Équations avec paramètres d'examen, exemples de solutions sous forme graphique. Problèmes avec un paramètre (solution graphique) Introduction

À tâches avec paramètre Cela peut inclure, par exemple, la recherche de solutions à des équations linéaires et quadratiques sous forme générale, l'étude de l'équation du nombre de racines disponibles en fonction de la valeur du paramètre.

Sans donner de définitions détaillées, considérons les équations suivantes à titre d'exemples :

y = kx, où x, y sont des variables, k est un paramètre ;

y = kx + b, où x, y sont des variables, k et b sont des paramètres ;

ax 2 + bx + c = 0, où x sont des variables, a, b et c sont un paramètre.

Résoudre une équation (inégalité, système) avec un paramètre signifie, en règle générale, résoudre un ensemble infini d'équations (inégalités, systèmes).

Les tâches avec un paramètre peuvent être divisées en deux types :

UN) la condition dit : résoudre l'équation (inégalité, système) - cela signifie, pour toutes les valeurs du paramètre, trouver toutes les solutions. Si au moins un cas reste sans enquête, une telle solution ne peut être considérée comme satisfaisante.

b) il est nécessaire d'indiquer les valeurs possibles du paramètre pour lequel l'équation (inégalité, système) a certaines propriétés. Par exemple, il a une solution, n'a pas de solutions, a des solutions appartenant à l'intervalle, etc. Dans de telles tâches, il est nécessaire d'indiquer clairement à quelle valeur de paramètre la condition requise est satisfaite.

Le paramètre, étant un nombre fixe inconnu, possède une sorte de dualité particulière. Tout d'abord, il faut garder à l'esprit que la popularité supposée indique que le paramètre doit être perçu comme un nombre. Deuxièmement, la liberté de manipuler le paramètre est limitée par son obscurité. Par exemple, les opérations de division par une expression contenant un paramètre ou d'extraction de la racine d'un degré pair à partir d'une telle expression nécessitent des recherches préalables. Il faut donc faire preuve de prudence lors de la manipulation du paramètre.

Par exemple, pour comparer deux nombres -6a et 3a, il faut considérer trois cas :

1) -6a sera supérieur à 3a si a est un nombre négatif ;

2) -6a = 3a dans le cas où a = 0 ;

3) -6a sera inférieur à 3a si a est un nombre positif 0.

La solution sera la réponse.

Soit l'équation kx = b. Cette équation est une forme abrégée d’un nombre infini d’équations à une variable.

Lors de la résolution de telles équations, il peut y avoir des cas :

1. Soit k n’importe quel nombre réel non égal à zéro et b n’importe quel nombre de R, alors x = b/k.

2. Soit k = 0 et b ≠ 0, l'équation originale prendra la forme 0 x = b. Évidemment, cette équation n’a pas de solution.

3. Soient k et b des nombres égaux à zéro, alors nous avons l'égalité 0 x = 0. Sa solution est n'importe quel nombre réel.

Un algorithme pour résoudre ce type d'équation :

1. Déterminez les valeurs « de contrôle » du paramètre.

2. Résolvez l'équation originale de x pour les valeurs des paramètres déterminées dans le premier paragraphe.

3. Résolvez l'équation originale de x pour des valeurs de paramètres différentes de celles choisies dans le premier paragraphe.

4. Vous pouvez écrire la réponse sous la forme suivante :

1) pour ... (valeurs des paramètres), l'équation a des racines ... ;

2) pour ... (valeurs des paramètres), il n'y a pas de racines dans l'équation.

Exemple 1.

Résolvez l'équation avec le paramètre |6 – x| = une.

Solution.

Il est facile de voir que a ≥ 0 ici.

D’après la règle du module 6 – x = ±a, on exprime x :

Réponse : x = 6 ± a, où a ≥ 0.

Exemple 2.

Résolvez l'équation a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 par rapport à la variable x.

Solution.

Ouvrons les parenthèses : aх – а + 2х – 2 = 0

Écrivons l'équation sous forme standard : x(a + 2) = a + 2.

Si l'expression a + 2 n'est pas nulle, c'est à dire si a ≠ -2, on a la solution x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), c'est-à-dire x = 1.

