Souvenirs du déroulement du travail avec A.D. Alexandrov sur les manuels scolaires de géométrie.

1. Comment ça a commencé. Réforme Kolmogorov du cours de géométrie scolaire et ses résultats

Au milieu des années 60 du siècle dernier, la modernisation de l'enseignement scolaire des mathématiques en URSS a été activement menée (c'est ainsi qu'on appellerait aujourd'hui ce dont Andrei Nikolaevich Kolmogorov était alors en charge). Les programmes des cours de mathématiques scolaires ont été déclarés obsolètes, en retard par rapport aux mathématiques modernes, et ont donc dû être mis à jour et de nouveaux manuels rédigés selon ces nouveaux programmes. Avec le cours de mathématiques pour les cinquième et sixième années, ainsi qu'avec le cours d'algèbre et de début d'analyse, cette restructuration a été réalisée par A.N. Kolmogorov et ses collègues ont dans l'ensemble réussi, mais ils n'ont pas réussi à refaire le cours de géométrie traditionnel pour la Russie et l'URSS, et l'affaire s'est soldée par un scandale.
À propos du nouveau programme A.N. Kolmogorov a écrit deux fois dans la revue « Mathématiques à l'école » : en détail dans l'article « Nouveaux programmes et quelques questions fondamentales de l'amélioration des cours de mathématiques dans les écoles secondaires » et brièvement dans la note « Vers de nouveaux programmes de mathématiques ».
Commençant une discussion sur le programme de géométrie, dans le premier d'entre eux A.N. Kolmogorov écrit : « Si je qualifie les programmes actuels d'archaïques, cela s'applique particulièrement à la géométrie. » Puis il expose un programme de restructuration du cours de géométrie.
« Les principales tendances de la restructuration du cours de géométrie scolaire, qui ont désormais trouvé la plus large reconnaissance, peuvent être formulées sous la forme de trois dispositions.
1. La formation des concepts géométriques initiaux se produit dans les classes inférieures.
2. La structure logique d'un cours de géométrie systématique dans les classes moyennes est sensiblement simplifiée par rapport à la tradition euclidienne. Le développement de l'habitude d'une preuve logique stricte à ce stade se combine avec la reconnaissance ouverte du droit d'accepter un système excessif d'hypothèses sans preuve.
3. Un cours de géométrie au lycée est basé sur des notions vectorielles. Dans le même temps, il est naturel de se tourner vers la méthode des coordonnées (toutefois, à titre auxiliaire, afin que la présentation ne devienne pas moins « géométrique » du fait de cette approche).
La première de ces dispositions est vraie. Le dernier (troisième) est la conviction, caractéristique de ces années-là, que la construction vectorielle de la stéréométrie (« selon Weyl ») est plus simple que sa construction synthétique traditionnelle. Enfin, il est difficile d'être d'accord avec la deuxième position, et d'autres développements ont confirmé qu'il était clairement trop tôt pour parler de « large reconnaissance » : aucune simplification notable n'était visible dans le programme et les manuels correspondants n'avaient pas encore été rédigés.
A la fin de l'article A.N. Kolmogorov écrit :
« Afin de pouvoir travailler sereinement et en toute confiance sur de nouveaux manuels de géométrie, il faudrait faire en urgence un travail préliminaire : une ou plusieurs équipes de scientifiques et d'enseignants, s'appuyant sur l'expérience étrangère, élaborent et publient un projet (ou plusieurs projets) du « squelette logique » de la géométrie du cours scolaire (hypothèses initiales et chaîne principale de théorèmes avec preuves) sous une forme accessible à la critique et à l’utilisation expérimentale par des enseignants suffisamment expérimentés.
Malheureusement, cela n’a pas été fait.
Extrait de deux pages de la deuxième note d'A.N. Kolmogorov a consacré une page à la géométrie. Il y écrit :
« J'ai déjà dû écrire à plusieurs reprises dans les pages de « Mathématiques à l'école » que suivant le schéma euclidien classique de présentation des principes de planimétrie, selon lequel on se limite pendant assez longtemps aux théorèmes de « géométrie absolue » (en La terminologie de Lobatchevski), non fondée sur le postulat des parallèles, a depuis longtemps perdu dans notre pratique scolaire tout sens raisonnable. Un système de présentation beaucoup plus simple, dans lequel le parallélisme et le transfert parallèle sont utilisés dès le début, a depuis longtemps été développé et mis en œuvre dans de nombreux manuels étrangers.
Mais la difficulté réside dans le fait qu’il n’existe apparemment aucun exemple tout fait de la structure logique d’un cours de planimétrie adapté à nos classes de 6e à 8e, ni dans notre littérature pédagogique ni dans la littérature pédagogique étrangère.
Ainsi, en 1968, le caractère archaïque des programmes de mathématiques de l’ancienne école était établi, de nouveaux programmes étaient rédigés et le moment était venu d’écrire des manuels.
A.N. lui-même s'est engagé à rédiger un manuel pour les classes 6 à 8. Kolmogorov. Bien qu'à cette époque, le célèbre géomètre, l'académicien Alexei Vasilyevich Pogorelov, ait déjà écrit un cours de géométrie élémentaire. UN. Kolmogorov a révisé ce livre et dans la préface destinée au professeur de ce livre, A.V. Pogorelov exprime « sa sincère gratitude à l'académicien A.N. Kolmogorov pour les précieux commentaires et conseils qu'il a formulés lors de la révision de certaines parties de la première édition. Je me souviens qu'en juin 1967, arrivé à Petrozavodsk pour le Symposium pan-syndical sur la géométrie « en général », A.V. Pogorelov m'a dit fièrement : « J'ai écrit un cours de géométrie élémentaire. J'y ai introduit les axiomes de distance. Kolmogorov m'a félicité.
Je ne faisais pas confiance à A.N. Kolmogorov écrit « Géométrie, 6-8 » et ces célèbres géomètres V.G. Boltiansky et I.M. Yaglom, qui faisait partie de sa commission.
Il a décidé de le faire lui-même - de construire un cours systématique de planimétrie, en le basant sur des transformations géométriques. Co-auteurs A.N. Kolmogorov étaient R.S. Cherkasov et A.F. Semenovitch. Pourquoi A.N. Kolmogorov lui-même a décidé de travailler sur un cours de géométrie ; à mon avis, il explique ce qu'il a dit dans son rapport « Sur le système de concepts et de notations de base pour un cours de mathématiques à l'école », lu le 11 janvier 1971 au député de l'URSS :
« Nous avons décidé de conserver des manuels de géométrie séparés pour les niveaux 6 à 10. Par rapport au système de manuels de mathématiques unifiés adopté dans de nombreux pays, la présence d’un manuel de géométrie cohérent présente certains avantages, mais seulement si la logique de construction d’un cours de géométrie est strictement cohérente avec les cours d’algèbre et d’analyse élémentaire.
C'est cette stricte cohérence qu'Andrei Nikolaevich a décidé de faire lui-même. Cours de géométrie par A.V. Pogorelov n'était pas très apte à une cohérence aussi stricte.
Rappelons-nous ce qu'écrivait I. Newton à propos de la géométrie dans la préface de la première édition de son célèbre ouvrage « Principes mathématiques de philosophie naturelle » : « La géométrie est glorifiée pour cette raison, car, ayant emprunté si peu de principes fondamentaux à l'extérieur, elle réalise tellement » (paragraphe 5). Dans « Géométrie, 6-8 » de Kolmogorov en sixième année, c'est le contraire : sur les 38 affirmations qui y sont identifiées, près des deux tiers sont laissées sans preuve, et même parmi les affirmations non prouvées, beaucoup ne sont pas mises en évidence. Le manuel de première année d'un cours systématique de géométrie, qui évoluait toujours de manière égale et cohérente au niveau de rigueur accessible aux étudiants de cet âge, est devenu discontinu dans son contenu : on prouvera quelque chose, puis on l'acceptera sans preuve, puis nous prouverons à nouveau quelque chose, puis nous l'accepterons à nouveau sans preuve, etc. Ce n’est plus la géométrie dont parlait I. Newton ! Ce que voulait A.N. Kolmogorov n'a pas réussi son cours de géométrie - en augmentant son niveau de rigueur (au sens où A.N. Kolmogorov signifiait rigueur dans le mot) et en même temps en simplifiant le cours de géométrie. A.N. lui-même l'a admis. Kolmogorov, dans la note « Remarque sur le concept d'ensemble dans un cours de mathématiques à l'école », écrit : « Pour en revenir à la géométrie, je crois que toute axiomatique dans un cours d'école moderne devrait être basée sur un point de vue théorique des ensembles.
C'est notamment l'axiomatique d'A.V. Pogorelova. Mais la question de savoir quand commencer à parler avec les étudiants de la structure logique de la géométrie devrait être à nouveau discutée. L’expérience de travail avec différentes versions de manuels de géométrie au cours de la dernière décennie a montré qu’il est prématuré de le faire au début du cours de 6e année.
Comme l’ont fait les auteurs de « Géométrie, 6-8 » (le mot prématuré est tout à fait juste. La question de la structure logique de la géométrie peut être abordée de différentes manières au début d’un cours systématique. Mais il est clairement prématuré d’écarter la expérience séculaire de construction d'un cours de géométrie élémentaire (« selon Euclide ») et en première année d'un cours systématique, le cours est basé sur des transformations géométriques (« selon Klein ») : les écoliers ne sont pas prêts pour cela.
Avec les vues d'A.N. Kolmogorov sur ce que devrait être, à son avis, un manuel pour un cours systématique de géométrie de la 6e à la 8e année, nous le savons maintenant. Passons maintenant au manuel de géométrie pour le lycée (à l'époque c'était la 9e à la 10e année, maintenant c'est la 10e à la 11e année).
Sélection d'équipes d'auteurs pour divers manuels de mathématiques, A.N. Kolmogorov s'est rendu dans des universités pédagogiques à travers le pays et a rencontré des mathématiciens. Il est également venu à l'Institut Herzen, et je me souviens de la façon dont nous avons rencontré A.N. dans le bureau du recteur. Kolmogorov, et il s'agissait de réforme scolaire
ème cours de mathématiques. Probablement, nos opinions ne convenaient pas à A.N. Kolmogorov : il n'a pris aucun des Herzénites dans son équipe. Un manuel de géométrie pour le lycée par A.N. Kolmogorov a chargé le professeur de l'Institut pédagogique de Yaroslavl Z.A. Skopets et professeurs agrégés de l'Institut pédagogique de Koursk V.M. Klopsky et M.I. Yagodovsky.
Avant la parution du manuel « Géométrie, 9-10 » (édité par Z.A. Skopets) en 1974, les lycéens apprenaient selon le manuel de stéréométrie d'A.P. Kiseleva. Le contenu du nouveau manuel « Géométrie, 9-10 » correspondait au programme ministériel de 1968 et poursuivait la ligne développée dans le manuel de Kolmogorov « Géométrie, 6-8 ». Il y avait trois chapitres en 9e année :
Chapitre 1. Concepts de base de la stéréométrie. Parallélisme dans l'espace ;
Chapitre 2. Transformations de l'espace. Vecteurs ;
Chapitre 3. La perpendiculaire dans l'espace. Angles dièdres et polyédriques.
Le manuel commence ainsi : « Un cours systématique de stéréométrie est construit selon le même schéma que le cours de planimétrie :
1. Des concepts de base sont répertoriés, qui ne sont pas définis.
2. Des axiomes sont formulés dans lesquels sont exprimées les propriétés des concepts de base.
3. À l'aide de concepts de base, des définitions d'autres concepts géométriques sont formulées.
4. Les théorèmes sont prouvés sur la base de définitions et d’axiomes.
Concepts de base - point, ligne, plan et distance. Neuf axiomes ont été formulés : cinq axiomes traditionnels d'appartenance, trois axiomes d'espace métrique et l'axiome 9 : pour chaque plan les axiomes d'ordre, de mobilité plane et de droites parallèles connus de la planimétrie sont satisfaits.

