Rotation d'un cube à quatre dimensions. Cybercube - le premier pas dans la quatrième dimension

L'image est une projection () d'un cube à quatre dimensions sur un espace à trois dimensions.

Une généralisation du cube aux cas à plus de 3 dimensions s'appelle hypercube ou (fr: mesurer les polytopes). Formellement, un hypercube est défini comme quatre segments égaux.

Cet article décrit principalement la dimension 4 hypercube, appelé tesseract.

Description populaire

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter notre espace tridimensionnel.

Dans « l'espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons AB de longueur L. Dans un espace bidimensionnel, à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un carré ABCD. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel ABCDHEFG. Et en déplaçant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières !) d'une distance L, on obtient un hypercube.

Le segment unidimensionnel AB sert de face au carré bidimensionnel ABCD, le carré sert de côté au cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube à quatre dimensions. Un segment de droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.

De la même manière, nous pouvons continuer notre raisonnement sur les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi cela ressemblera pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel. hypercube à quatre dimensions. Pour cela, nous utiliserons la méthode déjà familière des analogies.

Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la quatrième dimension. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. La partie qui est restée dans « notre » espace est dessinée en lignes pleines, et la partie qui est entrée dans l’hyperespace est dessinée en pointillés. L’hypercube à quatre dimensions lui-même est constitué d’un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les huit faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine, plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale.

Les propriétés du tesseract sont une continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans l'espace à 4 dimensions, présentées dans le tableau ci-dessous.

Si vous êtes un fan des films Avengers, la première chose qui vous vient à l'esprit lorsque vous entendez le mot « Tesseract » est le récipient transparent en forme de cube de la Pierre d'Infinité contenant un pouvoir illimité.

Pour les fans de l’univers Marvel, le Tesseract est un cube bleu brillant qui rend fous non seulement les gens de la Terre, mais aussi d’autres planètes. C'est pourquoi tous les Avengers se sont réunis pour protéger les Terriens des pouvoirs extrêmement destructeurs du Tesseract.

Cependant, il faut le dire : le Tesseract est un véritable concept géométrique, ou plus précisément, une forme qui existe en 4D. Ce n'est pas seulement un cube bleu des Avengers... c'est un vrai concept.

Le Tesseract est un objet en 4 dimensions. Mais avant de l’expliquer en détail, commençons par le début.

Qu’est-ce que la « mesure » ?

Tout le monde a entendu les termes 2D et 3D, représentant respectivement des objets bidimensionnels ou tridimensionnels dans l'espace. Mais quelles sont ces mesures ?

La dimension est simplement une direction que vous pouvez suivre. Par exemple, si vous tracez une ligne sur une feuille de papier, vous pouvez aller soit vers la gauche/droite (axe des x), soit vers le haut/le bas (axe des y). Nous disons donc que le papier est bidimensionnel car on ne peut aller que dans deux directions.

Il y a une impression de profondeur en 3D.

Désormais, dans le monde réel, outre les deux directions mentionnées ci-dessus (gauche/droite et haut/bas), vous pouvez également aller « vers/depuis ». Par conséquent, une impression de profondeur est ajoutée à l’espace 3D. C'est pourquoi nous disons que la vraie vie est en 3 dimensions.

Un point peut représenter 0 dimension (puisqu'il ne bouge dans aucune direction), une ligne représente 1 dimension (longueur), un carré représente 2 dimensions (longueur et largeur) et un cube représente 3 dimensions (longueur, largeur et hauteur). ).

Prenez un cube 3D et remplacez chacune de ses faces (qui sont actuellement des carrés) par un cube. Et ainsi! La forme que vous obtenez est le tesseract.

Qu'est-ce qu'un tesseract ?

En termes simples, un tesseract est un cube dans un espace à 4 dimensions. On peut aussi dire qu'il s'agit d'un analogue 4D d'un cube. Il s'agit d'une forme 4D où chaque face est un cube.

Voici une façon simple de conceptualiser les dimensions : un carré est bidimensionnel ; par conséquent, chacun de ses coins a 2 lignes qui partent de lui à un angle de 90 degrés l'une par rapport à l'autre. Le cube est en 3D, donc chacun de ses coins a 3 lignes qui en partent. De même, le tesseract est une forme 4D, donc chaque coin a 4 lignes qui en partent.