Si a + 2 est égal à zéro, c'est à dire a = -2, alors nous avons l'égalité correcte 0 x = 0, donc x est n'importe quel nombre réel.

Réponse : x = 1 pour a ≠ -2 et x € R pour a = -2.

Exemple 3.

Résolvez l'équation x/a + 1 = a + x par rapport à la variable x.

Solution.

Si a = 0, alors nous transformons l'équation sous la forme a + x = a 2 + ax ou (a – 1)x = -a(a – 1). La dernière équation pour a = 1 a la forme 0 x = 0, donc x est n'importe quel nombre.

Si a ≠ 1, alors la dernière équation prendra la forme x = -a.

Cette solution peut être illustrée sur la ligne de coordonnées (Fig. 1)

Réponse : il n'y a pas de solutions pour a = 0 ; x – n'importe quel nombre avec a = 1 ; x = -a pour a ≠ 0 et a ≠ 1.

Méthode graphique

Considérons une autre façon de résoudre des équations avec un paramètre - graphiquement. Cette méthode est utilisée assez souvent.

Exemple 4.

En fonction du paramètre a, combien de racines l'équation ||x| – 2| = un ?

Solution.

Pour résoudre en utilisant la méthode graphique, nous construisons des graphiques des fonctions y = ||x| – 2| et y = une (Fig.2).

Le dessin montre clairement les cas possibles de localisation de la droite y = a et le nombre de racines dans chacune d'elles.

Réponse : l'équation n'aura pas de racines si une< 0; два корня будет в случае, если a >2 et a = 0 ; l'équation aura trois racines dans le cas de a = 2 ; quatre racines – à 0< a < 2.

Exemple 5.

À quoi correspond l'équation 2|x| + |x – 1| = a a une seule racine ?

Solution.

Représentons les graphiques des fonctions y = 2|x| + |x – 1| et y = une. Pour y = 2|x| + |x – 1|, en développant les modules en utilisant la méthode des intervalles, on obtient :

(-3x + 1, à x< 0,

y = (x + 1, pour 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, pour x > 1.

Sur figure 3 On voit clairement que l’équation n’aura une racine unique que lorsque a = 1.

Réponse : a = 1.

Exemple 6.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation |x + 1| + |x + 2| = a en fonction du paramètre a ?

Solution.

Graphique de la fonction y = |x + 1| + |x + 2| sera une ligne brisée. Ses sommets seront situés aux points (-2 ; 1) et (-1 ; 1) (Figure 4).

Réponse : si le paramètre a est inférieur à un, alors l'équation n'aura pas de racines ; si a = 1, alors la solution de l'équation est un ensemble infini de nombres de l'intervalle [-2 ; -1]; si les valeurs du paramètre a sont supérieures à un, alors l'équation aura deux racines.

Vous avez encore des questions ? Vous ne savez pas comment résoudre des équations avec un paramètre ?
Pour obtenir l'aide d'un tuteur, inscrivez-vous.
Le premier cours est gratuit !

site Web, lors de la copie du matériel en totalité ou en partie, un lien vers la source est requis.

Olga Otdelkina, élève de 9e année

Ce sujet fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. Le but de ce travail est d'étudier ce sujet plus en profondeur, d'identifier la solution la plus rationnelle qui conduit rapidement à une réponse. Cet essai aidera les autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

Télécharger:

Aperçu:

Introduction2

Chapitre 1. Équations avec un paramètre

Histoire de l'émergence des équations avec paramètre3

Théorème de Vieta4

Concepts de base5

Chapitre 2. Types d'équations avec paramètres.

Équations linéaires6

Équations quadratiques……………………………………………………………......7

Chapitre 3. Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre

Méthode analytique….…………………………………………......8

Méthode graphique. Histoire d'origine….…………………………9

Algorithme de solution par méthode graphique..……………....…………….10

Solution de l'équation de module………………...…………………………….11

Partie pratique…………………...……………………………………12

Conclusion………………………………………………………………………………….19

Références……………………………………………………………20

Introduction.

