Un exemple de résolution de certaines tâches de l'ouvrage standard « Géométrie analytique sur un plan »
Les sommets sont donnés, 
,
triangle ABC. Trouver:
Équations de tous les côtés d’un triangle ;
Système d'inégalités linéaires définissant un triangle abc;
Equations d'altitude, médiane et bissectrice d'un triangle tiré du sommet UN;
Le point d'intersection des altitudes du triangle ;
Le point d'intersection des médianes du triangle ;
Longueur de la hauteur abaissée sur le côté UN B;
Coin UN;
Faites un dessin.
Soit les sommets du triangle avoir pour coordonnées : UN (1; 4), DANS (5; 3), AVEC(3 ; 6). Faisons un dessin tout de suite :
1. Pour écrire les équations de tous les côtés d'un triangle, on utilise l'équation d'une droite passant par deux points donnés de coordonnées ( X 0 , oui 0 ) Et ( X 1 , oui 1 ):
=
Ainsi, en remplaçant au lieu de ( X 0 , oui 0 ) coordonnées des points UN, et au lieu de ( X 1 , oui 1 ) coordonnées des points DANS, on obtient l'équation de la droite UN B:
L'équation résultante sera l'équation de la droite UN B, écrit sous forme générale. De même, on retrouve l'équation de la droite CA:
Et aussi l'équation de la droite Soleil:
2. Notez que l'ensemble des points du triangle abc représente l'intersection de trois demi-plans, et chaque demi-plan peut être défini à l'aide d'une inégalité linéaire. Si nous prenons l’équation de chaque côté ∆ abc, Par exemple UN B, alors les inégalités
Et 
définir des points situés sur les côtés opposés d'une ligne UN B. Nous devons choisir le demi-plan où se trouve le point C. Remplaçons ses coordonnées dans les deux inégalités :
La deuxième inégalité sera correcte, ce qui signifie que les points requis sont déterminés par l'inégalité
.
On fait de même avec la droite BC, son équation 
. Nous utilisons le point A (1, 1) comme point de test :
Cela signifie que l’inégalité recherchée a la forme :
.
Si l’on vérifie la droite AC (point test B), on obtient :
Cela signifie que l'inégalité requise aura la forme
On obtient finalement un système d'inégalités :
Les signes « ≤ », « ≥ » signifient que les points situés sur les côtés du triangle sont également inclus dans l'ensemble des points qui composent le triangle abc.
3. a) Afin de trouver l’équation de la hauteur tombée du sommet UN sur le côté Soleil, considérons l'équation du côté Soleil:
. Vecteur avec coordonnées 
perpendiculaire au côté Soleil et donc parallèle à la hauteur. Écrivons l'équation d'une droite passant par un point UN parallèle au vecteur 
:
C'est l'équation de la hauteur omise de t. UN sur le côté Soleil.
b) Trouver les coordonnées du milieu du côté Soleil selon les formules : 
Ici 
– ce sont les coordonnées de t. DANS, UN 
– coordonne t. AVEC. Remplaçons et obtenons :
La droite passant par ce point et le point UN est la médiane souhaitée :
c) Nous chercherons l'équation de la bissectrice basée sur le fait que dans un triangle isocèle la hauteur, la médiane et la bissectrice descendant d'un sommet à la base du triangle sont égales. Trouvons deux vecteurs 
Et 
et leurs longueurs :
Alors le vecteur 
a la même direction que le vecteur 
, et sa longueur 
De même, le vecteur unitaire 
coïncide en direction avec le vecteur 
Somme vectorielle
est un vecteur dont la direction coïncide avec la bissectrice de l'angle UN. Ainsi, l’équation de la bissectrice souhaitée peut s’écrire :
4) Nous avons déjà construit l'équation pour l'une des hauteurs. Construisons une équation pour une autre hauteur, par exemple à partir du sommet DANS. Côté CA donné par l'équation 
Donc le vecteur 
perpendiculaire CA, et donc parallèle à la hauteur souhaitée. Alors l'équation de la droite passant par le sommet DANS dans la direction du vecteur 
(c'est-à-dire perpendiculaire CA), a la forme :
On sait que les altitudes d’un triangle se coupent en un point. En particulier, ce point est l'intersection des hauteurs trouvées, c'est-à-dire résoudre le système d'équations :
- les coordonnées de ce point.