Pourquoi est-il difficile d’imaginer un tesseract ?

Puisque nous, en tant qu'humains, avons évolué pour visualiser des objets en trois dimensions, tout ce qui entre dans des dimensions supplémentaires comme 4D, 5D, 6D, etc. n'a pas beaucoup de sens pour nous car nous ne pouvons pas du tout les introduire. Notre cerveau ne peut pas comprendre la 4ème dimension dans l'espace. Nous ne pouvons tout simplement pas y penser.

Cependant, ce n’est pas parce que nous ne pouvons pas visualiser le concept d’espaces multidimensionnels qu’il ne peut pas exister.

Qu'est-ce qu'un hypercube et un espace à quatre dimensions

Notre espace habituel a trois dimensions. D'un point de vue géométrique, cela signifie que trois lignes mutuellement perpendiculaires peuvent y être indiquées. Autrement dit, pour n’importe quelle droite, vous pouvez trouver une deuxième droite perpendiculaire à la première, et pour une paire, vous pouvez trouver une troisième droite perpendiculaire aux deux premières. Il ne sera plus possible de trouver une quatrième ligne perpendiculaire aux trois existantes.

L'espace à quatre dimensions ne diffère du nôtre que par le fait qu'il comporte une direction supplémentaire. Si vous avez déjà trois lignes perpendiculaires entre elles, vous pouvez en trouver une quatrième, de telle sorte qu’elle soit perpendiculaire aux trois.

Un hypercube est simplement un cube dans un espace à quatre dimensions.
Est-il possible d’imaginer un espace à quatre dimensions et un hypercube ?

Cette question est liée à la question : « est-il possible d'imaginer la Cène en regardant le tableau du même nom (1495-1498) de Léonard de Vinci (1452-1519) ?

D'une part, bien sûr, vous n'imaginerez pas ce que Jésus a vu (il est assis face au spectateur), d'autant plus que vous ne sentirez pas le jardin par la fenêtre et ne goûterez pas la nourriture sur la table, vous n'entendrez pas les oiseaux chanter... Vous n'aurez pas une image complète de ce qui s'est passé ce soir-là, mais on ne peut pas dire que vous n'apprendrez rien de nouveau et que l'image n'a aucun intérêt.

La situation est similaire avec la question de l’hypercube. Il est impossible de l’imaginer pleinement, mais vous pouvez mieux comprendre à quoi cela ressemble.
Construction d'un hypercube
cube à 0 dimension

Commençons par le début – avec un cube à 0 dimension. Ce cube contient 0 faces mutuellement perpendiculaires, c’est-à-dire qu’il ne s’agit que d’un point.

Cube à 1 dimension

Dans un espace unidimensionnel, nous n’avons qu’une seule direction. Nous déplaçons le point dans cette direction et obtenons un segment.

Il s'agit d'un cube unidimensionnel.
cube en 2 dimensions

Nous avons une deuxième dimension, nous déplaçons notre cube (segment) unidimensionnel dans le sens de la deuxième dimension et nous obtenons un carré.

C'est un cube dans un espace à deux dimensions.
cube en 3 dimensions

Avec l'avènement de la troisième dimension, on fait de même : on déplace le carré et on obtient un cube régulier en trois dimensions.

Cube à 4 dimensions (hypercube)

Nous avons maintenant une quatrième dimension. C'est-à-dire que nous avons à notre disposition une direction perpendiculaire aux trois précédentes. Utilisons-le exactement de la même manière. Un cube à quatre dimensions ressemblera à ceci.