J'ai choisi ce sujet car il fait partie intégrante du cours d'algèbre scolaire. En préparant ce travail, je me suis fixé pour objectif une étude plus approfondie de ce sujet, en identifiant la solution la plus rationnelle qui mène rapidement à une réponse. Mon essai aidera d'autres étudiants à comprendre l'utilisation de la méthode graphique pour résoudre des équations avec paramètres, à découvrir l'origine et le développement de cette méthode.

Dans la vie moderne, l'étude de nombreux processus physiques et modèles géométriques conduit souvent à résoudre des problèmes liés aux paramètres.

Pour résoudre de telles équations, la méthode graphique est très efficace lorsqu'il est nécessaire de déterminer le nombre de racines de l'équation en fonction du paramètre α.

Les problèmes avec des paramètres ont un intérêt purement mathématique, contribuent au développement intellectuel des étudiants et constituent un bon matériel pour mettre en pratique les compétences. Ils ont une valeur diagnostique, car ils peuvent être utilisés pour tester les connaissances des principales branches des mathématiques, le niveau de pensée mathématique et logique, les compétences initiales en recherche et les opportunités prometteuses pour maîtriser avec succès un cours de mathématiques dans les établissements d'enseignement supérieur.

Mon essai traite des types d'équations fréquemment rencontrés et j'espère que les connaissances que j'ai acquises au cours du travail m'aideront à réussir les examens scolaires, caréquations avec paramètressont à juste titre considérés comme l'un des problèmes les plus difficiles des mathématiques scolaires. Ce sont précisément ces tâches qui sont incluses dans la liste des tâches de l'examen d'État unifié.

Histoire de l'émergence des équations avec un paramètre

Des problèmes sur les équations avec un paramètre ont déjà été rencontrés dans le traité d'astronomie « Aryabhattiam », compilé en 499 par le mathématicien et astronome indien Aryabhatta. Un autre scientifique indien, Brahmagupta (VIIe siècle), a esquissé une règle générale pour résoudre des équations quadratiques réduites à une seule forme canonique :

αх 2 + bx = c, α>0

Les coefficients de l'équation, à l'exception du paramètre, peut aussi être négatif.

Équations quadratiques par al-Khwarizmi.

Le traité algébrique d'Al-Khorezmi donne une classification des équations linéaires et quadratiques de paramètre a. L'auteur dénombre 6 types d'équations, les exprimant ainsi :

1) « Les carrés sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 = boîte.

2) « Les carrés sont égaux aux nombres », c'est-à-dire αx 2 = c.

3) « Les racines sont égales au nombre », c'est-à-dire αx = c.

4) « Les carrés et les nombres sont égaux aux racines », c'est-à-dire αx 2 + c = bx.

5) « Les carrés et les racines sont égaux au nombre », c'est-à-dire αx 2 + bx = c.

6) « Les racines et les nombres sont égaux aux carrés », c'est-à-dire bx + c = αx 2 .

Les formules permettant de résoudre les équations quadratiques selon al-Khwarizmi en Europe ont été présentées pour la première fois dans le « Livre du Boulier », écrit en 1202 par le mathématicien italien Leonardo Fibonacci.

La dérivation de la formule pour résoudre une équation quadratique avec un paramètre sous forme générale est disponible auprès de Vieta, mais Vieta n'a reconnu que les racines positives. Les mathématiciens italiens Tartaglia, Cardano, Bombelli furent parmi les premiers au XIIe siècle. En plus des racines positives, les racines négatives sont également prises en compte. Seulement au 17ème siècle. Grâce aux travaux de Girard, Descartes, Newton et d'autres scientifiques, la méthode de résolution des équations quadratiques a pris sa forme moderne.

Théorème de Vieta

Un théorème exprimant la relation entre les paramètres, les coefficients d'une équation quadratique et ses racines, du nom de Vieta, fut formulé pour la première fois par lui en 1591 comme suit : « Si b + d multiplié par α moins α 2 , est égal à bc, alors α est égal à b et égal à d.

Pour comprendre Vieta, il faut se rappeler que α, comme toute voyelle, signifiait l'inconnu (notre x), tandis que les voyelles b, d sont des coefficients pour l'inconnu. Dans le langage de l'algèbre moderne, la formulation Vieta ci-dessus signifie :

S'il y a

(α + b)x - x 2 = αb,

Autrement dit, x 2 - (α -b)x + αb =0,

alors x 1 = α, x 2 = b.

