'essentiel est qu'elles tendent à .
Il faut calculer la limite
On voit ici la présence d'un degré sous le signe d'une limite, ce qui signifie qu'il est possible d'utiliser une deuxième limite remarquable.
Comme toujours, nous utiliserons la règle n°1 - remplacer x au lieu de :
On peut voir qu'en x la base du degré est , et l'exposant est 4x > , c'est-à-dire on obtient une incertitude de la forme :
Utilisons la deuxième merveilleuse limite pour révéler notre incertitude, mais nous devons d'abord l'organiser. Comme vous pouvez le voir, il faut atteindre la présence dans l'indicateur, pour lequel on élève la base à la puissance 3x, et en même temps à la puissance 1/3x, pour que l'expression ne change pas :
N'oubliez pas de souligner notre merveilleuse limite :
C'est ce qu'ils sont vraiment merveilleuses limites!
Si vous avez encore des questions sur les première et deuxième merveilleuses limites, alors n'hésitez pas à les poser dans les commentaires.
Nous répondrons à tout le monde dans la mesure du possible.
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