Naturellement, les cubes tridimensionnels et quadridimensionnels ne peuvent pas être représentés sur un plan d'écran bidimensionnel. Ce que j'ai dessiné, ce sont des projections. Nous parlerons de projections un peu plus tard, mais pour l'instant quelques faits et chiffres.
Nombre de sommets, arêtes, faces
Caractéristiques des cubes de différentes tailles
1-dimension de l'espace
2-nombre de sommets
3-nombre d'arêtes
4-nombre de visages

0 (point) 1 0 0
1 (segment) 2 1 2 (points)
2 (carré) 4 4 4 (segments)
3 (cube) 8 12 6 (carrés)
4 (hypercube) 16 32 8 (cubes)
N (formule générale) 2N N 2N-1 2 N

Veuillez noter que la face d'un hypercube est notre cube tridimensionnel ordinaire. Si vous regardez attentivement le dessin d’un hypercube, vous pouvez en réalité trouver huit cubes.
Projections et vision d'un habitant d'un espace à quatre dimensions
Quelques mots sur la vision

Nous vivons dans un monde tridimensionnel, mais nous le considérons comme bidimensionnel. Cela est dû au fait que la rétine de nos yeux est située dans un plan qui n'a que deux dimensions. C'est pourquoi nous sommes capables de percevoir des images bidimensionnelles et de les trouver similaires à la réalité. (Bien sûr, grâce à l’accommodation, l’œil peut estimer la distance jusqu’à un objet, mais il s’agit d’un effet secondaire associé à l’optique intégrée à nos yeux.)

Les yeux d'un habitant d'un espace à quatre dimensions doivent avoir une rétine à trois dimensions. Une telle créature peut voir immédiatement la totalité de la figure tridimensionnelle : tous ses visages et ses intérieurs. (De la même manière, nous pouvons voir une figure en deux dimensions, toutes ses faces et ses intérieurs.)

Ainsi, avec l’aide de nos organes de vision, nous ne sommes pas capables de percevoir un cube à quatre dimensions de la même manière que le percevrait un habitant d’un espace à quatre dimensions. Hélas. Il ne vous reste plus qu'à vous fier à votre esprit et à votre imagination, qui, heureusement, n'ont aucune limite physique.

Cependant, lorsque je représente un hypercube sur un plan, je suis simplement obligé de le projeter sur un espace bidimensionnel. Tenez compte de ce fait lors de l’étude des dessins.
Intersections de bords

Naturellement, les bords de l’hypercube ne se croisent pas. Les intersections apparaissent uniquement dans les dessins. Cependant, cela ne devrait pas surprendre, car les bords d’un cube ordinaire sur les images se croisent également.
Longueurs de bord

Il convient de noter que toutes les faces et arêtes d’un cube à quatre dimensions sont égales. Sur la figure, ils ne sont pas égaux uniquement parce qu’ils sont situés à des angles différents par rapport à la direction de vue. Cependant, il est possible de faire pivoter un hypercube pour que toutes les projections aient la même longueur.

À propos, sur cette figure, huit cubes, qui sont les faces d'un hypercube, sont clairement visibles.
L'hypercube est vide à l'intérieur

C’est difficile à croire, mais entre les cubes qui délimitent l’hypercube, il y a de l’espace (un fragment d’espace à quatre dimensions).

Pour mieux comprendre cela, regardons une projection bidimensionnelle d'un cube tridimensionnel ordinaire (je l'ai délibérément rendue quelque peu schématique).

Pouvez-vous en deviner qu’il y a de l’espace à l’intérieur du cube ? Oui, mais seulement en utilisant votre imagination. L'œil ne voit pas cet espace. Cela se produit parce que les bords situés dans la troisième dimension (qui ne peuvent pas être représentés dans un dessin à plat) se sont désormais transformés en segments situés dans le plan du dessin. Ils ne fournissent plus de volume.

Les carrés entourant l'espace du cube se chevauchaient. Mais on peut imaginer que dans la figure originale (un cube tridimensionnel) ces carrés étaient situés dans des plans différents, et non les uns sur les autres dans le même plan, comme c'est le cas sur la figure.

La situation est exactement la même avec un hypercube. Les faces des cubes d'un hypercube ne se chevauchent pas réellement, comme cela nous semble sur la projection, mais sont situées dans un espace à quatre dimensions.
Balayages

Ainsi, un résident d’un espace à quatre dimensions peut voir un objet en trois dimensions simultanément de tous les côtés. Pouvons-nous voir un cube tridimensionnel de tous les côtés en même temps ? Avec l'œil - non. Mais les gens ont trouvé un moyen de représenter simultanément toutes les faces d'un cube tridimensionnel sur un dessin plat. Une telle image s’appelle un scan.
Développement d'un cube tridimensionnel

Tout le monde sait probablement comment se forme le développement d’un cube tridimensionnel. Ce processus est montré dans l'animation.