Puis, au chapitre 1, les auteurs prouvent les premiers théorèmes de stéréométrie en utilisant la méthode synthétique traditionnelle. Pour les étudiants qui avaient été immergés pendant trois ans dans un monde planimétrique plat, un début aussi strictement axiomatique (et selon le manuel d'A.P. Kiselev) était toujours difficile.
Les premiers paragraphes du chapitre 2 du manuel parlent de mouvements dans l'espace. Comme dans le manuel de Kolmogorov « Géométrie, 6-8 », les propriétés générales des déplacements (une ligne droite se transforme en ligne droite, un plan en plan, etc.) ne sont que brièvement énumérées (sans aucune emphase), mais pas éprouvé. Et puis la fameuse définition est formulée :
Un vecteur (traduction parallèle) défini par une paire (A, B) de points non coïncidants est une transformation spatiale dans laquelle chaque point M est mappé sur un point M1 tel que le rayon MM1 est codirigé avec le rayon AB et la distance | MM1| est égale à la distance |AB|.
C'est avec cette définition que les académiciens V.S. ont commencé leur critique de la réforme Kolmogorov. Vladimirov, L.S. Pontryagin et A.N. Tikhonov dans "Les mathématiques à l'école". L.S. commence avec lui son article « Sur les mathématiques et la qualité de leur enseignement » dans l'organe du Comité central du PCUS, la revue Kommunist (1980, n° 14). Pontriaguine. Elle a été lue à la tribune du Soviet suprême de l'URSS par le doyen de la Faculté de mécanique et de mathématiques de l'Université d'État de Moscou.
La question de la détermination du vecteur est devenue un enjeu politique.
Ici, peut-être, cela vaut la peine de discuter de la question de la pureté des définitions, à laquelle A.N. Kolmogorov, ses co-auteurs et disciples y ont prêté une attention particulière.
C'est ce qu'A.D. a écrit. Alexandrov dans son article programmatique « Sur la géométrie » en 1980 dans la revue « Mathematics at School » :
« La connaissance visuelle et opérationnelle du sujet, contenant des représentations visuelles et la capacité de les utiliser correctement, est essentielle. Tout le monde comprend ce qu'est une chaise et sait comment s'en servir, mais beaucoup auront probablement du mal à en donner une définition d'emblée, comme lors d'un examen : « Une chaise s'appelle… » ​​Les mathématiciens des XVIIe et XVIIIe siècles ne l'ont pas fait. n'ont pas de définitions précises ni d'une fonction, ni d'une limite, ni de la variable x elle-même, mais ils ont agi avec un succès remarquable (rappelez-vous Euler).
Le désir pédant de donner à chaque concept une définition verbale peut conduire au fait qu'au lieu d'expliquer et de clarifier les idées que les élèves ont déjà, au lieu d'y former des concepts clairs, on leur donne quelque chose de difficile à imaginer ou complètement inimaginable, mais seulement exprimé dans une enveloppe verbale, parfois telle qu'ils ne peuvent ni comprendre ce qui est dit ni l'appliquer. Par exemple, dans les manuels actuels, la définition est donnée : « Une direction est l’ensemble de tous les rayons co-dirigés. » Et comme les étudiants ont déjà appris qu'un ensemble est un ensemble d'éléments et qu'il est constitué de ses éléments, il s'avère qu'une direction est constituée de tous les rayons co-dirigés... Une situation similaire se retrouve avec les définitions des notions de vecteur, de polyèdre, etc.
Il n’y a rien de plus préjudiciable au développement spirituel – mental et moral – que d’apprendre à une personne à prononcer des mots dont elle ne comprend pas vraiment le sens et, si nécessaire, est guidée par d’autres concepts.
Après avoir donné une définition lourde du vecteur, les auteurs opèrent encore principalement avec des segments dirigés.
Le chapitre 3 complète l'étude de la position relative des lignes et des plans dans l'espace, étudie toutes les relations de perpendiculaire des lignes et des plans, et considère les transformations de symétrie axiale et de symétrie par rapport à un plan. Ce chapitre se caractérise par l'utilisation simultanée de méthodes purement synthétiques, de la méthode vectorielle et des méthodes de transformation. Il n’y a aucune intégrité là-dedans.
Ainsi, en 9e année, en plus des théorèmes traditionnels sur la position relative des droites et des plans dans l'espace, le manuel étudie également l'algèbre vectorielle et les déplacements dans l'espace. Il est clair qu’au niveau de rigueur qui était dans le manuel d’A.P. dans cette classe. Kiselev, il est impossible d'étudier un matériel aussi complet.
Le premier chapitre du manuel de 10e année est un court chapitre 4 « Méthode des coordonnées dans l'espace ». Il décrit les éléments de la géométrie analytique dans l'espace.
Dans le chapitre 5 suivant « Polyèdres », il n'y a plus de vecteurs, ni de coordonnées - tout est assez traditionnel : prismes, pyramides, polyèdres réguliers. Ce n'est que dans le dernier paragraphe que le volume de la pyramide est calculé en intégrant l'aire de ses sections plates. Et la définition d'un polyèdre au chapitre 5 a incité A.D. Alexandrov pour écrire un article détaillé « Qu'est-ce qu'un polyèdre ? » .
Enfin, le dernier chapitre du manuel est le chapitre 6, Figures de rotation.
Il parle d'un cylindre, d'un cône, d'une boule et de leurs surfaces.
Pour présenter les deux chapitres principaux du cours de 10e - chapitres 5 et 6 - aucun vecteur, aucun déplacement, aucune coordonnée n'est nécessaire : le premier chapitre de ce cours se démarque et pourrait bien être omis.
Le manuel « Géométrie, 9-10 » (édité par Z.A. Skopets) était strictement lié au manuel « Géométrie, 6-8 » (édité par A.N. Kolmogorov) et présentait les mêmes défauts que le manuel « Géométrie, 6-8 ». Des difficultés supplémentaires pour y travailler résidaient dans le fait qu'au cours de ces années-là, un enseignement universel de dix ans avait été introduit en URSS, et donc dans les lycées, les étudiants ont commencé à apprendre la géométrie pour laquelle c'était difficile même selon le manuel d'A.P. Kiselyov, et plus encore, selon A.P., qui a remplacé le manuel. Le manuel de Kisselyov.
Je suis entré dans les détails du contenu du manuel pour qu'il devienne clair pourquoi A.D. Alexandrov après l'avoir reçu au printemps 1979 des mains du ministre de l'Éducation M.A. La proposition de Prokofiev d'éditer le manuel a décidé qu'il était nécessaire d'écrire un nouveau manuel sur la stéréométrie.