5. Milieu UN B a des coordonnées 
. Écrivons l'équation de la médiane à côté UN B. Cette droite passe par des points de coordonnées (3, 2) et (3, 6), ce qui signifie que son équation a la forme :
Notez qu'un zéro au dénominateur d'une fraction dans l'équation d'une droite signifie que cette droite est parallèle à l'axe des ordonnées.
Pour trouver le point d'intersection des médianes, il suffit de résoudre le système d'équations :
Le point d'intersection des médianes d'un triangle a pour coordonnées 
.
6. Longueur de hauteur abaissée sur le côté UN B,égale à la distance du point AVECà une ligne droite UN B avec équation 
et se trouve par la formule :
7. Cosinus de l'angle UN peut être trouvé en utilisant la formule du cosinus de l'angle entre les vecteurs 
Et 
, qui est égal au rapport du produit scalaire de ces vecteurs au produit de leurs longueurs :
.
1. Équation des côtés AB et BC et leurs coefficients angulaires.
L'affectation donne les coordonnées des points par lesquels passent ces lignes, nous utiliserons donc l'équation d'une droite passant par deux points donnés $$\frac(x-x_1)(x_2-x_1)=\frac(y-y_1) (y_2-y_1)$ $ remplacez et obtenez les équations
équation de la droite AB $$\frac(x+6)(6+6)=\frac(y-8)(-1-8) => y = -\frac(3)(4)x + \frac( 7 )(2)$$ la pente de la droite AB est égale à \(k_(AB) = -\frac(3)(4)\)
équation de la droite BC $$\frac(x-4)(6-4)=\frac(y-13)(-1-13) => y = -7x + 41$$ la pente de la droite BC est égale à \ (k_( BC) = -7\)
2. Angle B en radians avec une précision de deux chiffres
L'angle B est l'angle entre les lignes AB et BC, qui est calculé par la formule $$tg\phi=|\frac(k_2-k_1)(1+k_2*k_1)|$$substituer les valeurs des coefficients angulaires de ces lignes et obtenez $$tg\ phi=|\frac(-7+\frac(3)(4))(1+7*\frac(3)(4))| = 1 => \phi = \frac(\pi)(4) \environ 0,79$$
3. Longueur du côté AB
La longueur du côté AB est calculée comme la distance entre les points et est égale à \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\) => $$d_(AB) = \sqrt((6+ 6)^2+(-1-8)^2) = 15$$
4. Équation de la hauteur du CD et de sa longueur.
On trouvera l'équation de la hauteur en utilisant la formule d'une droite passant par un point donné C(4;13) dans une direction donnée - perpendiculaire à la droite AB en utilisant la formule \(y-y_0=k(x-x_0) \). Trouvons le coefficient angulaire de hauteur \(k_(CD)\) en utilisant la propriété des lignes perpendiculaires \(k_1=-\frac(1)(k_2)\) nous obtenons $$k_(CD)= -\frac(1 )(k_(AB) ) = -\frac(1)(-\frac(3)(4)) = \frac(4)(3)$$ On substitue une ligne droite dans l'équation, on obtient $$y - 13 = \frac(4)(3) (x-4) => y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)$$ On cherchera la longueur de la hauteur comme la distance du point C(4;13) à la droite AB en utilisant la formule $$d = \frac(Ax_0+By_0+C)(\sqrt(A^2+B^2))$$ au numérateur est l'équation de la droite AB, réduisons-la à cette forme \(y = -\frac(3)(4)x + \frac(7)(2) => 4y+3x-14 = 0\) , substituons le résultat équation et les coordonnées du point dans la formule $$d = \frac(4*13+3*4-14 )(\sqrt( 4^2+3^2)) = \frac(50)(5) = 10$$
5. Équation de la médiane AE et des coordonnées du point K, l'intersection de cette médiane avec la hauteur CD.