En exprimant la relation entre les racines et les coefficients des équations par des formules générales écrites à l'aide de symboles, Vieta a établi l'uniformité des méthodes de résolution des équations. Cependant, la symbolique du Viet est encore loin de sa forme moderne. Il ne reconnaissait pas les nombres négatifs et, par conséquent, lors de la résolution d'équations, il ne considérait que les cas où toutes les racines étaient positives.

Concepts de base

Paramètre - une variable indépendante dont la valeur est considérée comme un nombre fixe ou arbitraire, ou un nombre appartenant à l'intervalle spécifié par la condition du problème.

Équation avec paramètre— mathématiquel'équation, dont l'apparence et la solution dépendent des valeurs d'un ou plusieurs paramètres.

Décider équation avec des moyennes de paramètres pour chaque valeurtrouver les valeurs de x qui satisfont cette équation, et aussi :

1. 1. Recherchez à quelles valeurs des paramètres l'équation a des racines et combien il y en a pour différentes valeurs des paramètres.
2. 2. Trouvez toutes les expressions pour les racines et indiquez pour chacune d'elles les valeurs des paramètres pour lesquelles cette expression détermine réellement la racine de l'équation.

Considérons l'équation α(x+k)= α +c, où α, c, k, x sont des quantités variables.

Système valeurs acceptables variables α, c, k, xest tout système de valeurs variables dans lequel les côtés gauche et droit de cette équation prennent des valeurs réelles.

Soit A l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de α, K l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de k, X l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de x, C l'ensemble de toutes les valeurs admissibles de c. Si pour chacun des ensembles A, K, C, X nous sélectionnons et fixons, respectivement, une valeur α, k, c et les substituons dans l'équation, alors nous obtenons une équation pour x, c'est-à-dire équation à une inconnue.

Les variables α, k, c, qui sont considérées comme constantes lors de la résolution d'une équation, sont appelées paramètres, et l'équation elle-même est appelée une équation contenant des paramètres.

Les paramètres sont désignés par les premières lettres de l'alphabet latin : α, b, c, d, ..., k, l, m, n, et les inconnues sont désignées par les lettres x, y, z.

Deux équations contenant les mêmes paramètres sont appeléeséquivalent si :

a) ils ont un sens pour les mêmes valeurs de paramètres ;

b) toute solution de la première équation est une solution de la seconde et vice versa.

Types d'équations avec paramètres

Les équations avec paramètres sont : linéaires et carré.

1) Équation linéaire. Forme générale:

α x = b, où x est inconnu ;α, b - paramètres.

Pour cette équation, la valeur spéciale ou de contrôle du paramètre est celle à laquelle le coefficient de l'inconnue devient nul.

Lors de la résolution d'une équation linéaire avec un paramètre, les cas sont pris en compte lorsque le paramètre est égal à sa valeur spéciale et différent de celle-ci.

Une valeur spéciale du paramètre α est la valeurα = 0.

1.Si, et ≠0, alors pour toute paire de paramètresα et b il a une solution unique x = .

2.Si, et =0, alors l'équation prend la forme :0 x = b . Dans ce cas la valeur b = 0 est une valeur de paramètre spécial b.

2.1. À b ≠ 0 l'équation n'a pas de solution.

2.2. À b =0 l'équation prendra la forme :0 x =0.

La solution de cette équation est n’importe quel nombre réel.

Équation quadratique avec paramètre.

Forme générale:

α x 2 + bx + c = 0

où paramètre α ≠0, b et c - nombres arbitraires

Si α =1, alors l’équation est appelée équation quadratique réduite.

Les racines d'une équation quadratique se trouvent à l'aide des formules

Expression D = b 2 - 4 αc est appelé discriminant.

1. Si D> 0, l'équation a deux racines différentes.

2. Si D< 0 — уравнение не имеет корней.

3. Si D = 0, l'équation a deux racines égales.

Méthodes de résolution d'équations avec un paramètre :

1. Analytique - une méthode de solution directe, répétant des procédures standard pour trouver la réponse dans une équation sans paramètres.
2. Graphique - en fonction des conditions du problème, la position du graphique de la fonction quadratique correspondante dans le système de coordonnées est prise en compte.