2. Travailler sur les manuels de stéréométrie

Le 20 avril 1979, Alexandre Danilovitch de Novossibirsk m'a écrit que le député de l'URSS lui avait envoyé la 4e édition du manuel préparé pour la publication et que, à son avis, « il est plus facile de réécrire cet ouvrage que de persuader les auteurs pour corriger quoi que ce soit " Et plus loin : « Accepteriez-vous de participer à la refonte de cette œuvre avec moi ? À cette époque, j'avais déjà de l'expérience dans la rédaction de manuels pour des instituts pédagogiques, parmi lesquels « Construction axiomatique de la géométrie (selon Kolmogorov) », publié en 1978 et écrit en collaboration avec S.A. Frangulov et S.A. Yuzvinski. Dans ces années-là, il semblait que la géométrie de Kolmogorov à l'école durerait longtemps (comme sous le régime soviétique), et nous, dans les instituts pédagogiques, devions préparer les enseignants à travailler sur les manuels de Kolmogorov et nous assurer qu'ils ne contenaient aucune erreur logique. Les difficultés liées à la création de manuels scolaires pour les étudiants, tant sur le plan du contenu que sur le plan technique, m'étaient déjà bien connues. J'ai bien compris que ces difficultés pour les manuels scolaires étaient bien plus grandes, et je n'avais aucune envie particulière de travailler sur des manuels scolaires. Par conséquent, en réponse à la première lettre d’Alexandre Danilovitch, j’ai répondu de manière évasive et j’ai rapidement reçu une réponse sévère dans une lettre datée du 10 mai 1979. Je vais le citer plus en détail.
« Cher Alexeï Léonidovitch !
Apparemment, je n'ai pas clairement expliqué de quoi je parle - ce que je vous propose.
Le ministère m'a envoyé le manuscrit d'une nouvelle édition (nouvelle version) du manuel. Le ministre m'a proposé de devenir rédacteur scientifique.
Mais après avoir lu l’essai, je suis arrivé à la conclusion que le rédiger était une tâche futile et impossible ; vous devez - et c'est plus facile - réécrire l'essai. C’est pourquoi je veux le faire et, d’ailleurs, de toute urgence.
Vous n’avez pas besoin d’inventer quoi que ce soit de spécial, vous n’avez pas besoin de changer le programme, etc.
Il vous suffit d'essayer de refaire cet essai pour qu'il devienne meilleur et qu'il ne contienne pas d'erreurs et d'absurdités évidentes.
<...>
Alors, disons que je viens à Leningrad en mai-juin pour travailler ensemble sur la géométrie : essayez de réécrire le manuel pour la 9e à la 10e année. Qu'est-ce que tu en penses?
La révolution des lycées est une atrocité. Il y en avait déjà un. La seconde ne peut en aucun cas être autorisée. La révolution ou contre-révolution Vinogradovo-Tikhonov pourrait être encore pire que la révolution Kolmogorov. Nous ne devons pas les laisser partir.
Et pour cela, il faut prendre l'initiative, c'est-à-dire nous devons commencer à améliorer les choses
de manière réaliste, sans déclarations radiodiffusées, sans jurons inutiles, etc.
Bien à vous A. Alexandrov"
Et nous « nous sommes mis à améliorer les choses ». J’ai parlé aux géomètres de Leningrad de la proposition d’Alexandre Danilovitch. Victor Abramovich Zalgaller a déclaré : « Écrire un nouveau manuel de géométrie, c'est comme créer une nouvelle voiture. Si l’État veut l’obtenir, il doit créer un institut distinct qui s’occupera uniquement de ce manuel.» Et il a ajouté : « Alexandrov écrira un manuel trop intelligent. » Je me souviens très souvent de cette phrase.
Youri Alexandrovitch Volkov a déclaré ceci : "Vos affaires vont mal - Pogorelov a déjà écrit un manuel." Mais Youri Alexandrovitch, s'il le pouvait (il était déjà mortellement malade et est décédé deux ans plus tard), a discuté avec intérêt des options que nous avons proposées pour les premiers chapitres de la stéréométrie, et nous a beaucoup conseillé.
Dans les premiers chapitres de la stéréométrie, nous avons traité d'abord des figures, de leurs positions relatives, et en avons construit de plus en plus complexes à partir des figures les plus simples.
Tout en travaillant sur un cours de géométrie élémentaire, A.D. Alexandrov a comparé sa compréhension de la géométrie à celle de Kolmogorov. Ayant pris connaissance du manuel d'A.N. Kolmogorov, Alexandre Danilovitch a déclaré: "Il n'y a presque aucun chiffre là-bas." Il a commencé son manuel par une histoire sur les figures étudiées par la stéréométrie, où elles se trouvent dans la vie réelle et leur rôle dans la pratique.
La difficulté était qu'il fallait écrire un cours de stéréométrie qui, d'une part, serait indépendant des différentes constructions possibles du cours précédent de planimétrie, mais qui, d'autre part, serait la continuation de tout cours de planimétrie. Cela a été assuré par le fait qu'Alexandre Danilovitch a défini le plan comme une figure de l'espace sur laquelle est réalisée la planimétrie euclidienne. Mais la manière dont la planimétrie est construite n’a pas d’importance. La seule chose importante est que ses propositions soient mises en œuvre.
Bien entendu, nous ne pouvions pas écrire un manuel sur la stéréométrie en un seul été, comme le supposait Alexandre Danilovitch. Le chapitre sur la perpendiculaire et le parallélisme dans l'espace seul a été réécrit plusieurs fois. Et j’ai dû écrire à plusieurs reprises sur le concept de distance (qui joue un rôle si important dans l’approche de Kolmogorov de la géométrie). C'est ce que m'a écrit Alexandre Danilovitch le 20 avril 1980, c'est-à-dire : exactement un an après cette première lettre sur le manuel de stéréométrie.
« Cher Alexeï Léonidovitch !
J'ai lu votre paragraphe sur la distance et j'ai pleuré. Vous trahissez notre cause, battez en retraite et succombez aux méchants. Venir à vos sens!
Kolmogorov et ses collègues (j'ai remplacé le mot plus fort dans la lettre d'Alexandre Danilovitch par le mot collègue. - A.L.) ont rempli le cours de l'école de toutes sortes d'absurdités, de science, de mots scientifiques, etc., etc. Nous devons nous rebeller fermement contre cela les déchets et les balayons constamment. Il dérange la tête des étudiants ! Au lieu d'enseigner des choses significatives, ils (les étudiants) devraient apprendre que la distance de Moscou à Léningrad est égale à la distance de Léningrad à Moscou, que la distance d'un point à lui-même est nulle, que des objets égaux et identiques ne sont pas égaux, mais devrait être appelé congruent , etc., etc., etc., etc., etc.
<Далее А.Д. Александров в письме две страницы анализирует аксиоматику метрического пространства>
Nous devons être plus proches de la vie ! Dans la vie, il est clair que |AB| > 0 et |AB| = |BA|.
Clair sans formulation particulière. Il est donc nécessaire que les étudiants comprennent avant tout qu’il s’agit de choses quotidiennes qui ne font qu’être clarifiées.
Sinon, il s’avère que dans la vie, la « distance » est une chose, mais en géométrie c’en est une autre, dans la vie les objets sont les mêmes, mais en géométrie ils sont congruents.
Votre remarque sur les corps et les figures identiques est excellente. Vous avez très bien compris. Votre AA."
Cette lettre montre clairement avec quelle passion Alexandre Danilovitch a travaillé sur les manuels scolaires au cours de ces années. Ce n'est pas sans raison que dans l'une des critiques de nos manuels N.P. Dolbilin a écrit qu'A.D. Alexandrov parle avec inspiration de la géométrie.
La passion d’Alexandre Danilovitch pour la géométrie se ressent clairement dans la préface et l’introduction de notre premier manuel qu’il a écrit.
.
Voici deux paragraphes de la préface du manuel.
« L'essence de la géométrie est la combinaison organique de représentations spatiales avec une logique stricte, dans laquelle elles se pénètrent et s'organisent mutuellement. Et puisque tout ce qui existe se trouve dans l’espace, la géométrie, en tant que théorie des formes et des relations spatiales, a une signification universelle.
Nous sommes entourés de ses incarnations réelles ; elle est à la base de toute technologie, apparaissant partout où la moindre précision dans la détermination des formes et des tailles est requise. La géométrie n’existe pas sans ces connexions – prise « en elle-même », elle ne sera pas ce qu’elle est réellement.
En conséquence, la première caractéristique du manuel proposé est qu’il accorde beaucoup plus d’attention qu’on ne le fait habituellement à la connexion des concepts introduits et des théorèmes éprouvés avec des choses réelles, de la vie quotidienne à la technologie et aux lois de la physique.
Et voici un extrait de l'introduction du manuel.
« L'originalité de la géométrie, qui la distingue des autres branches des mathématiques, et de toutes les sciences en général, réside dans la combinaison organique inextricable de l'imagination vivante et de la logique stricte. La géométrie dans son essence est une imagination spatiale, imprégnée et organisée par des règles strictes.
logique.
Dans toute phrase véritablement géométrique, qu'il s'agisse d'un axiome, d'un théorème ou d'une définition, ces deux éléments de géométrie sont inextricablement présents :
une image claire et une formulation stricte, une conclusion logique stricte. Là où il n’y a aucun de ces deux côtés, il n’y a pas de véritable géométrie.
La visualisation et l'imagination appartiennent davantage à l'art, la logique stricte est le privilège de la science. La sécheresse d'une conclusion précise et la vivacité d'une image visuelle - "la glace et le feu ne sont pas si différents l'un de l'autre". La géométrie combine donc ces deux opposés. C’est ainsi qu’il faut l’étudier : combiner une imagination débordante avec de la logique, des images visuelles avec des formulations et des preuves strictes. »
Alexeï Vassilievitch Pogorelov, après avoir lu l'introduction du manuel, a déclaré : « Alexandre Danilovitch, je sais comment tu sais écrire ! Mais en général, il a dit : « Mais ceci est un manuel. » Selon les vues d'A.V. Pogorelov, un manuel de géométrie ne doit être que bref et logique.
Alexandre Danilovitch a appelé les premiers chapitres de la stéréométrie « géométrie structurelle ». Ils parlent de la position relative des lignes et des plans dans l'espace, des relations de perpendiculaire et de parallélisme des lignes et des plans. Dans ce cas, la perpendiculaire est étudiée avant le parallélisme, et la plus importante des relations de perpendiculaire est la relation entre la perpendiculaire d'une droite et d'un plan. C'est ainsi que, passant de la géométrie « pure » aux « choses réelles », Alexandre Danilovitch écrit à propos de la signification de la perpendiculaire :
« La perpendiculaire au plan joue un rôle très important, outre le fait qu'elle est le plus court parmi tous les segments d'un point donné aux points du plan. Expliquons davantage sa signification. La position du plan dans l'espace peut être précisée en indiquant une ligne qui lui est perpendiculaire et le point où il coupe cette ligne.
La propriété la plus importante d'une perpendiculaire est que le plan est situé symétriquement par rapport à elle. Qu'est-ce que ça veut dire? Tous les rayons se trouvant dans un plan donné forment avec lui des angles égaux - des angles droits, mais pour un plan incliné, ce n'est pas le cas. Lors d'une rotation autour d'une perpendiculaire, le plan s'aligne sur lui-même : la roue doit être montée sur l'essieu de manière à ce que son plan soit perpendiculaire à l'essieu. Un rectangle dont un côté est perpendiculaire à un plan peut pivoter autour de ce côté et l’autre côté glissera le long du plan. Ceci est clairement visible sur une porte correctement accrochée. Si son bord n'est pas vertical, la porte ne s'ouvre pas librement et touche le sol.
En prenant des exemples issus de la physique, on peut constater que la pression d'un liquide ou d'un gaz sur la paroi d'un récipient est dirigée perpendiculairement à la paroi, tout comme la pression d'une charge sur un support est dirigée perpendiculairement à celle-ci.
La perpendiculaire à la surface apparaît dans les lois de réflexion et de réfraction de la lumière. Ainsi, la loi de la réflexion stipule : « Le rayon incident et le rayon réfléchi sont situés dans le même plan avec la perpendiculaire à la surface du miroir au point d'incidence et forment avec elle des angles égaux. »
Mais la signification principale de la perpendiculaire réside dans son rôle dans la technologie et dans toutes nos vies. Nous sommes, pourrait-on dire, entourés de perpendiculaires : les pieds de la table sont perpendiculaires au sol, le bord du meuble est perpendiculaire au mur, etc. La verticale est perpendiculaire au plan horizontal. La verticalité joue un rôle majeur dans la construction : les plafonds inter-étages sont posés perpendiculairement aux piliers de la charpente du bâtiment. Le parallélisme des plans est associé à la présence de perpendiculaires communes. La perpendiculaire et le parallélisme des lignes droites et des plans sont un élément essentiel de la construction, c'est pourquoi la doctrine des perpendiculaires et des parallèles peut être appelée les principes fondamentaux de la géométrie de la construction.
Parmi les grandeurs géométriques, la principale du parcours est la distance. Il est souligné que les figures parallèles sont des figures qui se déplacent à une distance constante les unes des autres (ce qui se vérifie dans la pratique). Et voici comment la notion de distance a permis de simplifier la démonstration du théorème des trois perpendiculaires : une droite inclinée à un plan est perpendiculaire à une droite située dans ce plan si et seulement si la projection de la droite inclinée est perpendiculaire à ce plan. ligne droite.
Preuve. Soit AC incliné par rapport à un plan, sa projection BC sur ce plan, et une droite a située dans le plan et passant par le point C. Le théorème contient deux énoncés : 1) si AC ⊥ a, alors BC ⊥ a ; 2) si BC ⊥ a, alors AC ⊥ a. Prouvons-les.
Prenons un point variable X d'une droite a et considérons deux quantités AX2 et BX2. Le triangle ABX est un triangle rectangle. Donc AX2 = AB2 + BX2.
Cela signifie que les quantités AX2 et BX2 diffèrent d'un terme constant. Par conséquent, ces quantités prennent leurs valeurs minimales simultanément - au même point. Les deux énoncés du théorème en découlent.
Le cours de stéréométrie s'est modernisé : la notion de plan de référence est apparue, on considère des cônes et des cylindres à bases arbitraires (et pas seulement des cônes et cylindres de rotation), grâce à cette approche, une pyramide est un cône à base polygonale , et un prisme est un cylindre à base polygonale, formules pour les volumes des pyramides et des prismes - ce sont des cas particuliers de formules générales pour les volumes des cônes et des cylindres. Lors de la dérivation de formules pour les volumes de corps, le concept de dérivée est utilisé.
Lorsque la question du matériel problématique s'est posée à la fin de l'été, j'ai présenté Alexandre Danilovitch à l'un des célèbres professeurs de Léningrad, Valery Idelyevich Ryzhik. DANS ET. Ryzhik est diplômé de la Faculté de mathématiques de l'Institut pédagogique d'État de Léningrad. I.A. Herzen trois ans plus tard que moi et a ensuite travaillé à l'école de mathématiques 239. La connaissance a eu lieu à l'hôtel de l'Institut Herzen, où, au cours de ces années, Alexander Danilovich vivait souvent en tant qu'invité du recteur de l'Institut pédagogique d'État de Leningrad, Alexander Dmitrievich Boborykin. C’est ainsi que notre équipe d’auteurs s’est constituée : A.D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I. Ryjik.
S'étant familiarisé avec la théorie du manuel et connaissant la situation du cours de géométrie à l'école au cours de ces années, V.I. Ryjik a déclaré à Alexandre Danilovitch que les professeurs avaient oublié ce qu'est la géométrie - la véritable géométrie qui apparaîtra dans les pages du manuel d'Alexandrov. Par conséquent, nous devons écrire un article sur la géométrie pour le magazine « Mathematics at School ». Cet article « Sur la géométrie », qui a considérablement influencé l'enseignement de la géométrie à l'école, est paru au milieu des années 1980, avant même la publication du manuel de stéréométrie.
Les travaux sur le manuel de stéréométrie ont duré tout au long des années 1980. C'était intense.
Ainsi, par exemple, Alexandre Danilovitch a écrit à V.I. Ryzhik de Novossibirsk à propos du manuel les 22 et 31 août, les 1er, 2, 3 et 4 septembre. Nous avons soumis le manuel à la maison d'édition Prosveshchenie en décembre 1980. Dès l’été de cette année, il est devenu clair qu’attendre pour démarrer l’expérience jusqu’à ce que le manuel soit imprimé signifierait manquer encore un an ou deux. Une solution a été trouvée dans le fait qu'à l'Institut de mathématiques de Novossibirsk, Alexandre Danilovitch a publié quatre prépublications en 1980-81, qui couvraient le contenu principal du manuel de la 9e année. Des problèmes y étaient également publiés dans de petits numéros. Sur la base de ces prépublications et tâches, des enseignants enthousiastes ont commencé une expérience dans plusieurs écoles de Leningrad en 1980 : Larisa Petrovna Evstafieva à l'école 210, Aron Iosifovich Rzhavinsky à l'école 159, Anatoly Arsenievich Okunev à l'école 526.
J'ai travaillé dessus à l'école 239 et V.I. Ryzhik et Grisha Perelman ont étudié dans l'un de ses cours en utilisant ces prépublications de géométrie. Quand, dans ces années-là, je reprochais à Ryzhik que ses tâches étaient difficiles, il m'a dit : « Et Grisha Perelman est assise dans ma classe. Je dois lui occuper la tête avec quelque chose. Mais, bien sûr, parmi les tâches de V.I. Ryzhika et simples, réalisables pour les étudiants ordinaires. Il y avait toujours beaucoup de tâches.
Les deux premiers manuels ont été regroupés sous une forme abrégée en un seul manuel, « Géométrie, 9-10 », publié en 1983.