Pour plus de clarté, les bords des faces du cube sont translucides.

Il convient de noter que nous ne pouvons percevoir cette image bidimensionnelle que grâce à notre imagination. Si l’on considère les phases qui se déroulent d’un point de vue purement bidimensionnel, le processus semblera étrange et pas du tout clair.

Cela ressemble à l'apparition progressive des contours d'abord de carrés déformés, puis à leur mise en place tout en prenant simultanément la forme souhaitée.

Si vous regardez le cube qui se déroule dans la direction d'une de ses faces (de ce point de vue, le cube ressemble à un carré), alors le processus de formation du dépli est encore moins clair. Tout ressemble à des carrés sortant du carré initial (pas au cube déplié).

Mais le scan n’est pas visuel uniquement pour les yeux. C’est grâce à votre imagination que vous pourrez en tirer de nombreuses informations.
Développement d'un cube à quatre dimensions

Il est tout simplement impossible de rendre le processus animé de déploiement d'un hypercube au moins quelque peu visuel. Mais ce processus peut être imaginé. (Pour ce faire, vous devez le regarder à travers les yeux d’un être à quatre dimensions.)

L'analyse ressemble à ceci.

Les huit cubes délimitant l'hypercube sont visibles ici.

Les bords qui doivent s'aligner une fois pliés sont peints avec les mêmes couleurs. Les visages pour lesquels les paires ne sont pas visibles sont laissés en gris. Après le pliage, la face supérieure du cube supérieur doit être alignée avec le bord inférieur du cube inférieur. (Le déroulement d’un cube tridimensionnel est réduit de la même manière.)

A noter qu'après convolution, toutes les faces des huit cubes entreront en contact, fermant l'hypercube. Et enfin, en imaginant le processus de pliage, n'oubliez pas que lors du pliage, ce n'est pas le chevauchement des cubes qui se produit, mais leur enroulement autour d'une certaine zone quadridimensionnelle (hypercubique).

Salvador Dali (1904-1989) a représenté la crucifixion à plusieurs reprises et des croix apparaissent dans plusieurs de ses tableaux. Le tableau « La Crucifixion » (1954) utilise un scan hypercube.
Espace-temps et espace euclidien à quatre dimensions

J'espère que vous avez pu imaginer l'hypercube. Mais avez-vous réussi à mieux comprendre comment fonctionne l’espace-temps à quatre dimensions dans lequel nous vivons ? Hélas, pas tout à fait.

Nous avons parlé ici de l’espace euclidien à quatre dimensions, mais l’espace-temps a des propriétés complètement différentes. En particulier, lors d'éventuelles rotations, les segments restent toujours inclinés par rapport à l'axe du temps, soit d'un angle inférieur à 45 degrés, soit d'un angle supérieur à 45 degrés.

SOURCE2

Le Tesseract est un hypercube à quatre dimensions, un analogue d'un cube dans un espace à quatre dimensions. Selon l'Oxford Dictionary, le mot « tesseract » a été inventé et utilisé en 1888 par Charles Howard Hinton (1853-1907) dans son livre A New Age of Thought. Plus tard, certaines personnes ont appelé la même figure un « tétracube ».

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter l'espace tridimensionnel.
Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un carré ABCD. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel ABCDHEFG. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube ABCDEFGHIJKLMNOP.

Le segment unidimensionnel AB sert de face au carré bidimensionnel ABCD, le carré sert de côté au cube ABCDHEFG, qui, à son tour, sera le côté de l'hypercube à quatre dimensions. Un segment de droite a deux points limites, un carré a quatre sommets et un cube en a huit. Dans un hypercube à quatre dimensions, il y aura donc 16 sommets : 8 sommets du cube original et 8 de celui décalé dans la quatrième dimension. Il a 32 arêtes - 12 donnent chacune les positions initiale et finale du cube d'origine, et 8 autres arêtes "dessinent" ses huit sommets, qui se sont déplacés vers la quatrième dimension. Le même raisonnement peut être fait pour les faces d’un hypercube. Dans l'espace à deux dimensions, il n'y en a qu'un (le carré lui-même), un cube en a 6 (deux faces du carré déplacé et quatre autres qui décrivent ses côtés). Un hypercube à quatre dimensions possède 24 faces carrées : 12 carrés du cube d'origine dans deux positions et 12 carrés de ses douze arêtes.