Méthode analytique

Algorithme de solution :

1. Avant de commencer à résoudre un problème avec des paramètres à l'aide de la méthode analytique, vous devez comprendre la situation pour une valeur numérique spécifique du paramètre. Par exemple, prenons la valeur du paramètre α =1 et répondez à la question : la valeur du paramètre α =1 est-elle requise pour cette tâche.

Exemple 1. Résoudre relativement X équation linéaire avec paramètre m:

D'après la signification du problème (m-1)(x+3) = 0, soit m= 1, x = -3.

En multipliant les deux côtés de l'équation par (m-1)(x+3), on obtient l'équation

On a

Donc à m= 2,25.

Nous devons maintenant vérifier s'il existe des valeurs de m pour lesquelles

la valeur de x trouvée est -3.

en résolvant cette équation, nous trouvons que x est égal à -3 avec m = -0,4.

Réponse : avec m=1, m =2,25.

Méthode graphique. Histoire d'origine

L'étude des dépendances communes débute au XIVe siècle. La science médiévale était scolastique. Avec cette nature, il n'y avait plus de place pour l'étude des dépendances quantitatives ; il s'agissait uniquement des qualités des objets et de leurs connexions les uns avec les autres. Mais parmi les scolastiques est née une école qui soutenait que les qualités peuvent être plus ou moins intenses (le vêtement d'une personne tombée dans une rivière est plus mouillé que celui de quelqu'un qui vient d'être surpris sous la pluie).

Le scientifique français Nikolai Oresme a commencé à représenter l'intensité avec la longueur des segments. Lorsqu'il plaçait ces segments perpendiculairement à une certaine ligne droite, leurs extrémités formaient une ligne, qu'il appelait la « ligne d'intensité » ou la « ligne du bord supérieur » (le graphique de la dépendance fonctionnelle correspondante qu'Oresme a même étudié « planaire »). » et des qualités « physiques », c'est-à-dire des fonctions, dépendant de deux ou trois variables.

La réalisation importante d'Oresme fut sa tentative de classifier les graphiques résultants. Il a identifié trois types de qualités : Uniforme (à intensité constante), uniforme-inégale (avec un taux de changement d'intensité constant) et inégale-inégale (toutes les autres), ainsi que les propriétés caractéristiques des graphiques de ces qualités.

Pour créer un appareil mathématique permettant d'étudier les graphiques de fonctions, le concept de variable était nécessaire. Ce concept a été introduit dans la science par le philosophe et mathématicien français René Descartes (1596-1650). C'est Descartes qui a eu l'idée de l'unité de l'algèbre et de la géométrie et du rôle des variables ; Descartes a introduit un segment unitaire fixe et a commencé à considérer les relations des autres segments avec celui-ci.

Ainsi, les graphiques de fonctions sur toute la période de leur existence ont subi un certain nombre de transformations fondamentales, qui les ont conduits à la forme à laquelle nous sommes habitués. Chaque étape ou étape du développement des graphes de fonctions fait partie intégrante de l'histoire de l'algèbre et de la géométrie modernes.

La méthode graphique permettant de déterminer le nombre de racines d'une équation en fonction du paramètre qu'elle contient est plus pratique que la méthode analytique.

Algorithme de résolution par méthode graphique

Graphique d'une fonction - un ensemble de points auxquelsabscissesont des valeurs d'argument valides, UN ordonnées- valeurs correspondantesles fonctions.

Algorithme de résolution graphique d'équations avec un paramètre :

1. Trouvez le domaine de définition de l'équation.
2. On exprime α en fonction de x.
3. Dans le système de coordonnées, nous construisons un graphique de la fonctionα (x) pour les valeurs de x qui sont incluses dans le domaine de définition de cette équation.
4. Trouver les points d'intersection d'une ligneα =с, avec le graphique de la fonction

α(x). Si la droite α =с traverse le graphiqueα (x), puis on détermine les abscisses des points d'intersection. Pour ce faire, il suffit de résoudre l'équation c = α (x) par rapport à x.