3. Cours de planimétrie construit par A.D. Alexandrov

Après l'achèvement de la première étape des travaux sur le manuel de stéréométrie, Alexandre Danilovitch comprit qu'il était désormais nécessaire d'écrire un cours de planimétrie pour que la géométrie élémentaire « selon Alexandrov » apparaisse. Pendant deux ans (de 1981 à 1983), il travaille sur un cours de planimétrie, qu'il publie en prépublication. Ces prépublications ont constitué la base de nos manuels Géométrie 6, Géométrie 7 et Géométrie 8. Ensuite, les trois manuels de planimétrie ont été complétés par un autre manuel de stéréométrie, à nouveau révisé, « Geometry, 9-10 » (1987, ). Ainsi, un cours complet de géométrie élémentaire « selon Alexandrov » est apparu pour les écoles secondaires.
Tout en travaillant sur un cours de planimétrie pour l'école, Alexandre Danilovitch a écrit simultanément le livre « Fondements de la géométrie » (Moscou : « Nauka », 1987), qui, comme il l'écrit dans l'introduction de ce livre, « ne s'adresse pas seulement en général à ceux qui s'intéressent à la géométrie des fondations, mais surtout à ceux qui s'intéressent professionnellement à leur compréhension - aux enseignants actuels et futurs, aux étudiants des universités et des instituts pédagogiques.
« Fondements de la géométrie » commence par une histoire sur les origines pratiques de la géométrie, sur ces problèmes pratiques dont la solution a conduit à l'émergence de la géométrie en tant que science. Le chapitre 1 s’intitule « Fondements pratiques de la géométrie ». Cette volonté de partir de la pratique a incité Alexandre Danilovitch à choisir comme objet principal un segment, et non une ligne droite, comme il est d'usage dans d'autres cours de géométrie scolaire. Poutre et ligne droite A.D. Aleksandrov le définit comme une extension illimitée d'un segment dans une ou deux directions.
Pour la même raison, au cours du cours, l'axiome traditionnel du parallélisme est remplacé par l'axiome du rectangle, qui postule la possibilité de construire un rectangle dont les côtés sont égaux à des segments donnés (la possibilité d'une telle construction est quotidiennement confirmée par la pratique). .
Parmi les principales relations figure la relation d'égalité des segments, qui permet d'introduire la mesure des segments. Alexander Danilovich détermine l'égalité des angles, ainsi que l'égalité des autres figures, par l'égalité des segments. Par exemple, il appelle les triangles égaux si leurs côtés sont respectivement égaux. Ainsi, la difficile preuve du troisième critère traditionnel pour l’égalité des triangles est éliminée. Et les axiomes d'A.D. Alexandrov a formulé de telle manière que les deux autres critères d'égalité des triangles deviennent leurs simples conséquences. Pour les matières initiales du cours de planimétrie à l'école, c'est un soulagement très important. Après tout, ce n'est pas pour rien qu'il existe une anecdote sur un professeur de géométrie qui a d'abord dessiné deux triangles égaux au tableau, puis a passé toute la leçon à prouver qu'ils sont égaux.
Les preuves qu'Alexandre Danilovitch considérait comme particulièrement importantes dans le cours scolaire sont indiquées par sa remarque, qu'il a faite, citant la célèbre preuve du théorème de Pythagore :
« Le théorème de Pythagore est également remarquable car en soi il n’est pas du tout évident. Si, par exemple, vous regardez attentivement un triangle isocèle avec une médiane dessinée, alors toutes ses propriétés indiquées dans le théorème le concernant peuvent être vues directement. Mais peu importe combien vous regardez un triangle rectangle, vous ne verrez jamais qu'il existe une relation aussi simple entre ses côtés :
une 2 + b 2 = c 2 .
C’est en cela que consiste le meilleur style mathématique : à travers une construction, un dispositif ou une considération ingénieuse, rendre évident ce qui n’est pas évident.
Le théorème de Pythagore - le théorème de planimétrie le plus important - apparaît au début du cours d'Alexandrov, du fait qu'immédiatement après les premiers théorèmes sur les triangles de ce cours (comme celui d'Euclide), il y a une mesure des aires des figures polygonales. Le concept d'aire vous permet d'introduire correctement le sinus et le cosinus et de prouver le théorème du sinus et le théorème du cosinus (qu'Alexander Danilovich appelle le « théorème de Pythagore généralisé » - GTP).
Nous étudions ensuite les triangles similaires, définis comme des triangles dont les côtés sont proportionnels. Tous les théorèmes sur la similitude des triangles sont devenus de simples conséquences du théorème des sinus et de l'OTP.
En général, le cours de planimétrie d'Alexandre Danilovitch est structuré de telle manière qu'il contient peu de théorèmes de support, comme par exemple le théorème sur la somme des angles d'un triangle, le théorème de Pythagore, le théorème des sinus. , OTP et le reste de leurs résultats sont obtenus comme des conséquences assez simples. Cela permet de minimiser l'axe principal de la théorie tout en conservant sa déductivité.
La géométrie élémentaire « selon Alexandrov » a également été présentée par lui dans le manuel « Géométrie », écrit en collaboration avec Nikita Yuryevich Netsvetaev (M. : « Nauka », 1990) pour les universités et les universités pédagogiques. Ainsi, les manuels scolaires rédigés par Alexandrov se sont avérés être soutenus par des livres écrits par lui pour les futurs enseignants.
Alexander Danilovich a fait beaucoup pour l'enseignement de la géométrie à l'école. Le cours qu'il a créé en géométrie élémentaire est plus simple et plus moderne que d'autres cours similaires. Ses idées pédagogiques profondes ne sont pas immédiatement acceptées par de nombreux enseignants habitués à un style différent d'enseignement de la géométrie. Mais après les avoir compris, les enseignants deviennent de fervents adeptes de ses idées. J'espère que dans les années à venir, la majorité des enseignants des écoles russes commenceront à enseigner la géométrie « selon Alexandrov », et qu'une telle étude de la géométrie apportera de la joie à eux et à leurs élèves. C’est exactement ce que souhaitait Alexandre Danilovitch lorsqu’il a commencé à travailler sur des manuels scolaires de géométrie en 1979. Et maintenant, après la parution des manuels d’Alexandrov, il n’est guère possible d’écrire des manuels de géométrie ennuyeux et secs pour l’école.

4. Période post-Kolmogorov : concurrence entre manuels de géométrie

Par arrêté du ministre de l'Éducation de l'URSS en 1982, les manuels de géométrie d'A.N. Kolmogorov et Z.A. Skopetsa a été remplacé par le manuel de géométrie d’A.V. Pogorelova. La révolution (ou contre-révolution) « Vinogradovo-Tikhonov » en géométrie scolaire a eu lieu ! Le virage était brusque. De nombreux enseignants qui ont passé dix ans à lutter pour maîtriser le manuel d’A.N. Kolmogorov a dû réapprendre. À l'automne 1982 à Novossibirsk, où vivait alors A.D. Alexandrov, il y a eu une conférence géométrique anniversaire dédiée au 70e anniversaire de notre ère. Alexandrova. Les géomètres sont arrivés et Alexey Vasilyevich est également venu. On lui a demandé de parler aux enseignants. J'ai écouté le discours d'Alexeï Vassilievitch. Les enseignants ont déjà commencé à travailler selon le manuel d’A.V. Pogorelov et lui a posé de nombreuses questions pointues : « Pourquoi les extrémités du segment ne lui appartiennent-elles pas ? », « Pourquoi ne pouvons-nous pas utiliser un symbolisme pratique ? », « Pourquoi les étudiants doivent-ils maintenant écrire autant ? etc. Puis, après la conférence, Alexey Vasilyevich était très bouleversé.
UN V. Pogorelov a exposé sa vision du cours de géométrie à l'école dans le livre « Géométrie élémentaire ». Dans la préface du professeur à ce livre, il écrit :
« En proposant ce cours, nous sommes partis du fait que la tâche principale de l'enseignement de la géométrie à l'école est d'apprendre aux élèves à raisonner logiquement, à justifier leurs affirmations et à les prouver. Très peu de diplômés de l’école seront des mathématiciens, et encore moins des géomètres. Il y aura aussi ceux qui n'utiliseront jamais le théorème de Pythagore dans leurs activités pratiques.
Cependant, il est peu probable qu’il y en ait au moins un qui n’ait pas à raisonner, analyser et prouver.
Toute l’expérience séculaire de l’enseignement de la géométrie élémentaire depuis l’époque d’Euclide prouve la rationalité du système traditionnel. Son perfectionnement, associé au développement général de la science, ne devrait, nous semble-t-il, pas concerner ses fondements raisonnables et profondément réfléchis. Par conséquent, le cours proposé, fondamentalement traditionnel, ne diffère que par une présentation plus stricte du sujet et une certaine réévaluation de la signification de ses différentes parties.
Le cours de géométrie proposé s'appuie sur un très petit système de faits géométriques bien connus de l'élève et renforcés dans les classes primaires. Ce système de propositions initiales, appelées plus tard axiomes, a été isolé à la suite d’une analyse approfondie du cours de géométrie scolaire, prenant en compte des éléments de preuves traditionnelles.