Nous chercherons l'équation de la médiane comme l'équation d'une droite passant par deux points donnés A(-6;8) et E, où le point E est le milieu entre les points B et C et ses coordonnées se trouvent selon le la formule \(E(\frac(x_2+x_1) (2);\frac(y_2+y_1)(2))\) remplace les coordonnées des points \(E(\frac(6+4)(2); \frac(-1+13)(2))\) = > \(E(5; 6)\), alors l'équation de l'AE médiane sera la suivante $$\frac(x+6)(5+ 6)=\frac(y-8)(6-8) => y = - \frac(2)(11)x + \frac(76)(11)$$Trouvons les coordonnées du point d'intersection de les hauteurs et le terre-plein, c'est-à-dire trouvons leur point commun. Pour ce faire, nous allons créer une équation système $$\begin(cases)y = -\frac(2)(11)x + \frac(76)(11)\\y = \frac (4)(3)x+ \frac(23)(3)\end(cases)=>\begin(cases)11y = -2x +76\\3y = 4x+23\end(cases)=>$$$ $\begin(cases)22y = -4x +152\\3y = 4x+23\end(cases)=> \begin(cases)25y =175\\3y = 4x+23\end(cases)=> $$ $$\begin(cases) y =7\\ x=-\frac(1)(2)\end(cases)$$ Coordonnées du point d'intersection \(K(-\frac(1)(2);7 )\)
6. L'équation d'une droite qui passe par le point K parallèle au côté AB.
Si la droite est parallèle, alors leurs coefficients angulaires sont égaux, c'est-à-dire \(k_(AB)=k_(K) = -\frac(3)(4)\), les coordonnées du point \(K(-\frac(1)(2);7)\) sont également connues , c'est à dire. . pour trouver l'équation d'une droite, on applique la formule de l'équation d'une droite passant par un point donné dans une direction donnée \(y - y_0=k(x-x_0)\), on remplace les données et on obtient $ $y - 7= -\frac(3)(4) (x-\frac(1)(2)) => y = -\frac(3)(4)x + \frac(53)(8)$ $
8. Coordonnées du point M qui est symétrique au point A par rapport à la droite CD.
Le point M se trouve sur la ligne AB, car CD est la hauteur de ce côté. Trouvons le point d'intersection de CD et AB ; pour ce faire, résolvons le système d'équations $$\begin(cases)y = \frac(4)(3)x+\frac(23)(3)\\y = - \frac(3)(4) x + \frac(7)(2)\end(cases) =>\begin(cases)3y = 4x+23\\4y =-3x + 14\end(cases) => $$$$\begin(cases)12y = 16x+92\\12y =-9x + 42\end(cases) =>
\begin(cases)0= 25x+50\\12y =-9x + 42\end(cases) => $$$$\begin(cases)x=-2\\y=5 \end(cases)$$ Coordonnées du point D(-2;5). D'après la condition AD=DK, cette distance entre les points est trouvée par la formule de Pythagore \(d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2)\), où AD et DK sont les hypoténuses de triangles rectangles égaux, et \(Δx =x_2-x_1\) et \(Δy=y_2-y_1\) sont les jambes de ces triangles, c'est-à-dire trouvons les jambes et trouvons les coordonnées du point M. \(Δx=x_D-x_A = -2+6=4\), et \(Δy=y_D-y_A = 5-8=-3\), puis les coordonnées du point M sera égal à \(x_M-x_D = Δx => x_D +Δx =-2+4=2 \), et \(y_M-y_D = Δy => y_D +Δy =5-3=2 \), nous avons constaté que les coordonnées du point \( M(2;2)\)
1. Étant donné les sommets d'un triangle abc.UN(–9; –2), DANS(3; 7), AVEC(1; –7).
1) longueur du côté UN B;
2) équations des côtés UN B Et CA et leurs coefficients angulaires ;
3) angle UN en radians ;
4) équation de hauteur AVECD et sa longueur ;
5) l'équation d'un cercle dont la hauteur AVECD il y a un diamètre ;
6) un système d'inégalités linéaires définissant un triangle abc.
Solution. Faisons un dessin.
1. Trouvons la longueur du côté AB. La distance entre deux points est déterminée par la formule
2. Trouvons les équations des côtésUN B EtCA et leurs coefficients angulaires.
Écrivons l'équation d'une droite passant par deux points.
C'est l'équation générale d'une droite. Résolvons-le par rapport à y, nous obtenons
, la pente de la droite est égale à 
De même pour le côté AC nous avons.
la pente de la droite est égale à 
3. Nous trouveronscoinUN
en radians.
C'est l'angle entre deux vecteurs 
Et 
. Notons les coordonnées des vecteurs. Le cosinus de l'angle entre les vecteurs est égal à
4. Nous trouveronséquation de hauteurAVEC
D
et sa longueur.
, donc leurs coefficients angulaires sont liés par la relation 
.