1. Écrivez la réponse

Résolution d'équations avec module

Lors de la résolution graphique d'équations avec un module contenant un paramètre, il est nécessaire de construire des graphiques de fonctions et de considérer tous les cas possibles pour différentes valeurs du paramètre.

Par exemple, │х│= une,

Réponse : si un < 0, то нет корней, a > 0, alors x = a, x = - a, si a = 0, alors x = 0.

Résolution de problème.

Problème 1. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| | X | - 2 | =un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | | X | - 2 | et y = un . Graphique de la fonction y = | | X | - 2 | montré sur la figure.

Graphique de la fonction y =α a = 0).

Sur le graphique, on peut voir que :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | deux points communs ; cela signifie que l'équation originale a deux racines (dans ce cas, les racines peuvent être trouvées : x 1,2 = + 2).
Si 0< a < 2, то прямая y = α a avec le graphique de la fonction y = | | X | - 2 | quatre points communs et, par conséquent, l’équation originale a quatre racines.
Si un = 2, alors la droite y = 2 a trois points communs avec le graphique de la fonction. L’équation originale a alors trois racines.
Si a > 2, alors droite y = a aura deux points avec le graphique de la fonction originale, c'est-à-dire que cette équation aura deux racines.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 2, alors il y a deux racines ;
si a = 2, alors il y a trois racines ;
si 0< a < 2, то четыре корня.

Problème 2. Combien de racines l’équation a-t-elle ?| x2 - 2| X | - 3 | =un en fonction du paramètre un?

Solution. Dans le système de coordonnées (x; y), nous construirons des graphiques des fonctions y = | X 2 - 2| X | - 3 | et y = une.

Graphique de la fonction y = | X 2 - 2| X | - 3 | montré sur la figure. Graphique de la fonction y =α est une droite parallèle à Ox ou coïncidant avec lui (quand une = 0).

Sur le graphique, vous pouvez voir :

Si a = 0, alors la droite y = a coïncide avec l'axe Ox et a le graphique de la fonction y = | x2 - 2| X | - 3 | deux points communs, ainsi que la droite y = un aura avec le graphique de la fonction y = | X 2 - 2| X | - 3 | deux points communs à a > 4. Donc, pour a = 0 et a > 4 l'équation originale a deux racines.
Si 0< un< 3, то прямая y = a a avec le graphique de la fonction y = | X 2 - 2| X | - 3 | quatre points communs, ainsi que la droite y= un aura quatre points communs avec le graphe de la fonction construite à a = 4. Donc, à 0< a < 3, a = 4 l'équation originale a quatre racines.
Si a = 3, puis droite y = a coupe le graphique d'une fonction en cinq points ; l’équation a donc cinq racines.
Si 3< un< 4, прямая y = α coupe le graphique de la fonction construite en six points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation d'origine a six racines.
Si un < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = α ne coupe pas le graphique de la fonction y = | X 2 - 2| X | - 3 |.

Réponse : si un < 0, то корней нет;
si a = 0, a > 4, alors il y a deux racines ;
si 0< a < 3, a = 4, alors il y a quatre racines ;

si un = 3, puis cinq racines ;
si 3< a < 4, то шесть корней.

Problème 3. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

en fonction du paramètre un?

Solution. Construisons un graphique de la fonction dans le système de coordonnées (x; y)

mais présentons-le d'abord sous la forme :

Les droites x = 1, y = 1 sont des asymptotes du graphique de la fonction. Graphique de la fonction y = | X | + un obtenu à partir du graphique de la fonction y = | X | déplacement d'unités a le long de l'axe Oy.

Graphiques de fonctions se croisent en un point à un > - 1 ; Cela signifie que l'équation (1) pour ces valeurs de paramètres a une solution.

Lorsque a = - 1, a = - 2 graphiques se coupent en deux points ; Cela signifie que pour ces valeurs de paramètres, l'équation (1) a deux racines.
À 2 heures< un< - 1, a < - 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

Réponse : si un > - 1, puis une solution ;
si a = - 1, a = - 2, alors il y a deux solutions ;
si - 2< a < - 1, a < - 1, то три решения.