Avant le manuel scolaire, le livre d'A.V. Pogorelov l'a finalisé avec l'aide du laboratoire de mathématiques de l'Institut de recherche sur les contenus et les méthodes pédagogiques (C&MT) du MP de l'URSS. Viktor Vasilyevich Firsov, qui dirigeait alors ce laboratoire, m'a raconté combien il était difficile pour eux de persuader Alexeï Vassilievitch de changer quoi que ce soit, de le rendre plus accessible aux écoliers. Manuel d'A.V. Pogorelov était soutenu par l'Institut mathématique Steklov et le député de l'URSS. Ce résumé de manuel a été conçu pour les méthodes de reproduction, c'est-à-dire juste pour bachoter. S'exprimant simultanément à la réunion pan-syndicale des mathématiciens des universités pédagogiques de Kharkov, A.V. Pogorelov a parlé du travail à partir de son manuel comme ceci : « Laissez-le apprendre d'abord ! Alors il comprendra ! En plus du manuel d'A.V. Pogorelov ne pouvait proposer aucun autre manuel de l'Institut mathématique Steklov.
Comme cela arrive habituellement, des désaccords surgirent entre les révolutionnaires victorieux. Andrei Nikolaevich Tikhonov et le député de la RSFSR ont créé des équipes d'auteurs pour mettre à jour tous les manuels scolaires de mathématiques. Premièrement, la géométrie du projet d'A.N. Tikhonov a été écrit par Levon Sergeevich Atanasyan et Eduard Genrikhovich Poznyak, puis leur équipe d'auteurs a été reconstituée par Valentin Fedorovich Butuzov, Sergei Borisovich Kadomtsev et Irina Igorevna Yudina.
Projet A.N. Tikhonov a bénéficié du soutien de l'Institut de recherche des écoles du député de la RSFSR.
J'ai toujours eu de bonnes relations avec l'équipe Atanasyan-Poznyak :
nous avons discuté de nos projets et échangé des manuels publiés. Eduard Genrikovich m'a dit : « Nous voulons écrire un manuel de géométrie simple dans l'esprit de Kiselev. » Les premières versions de ces manuels ont été fortement critiquées (notamment par Alexander Danilovich), mais l'équipe de L.S. Atanasyan a amélioré son manuel, et désormais, les manuels sont les manuels les plus populaires à l'école.
Une vaste expérience à Léningrad a commencé en 1981, lorsque notre premier manuel « Principes de stéréométrie, 9 » a été publié : l'un des plus grands districts de Léningrad, Kalininsky, a commencé à étudier en utilisant ce manuel.
A cette époque, à Léningrad, la moitié des districts restants étudiaient selon le manuel d'A.V. Pogorelov et l'autre moitié - selon le manuel de L.S. Atanasyan et ses collègues. Ainsi, à Leningrad, il existait déjà à cette époque trois manuels de géométrie alternatifs.
Les manuels d'essai ont ensuite été publiés dans la série « Mathematics Teacher's Library », qui a ensuite publié tous les nouveaux manuels de mathématiques.
A l'époque où Alexandre Danilovitch travaillait au cours de planimétrie, V.I. Au cours de l'été 1982, Ryzhik a travaillé intensivement sur un manuel de stéréométrie destiné aux classes ayant une étude approfondie des mathématiques. La commande pour la création d'un tel manuel est venue de Margarita Romanovna Leontyeva, qui dirigeait à l'époque le secteur des manuels de sciences naturelles au sein du député de l'URSS. Il était basé sur des manuels scolaires, mais son contenu était considérablement élargi par rapport à ces manuels. La première édition du manuel de stéréométrie pour la physique et les mathématiques. les cours sont apparus en 1984. La table des matières de ce manuel est devenue le programme ministériel de ces cours.

5. Concours pan-syndical de manuels de géométrie

Au milieu des années 80, les principaux concurrents dans le domaine des manuels scolaires de géométrie en URSS avaient déjà publié leurs concepts sur ce problème, avaient eu l'occasion de publier leurs manuels à plusieurs reprises et de laisser les enseignants et les élèves y travailler dans les écoles. Il est temps d'organiser un concours pour ces manuels. En 1986, le ministère de l'Éducation de l'URSS a annoncé des concours pour les manuels de mathématiques destinés aux écoles secondaires : 1) « Mathématiques, 5-6 » ; 2) « Algèbre, 7-9 » ; 3) « L'algèbre et les débuts de l'analyse, 10-11 » ; 4) « Géométrie, 7-9 » ; 5) « Géométrie, 10-11 ».
Alexander Danilovich n'avait pas de désir particulier de participer au concours, mais il a quand même accepté, perdant face au mien et à V.I. Les arguments de Ryjik. Les résultats du concours pour nous dans l'ensemble peuvent être considérés comme satisfaisants. Les deux premières places ont été revendiquées sans condition par le manuel d’A.V. Pogorelov, qui a bénéficié du soutien du député de l'URSS, du Département de mathématiques de l'Académie des sciences de l'URSS et du Présidium de l'Académie des sciences pédagogiques de l'URSS, ainsi que du manuel de L.S. Atanasyan et ses collègues, soutenus par le député de la RSFSR. À l'issue du concours, le manuel de L.S. Atanasyan et ses collègues, ainsi que le manuel d'A.V. Pogorelova est restée deuxième. Notre manuel de planimétrie a pris la troisième place (devant les manuels de A.N. Kolmogorov, V.G. Boltyansky et d'autres auteurs célèbres), et le manuel de stéréométrie a pris la quatrième place, laissant le manuel de V.G. à la troisième place. Bevz et ses collègues (ce qui était inattendu pour nous).
Les conditions des compétitions étaient difficiles. Un an a été alloué à la préparation du manuscrit du manuel ; le manuscrit a été soumis au député de l'URSS sous la devise et les informations sur les auteurs en compétition ont été indiquées dans une enveloppe scellée. Le manuscrit devait être adapté à la publication en rotaprint, ses volumes étaient indiqués (pour la géométrie 7-9 - 20 feuilles imprimées, et pour la géométrie 10-11 - 16 feuilles imprimées), le contenu devait correspondre aux programmes ministériels.
Les manuscrits acceptés au Parlement de l'URSS étaient cryptés, imprimés par rotation dans des éditions assez volumineuses et envoyés pour examen à diverses organisations : instituts de recherche, établissements d'enseignement, instituts de formation des enseignants, méthodologistes, enseignants. Un an plus tard, la Commission de la concurrence a reçu plus de huit cents rapports d'examen et a commencé à les analyser.
Bien entendu, des auteurs inconnus des évaluateurs et des membres du Comité du concours ont également participé au concours, mais pour « cacher sous des codes » les manuels déjà connus (et donc individuels) d'A.V. Pogorelova, A.N. Kolmogorov et ses co-auteurs, L.S. Atanasyan et ses co-auteurs, A.D. Alexandrov et ses co-auteurs étaient impossibles.
Cette année-là, une réunion de la commission sur la géométrie du député de l'URSS s'est tenue à Vilnius. Le propriétaire était le célèbre géomètre lituanien - le professeur Vaclovas Iono Bliznikas. Parmi les membres de la commission se trouvaient L.S. Atanasyan et moi. Et pour nous V.I. Bliznikas a déclaré : « La Lituanie sera pour Atanasyan. Leur manuel est mieux adapté aux exploitations agricoles lituaniennes. Il était clair que les manuels d’A.V. Pogorelova et L.S. Atanasyan et ses co-auteurs sont-ils hors compétition (tant en termes de raffinement que de « réserve administrative ») ? et ils prendront les deux premières places. Il est intéressant de noter que, lors de l'annonce des résultats du concours, la Commission de la concurrence a rapporté :
« Lors de la discussion des manuscrits par le comité du concours, une différence s'est révélée
dans l'avis de ses membres sur un manuel de géométrie pour lycée : le niveau de rigueur acceptable dans la présentation de la matière, la place de la méthode axiomatique dans le cours scolaire, le langage et la présentation, etc. Cela s'est reflété dans le vote, lorsque le nombre de votes exprimés pour les manuels scolaires arrivés en première et en deuxième position différait légèrement » (MSh. 1988. No. 5. pp. 48-50).
22 manuscrits ont été soumis au concours « Géométrie, 7-9 » et 7 manuscrits ont été soumis au concours « Géométrie, 10-11 ».
Les premières places dans les deux concours (« Géométrie, 7-9 » et « Géométrie, 10-11 ») ont été remportées par des manuscrits de manuels de L.S. Atanasyan et ses collègues. La commission du concours leur a attribué les caractéristiques suivantes : « Les manuscrits se distinguent par l'accessibilité de leur présentation, l'accent mis sur l'étude indépendante de la matière par les étudiants et leur orientation pratique claire. »
La deuxième place du concours « Géométrie, 7-9 » a été remportée par le manuel d'A.V. Pogorelov, et dans le concours « Géométrie, 10-11 », le manuel d'A.V. Pogorelova a partagé les deuxième et troisième places avec le manuscrit des auteurs de Kiev G.P. Bevza, V.G. Bevza, N.G. Vladimirova (c'étaient de nouveaux auteurs).
Manuscrits de manuels d'A.V. Le comité du concours a caractérisé Pogorelov comme suit : « Les manuscrits de manuels se caractérisent par un haut niveau de rigueur dans la présentation du matériel théorique, la brièveté et la précision du langage et la construction du cours sur une base axiomatique.
Manuscrit du manuel « Géométrie, 7-9 » d'A.D. Alexandrova, A.L. Werner et V.I. Ryzhika a pris la troisième place. Ce manuscrit a été décrit comme suit : « Il se distingue par la présentation non conventionnelle d'un certain nombre de questions, la vivacité et le divertissement de la langue et l'orientation du système d'exercices sur le développement des étudiants. »
Les manuscrits de manuels répertoriés ont été récompensés et acceptés pour publication par la maison d'édition Prosveshchenie.
Dans le concours « Géométrie, 7-9 », le manuel de V.G. Boltyansky, G.D. Glazer et L.M. Pashkova, et cinquième place - le manuel d'A.N. Kolmogorova, A.F. Semenovitch et R.S. Tcherkasova.
Dans le concours « Géométrie, 10-11 », le manuel d'A.D. a pris la quatrième place. Alexandrova, A.L. Werner et V.I. Ryzhik, et cinquième place - le manuel de V.G. Boltyansky, G.D. Glazer et L.M. Pachkova.
On peut considérer que le concours a résumé les résultats de décennies de réformes de Kolmogorov et leurs critiques : la géométrie scolaire en Russie est revenue à la voie euclidienne traditionnelle.
Si nous évaluons les résultats de cette compétition entre les manuels de géométrie, nous pouvons alors dire qu'elle semble « légitimer » la situation qui s'était déjà développée parmi les manuels existants à cette époque :
1) il était plus facile pour les enseignants de travailler avec le manuel de L.S. Atanasyan et ses co-auteurs, qui ont remporté la première place du concours et qui ont été activement soutenus par le ministère russe de l'Éducation ;
2) de nombreux enseignants se sont déjà adaptés au recueil de manuels d’A.V. Pogorelov, introduit en 1982 sur ordre du député de l'URSS, mais au concours, il a pris la deuxième place après le manuel de L.S. Atanasyan ;
3) parmi les enseignants, des fans des manuels d’A.D. sont apparus. Alexandrov (qui a pris la troisième place du concours), principalement parmi les enseignants qui travaillaient dans des classes d'étude approfondie des mathématiques.