De la même manière, nous pouvons poursuivre notre raisonnement pour les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel. Pour cela, nous utiliserons la méthode déjà familière des analogies.
Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront dans la quatrième dimension. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. La partie qui reste dans « notre » espace est dessinée avec des lignes pleines, et la partie qui est entrée dans l’hyperespace est dessinée avec des lignes pointillées. L’hypercube à quatre dimensions lui-même est constitué d’un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les six faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine, plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale. Les propriétés d'un tesseract représentent une continuation des propriétés des figures géométriques de dimension inférieure dans un espace à quatre dimensions.

Autres noms
Hexadécachore
Octachoron
Tétracube
4 cubes
Hypercube (si le nombre de dimensions n'est pas précisé)

Espace à 10 dimensions
C'est en anglais. Pour ceux qui ne le savent pas, les images le montrent clairement.

Http://www.skillopedia.ru/material.php?id=1338

Hypercube et solides platoniciens

Modéliser un icosaèdre tronqué (« ballon de football ») dans le système « Vecteur »
dans lequel chaque pentagone est délimité par des hexagones

Icosaèdre tronqué peut être obtenu en coupant 12 sommets pour former des faces en forme de pentagones réguliers. Dans ce cas, le nombre de sommets du nouveau polyèdre augmente 5 fois (12×5=60), 20 faces triangulaires se transforment en hexagones réguliers (au total les visages deviennent 20+12=32), UN le nombre d'arêtes augmente à 30+12×5=90.

Étapes de construction d'un icosaèdre tronqué dans le système Vector

Chiffres dans un espace à 4 dimensions.

--à

--à ?

Par exemple, étant donné un cube et un hypercube. Un hypercube a 24 faces. Cela signifie qu’un octaèdre à 4 dimensions aura 24 sommets. Bien que non, un hypercube a 8 faces de cubes – chacune a un centre à son sommet. Cela signifie qu’un octaèdre à 4 dimensions aura 8 sommets, ce qui est encore plus léger.

Octaèdre à 4 dimensions. Il se compose de huit tétraèdres équilatéraux et égaux,
reliés par quatre à chaque sommet.

Riz. Une tentative de simulation
hyperballe-hypersphère dans le système « Vector »

Faces avant - arrière - boules sans distorsion. Six autres boules peuvent être définies via des ellipsoïdes ou des surfaces quadratiques (via 4 lignes de contour servant de générateurs) ou via des faces (définies d'abord via des générateurs).

Plus de techniques pour « construire » une hypersphère
- le même « ballon de football » dans un espace à 4 dimensions

Annexe 2

Pour les polyèdres convexes, il existe une propriété qui relie le nombre de ses sommets, arêtes et faces, prouvée en 1752 par Leonhard Euler et appelée théorème d'Euler.

Avant de le formuler, considérons les polyèdres que nous connaissons et remplissez le tableau suivant, dans lequel B est le nombre de sommets, P - les arêtes et G - les faces d'un polyèdre donné :

De ce tableau, il ressort immédiatement que pour tous les polyèdres sélectionnés, l'égalité B - P + G = 2 est valable. Il s'avère que cette égalité est valable non seulement pour ces polyèdres, mais également pour un polyèdre convexe arbitraire.

Théorème d'Euler. Pour tout polyèdre convexe, l'égalité est vraie

B - P + G = 2,

où B est le nombre de sommets, P est le nombre d'arêtes et G est le nombre de faces d'un polyèdre donné.

Preuve. Pour prouver cette égalité, imaginez la surface de ce polyèdre constitué d'un matériau élastique. Supprimons (découpons) une de ses faces et étirons la surface restante sur un plan. On obtient un polygone (formé par les arêtes de la face enlevée du polyèdre), divisé en polygones plus petits (formés par les faces restantes du polyèdre).