Commentaire. Lors de la résolution de l'équation du problème, une attention particulière doit être accordée au cas où un = - 2, puisque le point (- 1 ; - 1) n'appartient pas au graphe de la fonctionmais appartient au graphe de la fonction y = | X | + un.

Problème 4. Combien de racines l’équation a-t-elle ?

x + 2 = une | x-1 |

en fonction du paramètre un?

Solution. Notez que x = 1 n'est pas une racine de cette équation, puisque l'égalité 3 = un 0 ne peut pas être vrai pour aucune valeur de paramètre un . Divisons les deux côtés de l'équation par | x-1 |(| x-1 |0), alors l’équation prend la formeDans le système de coordonnées xOy nous tracerons la fonction

Le graphique de cette fonction est présenté sur la figure. Graphique de la fonction y = un est une droite parallèle à l'axe Ox ou coïncidant avec lui (si une = 0).

Les équations avec paramètres sont à juste titre considérées comme l'un des problèmes les plus difficiles en mathématiques scolaires. Ce sont précisément ces tâches qui se retrouvent année après année sur la liste des tâches de type B et C de l'examen d'État unifié de l'examen d'État unifié. Cependant, parmi le grand nombre d'équations avec paramètres, il existe celles qui peuvent facilement être résolues graphiquement. Considérons cette méthode en utilisant l'exemple de la résolution de plusieurs problèmes.

Trouver la somme des valeurs entières du nombre a pour laquelle l'équation |x 2 – 2x – 3| = a a quatre racines.

Solution.

Pour répondre à la question du problème, construisons des graphiques de fonctions sur un plan de coordonnées

y = |x 2 – 2x – 3| et y = une.

Graphique de la première fonction y = |x 2 – 2x – 3| sera obtenu à partir du graphique de la parabole y = x 2 – 2x – 3 en affichant symétriquement par rapport à l'axe des x la partie du graphique qui est en dessous de l'axe Ox. La partie du graphique située au-dessus de l'axe des x restera inchangée.

Faisons-le étape par étape. Le graphique de la fonction y = x 2 – 2x – 3 est une parabole dont les branches sont dirigées vers le haut. Pour construire son graphe, on trouve les coordonnées du sommet. Cela peut être fait en utilisant la formule x 0 = -b/2a. Ainsi, x 0 = 2/2 = 1. Pour trouver la coordonnée du sommet de la parabole le long de l'axe des ordonnées, nous substituons la valeur résultante de x 0 dans l'équation de la fonction en question. On obtient que y 0 = 1 – 2 – 3 = -4. Cela signifie que le sommet de la parabole a les coordonnées (1 ; -4).

Ensuite, vous devez trouver les points d'intersection des branches de la parabole avec les axes de coordonnées. Aux points d'intersection des branches de la parabole avec l'axe des abscisses, la valeur de la fonction est nulle. Par conséquent, nous résolvons l’équation quadratique x 2 – 2x – 3 = 0. Ses racines seront les points requis. D’après le théorème de Vieta, nous avons x 1 = -1, x 2 = 3.

Aux points d'intersection des branches de la parabole avec l'axe des ordonnées, la valeur de l'argument est nulle. Ainsi, le point y = -3 est le point d'intersection des branches de la parabole avec l'axe y. Le graphique résultant est présenté à la figure 1.

Pour obtenir un graphique de la fonction y = |x 2 – 2x – 3|, affichons la partie du graphique située sous l'axe des x symétriquement par rapport à l'axe des x. Le graphique résultant est présenté à la figure 2.

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe des abscisses. Il est représenté sur la figure 3. En utilisant la figure, nous constatons que les graphiques ont quatre points communs (et l'équation a quatre racines) si a appartient à l'intervalle (0 ; 4).

Valeurs entières du nombre a de l'intervalle résultant : 1 ; 2 ; 3. Pour répondre à la question du problème, trouvons la somme de ces nombres : 1 + 2 + 3 = 6.

Réponse : 6.

Trouver la moyenne arithmétique des valeurs entières du nombre a pour lequel l'équation |x 2 – 4|x| – 1| = a a six racines.