6. Les manuels nouvelle génération d’Alexandre

Depuis le milieu des années 80, des écoles sont apparues dans lesquelles une étude approfondie de matières individuelles a commencé à être menée non seulement dans les deux classes supérieures, mais également à partir de la 8e année. Pour ces classes, nous avons rédigé un manuel "Géométrie, 8-9". Avec le manuel « Géométrie, 10-11 », il a compilé un cours complet de géométrie élémentaire pour les cours de physique et de mathématiques. Et maintenant, l'amélioration de ce cours d'approfondissement se poursuit : de nouveaux manuels ont déjà été publiés.
Alexander Danilovich a écrit dans son article « Sur la géométrie » que les manuels scolaires devraient contenir du matériel de différents niveaux de complexité, conçu pour des étudiants ayant des intérêts et des capacités différents, et que le cours de planimétrie devrait être complété par des éléments de stéréométrie.
Ce sont ces problèmes qui sont résolus dans un autre cycle de nos manuels.
Ces manuels ont déjà été rédigés dans les années 90. Ils sont destinés à l'enseignement différencié de la géométrie et leur contenu est divisé en trois niveaux : le niveau humanitaire (enseignement général), élargissant son niveau appliqué, et le niveau d'enseignement général d'approfondissement - le niveau logique (à problèmes).
Grâce au fait qu'Alexandre Danilovitch a considérablement simplifié et minimisé la planimétrie élémentaire, ces manuels présentent un matériel stéréométrique assez complet au niveau visuel, qui est présenté en parallèle avec un matériel planimétrique similaire. Ainsi, le cycle de ces manuels inaugure une nouvelle génération de manuels de géométrie pour les écoles primaires, dans lesquels une présentation systématique de la planimétrie sera combinée avec des éléments de stéréométrie présentés au niveau visuel. C'est dans cette direction qu'évolue désormais l'enseignement géométrique en Russie. À la fin des années 90 du siècle dernier, Alexander Danilovich n'a plus travaillé sur les manuels scolaires pour des raisons de santé. Sans lui, mais sur la base de ses idées, une autre série de manuels a été écrite, dans laquelle la planimétrie « selon Alexandrov » est combinée avec une présentation des éléments de stéréométrie à un niveau visuel et intuitif. Ces manuels sont devenus lauréats du concours de manuels de nouvelle génération organisé par le ministère de l'Éducation de la Fédération de Russie et la Fondation nationale pour la formation du personnel.
L'émergence des normes éducatives au début du XXIe siècle a nécessité la modification des manuels d'Alexandre. Après cette révision, ils ont été publiés par la maison d'édition Prosveshcheniye dans la série « Manuels scolaires académiques », fondée en 2005 par l'Académie russe des sciences, l'Académie russe de l'éducation et la maison d'édition Prosveshcheniye. Ces manuels tiennent déjà compte de trente années d’expérience des enseignants utilisant les manuels d’Alexandre, ainsi que de l’expérience de leurs auteurs.
Dans les manuels de géométrie d'Alexandre, la géométrie apparaît devant l'étudiant dans toute son ampleur et sa polyvalence. Chaque enseignant pourra travailler à partir de ces manuels selon ses propres visions pédagogiques, et chaque élève y retrouvera des aspects de la géométrie aux multiples facettes qui lui sont proches.

LITTÉRATURE

1. Kolmogorov A.N. Nouveaux programmes et quelques enjeux fondamentaux d'amélioration du cours de mathématiques au secondaire // Mathématiques à l'école. 1967. N° 2. P. 4-13.
2. Kolmogorov A.N. Vers de nouveaux programmes en mathématiques // Mathématiques à l'école. 1968. N° 2. P. 21-22.
3. Kolmogorov A.N. Sur le système de concepts de base et de notation pour le cours scolaire // Mathématiques à l'école. 1971. N° 2. pp. 17-22.
4. Kolmogorov A.N. Notes sur la notion de set dans un cours de mathématiques scolaire. // Les mathématiques à l'école. 1984. N° 1. P. 52-53.
5. Alexandrov A.D. À propos de la géométrie. // Les mathématiques à l'école. 1980. N° 3. P. 56-62.
6. Alexandrov A.D. Qu'est-ce qu'un polyèdre ? // Les mathématiques à l'école. 1981. N° 1. P. 8-16, n° 2. P. 19-25.
7. Alexandrov A.D. Sur la notion d'ensemble dans un cours de géométrie // Mathématiques à l'école. 1984. N° 1. P. 47-52.
8. Alexandrov A.D. Qu'est-ce qu'un vecteur ? // Les mathématiques à l'école. 1984. N° 5. pp. 39-45.
9. Vladimirov V.S., Pontryagin L.S., Tikhonov A.N. À propos de l'enseignement des mathématiques à l'école. // Les mathématiques à l'école. 1979. N° 3. pp. 12-14.
10. Kolmogorov A.N., Semenovich A.F., Cherkasov R.S. Géométrie, 6–8. M. : « Lumières », 1979. 384 p.
11. Klopsky V.M., Skopets Z.A., Yagodovsky M.I. Géométrie, 9-10. M. : « Lumières », 1977. éd. 3ème.
12. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Les débuts de la stéréométrie, 9. M. : « Prosveshcheniye », 1981. 224 p.
13. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Les débuts de la stéréométrie, 10. M. : « Lumières », 1982. 192 p.
14. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9-10. M. : « Lumières », 1983. 336 p.
15. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9-10 (édition 2, révisée). M. : « Lumières », 1987. 272 ​​​​p.
16. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9-10 (pour les cours de physique et de mathématiques). M. : « Lumières », 1984. 480 p.
17. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. 6. M. : « Lumières », 1984. 176 p.
18. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. 7. M. : « Lumières », 1985. 192 p.
19. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. 8. M. : « Lumières », 1986. 192 p.
20. Pogorelov A.V. Géométrie, 6-10. M. : « Lumières », 1982. 288 p.
21. Atanasyan L.S. et autres. Geometry, 6 (quatrième éd., révisé). M. : « Lumières », 1985. 96 p.
22. Atanasyan L.S. et autres. Geometry, 8 (troisième éd., révisé). M. : « Lumières », 1987. 128 p.
23. Atanasyan L.S. et autres. Géométrie, 9-10 (deuxième éd., révisé). M. : « Lumières », 1985. 256 p.
24. Atanasyan L.S. et al. Géométrie, 7–9 (14e édition). M. : « Lumières », 2004. 384 p.
25. Atanasyan L.S. et autres. Géométrie, 10-11 (15e édition, complétée). M. : « Lumières », 2006. 256 p.
26. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 7–9. M. : « Lumières », 1992. 320 p. (2e éd. 1995, 3e éd., révisée 2003).
27. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 10-11. M. : « Lumières », 1998. 272 ​​​​p. (2e éd. 2001, 4e éd., mise à jour 2006).
28. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 8-9 (pour les niveaux avancés). M. : « Lumières », 1991. 416 p. (2e éd., révisé, 1995, 3e éd. 1996).
29. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 10-11 (Advanced Grades, 3e éd., révisé). M. : « Lumières », 1992. 464 p. (4e éd. 1994, 5e éd. 1995).
30. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 7. M. : MIROS, 1994. 200 p.
31. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 8. M. : MIROS, Saint-Pétersbourg : Orakul, 1997. 302 p.
32. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9. M. : MIROS, CheRo., 1998. 350 p.
33. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Géométrie, 7. M. : « Lumières », 1999. 192 p. (2e éd., révisé, 2003, 176 pages).
34. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Géométrie, 8. M. : « Lumières », 2001.
192 p.
35. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Géométrie, 9. M. : « Lumières », 2001.
208 p.
36. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G. Géométrie, 7. M. : « Lumières », 2008. 176 p.
37. Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I.. Géométrie, 8. M. : « Lumières », 2009. 176 p.
38. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9. M. : « Lumières », 2010. 176 p.
39. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 8 (pour une étude approfondie). M. : « Lumières », 2002. 240 p. (2e éd. Révisé, 2008, 272 pages).
40. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 9 (pour une étude approfondie). M. : « Lumières », 2004. 240 p.
41. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 10 (pour une étude approfondie). M. : « Lumières », 1999. 240 p. (2e éd. 2001 ; 3e éd. 2003 ; 4e éd., révisée, 2006. 272 ​​​​p.).
42. Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie, 11 (pour une étude approfondie). M. : « Lumières », 2000. 320 p. (2e éd.2001; 3e éd.2006).
43. Alexandrov A.D. Les débuts de la géométrie // Preprint. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1981. 46 p.
44. Alexandrov A.D. Quantités et chiffres // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1981. 48 p.
45. Alexandrov A.D. Triangles // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1982. 48 p.
46. ​​​​​​Alexandrov A.D. Triangles similaires // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1982. 42 p.
47. Alexandrov A.D. Lignes parallèles et vecteurs // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1982. 50 p.
48. Alexandrov A.D. Polygones et cercles // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1982. 32 p.
49. Alexandrov A.D. Vecteurs et coordonnées // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1983. 48.
50. Alexandrov A.D. Cercle et cercle // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1983. 12.
51. Alexandrov A.D. Affiche // Préimpression. Novossibirsk : Institut de mathématiques de la branche sibérienne de l'Académie des sciences de l'URSS, 1983, 44.
52. Alexandrov A.D. Fondements de la géométrie. M. : « Nauka », 1987. 288 p.
53. Alexandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Géométrie. M. : « Nauka », 1990. 672 p.
54. Pogorelov A.V. Géométrie élémentaire. Éd. 2. M. : « Nauka », 1974. 208 p.

Géométrie. 7e année. Recommandations méthodologiques pour les enseignants. Werner A.L., Ryzhik V.I., Khodot T.G.

2e éd. - M. : 2017. - 132 p.

Le livre est destiné aux enseignants enseignant la géométrie en 7e année à l'aide d'un manuel des auteurs A. D. Alexandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik, T. G. Khodot. Il est rédigé conformément au concept méthodologique de ce manuel et lui correspond pleinement tant dans son contenu que dans sa structure. Le livre contient le concept de construction d'un cours de géométrie de la 7e à la 9e année, des recommandations méthodologiques pour la conduite des cours, des tests et des tests, des instructions pour résoudre des problèmes et une planification thématique.

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Contenu
Le concept de construction d'un cours de géométrie scolaire de base
1. Structure du cycle des manuels de géométrie nouvelle génération pour les écoles primaires
2. Les principes d’enseignement de la géométrie d’Alexandre
3. À propos du système de problèmes dans le cours de géométrie pour les classes 7 à 9
La géométrie de 7e année est la géométrie des constructions
1. Discussion du matériel théorique du manuel
2. Résoudre les problèmes des manuels scolaires et y répondre
Volet humanitaire du cours de géométrie
1. Développement de la parole dans les cours de géométrie
2. Excursions géométriques
Créer des aides visuelles et travailler avec elles
Tests de cours de géométrie
Planification thématique