Notez que les polygones peuvent être déformés, agrandis, réduits ou même courbés sur leurs côtés, à condition qu'il n'y ait pas d'espace sur les côtés. Le nombre de sommets, d'arêtes et de faces ne changera pas.

Montrons que la partition résultante du polygone en polygones plus petits satisfait à l'égalité

(*)B - P + G " = 1,

où B est le nombre total de sommets, P est le nombre total d'arêtes et Г " est le nombre de polygones inclus dans la partition. Il est clair que Г " = Г - 1, où Г est le nombre de faces d'un élément donné polyèdre.

Montrons que l'égalité (*) ne change pas si une diagonale est tracée dans un polygone d'une partition donnée (Fig. 5, a). En effet, après avoir tracé une telle diagonale, la nouvelle partition aura B sommets, P+1 arêtes et le nombre de polygones augmentera de un. Par conséquent, nous avons

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

En utilisant cette propriété, nous dessinons des diagonales qui divisent les polygones entrants en triangles, et pour la partition résultante, nous montrons la faisabilité de l'égalité (*) (Fig. 5, b). Pour ce faire, nous supprimerons séquentiellement les arêtes externes, réduisant ainsi le nombre de triangles. Dans ce cas, deux cas sont possibles :

a) pour supprimer un triangle abc il faut retirer deux côtes, dans notre cas UN B Et AVANT JC.;

b) pour supprimer un triangleMKNil faut supprimer un bord, dans notre casMN.

Dans les deux cas, l'égalité (*) ne changera pas. Par exemple, dans le premier cas, après suppression du triangle, le graphe sera composé de B - 1 sommets, P - 2 arêtes et G" - 1 polygone :

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G ".

Considérez vous-même le deuxième cas.

Ainsi, supprimer un triangle ne change pas l’égalité (*). En poursuivant ce processus de suppression des triangles, nous arriverons finalement à une partition constituée d'un seul triangle. Pour une telle partition, B = 3, P = 3, Г " = 1 et, par conséquent, B – Р + Г " = 1. Cela signifie que l'égalité (*) est également valable pour la partition d'origine, à partir de laquelle nous obtenons finalement que pour cette partition du polygone, l'égalité (*) est vraie. Ainsi, pour le polyèdre convexe original, l'égalité B - P + G = 2 est vraie.

Un exemple de polyèdre pour lequel la relation d'Euler ne tient pas, illustré à la figure 6. Ce polyèdre a 16 sommets, 32 arêtes et 16 faces. Ainsi, pour ce polyèdre, l'égalité B – P + G = 0 est vraie.

Annexe 3.

Film Cube 2 : Hypercube est un film de science-fiction, suite du film Cube.

Huit inconnus se réveillent dans des pièces en forme de cube. Les pièces sont situées à l’intérieur d’un hypercube à quatre dimensions. Les pièces se déplacent constamment grâce à la « téléportation quantique », et si vous montez dans la pièce suivante, il est peu probable qu'elle revienne à la précédente. Des mondes parallèles se croisent dans l'hypercube, le temps s'écoule différemment dans certaines pièces et certaines pièces sont des pièges mortels.

L'intrigue du film reprend en grande partie l'histoire de la première partie, qui se reflète également dans les images de certains personnages. Le lauréat du prix Nobel Rosenzweig, qui a calculé l'heure exacte de la destruction de l'hypercube, décède dans les chambres de l'hypercube..

Critique

Si dans le premier volet des gens emprisonnés dans un labyrinthe essayaient de s’entraider, dans ce film c’est chacun pour soi. Il y a beaucoup d'effets spéciaux inutiles (alias pièges) qui ne relient en aucun cas logiquement cette partie du film à la précédente. Autrement dit, il s'avère que le film Cube 2 est une sorte de labyrinthe du futur 2020-2030, mais pas de 2000. Dans la première partie, tous les types de pièges peuvent théoriquement être créés par l'homme. Dans la deuxième partie, ces pièges sont une sorte de programme informatique, appelé « réalité virtuelle ».

La doctrine des espaces multidimensionnels a commencé à apparaître au milieu du XIXe siècle. L'idée d'un espace à quatre dimensions a été empruntée aux scientifiques par des écrivains de science-fiction. Dans leurs œuvres, ils ont parlé au monde des merveilles étonnantes de la quatrième dimension.