Écrivons l'équation de la hauteur via le coefficient angulaire
Point 
appartient à la droite CD, donc ses coordonnées satisfont à l'équation de la droite, on a donc 
Enfin 
ou
Nous calculons la longueur de la hauteur comme la distance du point C à la droite AB
5. Trouvons l'équation d'un cercle, pour quelle hauteurAVEC D il y a un diamètre.
On retrouve les coordonnées du point D comme point d'intersection de deux droites AB et CD dont les équations sont connues.
Trouvons les coordonnées du point O - le centre du cercle. Nous sommes au milieu de la section CD.
Le rayon du cercle est 
Écrivons l'équation d'un cercle.
6) Définissons un triangleabc système d’inégalités linéaires.
Trouvons l'équation de la droite CB.
Le système d'inégalités linéaires ressemblera à ceci.
2. Résolvez ce système d'équations en utilisant les formules de Cramer. Vérifiez la solution obtenue.
Solution. Calculons le déterminant de ce système :
.
Trouvons les déterminants 
et résolvez le système :
Examen:
Répondre:
3. Écrivez le système d’équations sous forme matricielle et résolvez-le en utilisant
matrice inverse. Vérifiez la solution résultante
Solution.
Trouvons le déterminant de la matrice A
la matrice est non singulière et a un inverse. Trouvons tous les compléments algébriques et créons une matrice d'union. 
La matrice inverse a la forme : 
Faisons la multiplication 
et trouver le vecteur de solutions.
Examen
. 
Répondre: 
Solution.
N = (2, 1). Tracez une ligne de niveau perpendiculaire au vecteur normal et déplacez-la dans la direction de la normale,
La fonction objectif atteint son minimum au point A, et son maximum au point B. On trouve les coordonnées de ces points en résolvant conjointement les équations des droites à l'intersection desquelles ils se trouvent.
5. Une agence de voyage n’en demande pas plus UN des bus de trois tonnes et pas plus V
des bus de cinq tonnes. Le prix de vente des bus de la première marque est de 20 000 USD, de la deuxième marque
40 000 euros Une agence de voyages ne peut allouer plus de Avec c.u.
Combien de bus de chaque marque doivent être achetés séparément pour que leur total
La capacité de charge (totale) était maximale. Résolvez le problème graphiquement.
UN= 20 V= 18 Avec= 1000000
Solution.
Créons un modèle mathématique du problème .
Notons par 
- le nombre d'autobus de chaque tonnage qui seront achetés. Le but de l'approvisionnement est d'avoir la capacité de charge maximale des machines achetées, décrite par la fonction objectif
Les limites de la tâche sont déterminées par le nombre de bus achetés et leur coût.
Résolvons le problème graphiquement. . Nous construisons la région des solutions réalisables au problème et la normale aux lignes de niveau N = (3, 5). Tracez une ligne de niveau perpendiculaire au vecteur normal et déplacez-la dans la direction de la normale.
La fonction objectif atteint son maximum au point 
, la fonction goal prend la valeur .
Solution. 1. Le domaine de définition de la fonction est l'ensemble de l'axe numérique.
2, La fonction n'est ni paire ni impaire.
3. Lorsque x=0, y=20
4. Nous examinons la fonction pour la monotonie et les extrema.
Trouvons les zéros de la dérivée
Points stationnaires d'une fonction.
Traçons les points stationnaires sur l'axe Ox et vérifions les signes de la dérivée sur chaque section de l'axe.
–point maximum 
; 
- point minimum 
5. Nous examinons le graphique de la fonction de convexité et de concavité. Prenons la dérivée 2
Le point d'inflexion d'un graphe de fonctions.
À 
- la fonction est convexe ; à 
- la fonction est concave.
Le graphique de la fonction ressemble à
6. Trouvez la plus grande et la plus petite valeur de la fonction sur l'intervalle [-1 ; 4]
Calculons la valeur de la fonction aux extrémités du segment 
Au point minimum, la fonction prend les valeurs donc la plus petite valeur sur le segment [-1 ; 4] la fonction prend au point minimum, et le maximum à la limite gauche de l'intervalle.
7. Trouver des intégrales indéfinies et vérifier les résultats de l'intégration
différenciation.
Solution.
Examen.
Ici le produit des cosinus a été remplacé par une somme, selon des formules trigonométriques.