1. Structure du cycle des manuels de géométrie nouvelle génération pour
école de base
Une nouvelle série de manuels de géométrie pour les écoles primaires a été créée sur la base du manuel « Géométrie, 7 - 9 » (auteurs - A. D. Aleksandrov, A. L. Verner, V. I. Ryzhik) - lauréat du dernier concours de manuels scolaires de toute l'Union au milieu de l'année. Années 80 . Khodot) - lauréats du concours de manuels de nouvelle génération (« Lumières », 1999-2001). Le contenu des manuels du nouveau cycle correspond aux derniers documents de directives ministérielles (Normes de Deuxième Génération) et aux visions pédagogiques modernes. La nouvelle série de manuels tient compte de nombreuses années d'expérience des enseignants qui ont travaillé avec les manuels sur lesquels les nouveaux ont été créés.
Dans leur cours, les auteurs identifient trois lignes les plus importantes : la ligne de construction de figures géométriques - la ligne directrice du manuel "Géométrie, 7", la ligne de calcul des grandeurs géométriques - la ligne directrice du manuel "Géométrie, 8" et la ligne d'idées et de méthodes de la géométrie moderne - la ligne directrice du manuel "Géométrie, 9".
Chacun des trois manuels a un contenu intègre et complet, et son travail ne nécessite pas de référence à d'autres manuels. Ceci est assuré par le fait que le manuel « Géométrie, 8 » commence par une répétition des concepts et des phrases les plus importants du cours de 7e année, et que le manuel « Géométrie, 9 » répète les informations nécessaires du cours de 8e année. Ensemble, ces trois manuels couvrent toute la section « Géométrie » du Contenu de base de l'enseignement mathématique, y compris sa partie stéréométrique de la sous-section « Géométrie visuelle ».
L'inclusion de la partie stéréométrique de « Géométrie visuelle » dans un cours de géométrie systématique pour les niveaux 7 à 9 semble nécessaire aux auteurs pour les raisons suivantes. Premièrement, peu de temps est consacré aux éléments de stéréométrie dans le cours « Mathématiques » et il vaut la peine de les répéter plus en détail de la 7e à la 9e année. Deuxièmement, l'absence de matériel stéréométrique dans un cours de géométrie systématique de trois ans entraîne chez les étudiants une perte des concepts spatiaux (« cécité stéréométrique »), ce qui nuit au développement culturel général des étudiants et crée de grandes difficultés dans l'étude d'un cours de stéréométrie en lycée. Enfin, troisièmement, un cours systématique de géométrie pour les classes 7 à 9 devrait couvrir toute la section « Géométrie » du contenu de base afin de créer une compréhension holistique de ce sujet pour les diplômés de l'école de base.
Les manuels ne se limitent pas à un contenu purement géométrique. Ils accordent une grande attention au développement mathématique général des étudiants, qui est abordé dans la section « Logique et ensembles » du contenu principal : au tout début du cours, les opérations de combinaison et d'intersection de figures sont introduites, décrites
06 axiomes et théorèmes, des paragraphes spéciaux sont consacrés à la méthode de preuve par contradiction, aux théorèmes mutuellement inverses, aux propriétés caractéristiques et au connecteur logique « alors et seulement alors ». Tout cela forme des actions logiques universelles.
Tout au long du cycle, il y a un récit sur l'histoire de la géométrie : le cours de 7e commence par un récit sur l'émergence de la géométrie dans l'Antiquité, sur
Euclide et ses « Principes », et cela se termine par une histoire sur la solution du problème du cinquième postulat, sur N.I. Lobachevsky et sa géométrie ; des paragraphes séparés dans les manuels des 8e et 9e années sont consacrés à Thalès, Pythagore, Archimède ; histoire de la trigonométrie, etc. Tout cela correspond à la section « Mathématiques dans le développement historique » du Sommaire Principal.

Le manuel contient du matériel théorique et pratique sur la stéréométrie pour un cours de lycée. Le livre contient environ 100 problèmes avec solutions et plus de 800 problèmes pour une solution indépendante. Des problèmes qui ont été utilisés lors des examens d'entrée dans diverses universités sont également présentés. Le manuel est destiné aux élèves, aux candidats et aux enseignants.

Avions dans l'espace.
Il est naturel de commencer la « géométrie structurelle » par des propositions visant à préciser la position d'un plan dans l'espace. Nous formulons ici trois de ces propositions.

Commençons par la question de savoir combien de points dans le plan doivent être spécifiés pour que sa position soit déterminée de manière unique par ces points. Il est clair qu’un ou deux points ne suffisent pas pour cela. Mais en précisant trois points qui ne se trouvent pas sur la même droite, la position du plan sera déterminée sans ambiguïté (Fig. 1.1). Exemple réel : deux charnières et une serrure fixent la position de la porte, mais pas deux charnières. La phrase suivante est donc valable :

Proposition 1. Par trois points quelconques de l'espace qui ne se trouvent pas sur la même droite, passe un plan, et un seul.
Un plan passant par trois points A, B, C qui ne se trouvent pas sur la même droite est appelé « plan ABC » et s'écrit (ABC).
En plus de cette méthode (principale) de définition d'un plan, nous en utiliserons d'autres.

TABLE DES MATIÈRES
Préface
Introduction
Chapitre 1. Lignes et avions
§ 1. Disposition mutuelle des lignes et des plans
§ 2. Perpendularité des lignes et des plans
§ 3. Parallélisme des lignes et des plans
Problèmes avec des solutions
Chapitre 2. Les figures spatiales les plus importantes
§ 4. Sphère et boule
§ 5. Angles trièdres et triangles sphériques
§ 6. Cylindre
§ 7. Prisme
§ 8. Cône
§ 9. Pyramide
Problèmes avec des solutions
Problèmes à résoudre de manière autonome
Chapitre 3. Solides, surfaces, polyèdres
§ 10. Corps et leurs surfaces
§ 11. Polyèdres
§ 12. Polyèdres réguliers et semi-réguliers
Problèmes avec des solutions
Problèmes à résoudre de manière autonome
Chapitre 4. Volumes des corps et leurs surfaces
§ 13. La notion de volume
§ 14. Volume d'un cylindre droit
§ 15. Représentation du volume par intégrale
§ 16. Volume d'un cylindre, d'un cône, d'une boule
§ 17. Superficie
Problèmes avec des solutions
Problèmes à résoudre de manière autonome
Chapitre 5. Coordonnées et vecteurs
§ 18. Coordonnées rectangulaires
§ 19. Méthode des coordonnées
§ 20. Divers systèmes de coordonnées
§ 21. La notion de vecteur
§ 22. Opérations linéaires avec des vecteurs
§ 23. Multiplication scalaire des vecteurs
§ 24. Méthode vectorielle
Problèmes avec des solutions
Problèmes à résoudre de manière autonome
Chapitre 6. Transformations
§ 25. Mouvements
§ 26. Propriétés des mouvements
§ 27. Classification des mouvements de l'espace
§ 28. Similitude
§ 29. Inversion
Problèmes avec des solutions
Problèmes à résoudre de manière autonome
Réponses et directions
Théorèmes de base et formules de planimétrie
Index des sujets
Liste de la littérature utilisée.

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Téléchargez le livre Stéréométrie, Géométrie dans l'espace, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 1998 - fileskachat.com, téléchargement rapide et gratuit.

• Géométrie, Collection de programmes de travail, 7e à 9e années, Burmistrova T.A., 2011
• Géométrie, 7e année, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2013
• Mathématiques, algèbre et débuts de l'analyse mathématique, géométrie, classes 10-11, manuel pour les organismes d'enseignement général, niveaux de base et avancé, Aleksandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I., 2014

/

Ligne du complexe pédagogique et méthodologique en géométrie. 10 à 11 années (niveau avancé). A.D. Alexandrov, A.L. Werner, V.I. Ryzhik.

La ligne UMK a été écrite par une équipe d'auteurs créée et dirigée par l'académicien A. D. Alexandrov (1912-1999). L'idée principale du programme éducatif est la possibilité d'enseigner la géométrie à des étudiants ayant des intérêts différents en utilisant une grande quantité de matériel problématique différencié.

L'UMK comprend :

• Manuels :
  • Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Mathématiques : algèbre et principes d'analyse mathématique, géométrie. Géométrie. 10e année (niveau avancé);
  • Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Mathématiques : algèbre et principes d'analyse mathématique, géométrie. Géométrie. 11e année (niveau avancé) ;
• matériel didactique;
• des lignes directrices.

Manuels correspondent au niveau d'éducation de l'État fédéral pour l'enseignement général secondaire (complet). Ils sont conçus pour l'étude avancée de la géométrie et contiennent du matériel qui peut être des cours au choix : figures convexes, polyèdres, théorie des surfaces et géométrie sphérique, transformations, géométrie moderne et relativité. Le matériel théorique des manuels se différencie à la fois par la profondeur de la matière couverte et par la possibilité d'étudier des sujets supplémentaires. Le matériau du problème est également différencié. Cela ressort clairement des noms des rubriques du matériel de tâches par type d'activité : « Rechercher », « Compléter la théorie », « Planifier », « Prouver », etc., qui guident les enseignants et les étudiants dans le matériel pédagogique. La section « Comprendre la solution » propose des exemples de résolution de problèmes. A la fin du manuel, les auteurs parlent de géométrie moderne et de théorie de la relativité. Ainsi, les étudiants peuvent suivre l’évolution de la science de la géométrie dans le monde moderne. En conclusion, les auteurs apportent des réponses aux tâches « Préparation à l'examen d'État unifié ».

Matériel didactique contiennent des travaux indépendants et de contrôle en deux versions. Des réponses sont fournies pour tous les problèmes et des instructions pour les résoudre sont données pour certains.

Des lignes directrices"Étude approfondie de la géométrie en 10e année" (auteurs V. M. Papovsky, N. M. Pultsin) et "Étude approfondie de la géométrie en 11e année" (auteurs V. M. Papovsky, K. N. Aksenov, M. Ya. Pratusevich) contiennent des recommandations pour la conduite de la géométrie. des leçons et une histoire sur l'expérience de travail d'un enseignant en particulier. Ces livres fournissent des recommandations méthodologiques pour les chapitres de manuels et des solutions aux problèmes de chaque paragraphe, des plans pour terminer les chapitres et une planification thématique approximative du matériel pour l'année, des textes pour des travaux indépendants et des tests.

Caractéristiques de la ligne UMK :

• la présentation de la géométrie dans les manuels allie clarté et logique ;
• l'attention est attirée sur l'application pratique de la géométrie, son lien avec l'art, la technologie et l'architecture ;
• le matériel théorique et problématique est différencié.

Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Les débuts de la stéréométrie : 10. Manuel d'essai. Matériel de révision.- M. : Éducation, 1982.-191 p. - (B-professeur de mathématiques).
Un manuel d'essai pour la classe X - une présentation détaillée de la deuxième partie du manuel. Le manuel a été publié pour familiariser les enseignants avec une option possible pour construire un cours scolaire en stéréométrie.
Il est actuellement testé dans plusieurs écoles.
Sa première partie (un manuel d'essai pour la IXe année) a été publiée en 1981.
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Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie 6. Manuel d'essai pour la 6e année du secondaire. – M. : Éducation, 1984. – 176 p.
Chapitre I. Les débuts de la géométrie : § 1. De quoi parle la géométrie et pourquoi. § 2. Segments. § 3. Angles. § 4. Triangles. § 5. Quelques applications des premiers théorèmes sur les triangles. § 6. Quadrilatères.
Chapitre II. Grandeurs de mesure : § 7. Opérations avec segments. § 8. Mesure de la longueur. § 9. Opérations avec angles. § 10. Mesure des angles. § 11. Somme des angles d'un triangle. § 12. Figures polygonales et polygones. § 13. Superficie.
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New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. Manuel d'essai de 7e année. - M. : Éducation, 1985. - 192 p.
Chapitre III. Géométrie d'un triangle : théorème de Pythagore. Perpendiculaire et oblique. Inégalité triangulaire. Sinus. Signes d'égalité des triangles rectangles et leur application. Théorème des sinus. Cosinus. Théorème de Pythagore généralisé. Fonctions trigonométriques. Triangles similaires.
Chapitre IV. Parallélisme : lignes parallèles. Parallélogramme et trapèze. Parallélisme et triangles similaires.
Vecteurs : Vecteurs. Ajout de vecteur. Multiplier un vecteur par un nombre.
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Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie 8. Manuel d'essai pour la 8e année du secondaire. – M. : Éducation, 1986. – 190 p.
Chapitre VI Vecteurs et coordonnées : § 29. Projections et coordonnées d'un vecteur § 30. Multiplication scalaire des vecteurs §31. Équations d'un cercle et d'une droite
Chapitre VII Polygones et cercles : § 32. Cordes et tangentes § 33. Polygones § 34. Polygones réguliers § 35. Longueur d'un cercle § 36. Aire d'un cercle
Chapitre VIII Mouvements et similitudes : § 37. Mouvements et égalité des figures § 38. Types de mouvements § 39. Symétrie des figures § 40. Similitude
Conclusion
§41. Bases de la planimétrie
Modules complémentaires
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New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. Manuel d'essai de la 9e à la 10e année. - 2e éd., révisée. - M. : Éducation, 1987. - 272 p.
9e année. : Bases de la stéréométrie. Perpendiculaire et parallélisme. Projections. Distances et angles. Sphère et boule.
10 e année. : Cylindres et cônes. Polyèdres. Volumes des corps et zones de leurs surfaces. Coordonnées. Vecteurs. Mouvements. Fondements de la géométrie. Géométrie moderne.
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Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. Manuel pour les classes 7 à 9 du secondaire. – M. : Education, 1992. – 320 pp. : ill. - ISBN5-09-003876-7.
Le manuel a pris la troisième place au concours pan-syndical de manuels scolaires pour les écoles secondaires en 1988.
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New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. Manuel expérimental de 7e année. - M. : MIROS, 1994. - 200 pp. : ill.
Le manuel propose un enseignement différencié de la géométrie : la présentation séquentielle-parallèle de la matière s'effectue à trois niveaux - visuel, appliqué et logique. Le manuel développe les traditions développées dans une série de livres pédagogiques sur la géométrie rédigés par l'équipe d'auteurs dirigée par l'académicien A.D. Alexandrov. Pas d'édification, mais de conversation - tel est le style de l'auteur de ce cours. Un large ensemble de problèmes sur tous les sujets du cours (en fait, un cahier de problèmes dans le manuel) aidera l'enseignant à organiser les travaux pratiques avec les étudiants.
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New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Werner A.L., Khodot T.G. Le monde strict de la géométrie. Livre pour les enseignants. Matériel méthodologique pour le manuel expérimental d'A.D. Aleksandrova « Géométrie » pour la 7e année. - M. : MIROS, 1994. - 72 p. : ill. -ISBN5-7084-0046-3.
Le problème des « premières leçons » de géométrie sera aidé par le matériel méthodologique et didactique de l’enseignant contenu dans ce livre. Ils ont été préparés par des enseignants expérimentés, dont la pratique professionnelle a confirmé les mérites du matériel pédagogique expérimental d’A.D. Alexandrova, A.L. Werner, V.I. Ryzhik « Géométrie » pour les élèves de 7e année du secondaire.
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New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. Manuel expérimental de 8e année. - M. : MIROS, 1997. - 304 p. : ill.
Le manuel est destiné à un enseignement différencié dans les écoles et classes de différents types : humanitaire, ordinaire, avec étude approfondie des mathématiques. La première partie de l'ouvrage contient trois chapitres du cours de planimétrie : « Parallélisme et vecteurs », « Aires de figures polygonales », « Géométrie d'un triangle », ainsi que le matériel stéréométrique correspondant. La deuxième partie contient des tâches sur tous les sujets du cours, qui sont compilées pour différents niveaux d'études.
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New Evstafieva L.P., Okunev A.A., Khodot T.G., Sheptovitskaya O.A. De Pythagore à Euclide. Livre pour les enseignants. Matériel méthodologique pour le manuel expérimental d'A.D. Aleksandrova « Géométrie » pour les élèves de 8e année. - M. : MIROS, 1997. - 96 p. : ill.
Le manuel méthodologique est destiné à un enseignement différencié dans les écoles et classes de différents types. Le matériel didactique contenu dans le livre, les recommandations méthodologiques pour organiser le travail en classe et un exemple de plan de cours aideront l'enseignant à choisir sa propre option d'enseignement de la géométrie.
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New Alexandrov A.D., Werner A.L., Ryzhik V.I. Géométrie. 9e année. Manuel expérimental. - M. : MIROS : CheRo, 1997. - 352 pp. : ill. - ISBN 5-7084-0156-7.
Le manuel complète un cours scolaire systématique de trois ans en planimétrie et un aperçu de la stéréométrie. Le manuel propose un enseignement différencié de la géométrie : la présentation séquentielle-parallèle de la matière s'effectue à trois niveaux - visuel, appliqué, logique. Un ensemble de tâches sur tous les sujets du cours aidera l'enseignant à organiser les travaux pratiques avec les étudiants.
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New Okunev A.A., Evstafieva L.P., Sheptovitskaya O.A., Khodot T.G. D'Euclide à Lobatchevski. Livre pour les enseignants. Matériel méthodologique pour le manuel expérimental d'A.D. Aleksandrova « Géométrie » pour la 9e année. - M. : MIROS, 1997. - 96 p. : ill. -ISBN5-7084-0144-3.
Des recommandations méthodologiques et du matériel didactique aideront l'enseignant dans l'enseignement différencié des thèmes « Vecteurs et coordonnées », « Figures de rotation » et « Transformations », qui complètent l'étude systématique de la planimétrie et un aperçu de la stéréométrie à l'école, ainsi qu'en le redoublement final d'un cours expérimental de trois ans en géométrie.
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Alexandrov A.D. et al. Géométrie pour les classes 9-10 : manuel. manuel pour les écoliers. et des classes avec une étude approfondie des mathématiques/A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M. : Education, 1984. - 480 pp., ill.
Ce livre est un manuel destiné aux élèves des écoles et des classes avec une étude approfondie des mathématiques. Il révèle les enjeux à la fois du programme de géométrie d'une école secondaire et du programme de géométrie des classes et écoles correspondantes. Cela permet aux étudiants de ces classes d’acquérir une formation mathématique plus approfondie.
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Alexandrov A.D. et al. Géométrie pour les classes 8-9. Cahier de texte manuel pour les écoliers. et cl. avec profondeur étudié mathématiques / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-3e éd. - M. : Education, 1996.-415 avec illus.
Lire edu-lib.net

Okunev A. A. Étude approfondie de la géométrie en 8e année : Un manuel pour les enseignants - M. : Éducation : JSC « Ucheb. lit.”, 1996.- 175 pp. : ill.-ISBN 5-09-006591-8.
Le manuel est destiné aux enseignants travaillant sur le manuel pour les écoles et les classes avec une étude approfondie des mathématiques « Géométrie pour les classes 8-9 » de A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik. L'auteur présente la structure du manuel, les objectifs et les tactiques de l'enseignement de la géométrie. Pour chaque sujet, l'auteur propose des tests spécifiques, des ateliers, des commentaires sur la résolution de problèmes et discute des caractéristiques de la présentation de la géométrie.
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Alexandrov A.D. Géométrie : Manuel. allocation pour la 8e année. avec profondeur étudier les mathématiques / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M. : Education, 2002. - 240 p. : ill.-ISBN 5-09-010864-1.
Sur la structure d'un cours avancé de géométrie. Chers amis! Vous commencez un cours avancé de quatre ans en géométrie. Les deux premières années c'est un cours systématique de planimétrie élémentaire, complété par des éléments de stéréométrie. Nous prouverons tous les théorèmes les plus importants de la planimétrie et présenterons les résultats de la stéréométrie au niveau visuel. Un cours de stéréométrie systématique commence dès la 10e et la 11e année. Ainsi, l'ensemble du cursus avancé de quatre ans est divisé en deux cycles de deux ans. Au sein de chacun d'eux, la première année est consacrée principalement aux résultats de la géométrie élémentaire classique (connue depuis l'époque de la Grèce antique). La deuxième année est consacrée principalement aux idées et méthodes de la géométrie plus moderne.
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Alexandrov A.D. Géométrie : manuel. allocation pour la 9e année. avec profondeur étudier les mathématiques / A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik - M. : Education, 2004. - 240 p. : ill.- ISBN 5 09 011551-6.
Les théorèmes les plus importants prouvés dans le cours de 8e année (à l'exception du théorème des sinus) étaient connus dès la Grèce antique. Et nous les avons prouvés à l'aide de méthodes traditionnelles de géométrie élémentaire, également créées dans la Grèce antique, mais qui n'ont pas perdu de leur importance jusqu'à présent. Dans le cours de 9e année, nous commencerons à parler d'autres méthodes de géométrie créées beaucoup plus tard, aux XVIIe et XXe siècles - les coordonnées, les vecteurs et la méthode des transformations géométriques. Ces sections de la géométrie ont trouvé de nombreuses applications dans la technologie et les sciences naturelles, principalement en physique.
Le contenu principal des chapitres du manuel est planimétrique, et nous parlons du matériel stéréométrique correspondant en complément des chapitres.
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Alexandrov A.D. et al. Géométrie : Manuel. pour les élèves de 10ème. avec profondeur étudié mathématiciens/A. D. Alexandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik.-M. : Education, 1999.-238 p. : ill.- ISBN 5-09-008530-7
Ce manuel est une version révisée du manuel de A. D. Aleksandrov, A. L. Werner, V. I. Ryzhik « Géométrie, 10-11 » pour l'étude approfondie des mathématiques (M. : Prosveshchenie, 1988-1995). À la suite de la révision, le manuel est présenté en deux livres : « Géométrie, 10 » et « Géométrie, 11 », dans lesquels l'ordre et la majeure partie du contenu des chapitres sont conservés. Les changements ont affecté principalement le matériel du problème : l'unité sémantique dans cette version est le paragraphe entier, et non son paragraphe, qui déterminait la structure des problèmes dans cette édition. (Pour une meilleure orientation, le numéro de chaque tâche indique entre parenthèses à quel point du paragraphe elle appartient.) Toutes les tâches sont réparties dans les rubriques suivantes : « Compléter la théorie », « Prouver », « Recherche », « Raisonnement », « Planifier », « Comprendre la solution », « Participer à l'Olympiade », etc. Ils reflètent de manière optimale les trois composantes de la géométrie : la logique, l'imagination visuelle et la pratique.
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Ryzhik V.I. Matériel didactique sur la géométrie pour la 10e année avec étude approfondie des mathématiques - M. : Education, 1998. - 45 pp. - ISBN 5-09-008278-2.

Pour UMK A.D. Alexandrova.
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Ryzhik V.I. Géométrie : didactique. matériel pour la 10e année. enseignement général institutions / V. I. Ryzhik - 3e éd., révisé - M. : Education, 2007. - 48 pp. - ISBN 978-5-09-015968-5.
Ce manuel contient des travaux indépendants et de test sur la géométrie pour les étudiants des cours de mathématiques avancées.
Merci, Yri
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Matériel didactique de géométrie Ryzhik V.I. pour la 11e année. enseignement général établissements : profil. niveau / V.I. Ryzhik - 4e éd., révisé - M. : Education, 2008. - 63 p. : malade - ISBN 978-5-09-015498-7.
Ce manuel contient des travaux indépendants et de test sur la géométrie en deux versions pour les étudiants des classes spécialisées et des classes avec une étude approfondie des mathématiques.
Merci, Yri
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Recherché

• Okunev A.A., Étude approfondie de la géométrie en 8e année, livre pour enseignants, Lumières. Littérature pédagogique, 1996
• Okunev A.A., Étude approfondie de la géométrie en 9e année, livre pour enseignants, Éducation, 1997.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Matériel didactique sur la géométrie, 8e année.
• Ryzhik V.I., Okunev A.A., Matériel didactique sur la géométrie, 9e année, Éducation, 1999
• Papovsky V.M., Pultsin N.M., Étude approfondie de la géométrie en 10e année, livre pour enseignants, Éducation, 1999
• Papovsky V.M., Aksenov K.N., Pratusevich M.Ya., Étude approfondie de la géométrie en 11e année, livre pour les enseignants, Education 2002.
• Ryzhik V.I., Matériel didactique sur la géométrie, 10e année, Éducation, 1998
• Ryzhik V.I., Matériel didactique sur la géométrie, 11e année, Éducation, 1999.

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