Les héros de leurs œuvres, utilisant les propriétés de l'espace à quatre dimensions, pouvaient manger le contenu d'un œuf sans endommager la coquille et boire un verre sans ouvrir le bouchon de la bouteille. Les voleurs ont retiré le trésor du coffre-fort à travers la quatrième dimension. Les chirurgiens ont effectué des opérations sur les organes internes sans couper les tissus corporels du patient.

Tesseract

En géométrie, un hypercube est une analogie à n dimensions d'un carré (n = 2) et d'un cube (n = 3). L’analogue quadridimensionnel de notre cube tridimensionnel habituel est connu sous le nom de tesseract. Le tesseract est au cube ce que le cube est au carré. Plus formellement, un tesseract peut être décrit comme un polyèdre quadridimensionnel convexe régulier dont la limite est constituée de huit cellules cubiques.

Essayons d'imaginer à quoi ressemblera un hypercube sans quitter l'espace tridimensionnel.
Dans un « espace » unidimensionnel - sur une ligne - nous sélectionnons un segment AB de longueur L. Sur un plan bidimensionnel à une distance L de AB, nous dessinons un segment DC parallèle à celui-ci et connectons leurs extrémités. Le résultat est un CDBA carré. En répétant cette opération avec le plan, on obtient un cube tridimensionnel CDBAGHFE. Et en décalant le cube dans la quatrième dimension (perpendiculaire aux trois premières) d'une distance L, on obtient l'hypercube CDBAGHFEKLJIOPNM.

De la même manière, nous pouvons poursuivre notre raisonnement pour les hypercubes d'un plus grand nombre de dimensions, mais il est beaucoup plus intéressant de voir à quoi ressemblera un hypercube à quatre dimensions pour nous, résidents d'un espace tridimensionnel.

Prenons le cube métallique ABCDHEFG et regardons-le d'un œil du côté du bord. Nous verrons et pourrons dessiner deux carrés sur le plan (ses bords proches et éloignés), reliés par quatre lignes - bords latéraux. De même, un hypercube à quatre dimensions dans un espace tridimensionnel ressemblera à deux « boîtes » cubiques insérées l’une dans l’autre et reliées par huit arêtes. Dans ce cas, les « boîtes » elles-mêmes - des faces tridimensionnelles - seront projetées sur « notre » espace, et les lignes qui les relient s'étireront en direction du quatrième axe. Vous pouvez également essayer d'imaginer le cube non pas en projection, mais dans une image spatiale.

Tout comme un cube tridimensionnel est formé d’un carré décalé de la longueur de sa face, un cube décalé dans la quatrième dimension formera un hypercube. Il est limité par huit cubes qui, en perspective, ressembleront à une figure plutôt complexe. L’hypercube à quatre dimensions lui-même peut être divisé en un nombre infini de cubes, tout comme un cube à trois dimensions peut être « découpé » en un nombre infini de carrés plats.

En découpant les six faces d'un cube tridimensionnel, vous pouvez le décomposer en une figure plate - un développement. Il aura un carré de chaque côté de la face d'origine, plus un autre - la face opposée. Et le développement tridimensionnel d'un hypercube à quatre dimensions comprendra le cube original, six cubes « grandissant » à partir de celui-ci, plus un autre - l'« hyperface » finale.

Le Tesseract est une figure si intéressante qu’elle a attiré à plusieurs reprises l’attention des écrivains et des cinéastes.
Robert E. Heinlein a mentionné les hypercubes à plusieurs reprises. Dans The House That Teal Built (1940), il décrit une maison construite comme un tesseract non emballé puis, en raison d'un tremblement de terre, "pliée" dans la quatrième dimension pour devenir un "vrai" tesseract. Le roman Glory Road de Heinlein décrit une boîte hyper-taille qui était plus grande à l'intérieur qu'à l'extérieur.

L'histoire d'Henry Kuttner "All Tenali Borogov" décrit un jouet éducatif pour les enfants d'un futur lointain, de structure similaire à un tesseract.