Commençons par tracer la fonction y = |x 2 – 4|x| – 1|. Pour ce faire, on utilise l'égalité a 2 = |a| 2 et sélectionnez le carré complet dans l'expression sous-modulaire écrite à droite de la fonction :

x2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 – 4|x| + 4) – 1 – 4 = (|x |– 2) 2 – 5.

Alors la fonction originale aura la forme y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Pour construire un graphique de cette fonction, nous construisons des graphiques séquentiels de fonctions :

1) y = (x – 2) 2 – 5 – parabole dont le sommet est au point de coordonnées (2 ; -5) ; (Fig. 1).

2) y = (|x| – 2) 2 – 5 – une partie de la parabole construite à l'étape 1, qui est située à droite de l'axe des ordonnées, est affichée symétriquement à gauche de l'axe Oy ; (Fig.2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| – la partie du graphique construite au point 2, qui se situe en dessous de l'axe des x, est affichée symétriquement par rapport à l'axe des x vers le haut. (Fig. 3).

Regardons les dessins résultants :

Le graphique de la fonction y = a est une droite parallèle à l'axe des abscisses.

A l'aide de la figure, nous concluons que les graphiques de fonctions ont six points communs (l'équation a six racines) si a appartient à l'intervalle (1 ; 5).

Cela peut être vu dans la figure suivante :

Trouvons la moyenne arithmétique des valeurs entières du paramètre a :

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Réponse : 3.

blog.site, lors de la copie totale ou partielle du matériel, un lien vers la source originale est requis.

2. Détermination des paramètres de distribution inconnus.

À l’aide d’un histogramme, nous pouvons tracer approximativement la densité de distribution d’une variable aléatoire. L'apparition de ce graphique nous permet souvent de faire une hypothèse sur la distribution de densité de probabilité d'une variable aléatoire. L'expression de cette densité de distribution inclut généralement certains paramètres qui doivent être déterminés à partir de données expérimentales.
Arrêtons-nous sur le cas particulier où la densité de distribution dépend de deux paramètres.
Alors laisse x 1 , x 2 , ..., x n- valeurs observées d'une variable aléatoire continue, et laisser sa densité de distribution de probabilité dépendre de deux paramètres inconnus UN Et B, c'est à dire. ressemble à . Une des méthodes pour trouver des paramètres inconnus UN Et B est qu'ils sont choisis de telle manière que l'espérance mathématique et la variance de la distribution théorique coïncident avec les moyennes et la variance de l'échantillon :

(66)

(67)

A partir des deux équations obtenues (), on trouve les paramètres inconnus UN Et B. Ainsi, par exemple, si une variable aléatoire obéit à la loi normale de distribution de probabilité, alors sa densité de distribution de probabilité

dépend de deux paramètres un Et . Ces paramètres, comme nous le savons, sont respectivement l'espérance mathématique et l'écart type d'une variable aléatoire ; donc les égalités() s'écriront ainsi :

Par conséquent, la densité de distribution de probabilité a la forme

Note 1. Nous avons déjà résolu ce problème dans . Le résultat de la mesure est une variable aléatoire qui obéit à la loi de distribution normale avec des paramètres un Et . Pour une valeur approximative un nous avons choisi la valeur , et pour la valeur approximative - la valeur .

Note 2. Avec un grand nombre d'expériences, trouver des quantités et utiliser des formules () est associé à des calculs fastidieux. Par conséquent, ils font ceci : chacune des valeurs observées de la quantité , tombant dans jeème intervalle ] X je-1 , X je [ série statistique, est considérée comme approximativement égale au milieu c je cet intervalle, c'est-à-dire c je = (X je-1 +X je)/2. Considérons le premier intervalle ] X 0 , X 1 [. Ça l'a frappé m1 valeurs observées de la variable aléatoire, chacune d'entre elles étant remplacée par un nombre À partir de 1. La somme de ces valeurs est donc approximativement égale à m 1 s 1. De même, la somme des valeurs entrant dans le deuxième intervalle est approximativement égale à m 2 avec 2 etc. C'est pourquoi

De la même manière, nous obtenons l'égalité approximative

Alors montrons que

(71)