L'intrigue de Cube 2 : Hypercube est centrée sur huit inconnus piégés dans un « hypercube », ou un réseau de cubes connectés.

Un monde parallèle

Les abstractions mathématiques ont donné naissance à l'idée de l'existence de mondes parallèles. Celles-ci sont comprises comme des réalités qui existent simultanément avec la nôtre, mais indépendamment d’elle. Un monde parallèle peut avoir différentes tailles : d’une petite zone géographique à un univers entier. Dans un monde parallèle, les événements se produisent à leur manière ; ils peuvent différer de notre monde, à la fois dans certains détails et dans presque tout. De plus, les lois physiques d’un monde parallèle ne sont pas nécessairement similaires aux lois de notre Univers.

Ce sujet constitue un terrain fertile pour les écrivains de science-fiction.

Le tableau "La Crucifixion" de Salvador Dali représente un tesseract. « Crucifixion ou corps hypercubique » est un tableau de l'artiste espagnol Salvador Dali, peint en 1954. Représente Jésus-Christ crucifié sur un scan tesseract. Le tableau est conservé au Metropolitan Museum of Art de New York

Tout a commencé en 1895, lorsque H.G. Wells, avec son histoire « La porte dans le mur », découvre l’existence de mondes parallèles pour la science-fiction. En 1923, Wells revient à l'idée de mondes parallèles et place dans l'un d'eux un pays utopique où se rendent les personnages du roman Men Like Gods.

Le roman n'est pas passé inaperçu. En 1926, l'histoire de G. Dent « L'empereur du pays « si » » apparaît pour la première fois dans l'histoire de Dent, l'idée est née qu'il pourrait y avoir des pays (mondes) dont l'histoire pourrait être différente de l'histoire des pays réels. dans notre monde. Et ces mondes ne sont pas moins réels que le nôtre.

En 1944, Jorge Luis Borges a publié l’histoire « Le jardin des sentiers qui bifurquent » dans son livre Fictional Stories. Ici, l’idée du temps de branchement s’exprime enfin avec la plus grande clarté.
Malgré l'apparition des œuvres énumérées ci-dessus, l'idée de nombreux mondes n'a commencé à se développer sérieusement dans la science-fiction qu'à la fin des années quarante du 20e siècle, à peu près au même moment où une idée similaire est apparue en physique.

L'un des pionniers de la nouvelle direction de la science-fiction fut John Bixby, qui suggéra dans l'histoire « One Way Street » (1954) qu'entre les mondes, vous ne pouvez vous déplacer que dans une seule direction - une fois que vous passez de votre monde à un monde parallèle, vous ne reviendrez pas, mais vous passerez d'un monde à l'autre. Cependant, le retour dans son propre monde n’est pas non plus exclu – pour cela il faut que le système des mondes soit fermé.

Le roman A Ring Around the Sun (1982) de Clifford Simak décrit de nombreuses planètes Terre, chacune existant dans son propre monde, mais sur la même orbite, et ces mondes et ces planètes ne diffèrent les uns des autres que par un léger décalage (microseconde) dans le temps. Les nombreuses Terres visitées par le héros du roman forment un système unique de mondes.

Alfred Bester a exprimé une vision intéressante de la ramification des mondes dans son histoire « L'homme qui a tué Mohammed » (1958). "En changeant le passé", a soutenu le héros de l'histoire, "vous ne le changez que pour vous-même". En d’autres termes, après un changement dans le passé, surgit une branche de l’histoire dans laquelle ce changement n’existe que pour le personnage qui a opéré le changement.

L'histoire des frères Strugatsky « Lundi commence samedi » (1962) décrit les voyages des personnages vers différentes versions du futur décrites par les auteurs de science-fiction - contrairement aux voyages vers différentes versions du passé qui existaient déjà dans la science-fiction.

Cependant, même une simple liste de toutes les œuvres qui touchent au thème des mondes parallèles prendrait trop de temps. Et bien que les écrivains de science-fiction, en règle générale, ne justifient pas scientifiquement le postulat de la multidimensionnalité, ils ont raison sur une chose : c'est une hypothèse qui a le droit d'exister.
La quatrième dimension du tesseract attend toujours que nous la visitions.

Victor Savinov